Розрахунки бруса при складних видах деформування та статичної невизначуваності

Проводячи розрахунки на міцність складних стержньових систем за допомогою метода перерізів, треба дотримуватись наступних положень:

- незалежно від навантаження кожен прямолінійний елемент (стержень) конструкції вважається окремою ділянкою, в межах якої треба зробити довільний переріз;

- для побудови епюр внутрішніх силових факторів на будь-якій ділянці треба привести до її початкової точки усі зовнішні сили та моменти з відсіченої частини.

Приведення сил і моментів виконується згідно з правилами теоретичної механіки, отже сила до заданої точки може потрапити завдяки переміщенню вздовж лінії власної дії, або за допомогою її паралельного переносу. В останньому випадку до сили треба додати момент, рівний добутку сили з плечем переносу. Площина дії утвореного моменту визначається двома напрямками - діючої сили і відрізка, вздовж якого відбувається перенос. Зосереджений момент до заданої точки потрапляє без зміни його значення, площини дії та напрямку обертання.

Вибрана у якості приклада просторова статично визначувана конструкція (рис. 22) має жорстке затиснення перерізу О. В центрі ваги цього перерізу у загальному випадку дії сил виникають шість реактивних зусиль , , , , які можна знайти з умов рівноваги:

Для консольних конструкцій можна застосувати такий порядок розгляду ділянок, що жодна реакція не потрапить до відсіченої частини конструкції. Це можливо, якщо перерізи наближати до жорсткого затиснення з вільних кінців конструкції. При обраному в такій спосіб порядку розгляду інтервалів реактивні зусилля у жорсткому затисненні можна не визначати. Відсічені частини та початкові точки (вузли) ділянок вказані на рис. 23.

Але, якщо відсічена частина конструкції включає до свого складу точку О, визначити реактивні зусилля потрібно, і у подальшому оперувати цими компонентами, як звичайними зовнішніми навантаженнями.

Рисунок 23

Для побудови епюри будь-якого силового фактору в межах довільної ділянки треба виконати наступні дії:

- згуртувати всі зовнішні сили та моменти з відсіченої частини конструкції у початковій точці ділянки;

- зробити в межах цієї ділянки переріз і ввести поточну координату, яка відраховується з початкової точки (вузла) ділянки;

- жорстко затиснути брус у зробленому перерізі, зводячи його розрахункову схему до консольної.

В процесі розбудови епюр треба дотримуватись правил знаків для сил та моментів, а також до вимог розташування епюр в межах кожної ділянки.

Як і раніше будемо користуватися наступними правилами знаків для внутрішніх сил та моментів. Так поздовжня сила вважається додатною, якщо її дія є розтягуюча. Додатна сила завжди направлена назовні по відношенню до довільного перерізу ділянки. Стискаюче зусилля є від'ємним, а напрямок його дії - протилежний. Епюра поздовжньої сили може бути розташована у будь-якій площині, яка проходить крізь відповідну ділянку. Вона повинна мати знак зусилля та його значення.

Побудова епюр згинальних моментів провадиться за правилами, що прийняті у машинобудуванні. Спочатку визначається площина дії моменту за координатними напрямками сили і ділянки, до якої вона прикладена. Наступним кроком до побудови епюри є моделювання прогину відповідної ділянки під дією сили або моменту і визначення положення стислих волокон балки. Епюра згинального моменту будується в площині його дії з боку стислих волокон, згідно з функцією розподілу моменту вздовж осі ділянки. Числове значення моменту вказується на епюрі в усіх точках його зміни.

Знак крутного моменту може бути визначений довільним образом. Наприклад, дивлячись з боку перерізу на обертання зовнішнього (крутного) моменту навколо осі ділянки, можна призначити додатне або від'ємне значення внутрішнього крутного моменту. Приймемо, що обертання супротив годинникової стрілки є додатним.

Оскільки площина дії крутного моменту завжди ортогональна до осі ділянки, його складно відобразити на плоскому кресленні. Тому епюри крутних моментів будують або окремо від епюри згинальних моментів, або додають їх в останню чергу, розташовуючи на вільних місцях, прилеглих до даної ділянки. Для візуального відокремлення крутних моментів від згинальних, обрис епюри крутного моменту штрихують гвинтовою спіраллю. В полі епюри встановлюють знак моменту і позначають його величину.

Приклад 3

В якості прикладу визначимо запас міцності консольної конструкції з прямолінійних стержнів прямокутного профілю, які жорстко з'єднані у вузлах (рис. 22). Навантаження мають значення , , , а довжини ділянок , , . Розміри прямокутного профілю у кореневому перерізі О-О дорівнюють , . Причому сторони позначають, щоб виконувалась нерівність . Припустимо, що матеріал конструкції має межу текучості .

При побудові епюр внутрішніх силових факторів для нашої конструкції (рис. 22) у даному прикладі використаємо принцип суперпозиції. Сили , , , будемо прикладати послідовно, відстежуючи дію кожної сили окремо на всіх ділянках просторового бруса. Загальний результат отримаємо, якщо просумуємо відповідні епюри на усіх ділянках конструкції.

