Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Киров - 2010

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Одноразовые платежи

1.1 Основные понятия

1.2 Простые проценты

1.3 Сложные проценты

1.3.1 Формула сложных процентов

1.3.2 Определение будущей суммы

1.3.3 Определение текущей стоимости. Дисконтирование

1.3.4 Определение срока ссуды (вклада)

1.3.5 Определение размера процентной ставки

1.3.6 Номинальная и эффективная ставки

1.4 Начисление налогов и проценты

1.5 Проценты и инфляция

1.5.1 Основные понятия

1.5.2 Учет инфляции

2. Постоянные регулярные потоки платежей

2.1 Основные понятия

2.2 Будущая сумма пренумерандо и постнумерандо без первоначальной суммы

2.2.1 Рента пренумерандо

2.2.2 Рента постнумерандо

2.3 Уравнение эквивалентности в общем виде

2.3.1 Определение будущей суммы

2.3.2 Определение текущей суммы

2.3.3 Определение периодических выплат

2.3.4 Расчет срока ренты

2.3.5 Определение размера процентной ставки

2.4 Решение финансовых задач с помощью финансовых функций Excel

2.4.1 Общие рекомендации

2.4.2 Вызов финансовых функций

2.4.3 Вычисление будущего значения

2.4.4 Расчет текущей суммы

2.4.5 Определение периодических выплат

2.4.6 Расчет срока ренты

2.4.7 Определение размера процентной ставки

2.5 Выбор банка кредитования и составление плана погашения кредита

2.5.1 Постановка задачи

2.5.2 Выбор банка кредитования

2.5.3 План погашения кредита

2.6 Выбор ипотечной ссуды

3. Общий поток платежей

3.1 Оценки эффективности инвестиционных проектов

3.2 Регулярные не постоянные платежи

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Наращенная сумма не постоянной ренты

3.2.3 Дисконтированная сумма не постоянной ренты

3.2.4 Внутренняя норма доходности

3.2.5 Дисконтный срок окупаемости инвестиционного проекта

3.2.6 Индекс доходности инвестиционного проекта

3.2.7 Сравнение эффективности двух инвестиционных проектов при платежах m раз в году

3.3 Неравномерные и нерегулярные потоки

3.4 Будущее значение при плавающей процентной ставке

4. Операции с векселями

4.1 Основные понятия

4.2 Дисконтирование по простой учетной ставке

4.3 Учет векселей по сложной учетной ставке

4.4 Векселя и инфляция

4.4.1 Простая учетная ставка и инфляция

4.4.2 Сложная учетная ставка и инфляция

4.5 Объединение векселей

4.5.1 Определение стоимости объединенного векселя

4.5.2 Определение срока погашения объединенного вектора

4.5.3 Объединение векселей с учетом инфляции

4.6 Эффективность сделок с векселями

4.6.1 Эффективность сделок по простым процентам

4.6.2 Эффективность сделок по сложным процентам

5. Амортизация основных средств и нематериальных активов

5.1 Основные понятия

5.2 Линейный метод учета амортизации

5.3 Нелинейный, геометрически-дегрессивный метод учета амортизации

5.4 Функции Excel для расчета амортизации

5.4.1 Линейный метод учета амортизации. Функции АМР

5.4.2 Метод уменьшаемого остатка (геометрически - дегрессивный метод). Функция ДДОБ

5.5 Сравнение линейного метода учета амортизации с методом уменьшаемого остатка (Расчет в Excel)

6. Лизинг

6.1 Основные понятия

6.1.1 Финансовый (капитальный) лизинг

6.1.2 Оперативный лизинг

6.2 Схема погашения задолженности по лизинговому контракту

6.3 Расчет лизинговых платежей по первой схеме

6.3.1 Лизинговые платежи при линейном законе амортизации

6.3.2 Лизинговые платежи с ускоренной амортизацией (метод уменьшаемого остатка)

6.4 Расчет лизинговых платежей по второй схеме

6.5 Расчет лизинговых платежей по второй схеме с помощью Excel

6.6 Определение финансовой эффективности лизинговых операций

Список литературы

Введение

Финансовая математика является основой для банковских операций и коммерческих сделок. В предлагаемом пособии рассматривается начисление простых и сложных процентов при одноразовых платежах и потоках платежей, при постоянных и переменных рентах и ставках. Здесь излагается единый подход к решению широкого круга задач определения различных финансовых величин: будущей суммы сделки, текущей (дисконтированной) суммы, процентной ставки, выплат, срока сделки, ее эффективности и т. п. Учтено влияние инфляции на параметры финансовых операций. Формулы финансовой математики применяются в пособии для расчетов кредитных, депозитных, ипотечных операций, учетов векселей, для сравнения эффективности финансовых сделок. Чтобы были понятны операции по лизингу, в пособии излагаются различные методы учета амортизации.

Для изучения пособия достаточно знания школьной математики. Дан вывод всех формул.

По своей природе финансовые формулы, особенно для не постоянных и не равномерных платежей являются громоздкими, что затрудняет прямые расчеты по ним. Такие величины как процентная ставка или срок финансовой операции в общем случае не выражаются в явном виде. Для их определения необходимо решение нелинейного уравнения, например, методом итераций.

В Excel имеются встроенные финансовые функции, позволяющие легко вычислить все финансовые величины во многих практических случаях с помощью персонального компьютера. Поэтому в пособии подробно излагаются методы использования Excel для решения финансовых задач. Автор настоятельно рекомендует учащимся овладеть этими методами, чтобы в дальнейшем применять их в своей практической деятельности для анализа эффективности финансовых операций и работы своей фирмы.

В пособии приведено большое количество примеров, многие из которых представляют самостоятельную познавательную ценность. С целью закрепления теоретических знаний в конце каждой главы даны задачи для самостоятельной проработки.

Пособие "Финансовая математика" предназначено для заочников дистанционной формы образования, но может быть рекомендовано и студентам очной формы обучения по финансовым и экономическим специальностям. Пособие представляет практический интерес для работников банков, финансовых компаний, промышленных предприятий и коммерческих структур.

Принятая в пособии терминология может показаться непривычной для экономистов, воспитанных на книгах Е. М. Четыркина и его последователей. Например, процентная ставка обозначается у него буквой i (interest). Однако в математике буквой i принято обозначать целые величины (integer). Поэтому в пособии "Финансовая математика" введены обозначения, употребляемые в Excel и в [4].

1. Одноразовые платежи

1.1 Основные понятия

В основе всех финансовых расчетов лежит принцип временной ценности денег. Деньги - это мера стоимости товаров и услуг. Покупательная способность денег падает по мере роста инфляции. Это означает, что денежные суммы, полученные сегодня (обозначим их PV-present value- настоящее, текущее значение), больше, ценнее тех же сумм, полученных в будущем. Для того чтобы деньги сохраняли или даже наращивали свою ценность, нужно обеспечить вложение денег, приносящее определенный доход. Принято обозначать доход буквой I (interest), на финансовом и бытовом жаргоне его называют процентом.

