Экономико-математические методы в управлении портфелем акций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Санкт-Петербургский государственный университет

Выпускная квалификационная работа

Экономико-математические методы в управлении портфелем акций

Викулин Антон Владимирович

Санкт-Петербург 2018

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы модели оценки финансовых активов

1.1 Основные предпосылки модели CAPM

1.2 Теорема разделения

1.3 Рыночный портфель

1.4 Линия рынка капитала (CML)

1.5 Линия рынка ценных бумаг (SML)

1.6 Рыночная модель

1.7 Критика модели CAPM

Глава 2. Теория арбитражного ценообразования

2.1 Основные предпосылки АРТ

2.2 Основы АРТ и арбитражный портфель

2.3 Эффекты ценообразования и основное уравнение АРТ

2.4 Объединение моделей APT и CAPM

2.5 Выявление факторов в АРТ

Глава 3. Экспериментальные расчёты

3.1 Обоснование параметров модели CAPM

3.2 Оценка параметров основного уравнения АРТ

Заключение

Список использованных источников

Приложения

Введение

В наше время, в условиях рыночной экономики, особую остроту приобретает тема развития рынка капитала, ведь он является эффективным регулятором многих процессов в экономике. Формирование рынка капитала оказывает огромное влияние на осуществление инвестиционной деятельности различных собственников капитала. Наряду с этим происходит популяризация фондового рынка, всё больше людей интересуются данной область инвестирования. Инвесторы, вкладывая свои денежные ресурсы в ценные бумаги ожидают получения дохода. Но, как и любая другая сфера, деятельность на фондовом рынке сопряжена с определёнными рисками. Собственник капитала, вкладывающий свои средства в ценные бумаги принимает ту или иную часть риска. Поэтому в основе принятия решения об инвестировании лежит соизмерение риска и доходности. При желании получить высокую доходность, инвестор вкладывает свои средства в более рисковые ценные бумаги, например, в акции. Следовательно, у инвесторов возникают определённые вопросы, связанные с уровнем ожидаемой доходности и степенью риска, при формировании инвестиционного портфеля. "Какие ценные бумаги следует включать в свой портфель? Как оценить риск своего портфеля? Какие акции принесут большую ожидаемую доходность? Какие факторы могут повлиять на ожидаемую доходность той или иной акции?" Ответы на данные и многие другие вопросы, а также ряд оценок инвесторов могли бы помочь сформировать оптимальный портфель или набор портфелей, а вместе с этим выбрать определенную стратегию инвестирования.

Одной из наиболее известных и распространенных моделей оценки риска и прогнозирования доходности акций является модель ценообразования на финансовые активы (англ. Capital asset pricing model - CAPM), имеющая существенную теоретическую базу. Если рассматривать теоретическую составляющую, то данная модель стала отправной точкой в развитии современной теории рынка капитала. Модель ценообразования на финансовые активы была разработана в конце 50-х - начале 60-х годов рядом выдающихся американских экономистов. Среди них можно отметить Джеймса Тобина Tobin J. Liquidity preference as behavior towards risk // Review of Economic Studies. 1958. №6. Vol.25. P.65-86, он сформулировал ряд важных теоретических положений этой модели. Также существенный вклад в развитие модели CAPM внесли Джон Линтнер Lintner J. The Valuation of risk asset and the selection of risky investments in the stock portfolios and capital budgets // Review of economics and Statistics. 1965.P.13-37. и Жан Моссин Mossin J. Equilibrium in a Capital Asset Market // Econometrica.1996. Vol.34.P.768-783., они сформулировали теоретические основы этой модели. Практическое использование результатов и выводов данной модели предоставил Уильям Шарп Sharpe W.F. Capital Asset Pricing: A Theory of Equilibrium under Conditions of Risk// Journal of Finance. 1964. Vol.19. P. 425-442., которые позволяют прогнозировать как ожидаемую доходность и риск вложения в акции, так и соответствующие параметры в целом по инвестиционному портфелю.

Важно отметить, что модель ценообразования на финансовые активы опирается на то, что рынок капитала находится в состоянии равновесия, поэтому она носит теоретический характер и не соответствует реалиям фондового рынка. В основе данной модели лежит ряд предпосылок, которые помогают облегчить понимание в её построении и позволяют сконцентрироваться на наиболее важных элементах данной теории и полученных результатов данной модели.

Альтернативной моделью ценообразования является арбитражная теория ценообразования (англ. Arbitrage pricing theory - APT), которая была разработана Стефаном Россом Ross S.A. The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing / / Journal of Economic Theory. 1976. P.343-362.. Данная модель в отличие от модели CAPM основана на меньшем количестве предпосылок, но в то же время она опирается также на рынок капитала, находящийся в состоянии равновесия. Арбитражная теория ценообразования предполагает под собой, что доходность отдельный ценных бумаг, а также доходность фондового рынка в целом зависит от определённого множества факторов. Также важную роль в модели АРТ играют арбитражные портфели, составление которых будет рассмотрено в данной работе.

Несмотря на то, что обе эти концепции в качестве одной из исходных предпосылок используют условия совершенного рынка, практические рекомендации, вытекающие из моделей CAPM и АРТ просты, и для их осуществления необходимы определённые данные, которые будут представлены в расчётной части данной работы. К тому же, практические выводы данных моделей послужили стимулом для развития эмпирических исследований рынка капитала. финансовый ценообразование капитал

Целью данной работы является изучение равновесных концепций рынка капитала, а также исследование возможности практической реализации выводов и рекомендаций, вытекающих из моделей CAPM и АРТ.

Исходя из поставленной цели, можно сформулировать следующие задачи настоящей работы:

1.) Изучить основные предпосылки моделей ценообразования на финансовые активы и теории арбитражного ценообразования;

2.) Проанализировать теоретическую составляющую и математически доказать основные выводы данных моделей;

3.) Выполнить экспериментальные расчеты, которые базируется как на практических выводах и рекомендациях модели CAPM, так и APT.

