Розрахунки бруса при складних видах деформування та статичної невизначуваності

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Національний технічний університет

«Харківський політехнічний інститут»

Навчально-методичний посібник

з курсу „Опір матеріалів”

Розрахунки бруса при складних видах деформування та статичної невизначуваності

Киркач Б.М.

Конкін В.М.

Конохов В.І.

Шергін С.Ю.

Кравцова Н.В.

Харків НТУ «ХПІ»

2012

УДК 620.17

ББК 30.121

Р64

Рецензенти: В.Г. Сукіасов, канд-т техн. наук, доц., Національний технічний університет „Харківський політехнічний інститут”; О.О. Чупринін, канд-т техн. наук, доц., Харківська державна академія міського господарства

Авторський колектив: Киркач Б.М., Конкін В.М., Конохов В.І., Шергін С.Ю., Кравцова Н.В.

Р64 Розрахунки бруса при складних видах деформування та статичної невизначуваності: навч.-метод. посіб. з курсу „Опір матеріалів” для студентів машинобудівних спеціальностей заочної форми навчання/ Киркач Б.М., Конкін В.М., Конохов В.І., Шергін С.Ю., Кравцова Н.В. - Харків: НТУ „ХПІ”, 2012 - 150 с.

ISBN

Посібник містить розрахунки прямолінійних стержнів на згин з крученням, косе згинання, позацентрове розтягання ? стискання та у загальному випадку дії сил на брус круглого або прямокутного перерізу. Розглянуто методи розрахунків статично невизначуваних плоских рам та багатоопорних балок.

Призначено для студентів машинобудівних спеціальностей заочної форми навчання. Може бути корисним для викладачів, а також для аспірантів та наукових працівників.

Іл. 43. Табл. 7. Бібліогр.: 3 назв.

УДК 620.17

ББК 30.121

© Б.М. Киркач, В.М. Конкін, В.І. Конохов, С.Ю. Шергін, ISBN

Н.В. Кравцова, 2012

• Зміст
• стержень деформування брус
• Вступ
• 1. Розрахунки на міцність стержнів при складному деформуванні
• 1.1 Елементи теорії напруженого стану та гіпотези міцності
• 1.2 Складне деформування стержнів
• 1.2.1 Загальні положення
• 1.2.2 Методика розрахунків на міцність
• 1.2.3 Просторове та косе згинання
• 1.2.4 Сумісна дія просторового згинання з розтяганням (стисканням)
• 1.2.5 Позацентрове розтягання - стискання бруса
• 1.2.6 Сумісна дія згинання та кручення для стержнів круглого або кільцевого перерізу
• 1.2.7 Загальний випадок дії сил на стержень круглого або кільцевого перерізу
• 1.2.8 Загальний випадок дії сил на брус прямокутного перерізу
• 1.3 Розрахунково-проектувальне завдання
• 1.3.1 Склад розрахунково-проектувального завдання
• 1.3.2 Порядок виконання завдання
• 1.3.3 Приклади розв'язання задач
• 1.3.4 Розрахункові схеми та чисельні дані
• 2. Розрахунки статично невизначуваних стержньових систем
• 2.1 Визначення переміщень в стержньових системах
• 2.1.1 Інтеграл Максвелла - Мора
• 2.1.2 Обчислення інтеграла Мора способом перемноження епюр
• 2.1.3 Приклади визначення переміщень
• 2.2 Статично невизначувані системи
• 2.2.1 Основні поняття та визначення
• 2.2.2 Метод сил
• 2.2.3 Канонічні рівняння методу сил
• 2.2.4 Перевірка правильності розрахунків
• 2.2.5 Приклади розкриття статичної невизначуваності
• 2.3 Розрахунково-проектувальне завдання
• 2.3.1 Склад та порядок виконання завдання
• 2.3.2 Зразок виконання задачі 1
• 2.3.3 Зразок виконання задачі 2
• 2.3.4 Розрахункові схеми та чисельні дані
• Список літератури

• Вступ
• Сучасний етап науково-технічного розвитку потребує удосконалення методів розрахунку на міцність і жорсткість машинобудівних конструкцій з метою впровадження нових технологій, підвищення якості, надійності та довговічності машин, їх конкурентоспроможності на світовому ринку.
• Навчально-методичний посібник є складовою серії навчально-методичної літератури, підготовленої кафедрою опору матеріалів НТУ «ХПІ» для виконання індивідуальних розрахунково-проектувальних завдань та модульного контролю засвоєного матеріалу студентами машинобудівних спеціальностей.
• Посібник охоплює деякі важливі розділи загального курсу опору матеріалів, а саме розрахунки стержньових конструкцій в умовах їх складного деформування та при наявності статичної невизначуваності. Посібник призначений для засвоєння студентами загальних положень теорії та методики проведення розрахунків стержнів з урахуванням складного напруженого стану.
• У першому розділі посібника розглянуті деякі види складного деформування стержнів, а саме: косе та просторове згинання, сумісна дія згинання та розтягання (стискання), загальні випадки дії сил на бруси круглого та прямокутного перерізу. Для кожного виду складного деформування надані приклади розв'язання задач, аналізу напруженого стану у точках небезпечного перерізу. Надаються розрахункові схеми та необхідні дані для виконання індивідуальних завдань розрахунків стержнів круглого перерізу при згинанні з крученням та стержньової просторової системи прямокутного перерізу при загальному випадку дії системи сил. Наведені приклади їх розв'язання та оформлення.
• У другому розділі посібника розглядаються методи визначення переміщень в пружних стержньових системах, наводяться приклади визначення переміщень для деяких простих розрахункових схем. Наведена методика розкриття статичної невизначуваності стержньових систем методом сил та приклади розв'язання статично невизначуваних задач. Надаються розрахункові схеми і чисельні дані, а також приклади виконання індивідуальних розрахунково-проектувальних завдань.
• Для перевірки набутих теоретичних знань студентів з кожної теми пропонуються контрольні запитання.