Спочатку будемо вважати, що діє лише сила . Схема ї приведення до різних вузлів конструкції наведена на рис. 24.

Рисунок 24

Паралельний перенос з D до С породжує момент у площині .

Рух сили з С до В утворює додатковий момент у площині

Таким чином (рис. 24), перша ділянка DС знаходиться в умовах поперечного згинання в площині .



При погляді з додатного напрямку осі „у”, стислими на цій ділянці є волокна стержня, що зліва (які мають від'ємну координату „z”).

На другій ділянці СВ маємо сумісну дію поперечного згинання в площині та кручення

Епюра моменту повинна бути розташована на правих, стислих волокнах ділянки, при погляді з додатного напрямку осі „х”.

Третя ділянка ОВ стискається поздовжньою силою

а також згинається постійними сконцентрованими моментами у двох головних площинах перерізу

Момент , площина дії якого стискає праві волокна стержня ОВ (з додатною координатою „х”). Момент діє у площині , стискаючи верхні волокна ділянки (волокна, що мають додатну координату „у”).

Розподіл вказаних силових факторів зображений на рис. 25.

Рисунок 25

Слід зауважити, що всі вузли конструкції „n” повинні відповідати умовам рівноваги під дією внутрішніх моментів в однієї площині, тобто виконується рівняння:

На рис. 26 показані внутрішні моменти, що діють при наближенні до вузла С з боку першої та другої ділянки

Рисунок 26



Такий спосіб контролю при побудові епюр слід застосовувати до кожного вузла конструкції.

Розглянемо опір конструкції під дією сили (рис. 27).

Рисунок 27

Дія сили розповсюджується на другу та третю ділянки конструкції. Згідно з прийнятим порядком розгляду інтервалів (рис. 23), до першої ділянки вона не потрапляє.

Тож зусилля дає поперечне згинання другої ділянки

Площина дії моменту - , стислі волокна стержня у цій площині - праві, з додатною координатою „х”. У точці В момент набуває значення

Такий момент є крутним по відношенню до ділянки ВО, вісь якої ортогональна до площини його дії. Зусилля у точці В стає поперечним до останньої ділянки (рис. 27), тому воно згинає стержень ОВ у площині . Стислі волокна у цій площині мають додатну координату „х”.

Епюри силових факторів від дії навантаження зображені на рис. 28.

Рисунок 28

Зона дії зусилля обмежується лише третьою ділянкою ОВ (рис. 29).

Рисунок 29



Сила вже приведена до початкової точки останнього інтервалу та є поперечною до нього, тому

Площина дії моменту - , стислі волокна розташовані знизу і мають від'ємну координату „у”. Епюри внутрішніх силових факторів від дії зусилля наведені на рис. 30.

Рисунок 30

Якщо просумувати відповідні епюри з рис. 25, 28, 30, отримаємо загальний розподіл внутрішніх сил та моментів по елементах конструкції (рис. 31). Сумування проводиться по кожній ділянці з дотриманням знаків та площин розташування часткових епюр.



Рисунок 31

Значення внутрішніх сил та моментів на сумарних епюрах (рис. 31) в перерізі О відповідає реактивним зусиллям , , , у затисненні.

Для того, щоб зробити оцінку щодо несучої спроможності конструкції, треба визначити запас її міцності по найбільш напруженій точці небезпечного перерізу

,

де - критичне напруження, по відношенню до якого встановлюється запас міцності (це може бути або границя текучості ? , або границя міцності ? ), - максимальне еквівалентне напруження в небезпечній точці перерізу.

Розглянемо методику визначення коефіцієнту запасу . У якості прикладу зупинимося на перерізі О (рис. 29), в якому діють усі без виключення внутрішні зусилля (рис. 31). На рис. 32 зображено цей переріз з усіма внутрішніми силовими факторами, дивлячись у бік затиснення.

Напрямок дії внутрішніх зусиль та моментів в перерізі О відповідає напрямкам відповідних реактивних зусиль.

Рисунок 32

Підрахуємо напруження від кожного з компонентів внутрішніх зусиль. Для цього знадобляться такі геометричні характеристики перерізу:

При крученні стержня прямокутного перерізу коефіцієнти визначимо по таблиці [4]. При відношенні сторін прямокутника , добираємо: .

Тоді момент опору кручення .

Нормальні напруження від поздовжньої сили рівномірно розподіляються по точках перерізу:



.

Від дії згинальних моментів , нормальні напруження розподіляються за лінійним законом, збільшуючись від нейтральної лінії в обидва боки зі зростанням відповідної координати, так що

Згідно з напрямком дії, згинальний момент (рис. 32) розтягує точки І-го та ІІ-го квадрантів і стискає нижню половину перерізу (ІІІ та ІV квадранти). Момент (рис. 32) діє таким чином, що ліва частина перерізу (ІІ та ІІІ квадранти), опиняється у зоні розтягання, а права частина (І та ІV квадрант) - у зоні стискання.

