Основная проблема компании, связана с областью управления запасами экспортных слябов для дочерних компаний и состоит в их низкой оборачиваемости, в среднем, около 4 раз за год, приводящей к упущенной выгоде использования замороженных в запасах средств, а также трудности межфункциональной координации между отделами производственного планирования, логистики и снабжения, продаж клиентов. Мотивация производства состоит, в первую очередь, в сокращении затрат на переналадку, что приводит к заморозке производственного плана на месяц вперед. Логистика заинтересована в сокращении логистических затрат, уровня замороженных в запасах средств и повышении логистического сервиса и оборачиваемости - своевременной доставке в порт судовой партии за минимальное время с момента выхода первого и последнего предназначенного для нее сляба из цеха. Поскольку доставка слябов в порты происходит железной дорогой, то на деятельность логистики влияют ограничения на пропускную способность железнодорожной сети, устанавливаемые ПАО «РЖД» на определенные даты, что приводит к попыткам логистики воздействовать на производство с целью корректировки производственного плана для того, чтобы успеть доставить в порт слябы для судовой партии. Производство, разумеется, на уступки идет с трудом, что вполне оправдано его мотивацией, но может не соответствовать цели повышения эффективности всей цепи поставок. Кроме того, заморозка производственного плана на длительный срок приводит к редким заказам - 1 раз в месяц, что увеличивает объем запасов в дочерних компаниях, а также приводит к большей ошибке прогнозирования продаж в них, поскольку продажи должны быть запланированы на месяц вперед, а по некоторым видам продукции прогнозирование затруднено. Следует отметить, что подобная схема ежемесячного заказа действует только для трех дочерних компаний из пяти. Две компании размещают заказы еженедельно, одна из них была переведена на такую схему недавно, и было показано, что с момента перехода показатели эффективности производства: средняя длина серии, число переналадок, длительность простоя оборудования, объемы брака и уровень незавершенного производства, - существенно негативно не изменились. Тем не менее, компании с еженедельным заказом приносят меньшую часть продаж слябов, перевод всех дочерних компаний на такую схему требует серьезного обоснования на основе концепции управления цепью поставок, которое должно учитывать производственные мотивы, условия работы логистики в зависимости от изменения пропускной способности железнодорожной сети, времени подачи судов, уровень замороженных в запасах средств и уровень сервиса по выполнению заказов на поставку. Не так давно компания предприняла шаг к более эффективной координации между указанными отделами на основе «единого информационного пространства», под которым понимается набор электронных таблиц Excel, объединенных программами-макросами, которые в агрегированном виде позволяют видеть последствие решений, принимаемых, например, специалистом по планированию производства, на динамику отгрузки слябов из цеха в разрезе портов, судовых партий, заказов, что для специалиста по логистике облегчает отслеживание своевременности выполнения заказа, равномерности формирования судовых партий и своевременности отгрузки из порта. По результатам анализа данных в сформированном информационном пространстве проводятся регулярные встречи, на которых специалисты по производственному планированию, логистике соотносят стремления и возможности друг друга. При этом в явном виде, например, через совокупные затраты, цель достижения общей выгоды не выражена, что затрудняет нахождение компромисса. Таким образом, компания стремится к использованию интегрированного подхода к планированию и анализу цепи поставок, описанные изменения отражают первые шаги в этом направлении. Однако внедренные решения несовершенны:

• Процесс планирования производства полностью совершается за счет человеческого интеллектуального труда, при этом принципы, по которым осуществляется планирование не формализованы, а их описание дано лишь в общем виде

• Влияние, которое оказывают решения по изменению (или их отсутствию) производственного графика на деятельность логистики известно лишь специалистам по логистике, влияние на всю цепь поставок с достаточной точностью неизвестно. Это приводит не только к неопределенности в принятии решений, но и к избыточной коммуникации

• Решения принимаются исходя из аналитических данных и экспертных оценок. Аналитические инструменты не отражают деятельность всей цепи поставок во времени, не учитывают комплексно логистических и производственных ограничений, случайных факторов, не позволяют проигрывать сценарии развития и изменений. Экспертные оценки не всегда являются убедительным аргументом в процессе поиска компромисса, поскольку, в основном, затрагивают только часть цепи поставок

Итак, ключевыми проблемами в деятельности компании являются:

• Высокий уровень издержек иммобилизации средств в запасах - с момента выхода слябов из цеха до их погрузки на судно могло пройти 60 дней

• Отсутствие гибкости производства: заказы размещаются ежемесячно, в большом объеме, что повышает уровень запасов дочерних компаний и снижает их оборачиваемость. При этом возможность сократить интервал между заказами есть, но ее использование требует обоснования с учетом деятельности производства, логистики и планирования спроса дочерними компаниями

• Процесс производственного планирования и политики пополнения дочерних компаний слабо формализованы

• Непрерывная малорезультативная коммуникация между логистикой, производством и дочерними компаниями: локальная мотивированность каждого функционального подразделения

• Отсутствуют или являются несовершенными инструменты интегрированного планирования

На данный момент компания находится в стадии внедрения концепции управления цепями поставок, соответствующим образом будет изменена организационная структура для совершенствования процессов на основе критерия выгоды всей цепи поставок. В поддержку этого проекта предлагается использовать более совершенный, интегрированный подход к планированию на основе имитационного моделирования. Первой частью проекта по его реализации является совершенствование управления запасами экспортных слябов на основе интегрированной модели производства, логистики и политики пополнения на дочерних предприятиях. Пути совершенствования системы управления запасами описываются в теории управления запасами - перейдем к ее рассмотрению.