Выпускная квалификационная работа представлена в трёх главах. Первая глава раскрывает основную сущность равновесной модели ценообразования на финансовые активы (CAPM). Во второй главе представлена теория арбитражного ценообразования (АРТ). В третьей главе приведены результаты экспериментальных расчётов с использованием практических выводов и рекомендаций данных моделей.

Глава 1. Теоретические основы модели оценки финансовых активов

1.1 Основные предпосылки модели CAPM

Реальный мир достаточно сложен, чтобы понять его и построить модели того, как он работает. Необходимо учесть те факторы, которые оказывают влияние на его поведение. Такая же ситуация возникает и в том случае, когда экономист создает модели, объясняющие формирование цен финансовых активов. Для этого требуется ряд упрощений, которые позволяют абстрагироваться от всей сложности ситуации и рассматривать только наиболее важные её элементы. Именно эти предположения помогают облегчить понимание в построении определённой модели и предсказании моделируемого процесса.

Рассмотрим ряд предпосылок, который положен в основу модели ценообразования на финансовые активы.

Первое допущение, которое мы делаем, заключается в отсутствии транзакционных издержек и налогов.

Второе предположение состоит в том, что все активы произвольно делимы и абсолютно ликвидны. Это означает, что инвесторы могут в любом объёме купить или продать активы на рынке.

Третье, кроме вложения в рисковые активы, инвесторы могут инвестировать в безрисковые активы.

Четвёртое, любой инвестор имеет возможность получить кредит, а также вложить свой капитал под единую безрисковую ставку процента, к тому же отсутствуют ограничения на "короткую продажу" любых финансовых активов.

Пятое, инвесторы оценивают инвестиционные портфели, основываясь на ожидаемых доходностях и их стандартных отклонениях, тем самым максимизирую функцию рискового предпочтения за период планирования, являющийся для всех участников рынка одинаковым.

Шестое, участники рынка имеют однородные ожидания, т.е. они одинаково оценивают ожидаемые доходности, среднеквадратичные отклонения (дисперсии) и ковариации доходностей ценных бумаг.

Седьмое, информация свободная и доступная, т.е. при желании она незамедлительно поступает ко всем инвесторам.

Восьмое, все инвесторы не склонны к риску. Если перед инвестором возникнет вопрос о выборе портфелей, то он предпочтёт тот, который, при прочих равных условиях имеет меньшее стандартное отклонение.

Девятое, функции рискового предпочтения являются квадратичными по риску для каждого инвестора и различны только в коэффициенте несклонности к риску.

Десятое, предположение гласит, что задано общее количество рассматриваемых рисковых активов.

Рассмотрев ряд предпосылок, можно увидеть причину предупреждения, о котором речь шла ранее. Ясно, что данные предположения не выполняются в реальном мире, но они существенно облегчают понимание построения модели. Также это позволяет сконцентрироваться на рассмотрении того, что произойдёт с курсами ценных бумаг, если все инвесторы будут поступать одинаковым образом. При анализе коллективного поведения всех участников рынка капитала, можно определить характер равновесной зависимости между риском и доходностью каждой ценной бумаги, что и будет рассмотрено в нашей работе.

Для обоснования основных теоретических выводов модели оценки финансовых активов существует два подхода. Первый подход, о котором речь пойдёт дальше в данной работе, предполагает выбор оптимального портфеля с возможностью безрискового вложения капитала инвестора и получение кредита под единую ставку процента (одну и ту же). В данном подходе рассматривается задача об оптимальном распределении капитала инвестора между рисковыми и безрисковыми активами, учитывая максимизацию квадратичной функции рискового предпочтения, которая задаётся на ожидаемом уровне доходности и риске Воронцовский А.В. Современные теории рынка капитала: учебник:/А.В. Воронцовский. - Москва.: Экономика, 2010. -719 с..

Второй подход основывается на двухпериодной модели, предполагающая распределение капитала инвестора на накопляемую часть и потребляемую. Как и в первом подходе, формулируется задача, которая состоит в том, что необходимо найти определённый план потребления в каждый из двух рассматриваемых периодов. При этом учитывается распределение средств инвестора в начальный период на потребляемую часть и инвестируемую в рисковые, а также безрисковые финансовые активы. Конечная цель это максимизация функции рисковой полезности инвестора.

Как и было упомянуто ранее, в последующих пунктах данной работы нами будет сформулирована и рассмотренная задача, основанная на первом подходе обоснования модели CAPM.

1.2 Теорема разделения

В данном пункте нами будет рассмотрена задача, которая предполагает под собой нахождение оптимального объёма вложений в каждый вид рисковых активов. Данный объём вложений должен приносить инвестору гарантированный процентный доход, для того чтобы обеспечить максимизацию функции рискового предпочтения.

Зададим условные обозначения для расчётных параметров. Пусть на фондовом рынке совершаются определенные операции и имеется видов рисковых активов. Тогда будущую доходность рискового актива i-го вида обозначим величиной ; объём вложений l-го инвестора в активы i-го вида; объём капитала, который инвестор затрачивает на покупку данных активов; капитал l-го инвестора в конце периода; коэффициент несклонности к риску l-го инвестора; ожидаемая доходность актива i-го вида; дисперсия доходности актива i-го вида; ковариация доходности, при j = 1,2,…,n, ; матрица ковариации, диагональ которой состоит из дисперсии доходности каждого рискового актива.

Представим полученный доход портфеля l-го инвестора следующей формулой:

		(1.1)

где безрисковая ставка процента. Данная формула учитывает распределение капитала инвестора между рисковыми и безрисковыми активами.