Дотичні напруження від крутного моменту набувають максимальних значень у точках, що лежать на серединах сторін прямокутника. Найбільші з них з'являються посередині більших сторін. У серединах коротших сторін прямокутника мають місце локальні максимуми напружень :



Напруження від дії поперечних зусиль теж є дотичними. Вони обчислюються згідно з формулою Журавського і набувають максимальних значень на осях симетрії прямокутного перерізу

Розподілення компонент напружень в [МПа] в перерізі О-О представлене на рис. 33.

Рисунок 33



Дотичні напруження, за напрямком дії, завжди співпадають з відповідним внутрішнім зусиллям. Так, напруження у площині перерізу утворюють потік, направлений за годинниковою стрілкою, за напрямком дії . Вектор дії дотичних напружень від дії поперечних зусиль співпадає з вектором самих зусиль.

Аналізуючи напружений стан перерізу можна зробити наступні висновки:

- у кутових точках прямокутника відсутні дотичні напруження, тому ці точки мають лінійний (одновісний) напружений стан;

- найбільш небезпечною точкою перерізу може бути або кутова точка, або точка, що належить до середини сторони прямокутника. Остання має плоский (двовісний) напружений стан, завдяки наявності напружень двох різних типів.

За цими ознаками для аналізу міцності конструкції в небезпечному перерізі оберемо найбільш напружену кутову точку 5, середини більшої (т. 4 та т.8) та меншої (т.2 та т.6) сторін прямокутника (рис. 32).

В точці 5 діють однакові за знаком нормальні напруження (рис. 33, 34)

Рисунок 34

Напружений стан в точці 5 - лінійний (одновісний), тому сумарне напруження визначається як алгебраїчна сума компонент напружень:



Однозначно визначити найбільш небезпечну точку з номерами 2, 4, 6, 8, неможливо, тому що в точці 4 нормальні і дотичні напруження одного знаку. В точці 8 навпаки, нормальні і дотичні напруження різного знаку. Розглянемо обидві точки. Для точки 4 маємо

Напружений стан в точці 4 - двовісний (плоский).

Використовуючи ІV гіпотезу міцності, отримаємо

Для точки 8 маємо

Напружений стан в точці 8 - двовісний (плоский).



Використовуючи ІV гіпотезу міцності, отримаємо

Порівняння напружень у середніх точках коротких сторін прямокутника (рис. 33) не дає перевагу жодній точці. Тому розглянемо обидві.

Для точки 6 маємо

Напружений стан в точці 6 - двовісний (плоский).

Використовуючи ІV гіпотезу міцності, отримаємо

Для точки 2 маємо



Напружений стан в точці 2 - двовісний (плоский).

Використовуючи ІV гіпотезу міцності, отримаємо

Таким чином, максимальне еквівалентне напруження діє у точці 4 , тому коефіцієнт запасу просторового стержня дорівнює:

.

Коефіцієнт запасу n > 1. Таким чином можна стверджувати, що умова міцності виконується, а просторовий брус є міцним.

1.3 Розрахунково-проектувальне завдання

При вивченні розділу „Складне навантаження ” в курсі “Опір матеріалів ” ставиться мета навчити студентів основам інженерного розрахунку елементів конструкцій машин і механізмів на міцність і жорсткість при комплексному навантаженні. Таке навантаження може привести до спільної дії декількох простих видів деформування з урахуванням, при цьому, умов роботи, властивостей матеріалів та різноманітних типів поперечних перерізів.

Для кращої організації і більш ефективної самостійної роботи студентів, згідно з вимогами програми курсу “Опір матеріалів ”, студентам пропонується до виконання декілька задач по темі “Розрахунки на міцність стержнів при складному деформуванні ”. Виконуючи цю роботу, студент практично знайомиться з методами обчислення комбінації навантажень, побудови епюр внутрішніх зусиль, визначення небезпечних перерізів та використовуючи відповідну теорію міцності, аналізує напружений стан в точці, визначає розміри поперечного перерізу, що забезпечують міцність конструкції для різноманітних схем, або визначає запас міцності.

1.3.1 Склад розрахунково-проектувального завдання

Розрахунково-проектувальне завдання складається з трьох етапів:

Рішення запропонованих викладачем задач для певних варіантів розрахункових схем і вихідних даних, оформлення їх за вимогами кафедри опору матеріалів.

Написання контрольних робіт за темою РПЗ.

Захист РПЗ. Захист включає в себе пояснення методів і принципів розв'язання задач і відповідь на контрольні теоретичні запитання. Кількість та об'єм цих запитань визначається викладачем індивідуально для кожного студента.

Мета роботи - визначення внутрішніх силових факторів для запропонованих розрахункових схем на окремих ділянках стержнів, побудування епюр, проведення проектувального та перевірочного розрахунків на міцність.

Дано:

1. Схема заданої системи з вказівкою довжин дільниць і зовнішнього навантаження.

2. Границя текучості матеріалу.

