Подземная гидромеханика

Постоянное забойное давление. Объемный дебит возмущающей скважины определяется по формуле

(4.27)

а объем жидкости Vf, добытой из скважины (в пластовых условиях) за время t с момента пуска скважины равен

.

При больших параметрах Фурье fo объем Vf оказывается равным упругому запасу жидкости в закрытом пласте

Vf *(рк - рс). (4.28)

На рис. 4.6 показана пьезометрическая кривая для нескольких моментов времени в закрытом пласте, а на рис. 4.7 изображены две кривые: одна из них характеризует падение дебита скважины с постоянным забойным давлением (кр. 1); другая - рост суммарной добычи жидкости Vf (кр.2).

4.1.6. Периодически работающая скважина

В неограниченном пласте останавливается скважина, эксплуатирующаяся с постоянным дебитом Q в течении времени Т, сравнимого со временем проведения исследований. Понижение давления р в момент времени Т можно найти по формуле

(4.23).

С момента остановки давление в ней и окружающей области пласта повышается, т.е. с данного момента в одном и том же месте пласта как бы действуют совместно и непрерывно эксплуатационная (сток) и нагнетательная (источник) скважины. При этом источник имеет тот же дебит Q. Обозначим повышение давления за счет работы источника через р//.. Таким образом, начиная с момента времени Т, на основании формулы (4.23) имеем:

, (4.29)

.

Результирующее понижение давления р в любой точке пласта находится по методу суперпозиции

. (4.30)

Обозначая через рс давление на забое скважины после её остановки, получаем

. (4.31)

Зависимость (4.31) используется при гидродинамических исследованиях скважин, работающих не продолжительное время, методом построения кривой восстановления давления.

4.1.7 Определение коллекторских свойств пласта по данным исследования скважин нестационарными методами

Различают две группы гидродинамических методов: при установившихся и неустановившихся режимах. Первые связаны с теорией одномерного потенциального течения, а вторые - с теорией упругого режима. После пуска или остановки скважины происходит перераспределение давления, которое можно снять и получить кривую восстановления (КВД) или стабилизации (КСД) давления. На форму данных кривых влияют коллекторские свойства, что дает возможность определения таких параметров как проницаемость и пьезопроводность.

Наиболее распространен метод определения коллекторских свойств по данным о восстановлении забойного давления (КВД) в остановленных скважинах в полулогарифмических координатах (р, lnt) на основе зависимости (4.23), записанной относительно забоя скважины в виде

(4.32)

где

Уравнение (4.32) можно рассматривать как уравнение изменения забойного давления после остановки скважины, работающей до этого с постоянным дебитом Q.

Рис. 4.8. Кривая КВД

Уравнение (4.32) представляет собой прямую (рис. 4.8) в координатах рс-lnt, а коэффициент i определяется как тангенс угла её наклона к оси времени и коэффициент А - как отрезок оси давления, отсекаемый продолжением прямой.

По известным коэффициентам можно определить коллекторские свойства пласта:

по коэффициенту i определяют гидропроводность пласта

. (4.33)

Если известна вязкость жидкости в пластовых условиях и толщина пласта h, то из последней формулы находится коэффициент проницаемости пласта:

. (4.34)

По известному угловому коэффициенту i = tg и радиусу rc скважины из коэффициента А можно определить коэффициент пьезопроводности пласта ж.

Область применения указанных приемов интерпретации результатов исследования нефтяных скважин ограничивается условиями, при которых справедлива формула (4.32), а именно: скважина рассматривается как сток постоянной интенсивности в бесконечном, однородном пласте , и возможна мгновенная остановка притока флюида в скважину.

В случае ограниченного пласта, когда изменение давления, вызванное закрытием скважины, доходит до его границы, КВД начинает искажаться, а через достаточно большое время выходит на горизонтальную асимптоту, соответствующую стационарному распределению давления. Поэтому длина прямолинейного участка на кривой КВД ограничена.

Кроме того, в реальных условиях скважину нельзя остановить мгновенно. После её закрытия на устье приток флюида из пласта продолжается ещё некоторое время из-за упругости жидкостей и газов, заполняющих скважину. Время выхода на асимптоту должно, очевидно, превышать время дополнительного притока. Поэтому возможны условия, при которых прямолинейный участок на КВД появляется через значительный промежуток времени, либо даже вообще отсутствует.

На форму КВД сказывается также несовершенство скважины и возможное нарушение закона Дарси у стенок скважины.

4.2 Неустановившаяся фильтрация газа в пористой среде

4.2.1 Уравнение Лейбензона

Лейбензон Л.С. получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа.

Для получения требуемого уравнения используем изотермическое приближение и, следовательно, используем уравнение состояния в виде

. (4.35)

Потенциальная функция, как уже отмечалось ранее, имеет вид

. (4.36)

Обозначив р2=Р и проделав преобразования общего уравнения нестационарной фильтрации, получим уравнение Лейбензона:

. (4.37)

По внешнему виду уравнение (4.37) не отличается от уравнения пьезопроводности (4.11), но множитель перед лапласианом переменен. В связи с этим уравнение (4.37) нелинейно в отличие от линейного уравнения пьезопроводности упругой жидкости и аналитически решается приближенно.

Для получения приближенного решения используется метод линеаризации, а именно, переменное давление р заменяется на некоторое постоянное : Лейбензон предложил замену на рк (начальное давление в пласте); Чарный - на рср=рmin+0,7(pmax-pmin), где pmax и pmin - максимальное и минимальное давление в пласте за расчетный период.

При указанных допущениях решение будет иметь такой же вид, что и в случае упругой жидкости, но при этом в данных решениях давлению р будет соответствовать

Р=р2, ж - ж/=, - .

Таким образом, изменение давления при нестационарной фильтрации газа описывается соотношением

. (4.38)

При малых значениях r2/(4ж/t) можно заменить интегрально-показательную функцию логарифмической

. (4.39)

a b

Рис. 4.9. Пьезометрические кривые при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и изменение давления с течением времени в фиксированных точках пласта (b)

Формулы (4.38),(4.39) определяют при фиксированных значениях времени распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t=0. Депрессионные кривые идентичны кривым при установившейся фильтрации - имеют максимальную кривизну вблизи скважины (рис.4.9а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени (рис.4.9b). В частности, можно найти давление на забое (при r=rc) после начала работы скважины.