Опираясь на вышепредставленную формулу можно показать, что ожидаемый доход портфеля l-го инвестора, состоящего из видов рисковых активов и одного безрискового актива равен

		(1.2)

Для дальнейшего удобства запишем данное выражение в векторно-матричной форме

		(1.3)

где вектор вложений l-го инвестора в активы i-го вида;

Перейдём к определению риска портфеля l-го инвестора. Так как безрисковые вложения мы можем рассматривать как вложения с нулевым риском, то дисперсия таких активов будет равняться нулю. Отсюда риск портфеля, состоящего из рисковых активов, определяется по формуле:

		(1.4)

Тогда используя выражения (1.3) и (1.4), запишем функцию рискового предпочтения l-го инвестора в следующей форме:

		(1.5)

Отсюда, чтобы определить оптимальный объём вложений в рисковые активы для каждого инвестора для начала воспользуемся необходимыми условиями экстремума функции (1.5) и приравняем к нулю её первые производные.

		(1.6)

Преобразовываем выражение (1.6) в векторно-матричную форму и получаем:

		(1.7)

Из данной формулы выражаем оптимальный объём вложений в рисковые активы l-го инвестора и получается следующее:

		(1.8)

Важно заметить, что в данном выражении согласно предпосылке об однородных ожиданиях инвесторов, все кроме одной характеристики рынка капитала одинаковые. Речь идёт о коэффициенте несклонности к риску . Данный коэффициент является индивидуальным для каждого инвестора.

Теперь покажем, как соотносятся оптимальные объёмы вложений в рисковые активы l-го и k-го инвесторов. Будем опираться на формулу (1.8), тогда оптимальные объёмы вложений k-го инвестора определяются по формуле:

		(1.9)

Отсюда, мы можем увидеть, что оптимальные объёмы инвестиций l-го и k-го инвесторов на рынке капитала пропорциональны:

	,	(1.10)

или можем записать это в виде Соотношение (1.10) выполняется и для каждого отдельного вида актива, то есть

		(1.11)

Из полученного равенства мы можем показать, что оптимальный объём вложений для всех инвесторов будет одинаковым, и не зависящем от коэффициента несклонности к риску:

		(1.12)

данное равенство выполняется, так как из соотношения (1.11.) следует, что оптимальные объёмы вложений l-го и k-го инвесторов в активы каждого отдельного вида пропорциональны.

Перейдём к рассмотрению структуры рисковой части портфелей инвесторов. Пусть доля вложений l-го инвестора в рисковые активы i-го вида в общей стоимости портфеля, тогда структура портфеля l-го инвестора. Отсюда мы можем представить следующим образом:

		(1.13)

где,

Соотнесём данное выражение с оптимальным объёмом вложений каждого инвестора (1.11) и получим

		(1.14)

где ; k = 1,2,…,n; l = 1,2,…,L. Данное равенство говорит нам о том, что оптимальная структура рисковой части портфеля каждого инвестора одинакова. Если возникнет такая ситуация, что оптимальный объём вложений в рисковые активы будет больше объём капитала, который инвестор затрачивает на покупку данных активов или вовсе наоборот, то есть

то в данном случае необходимо вспомнить о четвертой предпосылке модели CAPM, в соответствии с которой любой инвестор имеет возможность получить кредит, а также вложить свой капитал под единую безрисковую ставку процента .

Из всего вышеперечисленного сформулируем теорему разделения. Она гласит, что оптимальная комбинация (структура) рисковых активов одинакова для всех инвесторов и не зависит от его предпочтений относительно риска и объёма капитала, который инвестор затрачивает на покупку данных активовШарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции: Пер.с англ. М.: ИНФРА-М, 2004.-1028 с.. Если учесть все наши предыдущие выкладки, мы можем заметить, что они работают только в условиях равновесия на рынке капитала. Именно поэтому модель CAPM является равновесной моделью.

Мы оценили оптимальный объём вложения в рисковые активы l-го и k-го инвесторов, показали, что их инвестиции являются пропорциональными в условиях равновесия. Для рассмотрения следующего пункта нашей работы, необходимо оценить уже оптимальный объём вложений всех инвесторов в рисковые активы некоторой й фирмы

		(1.15)

где оптимальный объём капитала, который l-й инвестор вкладывает в акции й фирмы.

Так как мы показали, что в условиях равновесного рынка оптимальный объём вложения и структура рисковой части портфеля всех инвесторов являются одинаковыми, то для простоты мы можем преобразовать выражение (1.15) касательно к портфелю одного инвестора. Отсюда с учётом формулы (1.11) получим:

		(1.16)

где оптимальный объём капитала, который какой-то один инвестор вкладывает в акции й фирмы; коэффициент несклонности к риску данного инвестора, который определяется в зависимости от коэффициентов несклонности к риску всех инвесторов. Данный коэффициент равен следующему выражению:

		(1.17)

1.3 Рыночный портфель

В данном пункте мы покажем, что в условиях равновесия вложения каждого инвестора в рисковые ценные бумаги зависят от рыночных параметров. Для этого рассмотрим такое понятие как рыночный портфель и его составляющие.

Для того чтобы оценить инвестиционный портфель какого-либо одного инвестора, стоит взглянуть на общую "картину", то есть имеет смысл рассмотреть структуру формирования рисковых активов, складывающихся на рынке в целом. Портфель, состоящий из всех ценных бумаг на рынке капитала называется рыночным портфелем. Параметры рыночного портфеля определяют по общему объёму вложений всех инвесторов во все виды рисковых активов, реализующихся на рынке Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг: учебник:/ А.Н. Буренин.-М.: Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2008.-440 с..

Будем рассматривать данное понятие исходя из предпосылок и выкладок, сделанных ранее. Представим, что существует некий фиктивный собственник огромного капитала с коэффициентом несклонности к риску равным . Он осуществляет вложения в объёме . Данный объём вложений представляет собой следующее выражение:

		(1.18)

где, объём вложений всех инвесторов на рынке капитала. Коэффициент определяется так , где, коэффициент несклонности к риску l-го инвестора (отмечалось ранее).

Отсюда определим ожидаемый доход рыночного портфеля опираясь на формулу (1.2) и получим

		(1.19)

где ожидаемая доходность активов рыночного портфеля; безрисковая ставка процента; суммарный объём капитала всех инвесторов, который они затрачивают на приобретение активов.