Глава 2. Разработка подходов к управлению запасами в компании НЛМК

Теория управления запасами, оформившая подходы к построению эффективных систем управления запасами, начала в современном виде развиваться только в начале XX века вместе с развитием рынка, средств сообщения и коммуникации. Рассмотрим основные подходы данной теории, существующие к настоящему времени.

2.1 Анализ существующих подходов к управлению запасами

Целью управления запасами является построение эффективной и устойчивой системы обеспечения продукцией конечного потребителя, функционирующей в условиях производственных, финансовых, логистических и др. ограничений. Основой этой системы служат схемы пополнения, которые определяют, в каком объеме и с какой периодичностью должен быть сформирован запас для того, чтобы удовлетворялись существующие ограничения. Эффективность означает, что используемая схема пополнения позволяет достичь минимальных возможных затрат для удовлетворения потребителей продукцией в надлежащем количестве, качестве, комплектности, периоде времени и т.п. с учетом ограничений на имеющиеся ресурсы. Устойчивость означает, что изменение условий функционирования схем пополнения, компонентов затрат, приведет к приемлемому с точки зрения стратегии компании или цепи поставок изменению эффективности.

Теория управления запасами стоит на пересечении и является прикладной областью многих фундаментальных наук, предлагающих различные методы формализации зависимостей между элементами моделируемой системы, в данном случае, системы управления запасами. Под системой управления запасами в рамках данной работы понимается совокупность схемы пополнения, параметров объектов, вовлеченных в движение и трансформацию материального потока, накладывающих ограничения на функционирование схемы пополнения во времени и затрат, связанных с этими параметрами и параметрами схем пополнения: размером заказа, интервалом между заказами. Для формирования системы управления запасами необходимо определить затраты, связанные с параметрами схем пополнения с помощью экономико-статистических методов, затем определить наименее затратную схему пополнения с помощью математических методов или численных методов оптимизации, тестируя схему в условиях неопределенности с помощью инструментов теории вероятности, статистики или имитационного моделирования. В целом, подходы к определению параметров и построению схем пополнения можно разделить на две группы по способу формализации зависимостей:

1. экономико-математические - формализуют зависимости напрямую в виде формул. В свою очередь, можно разделить на две группы по способу нахождения оптимального решения, обеспечивающего минимум затрат:

а. аналитические методы - заключаются в явном выражении оптимальных значений параметров схем пополнения через остальные параметры системы управления запасами

б. численные методы оптимизации - заключаются в нахождении оптимальных значений параметров схем пополнения итеративно путем реализации алгоритмов ограниченного, направленного перебора этих параметров и вычисления на каждой итерации значения функции совокупных затрат и ограничений, выраженных явно через параметры схем пополнения

2. статистические имитационные - позволяют создавать модель системы, имитируя поведение отдельных частей и получать статистически значимые оценки целевых показателей. Для поиска оптимального решения используются:

а. численные методы оптимизации - вычисление значения целевой функции и проверка ограничений осуществляется путем прогона модели во времени

б. методы планирования эксперимента - для получения статистически значимой оценки целевой функции в заданном пространстве условий, факторов

Экономико-математические модели управления запасами. Данные модели начали развиваться в начале XX века, поскольку в связи с развитием крупносерийной промышленности и рынка возникла потребность в оптимизации запасов. Несмотря на то, что на практике уже существовало достаточно большое количество ограничений единственным возможным подходом к вычислению оптимальных значений параметров пополнения из-за ограниченности вычислительных возможностей было выражение этих значений аналитическим путем на основе многочисленных допущений.

Аналитический подход к оптимизации параметров управления запасами. Базовым аналитическим подходом к определению параметров схем пополнения запасов является минимизация функции совокупных затрат, связанных с содержанием запасов с использованием модели экономичного размера заказа (Economic Order Quantity, EOQ). Этот подход был предложен Ф.У. Харрисом в 1913 г., расширен Уилсоном в 1934 г. [11, 12] и к настоящему моменту является наиболее популярным и изученным. Он заключается в формировании и минимизации функции совокупных затрат на содержание запасов от размера заказа Q, включающей затраты на хранение единицы продукции и размещение заказа в течение периода длительностью T, валовом спросе D [45]:

Данный метод является классическим и имеет ряд существенных допущений:

· удельные затраты на хранение, размещение заказа постоянны во времени и не зависят от размера и частоты заказа

· интенсивность спроса, сроки доставки постоянны, не учитывается неопределенность, отсутствует гарантия достижения заданного уровня сервиса

· емкость склада не ограничена

· валовая потребность D в течение периода T постоянна, тренд и сезонные колебания отсутствуют

· не учитывается ограничение на минимальный объем заказа, существенное для металлургической отрасли вследствие специфики производства - С.В. Лукинский [45] отмечает, что увеличение размера заказа Q относительно оптимального значения не приводит к существенному увеличению совокупных затрат: когда размер заказа в 1,58 раза больше оптимального совокупные затраты выше на 10%

· отсутствуют другие компоненты затрат - величина и частота размещения заказов влияет на затраты производства поставщика

Модель EOQ рассчитана на схему пополнения с фиксированным размером заказа и фиксированной периодичностью, поэтому проблемой является учет влияния случайных факторов. Уайтин в 1952 г. [17] впервые указал на необходимость рассматривать модели пополнения в условиях неопределенности и предложил схему с фиксированным заказом по точке перезаказа, где период между заказами может меняться - заказ оптимального размера размещается, когда уровень запаса опускается до точки перезаказа. К настоящему моменту существуют две основные группы схем пополнения, разделяющиеся по принципу отслеживания уровня запасов [22]:

1. С непрерывным отслеживанием - модели (R, Q) и (R, S) или модель с фиксированным размером заказа Q по точке перезаказа R и модель пополнения до максимума S при достижении точки размещения заказа R, известная в отечественной литературе как модель Min-Max

2. С периодическим отслеживанием уровня запаса - модели (t, Q), (t, S) и (t, R,S) или модель с фиксированным размером заказа Q, фиксированным интервалом t, соответствующая классической модели EOQ; модель с пополнением до целевого, максимального уровня S и фиксированным интервалом времени между заказами t; модель с фиксированным интервалом t пополнения до уровня S при условии, что запас ниже уровня R или модель, известная как УППЗПУ в отечественной литературе

Расчет параметров всех моделей согласно аналитическому экономико-математическому подходу проводится с помощью модели EOQ [22,45]:

· (R, Q): уровень точки размещения заказа R равен среднему спросу за среднее время между поставками, размер заказа Q рассчитывается по формуле Харриса-Уилсона

· (R, S): целевой, максимальный уровень запаса S рассчитывается как сумма уровня размещения заказа и размера заказа

· (t, Q): период между заказами рассчитывается исходя из количества заказов, которые будут совершены в течение периода длительностью T на основе размера заказа Q по формуле Харриса-Уилсона и валового спроса D:

· 

· (t, S): t и S рассчитываются аналогично предыдущим моделям

· (t, R, S): параметры рассчитываются аналогично предыдущим моделям

Расчет параметров моделей по EOQ обеспечивает минимизацию затрат в условиях постоянного спроса и сроков доставки, однако необходимо учитывать ограничение на долю удовлетворенного спроса за рассматриваемый период, поскольку при случайных изменениях спроса и сроков доставки возможен дефицит - отсутствие запаса в очередной момент времени при наличии спроса в этот момент. Основным способом обеспечения заданного уровня сервиса является формирование страхового запаса, на величину которого корректируются параметры R и S. Наиболее популярную сегодня формулу расчета страхового запаса SS за авторством Феттера и Даллека описали Сток и Ламберт в 2001 г. [31]:

где z - число стандартных отклонений нормального распределения, необходимое для достижения заданного уровня сервиса SL из таблицы нормального распределения, - средний срок доставки (напр. в днях), - средний спрос (напр. в день), - стандартное отклонение сроков доставки, - стандартное отклонение спроса. Данная формула одновременно учитывает неопределенность спроса, сроков доставки и может быть схожим образом записана не только для нормального, но и для других теоретических распределений. Однако применение данной формулы имеет ряд ограничений [45]

· Формула гарантирует отсутствие дефицита, т.е. уровень сервиса должен рассчитываться с помощью метрики идеального заказа (Perfect Order, PO), а не как доля удовлетворенного спроса за период (Fulfillment rate)

· Неудовлетворенные заявки должны накапливаться и удовлетворяться будущими поступлениями запаса

· Формула применима только в случае, когда интервал между заказами больше срока доставки. В ином случае формулу следует корректировать, как указывает Лукинский С.В. [45]:

Корректировка связана с тем, что при LT > I поставки, в среднем, приходят не раз за время , а раз за время . Использование в этом случае классической формулы Феттера-Даллека приведет к завышению страхового запаса. Работа скорректированной формулы проверена Лукинским С.В. [45] с помощью имитационного моделирования

Использование данного подхода к расчету страхового запаса при несоблюдении указанных ограничений приводит к содержанию завышенного запаса, в частности, если необходимо достичь доли удовлетворенного спроса за период без накопления неудовлетворенных заказов. Такая ситуация отражена на Рис. 2.1 - при заявленном в расчете уровне сервиса 95% фактически по результатам 120-ти месячных прогонов достигнутая доля удовлетворенного спроса составляет 99-100% по классической формуле Феттера-Даллека, когда интервал между заказами превышает срок доставки, страховой запас при этом можно снизить в 2 раза для достижения уровня 95%. Когда интервал между заказами меньше сроков доставки фактический уровень сервиса составляет 93-100%, что частично согласуется с результатами Лукинского С.В. [45] при высокой неопределенности, но при низкой неопределенности уровень запаса является завышенным из-за того, что уровень сервиса оценивается как доля удовлетворенного спроса, и отрицательные заявки не накапливаются.



Рис. 2.1 Фактический достигнутый уровень сервиса по схеме (R, Q) на основе сорока 3-х месячных прогонов при страховом запасе, рассчитанном по а) классической формуле Феттера б) скорректированной формуле Феттера

Таким образом, страховой запас обеспечивает достижение уровня сервиса в модели EOQ, которая позволяет минимизировать запасы, однако на практике необходимо учитывать ограничения расчета страхового запаса, иначе запас будет завышен.

В силу указанных допущений и недостатков на практике для оптимизации затрат на содержание запасов в цепи поставок в классическом виде модель EOQ со страховым запасом по аналитическим формулам неприменима, поэтому с момента появления этот подход модифицировался путем учета различных ограничений, неопределенности, компонент затрат. В настоящее время модификаций модели EOQ существует огромное множество, формируются классификаторы таких модификаций: С.В. Лукинский выделяет 14 классов, а Ю.И. Рыжиков объединяет 335 найденных им модификаций в 10 классов. Существуют модификации для многих продуктов - многономенклатурные модели, для определения параметров пополнения в разных звеньях цепи поставок - многоуровневые модели, учитывающие зависимость параметров пополнения от времени - динамические модели и т.д.