Уравнение (4.39) используется для расчета коллекторских параметров газовых пластов методом обработки кривой восстановления давления. Принцип расчета такой же, что и в случае нефтяных скважин, но для получения линейной зависимости по оси ординат надо откладывать не депрессию, а разность квадратов пластового и забойного давлений.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Определяющие формы пластовой энергии при упругом режиме.

2. Определяющие формы пластовой энергии при упруго-водонапорном режиме.

3. Какие условия определяют замкнуто-упругий режим?

4. Условия, определяющие жестководонапорный режим.

5. Зависимость скорости протекания неустановившихся процессов от проницаемости, вязкости и коэффициентов объёмной упругости жидкости и пласта.

6. Коэффициент объёмной упругости жидкости.

7. Упругий запас.

8. Чему равен коэффициент упругоёмкости пласта?

9. Коэффициентом пьезопроводности для упругой жидкости.

10. Коэффициентом пьезопроводности для газовых пластов.

11. Параметр Фурье.

12. Уравнение пьезопроводности упругой жидкости и его вывод.

13. Правило Лопиталя.

14. Интегрально-показательная функция и ее свойства.

15. Уравнение КВД. Области использования.

16. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с открытой внешней границей с постоянным дебитом.

17. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с открытой внешней границей с постоянным забойным давлением.

18. Изменение дебита скважины с течением времени при постоянном забойном давлении.

19. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном дебите.

20. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном забойном давлении.

21. Изменение дебита скважины с течением времени при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном забойном давлении.

22. Уравнение КВД для периодически работающей скважины.

23. Как зависит угол наклона КВД от проницаемости.

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ МНОГОФАЗНЫХ СИСТЕМ

5.1 Связь с проблемой нефтегазоотдачи пластов

При добычи нефти происходит замещение её водой или газом, как при естественных режимах эксплуатации, так и при эксплуатации с поддержанием пластового давления. Разработка газовых и газоконденсатных месторождений также часто сопровождается вытеснением газа водой или при наличии нефтяной оторочки - нефтью.

Взаимодействие различных флюидов между собой и с пористой структурой пласта обуславливает капиллярные явления, неполное и неравномерное вытеснение, образование в продуктивном пласте зон совместного течения флюидов, т. е. многофазной фильтрации.

При определенных условиях залегания и режимах разработки нефтяных и нефтегазоконденсатных месторождений в пласте возникает многофазное течение сложной многокомпонентной смеси, при котором между движущимися с различными скоростями фазами осуществляется интенсивный массообмен. Переход отдельных компонентов из одной фазы в другую влечет за собой изменение составов и физических свойств фильтрующихся фаз. Такие процессы происходят, например, при движении газированной нефти при вытеснении её водой или газом, при разработке месторождений сложного компонентного состава, при вытеснении нефти оторочками активной примеси (полимерными и щелочными растворами; различными жидкими и газообразными растворителями, применяющимися для увеличения нефтегазоотдачи). Основой для расчета таких процессов служит теория многофазной многокомпонентной фильтрации.

5.2 Основные характеристики многофазной фильтрации

подземный гидромеханика скважина пласт

Углеводородные системы могут быть гомо- и гетерогенными. В гомогенной системе все её части имеют одинаковые физические и химические свойства. Составляющие гомогенной системы (называемые компонентами) “размазаны” по пространству и взаимодействуют на молекулярном уровне. Для гетерогенной системы физические и химические свойства в разных точках различны. Гетерогенные системы состоят из фаз. Фаза - это часть системы, которая является гомогенной и отделена от других фаз отчетливыми границами. Взаимодействие между фазами происходит на поверхностях раздела. Смесь воды, нефти и газа в пласте - типичный пример гетерогенной среды.

Главными характеристиками движения многофазной среды являются насыщенность и скорость фильтрации каждой фазы.

Насыщенностью i порового пространства i -й фазой называется доля объема пор Vi , занятая этой фазой в элементарном объеме:

, i=1,2,…, n , (5.1)

где n - число фаз.

Очевидно, что

. (5.2)

Таким образом, в n-фазной системе имеется (n-1) независимая насыщенность. В частности, при исследовании фильтрации смеси двух фаз используется лишь насыщенность 1 наиболее смачивающей, вытесняющей фазы, которую будем в дальнейшем обозначать просто . . Тогда из (5.2) имеем 2=1- . Движение каждой из фаз характеризуется вектором скорости фильтрации ui данной фазы, который (по аналогии со скоростью фильтрации однородной жидкости) определяется как вектор, проекция которого на некоторое направление L равна отношению объемного расхода Qi данной фазы к площадке i , перпендикулярной к указанному направлению:

, i = 1,….n. (5.3)

Площадка i пересекает как твердую, так и подвижные фазы. При изучении сложных фильтрационных процессов возникает необходимость в построении моделей многофазных (гетерогенных) систем, в которых каждая фаза, в свою очередь, моделируется многокомпонентной гомогенной смесью. При этом между компонентами возможны химические реакции, переход компонентов из одной фазы в другую, процессы адсорбции, диффузии и др. При совместном течении двух фаз в пористой среде, по крайней мере, одна из них образует систему, граничащую со скелетом; породы и частично с другой жидкостью. Из-за избирательного смачивания твердой породы одной из жидкостей площадь контакта каждой из фаз со скелетом пористой среды значительно превышает площадь контакта фаз между собой. Это позволяет предположить, что каждая фаза движется по занятым ею поровым каналам под действием своего давления независимо от других фаз, то есть так, как если бы она была ограничена только твердыми стенками. При этом, естественно, сопротивление, испытываемое каждой фазой при совместном течении, отлично от того, которое было бы при фильтрации только одной из них. Опыты показывают, что расход каждой фазы растет с увеличением насыщенности и градиента давления. Закон фильтрации каждой из фаз при учете силы тяжести по аналогии с законом Дарси можно записать в следующем виде:

. (5.4)

Здесь k - абсолютная проницаемость пласта, определяемая по данным о фильтрации однородной жидкости; i - коэффициент динамической вязкости фаз; pi - давление в фазах; i - плотность фаз; g - вектор ускорения свободного падения.