Далее, как и ранее рассчитаем риск рыночного портфеля, выраженный дисперсией его доходности

		(1.20)

где, .

Тогда используя выражения (1.19) и (1.20), запишем функцию рискового предпочтения для фиктивного собственника рыночного портфеля в следующей форме:

		(1.21)

Отсюда, чтобы определить оптимальный объём вложений фиктивного собственника для начала воспользуемся необходимыми условиями экстремума функции (1.21) и приравняем к нулю её первую производную

	.	(1.22)

Из данной формулы выражаем оптимальный объём вложений всех собственников (фиктивного собственника) капитала и получается следующее:

		(1.23)

Отсюда, мы можем сделать вывод, что сумма оптимальных вложений всех инвесторов в финансовые активы представляет собой оптимальный объём вложений по рынку в целом. Следовательно, в условиях равновесия вложения каждого инвестора в рисковые ценные бумаги зависят от рыночных параметров.

1.4 Линия рынка капитала (CML)

Ранее в работе мы уже упоминали о том, что инвестор формирует свой портфель из рисковых активов и безрисковых ценных бумаг. Вспомним, что одной из предпосылок модели CAPM является то, что все инвесторы несклонны к риску, поэтому вкладывать в рисковые активы инвестор будет только в том случае, если они будут увеличивать ожидаемую доходность его портфеля и премия за риск будет положительная где ожидаемая доходность портфеля l-го инвестора. К премии за риск мы вернёмся в нашей работе позже.

Нами было показано, что в состоянии равновесия рынка структура рисковой части портфеля инвестора идентичная структуре рыночного портфеля, и соответственно все инвесторы формируют оптимальный портфель рисковых активов пропорционально структуре рыночного портфеля. Тогда учитывая это, можем написать, что ожидаемая доходность рисковой части портфеля равна ожидаемой доходности рыночного портфеля, и, следовательно, риск данной части инвестиционного портфеля равен риску рыночного портфеля. Тогда ожидаемая доходность портфеля l-го инвестора может быть представлена так

		(1.24)

где, доля безрисковых активов; доля рисковых активов.

В риске портфеля l-го инвестора будут учитывать только рисковые активы, так как дисперсия безрисковых активов равна нулю. Поэтому записываем данное условие так

		(1.25)

отсюда выразим долю безрисковых ценных бумаг следующим образом

		(1.26)

Таким образом после подстановки выражения (1.25) в (1.24) получаем следующую формулу ожидаемой доходности портфеля l-го инвестора

		(1.27)

В теории CAPM данное уравнение известно, как CML (англ. Capital Market Line - Линия рынка капитала), которое определяет связь между риском и доходностью оптимального портфеля l-го инвестора в условиях рыночного равновесия. Покажем данную линую графически (Рисунок 1.1).

На рисунке 1.1. отчётливо видно, что оптимальные портфели инвесторов будут находиться на линии рынка капитала, тем самым комбинируя в себе рисковые и безрисковые ценные бумаги. Сделаем некоторые выводы из уравнения и представленного рисунка.

1.) Как уже отмечалось, уравнение (1.27) в условии равновесия определяет связь между ожидаемой доходностью и риском инвестиционного портфеля l-го инвестора. Тангенс угла наклона CML равен разнице между ожидаемой доходностью рыночного портфеля и безрисковой бумаги, деленной на риск рыночного портфеля, т.е. . Также это отношение называют рыночной ценой риска.

2.) Из рисунка, а также из уравнения можем заметить, что если ожидаемая доходность рыночного портфеля больше безрисковой ставки, то и ожидаемая доходность оптимального портфеля l-го инвестора, будет больше данной ставки.

3.) Так как инвестор формирует свой портфель из рисковых активов и безрисковых ценных бумаг, то при увеличении , увеличивается и ожидаемая доходность портфеля.

4.) Все оптимальные портфели инвесторов и рыночный портфель располагаются на линии рынка капитала CML, которая представляет собой не что иное как эффективную границу портфелей при возможности заимствования и кредитования под единую безрисковую ставку процента.

В заключении вернёмся к такому понятию как премия за риск. К ранее упоминалось, премия за риск - это разница между ожидаемой доходностью портфеля l-го инвестора и безрисковой ставкой процента. Мы исходим из предпосылки, что инвесторы несклонны к риску, поэтому повторяясь можно сделать вывод, что инвестор не будет вкладывать свой капитал при отрицательном значении премии за риск.

CML говорит о соотношении риска и ожидаемой доходности только для оптимального портфеля l-го инвестора, и не отвечает на данный вопрос, применительно к отдельным активам. О подобного рода соотношении риска и ожидаемой доходности будет говориться в следующем пункте данной работы.

1.5 Линия рынка ценных бумаг (SML)

Следующим шагом в понимании теории модели ценообразования на финансовые активы является переход от риска и ожидаемой доходности эффективных портфелей к риску и ожидаемых доходностей отдельных ценных бумаг. Для этого нам необходимо обратить внимание на связь ожидаемой доходности и риска рыночного портфеля с такими же параметрами финансовых активов каждого вида. Пусть случайная величина, характеризующая доходность рыночного портфеля. Тогда рассчитывается она как средневзвешенная доходность всех видов активов, которые составляют рыночный портфель:

		(1.28)

где оптимальный объём вложений всех собственников капитала.

Далее рассмотрим ковариацию доходности рыночного портфеля и актива i-го вида с учётом условия (1.19), после этого произведём некоторые преобразования

		(1.29)

Теперь представим ковариацию следующим образом:

		(1.30)

где коэффициент корреляции . Тогда получим преобразование вида

		(1.31)

В левой части данного выражения можно интерпретировать как оптимальный объём вложений фиктивного собственника рыночного портфеля с коэффициентом несклонности к риску (ранее мы это рассматривали). Заметим, что и эквиваленты.

