Экономико-математические методы в управлении портфелем акций

2.3 Эффекты ценообразования и основное уравнение АРТ

Возвращаясь к полученным результатам в предыдущем пункте настоящей работы, мы можем сказать, что арбитраж позволяет судить о равновесии рынка и о том, насколько быстро рынок может в это состояние вернуться. Так как мы говорим о возможности получения безрискового дохода, то соответственно каждый инвестор будет пытаться его получить, т.е. они будут стремиться к реализации арбитражных стратегий. Тем самым будет меняться спрос и предложение соответствующих ценных бумаг и соответственно рынок будет быстрее приходить в состояние равновесия, а как известно на равновесном рынке возможность извлечения арбитражного дохода отсутствует. Вернёмся к ранее рассмотренным акциям 1-го, 2-го и 3-го видов. Если каждый инвестор будет продавать акции 3-го вида и соответственно покупать акции 1-го и 2-го видов, то это приведёт к тому, что курсовые стоимости последних акций увеличатся вследствие увеличения спроса. В свою очередь из-за этого произойдёт падение ожидаемой доходности акций 1-го и 2-го видов. Обратная ситуация будет наблюдаться с акциями 3-го вида. Увеличение их продажи повлечёт за собой увеличение их ожидаемой доходности. И как выше уже упоминалось, подобная деятельность будет продолжаться до тех пор, пока все арбитражные возможности не будут исчерпаны.

Если выполняются условия (2.3) - (2.6), то можно показать, что ожидаемая доходность по каждому виду рисковых ценных бумаг можно представить в следующем виде:

		(2.10)

Данное уравнение (2.10) является основным уравнением арбитражной теории ценообразования, которое должно выполняться как для каждой рисковой ценной бумаги, так и для безрискового актива. Видно, что это уравнение является линейным и показывает, что доходы генерируются определённым набором факторов. Отметим, что данное уравнение является общим, поэтому для простоты изложения дальнейшего материала представим уравнение (2.10) в однофакторном виде

		(2.11)

Важно заметить, что безрисковый актив не чувствителен к фактору и, следовательно, безрисковая ставка процента по данному активу также не зависит от каких-либо рассматриваемых факторов. Отсюда следует, из уравнения (2.11) мы можем записать, что для любого актива с коэффициентом чувствительности равным нулю (). Тогда для безрискового актива получаем, что , а отсюда следует, что

. Теперь полученное выражение подставляем в уравнение (2.11) и получаем:

		(2.12)

Мы показали как можно интерпретировать константу . Для того чтобы интерпретировать рассмотрим портфель который чувствителен только к одному фактору, т.е. коэффициент чувствительности такого портфеля равен 1,0. Ссылаясь на уравнение (2.12), ожидаемая доходность такого портфеля записывается как

		(2.13)

Уравнение (2.13) также можно записать в следующей форме:

		(2.14)

Учитывая уравнение (2.10), мы можем представить уравнение (2.14) в общем виде

		(2.15)

т.е. рассматриваются портфели, каждый из которых чувствителен только к одному из k факторов и нечувствителен ко всем остальным. Как мы можем заметить представляет собой премию за факторный риск. Подставив правую часть уравнения (2.15) вместо в уравнение (2.10), получим основное уравнение арбитражной теории ценообразования в следующей:

		(2.16)

Из представленного выше уравнения следует, что премия за риск по каждой ценной бумаге в форме превышения ожидаемой доходности по бумаге над безрисковой ставкой процента, источником которого является каждый рассматриваемый фактор в отдельности, определяется премией за риск по портфелю, чувствительному только к данному фактору.

2.4 Объединение моделей APT и CAPM

Ульям Шарп писал, что теория модели CAPM в отличие от АРТ не предполагает того, что доходы генерируются по факторной модели Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции: Пер.с англ. М.: ИНФРА-М, 2004.-1028 с.. Однако важно заметить, что из этого утверждения не следует, что CAPM не согласуется с теорией, в которой доходы генерируются по факторным моделям. Поэтому можно сформировать теорию, по которой доходы генерируются по факторной модели и при этом выполняются все предпосылки моделей АРТ и САРМ. Если доходы формируются по однофакторной модели и этим фактором является рыночный портфель, то соответствует ожидаемой доходности рыночного портфеля, а является коэффициентом "бета" акции го вида по отношению к рыночному портфелю. Данные замены представлены как переход из уравнения (2.17) в уравнение (2.18)

		(2.17)
		(2.18)

Очень важным является вопрос о связи коэффициентов "бета" в модели CAPM и коэффициентов чувствительности в модели АРТ. Соотношение между этими коэффициентами можно представить в следующем общем виде:

		(2.19)

где ковариация между k-м фактором и доходностью рыночного портфеля;

дисперсия рыночного портфеля. Из уравнения (2.19) мы можем сказать, что величина является постоянной, тогда отсюда следует, что коэффициенты "бета" по рисковым активам будут равны константам, умноженным на коэффициенты чувствительности по факторам в модели АРТ. Важно заметить, что данная константа может быть положительной или отрицательной в зависимости от знака ковариации доходности рыночного портфеля и соответствующего фактора.

Теперь рассмотрим, что произойдёт если выражение для из уравнения (2.19) подставить в уравнение (2.17):

		(2.20)

Отсюда, учитывая соотношения (2.15) и (2.16), можно показать, что коэффициенты в уравнении (2.16) можно представить следующим образом:

		(2.21)

Также заметим, что из (2.16) и (2.19) следует, что уравнение линии рынка ценных бумаг (SML), которую мы рассматривали в предыдущей главе, используемое в модели CAPM вида

		(2.22)

где ожидаемая доходность го рискового актива; ожидаемая доходность рыночного портфеля, является частным случаем уравнения (2.16).