• 1. Розрахунки на міцність стержнів при складному деформуванні
• У практиці реальних розрахунків на міцність та жорсткість елементів машинобудівних конструкцій дуже рідко можна зустріти випадки простих видів деформування. Більш поширені випадки сумісної дії крутних та згинальних моментів, наприклад, у валах редукторів. При наявності косозубих коліс додатково діють поздовжні сили. У перерізах просторових рам діє більшість з можливих внутрішніх силових факторів, а у точках перерізів ? складний напружений стан. Тому вкрай необхідно розглянути особливості розрахунків напружено-деформованого стану стержньових елементів при довільному навантаженні та надати рекомендації при рішенні задач міцності та жорсткості для деяких характерних випадків складного навантаження.
• 1.1 Елементи теорії напруженого стану та гіпотези міцності
• Як відомо, мірою інтенсивності внутрішніх зусиль, що діють у довільному перерізі стержня, є так звані напруження.
• Отже, напруженням називається внутрішня сила, віднесена до одиниці площі в даній точці перерізу.
• В залежності від розташування напруження відносно площини відокремлюють нормальні ? у та дотичні ? ф напруження. Їх вимірюють у паскалях (Па), або кратних йому одиницях (МПа).
• При дослідженні напруженого стану тіла в окремій точці В (рис. 1 а) поблизу неї завдяки гіпотезі про суцільність матеріалу можливо виділити нескінченно малий об'єм у вигляді паралелепіпеда, грані якого паралельні координатним площинам декартової системи координат. На цих гранях діють внутрішні зусилля, які замінюють дію відкинутої частини тіла.
• Отже, можна вважати, що на гранях цього паралелепіпеда діють нормальні і дотичні напруження (рис. 1 б), що внаслідок його малості рівномірно розподілені по площинам.
• а б
• Рисунок 1
• На рис. 1. б зображені додатні значення нормальних і дотичних напружень з урахуванням правила індексів: нормальні напруження позначають літерою у з індексом, що відповідає осі системи координат, що є перпендикулярною до відповідної грані паралелепіпеда; дотичне напруження позначається літерою ф з двома індексами ? перший відповідає напряму осі, що є перпендикулярною до відповідної площини, а другий ? напряму осі, паралельно якої розташований вектор дотичного напруження. Вибір орієнтації декартових осей є довільним. Таким чином, на шести гранях нескінченно малого паралелепіпеда діють дев'ять компонент напружень. Але не всі вони є незалежними. Враховуючи закон парності дотичних напружень () [1], кількість незалежних компонент напружень у кожній точці тіла зменшуємо до шести: трьох нормальних та трьох дотичних ().
• Шість компонент напружень повністю визначають напружений стан у довільній точці тіла. При іншому виборі системи координат змінюється розташування граней паралелепіпеда, тому зміняться і значення координатних напружень у точці, але напружений стан залишиться тим самим. При цьому, через точку завжди можна провести такі площадки, на яких дотичні напруження дорівнюватимуть нулю [2]. Площадки, на яких дотичних напружень немає, називають головними площадками, а нормальні напруження, що діють на цих площадках, ? головними напруженнями. Зауважимо, що деякі значення цих головних напружень у точці можуть дорівнювати нулю. Напрями, що паралельні головним напруженням, називають головними осями в даній точці. Можна показати [2], що у кожній точці завжди є три взаємно перпендикулярні головні площадки і головні осі.
• Головні напруження позначаються у порядку зменшення значень з урахуванням знака напруження (). Отже, напружений стан у точці можна зобразити у вигляді елементарних паралелепіпедів, на гранях яких діють тільки нормальні (головні) напруження (рис. 2).
• Рисунок 2
• По вигляду напруженого стану у головних напруженнях можна класифікувати види напруженого стану у точці:
• ? якщо тільки одне головне напруження не є нульовим (рис. 2 а), напружений стан називається одновісним або лінійним;
• ? якщо два головних напруження не є нульовими, то такий напружений стан називається двовісним або плоским (рис. 2 б, );
• ? напружений стан, у якому всі три головні напруження не дорівнюють нулю, називається тривісним або об'ємним (рис. 2 в).
• Зауважимо, що в задачах опору матеріалів зустрічаються види напружених станів тільки першого та другого типів. Так, при розтяганні стержнів та при чистому згині балок маємо одновісний напружений стан, а у задачах згинання з крученням, та при дії довільної системи сил на брус, що розглядаються у цьому посібнику, у деяких точках має місце плоский напружений стан.
• На рис. 3 зображено плоский напружений стан у довільній точці В, як у головних площадках (а), так і в системі координат, що зв'язана з осями стержня (б).
• Найбільш важливим завданням інженерних розрахунків після визначення напруженого стану в найнебезпечних точках конструкції є оцінка її міцності. При простих видах деформування та при одновісних напружених станах ця задача розв'язується при використанні умов міцності, в які входять експериментально визначені граничні напруження, що відповідають простим видам деформування, що розглядаються (розтягання, кручення).
• Рисунок 3
• Небезпечним вважають відповідне напруження, при якому в залежності від стану матеріалу (крихкий чи пластичний) починається руйнування або виникають залишкові деформації. Щоб унеможливити виникнення небезпечного стану визначаються допустимі напруження, що є меншими ніж небезпечні, тим самим забезпечуючи міцність конструкції з деяким коефіцієнтом запасу. Так, випробування зразків пластичного матеріалу на одновісне розтягання, дає можливість визначити границю текучості та допустиме напруження . А умова міцності для одновісного напруженого стану набуває вигляду:
• При двовісних, чи тривісних напружених станах, як показують експериментальні дослідження, небезпечний стан може наступити при різних співвідношеннях головних напружень і різному їх граничному значенні. А оскільки провести експериментальні дослідження по виявленню небезпечного напруженого стану для всіх матеріалів при різних можливих співвідношеннях головних напружень практично неможливо, то цю проблему розв'язують за допомогою різних теорій міцності, що мають в основі гіпотези про переважний вплив на міцність матеріалу деякого фактора, наприклад, найбільшого дотичного напруження, чи питомої потенційної енергії формозміни. Ці фактори при небезпечному напруженому стані набувають критичних значень, що можуть бути визначеними з простих випробувань.
• Теорії міцності дають можливість замість реального складного напруженого стану розглядати рівнонебезпечний одновісний напружений стан. Це досягається введенням поняття еквівалентного напруження одновісного розтягання та коефіцієнту запасу n , під яким розуміють число, що показує, в скільки разів потрібно одночасно збільшити всі компоненти даного складного напруженого стану, щоб він став граничним. Це означає, що у стільки же разів треба збільшити і еквівалентне напруження одновісного розтягання для досягнення небезпечного стану. Тоді