Применим условие (1.16) к нашему выражению, для того чтобы показать коэффициент несклонности к риску, тогда из (1.31) следует

		(1.32)

отсюда, возвращаясь к предыдущим пунктам, где мы определяли оптимальный объём вложений каждого инвестора в рисковые активы (1.8) и коэффициент несклонности к риску го инвестора (1.17) получаем

		(1.33)

Тогда из всего вышеизложенного, применяя формулы (1.17) и (1.23), имеем

		(1.34)

Исходя из условий (1.31) - (1.34) следует, что

		(1.35)

где ожидаемая доходность активов го вида также будет равняться

		(1.36)

Мы видим, что уравнение (1.36) характеризует линейную зависимость ожидаемой доходности активов го вида от риска вложений в эти активы. Теперь перейдём к рассмотрению риска во вложения данных активов. При инвестировании, каждый собственник капитала несёт определённый риск, который можно разделить на диверсифицируемый (нерыночный, специфический) и недиверсифицируемый (рыночный). Рыночный риск связан с общезначимыми факторами, имеющие макроэкономическую природу, влияющими на все активы. Данный риск нельзя исключить из портфеля инвестора за одним исключением, которое будем рассмотрено во второй главе настоящей работы. Возвращаясь с выражению (1.36), произведение можно определять как рыночный риск, где

риск вложений в акции го вида, выраженный в форме стандартного отклонения;

коэффициент корреляции между доходностью активов го вида и рыночной доходностью.

Так как относится к рыночному риску вложений в рисковые активы го вида, то нерыночный риск можно определять как , поэтому общий риск вложений инвестора мы можем записать как

		(1.37)

Если снова обратимся к формуле (1.36) и из правой части перенесём в левую, то получим дополнительный доход, который инвестор получит сверх того уровня, который может быть получен по безрисковым финансовым операциям, т.е. премию за риск. Получается, что при условии равновесия на рынке капитала премия за риск будет возрастает пропорционально увеличению уровня недиверсифицируемого риска.

Нерыночный или как его ещё называют специфический риск связан с особенностями компании эмитента. В данном случаем невозможно получение премии за диверсифицируемый риск. С нерыночным риском инвесторы борются путём диверсификации своих активов. Теплова Т.В. Инвестиции: учебное пособие:/ Т.В. Теплова.-М.: Юрайт, 2011.-724 с.

При анализе зависимости ожидаемой доходности активов каждого вида от риска и коэффициента корреляции , учитывая соотношения (1.35) и (1.37), перейдём к определению так называемых коэффициентов (коэффициенты "бета" активов го вида). Коэффициент "бета" представляет собой отношение недиверсифицируемого риска актива го вида к риску рыночного портфеля.

		(1.38)

Отсюда следует, что коэффициент "бета" рискового актива во многом зависит от рыночного портфеля. Поскольку коэффициенты "бета" активов го вида определяются по отношению к рыночному портфелю, то "бета" самого рыночного портфеля равна единице, так как ковариация доходности рискового портфеля с самим собой есть его дисперсия Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг: учебник:/ А.Н. Буренин.-М.: Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2008.-440 с., отсюда

		(1.39)

Следовательно, изменение ожидаемой доходности актива по сравнению со среднерыночной можно определять по соотношению значения коэффициента "бета" данного актива и единицы Воронцовский А.В. Современные теории рынка капитала: учебник:/А.В. Воронцовский. - Москва.: Экономика, 2010. -719 с., т.е. данный коэффициент показывает зависимость ожидаемой доходности акции от ожидаемой доходности рыночного портфеля. Также коэффициент "бета" актива говорит о том, насколько его риск больше или меньше риска рыночного портфеля, т.е. в среднем по рынку. Активы с обладают большим риском и большей ожидаемой доходность, чем в среднем по рынку. Если актив имеет , то он является менее рискованным и обладает меньшей ожидаемой доходностью чем рыночный портфель Andre F. Perold. The Capital Asset Pricing Model // Journal of Finance. 2004. Vol.18. P 3-24.. Поэтому при прогнозе роста ожидаемой доходности рыночного портфеля целесообразнее иметь в портфеле акции с коэффициентом "бета" больше единицы, а при прогнозе снижения доходности фондового рынка - акции с коэффициентом "бета" меньше единицы. Таким образом, инвестор может формировать свой портфель в зависимости от коэффициента "бета" каждой бумаги. Зная величину коэффициента "бета" для каждой акции, инвестор может сформировать портфель требуемого уровня риска и доходности. Коэффициент "бета" портфеля го инвестора определяется как средневзвешенное значение коэффициентов "бета" акций, входящих в портфель, где весами являются удельные веса данный акций в портфеле.

		(1.40)

где оптимальная структура портфеля (доля акций го вида в портфеле го инвестора); коэффициент "бета" акций го вида в портфеле го инвестора.

Чем больше значение коэффициента "бета" каждой ценной бумаги го инвестора, тем больше значение этого коэффициента его портфеля, отсюда следует, что выбирая акции с учётом коэффициентом "бета" для разных целей (покупки или продажи), можно регулировать риск портфеля инвестора относительно среднего по рынку.

Вернёмся к уравнению (1.36), его можно переписать в следующей, более известной форме:

		(1.41)

В теории CAPM данное уравнение известно, как SML (англ. Security Market Line - Линия рынка ценных бумаг), которое определяет связь между риском вложений в акции данного вида и их ожидаемой доходностью. В данном случае, как уже упоминалось, риск вложения в акции определяется коэффициентом "бета". Покажем данную линую графически (Рисунок 1.2).



Рисунок 1.2. Линия рынка ценных бумаг Берзон Н.И. Фондовый рынок: учебное пособие для высших учебных заведений экономического профиля:/ Н.И. Берзон. -М.: Вита-Пресс, 1998. -40с.

Сделаем некоторые выводы из уравнения и представленного рисунка 1.2.