Возвращаясь к выражению (2.21) следует сказать, что каждый отдельный фактор, который учитывается в модели АРТ, может содействовать как увеличению, так и уменьшению ожидаемой доходности рассматриваемого актива или портфеля. То есть, если фактор положительно коррелирован с рыночным портфелем, то ожидаемая доходность рискового актива будет положительной функцией чувствительности ценной бумаги к этому фактору. Если же фактор отрицательно коррелирован с рыночным портфелем, то ситуация является обратной.

2.5 Выявление факторов в АРТ

Одним из основных вопросов который остаётся открытым в теории арбитражного ценообразования является выбор и экономический смысл факторов, которые должны учитываться при построении уравнения (2.10). Дело в том, что данные факторы заранее не могут быть определены и устанавливаются только в процессе расчётов. Американские экономисты изучали доходности акций и выявили, что число значимых факторов подобных уравнений обычно составляет от трёх до пяти. После этого они попытались выделить основные факторы, к ним прежде всего относятся:

· Основные макроэкономические показатели (ВВП, темп роста объёма промышленного производства, темп роста доходов населения, уровень инфляции и т.п.);

· Показатели, которые отражают динамику рынка капитала (темпы роста доходности биржевого индекса, разница между долгосрочными и краткосрочными ставками, разница между ставками процента по государственным и корпоративным облигациям и т.п.);

· Прочие экономические показатели.

В своей статье Чен, Р.Ролл и С.Росс отмечают, что для объяснения структуры доходности необходимо по крайней мере три фактора Roll R., Ross S. An Empirical Investigation of the Arbitrage Pricing Theory // Journal of Finance. 1980. P. 1073-1103.. Приведём пример использования определённого набора факторов известной компанией Salomon Brothers, которые она применяла для их фундаментальной факторной модели. К ним относятся:

· Темп роста ВНП;

· Процентная ставка;

· Процент изменения цен на нефть;

· Темп роста расходов на оборону;

· Ожидаемая величина инфляции.

Такие американские экономисты как Ю.Фама и К.Френч, в своей статье для определения месячной доходности выбрали три статистически значимых фактора: рыночный индекс, размер рыночной капитализации, а также соотношение балансовой и рыночной стоимости акций Fama E.F., French K.R. Common Risk Factors in the Returns on Stock and Bonds // Journal of Finance. 1993. Vol.33. № 1. P.3-56..

Таким образом, определение факторов, влияющих на доходность, является индивидуальным выбором каждого инвестора. Собственник капитала при выборе фактора должен исходить из основных макроэкономических и отраслевых показателей и устанавливать их значимость в процессе расчётов.

Глава 3. Экспериментальные расчёты

3.1 Обоснование параметров модели CAPM

В данной главе будут проведены экспериментальные расчёты с использованием практических выводов и рекомендаций моделей CAPM и АРТ. Начнём с практического использования теории CAPM для определения расчётных параметров рисковых активов, которые инвестор учитывает при формирование своего портфеля.

В данной работе мы построим несколько однофакторных моделей, где в качестве объясняющей переменной будем использовать индекс ММВБ (Московская межбанковская валютная биржа). Для проведения экспериментальных расчётов были собраны ряды наблюдений месячных курсов акций и индекса ММВБ на конец каждого месяца за пять лет (с января 2012 года по декабрь 2016). Собранные данные можно увидеть в приложении (таблица 1). Чтобы построить однофакторную модель нам необходимо иметь ряды доходности на индекс ММВБ и доходности вышепредставленных акций, соответственно входящих в индексный портфель. Воспользуемся данными (табл. П 1) и определим доходности на индекс ММВБ и доходности акций всех видов. Доходность будем определять по всем известной формуле:

		(3.1)

где курс акции i - го вида или индекса ММВБ в следующем месяце; курс акции i - го вида или индекса ММВБ в предыдущем месяце;

То есть рассчитывается рыночная (текущая) доходность - при расчёте доходности как акций всех видов, так и доходности индекса ММВБ использовались только их курсовые изменения. Посчитанные доходности можно увидеть в приложении (табл. П 2), также графически они изображены на Рисунок 3.1.

Для определения оценок параметров рыночного уравнения на основе рассчитанных данных воспользуемся методом наименьших квадратов Вербик. М. Путеводитель по современной эконометрике: Пер.с англ. М.: Научная книга, 2008.-616 с. и получим соответственно пять уравнений. Перед тем как были сделаны соответствующие расчёты, мы провели необходимые тесты на стационарность временных рядов, значимость и адекватность моделей, а именно тесты Стьюдента и Фишера, тест на нормальность остатков, тесты на наличие автокорреляции и гетероскедастичности. Подробнее о результатах тестов можно ознакомиться в приложении данной работы. К сожалению, как и ожидалось, была выявлена неоднородность дисперсии, поэтому данные модели были построены с поправкой на гетероскедастичность.