Рис.5.1. Зависимость относительных проницаемостей ki от насыщенности

Понятие относительной фазовой проницаемости ki(), играет важную роль при изучении совместного течения нескольких жидкостей в пористой среде. Обычно считается, что относительные проницаемости являются однозначными функциями насыщенностей и не зависят от скорости фильтрации и отношения вязкостей движущихся фаз. На рис. 5.1. приведены типовые кривые относительных фазовых проницаемостей для двухфазной смеси (пунктир на рисунке относится к случаю, когда первая фаза является газом).

На этом графике показаны безразмерные относительные фазовые проницаемости k1 и k2; А - связанная компонента первой, более смачивающей фазы (для воды около 20%).

Характерная несимметричная форма кривых относительной проницаемости объясняется тем, что при одной и той же насыщенности более смачивающая фаза занимает преимущественно мелкие поры и относительная проницаемость у неё меньше. При малых насыщенностях часть каждой из фаз находится в несвязном состоянии в виде изолированных мелких капель или целиков и не участвует в движении. Поэтому, начиная с некоторой насыщенности, каждая фаза полностью переходит в несвязное состояние и её относительная проницаемость становится равной нулю, т.е. k1()=0 при <A, k2()=0 при >1- A. Движение этой фазы может происходить только, если > А. Для второй фазы связанная компонента равна 1- A. При рассмотрении совместной фильтрации двух несмешивающих жидкостей приходится различать вытесняющую и вытесняемые фазы, так как относительные проницаемости различны в зависимости от того, какая из фаз (более или менее смачиваемая) первоначально заполняла пористую среду, то есть существует гистерезис относительных проницаемостей.

Сумма относительных проницаемостей для каждого фиксированного значения меньше 1:

, 0<<1.

Это означает, что присутствие связанной смачивающей фазы мало влияет на течение не смачивающей жидкости, тогда как присутствие остаточной не смачивающей фазы значительно "стесняет" движение смачивающей фазы.

Введенные выше понятия можно обобщить на случай совместного движения трех несмешивающихся флюидов: нефти, газа и воды. Если обозначить эти флюиды индексами "н", "г" и "в", то можно ввести относительные проницаемости, точно так же, как это было сделано для двух жидкостей. При этом фазовые проницаемости являются уже функциями двух независимых насыщенностей и определяются из треугольных диаграмм (рис.5.2).

Рис.5.2. Диаграмма для определения границ преобладания потоков различных фаз при трехфазном течении

На треугольной диаграмме показаны границы преобладания фаз. Из диаграммы видно, что при газонасыщенности более 35 % поток состоит только из газа, более тёмная область показывает на наличие всех фаз. По диаграмме можно определить, какие компоненты движутся в пласте при данном соотношении величин насыщенности пор фазами.

Характер зависимостей определяется различной степенью смачивания твердых зерен породы фазами, причем оказывается, что относительная проницаемость зависит только от водонасыщенности - наиболее проницаемой фазы - воды, и почти не зависит от нефте- и газонасыщенности. На основании экспериментов можно считать, что относительная фазовая проницаемость в многофазном потоке почти не зависит от вязкости жидкости, ее плотности, внутрижидкостного натяжения, градиента давления.

Характерные особенности многофазной фильтрации связаны также с влиянием поверхностного натяжения. Давления в фазах р1 и р2 не равны друг другу из-за капиллярных эффектов, приводящих к скачку давления на границе раздела фаз:

р2-р1=рк , (5.5)

где рк - капиллярное давление (или капиллярный скачок).

Большее давление будет на стороне жидкости, не смачивающей твердые зерна породы.

Предположим, что капиллярное давление при совместном течении жидкостей совпадает с капиллярным давлением в равновесном состоянии для того же значения насыщенности и при одном и том же направлении её изменения (увеличении или уменьшении). Поэтому капиллярное давление можно представить в виде известной экспериментальной функции насыщенности (рис. 5.3):

, (5.6)

где п - коэффициент межфазного поверхностного натяжения; - статический краевой угол смачивания между жидкостями и породой; J() - безразмерная функция Леверетта.



Рис. 5.3. Зависимость функции Леверетта от насыщенности:

1 - кривая вытеснения; 2 - кривая пропитки;

А - остаточная насыщенность вытесняемой жидкости

Процессы многофазной фильтрации идут по-разному в зависимости от характерного времени фильтрационного процесса и от размеров области течения. Капиллярные силы создают в пористой среде перепад давления, величина которого ограничена и не зависит от размеров области фильтрации. Вместе с тем перепад внешнего давления, создающего фильтрационный поток между двумя точками, пропорционален скорости фильтрации и расстоянию между этими точками. Если размеры области малы, то при достаточно малых скоростях фильтрации капиллярные силы могут превзойти внешний перепад давления. Напротив, если рассматривается движение в очень большой области (например, в целой нефтяной или газовой залежи), то влияние капиллярных сил на распределение давления незначительно и их действие проявляется в локальных процессах перераспределения фаз. Взаимное торможение фаз, благодаря которому относительные фазовые проницаемости не равны соответствующим насыщенностям, обусловлено, прежде всего, капиллярными эффектами. В тех случаях, когда можно пренебречь капиллярным скачком рк(), капиллярность косвенно учитывается самим видом опытных кривых относительных проницаемостей ki().

Таким образом, при описании многофазной фильтрации увеличивается число параметров, подлежащих определению. Наряду с неизвестными давлениями pi в фазах и скоростями фильтрации фаз ui появляются новые неизвестные - насыщенности i и концентрации отдельных компонентов.

5.3 Исходные уравнения многофазной фильтрации

Будем для простоты рассматривать совместное изотермическое течение двух фаз в однородной пористой среде без фазовых переходов и химических реакций. Система уравнений, описывающая совместную фильтрацию фаз, строится на основе уравнений неразрывности для каждой фазы, уравнений движения (закона фильтрации) и соответствующих замыкающих соотношений.