РПЗ складається з двох обов'язкових для рішення задач:

Проектувальний розрахунок. Для заданої схеми навантаження валу редуктора визначити розмір поперечного перерізу (діаметр). Варіанти розрахункових схем наведені в додатку 1, а чисельні дані - в таблиці Д1.1.

Перевірочний розрахунок. Для заданої схеми просторової стержньової системи з жорстко скріпленими ділянками визначити найнебезпечнішу точку прямокутного поперечного перерізу та визначити коефіцієнт запасу міцності. Варіанти розрахункових схем наведені в додатку 1.2, а чисельні дані - в таблиці Д1.2.

1.3.2 Порядок виконання завдання

Задача 1. Визначити діаметр валу, навантаженого зусиллями в різних площинах, використовуючи IV теорію міцності

Виписати для заданого варіанту чисельні дані. В певному масштабі накреслити схему заданої системи з зазначенням її лінійних розмірів і зовнішніх навантажень.

Привести зовнішні зусилля на вісь валу.

Розкласти складне навантаження на комбінацію простих видів деформування: згин в площинах (YOZ) та (XOZ), кручення та центральне розтягання - стискання.

Побудувати епюри внутрішніх силових факторів по довжині валу.

Визначити небезпечний переріз валу по максимальному значенню еквівалентного моменту при відсутності поздовжньої сили.

Визначити допустимий діаметр валу редуктора з IV теорії міцності.

Перевірити міцність валу при наявності поздовжньої сили.

Задача 2. Для заданої просторової стержньової системи визначити коефіцієнт запасу міцності

Виписати для заданого варіанту чисельні дані. В певному масштабі накреслити схему заданої системи з зазначенням її лінійних розмірів і зовнішнього навантаження.

Побудувати епюри внутрішніх силових факторів на окремих ділянках та в стержньовій системі в цілому.

Обчислити компоненти напружень в заданому перерізі, побудувати епюри цих напружень.

Розглянути напружений стан в імовірно небезпечних точках поперечного перерізу та обчислити максимальні напруження.

Визначити найнебезпечнішу точку поперечного перерізу та знайти коефіцієнт запасу міцності.

1.3.3 Приклади розв'язання задач

Зразок виконання задачі 1 ? Розрахунок валу редуктора

Дано:



Приведення сил до осі валу редуктора

Точка

Після приведення в точці знаходяться поперечні сили: - паралельно осі , - паралельно осі ; поздовжня сила та моменти

- згинальний в площині ,

- крутний в площині .



Точка

Після приведення в точці знаходяться поперечні сили: - паралельно осі , - паралельно осі ; поздовжня сила та моменти

- згинальний в площині ,

- крутний в площині .

Точка

Після приведення в точці знаходяться поперечні сили - паралельно осі , - паралельно осі ; поздовжня сила и моменти

- згинальний в площині ,

- крутний в площині .



Згин у вертикальній площині (YOZ)

Визначення реакцій

Перевірка:



Побудова епюри згинальних моментів :

Згин в горизонтальній площині (XOZ)

Визначення реакцій



Перевірка:

Побудова епюри згинальних моментів :



Кручення (XOY)

Перевірка рівноваги валу:

Побудова епюри крутних моментів :



Розтягання - стискання

Визначення реакції :

Побудова епюри поздовжніх сил :



Визначення небезпечного перерізу вала редуктора

Допустиме напруження:

Внутрішні зусилля в перерізах:

Переріз К.

Переріз B.

Переріз (зліва).

Переріз (справа).

Переріз (справа).

Переріз L.

Еквівалентні моменти в перерізах:



- небезпечний переріз (справа).

Визначення діаметру вала з умови міцності в першому приближенні (без урахування поздовжньої сили).

З умови міцності згідно IV гіпотези маємо:

Приймаємо збільшений до найближчого стандартного значення діаметр - (див. п. 1.2.6).

Перевірка міцності валу з урахуванням дії поздовжньої сили

Визначаємо геометричні характеристики перерізу:



Максимальні напруження в перерізі (справа)

Перевіримо виконання умови міцності:

Перевіримо переріз (справа) з максимальною поздовжньою силою.



Перевіримо виконання умови міцності в перерізі (справа)

Остаточно приймаємо

Зразок виконання задачі 2 ? Розрахунок просторового брусу

Дано:

Побудова епюр внутрішніх силових факторів

- ділянка DK.

Вважаємо, що ділянка DK жорстко закріплена в точці D.



Вирази для внутрішніх силових факторів:

- згинальний момент:

Епюра згинального моменту будується в площині (YOZ), на стислих волокнах.

- поперечна сила:

- ділянка СD.

Вважаємо, що ділянка СD жорстко закріплена в точці С. Силу приводимо до точки D з додатковим моментом в площині .



Вирази для внутрішніх силових факторів:

- згинальні моменти:

Епюри згинальних моментів будуються у відповідних площинах, на стислих волокнах.

- поперечні сили:

- крутний момент:

- ділянка BC.