• Нараду з багатьма сучасними, дослідники нараховують п'ять класичних теорій міцності, що пронумеровані у хронологічному порядку. Але для розрахунків на міцність у машинобудуванні найбільш поширені дві з них: III (третя) та IV (четверта), які застосовуються для пластичних матеріалів.
• Третя теорія міцності, чи критерій найбільшого дотичного напруження, полягає у припущенні, що небезпечний напружений стан виникає тоді, коли найбільше дотичне напруження досягає небезпечного значення. А оскільки для даного складного напруженого стану і для рівнонебезпечного одновісного еквівалентного напруженого стану [2], то умова міцності набуває вигляд
• ,
• де «ІІІ» означає «третя теорія міцності».
• Для застосування у практичних розрахунках на міцність стержнів при згині з крученням, де здебільшого має місце плоский напружений стан, більш прийнятна інша форма математичного запису цієї теорії через напруження у поперечному перерізі стержня:
• . (1.1.1)
• Четверта теорія міцності, або критерій питомої потенційної енергії деформації формозміни, приймає як критичний параметр вказану питому енергію, яка може бути підрахована через компоненти даного складного напруженого стану [2]. Наведемо умову міцності за цією теорією для плоского напруженого стану в точці для стержнів:
• . (1.1.2)
• 1.2 Складне деформування стержнів
• 1.2.1 Загальні положення
• Центральне розтягання - стискання (), кручення (), зсув ( або ), плоске поперечне згинання (; або ; ) є так званими простими видами деформування стержнів. Характерною рисою простого деформування є наявність одного або двох внутрішніх силових факторів у довільному перерізі стержня ( балки, бруса).
• Зустрічаються і більш складні випадки завантаження, коли у різних перерізах стержня одночасно діють різні комбінації компонент внутрішніх зусиль, складені з відомих видів простого деформування. Такий вид деформування стержня, або його опір називають складним. У загальному випадку навантаження в поперечному перерізі бруса виникають усі шість внутрішніх зусиль . На практиці одночасна дія всіх силових факторів спостерігається не часто. Найбільш поширеними видами складного деформування є наступні:
• - просторове (складне) згинання, або його окремий випадок - косе згинання, які мають місце при наявності згинальних моментів ;
• - згинання з розтяганням (стиканням) , якщо у поперечних перерізах діють одночасно ;
• - сумісне згинання та кручення, обумовлене дією відповідних моментів .
• У всіх зазначених видах складного деформування в перерізах бруса з'являються також і поперечні зусилля .
• Якщо припустити, що деформації достатньо жорсткого стержня (бруса) малі й відповідають закону Гука, то до задач складного деформування можна застосувати принцип суперпозиції або принцип сумування дії сил. Згідно з цим принципом, результат від дії системи зусиль, що приводить загалом до складного деформування стержня, дорівнює сумі результатів, одержаних від кожної сили окремо, яка сама по собі утворює просту деформацію. Таким чином, напружений стан, що з'являється у стержні при складному навантаженні, можна здобути сумуванням напружених станів, що спричинені окремими простими навантаженнями.
• Кожне з шістьох внутрішніх зусиль пов'язано з виникненням відповідних напружень. Поздовжня сила і згинальні моменти приводять до появи нормальних напружень , крутний момент та поперечні сили дають дотичні напруження .
• Тому напружений стан в окремій точці перерізу бруса при складному деформуванні може бути
• - простим, якщо діють лише нормальні або дотичні напруження ;
• - складним, коли спостерігається одночасна дія обох типів напружень.
• В обох випадках у довільній точці поперечного перерізу стержня сумарні нормальні та дотичні напруження визначаються як векторні суми компонент у відповідних напрямках:

• Принцип суперпозиції може бути застосований також і для визначення деформованого стану стержня в умовах складного навантаження. Наприклад, при просторовому згинанні прогини перерізів стержня підраховуються у різних координатних площинах при простих навантаженнях, а їх результат поєднується у геометричну суму:
• .
• 1.2.2 Методика розрахунків на міцність
• У випадку складного деформування стержня, як і у разі простого деформування, стратегічними питаннями є:
• - визначення небезпечного перерізу;
• - виявлення в межах цього перерізу небезпечної точки;
• - формування умов міцності для цієї точки.
• Для визначення небезпечного перерізу за допомогою методу перерізів виявляють розподіл внутрішніх силових факторів вздовж осі стержня. Оскільки напруження (а в окремих випадках і ), як правило малі, то для виявлення небезпечного перерізу у першу чергу використовують епюри згинальних та крутних моментів у співставленні з розташуванням перерізу стержня. Те ж свідчать і енергетичні методи опору матеріалів , бо у разі дії згинальних та (або) крутних моментів понад 98 % енергії поглинають саме ці деформації.
• У разі, якщо переріз має форму кола або кільця, небезпечний переріз визначається однозначно за допомогою еквівалентного моменту за будь-якою теорією міцності. Якщо переріз стержня має іншу форму, то може виникнути потреба дослідити декілька потенційно небезпечних перерізів з максимальними комбінаціями внутрішніх силових факторів в різних головних площинах.
• Визначення небезпечної точки базується, в першу чергу, на інформації про внутрішні зусилля у перерізі, яку надають епюри . Спираючись на закони розподілу напружень від кожного силового фактору і використовуючи формули підрахунку сумарних (простий напружений стан) або еквівалентних напружень (у разі складного напруженого стану) визначають найбільш небезпечну точку перерізу.
• Найбільш напружена точка відзначається максимальними значеннями сумарних чи еквівалентних напружень.
• Формування умов міцності для найбільш напруженої точки залежить від типу її напруженого стану. Якщо в точці мають місце лише нормальні напруження , які підсумовуються алгебраїчно, то умови міцності набувають вигляду:
• ;
• аналогічно щодо дотичних напружень:
• .
• Коли у точці перерізу діють сумісно і нормальні, і дотичні напруження (складний напружений стан), то для запису умови міцності використовується певна гіпотеза міцності . У цьому випадку в точці спочатку треба визначити сумарні компоненти , які й використовуються в умові міцності, що сформульована на базі відповідної гіпотези (1.1.1), ( 1.1.2).

