Исследование влияния изменения толщины среза на динамическую характеристику фрезерования

(2.20)

где А - сопротивление обрабатываемого материала сдвигу, МПа;

В - предел прочности при растяжении, МПа;

- относительное сужение при разрыве, %;

Анализ значений силы резания для различных материалов и при различных режимах обработки показал, что наиболее точно экспериментальные данные аппроксимируют зависимости (2.21) и (2.22):

(2.21)

(2.22)

Таким образом, предложенная методика определения коэффициентов Ср и g, позволяет рассчитывать их для каждого материала, что значительно удобнее и точнее по сравнению с ранее используемой методикой.

2.3 Определение фазовой характеристики силы резания

Как было установлено в главе 1, нахождение фазовой характеристики силы резания является важной и актуальной задачей, так как этот параметр значительно влияет на устойчивость процесса резания /18, 26/.

Для определения фазовой характеристики силы резания будем использовать частотный анализ, методика которого изложена в /7/. Однако, для использования этой методики сначала необходимо определить фазово-частотную характеристику эквивалентной передаточной функции.

2.3.1 Определение фазово-частотной характеристики фрезерования

Процесс изменения силы резания от изменения толщины среза можно представить в виде схемы (рис. 2.15)

Рисунок 2.15 - Схема влияния толщины среза на силу резания

Однако, данная схема является наиболее простой, и не учитывает ряда важных явлений, происходящих в процессе фрезерования. Если учесть упругое отжатие инструмента от заготовки, заключающееся в том, что инструмент под действием силы Pzy "выталкивается" из заготовки, то такой процесс можно описать схемой, представленной на рисунке 2.16. /58/

Рисунок 2.16 - Схема влияния толщины среза на силу резания с учетом упругого отжатия инструмента

На рисунке 2.16:

- передаточная функция, определяющая влияние толщины среза на тангенциальную составляющую силы резания;

- передаточная функция, определяющая то, как сила Pz влияет на отжимающую силу Pzy /51/;

- передаточная функция, определяющая то, как отжимающая сила влияет на упругую деформацию инструмента, по физическому смыслу соответствующая суммарной податливости фрезерной оправки k1 и фрезы k2.

Податливость оправки k1 можно определить по зависимости (2.23)

(2.23)

где Е1 - модуль упругости материала оправки, Па;

I1 - момент инерции оправки, определяемый в зависимости от диаметра по формуле

, м4

l - длина оправки, м;

x - текущая координата, расстояние от опор до места установки фрезы, м. Этот параметр удобно задавать в зависимости от длины оправки l. Часто , то есть фрезу устанавливают в центре оправки, но жесткость технологической системы в данном случае минимальна.

Податливость фрезы k2 можно определить по зависимости (2.24)

(2.24)

где В - ширина фрезы;

Е2 - модуль упругости материала фрезы, Па;

I2 - момент инерции фрезы, м4. При расчетах фреза принимается как диск с центральным отверстием, диаметр которого равен диаметру оправки.

Для фрезы x=0, следовательно, выражение (2.24) преобразуется в (2.25)

(2.25)

Однако, схему, приведенную на рисунок 2.16 можно упростить, используя правила, приведенные в /7/. В соответствии с ними, передаточные функции W2 и W3 можно заменить одной, равной их произведению W23= W2 W3, а звено обратной связи преобразуется по формуле (2.26)

(2.26)

Тогда, передаточная функция схемы на рис 2.16

(2.27)

Для анализа исследуемой передаточной функции необходимо перейти к частотной форме записи. Для этого заменим переменную p в полученных после преобразования Лапласа зависимостях на произведение i, то есть

p= i

- мнимая единица;

- круговая (циклическая) частота.

Тогда выражение (2.26) измениться следующим образом

(2.28)

Однако, для конкретных расчетов, выражение (2.28) необходимо исследовать не по углу поворота, а по времени процесса.

(2.29)

Фазовая характеристика силы резания может быть определена по фазово-частотной характеристике (ФЧХ) эквивалентной передаточной функции (2.29). ФЧХ показывает соотношение входного и выходного сигналов. Если ФЧХ отрицательна, значит, выходной сигнал отстает от входного /7/, то есть изменение силы резания отстает от соответствующего ей изменения толщины среза.

ФЧХ определяется по формуле (2.30) /7/

(2.30)

где - мнимая часть передаточной функции ;

- вещественная часть передаточной функции ;

2.3.2 Перевод функций толщины среза и силы резания в операторную форму

Для частотного анализа передаточной функции необходимо перевести используемые функции в операторную форму путем преобразования Лапласа.

Однако исследуемые функции являются кусочно-непрерывными и классическим методом не переводятся в операторную форму.

При анализе литературных источников (глава 1) было выявлено три метода перевода таких функций в операторную форму.

1 Перевод функций в операторную форму с помощью разложения в ряды Фурье.

Так как нас не интересует функция в отрицательной области аргумента, то решение следует искать в области не [-l; l], а [0; 2l]

Для функции толщины среза при встречном фрезеровании:

- в зависимости от угла поворота фрезы:

в зависимости от времени процесса

Для функции толщины среза при попутном фрезеровании:

- в зависимости от угла поворота фрезы:

- в зависимости от времени процесса

Аналогично можно поступить с функцией, описывающей изменение силы резания. При встречном фрезеровании:

- в зависимости от угла поворота фрезы:

- в зависимости от времени процесса:

При попутном фрезеровании:

- в зависимости от угла поворота фрезы:

- в зависимости от времени процесса:

Функция, представленная рядом Фурье достаточно просто переводится в операторную форму. Так как функция представляет собой сумму константы, синусов и косинусов с различными коэффициентами и частотами, то достаточно перевести в операторную форму только их, воспользовавшись свойством аддитивности преобразования Лапласа. Синус и косинус переводятся в операторный вид по формулам (2.31) - (2.32) /10/.