\Уравнения неразрывности.

· первой фазы ; (5.7)

· второй фазы . (5.8)

Если вытесняемая и вытесняющая фазы - слабосжимаемые упругие жидкости, то влиянием сжимаемости на распределение насыщенности можно пренебречь, так как время перераспределения давления за счет сжимаемости жидкостей, по крайней мере, на два порядка меньше, чем время вытеснения. Отсюда следует, что нестационарные процессы упругого перераспределения давления заканчиваются в начале процесса вытеснения. В некоторых случаях можно считать несжимаемым и газ в пластовых условиях.

Если жидкости и пористую среду можно предполагать несжимаемыми, то уравнения (5.7) и (5.8) упрощаются

, . (5.9)

Уравнения движения для многофазной фильтрации. При записи закона фильтрации предполагаем, что в любой точке каждая из фаз находится в термодинамическо - равновесном состоянии. Тогда для течения двухфазной смеси можно ввести в рассмотрение относительные проницаемости ki() и капиллярное давление рк (), зависящее только от насыщенности.

Кроме этого, рассматриваем только однонаправленные процессы фильтрации, не учитывая гистерезисных явлений. Тогда выполняется закон фильтрации (5.4):

, (5.10)

а связь между давлениями в фазах определяется равенствами (5.5) и (5.6):

. (5.11)

Для замыкания полученной системы уравнений необходимо задать дополнительные соотношения, рассмотренные в разделе 1 и связывающие параметры фаз и пористой среды с давлением.

Постановка и решение задач на основе полной системы уравнений фильтрации неоднородных жидкостей затруднительны ввиду сложности самих уравнений, а также формулировки краевых условий, в частности, разрыва капиллярных сил на границах пористой среды (так называемых концевых эффектов), роль которых недостаточно изучена.

Анализ одномерных двухфазных потоков позволяет выявить основные эффекты и характерные особенности совместной фильтрации жидкостей.

5.4 Потенциальное движение газированной жидкости

Газированная жидкость представляет собой смесь жидкой и газовой фаз. Газ находится не только в свободном состоянии; часть его растворена в жидком компоненте смеси. В пластовой нефти обычно содержится природный газ. Если давление в пласте выше давления насыщения нефти газом, то весь газ растворяется в нефти, а нефть называется недонасыщенной. Задача об одномерном потоке такой нефти относится к ранее описанным гомогенным задачам. Если же пластовое давление ниже давления насыщения, то в процессе движения нефти в пласте из нее выделяется газ и образуется движущаяся смесь нефти и свободного газа - газированная нефть. По мере продвижения смеси в направлении снижения давления из капельно - жидкого раствора (жидкого компонента смеси) выделяется все новая масса газа. Выделяющийся из раствора газ присоединяется к движущемуся свободному газу, вследствие чего увеличивается часть порового пространства, занимаемого газом. Свободный газ становится все более подвижным и фазовая проницаемость породы для газа растет, а фазовая проницаемость для жидкой фазы уменьшается.

Вследствие этого расчеты параметров такого газо-жидкостного потока проводят на основе многофазной модели течения. Так общее дифференциальное уравнение одномерных потоков (3.3) можно применительно к капельно-жидкой фазе газированной жидкости записать следующим образом

, (5.12)

где .

Массовый дебит газового компонента смеси Gг находится как сумма массового дебита газа, движущегося в свободном состоянии Gгс, и массового дебита газа, движущегося в растворенном состоянии Gгр. Используя формулу (3.3) для свободного газа смеси, получим:

, (5.13)

где - функция, в которой величины мгс и гс относятся к газу.

Для газа, находящегося в растворе, найдем

, (5.14)

где ум(р) = Gгр/Gf - массовая растворимость газа в жидкости, т. е. количество массы газа, растворенное в единице массы жидкости при давлении р.

Суммируя почленно равенства (5.13) и (5.14), получим:

, (5.15)

Для газированной жидкости пользуются при расчетах величиной объемного газового фактора Г, который представляет собой отношение объемного газового дебита Qг, приведенного к стандартным условиям, к объемному дебиту жидкого компонента Qж, приведенному к тем же условиям. Поскольку массовый дебит на всех изобарических поверхностях в данном одномерном установившемся потоке один и тот же, сохраняется постоянным вдоль всего потока и газовый фактор Г.

Учитывая, что , где г0 и f0 - значения плотности газа и жидкого компонента, соответственно, с помощью формул (5.13) и (5.15) получим:

, (5.16)

где объемная растворимость газа в жидкости

.

Если газ однороден, то в широких пределах (примерно от 1 до 100 ат) объемная растворимость пропорциональна давлению, т. е.

у(р) =р, (5.17)

где - объемный козффиииент растворимости, постоянный для данных жидкости и газа. Формула (5.17) выражает закон Генри растворимости газа в жидкости.

В соотношении для газового фактора (5.16) определим функции г(р) и f(р) в соответствии с формулой :

, (5.18)

В практических расчетах по технологии нефтедобычи учитывается величина объемного коэффициента нефти, зависящего от давления р.

Объемный коэффициент нефти (р) характеризует изменение объема нефти вследствие изменений давления и количества растворенного газа. Величина (р) есть отношение удельных объемов нефти в пластовых и атмосферных условиях.

Согласно данному определению .

Заменяя в формуле (5.18) отношение функцией (s) получим:

, (5.19)

Рис. 5.4 Кривые зависимости коэффициента растворимости газа в нефти и объёмного коэффициента нефти от давления

При постоянном газовом факторе Г уравнение (5.19), выражая зависимость между давлением р и насыщенностью s, служит уравнением состояния газированной жидкости. Функции мf(р), мг(p), (р) и у(р) определяются по экспериментальным данным. На рис. 5.4 представлены зависимости растворимости у(р) и объемного коэффициента нефти (р) от давления р.

Потенциальная функция для газированной жидкости имеет вид

(5.20)

где i=f, г; k*i(s) = ki/k, смотря по тому, движение какой фазы изучается - жидкой или газовой.

Потенциальную функцию (р) можно определить путем численного интегрирования.