Вважаємо, що ділянка BC жорстко закріплена в точці B. Всі навантаження з точки D приводимо до точки С. При цьому виникають додаткові моменти в площині від дії сили та в площині від дії сили . Момент переноситься вздовж осі без змін.



Вирази для внутрішніх силових факторів:

- згинальні моменти:

Епюри згинальних моментів будуються у відповідних площинах, на стислих волокнах.

- поперечні сили:

- поздовжня сила:

- крутний момент:

- ділянка LB.

Вважаємо, що ділянка LB жорстко закріплена в точці B.



Вирази для внутрішніх силових факторів:

- згинальний момент:

Епюра згинального моменту будується в площині (YOZ) на стислих волокнах.

- поперечна сила:

- ділянка OB.

Ділянка OB жорстко закріплена в точці O. Всі навантаження переносимо в точку B з точок С та L.

Силу приводимо до точки B з додатковим моментом в площині .

Сила приводиться до точки B з додатковим моментом в площині .

При приведенні сили до точки B виникає додатковий момент в площині .

Моменти , , та сила переносяться вздовж осі Z без змін.

Моменти, що лежать в одній площині алгебраїчно просумуються:



в площині ;

в площині .

Сума сил та позначається як .

Вирази для внутрішніх силових факторів:

- згинальні моменти:

Епюри згинальних моментів будуються у відповідних площинах, на стислих волокнах.

- поперечні сили:



- поздовжня сила:

- крутний момент:

Епюри внутрішніх силових факторів просторового бруса:

- згинальний момент

- поперечні сили

- крутний момент



- поздовжня сила

Внутрішні зусилля в небезпечному перерізі ОО:

Визначення геометричних характеристик поперечного перерізу



Визначення максимальних значень компонент напружень

Побудова епюр напружень в поперечному перерізі



Визначення найнебезпечнішої точки поперечного перерізу

Підраховуємо еквівалентні напруження у восьми характерних точках небезпечного перерізу ОО:

Точка 1

Напружений стан - лінійний (одновісний)

Точка 2

Напружений стан - плоский (двовісний).



Точка 3

Напружений стан - лінійний (одновісний)

Точка 4

Напружений стан - плоский (двовісний).



Точка 5

Напружений стан - лінійний (одновісний)

Точка 6

Напружений стан - плоский (двовісний).

Точка 7



Напружений стан - лінійний (одновісний)

Точка 8

Напружений стан - плоский (двовісний).

Визначення коефіцієнта запасу

- умова міцності виконується.



1.3.4 Розрахункові схеми та чисельні дані

Задача 1. Розрахунок валу редуктора

Вхідні дані до задачі 1

nт		1,8	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8	2,7	2,6	2,5	2,4	2,3	2,2	2,5	2,8	2,2	2,3	1,8	2,4	2,0	2,5
ут	МПа	300	340	360	220	650	240	380	320	270	340	360	260	800	320	250	800	380	340	220	250	300	350	250	300
?4	см	15	12	10	8	12	15	8	10	10	8	15	12	8	10	12	15	10	15	8	12	15	10	12	15
?3		50	40	30	20	30	40	20	50	20	30	40	50	30	40	30	10	20	30	20	30	20	50	20	40
?2		20	30	40	50	30	40	50	20	40	30	20	30	40	20	30	40	30	20	30	20	30	20	30	20
?1		8	10	12	15	10	8	15	12	12	15	8	10	15	8	10	12	15	15	15	10	8	10	12	10
D3	см	10	10	6	8	8	10	8	8	6	10	8	8	6	8	10	10	8	10	8	10	6	10	8	6
D2		8	6	8	10	6	6	6	8	10	8	6	8	8	10	8	6	6	10	10	8	10	6	8	8
D1		6	8	10	6	8	10	10	8	8	6	6	10	10	8	6	8	10	6	8	8	6	6	10	8
M	кHм	2,4	1,2	0,6	2,0	2,4	1,5	1,2	2,4	4,0	0,6	1,2	2,2	2,0	1,6	1,0	2,6	1,2	0,6	2,0	1,0	2,4	2,4	2,0	2,1
F9	кH	10	-	-	-	15	20	25	30	10	15	20	25	30	-	-	-	25	15	-	-	20	10	-	20
F8		-	-24	20	20	-	-30	30	20	-	-12	30	5	-	-40	20	20	30	12	20	20	-	-	20	40
F7		20	30	40	10	20	30	40	10	20	30	40	10	20	30	10	10	40	30	10	20	20	20	10	20
F6		30	-	15	28	40	-	40	40	40	-	40	30	25	-	25	60	40	-	40	25	30	30	30	-
F5		-	30	-	-	-	20	-	-	10	30	20	10	30	20	10	30	-	30	-	10	-	30	-	30
F4		50	60	70	20	30	40	50	60	-	70	-	-	-	40	-	-	40	50	20	-	50	-	20	20
F3		-	-	10	-	20	30	10	20	-	-	30	-	10	20	30	10	10	-	-	20	-	-	-	40
F2		40	30	-	20	30	30	-	20	50	20	-	20	20	40	-	20	-	30	30	-	50	30	40	30
F1		10	15	20	20	-	-	30	-	35	10	45	20	-	-	30	-	20	10	20	30	10	20	40	-
№	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.	11.	12.	13.	14.	15.	16.	17.	18.	19.	20.	21.	22.	23.	24.