(2.31)

(2.32)

Для случая исследования процесса по углу поворота фрезы выражения (2.31) - (2.32) примут следующий вид (2.33) - (2.34):

(2.33)

(2.34)

Для случая исследования процесса по времени процесса выражения (2.31) - (2.32) примут следующий вид (2.32) - (2.33):

(2.35)

(2.36)

Константа переводится в операторный вид по зависимости (2.37) /10/:

(2.37)

Таким образом, в операторном виде функции описывающие изменение толщины срезаемого слоя и силы резания в зависимости от угла поворота фрезы можно представить в виде (2.38):

(2.38)

Для функции, описывающей процесс в зависимости от времени (2.39):

(2.39)

Этот способ так же корректно используется для описания случая, когда в работе находятся сразу несколько зубьев. Для этого, прежде всего, при суммировании рядов Фурье необходимо ограничить функции только положительной областью аргумента. Это можно сделать, умножив полученные функции на функцию Хевисайда H(t). Для получения корректной передаточной функции необходимо к передаточной функции вида (2.38) или (2.39) прибавить такую же функцию, учитывающую отставание следующего зуба на осевой шаг. В операторной форме отставание по фазе учитывается зависимостями (2.40)-(2.41):

- для синуса:

(2.40)

- для косинуса:

(2.41)

Таким образом, окончательно, в символической форме для случая обработки несколькими зубьями:

- при исследовании по углу поворота фрезы по выражению (2.42)

(2.42)

- при исследовании по времени по зависимости (2.43)

(2.43)

2 Перевод функций в операторную форму непосредственным преобразованием Лапласа

Для случая исследования функции изменения толщины среза в зависимости от угла поворота фрезы преобразование Лапласа будет выглядеть следующим образом (2.44)

(2.44)

Однако, выражение (2.44) дает преобразование лишь для участка функции, описывающего работу одного зуба фрезы. Для преобразования всей функции нужно выражение (2.44) просуммировать Nz раз (N - число циклов нагружения (количество полных оборотов) фрезы, z - число зубьев фрезы).

Для исследования процесса встречного фрезерования:

- в зависимости от угла поворота по формуле (2.45)

(2.45)

- в зависимости от времени по формуле (2.46)

(2.46)

Для попутного фрезерования преобразованная функция изменения толщины среза:

- в зависимости от угла поворота по формуле (2.47)

(2.47)

- в зависимости от времени по формуле (2.48)

(2.48)

Аналогично преобразуются выражения, описывающие силу резания. Для встречного фрезерования:

- в зависимости от угла поворота по формуле (2.49)

(2.49)

- в зависимости от времени по формуле (2.50)

(2.50)

Для попутного фрезерования:

- в зависимости от угла поворота по формуле (2.51):

(2.51)

- в зависимости от времени по формуле (2.52):

(2.52)

3 Перевод функций в операторную форму приближенным преобразованием Лапласа

Для перевода функций (2.4) - (2.6) и (2.14) - (2.18) в операторную форму воспользуемся методикой, приведенной в /33/. В соответствии с ней полученные функции необходимо перевести в дискретный вид с необходимой частотой дискретизации, а точки соединять одним из трех видов сплайна (линейный, параболический или кубический). Исследования показали, что для исследуемых функций вид сплайна не значительно влияет на образовываемую таким образом погрешность (около 2%), однако наименьшую из них дает кубический сплайн.

К полученным таким образом функциям применяется преобразование Лапласа, однако верхний предел интегрирования ограничивается не бесконечностью, как в классическом преобразовании, а конкретным числом. Это число будет либо конечным углом поворота (при исследовании функций в зависимости от угла поворота фрезы), либо конечным моментом времени (при исследовании функции в зависимости от времени процесса).

Далее для определения конкретного значения фазовой характеристики силы резания необходимо определить частоту колебаний процесса f - частоту колебаний, связанную с периодическим врезанием и выходом зубьев фрезы из заготовки.

2.3.3 Определение частоты колебаний главной составляющей силы резания

Частота колебаний главной составляющей силы резания является частотой выхода зубьев из заготовки /2,53/. Основными факторами, влияющими на частоту выхода зубьев фрезы из заготовки, являются:

1. Число одновременно работающих зубьев:

1.1. Максимальный угол контакта, зависящий от глубины фрезерования t и диаметра фрезы D;

1.2. Осевой шаг фрезы toc, зависящий от числа зубьев фрезы;

2. Частота вращения фрезы.

Время контакта зуба с фрезой определяется в зависимости от максимального угла контакта и частоты вращения определяется зависимостью (2.11). Для того чтобы определить промежуток времени, через который каждый зуб фрезы выходит из заготовки необходимо время ?m разделить на число одновременно работающих зубьев (2.53):

(2.53)

В общем случае число одновременно работающих зубьев может быть непостоянным (т.е. Q - нецелое число). Тогда вместо Q необходимо в формулу подставить определяющее его выражение (2.5).

Подставив выражение (2.5) в формулу (2.53), получим:

, (2.54)

Время, полученное по этой зависимости, измеряется в секундах, с.

Полученная формула фактически дает период установившихся колебаний силы резания. Соответственно, частота колебаний будет обратна периоду:

(2.55)

Частота в выражении (2.55) измеряется в герцах, Гц.

При определении фазовой характеристики силы резания используется круговая (циклическая) частота, поэтому правую часть формулы (2.56) нужно домножить на 2?. Таким образом, интересующая нас в выражении (2.30) частота будет равна

(2.56)

Частота в выражении (2.56) выражается в обратных секундах, с-1.

2.4 Вычисление фазово-временной характеристики:

В различных источниках /7, 15, 16, 34, 35, 36, 39/ есть множество методов вычислений характеристик процесса по его передаточной функции. Однако, методов вычисления фазово-временной характеристики при исследовании различных источников не найдено. Поэтому, предложенный ниже метод являющийся разработкой автора, предназначен только для решения конкретной задачи и не может быть обобщен, так как полностью построен на физической картине происходящих при фрезеровании процессов.

Метод заключается в следующем. Известно /18, 26, 36/, что изменение силы резания отстает от соответствующего ей изменения толщины срезаемого слоя за счет двух явлений: упругого отжатия инструмента от заготовки и инертности теплового поля в зоне резания. Разработанная математическая модель учитывает только упругое отжатие. Зная податливость упругой системы (она принимается постоянной в течение всего времени процесса), и отжимающую силу можно вычислить упругое смещение инструмента и найти разницу между реальной силой резания и "той, которая должна быть". Зная эту разность можно высчитать время, которое потребуется системе, что бы "догнать упущенное". Полученное время будет являться задержкой изменения силы резания от соответствующего ей изменения толщины среза, т.е. фазовой характеристикой силы резания.

Как уже указывалось выше, прежде всего, необходимо найти упругое отжатие инструмента. Упругое отжатие вычисляется умножением податливости системы на отжимающую силу. Податливость системы была вычислена ранее и соответствует передаточной функций W3. Отжимающая сила находится с помощью передаточной функции W2. Полученный результат упругого отжатия необходимо "перевести" в силу (т.е. найти силу производящую это отжатие по зависимости (2.57)).

