Економiко-математичнi методи та моделі

На основі економетричних моделей, побудованих на базі часових рядів, проводиться короткострокове та середньострокове прогнозування розвитку економіки країни.

При вивченні складних соціально-економічних явищ все більшого значення набувають багатомірні статистичні моделі, в основі побудови котрих лежить факторний аналіз, багатомірний статистичний аналіз, методи розпізнавання образів та інші методи прикладної математики.

Недоліком економетричних моделей являється те, що статистичні моделі можуть бути перевіреними лише після реалізації прогнозованих явищ і процесів.

Нами надалі буде використовуватись наступне визначення цієї дисципліни. Економетрика - наука, що займає побудовою, аналізом і вдосконаленням математичних моделей і методів на основі реальних емпіричних (статистичних) даних про взаємозв'язок економічних об'єктів і процесів.

Об'єктом економетрики є економічні процеси і явища, а предметом - кількісне моделювання. Економетрика дозволяє знайти кількісне підтвердження або спростування того або іншого економічного закону або гіпотези. Окрім цього, одним з найважливіших напрямів економетрики є побудова прогнозів за різними економічними показниками.

Метою економетрики є кількісний аналіз, пояснення і прогнозування взаємозв'язків економічних процесів.

До основних завдань економетрики можна віднести наступні.

1) Побудова економетричних моделей, тобто представлення економічних моделей в математичній формі, зручній для проведення емпіричного аналізу. Дану проблему прийнято називати проблемою специфікації. Відзначимо, що часто вона може бути вирішена декількома способами.

2) Оцінка параметрів побудованої моделі, що роблять вибрану модель найбільш адекватної реальним даним. Це так званий Етан параметризації.

3) Перевірка якості знайдених параметрів моделі і самої моделі в цілому. Іноді цей етап аналізу називають етапом верифікації.

4) Використання побудованих моделей для пояснення поведінки досліджуваних економічних показників, прогнозування і перед оповіді, а також для осмисленого проведення економічної політики.

У економетричних дослідженнях зазвичай передбачається, що закономірності модельованого процесу складаються під впливом інших явищ або чинників. Узагальнену форму економетричної моделі, що описує закономірності розвитку такого процесу, позначеного змінною Y, залежно від впливаючих на нього зовнішніх явищ, чинників X_i,i=1..n , можна представити наступним рівнянням:

(6.1)

де f(б_i, X_i) - функціонал, що виражає вигляд і структуру взаємозв'язків між значеннями Y та X_i;

б_i - параметри моделі , які виражають ступінь впливу чинників X_i, на Y;

е випадкова помилка моделі.

Чинники X_iназивають незалежними, підкреслюючи їх незалежність від змінної Y в сенсі відсутності зворотного впливу Y на X_i.У зв'язку з цим чинники X_iчасто іменують екзогенними (зовнішніми) змінними, а змінну Y -ендогенною (внутрішньою) змінною моделі. Тут термін «внутрішній» підкреслює ту обставину, що функціонал f(б_i,X_i) відіграє основну роль при визначенні розрахункових значень залежної змінної , після того, як з використанням того або іншого методу будуть знайдені кількісні значення оцінок a_i параметрів моделі б_i , i=0..n .

Оптимальний склад чинників, що включаються в економетричну модель є однією з основних умов її гарної якості. Якість моделі розуміють і як відповідність форми моделі теоретичної концепції, що виражає зміст взаємозв'язків між даними змінними, і як точність прогнозу спостережуваних значень змінної Y.

Проблема вибору оптимальних чинників зазвичай вирішується на основі змістовного і кількісного (статистичного) аналізу тенденцій даних процесів.

На етапі змістовного аналізу вирішується питання про доцільність включення в модель тих або інших чинників, виходячи з «здорового» глузду. У макроекономічних дослідженнях склад чинників, як правило, визначається на підставі допущень економічної теорії. Прикладом є двофакторні виробничі функції типу Кобба-Дугласа, які будуються в припущенні, що об'єм випуску (виробництва) економічної системи в основному залежить від розмірів використовуваних основних фондів і обсягів витраченої праці. Далі виробнича функція типу Кобба-Дугласа враховує припущення про постійну еластичність випуску за кожним з чинників, а функція постійної еластичності заміни - властивість постійності заміщення зміни однієї з цих чинників зміною іншого.

На етапі змістовного аналізу зазвичай вирішується проблема встановлення самого факту наявності взаємозв'язків між явищами. кожне з явищ може бути виражене різними чинниками і навіть їх комбінаціями. Тому у ряді досліджень на підставі змістовного аналізу однозначно склад незалежних змінних моделі визначити практично неможливо. Можуть існувати їх альтернативні набори. Наприклад, для дослідження закономірностей динаміки продуктивності праці на заводі можуть бути відібрані, виходячи із змістовної доцільності, наступні чинники: об'єм основних фондів, енергоозброєність праці, фондоозброєність праці, чисельність робочої сили, її кваліфікація. При цьому кваліфікація як явище може виражатися різними показниками, наприклад, середнім рівнем освіти працівників, їх усередненим кваліфікаційним розрядом тощо. Крім того, можна чекати, що показники енергоозброєності, фондоозброєності праці, обсягу основних фондів характеризують одне і те ж явище - рівень матеріально-технічної оснащеності виробничого процесу. Таким чином, деякі з показників, що розглядаються в такому дослідженні, виражають кількісні характеристики незалежних змінних, відносяться до схожих явищ.

Аналогічно, в дослідженнях захворюваності населення кожна з тих, що визначають це явище причин може бути кількісно відображена різними чинниками. Наприклад, рівень життя - середнім доходом однієї особи, забезпеченістю житлом, роздрібним товарообігом з розрахунку на одного жителя і т.п.; кліматичні умови - середньорічною температурою, числом сонячних днів в році, вологістю і поряд інших показників; якість навколишнього середовища - середньорічними об'ємами викидів і скидань забруднюючих речовин, середньорічними рівнями їх концентрації в повітрі, воді і ґрунту і так далі, рівень медичного обслуговування - кількістю медичних працівників з розрахунку на одного жителя; числом ліжко-місць в лікувальних закладах на одного жителя і іншими показниками.