1.) Угол наклона линии SML определяется отношением инвесторов к риску, т.е. разностью, характеризующую рыночную премию за риск или премию за риск по акции, для которой коэффициент "бета" равен единице. Если у инвесторов оптимистичные прогнозы на будущее, то наклон линии SML будет менее крутой, так как при хорошей конъюнктуре вкладчики согласны на более низкую премию за риск Andre F. Perold. The Capital Asset Pricing Model // Journal of Finance. 2004. Vol.18. P 3-24.. Обратная ситуация будет происходить, если у инвесторов будут складывать негативные прогнозы на будущее.

2.) Из выражения (1.41) следует, что не только каждая бумага, но и каждый портфель должны находиться на прямой SML, имеющей положительный наклон. Отсюда следует, что эффективные портфели лежат как на линии CML, так и на SML, а неэффективные лежат на SML, но ниже CML Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции: Пер.с англ. М.: ИНФРА-М, 2004.-1028 с..

3.) Линия рынка ценных бумаг зависит от безрисковой ставки процента .

4.) При изменении коэффициента "бета" активов определённого вида, изменяются и их ожидаемые доходности, а, следовательно, и их цены.

В завершении данного параграфа стоит снова сказать, о том что собственники капитала могут формировать стратегию развития своего портфеля с учётом собственных ожиданий доходности рыночного портфеля, а также прогнозируемого коэффициента "бета" акций, входящих в портфель каждого инвестора. Теоретическая часть модели ценообразования на финансовые активы основывается на множестве предпосылок, и как ранее было отмечено имеет смысл только в условиях равновесия рынка капитала.

1.6 Рыночная модель

Все наши следующие выводы будут исходить из того, что изменение риска вложений в акции различных видов происходит одновременно с изменением риска рыночного портфеля, тогда отсюда следует, что используя соотношение фактической доходности акций любого вида и доходности рыночного портфеля, мы можем определить значения коэффициентов "бета" для анализируемых активов. То есть на основе прошлых соотношений мы можем спрогнозировать значения данных коэффициентов. Для определения коэффициента "бета" ценных бумаг всех видов мы можем воспользоваться двумя методами.

Первый метод представляет собой определение эмпирических оценок дисперсии доходности рыночного портфеля и ковариации между доходностями отдельных видов ценных бумаг и рыночного портфеля. Несмещённая оценка выборочной дисперсии доходности рыночного портфеля определяется по формуле:

		(1.42)

В свою очередь несмещённая оценка выборочной ковариации между доходностями акции i-ого вида и рыночного портфеля определяется как

		(1.43)

где N - объём выборки; - фактическая доходность акции i - го вида за период t, i = 1,2, …, I, t = 1,2, …, N; - фактическая доходность рыночного портфеля за период t; - средняя доходность акции i - го вида за период t; средняя доходность рыночного портфеля за период t.

Отсюда можем определить коэффициент "бета" или акций любого вида, которые входят в рыночный портфель соответственно.

		(1.44)

Второй метод нахождения значений коэффициента "бета" основан на том, что ожидаемая доходность акций любого типа линейно зависит от ожидаемой доходности рыночного портфеля. Данная линейная зависимость отражает фактическое соотношение этих показателей.

Ранее нами было выведено уравнение линии рынка ценных бумаг (1.41), отражающее связь между риском вложений в акции i - го вида и ожидаемой их доходностью:

преобразуем данную формулу в следующий вид:

		(1.45)

Как мы можем увидеть, данное уравнение показывает нам линейную зависимость между премиями за риск по акции i - го вида и рыночным портфелем. Отсюда следует, что для определения значения коэффициента "бета" акции i - го вида мы можем воспользоваться линейной регрессионной моделью.

Сформируем следующее регрессионное уравнение:

		(1.46)

где в качестве зависимой переменной выступает премия за риск по акции i - го вида, независимой переменной соответственно является премия за риск по рыночному портфелю; текущая безрисковая ставка процента; свободный член уравнения регрессии; коэффициент "бета" акции i - го вида; член уравнения, известный как случайная погрешность, т.е. независимая случайная переменная уравнения, которая показывает неточность объяснения доходности акции i - го вида в регрессионном уравнении.

Данное уравнение получило название линии характеристик, и используется для определения параметров доходности и коэффициента "бета" Воронцовский А.В. Современные теории рынка капитала: учебник:/А.В. Воронцовский. - Москва.: Экономика, 2010. -719 с..

Как упоминалось ранее одним из основных понятий при формировании и управлении собственным портфелем является рыночный портфель, который в теории определяется как портфель, сочетающий в себе все ценные бумаги, обращающиеся на рынке. Как мы можем увидеть, в реальной жизни невозможно составить такой портфель как он определяется в теории, так как он должен включать в себя все финансовые активы, поэтому на практике используется так называемый индексный портфель. Если в качестве рыночного портфеля мы будем рассматривать фондовый рынок, то для формирования такого портфеля на практике принято использовать различные индексы, характеризующие динамику развития вышеназванного рынка.

Отсюда, с практической точки зрения для определения параметров доходности и риска акций и фондового рынка в целом используется более простая форма уравнения линии характеристик, так называемая рыночная модель Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции: Пер.с англ. М.: ИНФРА-М, 2004.-1028 с.:

		(1.47)

где - фактическая доходность акции i - го вида за период t (зависимая переменная); - фактическая доходность индексного портфеля за период t (объясняющая переменная); случайная ошибка, значение которой мы приводили ранее; оценка свободного члена представленного уравнения (коэффициент "альфа"), характеризующий ожидаемую доходность акции i - го вида при нулевой текущей доходности индексного портфеля; оценка коэффициента при независимой переменной (коэффициент "бета" акции i - го вида).

Конечно необходимо задаться вопросом о взаимосвязи рыночной модели и CAPM. Как мы можем заметить, в обеих моделях присутствует коэффициент "бета" и связан с риском. Однако между двумя данными коэффициентами существуют два различия.

Начнём с того, что рыночная модель является однофакторной моделью, где в качестве фактора выступает индексный портфель, а именно рыночный индекс. И в отличие от CAPM линейная модель рынка не является равновесной модель, кроме того рыночная модель не учитывает безрисковую ставку процента.