Существует много способов вложения (инвестиции) денег.

Можно открыть счет в сберегательном банке, но процент должен превышать темп инфляции. Можно одолжить деньги в виде кредита с целью получения в будущем, так называемой, наращенной суммы FV (future value - будущее значение). А можно инвестировать денежные средства в производство.

Простейшей финансовой операцией является однократное предоставление или получение суммы PV с условием возврата через время t наращенной (будущей) суммы FV. Сумму, которую получает дебитор (например, мы с Вами или фирма), будем считать положительной, а ту, которую отдает кредитор (опять же мы с Вами или банк) - отрицательной.

Эффективность такой операции характеризуется темпом прироста денежных средств, отношением r (rate-отношение) дохода I к базовой величине PV, взятыми по абсолютной величине.

. (1.1)

Темп роста капитала r за время t выражают десятичной дробью или в процентах и называют процентной ставкой, нормой доходности или скоростью оборота денежных средств за это время.

Поскольку PV и FV имеют противоположные знаки, то настоящее и будущее значения связаны соотношением (назовем его уравнением эквивалентности)

FV+ PV (1+ r)=0, (1.2)

где r - процентная ставка за время t.

Величину К, показывающую, во сколько раз будущая сумма возросла по абсолютному значению по отношению к текущей

К= FV/ PV=(1+ r), (1.3)

называют коэффициентом наращения капитала.

В расчетах, как правило, за r принимают годовую процентную ставку, ее называют номинальной ставкой.

Существуют две схемы наращения капитала:

схема простых процентов;

схема сложных процентов.

1.2 Простые проценты

Схема простых процентов предполагает неизменность суммы, на которую происходит начисление процентов. Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях (со сроком менее периода начисления процентов) или когда проценты периодически выплачиваются и не присоединяются к основному капиталу.

Рассмотрим два вида вклада: постой и срочный.

1) По простому вкладу (деньги по такому вкладу можно снять в любой момент) за t дней будет начислено

FV+ PV (1+ r)=0 (1.4)

где Т - число дней в году. Коэффициент наращения при этом

К=(1+ r).

В зависимости от определения Т и t применяют следующие методики.

1. Точные проценты. В России, США, Великобритании и во многих других странах принято считать Т =365 в обычном году и Т =366 - в високосном, а t -число дней между датой выдачи (получения) ссуды и датой ее погашения. Дата выдачи и дата погашения считаются за один день.

2. Банковский метод. В этом методе t определяется как точное число дней, а число дней в году принимается за 360. Метод дает преимущества банкам особенно при выдаче кредита на срок более 360 дней и широко используется коммерческими банками.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней. В некоторых странах, например во Франции, Бельгии, Швейцарии принимают Т =360, а t -приближенным, так как считается, что в месяце 30 дней.

Фирма взяла ссуду в банке на расширение производства в размере 1 млн. руб. под 18% годовых с 20.01 по 05.10 включительно. Какую сумму она должна вернуть в конце срока при начислении процентов один раз в год? Определите коэффициент наращения.

Решение. Пусть год не високосный Т=365. Точное число дней между указанными датами t =258, а приближенное - t=255.

1. Из (1.4) по точному методу получим

FV= -1 000 000(1+0,18)= -1 127 233 руб.

Итак, в конце срока фирме придется отдать (FV отрицательно) на 127 233 руб. больше, чем она брала.

Коэффициент наращения в этом случае

К=(1+0,18)=1,1273

2. По банковскому методу

FV= -1 000 000(1+0,18)= -1 129 000 руб.

К=(1+0,18)=1,129

По обыкновенному методу с приближенным числом дней

FV= -1 000 000(1+ 0,18)= -1 127 500 руб.

К=(1+ 0,18)=1,1275

При банковском методе расчета банку удастся больше "поживиться" за счет фирмы.

2) По срочному вкладу (деньги кладутся в банк на определенный срок: полгода, год или другой) проценты начисляются через определенные периоды. Обозначим m -число периодов в году.

m =12 - при ежемесячном начислении процентов;

m =4 - при ежеквартальном начислении;

m =2 - при начислении раз в полугодие;

m =1 - при начислении раз в год.

В этом случае процентная ставка за один период составит величину , и уравнение эквивалентности запишется в виде

FV + PV (1+)=0 (1.5)

Коэффициент наращения

К=(1+).

Определим наращенную сумму

Пенсионер положил 3000 руб. на срочный пенсионный вклад на полгода под 14% годовых. Какая сумма у него накопится в конце срока, и какой процент он сможет снять? Каков коэффициент наращения?

Решение. Поскольку пенсионер отдал свои деньги банку, то первоначальная сумма отрицательна; m =2, так как начисления - раз в полгода.

FV = -(-3000)(1+0,14/2)=3210 руб.

I= FV- PV=210 руб.

К=1+0,14/2=1,07

По формулам (1.2)-(1.5) можно решить обратную задачу: какую первоначальную сумму PV нужно дать в долг или положить в банк, чтобы по истечении срока получить сумму FV при заданной годовой процентной ставке r:

.

Через 180 дней после подписания договора фирма обязуется уплатить 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма кредита?

Решение. В конце срока фирма должна вернуть деньги, следовательно, будущая сумма - отрицательная величина, а первоначальная - положительная. Из (1.5)

1.3 Сложные проценты

1.3.1 Формула сложных процентов

Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, таким образом, базовая сумма, с которой происходят начисления, постоянно растет. Сложные проценты применяются в среднесрочных и долгосрочных финансовых операциях, то есть срок операции составляет несколько периодов начисления процентов.

Пусть Вы положили в банк срочный вклад в сумме PV на k лет под годовую процентную ставку r. Число периодов начисления процентов в году m .Тогда в соответствии с формулой (1.4) к концу первого периода, т.е. после первого начисления процентов, у Вас окажется сумма FV, определяемая соотношением

FV + PV (1+)=0.

Если Вы не забрали причитающиеся Вам проценты, то к началу нового периода первоначальная сумма составит уже PV(1+r/m), а к концу второго периода на нее снова нарастут проценты и Ваша сумма вклада будет определяться из соотношения

и так далее.

К концу года Ваш вклад будет равен

.

Сумма, накопленная Вами в банке через k лет при годовой ставке r и начислениях процентов m раз в году, составит

(1.6)

Эквивалентное уравнение (1.6) называют формулой сложных процентов.