Нескладно відмітити, що чинники, що виражають одну і ту ж причину, можуть бути тісно взаємозв'язані між собою. Так, рівень роздрібного товарообігу в основному залежить від середнього доходу на одну особу; концентрація забруднюючих речовин - від об'ємів їх викидів; спостерігається взаємозв'язок між забезпеченістю населення медичним персоналом і ліжко-місцями в лікувальних установах і так далі Внаслідок цього одночасне включення таких чинників в модель навряд чи доцільно, оскільки таким чином одна і та ж причина буде врахована двічі.

В результаті в загальному випадку на етапі обґрунтування економетричної моделі дослідники можуть зіткнутися з проблемою вибору найбільш переважного складу незалежних чинників серед ряду альтернативних варіантів.

Можна виділити два основні підходи до вирішення цієї проблеми. Перший припускає апріорне (до побудови моделі) дослідження характеру і сили взаємозв'язків між даними змінними, за наслідками якого в модель включаються чинники, найбільш значущі по своєму «безпосередньому» впливу на залежну змінну Y. І, навпаки, з моделі виключаються чинники, які, або малозначущі з погляду сили свого впливу на змінну Y або їх сильний вплив на неї можна трактувати як індукований взаємозв'язками з іншими екзогенними змінними.

Другий підхід до відбору незалежних чинників - можна назвати апостеріорним - припускає спочатку включити в модель всі відібрані на етапі змістовного аналізу чинники. Уточнення їх складу в цьому випадку проводиться на основі аналізу характеристик якості побудованої моделі, однією з груп яких є і показники, що виражають силу впливу кожного з чинників на залежну змінну Y. На практиці використовується наступна поетапна процедура побудови остаточного варіанту економетричної моделі.

Спочатку до моделі включаються всі чинники, відібрані в ході змістовного аналізу проблеми. Для цього варіанту розраховуються значення оцінок її якості. Далі з моделі вилучають незначущий чинник, що характеризується найбільш низькими значеннями розрахованих характеристик. Таким чином формують новий варіант моделі зі зменшеним на одиницю кількістю чинників. Відмітимо, що в моделі може бути декілька незначущих чинників. Проте все їх одночасно видаляти не слід. Можливо, що незначущість більшості з них обумовлена впливом «найгіршого» з них і на наступному кроці розрахунків ці чинники виявляться значущими. Процес відбору чинників можна вважати закінченим, коли чинники, що залишаються в моделі, є значущими, а отриманий варіант економетричної моделі задовольняє й іншим критеріям її якості.

Якщо в процесі відбору незначущою виявляється досить велика група чинників, доцільно спробувати сформувати інший альтернативний варіант моделі, що відрізняється від попереднього або складом чинників, або формою їх взаємозв'язку із залежною змінною Y.

Кожен з цих підходів має свої переваги і недоліки. Апріорний шлях відбору чинників не володіє достатньою обґрунтованістю. Він більшою мірою використовує прямі кількісні індикатори «сили» взаємозв'язків між даними величинами і не бере до уваги повною мірою особливості комплексного впливу незалежних чинників на змінну Y тобто своєрідні ефекти емерджентності такого впливу. Цей ефект виражається в тому, що сукупна дія декількох чинників на змінну Y може значно відрізнятися від суми дій кожного з них саме через наявність внутрішніх взаємозв'язків між незалежними змінними.

Разом з тим використання апріорного підходу часто дозволяє уточнити деякі попередні альтернативні варіанти наборів незалежних чинників, перевірити початкові передумови моделі щодо правильності вибору форми взаємозв'язків між ними.

Апостеріорний підхід до відбору чинників на перший погляд видається переважним якраз через те, що доцільність включення кожного з чинників в економетричну модель визначається на підставі всього комплексу взаємозв'язків між змінними, що увійшли до моделі. Проте, коли загальна кількість чинників достатньо велика, немає ніяких гарантій, що велика кількість неістотних, а то і помилкових взаємозв'язків між ними не буде переважати над основними. В результаті може виявитися, що в числі перших кандидатів на виключення будуть «названі» найбільш важливі, значущі з погляду впливу на змінну Y чинники. Тому в складних випадках, тобто за наявності великого числа відібраних для включення в модель на етапі змістовного аналізу чинників, фахівці рекомендують поєднувати при формуванні їх оптимального складу обидва підходи - апріорний і апостеріорний.

Згідно цим рекомендаціям за допомогою методів апріорного відбору, використовуючи при цьому і змістовний аналіз, формуються альтернативні варіанти що включаються в модель наборів чинників. Далі за допомогою методів апостеріорного відбору ці набори уточнюються, і відповідні ним варіанти моделей зіставляються по ряду характеристик їх якості. Передбачається, що кращий з варіантів моделі містить і оптимальний набір чинників.

В результаті процедура відбору чинників в економетричну модель перетворюється на перебір деякої безлічі їх прийнятних поєднань, сформованих на базі апріорного підходу.

Перебираючи різні варіанти груп незалежних чинників, розглядаючи можливі види їх взаємозв'язків із залежною змінною, дослідник формує і різні варіанти (модифікації) економетричної моделі для опису даних процесів. В цьому випадку виникає проблема вибору оптимального, або найбільш раціонального серед них. Зазвичай ця проблема вирішується на основі аналітичного зіставлення статистичних характеристик якості побудованих варіантів, що розраховуються вже при відомих значеннях оцінок їх параметрів.