Задача 2. Складне деформування просторового бруса



Вхідні дані до задачі 2

№ вар.	Сили, кH	Довжини стержнів, см	Розмір перерізу, см	Границя текучості, МПа
1	40	-	-10	20	8	20	40	10	8	10	360
2	30	-20	-	40	10	30	50	12	10	12	240
3	40	30	40	-	12	40	30	14	12	14	650
4	10	-40	-	30	14	50	20	8	10	14	250
5	40	-	-20	10	12	20	50	14	8	12	380
6	20	20	30	-40	10	30	40	12	12	14	320
7	10	-	-40	20	8	40	20	10	10	12	360
8	30	40	-	30	10	50	30	8	8	10	340
9	10	-30	40	-	12	40	50	10	10	12	360
10	30	10	-	20	14	30	20	12	12	14	250
11	20	-	10	40	12	20	50	14	8	12	800
12	10	30	-40	10	10	30	20	12	10	12	320
13	30	-	30	40	8	40	30	10	12	14	250
14	20	20	-	-30	10	50	20	8	10	12	650
15	10	-30	20	-	12	40	30	10	8	14	300
16	30	40	-	10	14	30	40	12	12	14	340
17	40	-	-10	20	8	20	40	10	8	10	360
18	30	20	40	-	12	40	30	14	12	14	650
19	40	-	-20	10	12	20	50	14	8	12	380
20	10	-	-40	20	8	40	20	10	10	12	360
21	10	-30	40	-	12	40	50	10	10	12	360
22	20	-	10	40	12	20	50	14	8	12	800
23	30	-	30	40	8	40	30	10	12	14	250
24	10	-30	20	-	12	40	30	10	8	14	300

Контрольні питання

1. Яка комбінація внутрішніх зусиль при складному навантаженні стержня круглого перерізу дає дотичні і нормальні напруження у довільній точці перерізу?

2. Які внутрішні силові фактори у перерізі стержня мають місце при косому та просторому згинанні

3. Як визначити нормальні напруження у довільній точці перерізу стержня при косому згинанні?

4. Як проходить нейтральна лінія при позацентровому розтяганні (стисканні)?

5. Можлива чи ні поява нормальних напружень різних знаків при позацентровому розтяганні (стисканні), якщо нейтральна лінія проходить поза контуром перерізу або дотична до нього?

6. Чи можливе існування тільки розтягуючих напружень при позацентровому стисканні?

7. Чи можна скористуватися формулами еквівалентного моменту при розрахунках на згинання з крученням бруса прямокутного перерізу?

8. Як визначити небезпечні перерізи при сумісній дії згинання та кручення?

9. Як відшукати небезпечні перерізи в разі згинання силами, що діють у різних площинах?

10. Які відмінності має розташування нейтральної лінії при косому згинанні і позацентровому розтяганні (стисканні)?

11. Чи може виникати косе згинання при чистому згині стержня круглого перерізу?

12. Виникають або ні дотичні напруження у разі дії позацентрової поздовжньої сили?

13. Чи є залежність форми ядра перерізу від величини позацентрової поздовжньої сили?

14. Як залежить кут нахилу нейтральної лінії при косому згинанні від співвідношення згинальних моментів М_у / М_х ?

15. Як, знаючи положення нейтральної лінії, знайти найбільш напружені точки та побудувати епюру нормальних напружень?

16. Як розташовані точки перерізу, де діють максимальні нормальні напруження, по відношенню до нейтральної лінії?

17. Які внутрішні силові фактори виникають у перерізах брусу при косому згинанні?

18. Які внутрішні силові фактори виникають у перерізах брусу при позацентровому розтяганні (стисканні)?

19. Які комбінації силових факторів мають місце при складному деформуванні?

20. Які напруження виникають в точках вала круглого перерізу при згинанні з крученням?

21. Вкажіть можливі небезпечні точки бруса прямокутного перерізу при згинанні з крученням?

22. Які точки брусу прямокутного перерізу при позацентровому розтяганні (стисканні) є найбільш небезпечними?

23. Запишіть рівняння нейтральної лінії при позацентровому розтяганні (стисканні). З яких міркувань його отримують?

24. Як виглядають умови міцності при використанні третьої та четвертої гіпотез міцності?

25. Запишіть рівняння нейтральної лінії при косому згинанні . З яких міркувань його отримують?

26. Який напружений стан мають точки валу круглого перерізу при згинанні з крученням?

27. Як виглядає епюра нормальних напружень, що побудована по лінії, ортогональній до нейтральної?