Расчетные формулы для дебита по закону Дарси имеют наиболее простой вид, когда жидкость однородна и несжимаема. Такова, например, формула Дюпюи для объемного дебита Q. Придадим формуле для объемного дебита жидкой фазы газированной смеси в плоскорадиальном потоке вид формулы Дюпюи, сохранив в ней неизменным множитель рк - рс.

Пусть k, f и мf - постоянны. Тогда из (5.20):

(5.21)

где Ф (рк) и Ф (pc) - граничные значения интеграла вида .

Вычитая почленно равенства (5.21) и применяя известную теорему о среднем в интегральном исчислении, получим:

, (5.22)



где k'f - некоторое среднее значение функции kf(р) в интервале изменения р от рс до рк.

Подставляя полученное значение к-с в формулу (3.9) и разделяя на постоянное f, найдем, что:

. (5.23)

Имеем явное сходство с формулой Дюпюи.

Рис.5.5. Зависимость между относительной проницаемостью для жидкости и функцией (s)

1- сцементированные пески;

2 - несцементированные пески

Таким образом, при расчете дебита жидкого компонента газированной жидкости можно использовать формулы для определения G или Q для однородной несжимаемой жидкости, если заменить в них проницаемость пласта k некоторым средним значением фазовой проницаемости kf. Другими словами - определить дебит газированной жидкости можно, заменив газированную жидкость воображаемой однородной несжимаемой жидкостью, движущейся в пласте с коэффициентом проницаемости k'f, меньшим k.

Среднее значение проницаемости k'f определяется с помощью формулы (5.19), по которой вычисляется (s), соответствующее некоторому среднему давлению рср. Это давление можно принять равным среднему арифметическому от рк и рс при небольшом изменении по пласту насыщенности s. Взяв вычисленное (s), находим k'f по графику на рис. 5.5.

Хотя формулы Дюпюи и (5.23) сходны между собой, это сходство чисто внешнее и они отличаются по физическому содержанию. В действительности при движении однородной несжимаемой жидкости в пласте с проницаемостью k мы на основании формулы Дюпюи можем утверждать, что дебит пропорционален депрессии рс = рк - рс, независимо от величины давления рк или рс. Для газированной жидкости дебит зависит не только от депрессии рс, но и от величины давления рк или рс. В этом легко убедиться, если вспомнить, что средняя фазовая проницаемость k'f обусловлена значениями граничных давлений рк и рс.

Следует отметить, что в действительности величина средней фазовой проницаемости зависит от целого ряда параметров для жидкости, газа и пласта.

1. Дебит газированной жидкости при прочих равных условиях всегда меньше дебита однородной несжимаемой жидкости. С повышением газового фактора при неизменяющейся депрессии рс дебит жидкой фазы уменьшается, а дебит газа увеличивается; при этом показатель е растет, хотя и непропорционально G.

2. При данной депрессии рс и газовом факторе Г более высокий дебит будет при более высоком пластовом давлении. Это объясняется тем, что при более высоких давлениях меньшее количество пластового газа находится в свободном состоянии, чем при более низких давлениях. Следовательно, повышается фазовая проницаемость жидкости.

Так как для обеспечения притока нефти к забою скважин необходимо создание депрессии р = рк - рс, причем с ростом депрессии дебит скважин увеличивается, то для повышения добычи более эффективным средством является увеличение депрессии за счет повышения пластового (контурного) давления рк, но не путем снижения забойного давления рс.

Отмеченный факт подчеркивает большое значение своевременно принятых мер по поддержанию или повышению пластового давления в первых же стадиях разработки нефтяных месторождений.

3. Зависимость дебита жидкости и газа от депрессии, в отличие от однородной жидкости, не является линейной, хотя фильтрация каждой из фаз газированной жидкости принимается следующей линейному закону фильтрации. Таким образом, искривление индикаторной линии при фильтрации газированной жидкости еще не означает наличия отклонений от линейного закона фильтрации.

Индикаторная кривая для реальной газированной нефти имеет меньший наклон, чем кривая для идеальной газированной жидкости. Это указывает на то, что для реальной жидкости существуют добавочные сопротивления при фильтрации, не учтенные в идеальной жидкости.

4. Рассмотрение нестационарной фильтрации газированной жидкости показывает, что начальный период (первые месяцы) неустановившейся радиальной фильтрации газированной жидкости в условиях режима растворенного газа характеризуется высокими дебитами жидкости и газа. Величина дебита жидкости быстро уменьшается с течением времени. Темп падения дебита газа меньше, чем темп падения дебита жидкости.

В дальнейшем темп падения дебита жидкости резко уменьшается и наступает период относительно стабильной добычи, но абсолютная величина дебита жидкости невелика (уменьшается на порядок). Темп падения дебита газа в этот период времени уменьшается гораздо медленнее, чем темп падения дебита жидкости. Газовый фактор сначала резко возрастает, достигая в скором времени максимума, затем постепенно уменьшается.

5.5 Фильтрация водонефтяной смеси и многофазной жидкости

Искусственное заводнение нефтеносных пластов, осуществляемое нагнетанием воды в пласт, приводит к необходимости изучать движение смеси воды и нефти в пласте. Движения водонефтяной смеси в пласте наблюдается также при наличии в пласте природной воды. Сюда относится связанная (реликтовая) вода; подошвенная вода, занимающая нижнюю часть пласта; краевая или контурная вода, первоначально располагающаяся за контуром нефтеносности и в последующем вытесняющая нефть к скважинам.

Породы, из которых сложены продуктивные пласты, могут быть нефтесмачиваемыми (гидрофобными) и водосмачиваемыми (гидрофильными). Наиболее распространены водосмачиваемые породы; в них реликтовая вода как бы прилипает к стенкам поровых каналов. Высокая насыщенность реликтовой водой и служит вероятным признаком водосмачиваемости пород, тогда как нефтесмачиваемость проявляется в низкой насыщенности реликтовой водой. Отделение той или иной жидкости (нефти, воды) в сетке поровых каналов обусловлено насыщенностью и характеристикой смачиваемости.