• 1.2.3 Просторове та косе згинання
• Згинання називають просторовим, якщо усі навантаження діють у декількох площинах, які перетинаються на поздовжній осі балки (рис. 4 а).
• Згинання називають косим, якщо усі навантаження діють у одній (силовій) площині, яка перетинає вісь балки , але не включає жодної з головних центральних осей інерції перерізу.
• Рисунок 4
• Розрахунки балок, які знаходяться в умовах косого або складного згинання, можна звести до сумісної дії двох плоских згинань у головних площинах. Для цього навантаження, що діють у довільних силових площинах треба проецирувати до головних площин , (рис. 4 б). Таким чином, у будь-якому перерізі балки виникають чотири внутрішні силові фактори: .
• Треба зазначити, що в даному методичному посібнику ми свідомо не торкаємося питань згинання тонкостінних відкритих профілів ( з однією віссю симетрії або без неї) , для яких поперечні сили, що проходять крізь центр ваги перерізу, породжують систему неврівноважених дотичних напружень. Останні утворюють крутний момент , що зумовлює вільне або стиснуте кручення.
• У практичних розрахунках на міцність для більшості перерізів малими дотичними напруженнями , як правило нехтують. Таким чином, враховують лише нормальні напруження від дії згинальних моментів .
• Незважаючи на загальні підходи до рішення задач косого і складного згинання, є деякі відмінності у цих випадках складного опору:
• а) при косому згинанні деформована вісь бруса є плоскою кривою, а при складному згинанні - просторовою;
• б) згинальні моменти у випадку косого згинання набувають максимальних значень в одному перерізі, а якщо згинання складне, ? здебільшого в різних.
• Розглянемо жорстко затиснуту консольну балку, навантажену на вільному кінці силою , яка лежить у силовій площині, нахиленій під кутом до головної площини (рис. 5 а).
• Розкладемо зусилля по головних осях перерізу і, таким чином, зведемо задачу косого згинання до комбінації двох плоских згинань у головних площинах та .
• У довільному перерізі згинальні моменти визначаються за співвідношеннями:
• (1.2.1)

• Максимальні значення вони набувають у перерізі , при , який є найбільш небезпечним.
• Обчислимо напруження в точці довільного перерізу, яка знаходиться у першому його квадранті (рис. 5 б) [1]:
• де ? осьові моменти інерції перерізу.
• Рисунок 5

• Оскільки тип напружень від дії згинальних моментів однаковий (рис. 5 б), їх можна алгебраїчно просумувати:
• . (1.2.2)
• Усі складові співвідношень (1.2.2) (згинальні моменти та координати) будемо вважати додатними, а знак приписувати кожному сполучнику окремо, зважаючи на деформації у відповідному квадранті.
• Аналізуючи розподіл нормальних напружень у перерізі (рис. 5 б), робимо висновок, що нульові напруження можуть знаходиться лише у точках другого та четвертого квадрантів.
• Позначимо через (рис. 6) координати точки, яка належить нейтральній лінії (де нормальні напруження дорівнюють нулю), тоді з формули (1.2.2) маємо:
• .
• Це рівняння є рівнянням прямої, що проходить крізь початок координат (центр ваги перерізу). Кутовий коефіцієнт цієї прямої:

• Рисунок 6
• Якщо зважити, що з формул (1.2.1)
• ,
• то остаточно
• .
• Таким чином, нейтральна лінія завжди відхиляється від осі на кут в ту ж сторону, в яку слід силової площини відхиляється від осі на кут (рис. 1.6). Різниця між цими кутами залежить від співвідношення осьових моментів інерції перерізу. Наприклад, якщо прийняти , а співвідношення (що відповідає двотавру), легко підрахувати кут , який коливається між 85ч89 градусами.
• То ж у випадку косого або просторового згинання для перерізів при нейтральна лінія не є ортогональною до сліду площини дії згинального моменту. Ця обставина є характерною рисою косого згинання. І навпаки, якщо головні моменти інерції однакові (), косе згинання унеможливлюється, бо кути і стають рівними, тобто нейтральна лінія стає ортогональною до сліду силової площини, а це є ознакою прямого згинання. Так відбувається у разі, якщо переріз балки є кругом, кільцем, квадратом і т.п.
• Для визначення найбільш небезпечних точок (у розтягнутій та стислій зонах) у випадку довільного перерізу проведемо дві паралельні до нейтральної лінії прямі, які дотичні до контурних точок перерізу. У створі між цими прямими будується епюра сумарних нормальних напружень.
• Точки 1 та 2 є найбільш віддаленими від нейтральної лінії і тому найбільш напруженими (рис. 6). У нашому прикладі в точці 1 діють максимальні розтягуючі, а у точці 2 - стискаючі напруження.
• Таким чином, умови міцності для перерізу мають вигляд:
• (1.2.3)
• де та - допустимі напруження розтягання та стискання відповідно.
• Якщо переріз має дві вісі симетрії та кутові точки контуру, наприклад, прямокутник, то співвідношення (1.2.3) дещо скорочуються:

• (1.2.4)
• В цих виразах
• (1.2.5)
• ? осьові моменти опору, а - координати найбільш віддалених від нейтральної лінії точок.
• У випадку, якщо матеріал стержня має однакову міцність на розтягання і стискання, тобто , то умови (1.2.4) перетворюються:
• (1.2.6)
• Зрозуміло, що найбільші напруження будуть спостерігатись у найбільш небезпечних перерізах, де згинальні моменти набувають своїх максимальних значень.
• Відносно складових напруження у виразах (1.2.4) та (1.2.5) можна зробити наступні спостереження. У перерізах, де , що опиняються в умовах косого або просторового згинання, можна говорити про наявність «сильної» та «слабкої» площин перерізу. Тому дія малого згинального моменту у «слабкому» напрямку може привести до появи більших напружень, ніж при дії значного моменту у «сильній» площині.
• Доречи, якщо переріз балки має виступаючі кути і може бути вписаний в прямокутник, то незалежно від положення нейтральної лінії найбільш віддаленими точками будуть відповідні кутові. У таких випадках, для розрахунків максимальних напружень у перерізі визначення положення нейтральної лінії втрачає сенс.
• Добір перерізів при косому та просторовому згинанні - задача більш складна, ніж при прямому плоскому згинанні. При її розв'язанні треба задатися відношенням моментів опору:
• (1.2.7)
• Тоді, з урахуванням (1.2.7), умова міцності (1.2.4) буде мати вигляд:
• а моменти опору визначаються наступним чином:
• У випадку просторового згинання, якщо згинальні моменти набувають максимальних значень у двох різних перерізах, задача вирішується за допомогою метода спроб з послідуючою перевіркою. Перша спроба виконується у перерізі, де діє максимальний за абсолютною величиною момент. У іншому (другому) перерізі обов'язково виконується перевірка.
• 1.2.4 Сумісна дія просторового згинання з розтяганням (стисканням)
• Для отримання цього виду складного деформування стержня дещо ускладнімо розрахункову схему косого або просторового згинання, додавши до неї осьове навантаження силою (рис. 7).
• Розклавши, як і раніше, зусилля по головних осях X та Y
• ; ,
• у довільному перерізі балки маємо дію двох згинальних моментів , та поздовжньої сили (рис. 1.8 а). Напрямок їх дії показаний на рис. 8 б.
• Малими дотичними напруженнями від дії поперечних зусиль , (як і у випадку косого або просторового згинання) будемо нехтувати. Внутрішні зусилля перерізу (рис. 8 б) приводять до появи нормальних напружень, розподіл яких наведено на рис. 9.
• Рисунок 7