Однако основным недостатком классического и модифицированных подходов остается сложность выявления функциональной зависимости между затратами и параметрами пополнения - даже компоненты затрат на хранение и размещение заказа из классического подхода сложно выделить из бухгалтерской отчетности. Модификации же не только усложняют модель с точки зрения создания дополнительных трудностей в определении добавленных компонент затрат, но и с математической точки зрения: при добавлении ограничений минимизация функции совокупных затрат достигается более продвинутыми методами, чем простое дифференцирование. Наиболее распространен метод неопределенных множителей Лагранжа, предложенный Х. Эвереттом в 1962 г. [13], который заключается в ослаблении ограничений путем добавления их в целевую функцию с множителями, штрафами, которые подлежат определению. Рассмотрим, например, многономенклатурную модель EOQ с ограничением на площадь склада. Пусть есть N видов продуктов, и для каждого вида i нужно определить оптимальный размер заказа , если площадь склада ответственного хранения, на которой можно разместить запас не превышает S , валовая потребность в продукте i составляет , затраты на размещение одного заказа на продукт i равны , продукты потребляются равномерно, т.е. средний запас по каждому продукту составляет , затраты на владение единичной площадью составляют , а единица продукции вида i занимает . Тогда модель EOQ с целевой функцией совокупных затрат записывается следующим образом [45]:

Если бы продукт был один, то проблем при наличии ограничения бы не возникало - (Q - размер заказа по формуле Харриса-Уилсона), однако при нескольких продуктах решение не так очевидно. Задачу можно было бы решить с привлечением линейного программирования, но в данном случае это необязательно - можно применить метод релаксации Лагранжа, ослабив ограничение на складскую площадь перенесением его в целевую функцию с множителем - штрафом за нарушение ограничения. Тогда постановка изменится так:

Теперь функция совокупных затрат зависит не только от , но и от z. Минимум функции находится решением системы частных производных:

Из первого уравнения находим оптимальный размер заказа для любого продукта в общем виде:

Подставив найденное в общем виде в последнее уравнение системы можно определить оптимальное значение множителя Лагранжа z, при котором совокупные затраты являются минимальными:



Такое возможно далеко не всегда. Теперь полученный множитель Лагранжа можно подставлять в уравнение для в общем виде:

Таким образом, классические модели EOQ могут быть решены аналитически путем использования метода неопределенных множителей Лагранжа, который решает двойственную задачу линейного программирования. Важно отметить, что аналитически определить множители Лагранжа не всегда возможно [42]:

· В рассмотренном выше примере множитель z можно было вынести из-под знака суммы и выразить благодаря тому, что в ограничении на одновременно занятую площадь и затратах на хранения запаса участвовал одинаковый компонент затрат , но нетрудно найти случаи, а таких большинство, когда этого сделать нельзя. Например, при наличии ограничения на капитал, замороженный в запасах, выраженный через цену продукции

· Необходимо понимать, что указанный выше путь определения множителей Лагранжа через систему уравнений является частным случаем решения двойственной задачи максимизации нижней оценки исходной целевой функции совокупных затрат. Найденная максимальная нижняя оценка не всегда совпадает с оптимальным решением исходной задачи - необходимо выполнение сильной теоремы двойственности. Эта теорема не выполняется, когда, например, размер заказа является целочисленным, т.е. почти всегда, и разрыв двойственности выше, если присутствует дискретность заказа вследствие наличия ограничений на вместимость транспортных средств и их загрузку

В указанных случаях параметры моделей пополнения позволяют найти численные методы оптимизации.

Подход к определению параметров пополнения на основе численных методов оптимизации. Данный подход развивался во второй половине XX века благодаря распространению вычислительных мощностей и развитию теории управления запасами, требующей численной оптимизации. Он основан на численных методах линейного и нелинейного программирования, которые итерационно минимизируют целевую функцию. Рассмотрим упомянутый выше пример наличия ограничения на максимальный размер капитала B, замороженного в запасах на основе стоимости покупки единицы продукта i в модели EOQ, содержащей затраты на хранение и затраты на размещение заказа :

После релаксации Лагранжа:

Способом, описанным выше, решая систему частных производных по размерам заказа для каждого продукта и по множителю Лагранжа , получаем:

и уравнение:



Из последнего уравнения невозможно выразить аналитически неопределенный множитель Лагранжа z - он определяется итерационно, например, методом касательных или как его чаще называют методом Ньютона. Метод будет заключается в том, чтобы найти такой множитель Лагранжа z, при котором:

Реализация метода Ньютона представляет собой спуск по функции в сторону наибольшего убывания, т.е. в направлении -, обратном направлению градиента с шагом , начиная с некоторого, пока не выполнен критерий останова - очередной шаг не оказался меньше заданной точности:

Результирующее значение z, полученное на выходе описанной итерационной процедуры будет оптимальным. В случае, когда ограничений несколько, выполняется процедура послойной оптимизации, когда производится последовательный поиск решений, удовлетворяющих сначала менее, затем более строгие ограничения. Алгоритм послойной оптимизации для ситуации с двумя ограничениями описан Лукинским С.В. [45].

Таким образом, метод Ньютона позволяет находить размер заказа для модели EOQ с учетом ограничений. Однако помимо размера заказа вследствие наличия недостатков подхода к расчету страхового запаса необходимо определять и другие параметры моделей пополнения: точку размещения заказа R и целевой уровень S, либо величину страхового запаса, минимизируя совокупные затраты. При этом компоненты удельных затрат могут зависеть от размера заказа, частоты поставки, необходимо учитывать изменение переменных во времени, факторы неопределенности. Описанный оптимизационный подход является классическим, и он должен быть модифицирован для применения на практике: например, описанный метод релаксации Лагранжа позволяет находить нижнюю оценку оптимального решения для метода ветвей и границ, служить основой эвристических алгоритмов. Научное сообщество совершенствовало классический подход в конце XX века, и такое совершенствование сегодня продолжается.