4.2 Поняття регресійної залежності

Поведінка і значення будь-якого економічного показника залежать практично від нескінченної кількості чинників, і все врахувати нереально. Але в цьому і немає необхідності. Звичайна лише обмежена кількість чинників дійсно істотно впливають на досліджуваний економічний показник. Частка впливу решти чинників така незначна, що їх ігнорування не може привести до істотних відхилень в поведінці досліджуваного об'єкту. Виділення і урахування в моделі лише обмеженої кількості реально домінуючих чинників і є серйозною передумовою для якісного аналізу, прогнозування і управління ситуацією. Економічна теорія виявила і досліджувала значне число сталих і стабільних зв'язків між різними показниками. Наприклад, добре вивченими є залежності попиту або споживання від рівня доходу і цін на товари залежність між рівнями безробіття і інфляції; залежність об'єму виробництва від цілого ряду чинників (розміру основних фондів, їх віку, якості персоналу і так далі); залежність між продуктивністю праці і рівнем механізації, а також багато інших залежностей.

Будь-яка економічна політика полягає в регулюванні економічних змінних, і вона повинна базуватися на знанні того, як ці змінні пов'язані з іншими змінними, ключовими для приймаючого вирішення політика або підприємця. Так, в ринковій економіці не можна безпосередньо регулювати темп інфляції, але на нього можна впливати засобами фіскальної (бюджетно-податковою) і монетарної (кредитно-грошовою) політики. Тому, зокрема, повинна бути вивчена залежність між пропозицією грошей і рівнем цін.

Проте в реальних ситуаціях навіть сталі залежності можуть виявлятися по-різному. Ще складнішим є завдання аналізу маловивчених і нестабільних залежностей, побудова моделей яких є наріжним каменем економетрики. Тут слід зазначити, що такі економічні моделі неможливо будувати, перевіряти і удосконалювати без статистичного аналізу тих, що входять в них змінних з використанням реальних статистичних даних. Інструментарієм такого аналізу є методи статистики і економетрики, зокрема регресійного і кореляційного аналізу. Слід мати на увазі, що статистичний аналіз залежностей сам по собі не розкриває істоту причинних зв'язків між явищами, тобто він не вирішує питання, через які причини одна змінна впливає на іншу. Рішення такої задачі є результатом якісного (змістовного) вивчення зв'язків, яке обов'язково повинне або передувати статистичному аналізу, або супроводжувати його.

У природних науках переважно мають справу із строгими (функціональними) залежностями, при яких кожному значенню однієї змінної відповідає єдине значення інший. Проте в переважній більшості випадків між економічними змінними таких залежностей немає. Наприклад, немає строгої залежності між доходом і споживанням, ціною і попитом, продуктивністю праці і стажем роботи і так далі Це пов'язано з цілим поряд причин і, зокрема, з тим, що, по-перше, при аналізі впливу однієї змінної на іншу не враховується цілий ряд інших чинників, що впливають на неї; по-друге, цей вплив може бути не прямим, а виявлятися через ланцюжок інших чинників; по-третє, багато, такі дії носять випадковий характер і так далі Тому в економіці говорять не про функціональні а про кореляційних або статистичних, залежностях. Знаходження, оцінка і аналіз таких залежностей, побудова формул залежностей і оцінка їх параметрів є одним з найважливіших розділів економетрики.

Зв'язок між двома величинами називається функціональним, якщо любому визначеному значенню величини х (із множини її можливих значень) відповідає одне і тільки одне визначення значення у, тобто у є функцією від х. Така залежність як правило. Записується у вигляді y=f(x).

Статистичною називають залежність, при якій зміна однієї з величин вабить зміну розподілу іншій. Зокрема, статистична залежність виявляється в тому, що при зміні однієї з величин змінюється середнє значення інший. Таку статистичну залежність називають кореляційною.

Зв'язок між двома величинами називається стохастичним, якщо після визначення величини х величина у залишається випадковою і може приймати різні значення з обумовленими ймовірностями.

При вивченні зв'язку між явищами стохастична залежність частково вказує на відповідну причинну залежність (наприклад, залежність продуктивності праці від стажу роботи по даній спеціальності). Але при наявності стохастичного зв'язку між явищами може і не бути причинної залежності між ними. Це виникає тому, що обидва явища окремо залежать від загальних факторів. Так, зв'язок між фондовіддачею і собівартістю є стохастичним і непричинним, оскільки обидва ці показники залежать від фондоозброєння, електроозброєння й інших економічних показників.

Окремими випадками стохастичної форми зв'язку можуть бути кореляційний зв'язок. Дві випадкові величини являються кореляційно залежними, якщо математичне очікування однієї з них міняється в залежності від зміни другої.

Метод математичної статистики, який вивчає кореляційні зв'язки між явищами, називається кореляційним аналізом. Кореляційний аналіз представляє собою інструмент, який дозволяє кількісно оцінити зв'язки між великим числом взаємодіючих економічних явищ, при цьому деякі з них невідомі. Застосування кореляційного аналізу робить можливим перевірити різні економічні гіпотези про наявність і силу зв'язку між двома явищами або одним явищем та групою явищ, а також гіпотезу про форму зв'язку.

Існує два варіанти розгляду взаємозв'язків між двома змінними х і у. У першому випадку обидві змінні вважаються рівноцінними в тому сенсі, що вони не підрозділяються на первинну і вторинну (незалежну і залежну) змінні. Основним в цьому випадку є питання про наявність і силу взаємозв'язку між цими змінними. Наприклад, між ціною товару і об'ємом попиту на нього, між урожаєм картоплі і урожаєм зерна, між інтенсивністю руху транспорту і числом аварій. При дослідженні сили лінійної залежності між такими змінними звертаються до кореляційного аналізу, основною мірою якого; є коефіцієнт кореляції. Цілком імовірно, що зв'язок в цьому випадку взагалі не носить направленого характеру. Наприклад, врожайність картоплі і зернових зазвичай змінюється в одному і тому ж напрямі, проте очевидно, що жодна з цих змінних не має визначального характеру впливу на іншу.