Рисунок 3.1. Доходности акций и индекса ММВБ на конец месяца с 2012-2016 гг. Составлено автором с использованием данных из приложения (табл. 2П)

Для акций ПАО "Аэрофлот" получили следующее уравнение:

	,	(3.2)

Для акции ПАО "ЛСР" уравнение:

	,	(3.3)

Для акции ПАО "Сбербанк" уравнение:

	,	(3.4)

Для акции ПАО "Норильский Никель" уравнение:

	,	(3.5)

Для акции ПАО "Лукойл" уравнение:

	,	(3.6)

где коэффициент корреляции, характеризующий долю рыночного риска по акциям i - го вида в общем риске по акциям, выраженном стандартным отклонением; ожидаемая доходность по акциям i - го вида; ожидаемая доходность на индекс ММВБ.

Рассмотрим расчётные значения коэффициентов "бета" и "альфа" для всех видов акций.

=0,58

Как можем увидеть коэффициенты "бета" акций таких компаний как Аэрофлот, Сбербанк и Норильский Никель больше единицы, отсюда следует, что изменение ожидаемой доходности у перечисленных акций происходит быстрее, чем в среднем по рынку, т.е. с ростом доходности фондового рынка доходность по данным акциям будем возрастать быстрее, чем у акций компаний ЛСР и Лукойл. Однако, если будет наблюдаться падение доходности фондового рынка, то падение доходностей акций компаний ЛСР и Лукойл будет происходить медленнее, чем по акциям, у которых коэффициент "бета" больше единицы.

Что касается коэффициентов "альфа" акций компаний, то как и отмечалось выше они показывают доходность наших компаний при нулевой доходности фондового рынка. По расчётным значениям коэффициента "альфа" можно предположить, что самая большая ожидаемая доходность будет у акций "Аэрофлот" и самая маленькая соответственно у акций компании Норильский Никель при нулевой ожидаемой доходности фондового рынка. Представим графики линий характеристик по пяти акциям на Рисунок 3.2. Мы можем увидеть, что с ростом доходности индекса ММВБ ожидаемая доходность акций возрастает тоже. Действительно, при увеличении доходности фондового рынка большую ожидаемую доходность показывают акции компаний, у которых коэффициент "бета" больше единицы, а именно акции "Сбербанк", "Аэрофлот" и "Норильский Никель".

Итак, у нас есть пять регрессионных уравнений, и соответственно пять акций, входящих в наш портфель, для которых мы произвели расчёт коэффициентов "бета" и "альфа". Теперь перейдём к измерению риска наших ценных бумаг и портфеля в целом.

Поскольку коэффициент "бета" является подходящей мерой риска бумаги согласно модели CAPM, то естественно исследовать связь этой величины и совокупного риска. Как уже упоминалось ранее, общий риск ценной бумаги i - го вида, измеряемый её дисперсией, состоит из двух частей: рыночный (или систематический) риск, специфический (диверсифицируемый) риск. Таким образом, дисперсия акции i - го вида равняется следующему выражению:

		(3.7)

где - дисперсия доходности на индексный портфель (индекс ММВБ); рыночный риск акции i - го вида; специфический риск акции i - го вида, мерой которого является дисперсия случайной погрешности из уравнения (1.32).

Рисунок 3.2. Линии характеристик рассматриваемых акций Составлено автором с использованием полученных данных из уравнений (3.2-3.6)

Для определения рыночного риска воспользуемся следующим произведением:

Т.е. произведение коэффициента "бета" акции i - го вида на стандартное отклонение индексного портфеля (индекса ММВБ). В свою очередь стандартное отклонение рассчитывается, как квадратный корень из несмещенной оценки выборочной дисперсии Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов: Пер.с англ. М.: ЗАО "Олимп-Бизнес", 1997. - 1120 с.:

	.	(3.8)

Рассчитав стандартное отклонение индекса ММВБ по рассматриваемой выборке, которое составило , мы можем определить рыночный риск по представленным акциям (табл.3.1).

Таблица 3.1.

Расчётные значения рыночного риска по акциям (%)

Расчётные параметры	Акции ПАО "Аэрофлот"	Акции ПАО "ЛСР"	Акции ПАО "Сбербанк"	Акций АО "Норильский Никель"	Акции АО "Лукойл"
	6,17	2,38	6,85	5,34	4,42
	38,06	5,67	46,91	28,55	19,54

Отсюда можно выделить долю рыночного риска в общем риске по нашим акциям. Для этого конечно нам необходимо определить стандартное отклонение по каждой бумаге. После всех подсчётов получим следующее (табл.3.2):

Таблица 3.2.

Расчётные значения стандартного отклонения и доли рыночного риска в общем риске по акциям

Расчётные параметры	Акции ПАО "Аэрофлот"	Акции ПАО "ЛСР"	Акции ПАО "Сбербанк"	Акций АО "Норильский Никель"	Акции АО "Лукойл"
	12,53%	9,60%	9,16%	8,53%	5,58%
	0,49	0,25	0,75	0,62	0,78

Важно заметить, что во всех случаях доли рыночного риска в общем риске по каждой акции совпадают с полученными значениями коэффициента корреляции, который как мы ранее отмечали и характеризует долю рыночного риска в общем риске акций.

Учитывая уравнение (3.7), можем определить диверсифицируемый риск анализируемых акций. Запишем преобразованное уравнение:

	.	(3.9)

Для акции ПАО "Аэрофлот" специфический риск в форме дисперсии определяется так:

,

теперь определим данный риск в форме стандартного отклонения, который равен

Аналогичную процедуру выполняем для остальных акций и получаем следующую расчётную таблицу 3.3:

Таблица 3.3.