Федергруэн и Женг в 1989 г. [4] утверждают, что им впервые удалось разработать и применить эффективный оптимизационный алгоритм для определения параметров пополнения для модели (R, Q), обеспечивающий минимальные затраты в долгосрочном периоде для одного продукта, спрос на который подчиняется распределению Пуассона, с учетом затрат на размещение заказа, хранение, дефицит, возможностью учета ограничения на уровень сервиса и в условиях нелинейно заданных затрат. Даскин и Коулард в 2002 г. [5] описали опыт применения смешанного целочисленного программирования для оптимизации запасов в цепи поставок, обеспечивающей донорской кровью 150 конечных пунктов, с применением релаксации Лагранжа для ускорения работы алгоритма. Даскин и Шен в 2005 г. [34] предложили эвристический генетический алгоритм решения нелинейной задачи размещения запасов в цепи поставок и минимизации совокупных затрат при ограничении на уровень сервиса, рассчитанный как доля удовлетворенного спроса. Ванг и Йин в 2018 г. [7] предложили решение задачи управления запасами в постановке, более приближенной к практике, чем прежние работы - для цепи поставок скоропортящегося продукта в условиях случайного коррелирующего спроса разных клиентов, случайных сроков доставки и ограничениях на складские мощности. При решении задачи авторы сравнивали классический оптимизационный подход на основе релаксации Лагранжа и подход конической квадратичной оптимизации на основе симплекс-метода. Второй подход оказался более быстрым и применимым в более общих случаях.

Однако указанные работы не освещают тему поиска параметров конкретных моделей пополнения. Это объяснятся тем, что разработка эффективных оптимизационных алгоритмов для моделей пополнения с учетом времени, зависимых друг от друга событий требует одновременно очень высокой математической подготовки и интереса в области управления запасами. Если говорить о математической сложности, то Башиям и Фу в 1997 г. [23] утверждают, что аналитически определить параметры модели (R,S) неоправданно сложно - авторы рассматривают алгоритмы градиентной оптимизации и имитационное моделирование для учета пересечения моментов прихода поставок.

Итак, рассмотренные подходы к оптимизации совокупных затрат, связанных с созданием и содержанием запасов, на основе численных методов позволяют строить более эффективные и приближенные к практическим условиям модели управления запасами, хотя вопросы, связанные с расчетом параметров существующих схем пополнения освещены слабо, и такие подходы требуют определения функциональной зависимости между параметрами схем пополнения и затратами. Формализация такой зависимости осложняется наличием нелинейности и случайных факторов и требует поэтому принятия существенных допущений, либо высочайшей математической подготовки, которой менеджеры по управлению запасами не обладают, а существующая теория не может охватить все специфические случаи, встречающиеся на практике. К счастью, современные технологии, в частности имитационное моделирование, позволяют программными средствами строить модели, имитирующие поведение системы большого размера при наличии сложных взаимозависимостей между ее элементами во времени при учете случайных факторов. Интерес к имитационному подходу в управлении запасами появился достаточно давно, однако вычислительные мощности и программное обеспечение позволило эффективно его применять только в начале XX века. С тех пор имитационное моделирование в управлении запасами набирает популярность.

Подход к вычислению параметров пополнения на основе имитационного моделирования. Данный подход основан на применении методов теории массового обслуживания, статистического моделирования случайных величин, логического и количественного математического моделирования, объединенных в едином программном комплексе для построения компьютерной динамической модели реальной системы, позволяющей отследить переходы системы от начального состояния к последующим во времени. Такие переходы и состояния задаются в соответствии с тремя парадигмами имитационного моделирования:

· Дискретно-событийная - система описана процессной или потоковой диаграммой, по которой движутся заявки, захватывая ограниченные ресурсы, либо набором событий, которые в запланированное время реализуют действия системы. Именно событийный подход чаще всего используется для описания систем управления запасами

· Агентная - систему составляют объекты с заданным индивидуальным поведением - агенты. Поведение задается с помощью диаграмм состояний с переходами между состояниями по истечении времени, при выполнении условия и т.п.

· Системная динамика - парадигма высокоуровневого моделирования сложных систем, которые описываются набором буферов, аккумулирующих, например, запас и правил, скоростей их изменения и взаимодействия через концепцию положительных и отрицательных обратных связей, которые задаются уравнениями. Парадигма может использоваться для моделирования движения запаса в цепи поставок

Историю развития имитационного моделирования можно разделить на четыре этапа [1, 9]:

1. Формирование базовых принципов в докомпьютерную эпоху (1777-1945 гг.) - развитие базовых математических, статистических и вероятностных подходов, необходимых для моделирования. В 1777 г. Бюффон создал основные принципы метода оценки значений, моделирования случайных величин, получившего впоследствии название метода Монте-Карло. В 1908 г. Уильям Госсет изложил концепцию распределения Стьюдента, которое используется для проверки статистических гипотез, в частности, проверки равенства средних моделируемых и фактических распределений.

2. Становление имитационного моделирования, связанное с развитием вычислительных мощностей (1945-1965 гг.) - формирование методологии имитационного моделирование, становление отдельной области знания, появление первых программных продуктов, предназначенных непосредственно для имитационного моделирования. Н. Метрополис и С. Улем применили метод моделирования Монте-Карло в виде программы для ЭВМ во время работы проекта «Манхеттен» над созданием водородной бомбы в Лос-Аламосе для решения проблемы, к которой до сих пор не найден аналитический подход. В 1961 г. появился язык моделирования общего назначения (GPSS, General Purpose Simulation System), облегчивший создание моделей, непопулярный, но поддерживающийся до сих пор. В 1963 г. вышла первая книга, посвященная имитационному моделированию. Появляются дискретно-событийная парадигма и системная динамика.