2. Розрахунки статично невизначуваних стержньових систем

При практичних розрахунках реальних будівельних або машинобудівних конструкцій виникає проблема рішення задач визначення переміщень та напружень в складних стержньових системах, більшість яких є статично невизначуваними. Є декілька методів розкриття статичної невизначуваності, зокрема, метод сил та метод переміщень. При використанні цих методів необхідно визначати переміщення в довільних перерізах стержньової системи, тому розглянемо один з універсальних методів визначення переміщень для пружних систем.

2.1 Визначення переміщень в стержньових системах

Однією з найважливіших задач опору матеріалів є оцінка жорсткості конструкції, тобто визначення лінійних та кутових переміщень під дією зовнішнього навантаження для довільної стержньової пружної системи (балки, рами, криволінійного стержня, або ферми). Визначення переміщень є частиною метода сил при розкритті статичної невизначуваності стержньових систем. Також визначення переміщень є необхідною складовою рішення задачі при розрахунку конструкцій на динамічні навантаження.

Введемо позначення й основні поняття.

Згинальний момент від зовнішнього навантаження позначимо як . Згинальний момент від одиничної сили (моменту) - чи . Переміщення (прогин, кут повороту) від зовнішнього навантаження позначається , де перший індекс i зв'язаний з точкою та напрямком переміщення; другий індекс j зв'язаний з причиною, що викликала переміщення. Лінійне переміщення (прогин) від одиничної сили та кутове переміщення від одиничного моменту позначаємо .

2.1.1 Інтеграл Максвелла - Мора

Розглянемо балку довжиною , навантажену в точці 1 силою (рис. 35). Визначимо переміщення (у точці 2 від сили, прикладеної в точці 1).

1. Перший стан. У точці 1 прикладемо зосереджену силу F. Прогин у точці 1 дорівнює , у точці 2 ? . У перерізах балки виникає згинальний момент від зовнішнього навантаження . Сила F прикладається статично і виконує роботу на шляху . Визначаємо потенціальну енергію деформації, що виражена через згинальний момент [1]: . Потенціальна енергія деформації чисельно дорівнює роботі зовнішніх сил , тобто: .

2. Другий стан. У точці 2 статично прикладемо одиничну силу, що, згинаючи балку, виконує роботу на переміщенні . У перерізах балки виникає згинальний момент від одиничної сили. Робота одиничної сили . Потенціальна енергія деформації . Як і в попередньому випадку .

3. Третій стан. У точці 2 статично прикладемо одиничну силу, що, деформуючи балку, виконує роботу на переміщенні . До деформованої балки статично у точці 1 прикладемо зосереджену силу , що, деформуючи балку з уже прикладеною одиничною силою, виконує роботу (див. графік) на переміщенні . Точка 2 одержить ще переміщення , а одинична сила виконає роботу (див. графік) на переміщенні . Від дії сили й одиничного навантаження в перерізах балки виникає сумарний згинальний момент .

Рисунок 35

Робота двох сил визначиться як:

,

а потенціальна енергія пружної деформації виразиться через сумарний згинальний момент як:

.



Порівнюючи вирази для , після нескладних перетворень одержимо вираз для визначення переміщень, що носить назву «інтеграл Мора»:

. (2.1)

Якщо узагальнити вираз (2.1) на випадок сумісної дії згинання, розтягання та кручення, отримаємо формулу Максвелла ? Мора [2]:

. (2.2)

Індекси “x”, “y” в формулі (2.1.2) позначають головні осі перерізу ділянки стержня, індекс “к” - крутний момент, s ? номер ділянки довжиною , ? коефіцієнти, що залежать від форми перерізу.

Порядок визначення переміщень за допомогою інтеграла Максвелла ? Мора

1. Прикладаємо зовнішнє навантаження, визначаємо опорні реакції, розбиваємо балку на ділянки, записуємо вирази (функції) згинального моменту для кожної ділянки.

2. Замість заданого зовнішнього навантаження у точці, переміщення якої визначаємо, прикладаємо:

а) одиничну силу (при визначенні прогину);

б) одиничний момент (при визначенні кута повороту перерізу).

Визначаємо опорні реакції, на кожній ділянці записуємо вирази (функції) згинального моменту .

3. Підставляємо функції (вирази) і в інтеграл Мора (2.1) та робимо відповідні обчислення.

4. Якщо результат обчислень є додатним, то напрямок переміщення збігається з напрямком одиничного навантаження і навпаки.

Приклад

Консольна балка постійного поперечного перерізу (EI_x=const) довжиною навантажена на кінці зосередженою силою (рис. 36 а). Визначити прогин та кут повороту на кінці консолі.

1. Запишемо функцію (рис. 36 а).

2. У точці прикладаємо одиничну силу (рис. 36 б) та записуємо функцію .

3. Підставляючи й в інтеграл Мора (2.1), одержимо:

.

4. Для визначення кутового переміщення у точці прикладаємо одиничний момент (рис. 36 в) та записуємо функцію .

5. Підставляючи та в інтеграл Мора, одержимо:

.



Рисунок 36

Результат обчислення прогину додатний, тому напрямок дійсного переміщення збігається з напрямком одиничної сили. Результат обчислення кута повороту негативний, тому дійсний напрямок повороту перерізу в точці є протилежним напрямку одиничного моменту.