Из уравнений (1.4) - (1.6) можно определить одну из величин:

FV - будущую сумму;

PV - текущую сумму;

r - номинальную процентную ставку;

t или k - срок сделки в днях или годах,

выразив их через остальные известные величины.

1.3.2 Определение будущей суммы

Как сохранить наследство

От продажи родительского дома у Вас оказалось 50 тыс. руб. Вы знаете, что в течение 5 лет Вам эти деньги не понадобятся, и Вы решили открыть счет в банке. Годовая ставка банка 12%. Банк предлагает следующие виды вкладов:

с ежемесячным начислением процентов;

с ежеквартальным начислением процентов;

депозит на 6 месяцев;

депозит на 12 месяцев.

Какой из вкладов принесет больший доход через 5 лет?

Решение. Воспользуемся формулой (1.6). В нашем примере PV= -50 000, r =0,12, k =5.

В первом случае m =12 и

90834,83 руб.

Во втором - m =4 и

90305,56 руб.

В третьем случае - m =2 и

89542,38 руб.

В последнем варианте - m =1 и

88117,08 руб.

Очевидно, что во всех случаях банк вносит немалую лепту (больше 38 тыс. руб.) в Ваш будущий вклад.

Как видно из примера, чем меньше период начисления процентов при той же годовой процентной ставке, тем выгоднее вклад.

1.3.3 Определение текущей стоимости. Дисконтирование

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной будущей сумме FV, которую следует уплатить или получить через некоторое время, необходимо рассчитать современную, текущую сумму PV полученной ссуды или вклада в банк. Такая ситуация может возникнуть: при разработке контракта, при определении текущей стоимости векселя (см. главу "Операции с векселями") и в обычных жизненных условиях.

По формуле простых процентов (1.4)

PV = -, (1.9)

где t - срок финансовой сделки в днях, T - число дней в году, r - годовая процентная ставка. Знак минус указывает на то, что в финансовых операциях настоящая и будущая суммы всегда имеют противоположные знаки.

Расчет PV по FV необходим и тогда, когда проценты с суммы удерживаются вперед, непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма FV дисконтируется, или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержания называют учетом, а удержанные проценты - дисконтом, или скидкой D.

D=FV-PV, (1.10)

где FV и PV берутся в (1.10) по абсолютной величине.

Отношение v=PV/FV называют дисконтным или дисконтирующим множителем. По формуле простых процентов

v=1/(1+r). (1.11)

По формуле сложных процентов (1.6) текущая сумма вклада или текущая стоимость векселя записывается в виде

, (1.12)

где m - число раз начисления процентов в году, k - срок дисконтирования.

Дисконтирующий множитель

v =. (1.13)

Клиент должен получить в конце года 10000 руб. На какой вклад ему выгоднее положить деньги: простой или срочный с ежемесячным начислением процентов. Годовая процентная ставка в обоих случаях 16%

Решение. Дисконтирующий множитель по простым процентам

FV=10000

t=T

m=12

r=0,16

k=1

PV=?

v=1/(1+r t/T)=1/(1+0,16)=0,862069,

PV= - FV·v =10000·0,862= - 8620,69 руб.

Дисконтирующий множитель по сложным процентам

v=1/(1+r/m)^(m k)=1/(1+0,16/12)^12=0,853045

PV=-FV v=10000·0,853045= - 8530,45 руб.

Совершенно очевидно, что срочный вклад выгоднее клиенту, так как в начале года по нему нужно вложить на 90 руб. меньше, чем по простому вкладу.

Фирме предстоит через 10 лет уплатить за кредит банку $100 000. Номинальная ставка 28%. Проценты начисляются раз в полгода. Определите текущую стоимость кредита и дисконт банка.

Решение.

FV= -$100000

r=0,28

m=2

k=10

PV=? D=?

Текущая стоимость

PV=-(-100000)/(1+0,28/2)^(2·10)=$7276,17

Такую ничтожную сумму фирма получит в качестве кредита.

Дисконт банка

D=FV- PV =100000-7276,17=$92723,83

Такую величину составит доход банка.

1.3.4 Определение срока ссуды (вклада)

По формуле простых процентов (1.4) срок финансовой сделки определяется в днях t

t=, (1.14)

где T принятое число дней в году (см. раздел 1.2).

По формуле сложных процентов (1.6) срок финансовой сделки определяется в годах k

. (1.15)

В выражениях (1.14) и (1.15) r - номинальная ставка; текущая PV и будущая FV суммы берутся по абсолютной величине.

Сколько лет нужно копить деньги при первоначальном взносе 5000 руб., годовой процентной ставке 18% и ежеквартальных начислениях, чтобы накопить 10000 руб.?

Решение.

PV=5000 руб.

FV=10000 руб.

r=0,18

m=4

k=?

k=ln(FV/PV)/ln(1+r/m)/m

k= ln(10000/5000)/ln(1+0,18/4)/4=3,9374 года.

1.3.5 Определение размера процентной ставки

Нередко возникает вопрос, под какую ставку нужно дать кредит в сумме PV, чтобы через определенный срок получить обратно сумму FV?

По формуле простых процентов

. (1.16)

По формуле сложных процентов

. (1.17)

Фирма дала в кредит дочерней фирме 50 000 руб. сроком на 3 года с ежегодным начислением процентов. Под какой процент нужно дать кредит, чтобы вернуть 60 000 руб.?

Решение.

PV=50 000 руб.

FV=60 000 руб

k=3

m=1

r=?

r=m·((FV/PV)^(1/(m·k))-1)

r=(6/5)^(1/3)-1=0,06266

r6,27%

1.3.6 Номинальная и эффективная ставки

Величину годовой процентной ставки r часто называют номинальной ставкой в отличие от процентной ставки за период r t/T или 1/m.

Для сравнения эффективности предложений различных банков по кредитным операциям их пересчитывают к эффективной процентной ставке , обеспечивающей ту же доходность, но при начислении процентов один раз в году. Сравнивая (1.6) с

,

получим ,

откуда

= (1.7)

Определим эффективную годовую ставку в первых трех случаях.

Решение. Очевидно, что в четвертом случае, при ежегодных начислениях процентов, она составляет 12%. Для

m = 12 = (1+0,12/12)^12-1=0,1268;

m = 4 = (1+0,12/4)^4-1=0,1255;

m = 2 = (1+0,12/2)^2-1=0,1236.

Как и следовало ожидать, ежемесячное начисление обеспечивает самую большую эффективную ставку.

Замена в договоре номинальной ставки r при m - разовом начислении процентов на эффективную не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Вообще разные по величине номинальные ставки являются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну и ту же величину.

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость в определении r по заданным значениям и m. Из (1.7) находим

(1.8)

1.4 Начисление налогов и проценты

Во многих странах проценты облагаются налогом. Очевидно, что налог на проценты уменьшает наращенную сумму и реальную процентную ставку банка.