(2.57)

Далее необходимо определить диапазон, в который входит полученный результат (т.е. сопоставить значения отжимающей силы с силой резания) и в соответствии с ним вычислить время запаздывания либо исходя из (2.54), (2.55) для встречного фрезерования и (2.56), (2.57) для попутного фрезерования.

(2.58)

(2.59)

(2.60)

(2.61)

Приведенные формулы основаны на модели, использующей в качестве аргумента время процесса.

Выводы по главе 2

1. Изменение силы резания зависит от изменения толщины среза.

2. Анализ существующих расчетных методов определения силы резания при фрезеровании показал, что наиболее перспективным и удобным при расчетах является формула М.М. Тверского

3. Разработана математическая модель, описывающая изменение толщины среза и соответствующего ей изменения главной составляющей силы резания для попутного и встречного фрезерования.

4. С помощью разработанной модели можно описывать изменение силы резания при дисковом, цилиндрическом и концевом фрезеровании (для случая работы периферией фрезы).

5. Разработана методика определения фазово-частотной характеристики главной составляющей силы резания.

6. На основе расчета ФЧХ и частоты колебаний силы резания разработана методика определения фазовой характеристики силы резания.

7. Разработан алгоритм вычисления фазово-временной характеристики силы резания.

3. Расчетный и экспериментальный методы исследования динамики фрезерования

Несмотря на то, что вопрос определения силы резания исследуется много лет, данная задача до сих пор остается актуальной. При фрезеровании сила резания изменяется в зависимости от изменения толщины срезаемого слоя, поэтому такой же актуальной задачей является и ее определение. При определении как толщины срезаемого слоя, так и соответствующей ей силы резания используются расчетные и экспериментальные методы.

3.1 Алгоритм расчета силы резания

Алгоритм позволяющий оперировать с выражениями, определяющими силу резания, можно описать следующим образом:

1 Ввод исходных данных: материал заготовки, диаметр фрезы, количество зубьев фрезы, угол наклона винтовой канавки, глубина резания, скорость резания (или частота вращения фрезы) и минутная подача.

2 Расчет промежуточных значений: подача на зуб, максимальный угол контакта.

3 Начало цикла расчета силы резания.

4 Проверка условий в выражениях, определяющих силу резания.

5 Конец цикла.

Данный алгоритм графически представлен на рисунке. 3.1.а.

Этот алгоритм достаточно легко модернизируется для случая, когда число одновременно работающих зубьев больше одного. Для модернизации алгоритма при работе несколькими зубьями следует сделать следующее:

1. Определить количество одновременно работающих зубьев Q по зависимости (3.1)

 (3.1)

2. Создать внешний цикл, параметром которого будет являться номер работающего зуба q.

3. Так же нужно учесть, что каждый последующий зуб вступает в процесс резания с запаздыванием на осевой шаг фрезы 2?/z. Математически данное условие можно описать отставанием по фазе на 2?/z.

Как показывает блок-схема (рис. 3.1.б), этот алгоритм гораздо более универсален, так как подходит и для случая обработки одним зубом.

а б

Рисунок.3.1 - Блок-схема алгоритма определения толщины среза (а - для резания одним зубом; б - для резания Q зубьями)

3.2 Экспериментальный метод определения толщины среза

Процесс изменения толщины срезаемого слоя при фрезеровании достаточно сложно изучать, так как исходные размеры срезаемого слоя и размеры стружки не совпадают из-за явления усадки стружки. Так же на геометрию стружки влияет множество неучтенных факторов, которые могут, в конечном итоге, привести к неверным результатам (радиальное биение зубьев фрезы, различная заточка зубьев, непостоянство структуры заготовки и т.п.).

Как известно /2/, кинематика процесса фрезерования включает в себя два движения: вращательное равномерное фрезы и прямолинейное равномерное заготовки. Смоделировать кинематику процесса фрезерования можно при помощи фрезерного станка и специально разработанного приспособления /60/. Моделирование кинематики процесса поможет установить закон изменения геометрии толщины срезаемого слоя.

Для подтверждения адекватности разработанной математической модели необходимо проверить ее при условиях, которые будет достаточно сложно осуществить с помощью резания.

Конструкция (рис. 3.2) представляет собой диск 2, с центральным отверстием для закрепления его на фрезерной оправке 1, и отверстиями для закрепления в них инструментов для черчения 3.

Принцип работы приспособления следующий /60/: в отверстия диска устанавливают два пластиковых штыря 3, а сам диск 2 садится на оправку 1. На стол станка устанавливается зажимное приспособление, в котором закрепляется металлический лист 4 толщиной 2,5 мм, обеспечивающий достаточную жесткость. На него наклеивается лист миллиметровки, затем на нее наклеивается копировальная бумага, и сверху на них наклеивается плотная (не менее 80 г/м2) бумага 5, наличие которой позволяет избежать повреждений миллиметровки и копирки. Далее доводят острия чертежных инструментов 3 до контакта с листом, устанавливая небольшой нажим для компенсации возможной погрешности плоскостности металлического листа. После этого включают вращение шпинделя (на возможно меньшей частоте вращения) и подачу стола (конкретное значение которой зависит от требуемой подачи на зуб и частоты вращения шпинделя).

1 - оправка, 2 - диск, 3 - чертежные инструменты,

4 - металлический лист, 5 - лист бумаги.

Рисунок 3.2 - Схема стенда для изучения срезаемого слоя

Для снижения влияния погрешности измерения подача на зуб должна быть достаточно большой, и ясно, что резание с необходимой (?1…5 мм/зуб) подачей на зуб невозможно осуществить стандартными фрезами, поэтому предложенный метод является оптимальным.

Очерченный контур даст исходные размеры срезаемого слоя.

1 - оправка, 2 - диск, 3 - чертежные инструменты,

4 - металлический лист, 5 - лист бумаги

Рисунок.3.3 - Сиенд для изучения срезаемого слоя

Адекватность полученных результатов можно проверить по площади очерченного контура, которую можно определить по миллиметровке. Аналитически площадь определяется по формуле (2.9)

Допустимое расхождение результатов - 5%.

Так как для уменьшения влияния погрешностей опыты необходимо проводить с максимально возможной подачей на зуб, то обрабатывать результаты нужно для разных значений глубин резания. Такое решение позволяет уменьшить трудоемкость эксперимента, так как вычислить площадь центрального сечения срезаемого слоя для различных значений глубины резания можно на одном полученном рисунке.