Інший варіант розгляду взаємозв'язків виділяє одну з величин як незалежну (що пояснює), а іншу як залежну (з'ясовну). В цьому випадку зміна першої з них може служити причиною для зміни інший. Наприклад, зростання доходу веде до збільшення споживання; зростання ціни - до зниження попиту; зниження процентної ставки збільшує інвестиції; збільшення обмінного курсу валюти скорочує об'єм чистого експорту і так далі Проте така залежність не є однозначною в тому сенсі, що кожному конкретному значенню пояснюючої змінної (набору пояснюючих змінних) може відповідати не одне, а безліч значень з деякої області. Іншими словами, кожному конкретному значенню пояснюючої змінної (набору пояснюючих змінних) відповідає деякий імовірнісний розподіл залежної змінної (що розглядається як випадкова змінна - ВЗ). Тому аналізують, як пояснююча(і) змінна(і) впливає(ють) на, залежну змінну «в середньому». Залежність такого типу, що виражається співвідношенням

(6.2)

називається функцією регресії y на x. При цьому x називається; незалежною (що пояснює) змінною (регресором), y -- залежною (з'ясовною) змінною. При розгляді залежності двох ВЗ говорять про парну регресію.

Залежність декілька змінних виражається функцією

(6.3)

називають множинною регресією.

Термін «регресія» (рух назад, повернення в колишній стан) був введений Френсисом Галтоном в кінці XIX століття при аналізі залежності між зростанням батьків і зростанням дітей. Галтон відмітив, що зростання дітей у дуже високих батьків в середньому менше, ніж середнє зростання батьків. У дуже низьких батьків, навпаки, середнє зростання дітей вище. І у тому, і в іншому випадку середнє зростання дітей прагне (повертається) до середнього зростання людей в даному регіоні. Звідси і вибір терміну, що відображає таку залежність.

В даний час під регресією розуміється функціональна залежність між пояснюючими змінними і умовним математичним очікуванням (середнім значенням) залежної змінної, яка будується з метою прогнозу (прогнозування) цього середнього значення при фіксованих значеннях перших.

Для віддзеркалення того факту, що реальні значення залежної змінної не завжди співпадають з її умовними математичними сподіваннями і можуть бути різними при одному і тому ж значенні пояснюючої змінної (наборі пояснюючих змінних), фактична залежність повинна бути доповнена деяким доданкам u, які по суті є випадковими змінними і вказують на стохастичну сутність залежності. З цього виплаває, що зв'язки між залежною і пояснюючою (чими) змінною виражаються співвідношеннями

, (6.4)

які називаються регресійними моделями (рівняннями).

Виникне питання про причини обов'язкової присутності в регресійних моделях випадкового члена (відхилення). Серед таких причин виділимо найбільш істотні.

1. Невключення до моделі всіх пояснюючих змінних. Будь-яка регресійна модель є спрощенням реальної ситуації. Остання завжди являє собою сполучення різних чинників, багато з яких в моделі не враховуються, що породжує відхилення реальних значень залежної змінної від її модельних значень. Наприклад, попит (Q) на товар визначається його ціною (Р), ціною (Р_s) на товари-замінники, ціною (Р_c) на доповнюючі товари, доходом (I) споживачів, їх кількістю (N), смаками (Т), сподіваннями (W) тощо. Безумовно, перерахувати всі пояснюючі змінні тут практично неможливо. Так, ми не врахували такі чинники, як традиції, національні чи релігійні особливості, географічне розташування регіону, погоду й багато інших, вплив яких призведе до відхилень реальних спостережень от модельних, які можливо виразити через випадковий член ?: Q = f(P, Р_s, Р_c, I, N, Т, W,?). Проблема полягає ще й в тому, що ніколи наперед не відомо; які фактори при умовах, що склались, дійсно є визначальними, а якими можна нехтувати. Тут доцільно відзначити, що в ряді випадків врахувати безпосередньо певний фактор неможливо в силу неможливості одержання по ньому статистичних даних. Наприклад, величина збережень домогосподарств може визначатись не лише доходами їх членів, але й, наприклад, здоров'ям останніх, інформація про що в цивілізованих країнах складає лікарську таємницю й не розголошується. Крім того, ряд чинників носить принципово випадковий характер (наприклад, погода), що додає неоднозначності при розгляді деяких моделей (наприклад, модель, що прогнозує обсяг урожаю).

2. Неправильний вибір функціональної форми моделі. Із-за слабкої вивченої досліджуваного процесу або із-за його мінливості може бути невірно підібрана функція, що його моделює. Це, безумовно, позначиться на відхиленні моделі від реальності, що відіб'ється на величині випадкового члена. Наприклад, виробнича функція (У) одного чинника (X)може моделюватися функцією у =а + bx, хоча повинна була використовуватися інша модель: у = аxb (0< b <1), що враховує закон убуваючої ефективності. Крім того, невірним може бути підбір пояснюючих змінних.

3. Агрегація змінних. У багатьох моделях розглядаються залежності між чинниками, які самі представляють складну комбінацію інших, простіших змінних. Наприклад, при розгляду як залежна змінна сукупного попиту проводиться аналіз залежності, в якій з'ясовна змінна є складною композицією індивідуальних опитів, що роблять на неї певний вплив крім чинників, що враховуються в моделі. Це може виявитися причиною відхилення реальних значень від модельних.

4. Помилки вимірювань. Якою б якісною не була модель, помилки вимірювань змінних відіб'ються на невідповідності модельних значень емпіричним даним, що також відіб'ється на величині випадкового члена.

5. Обмеженість статистичних даних. Часто будуються моделі, що виражаються безперервними функціями. Але для цього використовується набір даних, що мають дискретну структуру. Цю невідповідність знаходить свій вираз у випадковому відхиленні.

6, Непередбачуваність людського чинника. Ця причина може зіпсувати найякіснішу модель. Дійсно, при правильному виборі форми моделі, скрупульозному підборі пояснюючих змінних все одно неможливо спрогнозувати поведінку кожного індивідуума.

Таким чином, випадковий член є віддзеркаленням впливу всіх описаних вище причин і не тільки їх. Цей список може бути доповнений.