Как и было упомянуто выше, рыночная модель использует рыночный индекс, например, такой как, ММВБ, в то время как CAPM - рыночный портфель (отличие индексного портфеля от рыночного мы уже рассматривали ранее). Поэтому концептуально коэффициент "бета" из рыночной модели отличается от коэффициента "бета" из CAPM, что связано в разных подходах к расчётам данных показателей. "Бета" в рыночной модели рассчитывается относительно рыночного индекса, а "бета" в CAPM - относительно рыночного портфеля. В работе уже было сказано, что на практике вместо рыночного портфеля используется индексный, поэтому коэффициент "бета", определенный с помощью рыночного индекса, не смотря на концептуальное различие, используют в качестве оценки коэффициента "бета" в CAPM.

1.7 Критика модели CAPM

При всей простоте и удобстве использования для модели ценообразования на финансовые активы существует ряд ограничений, а также ряд недостатков, что открывает широкие возможности для ее критики. В данном пункте постараемся выделить основные особенности рассматриваемой модели, а также обратить внимание на её несоответствие реальным условиям рынка капитала.

На протяжении всей работы мы акцентировали своё внимание на том, что концепция данной модели предполагает условия равновесия рынка капитала. Эта концепция не рассматривает вопрос о функционировании рынка капитала в условиях неравновесия и как осуществляется переход от состояния неравновесия к условиям равновесия на рынке капитала. Также модель имеет множество предпосылок, большая часть которых не соответствует реалиям.

Еще одним недостатком является выбор рыночного портфеля, который теоретически должен включать все виды активов, обращающиеся на фондовом рынке. И даже если мы будем при практических расчётах применять так называемый индексный портфель, вместо теоретического рыночного, то это существенно будет затрудняет экспериментальные проверки выводов рассматриваемой модели.

Использование на практике индексный портфель, который представляется в форме различных биржевых индексов оказывает еще один отрицательный эффект. Дело в том, что данные портфели могут как принадлежать, так и не принадлежать эффективному множеству портфелей, что разумеется затрудняет однозначную интерпретацию полученных результатов Воронцовский А.В. Современные теории рынка капитала: учебник:/А.В. Воронцовский. - Москва.: Экономика, 2010. -156 с..

К тому же модель CAPM не учитывает все факторы, влияющие на доходность, и тем более не позволяет их анализировать, так как это однофакторная модель и единственным фактором является доходность рыночного портфеля.

Некоторые исследования двух американских экономистов Ю.Фама и К.Френча, посвященные эмпирической проверке модели, показали значительные отклонения между фактическими и расчетными данными. Они изучали зависимость между коэффициентами "бета" и доходностью нескольких тысяч акций по данным за 50 лет, акции с большими значениями коэффициента "бета" имели приблизительно ту же доходность, что и при малых его значениях Fama E.F., French K.R. The cross-section of expected stock returns // Journal of Finance. 1992. Vol.57. № 42. P.427-465..

Продолжая отмечать результаты других американских экономистов, таких как Ю. Бригхем и Л. Гапенски, можно напомнить, что CAPM описывает взаимосвязи именно между ожидаемыми величинами, и поэтому "нет никаких оснований полагать, что фактические данные о доходности активов будут обязательно совпадать с ожидаемыми значениями доходности, с которыми и имеет дело модель. Кроме того, исторические могут как отражать, так и не отражать текущий и ожидаемый риск" Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент. Полный курс: учебник:/ Ю.Бригхем., Л.Гапенски-СПб.: Экономичская школа, 1997..

Вышеперечисленные недостатки модели ценообразования на финансовые активы оказались существенным стимулом к развитию других моделей рынка капитала. На этом теоретическая часть первой главы настоящей работы заканчивается, в следующей главе будет рассмотрена другая модель, а именно арбитражная теория ценообразования.

Глава 2. Теория арбитражного ценообразования

2.1 Основные предпосылки АРТ

В предыдущей главе мы рассмотрели равновесную модель CAPM, которая объясняет, почему различные ценные бумаги обладают разными ожидаемыми доходностями, а в частности, данная модель показывает, что ценные бумаги обладают различными доходностями вследствие различных коэффициентов "бета". В настоящей главе будет представлена другая, альтернативная модель ценообразования, известная как теория арбитражного ценообразования (АРТ). Основы данной модели были сформулированы в 1976 году американским экономистом Стефеном Россом. В отличие от модели ценообразования на финансовые активы, теория арбитражного ценообразования опирается на гораздо меньшее количество предположений. Главным предположением данной теории является то, что каждый инвестор стремится увеличить доходность своего портфеля без увеличения риска.

Перечислим другие предпосылки данной модели:

· Финансовые рынки являются совершенными;

· В условиях рыночного равновесия арбитраж невозможен;

· В условиях равновесия на финансовых рынках доходность отдельных ценных бумаг и фондового рынка в целом описывается линейным многофакторным уравнением, сами эти факторы окончательно определяются в процессе экспериментальных расчётов Воронцовский А.В. Современные теории рынка капитала: учебник:/А.В. Воронцовский. - Москва.: Экономика, 2010. -719 с..

Объяснение об арбитражной теории ценообразования начнём с пояснения понятия арбитраж. Под арбитражем понимается получение безрисковой прибыли за счёт использования разных цен на одинаковые ценные бумаги или иную продукцию, т.е. извлечение дохода чисто за счёт спекулятивных операций. Основная особенность арбитража заключается в том, что реализация такой инвестиционной стратегии позволяет извлекать доход при нулевых чистых инвестициях. На современных рынках ценных бумаг арбитражная деятельность является очень важной составляющей. Так как арбитражные доходы по своему определению являются безрисковыми, то разумеется все инвесторы стараются получать такие доходы при каждом удобном и неудобном случае. Как ранее уже было упомянуто, определяющую роль для наличия арбитражных сделок играют спекулятивные факторы. Поэтому выделение и анализ многофакторных моделей доходности фондового рынка и отдельных рисковых активов имеют смысл только в состоянии рыночного равновесия при отсутствии возможностей арбитража.