Расчет площади сечения ведется по пикселям, поэтому имеет точность 0,04 мм2.

Разработанный способ позволяет избежать множества погрешностей, и с достаточно высоким уровнем точности может представить необходимые результаты, которые позволят судить об адекватности разработанной модели.

3.3 Экспериментальный метод определения частоты процесса

Для исследования процессов, протекающих в динамической системе станка, применяется метод снятия сигнала акустической эмиссии (АЭ) и дальнейшее его преобразование. /41/

Схема экспериментального стенда для снятия сигнала АЭ представлена на рисунке 3.4, а фотография - на рисунке 3.5 /60/. Принцип работы стенда следующий: дисковая фреза 1 устанавливается на фрезерную оправку 2 горизонтально-фрезерного станка через шпонку 3. В зажимное приспособление, установленное на столе станка, зажимается металлическая пластина 4, на которую крепится вибродатчик 5. Посредством продольного движения стола пластина 4 доводится до касания с фрезой 1. Фрезе придается вращение таким образом, что зубья фрезы касаются пластины не режущей кромкой, а задней поверхностью. Датчик KD-35 преобразует виброакустический сигнал в электрический и передает его через провод 6 на осциллограф ЛА-н10м6, который используется в качестве усилителя.

Дальше сигнал поступает с усилителя на вход аналого-цифрового преобразователя (АЦП) - высокопроизводительного четырехканального цифрового осциллографа "Adlink NuDAQ PCI-9812" 8, после чего сохраняется в ПЭВМ 9.

Так можно получить сигнал, регистрирующий удары зубьев фрезы о пластину, имитирующий выход зубьев фрезы из заготовки.

Для решения задачи нахождения фазовой характеристики силы резания необходимо экспериментально подтвердить теоретически рассчитанную в главе 2 частоту процесса фрезерования. Для этого применим методику полного факторного эксперимента /9, 14/, которая позволяет получить эмпирическую зависимость параметра оптимизации от определяющих его факторов. Как было выявлено в главе 2, факторами, определяющими частоту выхода зубьев фрезы из заготовки, являются: число зубьев фрезы z и частота вращения фрезы n.

1 - дисковая фреза; 2 - фрезерная оправка; 3 - шпонка;

4 - пластина; 5 - вибродатчик; 6 - провод; 7 - осциллограф ЛА-н10м6; 8 - АЦП; 9 - ПЭВМ

Рисунок 3.4 - Схема стенда по изучению процесса фрезерования



1 - дисковая фреза; 2 - фрезерная оправка; 3 - шпонка;

4 - пластина; 5 - вибродатчик; 6 - провод; 7 - осциллограф ЛА-н10м6; 8 - АЦП; 9 - ПЭВМ

Рисунок 3.5 - Стенд по изучению частоты процесса фрезерования

В соответствии с этим методом, таблица кодирования выглядит следующим образом (табл. 3.1):

Таблица 3.1 - Таблица кодирования

Уровни факторов	Обозначение	n	z
		х1	х2
Нулевой	0	72,5	7
Верхний	+1	80	8
Нижний	-1	65	6
Интервал варьирования	?i	7,5	1

Для получения более точных результатов, опыт повторяется в каждой точке 4 раза.

На кафедре "Технология машиностроения" в ГОУВПО "КнАГТУ" разработана программа DynAnaliser, позволяющая представить снятый описанным выше образом сигнал АЭ в виде осциллограммы.

По осциллограмме необходимо определить период колебания, затем найти частоту, и в дальнейшем использовать линейную модель для отыскания зависимости параметра оптимизации (частоты процесса) от факторов (частоты вращения шпинделя n, и числа зубьев фрезы z).

Для дальнейшей работы с полученными данными необходимо определить воспроизводимость эксперимента по критерию Кохрена и сравнить полученный результат с табличным значением. Адекватность линейной модели определяется при помощи критерия Фишера.

Затем необходимо оценить значимость полученных коэффициентов регрессии. Далее разработанная линейная модель переводится в натуральный вид, т.е. кодированные значения факторов меняются на физические величины.

После алгебраических преобразований полученного уравнения оно приобретает окончательный вид, и позволяет сравнить теоретически рассчитанную и практически полученную модели.

3.4 Экспериментальные метод определения силы резания

Для подтверждения адекватности разработанной математической модели по определению главной составляющей силы резания необходимо провести ряд экспериментов. Для этого использовались два метода: методика Кудинова и методика с использованием динамометра

3.4.1 Определения силы резания по методу Кудинова

Для экспериментального определения силы резания воспользуемся методикой, приведенной в /36/. Формулы, использующиеся для расчета главной составляющей силы резания, приведены в главе 1.

Из формул следует, что для определения главной составляющей силы резания необходимо определить коэффициент укорочения (продольной усадки) стружки. С этой целью необходимо провести ряд опытов. Опыты проводятся на горизонтально-фрезерном станке 6К81Ш. В качестве режущего инструмента использовались дисковые фрезы со следующими параметрами:

- ширина фрезы B=10 мм;

- диаметр фрезы D=100 мм;

- количество зубьев фрез 20 и 8;

- материалы режущей части - Р6М5, Т15К6 и ВК8.

Заготовка устанавливается в зажимное приспособление. Заготовка представляет собой металлическую пластину шириной 3,5 мм. Таким образом, так как ширина инструмента больше чем ширина обрабатываемой заготовки, получается свободное прямоугольное резание.

Для проведения опытов используются режимы резания, обеспечивающие наименьшую скорость резания (необходимую для получения наиболее подходящей для проводимого исследования стружки), глубину резания, при которой в работе постоянно участвует только один зуб фрезы. По этой причине, изменять представляется возможным только подачу на зуб, которую можно изменять только за счет изменения минутной подачи.

Таким образом, проведя ряд опытов и получив стружку, необходимо вычислить ее продольное укорочение (усадку), а затем рассчитать главную составляющую силы резания.

Усадка стружки определяется по зависимости (3.2)

(3.2)

где L - длина срезаемого слоя, мм;

Lc - длина стружки, мм.

При фрезеровании расчетная длина срезаемого слоя определяется в зависимости от диаметра фрезы и глубины фрезерования (3.3)

(3.3)

где D - диаметр фрезы, мм;

t - глубина фрезерования (рис. 1.4), мм

Этот метод позволяет оценить только среднее значение силы резания, так как рассчитывается средняя усадка стружки.