При виконанні кореляційних розрахунків необхідно відрізняти факторну та результативну ознаку. Факторною називається така ознака, від котрої залежить друга ознака, а вона сама являється незалежною. На відміну від нього залежна ознака називається результативною. В процесі формалізації економіко-статистичної моделі факторна ознака позначається через х, а результативна через у, тобто умовно можна сказати, що факторна ознака виражає аргумент, а результативна - функцію.

Факторна ознака або фактор - це технічні, технологічні, природні, кліматичні, економічні, організаційні, соціально-демографічні та інші показники, що проявляють вплив на який-небудь результативний економічний показник: прибуток, собівартість, продуктивність праці та ін. Задача математичного моделювання полягає у виявленні кількісного зв'язку між факторами та результативним економічним показником.

Фактор, що включається в економетричну модель, повинен відповідати таким вимогам:

а) мати кількісне вираження;

б) між фактором і результуючим показником повинен бути причинний зв'язок і статистичний зв'язок;

в) між факторами у багато факторній моделі не повинно бути мультиколінеарності (тісного зв'язку між факторами).

Кореляційний зв'язок між факторами в економіці класифікують за ознаками: за типом - на прямий і обернений; за формою - на лінійний і нелінійний; за тіснотою зв'язку - на слабий, помірний, помітний, сильний, дуже сильний; за участю факторних ознак - на парний, множинний.

Кількісний вплив факторів на результативний показник вивчається при допомозі регресійного аналізу, який дозволяє встановити вид аналітичної залежності між змінними х та y та оцінити параметри економетричної моделі. Прикладом можливого застосування регресійного аналізу в економіці може бути дослідження продуктивності праці, собівартості та інших якісних економічних показників від таких факторів, як розмір основних фондів, питома вага заробітної плати у витратах на виробництво, рівня спеціалізації, кооперування, плинності та рівня кваліфікації кадрів; регресійні моделі також широко застосовуються в прогнозуванні.

Рішення задачі побудови якісного рівняння регресії, відповідного емпіричним даним і цілям дослідження, є достатньо складним і багатоступінчатим процесом. Його можна розбити на три етапи:

вибір формули рівняння регресії;

визначення параметрів вибраного рівняння;

аналіз якості рівняння і перевірка адекватності рівняння емпіричним даним, вдосконалення рівняння.

Вибір формули зв'язку змінних називається специфікацією рівняння регресії. У разі парної регресії вибір формули зазвичай здійснюється за графічним зображенням реальних статистичних даних у вигляді точок в декартовій системі координат, яке називається кореляційним полем (діаграмою розсіювання).

При виборі форми кореляційної залежності виходять перш за все із економічної природи явищ, простоти функції і вимоги на обмеження число параметрів. Форму кореляційного зв'язку можна визначити як графічним, так і аналітичним методами.

У випадку парної кореляції розміщення точок в прямокутній системі координат на кореляційному полі дозволяє судити про характер залежності y=f(x). На рисунку 6.1. зображені приклади залежностей (а, б - лінійна; в - параболічна; г - гіперболічна; д - логістична; е - відсутня). Якщо х_і - різні , то точки кореляційного поля з'єднують в послідовності зростання абсциси і одержують так звану емпіричну лінію регресії (рисунок 6.2).

Рисунок 6.1 - Поле кореляції.



Рисунок 6.2 - Емпірична та теоретична лінії регресії.

Графік же функції називають теоретичною лінією регресії. Щоб вибрати ту чи іншу форму кореляційної залежності, слід зіставити кореляційне поле або емпіричну лінію регресії з графіками відомих функцій. Для більш точного встановлення форми зв'язку вихідні дані обробляють на ЕОМ по програмах кореляційного аналізу. При цьому аналізують кілька функцій і беруть ту, для якої кореляційне відношення або коефіцієнт парної кореляції r найбільше (або середня похибка апроксимації найменша).

4.3 Лінійний регресійний та кореляційний аналіз двох змінних

Для перевірки гіпотези про наявність зв'язку між економічними явищами x і y і оцінки тісноти цього зв'язку обчислюють коефіцієнт парної кореляції , якщо зв'язок лінійний, і кореляційне відношення , якщо зв'язок нелінійний. Для обчислення коефіцієнта кореляції в літературі пропонуються різні формули. Розглянемо деякі з них:

(6.5)

де складові формул розраховуються наступним чином:

(6.6)

- довжина вибірки або кількість спостережень;

- коефіцієнт коваріації між змінними x та y;

- дисперсія змінної x;

- дисперсія змінної y;

. (6.7)

Як вже відзначалось нами раніше, коефіцієнт кореляції змінюється в інтервалі:

При між у та х існує пряма або обернена функціональна залежність. При коефіцієнті кореляції, рівному 0, між та х не існує кореляційного зв'язку. Якщо коефіцієнт кореляції знаходиться в інтервалі , або, між y та x існує обернена або пряма кореляційна залежність.

За щільністю зв'язку можна виділити:

а) слабий зв'язок, якщо

б) середній зв'язок, якщо

в) сильний зв'язок, якщо

Для визначення долі варіації результативного показника під впливом варіації фактора обчислюють коефіцієнт детермінації . Припустимо, що тоді можна сказати, що 80% варіації результативного показника відбувається під впливом фактора х, а решта 20% приходиться на інші фактори та випадкові величини.

4.4 Оцінювання параметрів лінійної регресійної моделі

З попередніх міркувань зрозуміло, що лінійна регресія (теоретичне лінійне рівняння регресії) є лінійною функцією між умовним математичним сподіванням Е (у/х = х_і) залежної змінної у і однією пояснюючою змінною (x_i -- значення незалежної змінної в i-му спостереженні, i=l, 2 .... п).

Е (у/х = х_і) = ?+?x_i.(6.8)

Відзначимо, що принциповою в даному випадку є лінійність за параметрами ?і ? рівняння.

Для віддзеркалення того факту, що кожне індивідуальне значення y_i відхиляється від відповідного умовного математичного сподівання, необхідно ввести в співвідношення (6.8) випадковий доданок u_i. Отже, далі ми будемо говорити про вибіркове рівняння регресії, тобто, рівняння, параметри якого обчислені за значеннями конкретної вибірки випадкових величин x та y .