Расчётные значения диверсифицируемого риска по акциям (%)

Расчётные параметры	Акции ПАО "Аэрофлот"	Акции ПАО "ЛСР"	Акции ПАО "Сбербанк"	Акций АО "Норильский Никель"	Акции АО "Лукойл"
	118,93	86,41	37,05	44,21	11,56
	10,90	9,30	6,09	6,65	3,40

Таким образом мы можем определить общий риск (выраженный дисперсией) каждой акции, входящей в наш портфель по формуле (3.7) (табл.3.4).

Таблица 3.4.

Расчётные значения общего риска по акциям (%)

Расчётные параметры	Акции ПАО "Аэрофлот"	Акции ПАО "ЛСР"	Акции ПАО "Сбербанк"	Акций АО "Норильский Никель"	Акции АО "Лукойл"
	156,91	92,07	83,96	72,76	31,10

Получаем, что акции "Аэрофлот" являются более рискованными относительно других бумаг. Наименьший риск у акций "Лукойл".

Все вышерассмотренные показатели являются очень важными для инвестора, формирующего портфель акций. На данный момент мы определили расчётные параметры рыночной модели для каждой акции, но что можно сказать об общей доходности и риске нашего портфеля?

Обозначим долю каждой акции данного портфеля через , тогда доходность портфеля можно вычислить по следующей формуле:

		(3.10)

где, соответственно ожидаемая доходность по акциям i - го вида.

Произведем замену на правую часть уравнения (1.47) и получим следующую рыночную модель портфеля:

	=	(3.11)

где

оценка свободного члена представленного уравнения (коэффициент "альфа"), характеризующий ожидаемую доходность портфеля при нулевой текущей доходности индексного портфеля;

оценка коэффициента при независимой переменной (коэффициент "бета" портфеля в целом) случайная ошибка портфеля.

Данные уравнения представляют собой средневзвешенные значения коэффициентов "альфа" и "бета", а также случайных погрешностей ценных бумаг, соответственно, где в качестве весов берутся их доли в портфеле.

Отсюда следует, что общий риск портфеля выражается следующей формулой:

		(3.12)

где , соответственно.

Предположим, что случайные ошибки доходности акций некоррелированы, тогда диверсифицируемый риск портфеля равен:

		(3.13)

Рассмотрим наши акции, о которых речь шла ранее. Для дальнейших расчётов представим все найденные параметры в одной таблице, также включим ожидаемую доходность по каждой бумаге, рассчитанную как среднее значение доходностей в нашей выборке (табл.3.5).

Таблица 3.5.

Расчётные значения параметров риска и ожидаемой доходности по акциям

Расчётные параметры	Акции ПАО "Аэрофлот"	Акции ПАО "ЛСР"	Акции ПАО "Сбербанк"	Акций АО "Норильский Никель"	Акции АО "Лукойл"
	1,65%	0,79%	0,42%	0,41%	0,58%
	1,27	0,49	1,41	1,1	0,91
	156,91%	92,07%	83,96%	72,76%	31,10%
	12,53%	9,60%	9,16%	8,53%	5,58%
	118,93%	86,41%	37,05%	44,21%	11,56%
	10,90%	9,30%	6,09%	6,65%	3,40%
	2,64%	1,18%	1,52%	1,27%	1,40%

Как мы уже поняли, для того чтобы определить значения ожидаемой доходности и риска нашего портфеля, необходимо решить какую долю будет составлять каждая акция в этом портфеле. Рассмотрим две ситуации. Первая заключается в том, что мы ожидаем роста доходности фондового рынка, тогда будет логичным отдать большую долю тем бумагам, у которых коэффициент "бета" больше единицы. Пусть акции компании Аэрофлот составляют 30% от общего портфеля, акции "Сбербанк" 25%, акции "Норильский Никель" равны 20%, бумаги компании Лукойл составят 15% и соответственно акции "ЛСР" 10%. Тогда при известных весах, мы можем определить значения необходимых параметров рыночной модели по вышепредставленным формулам (табл.3.6).

Таблица 3.6.

Расчётные значения параметров риска и ожидаемой доходности для портфеля в целом (первая ситуация)

Расчётные параметры
Значения	0,85%	0,14	1,74%	15,90%	30,61%	46,51%	6,82%

Вторая ситуация заключается в предположении снижения доходности фондового рынка. Следовательно, лучше включать в портфель акции с большей долей, у которых коэффициент "бета" меньше единицы. Тогда пусть распределение долей будет таким:

; ; ; ;;

Как и для первой ситуации рассчитываем значения параметров, но с другими весами соответственно (табл.3.7).

Таблица 3.7.

Расчётные значения параметров риска и ожидаемой доходности для портфеля в целом (вторая ситуация)

Расчётные параметры
Значения	0,69%	0,93	1,42%	12,29%	20,54%	32,83%	5,73%

В данном случае мы можем увидеть, что значения наших показателей заметно снизились. Ожидая снижения доходности индексного портфеля, мы намеренно отдали большую долю акциям, имеющих коэффициент "бета" меньше единицы. Тем самым мы снизили наш общий риск и его составляющие. Что касается коэффициента "альфа" и ожидаемой доходности нашего портфеля, то они снизились тоже (снижение риска влечёт за собой снижение доходности).

Вернёмся к полученным уравнениям (3.2) - (3.6). Их можно использовать для прогнозирования значений как ожидаемой доходности рассматриваемых акций, так и портфеля в целом в зависимости от прогноза ожидаемых значений доходности индексного портфеля (индекс ММВБ). Так как наша выборка заканчивается на наблюдениях доходностей акций декабря 2016 года, то было бы интересно посмотреть, на сколько совпадают расчётные ожидаемые доходности с фактическими доходностями рассматриваемых акций за период с января по август 2017 года (табл.3.8).