Рис. 5.6. Зависимость относительных фазовых проницаемостей для нефти и воды от водонасыщенности s при разных значениях параметра (по Леверетту)

Результатом опытов Леверетта явились кривые, представленные на рис. 5.6. По оси абсцисс отложены значения водонасыщенности s в процентах, по оси ординат - относительная фазовая проницаемость для воды и нефти в процентах. Каждая кривая отвечает определенному значению параметра = ДL/dДp, где - давление вытеснения в см рт. ст., ДL - длина колонки песка в см, d - средний диаметр поровых каналов в см и Дp -перепад давления в см рт. ст. Параметр пропорционален капиллярным силам, противодействующим прохождению отдельных капель нефти через поры песка.

Для одномерного потенциального движения несжимаемой водонефтяной массы без учета массовых сил и фазовых превращений справедливо равенство , где u- суммарная скорость фильтрации смеси,

(5.24)

Здесь kв и kн - фазовые проницаемости воды и нефти, соответственно; мв и мн - коэффициенты вязкости воды и нефти. Расчеты, относящиеся к одномерному потоку смеси воды и нефти, выполняются по ранее рассмотренным формулам однородной жидкости.

При движении газированной жидкости в пластах содержатся обычно три фазы компонента смеси: нефть, газ и вода. В таком случае имеем поток многофазной жидкости.

На основании экспериментов можно считать, что относительная фазовая проницаемость в многофазном потоке почти не зависит от вязкости жидкости, ее плотности, внутрижидкостного натяжения, градиента давления и пористости среды. В то время как вязкость существенно не влияет на относительную проницаемость, отношение величин вязкости жидких фаз, присутствующих одновременно в потоке, значительно влияет на состав текущей смеси.

5.6 Одномерные модели вытеснения несмешивающихся жидкостей

Наиболее разработана в настоящее время теория одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде. Основные допущения этой теории состоят в следующем:

· жидкости предполагаются несмешивающимися (взаимно нерастворимыми);

· жидкости считаются несжимаемыми, а пористая среда - недеформируемой; фазовые переходы отсутствуют; коэффициенты вязкости фаз постоянны;

· относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление являются известными однозначными функциями насыщенности;

· гистерезисные явления не учитываются (рассматриваются только однонаправленные процессы).

Рис. 5.7. Схема одномерной двухфазной фильтрации с учетом силы тяжести

Полная система уравнений. Основываясь на этих допущениях, выведем полную систему уравнений двухфазной фильтрации в однородной пористой среде с учетом капиллярных и гравитационных сил.

В случае прямолинейно-параллельного течения вдоль оси х (рис.5.7) уравнения неразрывности (5.9) для фаз принимают вид

, . (5.25)

Обобщенный закон Дарси (5.10) сводится к уравнениям

, (5.26)

.

Здесь - угол наклона оси х к горизонту (рис. 5.8); 1 и 2 - плотности фаз.

Неизвестные характеристики течения , u1, u2, p1 и p2 зависят от координаты х и времени t.

Уравнения (5.25), (5.26) с учетом дополнительных соотношений образуют замкнутую систему для случаев линейного течения, являющуюся основой для решения задач вытеснения одной жидкости другой. Характерной особенностью данной системы является то, что её можно свести к одному уравнению для насыщенности.

Знание распределения насыщенности в пласте позволяет проанализировать эффективность вытеснения нефти или газа несмешивающейся с ними жидкостью.

(5.27)

,

где u=u1+u2; =2-1;

функция Баклея-Леверетта или функция распределения потоков фаз

; (5.28)

.

Уравнение (5.27) представляет собой сложное нелинейное уравнение параболического типа второго порядка и точное решение получено лишь для некоторых сравнительно простых частных случаев.

Начальные и граничные условия. При решении конкретных задач для уравнения изменения насыщенности должны быть сформулированы соответствующие граничные и начальные условия. В качестве начального условия задаются значения неизвестной функции в зависимости от пространственных координат при t = 0. Можно считать, что при t = 0 насыщенность всюду постоянна (например, = *).

В случае вытеснения нефти водой естественно задать на входе в пласт (нагнетательная скважина или галерея) расход закачиваемой воды и равенство нулю скорости фильтрации нефти; из последнего условия вытекает, что k2 = 0, следовательно, на этой поверхности = *.

На выходе из пласта возможно два варианта граничных условий.

1. Можно пренебречь градиентом капиллярного давления по сравнению с градиентом давления в фазах, т. е. считать, что при x=L, откуда следует, что

при x = L. (5.29

2. Экспериментально установлено, что вода не вытекает из гидрофильного пласта, а накапливается в выходном сечении, пока её насыщенность не достигнет значения *. В момент достижения значения * вода прорывается из пласта с сохранением на выходе этого значения насыщенности. Это явление получило название концевого эффекта. Математически оно приводится к сложному нелинейному граничному условию на выходе.

Дифференциальное уравнение второго порядка для насыщенности (5.27) можно упростить путем учета только одного вида сил (гравитационных или капиллярных) и получить, соответственно, две различные модели:

Модель Рапопорта Лиса. Для прямолинейно-параллельного вытеснения уравнение для насыщенности без учета силы тяжести было впервые получено в 1953 г. американскими исследователями Л. Рапопортом и В. Лисом. Поэтому модели двухфазной фильтрации с учетом капиллярных эффектов называют обычно моделями Рапопорта-Лиса.

Дифференциальное уравнение для насыщенности в данной модели - параболического типа.

Модель Баклея Леверетта. Без учета капиллярных сил двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С. Баклеем и М. Левереттом в 1942 г., а позже независимо от них А. М. Пирвердяном, исследовавшим также случай более общего закона фильтрации при двухфазном течении.

Задачи двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил известны как задачи (модель) Баклея - Леверетта. Задачи вытеснения такого типа в одномерной постановке изучены достаточно полно.

Уравнение насыщенности задач данного типа принадлежит к классу квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка.

5.6.1 Задача Баклея Леверетта и ее обобщения

В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда можно пренебречь капиллярным давлением процесс вытеснения допускает простое математическое описание.

Для обоих случаев одномерного потока (прямолинейно-параллельного и плоскорадиального) это приводит к классической в теории вытеснения модели Баклея Леверетта.