У загальному вигляді вибіркова регресійна модель з двома змінними записується так:

(6.9)

де -- вектор спостережень за залежною зміною,

-- вектор спостережень за незалежною змінною,

-- невідомі параметри регресійної моделі;

u - вектор випадкових величин (помилок),

Задачею регресійного аналізу є обчислення невідомих параметрів рівняння регресії . При цьому необхідно досягти «найкращої» апроксимації. Найчастіше при цьому користуються методом найменших квадратів, що передбачає мінімізацію виразу:

, (6.10)

де - фактичні (емпіричні) та розрахункові (теоретичні) значення результативної ознаки.

Наведемо геометричну інтерпретацію метода найменших квадратів.

На рисунку 6.3 пряма є теоретичною лінією регресії. Із множини прямих необхідно вибрати «найкращу» з точки зору мінімізації суми квадратів відхилень :

Рисунок 6.3- Геометрична інтерпретація методу найменших квадратів

Відхилення, або помилки , ще іноді називають залишками. Теоретичну лінію регресії необхідно проводити таким чином, щоб сума квадратів помилок була мінімальною. В цьому і полягає метод найменших квадратів: невідомі параметри та визначаються таким чином, щоб мінімізувати значення суми квадратів помилок . Мінімум функції (6.10) досягається за умови, коли перші похідні дорівнюють нулеві, тобто підставивши в вираз (6.10) замість та взявши частинні похідні за параметрами , одержимо систему нормальних рівнянь

, (6.11)

звідки:

; (6.12)

Параметри мають наступну економічну інтерпретацію або зміст: параметр характеризує деяке середнє значення результативного показника, а параметр показує, як в середньому зміниться при зміні на одну одиницю.

Для обчислення параметрів моделі можна використати інші формули, які в деяких випадках є більш зручними:

(6.13)

де

. (6.14)

Приклад. Нехай залежність денного виробітку робітника від рівня механізації праці описується рівнянням регресії

В цьому рівнянні параметр являється середнім денним виробітком при виконанні операції вручну, а - перевищення середнього виробітку при механізованому виконанні операції. А тому параметрпоказує, що при підвищенні рівня механізації на 1% денний виробіток зростає в середньому на 0,051 одиниць.



5. Характеристики лінійної регресійної моделі.

5.1 Характеристики варіації регресійної залежності

При виявленні зв'язку між варіацією факторної ознаки (х) і варіацією результативної ознаки (у) використовують наступні види дисперсії:

1) дисперсія, яка вимірює загальну варіацію за рахунок дії всіх факторів, або загальна дисперсія:

(6.15)

2) дисперсія, яка вимірює варіацію результативної ознаки за рахунок дії факторної ознаки x, або дисперсія, що пояснює регресію:

(6.16)

3) залишкова дисперсія, яка характеризує варіацію ознаки за рахунок всіх факторів, крім (тобто при виключенні), або дисперсія помилок:

(6.17)

Тоді за правилом додавання дисперсій:

(6.18)

(6.19)

де -- загальна сума квадратів відхилень емпіричних значень результуючого показника від його середньоготзначення , яка позначається через SST;

-- сума квадратів помилок (відхилень емпіричних значень від модельних), яка позначається через SSE;

-- сума квадратів відхилень, що пояснює регресію та позначається через SSR

Вираз (6.19) запишемо у скороченому вигляді:

SST=SSE+SSR (6.20)

Таким чином, ми розклали загальну дисперсію на дві частини: дисперсію, що пояснює регресію, та дисперсію помилок (або дисперсію випадкової величини).

Поділивши обидві частини виразу (6.18) на , отримаємо:

(6.21)

Із виразу (6.21) виплаває, що перша частина є питомою вагою помилок у загальній дисперсії, тобто часткою дисперсії, яку не можна пояснити через регресійний зв'язок. Друга частина є складовою дисперсії, яку можна пояснити через лінію регресійної.

Частина дисперсії, що пояснює регресію, називається коефіцієнтом детермінації і позначається . Коефіцієнт детермінації використовується як критерій адекватності моделі, бо є мірою пояснювальної сили незалежності змінної х.

Таким чином, коефіцієнт детермінації:

(6.22)

(6.23)

Із виразу (6.21) випливає, що коефіцієнт детермінації завжди додатній і знаходиться у межах .

Між коефіцієнтом кореляції і нахилом та середнім квадратичним відхиленням існує певний зв'язок. Це дає можливість розрахувати параметри вибіркового рівняння регресії через ці величини.

Оскільки

(6.24)

(6.25)

то можна записати вираз для коефіцієнта кореляції:



(6.26)

Запишемо формули для розрахунку параметрів економетричної моделі:

(6.27)

(6.28)

Необхідно відмітити, що при лінійній формі зв'язку коефіцієнт кореляції є оцінкою точності апроксимації тобто адекватності моделі і дорівнює кореляційному відношенні . Після побудови моделі обчислюється також середня відносна похибка апроксимації, %:

(6.29)

Середня похибка апроксимації показує в процентах середнє для всіх значень результативного показника відхилення розрахункових значень. Модель можна вважати адекватною, якщо середня похибка апроксимації буде знаходитись у межах 12-15%.

5.2 Передумови застосування метода найменших квадратів

Запишемо вибіркову економетричну модель у матричній формі



(6.30)

де -- вектор значень залежної змінної;

-- матриця незалежних змінних розміром (--число спостережень, -- кількість незалежних змінних);

-- вектор оцінок параметрів моделі;

-- вектор залишків (похибок).