Предположение о том, что все финансовые рынки в АРТ являются совершенными, позволяет считать, что каждый собственник капитала может формировать портфель как из рисковых, так и безрисковых активов любой структуры, вследствие произвольной делимости финансовых инструментов и их абсолютной ликвидности, а также возможности осуществления "короткой продажи". Приведём краткий пример совершения классической арбитражной сделки. Допустим г-жа А встречается с г-на В, у которого есть предложение по продаже редкой монеты за 19 тыс.руб. Позже г-жа А встречает г-на С, который готов приобрести такую же монету за 20 тыс.руб. В этой ситуации у г-жи А появляется возможность заработать. Она покупает у г-на В эту монету за 19 тыс.руб. и продаёт её г-ну С, соответственно за 20 тыс.руб. Доход г-жи А составил 1 тыс.руб. Таким образом, она совершила арбитражную сделку.

2.2 Основы АРТ и арбитражный портфель

Арбитражная теория ценообразования основывается на связи доходности ценных бумаг с определённым количеством неизвестных факторов. Представим уравнение регрессии, которое описывает эту связь:

		(2.1)

где, доходность ой ценной бумаги, ; значение го фактора, ;коэффициент чувствительности ой ценной бумаги к фактору ; свободный член уравнения; случайная переменная с нулевым математическим ожиданием и отличной от нуля дисперсией, независимая от рассматриваемых факторов, .

Согласно теории арбитражного ценообразования, инвестор пытается сформировать арбитражный портфель для того чтобы увеличить ожидаемую доходность своего текущего портфеля, соответственно без увеличения риска. Арбитражный портфель в свою очередь определяется несколькими условиями. Во-первых, это портфель, не требующий дополнительных инвестиций. Данное условие можно записать в следующей форме:

		(2.2)

где, доля стоимости ой ценной бумаги в портфеле инвестора (- покупка ценной бумаги, - её продажа).

Во-вторых, арбитражный портфель не чувствителен ни к одному из факторов и соответственно имеет нулевой факторный риск. Так как чувствительность портфеля к фактору является средневзвешенной чувствительностей ценных бумаг, то запишем это условие так:

		(2.3)

В-третьих, предполагается, что при увеличении количества ценных бумаг в таком портфеле влияние случайных переменных на доходность портфеля стремится к нулю, т.е. арбитражный портфель должен иметь нулевой нефакторный риск. А если быть точнее, то теория арбитражного ценообразования предполагает, что этот риск достаточно мал, поэтому им можно пренебречь. Запишем данное условие в следующей форме:

		(2.4)

Учитывая ожидаемое значение случайной переменной в уравнении (2.1) равно нулю и условие (2.4) имеет место быть, то мы можем показать, что ожидаемая доходность по данному портфелю будет равна

		(2.5)

Отсюда, мы можем записать четвертое условие (требование) к арбитражному портфелю. Если полученное выражение (2.5) больше нуля, то значит, что рассматриваемый портфель является арбитражным, т.е. при нулевых инвестициях инвестор получает положительную ожидаемую доходность.

Также стоит заметить, что в условиях рыночного равновесия арбитражные стратегии невозможны и соответственно ожидаемая доходность такого портфеля будет равняться нулю

		(2.6)

Рассмотрим подробный пример построения арбитражного портфеля инвестором. Предположим, что после оценки параметров некоторого однофакторного уравнения в форме

		(2.7)

были установлены следующие данные по акциям трёх видов (табл.2.1).

Таблица 2.1.

Данные по акциям

Акция	Ожидаемая доходность (	Коэффициент чувствительности
Акция 1-го вида	12	0,9
Акция 2-го вида	16	1,4
Акция 3-го вида	21	1,6

Также, мы знаем, что текущая стоимость инвестированного капитала инвестора равна 500 тыс.руб. Для того, чтобы показать возможность построения арбитражного портфеля из вышепредставленных акций, который при нулевых чистых инвестициях обеспечивал бы положительную ожидаемую доходность нам необходимо обозначить структуру данного портфеля так

где доля стоимости акции 1-го вида в данном портфеле; доли стоимости акций 2-го и 3-го вида в данном портфеле соответственно.

Как выше было замечено, доли стоимости акций могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Это означает, что акции данного вида в первом случае следует покупать, а во втором продавать.

Обратимся к ранее представленным выкладкам, а именно (2.2), (2.3), (2.5). Получаем следующее:

		(2.8)

У нас есть три неизвестных и два уравнения. Для того, чтобы найти одну комбинацию мы делаем предположение, что . Отсюда мы получаем два уравнения с двумя неизвестными соответственно и их решением является, что

Определим ожидаемую доходность данного портфеля согласно условию (2.5), используя полученные доли

		(2.9)

в результате получаем, что ожидаемая доходность данного портфеля равна , что больше нуля. Это в свою очередь говорит нам о том, что данный портфель является арбитражным.

В условиях данного арбитражного портфеля предполагается покупка акций 1-го и 3-го видов, и продажа акций 2-го вида. Так как мы знаем, что стоимость инвестированного капитала инвестора равна 500 тыс.руб., то он должен продать акции 2-го вида на сумму

	тыс.руб.

На полученную сумму инвестор купить акции 1-го и 3-го видов, а именно акции - 1 го вида на 50 тыс.руб., соответственно акции 3-го вида на 125 тыс.руб. Данная процедура увеличит ожидаемую доходность портфеля инвестора на 0,85%, при этом риск нового портфеля не увеличится, так как согласно условию (2.4) риск арбитражного портфеля близок к нулю.

Если предположить, что исходный портфель имел структуру

то ожидаемая доходность такого портфеля составит

Коэффициент чувствительности портфеля определяем следующим образом:

Отсюда следует, что, используя арбитражный портфель, мы можем сформировать совершенно новый портфель, который обладает более высокой ожидаемой доходностью, причём риск и уровень чувствительности нового портфеля остаются такими же, к...