3. Период экспансии - распространение имитационного подхода, его совершенствование для практических нужд (1965-1986 гг.) и использование на крупнейших предприятиях. Развивается программное обеспечение имитационного моделирования: появляются новые, более производительные версии языков моделирования GPSS, SIMSCRIPT, SIMAN, GASP, SLAN и т.п. [1]. В 1971 г. учреждается ежегодная зимняя конференция Winter Simulation, которая без пропусков проводится до сих пор. В крупных компаниях: Boeing, Martin Marietta, Air Force Logistics Command, General Dynamics, Hughes Aircraft, Raytheon, Celanese, Exxon, Southern Railway, - появляются отделы имитационного моделирования, работа которых носит, в основном, исследовательский характер [15]. В этот период развивается отечественная школа благодаря работам Н.П. Бусленко, оформившего методологию имитационного моделирования и обосновавшего возможность использования нескольких целевых функций, отказ от допущений об их гладкости, стационарности, непротиворечивости и т.д. [41]. Следует отметить, что к концу этого периода возможностью использования имитационного моделирования обладали только исследовательские группы, поскольку создание моделей требовало высокой математической подготовки и большого объема программирования

4. Массовое распространение имитационного моделирования (с 1987 по настоящее время [9]) - совершенствование пользовательского интерфейса, повышение производительности, сокращение объема программирования, необходимого для создания модели. Появляются дружественные обычным пользователям среды разработки имитационных моделей AnyLogic, ARENA, Plant Simulation. Появляется агентная парадигма.

В последний период набирает популярность и применение имитационного моделирования в управлении запасами. В 2015 г. опубликован масштабный обзор литературы, изданной в период 1998-2013 на указанную тему. Рост популярности показан на Рис. 2.



Рис. 2.2 Динамика числа публикаций на тему использования имитационного моделирования в управлении запасами

Заметно, что за 15 лет интерес к применению описываемого подхода возрос, в среднем, в 6 раз. Большая часть работ направлена на решение практических проблем, причем рост популярности наблюдается именно среди работ с практическим фокусом. Это свидетельствует о распространении и пользе имитационного моделирования на практике, что обусловлено его преимуществами. А. Борщев, генеральный директор компании AnyLogic, выделяет 6 преимуществ имитационного моделирования [33]:

1. Имитационное моделирование работает там, где нельзя найти аналитическое решение. Примеры таких случаев рассмотрены выше

2. При обоснованном выборе уровня абстракции процесс построения имитационной модели является менее трудоемким по сравнению с аналитическим моделированием, созданная модель легко масштабируется и поддерживает интеграцию различных модулей

3. Структура модели отражает структуру реальной системы, являясь ее упрощенной копией и используя меньше допущений

4. Имитационная модель позволяет отследить причинно-следственные связи между состояниями системы во времени

5. Имитационная модель позволяет в режиме замедленного, реального, ускоренного времени следить за динамическими изменениями системы, анимацией ключевых объектов и показателей

6. Имитационная модель служит более убедительным основанием в принятии решений

Таким образом, имитационное моделирование является мощным современным подходом к решению практических задач в различных областях. В области управления запасами этот подход позволяет учесть ограничения и особенности системы, нелинейности и временную составляющую, которые делают задачу оптимизации запасов не поддающейся решению аналитическими методами. Задачи в области управления запасами охватывают все возможные отрасли и требуют различных методов поиска оптимального решения в зависимости от размерности задачи и типа целевых показателей. Как было сказано ранее такие методы можно разделить на две группы: планирование эксперимента и численная оптимизация. Отличия этих групп будут рассмотрены далее, но большинство методов объединяет то, что они работают с имитационной моделью как с кибернетической моделью черного ящика. Пусть есть некоторая система, которая характеризуется множеством параметров -число параметров. Такими параметрами могут быть удельные затраты на хранение, размещение заказа, цены на продукты, размер заказа, интервал между заказами. Эффективность функционирования этой системы можно оценить множеством показателей -число целевых показателей, где можно получить, вычислив значение функции - функции реакции или отклика. Функцией отклика может быть, например, рассмотренная ранее функция совокупных затрат, связанных с созданием, содержанием, хранением запасов в цепи поставок. При этом точный вид зависимости от неизвестен, нельзя и аналитически найти такую комбинацию параметров , которая соответствует оптимуму , но можно построить имитационную модель - упрощенную копию системы, которая будет давать достоверную оценку целевому показателю при различных значениях параметров . Цель описываемых методов состоит в поиске оптимального набора параметров, который статистически значимо обеспечивает достижения оптимума по целевым показателям. Рассмотрим такие методы подробнее.

Методы планирования имитационного эксперимента для поиска оптимального решения. Теория планирования эксперимента появилась еще в 1940-х гг. ХХ века и успешно находила применение в области натурных химических и физических экспериментов, а с развитием имитационного моделирования появилась необходимость распространить эту теорию и на планирование имитационных экспериментов. Целью методов, разработанных этой теорией, является установление зависимости с минимальными затратами на вычисление - при минимальном количестве прогонов, обращений к оценке целевого показателя с помощью имитационной модели при различных значениях параметров или факторов. Необходимость сокращения числа прогонов обусловлена тем, что на практике в большинстве случаев область допустимых значений факторов достаточна велика, чтобы полный перебор возможных вариантов был невозможен за разумное время. Сокращение перебора требует принятия ряда допущений, касающихся функции отклика : о ее гладкости, непрерывности, единственности минимума и полиномиальном виде. Эти допущения являются на практике существенными, однако позволяют найти приближенное к глобальному оптимуму решение, открывая при этом возможность значительного сокращения перебора при сохранении статистической значимости результатов.