Щоб застосувати однокроковий метод найменших квадратів (1 МНК) для оцінок параметрів моделі, необхідно використання таких умов:

1) математичне сподівання залишків дорівнює нулю, тобто

(6.31)

а залишки мають нормальний розподіл

2) значення вектора залишків незалежні між собою і мають постійну (хоча й невідому) дисперсію:

(6.32)

де E -- одинична матриця,

3) незалежні змінні моделі непов'язані із залишками;

(6.33)

4) незалежні змінні моделі утворюють лінійно незалежну систему векторів, або, іншими словами, незалежні змінні не повинні бути мультиколінеарними, тобто :



, (6.34)

де -- к-й вектор матриці, пояснювальних змінних; -- j-й вектор цієї матриці пояснювальних змінних ,

Перша умова є очевидною. Адже коли математичне сподівання залишків не дорівнює нулю, то це означає, що існує систематичний вплив на залежну змінну, а до модельної специфікації не введено всіх основних незалежних змінних. Якщо ця умова не виконується, то має місце помилка специфікації.

Коли економетрична модель має вільний член, то майже завжди за рахунок його значення можна скоригувати рівняння так, щоб математичне сподівання залишків дорівнювало нулю. Отже, для таких моделей перша умова практично виконується завжди.

Друга умова передбачає наявність сталої дисперсії залишків. Цю властивість називають гомоскедастичністю. Проте вона може використовуватись лише тоді, коли залишки є помилками вимірювання. Якщо залишки акумулюють загальний вплив змінних, які не враховані в моделі, то дисперсія залишків не може бути сталою величиною, вона змінюється для окремих груп спостережень. У цьому випадку має місце явище гетероскедастичності, яке впливає на методи оцінювання параметрів.

Третя умова передбачає незалежність між залишками та пояснювальними змінними , яка порушується насамперед тоді, коли економетрична модель будується на базі одночасових структурних рівнянь або має лагові змінні. Тоді для оцінювання параметрів моделі використовується, як правило, дво- або триковий метод найменших квадратів.

Четверта умова означає, що всі пояснювальні змінні , які входять до економетричної моделі, мають бути незалежними між собою. Проте очевидно, що в економіці дуже важко сформувати такий масив незалежних пояснювальних змінних, які були б зовсім не пов'язані між собою. Тоді що разу необхідно з'ясувати, чи не впливатиме залежність пояснювальних змінних на оцінку параметрів моделі.

Це явище називаються мультиколінеарністю змінних. Воно призводить до ненадійності оцінки параметрів моделі, робить їх чутливими до вибраної специфікації моделі та до конкретного вибору даних. Знижується рівень довіру до результатів верифікації моделей з допомогою однокрокового методу найменших квадратів. Отже, це явище з усіх точок зору є дуже небажаним. Але воно досить поширене. Існують методи для виявлення мультиколінеарності і способи її врахування з допомогою специфікації моделі чи спеціальних методів оцінювання параметрів (методу Ейткена).

5.3 Специфікація моделі

Специфікація моделі -- це аналітична форма економетричної моделі. Специфікація моделі може здійснюватись при допомозі різних видів функцій які можуть бути застосовані для вивчення взаємозв`язків.

При цьому в процесі такого дослідження можна кілька разів повертатись до етапу специфікації моделі, уточнюючи перелік незалежних змінних та вид функції, що застосовується

Специфікація моделі передбачає також добір факторів (чинників) для економічного дослідження. Адже коли вид функції та її складові на відповідають реальним залежностям, та йдеться про помилки специфікації.

Помилки специфікації моделі можуть бути трьох видів:

а) ігнорування істотної пояснюючої змінної при побудові економетричної моделі;

б) введення до моделі незалежної змінної яка не стосується вимірюваного зв'язку;

в) використання не відповідних математичних форм залежності.

Перша з цих помилок призводить до зміщення оцінок, причому зміщення буде тим більшим, чим більша кореляція між введеними та не введеними до моделі змінними, а напрям залежить від знака оцінок параметрів при введених змінних і від характеру кореляції між введеними та не введеними змінними. Оцінки параметрів також будуть зміщеними (у такому разі вони вищі), тому застосування способів перевірки їх значимості може спричинитися до хибних висновків значень параметрів генеральної сукупності.

Друга помилка специфікації проявляється в наступному. Якщо до моделі вводиться змінна, яка неістотно впливає на залежну змінну, то на відміну від першої помилки специфікації оцінки параметрів моделі будуть незміщеними. Причому за допомогою звичайних процедур можна дістати також незміщенні оцінки дисперсій цих параметрів. Але це не означає, що економетричну модель можна беззастережно розширювати за рахунок «неістотних» змінних. По-перше, існує ненульова ймовірність того, що в результаті використання вибіркових даних змінна, яка зовсім не стосується моделі, покаже істотний зв'язок із залежною змінною. А це означає, що кількісний зв'язок між змінними буде виміряний неправильно.

Третя помилка специфікації проявляється в тому, що побудова моделі базується на припущенні, що залежна змінна є лінійною функцією від деякої пояснювальної змінної. Тоді як насправді тут краще підійшла б квадратична, кубічна чи якась поліномінальна залежність вищого порядку. У цьому разі наслідки такі самі, як і при першій помилці, тобто оцінки параметрів моделі матимуть зміщення.

Питання про вибір найкращої форми залежності має базуватись на перевірці ступеня узгодженості виду функції з вихідними даними спостережень.

Адекватність побудованої моделі можна встановити, аналізуючи залишки моделі. Вони обчислюються як різниці між фактичними значеннями залежної змінної і обчисленими за моделлю. Щоб перевірити, чи має розподіл залишків невипадковий характер, можна скористуватись критерієм Дарбіна-Уотсона. Тоді перевірка моделі на існування автокореляції першого порядку аналогічна перевірці того, наскільки вдало вибрано форму економетричної моделі.