• Рисунок 8
• Рисунок 9
• Таким чином, у довільній точці перерізу маємо простий (лінійний) напружений стан.
• . (1.2.8)
• Як і у рівняннях (1.2.1), знаки приписуємо кожному сполучнику формули (1.2.8) окремо, залежно від деформації відповідного квадранту перерізу.
• Умови міцності для цього виду деформованого стану можна сформулювати наступним чином:
• а) якщо матеріал стержня має різну міцність на розтягання - стискання:

• (1.2.9)
• де - координати найбільш віддалених від нейтральної лінії точок у розтягнутій та стислій зоні відповідно.
• б) у разі однакового опору розтяганню (стисканню), тобто коли
• ; (1.2.10)
• в) для перерізу, що має дві осі симетрії та найбільш віддалені кутові точки
• (1.2.11)
• а у разі, якщо

• (1.2.12)
• д) для перерізу, що має форму кола або кільця, завдяки співвідношенням
• ; ,
• вирази умови міцності набувають вигляду:
• (1.2.13)
• а при
• . (1.2.14)
• При сумісній дії розтягання (стискання) та складного або косого згинання нейтральна лінія є також прямою, але такою, що не перетинає центр ваги перерізу (початок координат) завдяки наявності . Неважко це встановити і математично, якщо вважати координатами точки, яка належить до нейтральної лінії. Тоді з (1.2.8) витікає рівняння цієї прямої:

• . (1.2.15)
• Шляхом алгебраїчних перетворень зведемо (1.2.15) до рівняння прямої у «відрізках на координатних осях»
• (1.2.16)
• Таким чином, у даному випадку складного опору нейтральна лінія є прямою, яка проходить крізь квадранти з різними знаками нормальних напружень і відсікає відрізки:
• (1.2.17)
• на відповідних координатних осях.
• Добір розмірів перерізу при сумісній дії згинання та розтягання (стискання) проводиться спочатку без впливу поздовжньої сили . Наприклад, для бруса круглого перерізу момент опору має дорівнювати:
• . (1.2.18)
• Для бруса прямокутного або двотаврового перерізу

• (1.2.19)
• Співвідношенням треба задатися. Так, для прямокутного перерізу , для двотаврової балки приймають середнє відношення і знаходять потрібний номер двотавра методом послідовних наближень. Першу спробу роблять по найбільшому за модулем згинальному моменту. Друга спроба, у випадку складного згинання, повинна перевірятися з урахуванням іншої складової згинального моменту та додаткових напружень від поздовжньої сили . Допустиме перевантаження не повинно перевершувати 5 %.
• Одержані співвідношення (1.2.8) - (1.2.19) легко поширюються на окремий випадок сумісної дії плоского згинання та розтягання (стискання). Для цього в зазначених рівняннях треба прийняти (або ).
• 1.2.5 Позацентрове розтягання - стискання бруса
• Окремим випадком сумісної дії згинання та розтягання (стискання) є так зване позацентрове розтягання (стискання). Такий вид складного опору має місце, якщо на брус довільного перерізу діє сила , паралельна до осі бруса Z , що прикладена у точці Р, яка не співпадає з центром ваги перерізу (рис. 10). Точку Р з координатами називають полюсом, а найкоротшу відстань від неї до центру ваги перерізу - ексцентриситетом

• .
• Для того щоб зробити висновки щодо напружено - деформованого стану бруса необхідно привести позацентрову силу до центра ваги перерізу. Згідно з законами теоретичної механіки, при паралельному переносі сили в площині переносу з'являється додатковий момент, рівний добутку сили з плечем переносу.
• Рисунок 10
• Приведення сили до центра ваги О можна здійснити у два етапи (рис. 11). Спочатку перенесемо силу в площині паралельній на відстань з точки P до точки С. У площині переносу з'являється момент .

• Рисунок 11
• Наступним кроком є перенос сили (і моменту ) на відстань з точки С до точки О. Цей перенос здійснюється у площині , тому в точці О з'являється момент .
• Момент , згідно з аксіомою теоретичної механіки, може бути перенесеним до будь якої точки конструкції без порушення її загальної рівноваги. Перенос моменту здійснюється паралельно площині його дії без зміни величини та напряму повороту.
• Таким чином в центрі ваги перерізу діють три силові фактори:
• (1.2.20)
• Із виразів (1.2.20) випливає незмінність внутрішніх зусиль уздовж осі . У разі позацентрового розтягання (стискання) усі перерізи стержня є рівнонебезпечними.
• Отже, напружений стан у довільній точці перерізу В складається з напружень від поздовжньої сили та напружень від чистого згинання моментами , згідно з (1.2.8) та з урахуванням (1.2.20)

• , (1.2.21)
• де - радіуси інерції відносно головних осей перерізу X та Y відповідно.
• Для пошуку небезпечної точки у разі складного профілю перерізу, треба побудувати нейтральну лінію. Небезпечною буде точка, найвіддаленіша від нейтральної лінії.
• Оскільки нейтральна лінія, за її визначенням, є геометричним місцем точок з нульовими напруженнями , то з (1.2.21) випливає
• де - координати точки, що належить до нейтральної лінії.
• Рівняння нейтральної лінії
• .
• Відрізки, що відсікає нейтральна лінія на координатних осях, відповідно дорівнюють
• (1.2.22)
• Співвідношення (1.2.22) також можна здобути із (1.2.17) за допомогою підстановки (1.2.20). Треба зазначити, що формули (1.2.17) мають більш широкий спектр дії, ніж (1.2.22). Наприклад, якщо до конструкції прикладаються декілька позацентрових навантажень, то поздовжня сила і згинальні моменти , у (1.2.17) є алгебраїчними сумами відповідних компонентів у перерізі.
• Із залежностей (1.2.22) випливає, що нейтральна лінія перетинає координатні осі в точках, які належать квадрантам, протилежним тому, де знаходиться полюс Р (рис. 12).
• Якщо проведемо паралельно до нейтральної лінії дотичні до контуру перерізу в обидва боки, знайдемо найбільш напружені точки K та L у розтягнутій і стислій зонах перерізу відповідно (рис. 12). Якщо позначити та координати точок K і L відповідно, то умови міцності для них мають вигляд:
• Рисунок 12
• (1.2.23)