Данные методы основаны на аппроксимации поверхности функции отклика полиномиальной функцией ее оценки минимального порядка, т.е. с минимальным числом степенных комбинаций факторов для оценки градиента на основе градиента функции аппроксимации и поиска экстремума градиентными методами. Для двух факторов аппроксимирующая функция второго порядка выглядит так:

Реализация методов планирования имитационного эксперимента состоит из нескольких этапов [43]:

1. Исходя из природы факторов, экономических соображений ограничивается область их перебора, определяются значения . Так, для схемы пополнения (R, S) перебор уровня размещения заказа R и максимального уровня S можно ограничить по числу стандартных отклонений сроков доставки и спроса:

где - средний спрос, - стандартное отклонение спроса, - средний срок доставки, - стандартное отклонение сроков доставки, - средний интервал между заказами

2. Выбирается основной, нулевой уровень , с которого начинается перебор исходя из предположения экспериментатора о его наилучшем расположении, либо в центре области допустимых значений

3. Значения факторов стандартизируются так, чтобы

4. Применяются матричные методы полного факторного эксперимента типа, например, , который основан на переборе только крайних +1 и -1 стандартизированных значений факторов. Название относится к необходимому числу прогонов при наличии k факторов, которое позволяет достичь цели - определения коэффициентов b аппроксимирующей функции . Если такое число прогонов за разумное время осуществить нельзя, то применяются методы дробного факторного эксперимента.

5. На основе прогонов в соответствии с факторным экспериментом строится линейная регрессия, например, методом наименьших квадратов или градиентным спуском определяются значения коэффициентов b

6. После определения коэффициентов b происходит проверка однородности дисперсии , затем, адекватности модели и значимости коэффициентов b.

7. Если оптимум не достигнут, и регрессионная модель является адекватной, то происходит вычисление градиента функции оценки и переход в направлении, обратном направлению градиента в новую подобласть значений факторов, переопределение и повторение цикла с шага 2

Таким образом, планирование эксперимента позволяет оценивать вид целевой функции и находить ее экстремум за сокращенное число прогонов. Однако практических примеров использования данного метода в управлении запасами встретить не удается. Это связано с тем, что после анализа теории неясно, как решается проблема удовлетворения ограничений, которые тоже часто требуют оценки с помощью имитационной модели, присутствует проблема с адекватностью аппроксимации целевой функции линейной функцией, оценкой области допустимых значений на каждой итерации. Кроме того, методы планирования эксперимента развивались в третьей четверти ХХ века, когда имитационное моделирование только зарождалось, а теория управления запасами проходила этап становления и была непопулярна, и в силу слабого развития вычислительной техники говорить о проведении в это время имитационного эксперимента в управлении запасами можно с трудом. В период же когда проведение имитационного эксперимента стало возможно в широкой практике уже появились различные методы численной оптимизации в условиях ограничений, которые являются более универсальными и гибкими, большинство из которых реализовано в готовых программных продуктах. Рассмотрим эти методы подробнее.

Методы численной оптимизации параметров имитационных моделей в управлении запасами. Данные методы заключаются в итеративном переборе вариантов значений факторов по специальным алгоритмам, ограничивающим полный перебор, с вычислением на каждой итерации оценки целевой функции с помощью имитационной модели. Авторы указанного ранее обзора [27] предложили 4 вида классификации наиболее популярных методов численной оптимизации имитационных моделей управления запасами:

1. В зависимости от типа и параметров задачи - дискретной или непрерывной является целевая функция и ее параметры, велика ли размерность задачи, дифференцируема ли целевая функция. Данная классификация представлена на Рис. 2.3.



Рис. 2.3 Классификация подходов к оптимизации имитационной модели

2. В зависимости от типа схемы пополнения, количества уровней-эшелонов управления запасами, детерминированы или нет сроки доставки. Стоит отметить, что на практике не рассматривается модель (t, Q) по очевидным причинам отсутствия механизма адаптации к случайности, но помимо упомянутых пяти моделей присутствует модификация модели (R, S) или Min-Max, в которой R и S совпадают, т.е. заказ производится при падении уровня запаса ниже точки размещения заказа R на минимальную величину n, которой кратен размер заказа Q, чтобы пополнить запас до уровня R. Такая модель обозначается авторами обзора как (R, nQ).

3. В зависимости от того, применяется подход для решения практической или теоретической абстрактной задачи

4. В зависимости от применяемого алгоритма оптимизации - генетические алгоритмы, метод роя частиц, поиск с запретами, OPTQUEST и т.д.