3.4.2 Метод определения силы резания с использованием динамометра

Основным недостатком методики Кудинова является то, что она не позволяет получить изменение силы резания, которое при фрезеровании меняется в очень широких пределах, а позволяет ориентировочно оценить ее среднее значение.

Для определения силы резания экспериментальным методом в науке о резании материалов давно используются специальные устройства, позволяющие непосредственно определить значение силы резания - динамометры /2, 3, 8, 12, 13/. Для подтверждения достоверности данных по силе резания, полученных расчетным путем были разработаны методика и стенд.

Принцип работы стенда (рис. 3.6) следующий: в динамометре марки СУР-600, установленном на столе горизонтально-фрезерного станка 6К81Ш, закрепляется заготовка как в зажимное приспособление. В качестве режущего инструмента использовалась 20-ти и 8-ми зубые дисковые фрезы с материалом режущей части Р6М5, Р10, Т15К6, и ВК8 диаметром D=100 мм и шириной B=10 мм. Материалы заготовок - сталь 45, сталь У8 и сталь 12ХНА. При нагружении заготовки, возникшее перемещение специального приспособления динамометра переводится в электрический сигнал, который поступает на десятиканальный тензоусилитель "Топаз-3-02", запитанный от блока питания "Агат", после чего сигнал поступает на цифровой осциллограф "Adlink NuDAQ PCI-9812" на базе ПЭВМ, где и сохраняется в виде числового ряда.

Однако, полученный числовой ряд не является значением силы резания в ее натуральном выражении. Полученный ряд представляет собой изменение напряжения датчиков динамометра, отображающие реальную картину изменения силы резания.

Так же следует отметить, что при цилиндрическом фрезеровании направление главной составляющей силы резания постоянно изменяется, а динамометр регистрирует перемещение приспособления с заготовкой в фиксированных направлениях: в горизонтальном и вертикальном.

В соответствии с этой методикой были получены осциллограммы (рис.3.6), отображающие изменение силы резания при фрезеровании.

а б

Рисунок 3.6 - Сигналы, снятые с динамометра (n=16 мин-1; Sz=0,42мм/зуб) (а - с горизонтального канала; б - с вертикального канала)

Очевидно, что такой "зашумленный" сигнал не может реально отображать происходящие процессы и нуждается в фильтрации. Для фильтрации шума была использована программа "Динамический Анализатор", разработанная на кафедре "Технология машиностроения", использующая вейвлет-анализ (вейвлет Дебоши 10-го порядка), результат работы которой приведен ниже (рис 3.7). На рисунке 3.7 на верхнем графике представлены исходный (красного цвета) и фильтрованный (зеленого цвета) сигналы. На нижнем графике приведен только фильтрованный сигнал.

Как видно из рисунка 3.7 фильтрация этой программой является очень эффективным способом очистки сигнала от шума.



Рисунок 3.7 - Интерфейс программы "Динамический Анализатор" и результат фильтрации сигнала

Фильтрованные сигналы необходимо домножить на тарировочные коэффициенты:

- для горизонтального канала k1=1471,5 Н/В

- для вертикального канала k2=1962 Н/В

Для получения значений силы резания, необходимо полученные числовые ряды возвести в квадрат, сложить и из полученного числа извлечь квадратный корень (3.3). В результате получается экспериментальное значение силы резания Pzэкс.

(3.3)

Выводы по главе 3

1. На основе математической модели разработан алгоритм определения мгновенного значения главной составляющей силы резания.

3. Разработана конструкция и методика для подтверждения адекватности разработанной математической модели по изменению толщины срезаемого слоя.

4. Разработан стенд для подтверждения адекватности разработанной математической модели по частоте процесса фрезерования.

5. С помощью метода полного факторного эксперимента разработана матрица планирования, позволяющая получить эмпирическую формулу для определения частоты процесса фрезерования.

6. Разработаны две методики, позволяющие определить экспериментальное значение главной составляющей силы резания.

4. Экспериментальное подтверждение адекватности математической модели

Данная глава посвящена подтверждению адекватности разработанной математической модели.

4.1 Подтверждение адекватности разработанной модели по толщине среза

По описанному в главе 3 методу был проведен ряд опытов, позволяющих говорить о том, что разработанная математическая модель адекватно описывает происходящее изменение толщины срезаемого слоя. На рисунке 4.1. приведен один из полученных описанным способом контур срезаемого слоя.

Рисунок 4.1 - Экспериментальный контур срезаемого слоя

Результаты, полученные экспериментальным и расчетным путями, приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1 - Экспериментальные и расчетные значения площади

t, мм	Sпр, мм2	Sтеор, мм2	?, %
1	3,16	3,24	2,62
2	6,44	6,62	2,69
3	10,04	9,99	0,52
4	13,12	13,36	1,81
5	16,32	16,73	2,49
6	19,56	20,10	2,74
7	23,32	23,48	0,66
8	26,4	26,85	1,68
9	29,84	30,22	1,26
10	32,96	33,59	1,90
11	36,12	36,96	1,75
12	39,56	40,34	1,94
13	42,84	43,71	2,00
14	46,12	47,08	2,06
15	49,52	50,45	1,86

Так как разница между экспериментальными и расчетными данными не превышает 3%, то можно сказать, что разработанная математическая модель адекватно описывает изменение толщины срезаемого слоя при фрезеровании.

4.2 Подтверждение адекватности разработанной модели по частоте процесса

В главе 3 был описан метод, в соответствии с которым был проведен ряд экспериментов. Результаты этих экспериментов приведены в таблице 4.2.

Частоты, занесенные в таблице 4.2, были получены с осциллограмм (рис. 4.2 - 4.4) как обратные периоду колебаний.



Рис. 4.2. Осциллограмма сигнала АЭ (z=6, n=65 мин-1)

Таблица 4.2 - Матрица планирования эксперимента

№	х0	х1	х2	х1х2	n	z	y1	y2	y3	y4
1	+1	+1	+1	+1	80	8	10,81	10,26	10,96	10,81	10,71
2	+1	-1	+1	-1	65	8	9,09	8,33	8,24	8,89	8,64
3	+1	+1	-1	-1	80	6	8,16	7,84	7,69	8,33	8,01
4	+1	-1	-1	+1	65	6	6,67	6,45	6,89	6,35	6,49

Рис. 4.3. Осциллограмма сигнала АЭ (z=8, n=65 мин-1)

Рис. 4.4. Осциллограмма сигнала АЭ (z=8, n=80 мин-1)

Воспроизводимость эксперимента определяется по критерию Кохрена.