• З урахуванням (1.2.20) умови (1.2.23) тотожні умовам (1.2.9). Тому, при різних формах перерізів і властивостей матеріалу, в разі позацентрового розтягання (стискання) треба користуватися раніше наведеними сполученнями (1.2.9?1.2.14).
• Аналізуючи співвідношення (1.2.22) можна дістати висновку, що нейтральна лінія не завжди перетинає переріз та не проходить через центр ваги перерізу.
• Якщо полюс співпадає з центром ваги (), то нейтральна лінія проходить у нескінченості (напруження розподілені рівномірно по площі перерізу і мають один знак). Із збільшенням ексцентриситету „е” нейтральна лінія наближається до перерізу і у певний момент стає дотичною до нього. Таке значення „е” вказує на межу ядра перерізу. При подальшому збільшенні ексцентриситету нейтральна лінія перетне переріз і розподілить його на зони з різними знаками напружень (рис. 12). Це важливо для стержнів з крихких матеріалів, що погано чинять опір розтяганню (наприклад, чавун, бетон і т.п.).
• Отже, ядром перерізу називають замкнену зону навколо центра ваги перерізу, яка має таку властивість: якщо позацентрове навантаження розміщене в зоні ядра, то нормальні напруження в усіх точках перерізу мають однакові знаки.
• Для побудови ядра перерізу задаються різними положеннями нейтральної лінії, дотичними до контуру перерізу, і обчислюють за допомогою (1.2.22) координати відповідних граничних точок ядра (точок, до яких має бути прикладена позацентрова сила)
• .

• При обертанні нейтральної лінії навколо фіксованої точки контуру перерізу, полюс переміщується вздовж прямої лінії.
• 1.2.6 Сумісна дія згинання та кручення для стержнів круглого або кільцевого перерізу
• У сучасних силових пристроях широко використовується вали - циліндричні стержні круглого або кільцевого перерізів, за допомогою яких передається та розподіляється потужність (крутний момент) між елементами механічної системи. Навантаження на вали з боку зубчатих коліс, натягу ременів, власної ваги вала та шківів спричиняють просторове згинання і кручення, чи складне згинання, кручення та розтягання (стискання). Тому у поперечних перерізах валів виникають такі внутрішні силові фактори: - згинальні моменти, - крутний момент, - поперечні зусилля, - поздовжня сила.
• Отже, в будь-якому перерізі можуть одночасно виникнути нормальні напруження , а також дотичні напруження . Зазначимо, що у даному випадку, як і при складному згинанні, впливом дотичних напружень від поперечних сил можна знехтувати по зрівнянню з дотичними напруженнями, спричиненими крученням. Якщо відсутні і поздовжні сили , то у перерізах вала залишаються лише згинальні та крутний моменти. Згинальні і крутний моменти діють у трьох взаємно-ортогональних площинах. Якщо площина дії моменту проходить крізь вісь балки, то такий момент є згинальним. Моменти, що діють у площині, ортогональній до осі вала, приводять к його крученню.
• Наступним кроком до вирішення задачі є визначення небезпечного перерізу. Для круглого та кільцевого профілів ця операція спрощується завдяки променевій симетрії перерізу. Оскільки усі осі, які проходять крізь центр ваги кола або кільця, є головними, то просторове згинання можна завжди звести до плоского, у площині дії сумарного згинального моменту
• (1.2.24)
• Це легко пояснити, якщо згадати визначення вектора-моменту пари сил (рис. 13).
• Рисунок 13
• Величина цього вектора дорівнює діючому моменту, а його напрям ортогональний до площини, у якій розташований момент. Вектор-момент має додатне значення, якщо дивлячись з кінця цього вектора, обертання пари сил здійснюється проти годинникової стрілки.
• Розглянемо, наприклад, деякий переріз вала, і позначимо внутрішні моменти (рис. 14).
• Побудуємо вектори-моменти та . Згідно з їх визначенням, обидва вектори мають розташування у площині перерізу і можуть бути складеними у геометричну суму згідно (1.2.24). Кожен з цих векторів співпадає за напрямом з нейтральною лінією власного моменту, тому вектор-момент вказує спільну нейтральну лінію від одночасної дії обох згинальних моментів та . Нахил нейтральної лінії визначається кутом , для якого .
• Рисунок 14
• Площина дії сумарного згинального моменту ортогональна до спільної нейтральної лінії. Точки 1 та 2, що лежать у площині моменту , є найбільш віддаленими від нейтральної лінії і мають максимальні, рівні за абсолютною величиною напруження.
• , (1.2.25)
• де - осьовий момент опору кола.
• Розподіл дотичних напружень від дії крутного моменту у тому ж перерізі наведений на рис. 15.
• Розподіл свідчить, що в контурних точках 1 та 2 діють однакові максимальні дотичні напруження
• ,
• де - полярний момент опору кола.
• Рисунок 15
• Таким чином, у точках 1, 2 маємо збіг найбільших нормальних та дотичних напружень. Напружений стан у цих точках - двохвісний (плоский) , , тому для запису умови міцності треба використати відповідну гіпотезу міцності.
• Будемо вважати, що матеріал вала є пластичним, до якого можна застосувати ІІІ або ІV гіпотезу міцності (1.1.1), (1.1.2), з яких, використовуючи (1.2.25), отримаємо

• 1.2.26)
• Вирази (1.2.26) свідчать, що розрахунок валів круглого та кільцевого перерізів при сумісній дії згинання та кручення формально зводиться до розрахунку на „звичайний згин ” під дією еквівалентного моменту
• (1.2.27)
• Таким чином, для визначення найбільш небезпечного перерізу слід зробити лише ряд розрахунків. Згідно з (1.2.27) треба підрахувати величини еквівалентних моментів у всіх потенційно небезпечних перерізах. Найнебезпечніший з них має максимальний еквівалентний момент. Зазначимо також, що знаки складових моментів (їх напрям) у виразах (1.2.27) не мають особливого значення, тому при підрахунках, перш за все треба звертати увагу до перерізів з максимальними за модулем згинальними та крутними моментами.
• Приклад 1.
• Розглянемо випадок складного опору на прикладі розрахунку діаметру вала редуктора (рис. 16). Нехай вал редуктора передає потужність , яка розподіляється між веденими шестернями у співвідношенні 1:3, і обертається з кутовою швидкістю . Допустиме напруження матеріалу вала .
• Для того щоб зробити розрахунки напружено-деформованого стану будь-якої деталі, треба визначити розподіл внутрішніх силових факторів в перерізах цієї деталі. Тому, зовнішні навантаження у вигляді сил та моментів, що не діють безпосередньо на розрахунковий об'єкт, треба спочатку привести до центру ваги відповідних перерізів деталі.
• Якщо деталь знаходиться у складі механізму, враховуються лише ті навантаження, що діють саме на позначену деталь з боку інших відкинутих складових частин механізму. Тому у формуванні розрахункової схеми мають бути задіяні як активні, так і реактивні зусилля.
• Так тангенціальні сили і (рис. 16) є реакціями, діючими на ведені шестерні О і Е відповідно, з боку відкинутих сателітів. Активні зусилля і прикладені до ведучого шківа С безпосередньо від гілок ремінної передачі.