Таблица 3.8.

Индекс ММВБ и прогнозные значения ожидаемая доходность акций на конец месяца

Период наблюдения	Индекс ММВБ
янв.17	2217,39	-8,75%	-3,22%	-11,13%	-8,60%	-6,87%	-8,19%
фев.17	2035,77	-0,84%	-0,17%	-2,34%	-1,75%	-1,20%	-1,96%
мар.17	1995,9	2,97%	1,30%	1,89%	1,56%	1,53%	1,04%
апр.17	2016,71	-5,68%	-2,04%	-7,71%	-5,94%	-4,67%	-5,77%
май.17	1900,38	0,25%	0,25%	-1,13%	-0,80%	-0,42%	-1,10%
июн.17	1879,5	4,35%	1,83%	3,42%	2,75%	2,52%	2,13%
июл.17	1919,53	8,44%	3,41%	7,96%	6,29%	5,45%	5,35%
авг.17	2022,22	4,72%	1,97%	3,83%	3,07%	2,78%	2,42%
сен.17	2071,13	-	-	-	-	-	-

Текущие доходности рассчитаны для каждой акции и индекса ММВБ по такому же алгоритму как мы делали ранее. Рассчитаем ожидаемую доходность акций ПАО "Аэрофлот" на конец января 2017 года при фактической доходности индекса ММВБ на тот же период наблюдения. Подставляем полученную доходность индекса ММВБ в уравнение регрессии:

получаем, что расчётная ожидаемая доходность по акциям "Аэрофлот" равняется - 8,51%. В свою очередь фактическая доходность по акциям компании Аэрофлот за данный период составила - 5,15%. Таким образом, случайная погрешность равняется +3,36%. Аналогичным образом можно рассчитать ожидаемые доходности для остальных акций и портфеля в целом, используя определённые веса для каждой бумаги, как мы это делали ранее. Покажем графики, на которых видны изменения ожидаемых доходностей пяти акций, при соответствующей доходности фондового рынка (Рисунок 3.3.). В очередной раз мы можем убедиться, что бумаги, имеющие коэффициент "бета" больше единицы, реагируют на рост фондового рынка сильнее.

Рисунок 3.3. Динамика изменения прогнозных значений ожидаемых доходностей акций и индекса ММВБ. Составлено автором с использованием уравнений (3.2-3.6) и таблицы 3.8

Данные расчёты были проделаны с учётом известных фактических доходностей индексного портфеля. Но как уже упоминалось ранее, мы можем и прогнозировать значения ожидаемой доходности акций и портфеля в целом в зависимости от ожиданий доходности фондового рынка.

Таким образом, на основе полученных данных мы можем сделать следующий вывод. При ожидаемом уменьшении доходности индексного портфеля целесообразнее иметь в портфеле акции с коэффициентом "бета" меньше единицы, а при прогнозе на увеличение доходности фондового рынка - акции с коэффициентом "бета" больше единицы. К тому же инвестор может изменять доли ценных бумаг в портфеле в зависимости от складываемых ситуаций, тем самым регулируя ожидаемую доходность и риск своего портфеля. Все выводы, которые следуют из модели CAPM могут быть использованы не только для оценки риска и ожидаемой доходности акций и портфеля в целом, они применяются также для обоснования инвестиционной стратегии на фондовом рынке, позволяют анализировать тенденции его развития.

3.2 Оценка параметров основного уравнения АРТ

Пунктом ранее мы на практическом примере рассмотрели практические выводы и рекомендации, вытекающие из модели ценообразования на финансовые активы. В данном параграфе перейдём к расчётам, касательно теории арбитражного ценообразования.

Ранее уже было отмечено, что одной из особенностей данной теории является то, что рассматривается определённый набор факторов, которые оказывают влияние как на ожидаемую доходность ценных бумаг каждого вида, так и на ожидаемую доходность фондового рынка в целом. Нами будет реализована оценка параметров основного уравнения арбитражной теории ценообразования. Основным недостатком данной теории является то, что заранее не известно какие и в каком количестве необходимо взять факторов для оценки параметров данного уравнения. Набор факторов должен быть общим для всего рынка, т.е. влияние которое они оказывают на доходность ценных бумаг или всего рынка в целом не может быть устранено с помощью диверсификации.

В данной работе мы рассмотрим влияние определённого набора факторов на доходность индекса ММВБ, для этого воспользуемся уравнением (2.1). В качестве объясняющим переменных уравнения регрессии (2.1) вначале включим следующие показатели:

· Разность долгосрочной и краткосрочной процентных ставок по коммерческим кредитам как показатель, отражающий долгосрочные ожидания инвесторов о поведении процентных ставок () ;

· Изменение цен на нефть марки "Brent";

· Темп прироста государственных расходов РФ (;

· Ежемесячное изменение внутреннего долга РФ в обращении (.

Отсюда получаем следующее многофакторное уравнение регрессии:

		(3.14)

в котором все параметры уравнения будут оценены по ежемесячным данным для России за период 2010 - 2017 гг. Все необходимые данные для расчётов были взяты из терминала "Bloomberg" с января 2010 года по декабрь 2017. Таким образом, число наблюдений в выборке равняется 95. Обработка данных была проведена с помощью приложения "Gretl". Для определения оценок параметров воспользуемся методом наименьших квадратов.