Рис. 5.8. Вид функции Баклея-Леверетта и её производной

В рассматриваемом случае важное значение имеет так называемая функция Баклея Леверетта или функция распределения потоков фаз f(), которая имеет простой физический смысл. Действительно, данная функция представляет собой отношение скорости фильтрации вытесняющей фазы к суммарной скорости, и равна объемной доле потока вытесняющей жидкости (воды) в суммарном потоке двух фаз. Таким образом, функция Баклея - Лаверетта определяет полноту вытеснения и характер распределения нефтегазоконденсатонасыщенности по пласту. Задачи повышения нефте- и газоконденсатоотдачи в значительной степени сводятся к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид функции f() в направлении увеличения полноты вытеснения.

Рис. 5.9. Графики функции Баклея-Леверетта (а) и её производной (b) для различных отношений вязкости 0

Вид кривых функции f() и ее производной f/() показан на рис.5.8. С ростом насыщенности f() монотонно возрастает от 0 до 1. Характерной особенностью графика f() является наличие точки перегиба п , участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная f//(), соответственно, больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Баклея - Леверетта.

Зависимость функций f() и f/() от отношения вязкостей фаз 0=1/ 2 показана рис. 5.9. Из данного рисунка следует, что с ростом отношения вязкостей кривая f() сдвигается вправо и эффективность вытеснения возрастает. Например, применение пен и загустителей, повышающих вязкость нагнетаемой воды, может значительно увеличить нефтеотдачу.

Рис. 5.10. Устранение многозначности распределения насыщенности введением скачка

Физической особенностью модели двухфазного вытеснения Баклея - Леверетта является зависимость скорости распространения насыщенности от её величины. Это явление называется дисперсией волн. При 0 п большие насыщенности распространяются с большими скоростями, а при п 1 скорость распространения постоянного значения насыщенности начинает уменьшаться. Последнее приводит к тому, что, начиная с некоторого момента времени, распределение насыщенности оказывается многозначным (рис.5.10, кривая 1-2-3-4-5). В области данного участка одному и тому же значению х соответствуют три значения насыщенности : 1, 2 и 3, что физически невозможно, так как в каждом сечении пласта в любой момент времени может существовать только одна насыщенность. Данная неоднозначность устраняется введением скачка насыщенности (рис.5.11, отрезок 1-3-5). Скорость распространения скачка при этом равна скорости распространения насыщенности. Необходимо отметить, что в действительности математический скачок насыщенности не имеет места. Он появляется в решении вследствие пренебрежения капиллярными силами, за счет которых появляется некоторая “переходная зона” вблизи фронта вытеснения, в которой насыщенность изменяется непрерывно.

В общем случае неодномерного вытеснения, а также при учете сжимаемости одной из фаз рассмотренная задача уже не сводится к одному уравнению для насыщенности. Необходимо совместно определять давление и насыщенность. Численные решения таких задач могут быть получены лишь на ЭВМ.

5.6.2 Задача Рапопорта - Лиса

Учет капиллярного скачка давления рк, который задается в виде известной эмпирической функции насыщенностей, приводит к теории следующего приближения - модели Рапопорта - Лиса. При этом пренебрегаем силой тяжести.

Действие капиллярных сил проявляется в основном вблизи фронта вытеснения, где градиенты насыщенности велики. Эти силы приводят к “размазыванию” фронта, поэтому при учете капиллярных сил скачок насыщенности отсутствует и насыщенность изменяется непрерывно.

Рис. 5.11. Распределение насыщенности в стабилизированной зоне

Тем не менее, экспериментально было обнаружено существование так называемой стабилизированной зоны насыщенности, которая перемещается, не изменяя своей формы, и распределение насыщенности в ней при постоянной скорости вытеснения - стационарно. В теории Баклея - Лаверетта (при пренебрежении капиллярными силами) стабилизированная зона моделируется скачком. Модель Рапопорта - Лиса позволяет определить ширину данной зоны l (рис. 5.11) и распределение насыщенностей по ней.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Гомо- и гетерогенные системы.

2. Насыщенность порового пространства i -й фазой.

3. Скорость фильтрации i -й фазы.

4. Закон Дарси для i -й фазы.

5. Зависимость относительных проницаемостей от насыщенности.

6. От каких параметров зависит относительная проницаемость?

7. Что такое капиллярное давление и от каких параметров оно зависит?

8. Почему сумма относительных проницаемостей меньше 1?

9. Нарисуйте диаграмму для определения границ преобладания потоков различных фаз при трехфазном течении.

10. Как зависит функция Леверетта от насыщенности в случае насыщения и пропитки?

11. Уравнения неразрывности для двухфазного потока в случае сжимаемых и несжимаемых сред.

12. От каких параметров зависит капиллярное давление?

13. Что такое недонасыщенная нефть?

14. Условия существования газированной нефти.

15. Общее дифференциальное уравнение одномернного потока капельно-жидкой фазы, растворенного и свободного газа газированной жидкости.

16. Массовая растворимость газа в жидкости.

17. Объемный газовый фактор.

18. Объемная растворимость газа в жидкости.

19. Закон Генри растворимости газа в жидкости.

20. Чему равно значение равномерной насыщенности?

21. Объемный коэффициент нефти.

22. Как зависит растворимость от давления?

23. Определить дебит газированной жидкости по формулам гомогенной.

24. Отличие формулы для определения дебита газированной жидкости от формулы Дюпюи по физическому содержанию.

25. Взаимосвзь дебитов газированной и гомогенной жидкостей.

26. Зависимость дебита газированной жидкости от величины пластового давления. Физическое объяснение.

27. Отличие идикаторной диаграммы газированной жидкости от гомогенной.

28. Особенности поведения дебитов и газового фактора для газированной жидкости во время пуска скважины.

29. Классы пород по степени смачиваемости.

30. Допущения теории одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде.

31. Функция Баклея - Леверетта или функция распределения потоков фаз.

32. Граничные условия для уравнения изменения насыщенности.

33. Сущность концевого эффекта.

34. Модель Рапопорта - Лиса.

35. Модель Баклея - Леверетта.

36. Вид функции Баклея -Леверетта и её производной.