Значение критерия Кохрена G=0,422.

Табличное значение критерия Кохрена .

Так как выполняется условие , то опыт воспроизводим.

Коэффициенты регрессии линейной модели:

b0=8,458; b1=0,875; b2=1,208; b12=0,125.

Соответственно, линейная модель выглядит следующим образом (4.1):

(4.1)

Адекватность разработанной линейной модели определяется с помощью критерия Фишера.

Значение критерия Фишера F=0,035

Табличное значение критерия Фишера .

Так как выполняется условие , то разработанная линейная модель является адекватной.

Все полученные коэффициенты регрессии являются значимыми.

Линейную модель необходимо перевести в натуральный вид (т.е. определить зависимость критерия оптимизации - частоты выхода зубьев из заготовки - от факторов - частоты вращения n числа зубьев z) по зависимостям (4.2).

; (4.2)

Подставив значения x1 и x 2 в линейную модель (4.1), получим:

Проведя ряд алгебраических преобразований, получим:

Учитывая физический смысл искомой зависимости коэффициенты 0,00002 и 0,000003 можно отбросить. Таким образом, окончательная зависимость частоты выхода зубьев фрезы из заготовки от частоты вращения инструмента и чисел зубьев на фрезе выражается формулой (4.3)

(4.3)

Сравнивая полученную формулу (4.3) с теоретически выведенной зависимостью (2.52), получим:

Расхождения между теоретически рассчитанной зависимостью (2.55) и экспериментально полученной линейной модели составляют 0,002%, что подтверждает правильность формулы (2.55).

4.3 Подтверждение адекватности разработанной модели по силе резания

Использование двух экспериментальных методов обусловлено наличием в них погрешностей. Для того чтобы быть уверенным в том, что математическая модель адекватно описывает изменение силы резания при фрезеровании, был проведен ряд экспериментов, целью которых являлось получение экспериментального значения силы резания

4.3.1 Подтверждение адекватности по методу Кудинова

Как уже отмечалось в главе 3, расчет силы резания по методу Кудинова позволяет оценить среднее значение силы резания по среднему значению коэффициента продольной усадки (укорочения) стружки. По этому методу был проведен ряд экспериментов, обработка результатов которых позволила найти среднее значение силы резания при различных подачах на зуб.

Результаты эксперимента приведены в таблицах 4.3, 4.4, а сравнительные графики - на рисунках 4.5, 4.6

Таблица 4.3 Результаты эксперимента по методу Кудинова по стали 45

Подача на зуб Sz, мм/зуб	Среднее расчетное значение силы резания Pzрас,Н	Среднее экспериментальное значение силы резания Pzэкс, Н	Относительная разница, %
0,027	146,122	141,988	2,87
0,031	160,651	164,833	2,57
0,038	188,226	195,368	3,724
0,05	226,76	239,508	5,468
0,065	274,329	261,541	4,773
0,081	318,727	309,196	3,036
0,096	360,721	373,182	3,396
0,127	439,304	452,956	3,06

Таблица 4.4 Результаты эксперимента по методу Кудинова по стали У8

Подача на зуб Sz, мм/зуб	Среднее расчетное значение силы резания Pzрас,Н	Среднее экспериментальное значение силы резания Pzэкс, Н	Относительная разница, %
0,027	141,465	141,741	0,195
0,031	155,03	150,209	3,159
0,038	180,663	169,767	7,204
0,05	216,274	217,874	0,737
0,065	259,953	242,281	7,037
0,081	300,486	316,828	5,294
0,096	338,647	316,387	6,797
0,127	409,664	417,979	2,009

Так как относительная разница между экспериментальным и теоретическим средними значениями силы резания не превышает 7-ми % то можно сказать, что разработанная математическая модель адекватно описывает среднее значение силы резания при фрезеровании.



Рисунок 4.5 - График зависимости среднего значения силы резания (расчетного и экспериментального) от подачи на зуб для стали 45

Рисунок 4.6 - График зависимости среднего значения силы резания (расчетного и экспериментального) от подачи на зуб для стали У8

4.3.2 Подтверждение адекватности с использованием динамометра

В главе 3 были описаны стенд и методика проведения экспериментов. Использование стенда позволило получить не среднее значение силы резания, как при использовании метода Кудинова, а ее изменение во времени.

Ниже (рис. 4.7 - 4.9) приведены расчетный и экспериментальный графики, показывающие изменение силы резания при различных режимах резания.

Рисунок 4.7 - Графики экспериментального (1) и теоретического (2) значений силы резания: материал заготовки - У8, материал режущей части Р6М5; Sz=0,428 мм/зуб, t=2,45 мм

Рисунок 4.8 - Графики экспериментального (1) и теоретического (2) значений силы резания: материал заготовки - У8, материал режущей части Р6М5; Sz=0,214 мм/зуб, t=2,45 мм

Рисунок 4.9 - Графики экспериментального (1) и теоретического (2) значений силы резания: материал заготовки - У8, материал режущей части Р6М5; Sz=0,107 мм/зуб, t=2,45 мм

Из рисунков 4.7 - 4.9 видно, что расчетный и экспериментальный графики схожи: в обоих графиках отмечается сначала рост, затем резкое падение, при чем значения амплитуд обоих графиков имеет расхождение, не превышающее 8 %.

Несмотря на совпадение частотных параметров расчетных и экспериментальных значений (период колебаний расчетной и экспериментальной кривых различается на 3%), они визуально не схожи: экспериментальные кривые имеют горизонтальные участки, которые отсутствуют в расчетной кривой. Это объясняется погрешностью динамометра, связанной с его инерционностью и подвижностью люльки с закрепленной в ней заготовкой.

Однако визуальная схожесть (либо несхожесть) полученных графиков не может являться объективным показателем. В теории цифровой обработки сигналов для оценки схожести двух числовых рядов (сигналов) применяется понятие корреляции - степени сходства различных сигналов /49/. При этом считается, что значение корреляции двух сигналов в пределах от 0,7 до 1 говорит о сильной степени их сходства.

Таким образом, если корреляция теоретического и экспериментального значений силы резания находится в указанных пределах, то можно говорить что математическая модель адекватно описывает изменение силы резания при фрезеровании.