Пусть процентная ставка банка r, ставка налога на проценты н, начальная сумма банковского вклада PV, задан срок размещения вклада.

Простые проценты

Наращенная сумма вклада: FV= PV (1+ r), где FV и PV взяты по абсолютной величине.

Проценты: I= FV-PV= PVr

Проценты после уплаты налога: I_н=I.·(1- н)= PV··r·(1- н)

Наращенная сумма после уплаты налога:

FV=PV+I_н= PV·[1+·r·(1- н)]. (1.18)

Сложные проценты

Наращенная сумма вклада: .

Проценты: I= FV-PV=.

Проценты после уплаты налога: I_н=I·(1- н)= ·(1- н).

Наращенная сумма после уплаты налога

FV=PV+I_н=·(1- н)],

откуда

FV=·(1-н)+н] (1.19)

Клиент внес в банк 1000 $ на год. Процентная ставка банка 16%. Налог на проценты 8%. Требуется определить сумму налога N, процент и наращенную сумму в двух случаях: 1) простых процентов; 2) сложных процентов при ежемесячном начислении процентов.

Решение.

PV=1000 $

r=0,16

н=0,08

t=T

k=1

m=12

Iн=?, FV=?

Простые проценты

Без налога

I= PVr=1000·0,16=160 $,

FV=PV+I=1160$.

б) С налогом

N= PV··r·н=1000·0,16·0,08=12,8 $

I_н = PV··r·(1- н)= 1000·0,16· (1-0,08)=147,2 $

Можно записать

Iн = I- N=160-12,8=147,2 $

FV=PV+ Iн =1147,2 $

FV=PV+I=1172,27 $

Сложные проценты

а) Без налога

I==1000*[(1+0,16/12)^12-1]=172,27 $

б) С налогом

I_н =. (1- н)= 172,27*(1-0,08)=158,49 $

FV=PV+ I_н =1158,49 $; N=I- I_н=172,27-158,49=13,78 $

1.5 Проценты и инфляция

1.5.1 Основные понятия

Инфляция - это обесценивание денег, обусловленное чрезмерным увеличением выпущенной в обращение массы бумажных денег и безналичных выплат по сравнению с реальным предложением платных товаров и услуг.

Проявляется инфляция в росте цен на товары. На одни товары цены могут расти, на другие - уменьшаться, но если наблюдается устойчивая тенденция массового повышения цен, то это уже инфляция.

Изменение цен на товары и услуги определяется при помощи индекса цен. Индекс цен численно равен отношению цен на товары, услуги или работы в один период времени к ценам этих же товаров, услуг или работ в другой период времени. Вводят понятие агрегатного индекса цен. Агрегатный индекс цен численно равен отношению цены группы товаров (услуг) за данный период к цене той же группы в базисном периоде. Индекс цен на потребительские и промышленные товары регулярно публикуется. Процентное изменение индекса потребительских цен называется уровнем инфляции.

Пусть S - некоторая сумма денег, имеющаяся у человека в данный момент; S - сумма денег через некоторое время t , покупательная способность которой равна S . Вследствие инфляции S >S и S=S+S, где S - некоторая сумма денег, которая добавляется к S для сохранения стоимости годовой "потребительской корзины".

Основными показателями инфляции являются

средний годовой уровень инфляции = (S - S )/S = S/S

годовой индекс инфляции IN= S/S=1+

Коэффициент падения покупательной способности денег определяется как величина, обратная индексу цен. В США за базисный год принят1967 г. Индекс цен в 1967 году считается за 100%. Индекс цен в 1985 г. равен 322,2%, то есть цены за это время выросли более, чем в 3 раза. Коэффициент падения покупательной способности денег за 1985 г. равен 1/3,222*100%=31,04%. Таким образом, реальная покупательная способность денег равна 31,04% от уровня 1967 года.

Индекс потребительских цен определяется по стоимости "потребительской корзины". Она определяется для трудоспособного мужчины на месяц: хлеба черного - 7 кг 20 г, белого - 3 кг 60 г, муки пшеничной - 540 г, макаронных изделий - 580 г, крупы - 630 г, картофеля - 15 кг, капусты - 2 кг 480 г, яблок - 1 кг 670 г, говядины - 1 кг, свинины - 1 кг 580 г, колбасных изделий -580 г, молока - 10 литров, масла - 500 г, яиц -26 штук, сахара - 2 кг 130 г, чая - 80 г, соли - 830 г.

В России стоимость "потребительской корзины" фиксируется к уровню сентября 1977 года.

Годовой индекс инфляции показывает, во сколько раз возрастает цена "потребительской корзины" за год. При инфляции потребители ускоренно стараются материализовать деньги в товары, что в некоторой степени стимулирует производство, способствует более быстрому обороту денег и развитию экономики. Поэтому в последнее время инфляции не приписывают исключительно деструктивных качеств, так как развитие без инфляции приводит к накоплению денег и оттоку их из производства.

1.5.2 Учет инфляции

Простые проценты

Определим годовую процентную ставку r, которая бы обеспечила прибыль от наращения по годовой ставке r и покрывала потери от инфляции. Пусть без инфляции будущая сумма

FV = PV (1+ r). (1.20)

Наращенная сумма с учетом инфляции, имеющая ту же покупательную способность, что и без инфляции

FV = PV·(1+ r). (1.21)

Естественно, что FV больше FV,

FV = FV·(1+). (1.22)

Из (1.20)-(1.22) получаем

FV = PV·(1+ r)= PV (1+ r) (1+) (1.23)

и годовая процентная ставка, покрывающая инфляцию, должна быть больше, чем без инфляции.

r=r++ r (1.24)

Коэффициент наращения с учетом инфляции

К=(1+ r) (1+). (1.25)

Он должен быть больше, чем без инфляции К=(1+ r).

Пусть клиент делает вклад в размере PV в условиях инфляции с годовым уровнем . Банк обеспечивает ставку r . Какова реальная годовая процентная ставка прибыли r?

Из (1.24) получаем

(1.26)

Следовательно, реальная покупательная стоимость будущего вклада составит

FV=PV·(1+). (1.27)

Фирма договорилась с банком о выделении кредита размером 300 тыс. руб. сроком на полгода под 22% годовых без учета инфляции (проценты простые). Ожидаемый годовой уровень инфляции 14%.Какую процентную ставку с учетом инфляции возьмет банк, каков при этом коэффициент наращения и дисконт банка? По (1.24)

Решение.