37. Физический смысл функции Баклея -Леверетта.

38. Характер изменения функции Баклея -Леверетта в зависмости от изменения относительной вязкости.

39. Дисперсия волн.

40. Физическая природа скачка насыщенности.

41. Стабилизированная зона насыщенности.

6.ОСНОВЫ ФИЛЬТРАЦИИ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

При очень малых перепадах течение жидкостей в пластах, как отмечалось ранее, не подчиняется закону Дарси и поведение жидкости аномально. Данная аномальность связана с физико-химическим взаимодействием фильтрующихся жидкостей с материалом пористой среды, а сами жидкости при этом получили название неньютоновские.

Кроме этого, наличие нелинейной связи тензора скоростей деформации с тензором напряжения может проявляться и в ряде других случаев. Так повышенное содержание в нефтях высокомолекулярных компонентов (смол, асфальтенов, парафина) приводит к проявлению неньютоновских свойств флюидов при их фильтрации.

Развитие методов воздействия на природные залежи с целью увеличения нефте- и газоконденсатоотдачи приводит к значительному расширению ассортимента веществ, закачиваемых в продуктивные пласты. Многие из этих веществ (высокомолекулярные соединения, полимеры) не обладают свойствами ньютоновских жидкостей. Поэтому рассмотрение особенностей фильтрации неньютоновских систем приобретает самостоятельное значение.

Для простоты будем рассматривать нелинейные законы фильтрации, описывающие только безинерционные движения при условии, что фильтрующиеся жидкости обладают неньютоновскими свойствами.

6.1 Реологические модели фильтрующихся жидкостей и нелинейные законы фильтрации

Течение ньютоновской жидкости описывается законом Ньютона:

, (6.1)

где du/dy - градиент скорости в направлении перпендикулярном направлению течения х. Зависимость между и du/dy является в этом случае прямой линией, проходящей через начало координат (рис. 6.1, кривая 2).

Жидкости, не подчиняющиеся закону трения (6.1), называются аномальными или неньютоновскими. Неньютоновские жидкости можно разбить на три класса:

1. Стационарно реологические жидкости - касательное напряжение зависит только от градиента скорости:

. (6.2)

2. Нестационарно реологические жидкости - связь между и du/dy зависит от времени действия напряжений

. (6.3)

3. Вязкоупругие жидкости - среды, обладающие свойствами как твердого тела, так и жидкости, а также способные к частичному восстановлению формы после снятия напряжений. Для таких сред зависимость между касательными напряжениями и градиентом скорости более сложная; она включает производные по времени как напряжений, так и градиента скорости

Среди неньютоновских жидкостей первого класса, описываемых уравнением (6.2), можно выделить три типа:

Вязкопластичные жидкости, для которых уравнение (6.2) имеет вид

 при >0 , (6.4)

при 0 .

Рис. 6.1. Зависимость касательного напряжения от градиента скорости:

жидкость: 1 - дилатантная; 2 - ньютоновская; 3 - псевдопластичная; 4 - вязкопластичная

Графическое представление этой зависимости, называемое реологической кривой, приведено на рис. 6.1 (кривая 4). В равенство (6.3), кроме коэффициента вязкости , входит также постоянная 0, называемая начальным (или предельным) напряжением сдвига. Считается, что при 0 жидкость ведет себя как твердое тело и течение отсутствует. Это объясняется наличием у покоящейся вязкопластичной жидкости пространственной жесткой структуры, сопротивляющейся любому напряжению , меньшему 0. Когда становится больше 0, структура разрушается.

2. Псевдопластичные жидкости. Эксперименты показали, что для ряда сред связь между напряжением сдвига и градиентом скорости в логарифмических координатах оказывается на некотором участке линейной с угловым коэффициентом от 0 до 1. Поэтому для описания таких сред используется степенная зависимость

, (n < 1), (6.5)

где k и n постоянны для данной жидкости; коэффициент k - мера консистенции жидкости; отличие показателя n от единицы характеризует степень отклонения данной жидкости от ньютоновской. Типичная реологическая кривая (6.4) псевдопластичной жидкости приведена на рис. 6.1 (кривая 3). Модель псевдопластичной жидкости применяется, в частности, для описания движения растворов и расплавов полимеров.

Указанные реологические соотношения можно привести к ньютоновскому виду путем введения понятия кажущейся вязкости *, как отношения касательного напряжения к градиенту скорости:

.

Для псевдопластичной жидкости, как следует из (6.4), эта величина и так как n<:1, то * убывает с возрастанием градиента скорости.

3. Дилатантные жидкости описываются степенным уравнением (6.4), но при n>1. Кривая течения представлена на рис. 6.1 (кривая 1). У этих жидкостей кажущаяся вязкость * увеличивается с возрастанием градиента скорости. Модель дилатантной жидкости хорошо описывает свойства суспензий с большим содержанием твердой фазы.

В зависимости от вида неньютоновской жидкости по-разному записывается и закон фильтрации. Так закон фильтрации вязкопластичной жидкости (6.3) в пористой среде записывается в виде:

 u>0; (6.6)

, u=0,

где - - предельный (начальный) градиент.

В соответствии с (6.5) скорость фильтрации u отлична от нуля только в тех областях, где gradp> (рис. 6.2, кривая 1). Модель фильтрации с предельным градиентом следует рассматривать как некоторую идеализацию реальных течений аномальных нефтей в пластовых условиях, для которых реологическая кривая имеет вид кривой 2 на рис. 6.2. Для сравнения на рис. 6.2 показана диаграмма ньютоновской жидкости по закону Дарси (кривая 3).

Рис. 6.2. Индикаторные линии:

1 - линейная аппроксимация неньютоновской жидкости; 2 - реальная неньютоновская жидкость; 3 - ньютоновская по закону Дарси

В основе проявления неньютоновских свойств пластовых систем лежат различные физические механизмы, но все неньютоновские эффекты проявляются при малых скоростях фильтрации и в средах с малым размером пор, т.е. с малой проницаемостью. Это определяет особенности неньютоновской фильтрации в неоднородных пластах. Области малой проницаемости оказываются областями наибольшего проявления неньютоновских эффектов.

...