Для расчета корреляции была использована программа Statistica 6.0, позволяющая произвести вычисление в автоматическом режиме. Проведенные расчеты показали, что корреляция между теоретическим и экспериментальным значениями силы резания находится в пределах [0,79; 0,93], что говорит о высокой степени коррелированности зависимостей, и, соответственно, о том, что математическая модель адекватно описывает изменение силы резания.

4.4 Анализ разработанной математической модели

Анализ модели осуществляется по графикам, полученным с помощью теоретических экспериментов, проведенных по разработанной математической модели.

На рисунке 4.10. приведен график зависимости толщины среза (1, в масштабе) и силы резания (2) от времени при обработке стали 45. Режим резания подобран таким образом, что бы в работе постоянно находился один зуб.

Рисунок 4.10 - Зависимость толщины срезаемого слоя (1) и тангенциальной составляющей силы резания (2) от времени

D=80 мм; z=14; t=3,96 мм; Sz=0,3 мм/зуб; n=100 мин-1

Из графика видно, что сила резания изменяется "согласованно" с изменением толщины срезаемого слоя, что подтверждается теоретическим анализом процесса фрезерования, приведенным в /2, 46, 53, 54, 56/. При увеличении подачи на зуб растет максимальное значение толщины срезаемого слоя, "доля" ниспадающей кривой, и максимальное значение силы резания (рис 4.11), что так же находит подтверждение в теоретическом описании процесса, представленным работами /2, 3, 65, 66/.

При увеличении глубины резания таким образом, что в работе могут находиться несколько зубьев одновременно /60/, растет постоянная составляющая силы резания и уменьшается переменная. Наглядно это иллюстрируют рисунки 4.11 - 4.13.

Рисунок 4.11 - Зависимость толщины срезаемого слоя (1) и тангенциальной составляющей силы резания (2) от времени: D=80 мм; z=14;

t=3,96 мм; Sz=1 мм/зуб; n=100 мин-1

Рисунок 4.12 - Зависимость толщины срезаемого слоя (1) и тангенциальной составляющей силы резания (2) от времени: D=80 мм; z=14; t=15,06 мм (2 зуба в работе); Sz=0,3 мм/зуб; n=100 мин-1

"Пилообразный характер" полученных кривых отмечается в работе, что так же подтверждает правильность разработанной модели.

Наиболее неустойчивым процесс будет тогда, когда в работе одновременно находится разное число зубьев, т.е. когда число Q - нецелое.

В этом случае нет четко устоявшихся колебаний, что дополнительно "раскачивает" динамическую систему станка и может вызвать неустойчивость процесса резания. Это согласуется с результатами теоретических исследований приведенных в /67/. Пример такого развития процесса приведен на рисунке 4.14.

Рисунок 4.13 - Зависимость толщины срезаемого слоя (1) и тангенциальной составляющей силы резания (2) от времени:D=80 мм; z=14; t=31,1 мм (3 зуба в работе); Sz=0,3 мм/зуб; n=100 мин-1

Рисунок 4.14 - Зависимость толщины срезаемого слоя (1) и тангенциальной составляющей силы резания (2) от времени: D=80 мм; z=14; t=22,64 мм (2,5 зуба в работе); Sz=0,3 мм/зуб; n=100 мин-1

Из рисунка 4.14. видно, что толщина срезаемого слоя и соответствующая ей сила резания не имеют четко устоявшегося периода колебаний, и подчиняются то одной (3 зуба в работе), то другой (2 зуба в работе) зависимости.

Частота вращения инструмента оказывает влияние только на частоту процесса. Это так же отмечают авторы работ /53, 56/, и следует из теоретических моделей, приведенных в /4/. Например, при увеличении частоты вращения в два раза вдвое короче становится период колебаний ?m (рис. 4.15).

Рисунок 4.15 - Зависимость толщины срезаемого слоя (1) и тангенциальной составляющей силы резания (2) от времени:D=80 мм; z=14; t=15,06 мм (2 зуба в работе); Sz=0,3 мм/зуб; n=200 мин-1

Сопоставление графиков на рисунках 4.12 и 4.15. четко демонстрирует влияние частоты вращения фрезы на период изменения силы резания.

Число зубьев фрезы так же влияет на период изменения силы резания, как и частота вращения, а именно: при увеличении числа зубьев сокращается период устоявшихся колебаний силы резания (рис. 4.16). Так же число зубьев определяет осевой шаг фрезы, а, следовательно, и число одновременно работающих зубьев (при неизменной глубине резания), и, следовательно, вызывает увеличение силы резания. Этот факт находит подтверждение в работах /2, 3, 54, 65/.

Рисунок 4.16 - Зависимость толщины срезаемого слоя (1) и тангенциальной составляющей силы резания (2) от времени:D=80 мм; z=28; t=15,06 мм (4 зуба в работе); Sz=0,3 мм/зуб; n=100 мин-1

Диаметр фрезы D влияет косвенно на толщину срезаемого слоя. Этот параметр определяет максимальный угол контакта, а, значит, влияет на число одновременно работающих зубьев, а так же имеет непосредственное прямо пропорциональное влияние на силу резания. Этот факт согласуется с работами /2, 28, 53/.

На рисунке 4.17 приведен график изменения толщины срезаемого слоя и силы резания при попутном фрезеровании /62/.

Рисунок 4.17 - Зависимость толщины срезаемого слоя (1) и тангенциальной составляющей силы резания (2) от времени при попутном фрезеровании:D=80 мм; z=14; t=15,06 мм (2 зуба в работе); Sz=0,3 мм/зуб; n=100 мин-1

Зависимости ведут себя иначе, чем при встречном фрезеровании: сначала относительно короткая восходящая ветвь, а затем плавное снижение. Однако, максимальные и минимальные значения, а так же частота выхода зубьев фрезы из заготовки остаются такими же (при одинаковых параметрах) как и при встречном фрезеровании, поэтому все вышеприведенные заключения о влиянии различных параметров на толщину срезаемого слоя и силу резания остаются справедливыми и для попутного фрезерования.

При обработке заготовок набором фрез инструменты обычно выбирают разного диаметра, ширины и с разным количеством зубьев. Таким образом, каждая отдельная фреза в наборе находится в уникальных условиях, так как разность в диаметрах влечет за собой разность в глубинах резания, количестве одновременно работающих зубьев и скорости резания. Различное количество зубьев у фрез приводит к различным подачам на зуб, а различие в ширине фрез ведет к различиям в силе резания.