PV=300 тыс. руб.

r=0,22

=0,14

t/T=0,5

r=? К=? D=?

r=r++ r=0,22+0,14+0,5·0,22·0,14=0,4454, т.е. r=44,54%

Согласно (1.25)

К=(1+ r) (1+)=(1+0,5·0,22)·(1+0,5·0,14)= 1,1877

пришлось бы вернуть

Наращенная сумма FV=PV·К=300·1,1877=356,31 тыс. руб. - такую сумму фирме придется вернуть банку с учетом инфляции.

Дисконт банка

D=FV-PV=356,31-300=56,31 тыс. руб.

Без учета инфляции пришлось бы вернуть

FV=PV(1+r·t/T)=300(1+0,5·0,22)=333 тыс. руб.

Клиент оформляет вклад в размере 10000 руб. на 3 месяца под простые проценты из расчета 24% годовых. Годовой уровень инфляции 15%. Определите реальную годовую ставку банка и реальную покупательную способность будущего вклада

Решение

PV=10000 руб.

t/T=0,25

r=0,24

=0,15

r=?

В соответствии с (1.26)

=(0,24-0,15)/(1+0,25·0,15)= 0,086747, т.е. r=8,67%

На руки клиент получит

FV=PV·(1+· r)=10000· (1+0,25·0,24)= 10600 руб.

Их покупательная способность по формуле (1.27) составит

FV=PV·(1+)=10000 (1+0,25·0,086747)=10216,87 руб.

Инфляция "съела" большую часть дохода.

Сложные проценты и инфляция

Абсолютная величина будущей суммы по формуле сложных процентов находится из (1.6). Напомним, что k - это число лет вклада, а m - количество раз начисления процентов в году. Если известен средний коэффициент инфляции за k лет , то наращенная сумма с учетом инфляции

. (1.28)

С другой стороны,

. (1.29)

Из сравнения (1.28) и (1.29) получаем =, откуда

(1.30)

Коэффициент наращения в условиях инфляции должен быть больше, чем без инфляции

К=. (1.31)

Реальная процентная ставка банка при инфляции ниже указанной банком . Из (1.30)

(1.32)

Банк выдал ссуду в размере 80 тыс. руб. на три года с начислением процентов каждые полгода. Процентная ставка банка 28%. Среднегодовая инфляция ожидается на уровне 16%. Определитe сумму, которую придется выплатить в конце срока, реальную ставку банка.

Решение

PV=80

r=0,28

=0,16

k=3

m=2

FV=? r=?

Из (1.29)

=80*(1+0,28/2)^(2*3)= 175,5978 тыс. руб.

Из (1.32)

=((1+0,28/2)/(1+0,16)^(1/2)-1)*2=0,116927

r=11,69% - по такой ставке банк получит реальный доход.

2. Постоянные регулярные потоки платежей

2.1 Основные понятия

При проведении большинства финансовых операций возникают денежные потоки - чередующиеся в течение ограниченного или неограниченного промежутка времени поступления и выплаты денежных средств. Поток состоит из отдельных элементов потока - платежей. Поступления денег считаются положительными платежами, а выплаты - отрицательными. В первой главе мы рассмотрели одноразовые поступления и выплаты и наращенные на них проценты. Денежный поток - это последовательность платежей разных направлений. Денежные потоки делятся:

по распределению во времени - на регулярные (периодические) и нерегулярные;

по величине элементов - на постоянные и переменные.

Периодические платежи могут осуществляться в конце периода - постнумерандо (обыкновенные) или в начале периода - пренумерандо.

Денежный поток, элементы которого Сi поступают через равные промежутки времени, называются финансовой рентой. Постоянная рента предполагает получение или выплату одинаковых сумм C в течение всего срока операции.

В этой главе будут рассматриваться только периодические постоянные потоки платежей, то есть постоянные ренты. Будем сначала полагать, что число платежей m раз в году и их момент (пренумерандо или постнумерандо) совпадают с числом и моментом начисления процентов, причем процентная ставка не меняется в течение всего срока операции.

Существует три основных вида операций.

Срочным аннуитетом называется денежный поток с равными поступлениями С в течение ограниченного промежутка времени в конце каждого периода. Например, клиент вносит в банк первоначальную сумму, а в обмен получает серию периодических выплат в течение срока действия договора. В конце срока договора ему причитается получить сумму FV.

Банковский кредит - это аннуитет наоборот. Клиент получает денежную ссуду PV, а потом выплачивает свой долг равными платежами С в течение срока погашения кредита. В конце срока операции ему остается выплатить сумму FV.

Накопление периодическими взносами (формирование денежных фондов). В начале срока финансовой сделки вносится вклад в размере PV и через равные промежутки времени к нему добавляются суммы С. К концу срока сделки с учетом начисленных процентов накопится сумма FV.

Анализ потока платежей предполагает решение

а) прямой задачи, когда проводится оценка с позиции будущего, т. е. вычисляется сумма всех платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции;

б) обратной задачи, когда проводится оценка с позиции настоящего, т. е. определяется современная стоимость всех платежей, приведенная на момент начала операции.

2.2 Будущая сумма пренумерандо и постнумерандо без первоначальной суммы

2.2.1 Рента пренумерандо

Пусть одинаковые платежи размером С (cost - стоимость) осуществляются пренумерандо в течение n периодов. На них нарастают проценты по номинальной (ежегодной) процентной ставке r. Сначала рассмотрим С по абсолютной величине.

В начале первого периода осуществлен взнос С. К концу периода на него нарастут проценты, и будущая сумма составит

FV₁ = С·(1 + r).

В начале второго периода внесена сумма С, а к концу второго периода на нее и на FV₁опять нарастут проценты

FV₂=С·(1+r)+С·(1+r)².

К концу третьего периода

FV₃ = С·(1+r)+С·(1+r)²+С·(1+r)³ и т. д.

К концу n-ого периода будущая сумма составит

FV_n = С (1+r)+С· (1+r)²+С· (1+r)ⁿ = С (1+r) ·.

Нетрудно видеть, что это сумма геометрической прогрессии с общим членом

= ₁·q^{n -1}, где ₁=С· (1+r), a q=1+r.

Как известно из школьного курса [7], сумма такой геометрической прогрессии

S_n=.

Таким образом, получаем

FV_n=

Если взносы осуществляются m раз в году в течение k лет, то число периодов сделки n=k·m, а процентная ставка за период составляет r/m. В этом случае

FV=. (2.1)

2.2.2 Рента постнумерандо

Те же условия, что в разделе 2.2.1, но рента вносится в конце каждого периода - постнумерандо.

К концу первого периода сделан взнос С и FV₁=С

К концу второго периода снова сделан взнос С, а на FV₁ наросли проценты:

FV₂=С+С·(1+r).

К концу третьего: FV₃=С+С·(1+r)+С·(1+r)² и т. д.

Будущая сумма к концу n-ого периода

.

Это геометрическая прогрессия с первым членом ₁=С и частным q=(1+r). Следовательно,

.