Методы оптимизации для каждого набора условий имеют длинную историю и множество модификаций, которым посвящено большое количество статей и книг, поэтому они будут рассмотрены лишь вкратце с указанием более подробных источников. Когда целевая функция дискретна, и число вариантов мало, самым простым способом нахождения оптимального решения будут множественные сравнения с лучшим (Multiple comparisons with the best, MCB). Для каждого варианта реализуется такое число прогонов, которое позволяет получить с установленной вероятностью доверительный интервал оценки целевой функции. Далее на основе сравнения рассчитанных интервалов определяется статистически значимо лучшая реализация. Подробнее данный метод рассмотрен в [35]. Вторым популярным методом в указанных условиях является выбор с ранжированием (Ranking and selection, R&S). Он может быть реализован в двух вариантах: на основе стационарной области или на основе выбора оптимального подмножества. В первом варианте целью является нахождение такого сочетания факторов, при котором оценка целевой функции отличается от оптимума не более чем на установленную точность с вероятностью не менее установленной. Во втором варианте производится поиск подмножества комбинаций значений факторов, размер которого не превышает заданный, так, чтобы это подмножество с установленной вероятностью содержало оптимальное решение. Подробнее о методах выбора с ранжированием написано в [25]. Когда множество допустимых вариантов очень велико, требуется существенное сокращение перебора. Такое сокращение позволяет сделать применение метаэвристик - функций, независимых от типа задачи, позволяющих исследовать пространство целевой функции для того, чтобы сделать перебор вариантов направленным к оптимуму. От обычных эвристик метаэвристики отличаются тем, что позволяют одновременно исследовать локальную окрестность поиска благодаря компонентам интенсификации (intensification или exploitation) и глобально оценивать свойства пространства благодаря компонентам диверсификации (diversification или exploration). К метаэвристическим алгоритмам относятся, например, некоторые генетические алгоритмы, алгоритм роя частиц (particle swarm), алгоритм симуляции отжига (simulation annealing), некоторые модификации поиска с запретами (tabu search). Такие алгоритмы не всегда гарантируют достижение строгого оптимума, но успешно применяются на практике для поиска приближенного к оптимуму значения в условиях, когда другие алгоритмы работают хуже или не работают вовсе. Обзор применения метаэвристических алгоритмов проведен в [19]. Другим, менее популярным методом является ранговая оптимизация, которая похожа на метод ранжирования с выбором подмножества по общему принципу, но здесь необходимо найти такое подмножество, в котором будет содержаться не лучшее, а хотя бы одно из топ-n лучших решений. Методы реализации такого принципа, тем не менее, отличаются и рассмотрены в [2].

В случае, когда целевая функция дифференцируема т.е. непрерывна, то число возможных вариантов бесконечно, что диктует особые требования к методам ее оптимизации, что, однако, не является проблемой для упомянутых метаэвристических алгоритмов. В этом случае также успешно работают методы градиентной оптимизации: стохастическая аппроксимация и оптимизация на основе случайных выборок (sample path optimization). Стохастическая аппроксимация так же как и методы планирования эксперимента реализует спуск по целевой функции на основе градиента, вычисленного путем прогонов имитационной модели, но здесь постановка задачи включает компоненту случайного шума, и реализуются другие способы и алгоритмы аппроксимации и схождения к минимуму. Подробнее об этом подходе сказано в [6, 16]. Весьма интересны методы двухуровневого или мета- моделирования. Второй уровень или приставка мета- означают наличие модели, которая упрощенно моделирует поведение имитационной модели. Преимущество таких моделей в том, что их отклик детерминирован, и их прогон занимает существенно меньшее время. Метамодели могут служить для локального исследования зависимостей между факторами и целевыми показателями, как, например, метамодель поверхности отклика (response surface methodology, RSM), которая аппроксимирует поверхность целевой функции полиномом второго порядка [26], к которому затем применяется регрессионный анализ. Кроме того, метамодель может устанавливать полную зависимость целевых показателей от значений факторов: для этого на основе результатов моделирования строится нейронная сеть, сеть радиально-базисных функций или проводится кригинг. Наиболее распространенным метаэвристическим алгоритмом является OPTQUEST, который во многих работах по совершенствованию алгоритмов имитационной оптимизации используется в качестве лучшей практики. Данный алгоритм встроен в лидирующие на рынке имитационного моделирования программные продукты: Arena, AnyLogic, поскольку основан на применении комбинации указанных ранее подходов и на сегодняшний день является наиболее универсальным. Интересны в контексте распространения и развития машинного обучения в последние годы нейросетевые метамодели. Так, в работе [3] 2014 г. нейросеть использовалась для определения параметров модели (R, S), и ее результаты оказались немного, на 1% лучше, чем результаты OPTQUEST при сокращении числа прогонов на 8%. Такое улучшение, однако, можно считать несущественным, если учесть, что подход авторов не является универсальным в отличие от подхода OPTQUEST.

Таким образом, рассмотрены основные подходы к итерационному поиску оптимальных параметров имитационных моделей, использующихся в управлении запасами. Важно подчеркнуть, что все рассмотренные методы успешно применяются в решении задачи совершенствования систем управления запасами, а указанные источники иллюстрируют их пользу именно в этой области. Рассмотренные методы сложны, и их построение с нуля было бы невозможно без глубоких математических знаний, однако современные программные продукты позволяют легко применять наиболее совершенные из них, OPTQUEST, к любым имитационным моделям. Сложность методов обусловлена большим размером и сложностью моделируемых систем - в последние годы возрос интерес к моделированию цепей поставок, запасов в них. Такие интегрированные модели включают несколько звеньев, каждое из которых накладывает собственные ограничения, часто подверженные влиянию случайности, взаимодействуя с другими звеньями, т.е. внося в задачу нелинейность. Например, в работе [27] рассмотрено построение и оптимизация модели цепи поставок, включающей четыре модуля, три из которых соответствуют основным звеньям: поставщику, производству, клиенту, - а последний модуль представляет транспорт. Авторы рассматривают модель цепи поставок с тремя поставщиками, четырьмя производственными объектами, тремя клиентами и тремя перевозчиками. Результатом оптимизации модели явилось сокращение совокупных затрат на хранение, содержание запасов, производство, транспортировку и штрафы за дефицит. Рассмотрение интегрированных моделей наиболее интересно, однако подробное описание такого подхода встречается редко.

...