Иначе говоря, все три параметра окончательно определяют силу резания. Приведенный ниже график (рис.4.18), показывает зависимость суммарной силы резания при обработке заготовки набором из двух фрез /62/:

Рисунок 4.18. Зависимость толщины срезаемого слоя (1) и тангенциальной составляющей силы резания (2) от времени при обработке набором фрез

Очевидно, что динамика при такой обработке будет достаточно сложной: количество доминирующих частот будет равно количеству различных фрез в наборе, глубина фрезерования при этом никогда не будет обеспечивать целое количество одновременно работающих зубьев более чем у одной фрезы, а различные подачи на зуб на каждой фрезе будут определять как различие в толщине срезаемого слоя, так и в силе резания.

Выводы по главе 4

1. Анализ полученных экспериментальных данных показал, что разница между аналитически рассчитанным и экспериментально полученным контурами срезаемого слоя не превышает 3%, что говорит об адекватности разработанной математической модели, описывающей изменение толщины срезаемого слоя.

2. Анализ результатов экспериментальных данных с помощью метода полного факторного эксперимента позволил вывести зависимость частоты выхода зубьев фрезы из заготовки от частоты вращения шпинделя и числа зубьев фрезы. Расхождение результатов по полученной формуле и выведенной ранее зависимостью составляет 0,002%, что говорит об адекватности математического описания частоты выхода зубьев фрезы из заготовки.

3. Анализ полученных данных средних значений силы резания по методу Кудинова показал, что их расхождение с рассчитанными по математической модели значениями не превышает 7,5%. Это говорит о том, что разработанная математическая модель позволяет получать адекватные средние значения силы резания

4. Анализ результатов экспериментальных данных, полученных с помощью динамометра, позволил установить, что разработанная математическая модель адекватно описывает изменение силы резания при дисковом и цилиндрическом фрезеровании.

5. Анализ данных проведенных теоретических экспериментов позволяет говорить о том, что разработанная математическая модель корректно описывает изменение толщины срезаемого слоя и силы резания, так как результаты проведенных исследований согласуются с описанием физических процессов при фрезеровании, приведенных в различных работах.

6. Анализ математической модели позволил выявить наиболее значимые для устойчивости процесса резания параметры.

5. Исследование динамической характеристики фрезерования

Вопрос об априорном определении устойчивости процесса фрезерования является актуальным и важным с практической точки зрения. Ответить на этот вопрос можно, исследуя динамическую характеристику фрезерования.

5.1 Выбор метода исследования динамической характеристики

В главе 2 были разработаны три метода перевода функций толщины среза и силы резания в операторную форму: непосредственное преобразование Лапласа, разложение функций в ряды Фурье и их дальнейшее преобразование Лапласа классическим методом и приближенное преобразование Лапласа.

Каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки. Так как используемые методы не являются строго математическими, то дают приближенный результат. Поэтому для оценки достоверности полученных результатов необходимо использовать критерий оценки.

Известно /7/, что АЧХ представляет собой отношения амплитуды колебаний выходного сигнала к входному (5.1):

(5.1)

Как уже отмечалось выше, "входным сигналом" является толщина среза, а "выходным" - сила резания. Приведенная во второй главе математическая модель позволяет говорить о том, что амплитуда колебаний толщины среза и силы резания не зависит от частоты процесса и не меняется с течением времени, следовательно

 (5.2)

АЧХ процесса, вычисленная непосредственно, может быть использована для оценки достоверности полученных результатов по ФЧХ и позволяет определить область частот, в которой данный метод позволяет получать достоверные результаты.

Для того, чтобы подтвердить правильность полученных результатов сначала необходимо построить АЧХ передаточной функции W1() и сравнить ее со значением, полученным из выражения (5.2).

Метод непосредственного преобразования Лапласа наиболее близок к классическому, однако отличается от него пределами интегрирования.

В классическом методе они представляют собой всю положительную полуось , а в нашем методе - время контакта одного зуба фрезы с заготовкой . Это является достоинством метода, так как позволяет при исследовании ограничится "резом" одного зуба. Так же к достоинствам этого метода следует отнести наименьшее время, затрачиваемое ЭВМ для расчета (по сравнению с другими методами).

С другой стороны, этот метод в силу ограниченности пределов интегрирования, не может быть использован при анализе случая обработки несколькими зубьями одновременно и в случае обработки набором фрез. Следует так же отметить, что этот метод наиболее удобен при исследовании случаев обработки с невысокими частотами вращения (диапазон частот ограничен 2000 с-1).

На рисунке 5.1 приведены АЧХ встречного фрезерования без учета упругой деформации инструмента и оправки, вычисленные непосредственно (1) и по передаточной функции W1(?) (2).

График четко показывает диапазон частот (0; 2000), в котором применяемый метод вносит незначительную погрешность, то есть диапазон, в котором полученные данные корректно описывают происходящий процесс.

Рисунок 5.1 - АЧХ процесса фрезерования без учета упругого отжатия инструмента:1 - непосредственно; 2 - по передаточной функции

Таким образом, можно утверждать, что метод непосредственного преобразования Лапласа удобен, требует наименьших затрат времени и позволяет исследовать высокоскоростной режим обработки, но неприменим при обработке несколькими зубьями одновременно и при обработке набором фрез.

Метод разложения в ряды Фурье позволяет исследовать функции классическим методом. Однако, этот метод имеет погрешность, связанную с тем фактом, что исследуются не сами функции толщины среза и силы резания, а ряды Фурье, приближенно их описывающие.

Этот метод позволяет описать практически любой случай обработки, но имеет ряд недостатков: вопрос о количестве членов в рядах Фурье не имеет четкого ответа, погрешность появляется значительно раньше (по сравнению с методом непосредственного преобразования Лапласа), корректное описание случая обработки набором фрез этим методом невозможно.

Наиболее важным является вопрос о количестве членов в ряду Фурье. Теоретически этот ряд продолжается до бесконечности, однако, в практике ряд необходимо ограничивать конкретным числом слагаемых. "Снизу", количество членов в ряду ограничивается степенью соответствия исходной и разложенной функций. "Сверху" число членов в ряду ограничивается двумя фактами: усложнение передаточной функции с ростом числа членов и искажение функции изменения толщины срезаемого слоя из-за наличия высокочастотных составляющих. Это связано с малостью значений этой функции. Поэтому рекомендуется выбирать число членов ряда от 20 до 50.

...