Если взносы осуществляются m раз в году в течение k лет, то n=m·k

. (2.2)

Формулы (2.1) и (2.2) можно объединить в одну.

(2.3)

Здесь тип=0, для взносов постумерандо,

тип=1, для взносов пренумерандо.

Очевидно, что при выплатах пренумерандо абсолютная величина будущей накопленной суммы больше.

Поскольку выплаты С и конечная сумма имеют, как правило, разные знаки (-С; -С;-С; FV) или (С; С;С; -FV), то их сводят в уравнение эквивалентности

(2.4)

Напомним, что в выражениях (2.1) - (2.4) величина m - это число взносов и начислений процентов в году.

При ежемесячных взносах m=12;

при ежеквартальных взносах m=4;

при взносах раз в полгода m=2;

при ежегодных взносах m=1.

Сколько денег можно накопить в банке в течение года, внося ежемесячно по300 руб. во вклад под 18% годовых?

Решение

С=-300 руб.

r=0,18

k=1

m=1,2

FV=?

Первый случай - взносы постнумерандо (тип=0)

Второй случай -взносы пренумерандо (тип =1)

Если бы мы копили эти деньги в банке из под кофе, то в конце года имели бы только

FV=300*12=3600 руб.

Таким образом, в обоих случаях за счет процентов банк нам приплачивает в конце года больше трехсот руб. Однако во втором случае (выплаты в начале каждого месяца) мы получим почти на 60 руб. больше.

2.3 Уравнение эквивалентности в общем виде

В первой главе мы вывели уравнение эквивалентности (1.6) между одноразовым взносом и накопленной к концу срока финансовой сделки суммой FV при условии наращивания процентов по номинальной ставке r. В этом уравнении не учитывались периодические платежи С. В разделе 2.2.2 выведено уравнение эквивалентности (2.4), связывающее периодические платежи С и накопленную сумму FV при условии, что не было первоначального взноса PV.

В повседневных финансовых операциях накопления денег, кредитования, аннуитета (см. раздел 2.1) фигурируют как первоначальные, так и периодические взносы.

Все эти ситуации описываются общим эквивалентным уравнением, объединяющим уравнения (1.6) и (2.4)

(2.5)

Из этого уравнения можно определить одну из величин как функцию остальных:

FV=f(PV,С,r,m,k) - будущую сумму в любой момент;

PV=f(FV,С,r,m,k) - текущую сумму, пересчитанную к любому моменту финансовой сделки;

С=f(PV,FV,r,m,k) - выплаты;

k=f(PV,FV,С,r,m) - срок договора;

r=f(PV,FV,С,m,k) - норму, годовую процентную ставку.

2.3.1 Определение будущей суммы

Пусть в начале срока вложена сумма PV=1000 руб. Ежемесячно вносится еще по 300 руб. Годовая процентная ставка 18%. Как при этом изменятся суммы в конце года постнумерандо и пренумерандо.

Решение

PV=-1000 руб.

с=-300 руб.

r=0,18

k=1

m=12

FV=?

1) Взносы постнумерандо.

2) Взносы пренумерандо.

2.3.2 Определение текущей суммы

Из уравнения (2.5) получим в общем виде

. (2.6)

Откуда

(2.7)

Пенсионер получил наследство и хотел бы заключить договор с пенсионным фондом с условием получения 500 руб. в конце (начале) каждого месяца на протяжении 5 лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода при процентной ставке 24% годовых?

Решение.

FV=0

С=500

r=0,24

k=5

m=12

PV=?

1) Выплаты в конце месяца (тип=0)

2) Выплаты в начале месяца (тип=1)

Как видим, во втором случае вклад должен быть значительнее почти на 350 руб. Знак минус показывает, что первоначальную сумму PV нужно отдать в банк.

Сколько денег пришлось бы пенсионеру положить в шкатулку, чтобы вынимать из нее по 500 руб. ежемесячно в течение 5 лет?

PV=500*12*5=30000 руб.

В обоих случаях банк за счет процентов доплачивает больше 12000 руб.

2.3.3 Определение периодических выплат

Какую сумму С нужно вносить регулярно в начале (в конце) периода, чтобы при первоначальном взносе PV и годовой процентной ставке r через n=m·k периодов накопить капитал FV? Из (2.5) имеем

. (2.8)

Родители решили накопить за 18 лет на образование ребенка 50000 руб. Банк обеспечивает 6% годовых по вкладу. Сколько денег нужно вносить в конце каждого месяца?

Решение

FV=50000 руб.

PV=0

r=0,06

k=18

m=12

С=?

За 18 лет родители внесут в банк 129,08·18·12=27881,28 руб.

Остальные 50000 - 27881,28=22118,72 руб. доплатит банк.

2.3.4 Расчет срока ренты

При разработке условий контракта иногда возникает необходимость в определении срока ренты. Решая уравнение (2.5) относительно числа лет k, получим

(2.9)

2.3.5 Определение размера процентной ставки

Необходимость в определении величины процентной ставки возникает всякий раз, когда речь идет о выяснении эффективности (доходности) соответствующей финансово - банковской или коммерческой операции. Вопрос стоит так, под какую процентную ставку r нужно дать кредит в сумме PV, чтобы при периодических выплатах С через n периодов получить обратно сумму FV? Однако, расчет ставки по остальным параметрам ренты не так прост. Величина r не выражается в явном виде из уравнения (2.5). Поэтому необходимо решить нелинейное уравнение (2.5) относительно r. Раньше его решали методом линейной интерполяции или итерационным методом ([2]). Сейчас эта задача и все остальные примеры и задачи, рассмотренные в главах 1, 2, легко решаются с помощью финансовых функций в Excel.

2.4 Решение финансовых задач с помощью финансовых функций Excel

2.4.1 Общие рекомендации

Перечисленные ниже функции Excel применимы только в случаях, если процентная ставка r и выплаты с постоянны и моменты и количества m начисления процентов в году совпадают с моментами и количеством выплат.

Для расчетов Excel использует приведенную выше формулу (2.5)

В финансовых функциях Excel необходимо строго учитывать знаки величин PV, FV и С. Когда мы отдаем какую - либо величину, ставим перед ней знак минус, если получаем - плюс.

Все финансовые функции Excel входят в Пакет анализа. Если Вы выбрали команду меню Вставка, и в развернувшемся подменю не появилась команда fx функции, или если в панели инструментов нет кнопки fx , то вызовите Пакет анализа.

Для этого

1) Сервис Надстройки

2) В появившемся окне Надстройки найдите “Пакет анализа” и поставьте перед ним галочку.

3) ОК

Если Пакета анализа нет в Office на ЭВМ, его нужно догрузить с CD - ROM.