• Рисунок 16
• Усі прикладені сили діють на відстані радіусів відповідних деталей від осі валу. Тож треба перенести ці сили до валу за допомогою паралельного переносу.
• Розглянемо цей процес більш детально. У точці С такий перенос треба зробити двічі (рис. 17).
• Рисунок 17
• Перенос сили до центра ваги вала на відстань супроводжується появою моменту .
• Аналогічно, після переносу сили з'являється момент у зворотному напрямку
• .
• Площину дії моментів , неважко встановити за двома напрямками. Перший є напрямком дії сил або (вісь ), другий напрямок - плече переносу (вісь ). Тому площина дії обох моментів та є спільною площиною . Звісно, що у цій площині моменти діють відносно осі , що підкреслюється індексами моментів.
• Алгебраїчно сумуючи силові фактори у точці С, маємо:
• (1.2.28)
• Аналогічна процедура застосовується до сил і (рис. 18), де
• (1.2.29)
• Рисунок 18
• Повна розрахункова схема валу ОВСDЕ зображена на рис. 16. Крутні моменти , , приводять до кручення в площині , поперечні сили та згинають вал у площині , а поперечна сила дає згинання в площині .
• Таким чином маємо сумісну дію кручення та складного згинання, що розкладається на два прості згинання у головних площинах валу (рис. 16).
• Оскільки зусилля , , зв'язані з крутними моментами, спочатку визначимо останні:
• .
• З умов задачі 100 % потужності (крутного моменту) розподіляється між веденими шестернями Е і О у відношенні 1:3 (25 % : 75 %), отже
• Таким чином у площині встановлюється рівновага
• По знайдених крутних моментах можна побудувати епюру. У перерізах крутний момент дорівнює: ,
• а у перерізах : .
• З співвідношень (1.2.28), (1.2.29) визначаємо окружні зусилля
• (1.2.30)

• Для побудови епюри згинального моменту у площині треба спочатку врівноважити вал, тобто визначити реакції .
• Згинальні моменти в перерізах вала підраховуються таким чином:
• Аналогічну процедуру можна застосувати до побудови епюри згинального моменту в площині . Але у даному випадку її можна дещо скоротити, спираючись на правила побудови епюр. Наприклад, в перерізі згинальний момент не залежить від реакцій опор і визначається дією зусилля :
• У перерізі згинальний момент відсутній взагалі , а в перерізі момент є лінійною функцією реакції . Він змінюється від нульового значення у точці, де прикладена сила (плече сили дорівнює нулю), до значення моменту на суміжному інтервалі, тобто
• Небезпечний переріз визначаємо по найбільшому значенню еквівалентного моменту (1.2.27). У нашому випадку для перерізу С
• або
• .
• Для підрахунку діаметру використаємо, наприклад, ІІІ гіпотезу міцності (1.2.26). Тоді, з урахуванням того, що , маємо:
• (1.2.31)

• Після округлення діаметру до найближчого стандартного значення по ряду (ГОСТ 6836?80) маємо:
• Наведемо ряд діаметрів для інтервалу значень від 30 мм до 120 мм:
• 30; 32; 34; 36; 38; 40; 42; 45; 48; 50; 53; 56; 60; 63; 67; 71; 75; 80; 85; 90; 95; 100; 105; 110; 120.
• Відомо, що різниця між ІІІ та ІV гіпотезами міцності не перевершує сімох відсотків у тому випадку, якщо у перерізі діють лише дотичні напруження. У даному прикладі, підрахунок діаметру згідно ІV гіпотези міцності дає приблизно ті ж самі результати.
• 1.2.7 Загальний випадок дії сил на стержень круглого або кільцевого перерізу
• Розрахункова схема вала редуктора, наведена на рис. 1.16 попереднього розділу, відповідає дійсності, якщо передача зусиль з ведених шківів здійснюється за допомогою сил тертя. У разі використання у точках О і Е навіть найпростіших зубчатих прямозубих коліс, окрім окружних компонентів зусиль та у зчепленні з'являються додаткові радіальні компоненти і . А якщо використати косозубі чи черв'ячні передачі, виникають ще й осьові і . Величини радіальних та осьових зусиль є похідними від основних, окружних компонентів і залежать від геометричних параметрів зубчастих коліс [3]:
• (1.2.32)

• де - кут головного профілю зуба (стандартне значення ),
• - кут нахилу зуба до осі вала (), середнє значення якого становить .
• При цьому окрім згинання в двох площинах та в поперечному перерізі стержня виникає дія поздовжньої сили, що спричиняється осьовими зусиллями. Напруження від деформацій згинання та розтягання (стискання) діють по нормалі до поперечного перерізу. Отже, сумарне нормальне напруження можна визначити як алгебраїчну суму окремих компонентів від згинання та від розтягання (стискання) - .
• Додатково, враховуючи дію кручення, маємо розподіл дотичних напружень від кручення. Якщо, як в попередньому розділі, нехтуємо дією поперечних зусиль в силу їх малості в круглому або кільцевому перерізі, то дотичне напруження можна визначити .
• Напружений стан при цьому також буде двохвісним або плоским. Еквівалентні напруження, згідно з відповідною теорією міцності можуть бути записані:
• (1.2.33)

• Приклад 2
• Як і в попередньому прикладі вал редуктора передає потужність , яка розподіляється між веденими шестернями у співвідношенні 1:3, і обертається з кутовою швидкістю . Допустиме напруження матеріалу вала .
• Розрахункова схема редуктора з косозубими веденими колесами наведена на рис. 19.
• Додаткові зусилля з урахуванням (1.2.30), (1.2.32) дорівнюють
• Як і у попередньому прикладі, зробимо приведення усіх діючих сил до центрів ваги валу у відповідних перерізах. Перед тим зазначимо, що зусилля, прикладені до валу редуктора (рис. 19), можна умовно розподілити на дві групи.
• Перша включає ті, що потрапляють до заданих точок, рухаючись вздовж лінії власної дії. При такому просуванні сили ніякі додаткові моменти не утворюються. У нашому прикладі це радіальні зусилля і .
• До другої групи належать ті сили, що можуть потрапити до центрів ваги валу тільки шляхом паралельного переносу. У цих випадках до перенесеної сили треба додати ще й момент, який утворюється у площині переносу. Остання визначається за двома напрямками: перший - той, у якому діє сила, другий - плече переносу (найкоротша відстань від лінії, вздовж якої діє сила, до заданої точки).
• Обертання утвореного моменту відносно осі, ортогональної до площини його дії, здійснюється в напрямку сили.
• Рисунок 19
• Так у точці О перенос сил відбувається за схемою, наданою на рис. 20.
• Рисунок 20