Перед тем как оценивать параметры уравнения (3.14), проверим наши ряды на стационарность (отсутствие единичного корня) с помощью встроенного расширенного теста Дики-Фуллера (ADF-test). Подробную описательную статистику всех дальнейших тестов можно посмотреть в приложении (табл. П 3 - РисунокП 21).

Проверим на наличие единичного корня временной ряд реальной доходности на индекс ММВБ, используя расширенный тест Дики-Фуллера. Тест проводится с учётом константы, объём выборки 95, нулевая гипотеза говорит о том, что единичный корень присутствует. Оценивается модель вида Результаты проведения данного теста можно увидеть в таблице 3.9.

Таблица 3.9.

Результаты расширенного теста Дики-Фуллера для временного ряда доходности на индекс ММВБ

Лаг	Оценка для	Тестовая статистика	P-значение	Коэффициент автокорреляции 1-го порядка для
MOEX	-1,30173	-8,89391	1,016е-015	0,045

P-значение меньше 5%-го уровня значимости, отсюда следует, что мы можем отвергнуть нулевую гипотезу о наличии единичного корня. Аналогичную процедуру проведём для других рядов. Получаем, что все наши ряды обладают свойством стационарности.

Отсюда следует, что мы можем приступить к оценке уравнения (3.14), используя метод наименьших квадратов, где зависимой переменной будет выступать доходность на индекс ММВБ. Получаем следующие результаты (табл.3.10-3.11):

Таблица 3.10.

Оценки параметров регрессионного уравнения (3.14), (Модель 1)

Регрессор	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение	Звезда
const	0,0182552	0,00780261	2,340	0,0215	**
Spr	?0,00640921	0,00371552	?1,725	0,0880	*
Govcost	?0,0188384	0,00929054	?2,028	0,0455	**
Obl	?0,174999	0,254305	?0,6881	0,4931
Brent	0,0760663	0,0621395	1,224	0,2241

Таблица 3.11.

Характеристики регрессионного уравнения (3.14)

Среднее зависимой переменной	0,005409		Стандартное отклонение зависимой переменной	0,049938
Сумма квадратов остатков	0,213657		Ст. ошибка модели	0,048723
R-квадрат	0,088549		Скорректированный R-квадрат	0,048040
F(4, 90)	2,276229		Р-значение (F)	0,067159
Лог. правдоподобие	154,8208		Критерий Акаике	?299,6416
Критерий Шварца	?286,8722		Критерий Хеннана-Куинна	?294,4818
Параметр rho	?0,123988		Статистика Дарбина-Вотсона	2,234081

Как видно из приведённых данных, доля дисперсии доходности фондового рынка (индекса MМВБ), объясняющаяся регрессионным уравнением очень низка (примерно 8%). В целом уравнение не значимо на 5% - ом уровне значимости. Из четырёх представленных переменных, только одна является статистически значима на 5% - ом уровне - темп прироста государственных расходов РФ, поскольку для этой переменной . Остальные переменные, кроме const или уравнения (3.14) являются статистически незначимыми.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что выбранные факторы очень плохо описывают доходность фондового рынка и необходимо внести некоторые коррективы в исходный набор факторов.

Для начала проверим гипотезу о совместной незначимости двух коэффициентов, а именно Brent и Obligation c помощью теста Фишера. Нулевая гипотеза говорит о том, что значения параметров Brent и Obligation равны нулю. В результате проведения данного теста получаем, что Р-значения равно 0,360636. P-значение больше 5% - го уровня значимости, поэтому нулевую гипотезу о совместной незначимости коэффициентов Brent (изменение цен на нефть марки "Brent") и Obligation (ежемесячное изменение внутреннего долга РФ в обращении) мы принимаем. Данные переменные необходимо исключить из модели.

Попробуем добавить новую переменную, а именно темп роста международных резервов РФ, которые включают в себя высококачественные внешние активы в иностранной валюте (Intreserve), тогда новое уравнение регрессии примет вид

		(3.16)

Получаем следующие результаты (табл.3.12-3.13):

Таблица 3.12.

Оценки параметров регрессионного уравнения (3.16), (Модель 2)

Регрессор	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение	Звезда
Const	0,0181960	0,00639556	2,845	0,0055	***
Spr	?0,00840899	0,00410312	?2,049	0,0433	**
Govcost	?0,0220966	0,00998369	?2,213	0,0294	**
Intreserve	0,673876	0,271875	2,479	0,0150	**

Таблица 3.13.

Характеристики регрессионного уравнения (3.16)

Среднее зависимой переменной	0,005409		Стандартное отклонение зависимой переменной	0,049938
Сумма квадратов остатков	0,203480		Ст. ошибка модели	0,047287
R-квадрат	0,131962		Скорректированный R-квадрат	0,103346
F(3, 91)	3,744518		Р-значение (F)	0,013778
Лог. правдоподобие	157,1389		Критерий Акаике	?306,2778
Критерий Шварца	?296,0623		Критерий Хеннана-Куинна	?302,1500
Параметр rho	?0,007849		Статистика Дарбина-Вотсона	2,007397
		(3.17)

Так как в нашем уравнении (3.16) на одну переменную меньше, чем в предыдущем уравнении (3.15), то для оценки качества данного уравнения воспользуемся скорректированным коэффициентом детерминации (). В первой модели , а для второй регрессии - Также для того чтобы сравнить данные модели воспользуемся так называемыми информационными критериями Акаике (AIC - Akaike Information Criterion), Хеннана-Куинна (HQC -Hannan-Quinn Information Criterion) и критерий Шварца (SC - Schwartz criterion). Вышеперечисленные информационные критерии для второй модели меньше, чем для первой. Отсюда следует, что вторая регрессия лучше, чем первая.