2.4.2 Вызов финансовых функций

Вызов всех финансовых функций в Excel производится одинаково

1) fx

2) Появляется окно Мастер функций - шаг 1 из 2.

3) В списке Категория: выбираем Финансовые.

4) В окне Функция появляется алфавитный список всех финансовых функций.

5) Выбираем нужную - ОК

6) Появляется окно выбранной функции.

В его поля нужно ввести заданные значения. Если какое - либо значение равно нулю, это поле можно не заполнять. Если рента постнумерандо, поле Тип тоже можно не заполнять.

Не забывайте в поле Норма вводить величину процентной ставки за период r/m, а в поле Число - периодов - число периодов выплат или начисления процентов n=k·m.

7) ОК

2.4.3 Вычисление будущего значения

В Excel будущему значению FV соответствует функция

БЗ (Норма; Число_периодов; Выплата ;НЗ; тип). (2.10)

В принятых в данной работе обозначениях

FV=БЗ(r/m; k·m; С; PV; тип). (2.10а)

2.4.4 Расчет текущей суммы

В Excel текущему значению PV соответствует функция первоначальное значение

ПЗ(Норма; Кпер; Выплата; Бс; тип). (2.11)

В принятых здесь обозначениях

PV=ПЗ(r/m; k*m; С; FV; тип). (2.11а)

2.4.5 Определение периодических выплат

В Excel периодические выплаты С определяет функция

ППЛАТ(Норма; Кпер; Нз; Бс; тип). (2.12)

В принятых здесь обозначениях

С=ППЛАТ(r/m; k*m; PV; FV; тип). (2.12а)

2.4.6 Расчет срока ренты

Функция Excel

КПЕР(Норма; Выплата; Нз; Бс; Тип) (2.13)

вычисляет количество периодов выплат или начислений процентов n= m·k. В принятых здесь обозначениях

n=КПЕР(r/m; C; PV; FV; Тип). (2.13 а)

2.4.7 Определение размера процентной ставки

Особенно изящно решается с помощью Excel задача о нахождении процентной ставки за период, или нормы прибыли за период, или эффективности финансовой сделки за период. Для этого служит функция

НОРМА (кпер; выплата; нз; бс; тип; предположение). (2.14)

Функция Норма фактически решает методом последовательных приближений нелинейное уравнение (2.5) относительно r/m при заданных остальных значениях входящих в уравнение параметров. Поэтому требуется задавать начальное приближение (предположение) ставки за период. По умолчанию оно принимается равным 10%. Как правило, предположение можно не вводить. Однако, если ЭВМ не может решить уравнение с этим начальным приближением и выдает ответ: #ЧИСЛО, то следует попытаться решить задачу с другим начальным приближением.

В принятых в работе обозначениях

r = НОРМА (k·m; C; PV; FV; тип; начальное_приближение). (2.14а)

2.5 Выбор банка кредитования и составление плана погашения кредита

2.5.1 Постановка задачи

Фирма собирается взять на расширение производства кредит в размере 500 000 долларов сроком на 5 лет с погашением равномерными платежами основного долга и процентов в конце каждого года. Фирма направила запросы на финансирование в 3 банка, из которых пришли ответы с соответствующими условиями (таблица 2.1).

Требуется: 1) сравнить условия и выбрать банк, обеспечивающий наименьшее отношение; ;

2) составить план погашения кредита по годам.

Расчет проведем в Excel.

2.5.2 Выбор банка кредитования

На листе, который назовем “Кредит”, введем исходные данные и рассчитаем отношение выплаты/получено для каждого банка.

Таблица 2.1

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	Выбор кредита
2	Входные данные	Выходные данные
3	Банк	Объем кредита	Выдача	Плата за оформление	Ставка (%)	Срок (лет)	Дизажио	Получено	Выплаты	Выплаты / Получено
4	Альфа Банк	$500 000	0,96	$300	24,0%	5	20000	$479 700	-$182 123,86	0,379662
5	НДБ	$500 000	0,965	$250	23,5%	5	17500	$482 250	-$180 233,77	0,3737351
6	ИНКБ	$500 000	0,95	$350	22,0%	5	25000	$474 650	-$174 602,97	0,3678562

Пояснение: в графе “Выдача” показано, какую часть от запрашиваемой ссуды выдает банк. Кое - что (дизажио) банк оставляет себе, как плату за риск финансовой сделки.

Ввод данных.

1. Для того, чтобы заголовки помещались в одной строке,

1.1 выделим строку 3;

1.2 Формат - Ячейки;

1.3 в открывшемся окне выбираем вкладку Выравнивание;

1.4 переносить по словам (щелчок слева по квадратику - появляется галочка); ОК.

2. Столбцы В4:В6 и D4:D6 форматируем в долларах:

2.1 выделяем первый блок В4:В6;

2.2 нажимаем клавишу Сtrl и, не отпуская ее, выделяем второй блок D4:D6;

2.3 Формат - Ячейки - Число - Денежный;

2.4 в поле Обозначения: выбираем $; ОК.

3. Прежде, чем вводить проценты, отформатируем блок F4:F6 в процентах:

3.1 выделяем блок;

3.2 Формат - Ячейки - Число - Процентный;

3.3 в поле Число десятичных знаков: ;

3.4 ОК.

4. Вводим все заголовки и данные.

Расчет

1. Рассчитаем дизажио в ячейке G4 по формуле 500000·(1 - 0,96)

В Excel эта формула выглядит так =В4*(1 - С4)

2. Вычислим в ячейке Н4, что получила фирма на руки от первого банка, по формуле

П=500000 - 500000(1 - 0,96) - 300

В Excel в ячейку Н4 введем соответствующую ей формулу =В4 - G4 - D4

3. Вычислим ежегодные выплаты, которые фирма должна возвращать банку

В данном примере

PV=$500000

FV=0 - кредит через 5 лет должен быть погашен.

r=0,24; k=5 лет; m=1; тип=0

По формуле (2.8)

.

B Excel вычислим выплаты с помощью финансовой функции

ППЛАТ(Норма; Кпер; Нз; БС; тип).

В ячейку I4 введем функцию ППЛАТ(Е4; F4; B4).

Естественно, что выплата получается отрицательной величиной - фирме придется деньги возвращать.

4. Рассчитаем отношение выплаты/получено (С/П). Для удобства восприятия возьмем их по абсолютной величине. Для этого в ячейку J4 введем формулу =ABS(I4/H4)

5. Проведем аналогичные расчеты для всех остальных банков. Для этого:

5.1 Выделим блок G4:J4;

5.2 Скопируем формулы на блок G5:J6.

Хотя банк ИНБК больше всех оставляет себе плату за страх и за оформление, но он предлагает наиболее низкий процент кредита 22%. Поэтому его условия оказались самыми выгодными, отношение выплаты к получению самым низким. Именно с ним фирма заключила финансовую сделку.