• Розподіл силових факторів в точці Е наведений на рис. 21.
• Рисунок 21
• Переніс зусиль та до точки С здійснюється так само, як у попередньому прикладі (рис. 17). Загальна схема дії сил зображена на рис. 19.
• Як і у попередньому розділі, розкладемо складне просторове навантаження на окремі прості, згідно з принципом суперпозиції. У даному випадку, окрім кручення і згинання у двох головних площинах валу, при наявності осьових компонентів та , з'являються додаткові навантаження розтягання і стискання.
• Окружні зусилля , , залишаються ти самі, що і у попередньої задачі, тому зберігається і розподіл крутних моментів , , .
• Зміни у розрахункових схемах згинання, у порівнянні з попереднім прикладом, потребують перерахунків опорних реакцій та перебудови епюр згинальних моментів та .
• У площині :
• Згинальні моменти в перерізах вала підраховуються наступним чином:

• У площині
• Згинальні моменти в перерізах вала підраховуються так:

• Схема дії розтягання ? стискання та епюра поздовжніх сил наведена на рис. 19. Слід нагадати, що для побудови епюри спочатку треба урівноважити вал у поздовжньому напрямку, тобто виконати умову
• .
• Реактивне зусилля виникає у точці, де встановлена нерухома у даному напрямку опора. З умов рівноваги дістаємо
• Враховуючи правила знаків для внутрішніх поздовжніх сил, маємо:
• Для валів круглого поперечного перерізу умови міцності (1.2.33) набувають вигляду
• (1.2.34)

• де , , - площа, осьовий та полярний моменти опору круглого перерізу відповідно.
• Рівняння (1.2.34) можна використати і у разі кільцевого перерізу, для якого геометричні характеристики профілю мають вигляд:
• , ,
• ,
• де - співвідношення між внутрішнім та зовнішнім діаметрами кільця.
• Пошук небезпечного перерізу провадять за допомогою обчислення еквівалентних моментів (1.2.27), так само, як у попередньому розділі. Так у нашому прикладі, використовуючи ІV гіпотезу міцності знайдемо, що у перерізі С справа
• На відміну від прикладу 1.1 (див. рис. 1.14) положення найбільш напруженої точки залежить від знака поздовжньої сили. Якщо у перерізі діє розтягувальне зусилля , яке дає додатні напруження , то найбільші небезпечною стає точка 1:
• .
• У разі дії стискаючого зусилля найбільші напруження, за модулем, виникають у точці 2:
• .
• Зважаючи на те, що для перерізів у вигляді кола та кільця
• можна узагальнити умови міцності в найбільш небезпечній точці для будь-якої за знаком поздовжньої сили:
• (1.2.35)
• Для спрощення розрахунків обчислення діаметру вала на першому етапі проводиться без урахування дії поздовжньої сили. При цьому початкове (занижене) значення діаметру визначається за формулою (1.2.31), яке на другому етапі розрахунків уточнюється за вимогами (1.2.35).
• Отже, визначимо початкове (приблизне) значення діаметру вала:
• .
• Після округлення діаметру до найближчого стандартного значення маємо:
• Проведемо уточнюючі підрахунки. Для цього за визначеним діаметром підрахуємо окремі складові напружень у виразі (1.2.35). З епюри поздовжньої сили визначаємо, що у перерізі С діє зусилля . Тоді
• .
• Згинальний момент у перерізі С:
• Напруження від згинання:
• Сумарні нормальні напруження:
• .
• Максимальні дотичні на контурі перерізу С від крутного моменту:

• Тоді еквівалентні напруження дорівнюють
• Знайдене еквівалентне напруження значно менше допустимого, тому з метою економії матеріалу беремо менше стандартне значення діаметру ? та повторюємо перевірочний розрахунок.
• .
• Згинальний момент у перерізі С:
• Напруження від згинання:
• Сумарні нормальні напруження:
• .
• Максимальні дотичні на контурі перерізу С від крутного моменту:

• Тоді еквівалентні напруження дорівнюють
• Знайдені еквівалентні напруження перевищують допустимі значення менш ніж на 5 відсотків, тому остаточно приймаємо діаметр .
• У разі дії значних поздовжніх зусиль, еквівалентні напруження можуть також перевищувати допустимі значення. Тоді слід прийняти наступне більше стандартне значення діаметру вала і повторити підрахунки.
• 1.2.8 Загальний випадок дії сил на брус прямокутного перерізу
• У практиці машинобудування досить часто використовуються конструкції зібрані з елементів некруглих перерізів. Якщо такий елемент знаходиться під дією усіх шістьох компонентів внутрішніх зусиль , , , , то визначення його напружено-деформованого стану є досить складною задачею.
• Особливі складнощі виникають при появі кручення, дотичні напруження від якого мають розподіл, що залежить від геометричних характеристик перерізу. Рішення задач кручення для різних за формою перерізів дають аналітичні та чисельні методи теорії пружності. Одержані висновки та основні результати розрахунків можна використати в курсі опору матеріалів.
• Крім того, відсутність аналітичних зв'язків між геометричними характеристиками перерізу при згинанні та крученні не дає можливості використання зведених величин, таких як еквівалентний момент.
• Ці обставини унеможливлюють пошук небезпечного перерізу з використанням єдиної формули, як у разі круглого або кільцевого перерізу стержня. Тому конструкції з елементів некруглого профілю, як правило, мають декілька потенційно небезпечних перерізів. У кожному з них треба провести власний аналіз напруженого стану і на цій базі зробити висновки для конструкції в цілому.
• Розглянемо приклад просторового бруса прямокутного перерізу (рис. 22).
• Рисунок 22
• Для побудови епюр внутрішніх зусиль введемо правогвинтову сталу систему координат . Така система може бути перенесена до будь-якої точки конструкції без зміни положення координатних осей.
• Інколи для розв'язання такої задачі використовується рухома система координат. Її особливість полягає в тому, що одна з осей рухомої системи завжди відслідковує головний напрямок стержня. Однак, для рішення задачі вибір координатної системи принципового значення не має.
...