Мы видим, что по сравнению с первой моделью, вторая регрессия является в целом статистически значима, а также все переменные, в том числе и константа является статистически значимы (

Перейдём к проверки данной модели на адекватность полученных данных. Начнём с проверки полученной регрессии на нормальность остатков (. Для этого воспользуемся встроенным тестом на нормальное распределение ошибок. Нулевая гипотеза говорит о том, что ошибки распределены по нормальному закону. В результате проведения данного теста получаем, что Хи-квадрат(2) = 0,0523799, а Р-значения равно 0,97415. P-значение больше 5% - го уровня значимости, поэтому нулевую гипотезу о том, что ошибки распределены по нормальному закону мы принимаем.

Далее проверим ещё одну предпосылку из теоремы Гаусса-Маркова, а именно исследуем нашу регрессию на отсутствие автокорреляции в остатках (. Для проверки данной гипотезы воспользуемся LM-тестом на наличие автокорреляции до порядка 12. Нулевая гипотеза предполагает, что автокорреляция отсутствует. В результате получаем следующую тестовую статистику и P-значение:

· LMF = 1,49347

· P-значение = P (F(12, 79) > 1,49347) = 0,144311.

Отсюда мы можем сделать вывод об отсутствии автокорреляции до 12 порядка.

Для того чтобы определить, помогает ли нелинейная комбинация оцененного значения зависимой переменной, а именно реальная доходность индекса ММВБ лучше объяснить изменения самой зависимой переменной, воспользуемся RESET-тестом Рамсея на правильность спецификации. Нулевая гипотеза говорит о том, что спецификация данной модели адекватна. В результате проведения данного теста получаем:

· Тестовая статистика: F(2, 89) = 1,09661

· Р-значение = P(F(2, 89) > 1,09661) = 0,338471.

Как мы можем видеть, P - значение для теста Рамсея позволяет сделать вывод о том, что нулевая гипотеза не отвергается, а значит спецификация данной модели в корректировке не нуждается.

Очень важно проверить предпосылку о том, что дисперсия ошибок регрессионного уравнения является однородной, т.е. в данной модели отсутствует гетероскедастичность (. Для этого проведём тест Вайта, где нулевая гипотеза говорит о том, что дисперсия ошибок является однородной. Получаем следующие результаты:

· Тестовая статистика: LM = 30,5447

· P-значение = P(Хи-квадрат(9) > 30,5447) = 0,000354238.

К сожалению, в данной модели дисперсии ошибок неоднородны, что говорит о наличии гетероскедастичности. Последствиями этого может являться некорректная работа тестов Стьюдента и Фишера для проверки значимости коэффициентов при отдельных регрессорах, рассмотренных в данном примере и регрессии в целом, что приводит к ошибкам в данном исследовании.

Для того, чтобы скорректировать данную модель, построим регрессию с поправкой на гетероскедастичность и получим:

Таблица 3.14.

Оценки параметров регрессионного уравнения (3.16) с поправкой на гетероскедастичность, (Модель 3)

Регрессор	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение	Звезда
const	0,0175168	0,00702516	2,493	0,0145	**
Spr	?0,00792673	0,00424273	?1,868	0,0649	*
Govcost	?0,0200863	0,00984106	?2,041	0,0441	**
Intreserve	0,555655	0,255037	2,179	0,0319	**

Таблица 3.15.

Взвешенные характеристики регрессионного уравнения (3.16)

Сумма квадратов остатков	340,3598		Стандартная ошибка модели	1,933964
R-квадрат	0,107300		Испр. R-квадрат	0,077871
F(3, 91)	3,645988		Р-значение (F)	0,015562
Лог. правдоподобие	?195,4152		Критерий Акаике	398,8303
Критерий Шварца	409,0458		Критерий Хеннана-Куинна	402,9582
Параметр rho	?0,026363		Статистика Дарбина-Вотсона	2,043514

Как и для предыдущей модели проверим полученную регрессию и отдельные коэффициенты при ней на статистическую значимость. На основе F-критерия, мы можем сказать, что полученная модель в целом значима. Что касается коэффициентов, то все кроме спреда долгосрочной и краткосрочной процентных ставок по коммерческим кредитам значимы на 5% - ом уровне. Переменная значима только на 10% - ом уровне, т.е вероятность ошибиться отвергнув нулевую гипотезу о незначимости данного регрессора равна 90%. Переходя к оценке качества данной модели, нужно сказать, что она ухудшилась относительно предыдущей. Всего 11% изменений в доходности индекса ММВБ объясняются вышепредставленными факторами, остальные 89%, видимо, объясняются другими аспектами.

Как и раньше были проведены тесты на адекватность данной модели. Был проведён ещё один значимый тест на проверку мультиколлинеарности полученной регрессии. Дело в том, что регрессоры в модели могут оказать полностью или частично линейно зависимы, что может сказаться на точности оценок коэффициентов регрессии. Поэтому воспользуемся одним из инструментов, который укажет нам на возможность наличия мультиколлинеарности, а именно параметр (variance inflation factor). Также воспользуемся встроенным тестом на проверку наличия мультиколлинеарности и получим следующие результаты:

·

·

·

Значения критерия > 10.0 могут указывать на наличие мультиколлинеарности. Как мы видим, нет ни одного значения больше 10.0, поэтому мы можем говорить о том, что регрессоры в данной модели не являются полностью или частично линейно зависимыми.