Остается отформатировать лист Кредит, как показано в таблице 2.1.

2.5.3 План погашения кредита

Excel позволяет отдельно рассчитать плату по процентам и выплату основного долга по годам. Для этого существуют финансовые функции:

ПЛПРОЦ(Норма; Период; Кпер; Тс; Бс)

ОСНПЛАТ(Норма; Период; Кпер; Тс; Бс).

В обозначениях, принятых в данной работе, приведенные формулы запишутся в виде

ПЛПРОЦ(r/m; i; m·k; PV; FV)

ОСНПЛАТ(r/m; i; m·k; PV; FV).

Здесь: Период, или i, - номер периода, для которого вычисляется выплата основного долга или процентов по долгу

1. На листе, который назовем Погашение, введем заголовки и года погашения кредита (Таблица 2.2).

Таблица 2.2

	A	B	C	D
1	План погашения кредита
2
3	Год	Плата по процентам	Погашение основного долга	Остаток
4	1	-$110 000,00	-$64 602,97	$435 397,03
5	2	-$95 787,35	-$78 815,62	$356 581,41
6	3	-$78 447,91	-$96 155,06	$260 426,36
7	4	-$57 293,80	-$117 309,17	$143 117,19
8	5	-$31 485,78	-$143 117,19	-$0,00
9
10	FV=	$1 351 354,08	$1 351 354,08

2. В ячейку В4 вводим формулу

ПЛПРОЦ(Кредит!$E$6; Погашение!А4; Кредит!$F$6; Кредит!$B$6)

Вызов функции осуществляется так же, как вызов других финансовых функций.

2.1 Первый аргумент функции - Норма, берется с листа Кредит из ячейки Е6. знаки долларов в адресе ячейки показывают, что адрес этой ячейки не должен меняться ни при каких манипуляциях. Для того, чтобы набрать этот адрес:

а) щелкаем по ярлыку листа Кредит;

б) щелкаем по ячейке Е6 этого листа;

в) нажимаем клавишу F4. Появляются значки $: $F$4.

2.2 Второй аргумент - номер года i является относительным адресом. Он берется с листа Погашение.

2.3 Четвертый и пятый аргументы - срок договора и сумма кредита берутся из соответствующих ячеек листа Кредит. Они являются абсолютными адресами.

2.4 ОК.

Если вместо числа в ячейке появляются решетки #, это значит, что результат не вписывается в размеры ячейки. Нужно раздвинуть ячейку (поставить курсор между столбцами В и С, добиться курсора вида и при нажатой левой клавише мыши потянуть курсор вправо).

3. Аналогично вводим в ячейку С4 функцию

ОСНПЛАТ(Кредит!$Е$6;А4;Кредит!$F$6;А4; Кредит!$В$6).

Если сравним результаты в ячейках В4 и С4 листа Погашение с величиной в ячейке I4 листа Кредит, то убедимся, что плата по процентам и плата по основному долгу в сумме равны ежегодной выплате.

4. Скопировав формулы из блока В4:С4 на блок В5:С8, убедимся, что из общей выплаты все меньше приходятся с годами выплаты по процентам и все больше по основному долгу.

5. Проследим, какой же долг остается за фирмой по годам.

5.1 В конце первого года он равен разности между ссудой и абсолютной величиной погашения долга за первый год.

В ячейку D4 вводим формулу =Кредит!В6+Погашение!С4

5.2 В конце второго года останется разность между полученным результатом в D4 и абсолютной величиной погашения долга за второй год.

В ячейке D5 записываем формулу =D4+C5

5.3 Копируем эту формулу в оставшиеся ячейки. В конце пятого года долг равен $0.

Вычислим, какую сумму выплатила фирма за весь срок кредита.

PV=0

C=-$174602,97

m=1

k=5

r=0,22

Тип=0

FV=?

По формуле (2.3)

Вычислим FV по этой формуле в ячейке В10.В ячейке С10 проверим ее с помощью функции

БЗ(Кредит!Е6; Кредит!F6!; Кредит!I7)=$1351 354,08

Как видим, результаты совпали.

Фирма переплачивает за срок 5 лет больше 800 тыс. долларов, то есть переплачивает в 1,6 раза больше, чем берет (платит в 2,6 раза больше, чем берет)! А это по нашим меркам еще божеский кредит.

Определим теперь абсолютное значение наращенной суммы для наиболее общего случая: р - срочная рента с начислением процентов m раз в году.

Пусть С - это постоянная рента, начисляемая р раз в году. Число выплат ренты за k лет равно k·p. Количество начислений процентов в году равно m.

За период m/p года на каждую выплату С нарастают проценты в размере (1+)^m/p.

1) Если выплаты идут пренумерандо, то к концу k·p-ого периода сумма выплат составит

FV=C·(1+r/m)^m/p+ C· (1+r/m)^2m/p+···+ C· (1+r/m)^k·p·m/p=C·(1+r/m)^m/p· [1+ (1+r/m)^m/p+···+ (1+r/m)^(kp-1)·m/p].

Это сумма геометрической прогрессии с первым членом

C·(1+r/m)^m/p и частным q= (1+r/m)^m/p.

Она равна [7]

FV=C· (1+r/m)^m/p·.

При p=m эта формула плавно переходит в (2.1).

2) Если выплаты поступают постнумерандо, то к концу k-ого года сумма выплат составит

FV=C+ C(1+r/m)^m/p+···+ C(1+r/m)^{(kp-1)··m/p}

В этом случае

FV=C.

При p=m эта формула переходит в (2.2).

Обе формулы объединим в одну

FV=C·(1+r/m·тип)^m/p. (2.15)

тип=1 для выплат пренумерандо и тип=0 для выплат постнумерандо.

Уравнение эквивалентности приобретает вид

FV+PV(1+r/m)^m·k + C·(1+r/m·тип)^m/p =0 (2.16)

Из него можно определить любые из восьми величин FV, PV, c, r, k, m, p через остальные семь.

Создается страховой фонд фирмы общей суммой 10 млн. руб. Фонд должен быть создан в течение 5 лет. Взносы в фонд производятся ежемесячно пренумерандо. Проценты начисляются ежеквартально по процентной ставке 18% годовых. Определите размер платежа и сумму, накопленную через 3 года.

Решение.

PV=0

FV=10 млн. руб.

k=5

p=12

m=4

r=0,18

С=? FV(k=3) =?

Из (2.16)

С=

С=

Такую сумму фирме следует начислять ежемесячно в страховой фонд.

Через 3 года сумма фонда составит

FV₃=

Динамика наращивания суммы фонда, рассчитанная в Excel, представлена таблицей (2.3) и графиком pис.(2.1)

...