5.4 Якість оцінок параметрів економетричних моделей

Економетрична модель вважається побудованою, якщо визначені її параметри. Таким чином, обчислені значення a₀, a₁, … , a_n можна розглядати як оцінки істинних значень параметрів моделі ?₀, ?₁, ... , ?_n , залежних загальному випадку від вихідних даних і застосованого методу оцінювання. Ці оцінки є випадковими величинами. Їх випадковий характер можна інтерпретувати наступним чином. Значення побудованої залежності Y = f(X) , одержані при відомому наборі значень a₀, a₁, … , a_n можна розглядати як оцінки, що наближають емпіричні значення y_i . Якість цього наближення , а отже і якість оцінок a₀, a₁, … , a_n повинна узгоджуватись з властивостями випадкової помилки e_i = y_i - y_i. Таким чином, кожній вибірковій послідовності помилок e_i ставиться у відповідність “свій” набір параметрів, і навпаки. Це і дозволяє говорити про кожний з таких наборів як про вибірку з деякої множини наборів оцінок параметрів ?₀, ?₁, ... , ?_n , який відповідає певному методу оцінювання. Одержану будь-яким способом оцінку a_iпараметра ?_i можна розглядати як вибіркову випадкову величину, що являє собою суму істинного значення і помилки:

a_i= a_i + Da_i. (1.18)



Теорія статистичного оцінювання визначає якість оцінок за властивостями незміщеності, ефективності, асимптотичної незміщеності, асимптотичної ефективності, змістовності.

Оцінка параметра називається незміщеною, якщо істинне значення параметра рівне математичному сподіванню оцінки:

M[a_i] = a_i . (1.19)

Іншими словами, математичне сподівання помилки оцінки рівне 0.

M[Da_i] = 0. (1.20)

Оцінка називається ефективною, якщо вона характеризується найменшою дисперсією серед інших аналогічних оцінок, одержаних іншими методами.

Часто властивість незміщеності виконується лише при достатньо великих об'ємах вибірки. В таких випадках говорять про асимптотичну незміщеність. Іноді її виражають у ймовірносно му вигляді:

, (1.21)

де P{*} означає імовірність події, обмеженої дужками. Вираз (1.21) означає, що границя по імовірності від послідовності a_i^mдорівнює ?_i . Оцінки. Що мають таку властивість, називаються змістовними. Вираз (1.21) в літературі часто записується ще таким чином:

(1.22)



Наявність асимптотичних властивостей в оцінок параметрів свідчить про їх більш високу якість порівняно з альтернативними варіантами оцінок, які такими властивостями не володіють. Можна припустити, що збільшення об'єму вибірки призведе до зменшення похибки оцінки параметрів. Однак це буде істинним лише в тому випадку, коли вибірка не втрачає своєї однорідності, тобто, закономірності у збільшеній вибірці відповідають закономірностям початкової.

Таким чином, різні методи визначення параметрів економетричних моделей можуть призводити до оцінок , що відрізняються за своїми кількісними характеристиками. При цьому погіршення властивостей оцінки іноді обумовлюється тим, що вихідні пере досилки застосування того чи іншого методу не відповідають властивостям досліджуваного процесу.



6. Побудова нелінійної регресійної моделі

6.1 Нелінійна парна кореляція і регресія

Зв'язки між економічними явищами часто бувають нелінійними. Наприклад, зв'язок між собівартістю 1ц зерна і врожайністю має вид гіперболи, зв'язок між фондовіддачею на 1 тис. грн. основних фондів і коефіцієнтом використання виробничих потужностей являє собою параболу, зв'язок між витратами на харчування (в перерахунку на одну споживчу одиницю) і кількістю дітей в сім'ї виражається степеневим рівнянням. Обчислити параметри такої моделі за формулами, аналогічними наведеним у попередній темі, досить складно. Тому таку модель досить часто зводять до лінійної моделі, обчислення параметрів якої нам відоме. Цей процес називається лінеаризацією. А потім шляхом зворотної заміни переходять до вихідних параметрів. Наприклад, степеневу функцію виду можна привести до лінійного виду шляхом логарифмування лівої і правої частини рівняння:

(7.1)

Зробивши заміну нелінійних величин на лінійні , отримаємо лінійну модель:

(7.2)

Після знаходження параметрів моделі (7.2) можна записати вихідні параметри. В даному випадку параметр a₁ залишається тим же, а параметр a₀ обчислюється за формулою

a₀ =exp(a₁)

Лінійна залежність між змінними та є частинним випадком більш загальної форми зв'язку - нелінійної.

Вважатимемо, що в загальному випадку в результаті лінеаризації модель буде мати вигляд

(7.3)

Тоді заміна змінних та обчислення параметрів вихідної моделі за параметрами лінеаризованої моделі буде мати наступний вигляд (таблиця 7.1)

Таблиця 7.1

Залежність	Заміна змінних	Обчислення параметрів
гіпербола:
напівлогарифмічна функція:
логарифмічна функція:
парабола:,
парабола:
показникова функція:
степенева функція:

У випадку нелінійної залежності між економічними явищами, лінійний коефіцієнт парної кореляції втрачає фізичний зміст. Для оцінки тісноти криволінійного кореляційного зв'язку використовують так зване кореляційне відношення, яке обчислюється за формулою:

(7.4)

Цей показник має теж значення, що і коефіцієнт кореляції, але тільки для криволінійної форми зв'язку між змінними . Інколи доцільно для оцінки тісноти зв'язку між змінними замість кореляційного відношення розраховувати лінеаризований коефіцієнт кореляції, величина якого дорівнює кореляційному відношенні.

Величина кореляційного відношення знаходиться в межах . У випадку функціонального зв'язку . Якщо кореляційний зв'язок відсутній, то . Однак, значення не свідчить про відсутність причинної залежності між економічними явищами.

Теоретично показники і рівноправні, але лише у випадку лінійної залежності. В цьому випадку

У всіх інших випадках, тобто при нелінійній залежності , а коефіцієнт кореляції по абсолютній величині менший за найменшого із цих двох кореляційних відношень.

В практичній роботі економіста звичайно цікавить тільки одне із кореляційних відношень, а саме кореляційне відношення між фактором, прийнятим за функцію, і фактором, прийнятим за аргумент.

На співвідношеннях між і можливо побудувати критерій криволінійності зв'язку між змінними у і х. Спрощена формула такого ряду критерію має наступний вид:

...