В результате всех вычислений и преобразований мы получили следующее уравнение регрессии:

		(3.18)

В результате были установлены параметры и определены факторы основного уравнения арбитражной теории ценообразования, которые показывают, что равновесная ожидаемая доходность на фондовом рынке линейно зависит от ряда макроэкономических факторов, а её отклонение при изменении значения выделенных факторов - от коэффициентов чувствительности к изменению соответствующих факторов.

Путём экспериментальных расчётов были найдены следующие факторы, которые объясняют к сожалению, всего около 11% вариации доходности фондового индекса ММВБ:

· Разность долгосрочной и краткосрочной процентных ставок по коммерческим кредитам как показатель, отражающий долгосрочные ожидания инвесторов о поведении процентных ставок () ;

· Темп прироста государственных расходов РФ (;

· Темп роста международных резервов РФ.

Полученные данные нельзя считать окончательными, так как всего лишь 11% изменений в значении доходности индекса ММВБ объясняются вышеперечисленными факторами. Это очень низкий показатель, который свидетельствует о достаточно слабой связи. Для получения лучшего результата необходимо рассмотреть и исследовать набор других макроэкономических факторов, которые могли бы оказать влияние на индекс ММВБ. А также рассмотреть выборку большего объёма.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что, используя подобного рода метод, мы можем видеть связь между доходностью ценных бумаг, а также фондового рынка в целом, и факторами, оказывающие влияние.

Заключение

В результате изучения темы "Экономико-математические методы в управлении портфелем акций" нами была достигнута поставленная цель. Мы изучили равновесные концепций рынка капитала, а также исследовали возможности практической реализации выводов и рекомендаций, вытекающих из модели ценообразования на финансовые активы и арбитражной теории ценообразования. Также были достигнуты поставленные задачи.

Мы проанализировали основные предпосылки данных моделей и убедились в том, что для того чтобы абстрагироваться от всей сложности ситуации и рассматривать только наиболее важные элементы данных теорий, необходимо обращать особое внимание на эти предположения. Они помогают облегчить понимание в построении определённой модели и предсказании моделируемого процесса.

Для обоснования основных теоретических выводов модели ценообразования на финансовые активы была рассмотрена задача об оптимальном распределении капитала инвестора между рисковыми и безрисковыми активами, учитывая максимизацию квадратичной функции рискового предпочтения, которая задаётся на ожидаемом уровне доходности и риске. После этого мы сформулировали теорему разделения, которая гласит, что оптимальная комбинация (структура) рисковых активов одинакова для всех инвесторов и не зависит от его предпочтений относительно риска и объёма капитала, который инвестор затрачивает на покупку данных активов. Таким образом мы показали, что модель CAPM существенно опирается на то, что рынок капитала находится в состоянии равновесия, а также то, что в состоянии равновесия рынка структура рисковой части портфеля инвестора идентичная структуре рыночного портфеля, и соответственно все инвесторы формируют оптимальный портфель рисковых активов пропорционально структуре рыночного портфеля.

Помимо этого, был сделан вывод, что сумма оптимальных вложений всех инвесторов в финансовые активы представляет собой оптимальный объём вложений по рынку в целом. Следовательно, в условиях равновесия вложения каждого инвестора в рисковые ценные бумаги зависят от рыночных параметров.

Мы определили условия формирования доходности портфелей инвесторов и отдельных рисковых активов на рынке капитала в условиях заданной системе предпосылок, которые сводятся к обоснованию двух основных уравнений модели CAPM. Первое уравнение, известное как CML (англ. Capital Market Line - Линия рынка капитала), которое определяет связь между риском и доходностью оптимального портфеля инвестора в условиях рыночного равновесия.

Данное уравнение говорит о соотношении риска и ожидаемой доходности только для оптимальных портфелей инвесторов, и не отвечает на данный вопрос, применительно к отдельным активам. Подобного рода соотношение риска и ожидаемой доходности представляет второе уравнение модели ценообразования на финансовые активы, а именно SML (англ. Security Market Line - Линия рынка ценных бумаг), которое определяет связь между риском вложений в акции данного вида и их ожидаемой доходностью.

В данном случае, риск вложения в акции определяется коэффициентом "бета", который показывает зависимость ожидаемой доходности акции от ожидаемой доходности рыночного портфеля. Отсюда следует, что инвестор может формировать свой портфель в зависимости от коэффициента "бета" каждой бумаги.

Что касается арбитражной теории ценообразования, то мы показали, что она основывается на связи доходности ценных бумаг с определённым количеством неизвестных факторов, а также обратили внимание на то, что согласно данной теории, инвестор пытается сформировать арбитражный портфель для того чтобы увеличить ожидаемую доходность своего текущего портфеля без увеличения риска.

Важным выводом является то, что арбитражный портфель привлекателен для инвестора, который стремится к большему доходу и не беспокоится о нефакторном риске. Такой портфель не требует дополнительных инвестиций, не имеет факторного риска и обладает положительной ожидаемой доходностью. Используя арбитражные портфели, можно формировать новые портфели, стоимость которых будет равна стоимости исходного портфеля, при этом будет меняться структура портфеля и его ожидаемая доходность.

Также основываясь на основном уравнении арбитражной теории ценообразования, мы сделали выводом о том, что премия за риск по каждой ценной бумаге в форме превышения ожидаемой доходности по бумаге над безрисковой ставкой п...