2.1.2. Обчислення інтеграла Мора способом перемноження епюр

Обчислення інтегралів Мора істотно спрощується, якщо одна з епюр прямолінійна. Ця умова виконується для систем, що складаються з прямих стержнів, оскільки при цьому епюри внутрішніх сил від одиничного навантаження (зосередженої сили або пари) завжди обмежені прямими лініями.

Правило Верещагіна. Графоаналітичний спосіб визначення інтеграла Мора був запропонований О.М. Верещагіним. Обчислення за цією формулою виконують по ділянках, на кожній з яких епюра від одиничного навантаження повинна бути прямолінійною (рис. 37).



Рисунок 37

Згідно формули Верещагіна інтеграл Мора дорівнює добутку площі епюри від зовнішнього навантаження на ординату одиничної епюри , розташованої під центром ваги епюри від заданого зовнішнього навантаження [1]:

(2.3)

Якщо обидві епюри прямолінійні, можна множити площу будь-якої з них на ординату іншої під центром ваги першої.

Коли епюра має складний вигляд, то її слід розбити на прості фігури, для яких легко визначити площу і положення центра ваги. При цьому кожну з площин треба множити на ординату одиничної епюри під центром ваги відповідної площі. Ординати в цьому разі зручно позначати замість літерами , де ? номер ділянки.

Отже,

(2.4)

Користуючись способом Верещагіна, необхідно пам'ятати, що добуток епюр позитивний, якщо ординати обох епюр відкладені з одного боку від осі стержня рами, і негативний, якщо ординати епюр відкладені з різних сторін. В тих випадках, коли одна з епюр криволінійна, береться площа криволінійної епюри, а ордината під її центром ваги з прямолінійної епюри. Особливості застосування правила Верещагіна видно з рис. 38 а,б.

Рисунок 38

Зазначимо, що епюри внутрішніх силових факторів від зовнішнього та одиничного навантажень на окремих ділянках стержня складаються з досить простих фігур: прямокутник, трикутник, парабола і т.д. Площа та координата центра ваги цих простих фігур наведені в таблиці 1:



Таблиця 1. Площі та координати центру ваги плоских фігур

Трикутник	Трикутник
Прямокутник	Парабола (квадратична) з вершиною в т. А
Парабола (квадратична) з вершиною в т.А	Парабола (квадратична) з вершиною в т.А

Наведемо ще два способу графоаналітичного визначення інтеграла Мора.

Правило трапецій (тільки для лінійних епюр - рис. 39 а).У випадку, коли епюра від зовнішніх навантажень , як і одинична є лінійною, формула Верещагіна (2.3) набуває вигляду



. (2.5)

Рисунок 39

Правило Симпсона ? Корноухова (для лінійних епюр та квадратичних парабол ? рис. 39 б). Якщо одна з епюр є квадратичною параболою або прямою, а інша ? прямою, то ефективним є застосування формули Симпсона ? Корноухова:

. (2.6)

Тут ? крайні ординати епюри (нелінійної або лінійної) на ділянці; - крайні ординати одиничної епюри (лінійної) на ділянці; і ? середні ординати епюр на ділянці.

2.1.3 Приклади визначення переміщень

Приклад 1 Для консольної балки, що навантажена силою та розподільним навантаженням на ділянці довжиною визначити вертикальне переміщення перерізу ? .

Рисунок 40

Дано: .

Визначаємо опорні реакції (рис. 40 а).

Навантажуємо балку одиничною силою у точці А (рис. 40 б), де треба визначити переміщення і визначаємо опорні реакції .

Записуємо рівняння згинальних моментів на ділянках балки від зовнішніх навантажень і одиничного навантаження .

Визначаємо вертикальне переміщення перерізу ? двома способами. По-перше, застосуємо інтеграл Максвелла - Мора:

Додатне значення прогину зазначає, що переріз переміщується в напрямку дії одиничного зусилля .

По-друге, для визначення прогину в перерізі А застосуємо графоаналітичний спосіб. Для цього необхідно мати епюри згинального моменту від зовнішнього (рис. 40 в) та одиничного (рис. 40 г) навантажень. На ділянці, де ? квадратична парабола, необхідно використовувати правило Симпсона - Корноухова (2.6), а на ділянці з лінійною залежністю - правило трапецій (2.5):

Двома методами отримано однакові результати, тому у наступних прикладах використовуємо графоаналітичний спосіб Верещагіна.

Приклад 2

Рисунок 41



Для шарнірно обпертої балки, навантаженою згинальним моментом та силою , визначити кутове переміщення в точці ? .

Дано:

Визначаємо опорні реакції (рис. 41 а).

Навантажуємо балку одиничним моментом в перерізі А (рис. 41 б), де треба визначити кутове переміщення і визначаємо опорні реакції :

Записуємо рівняння згинальних моментів від зовнішніх навантажень і одиничного навантаження на ділянках балки та будуємо епюри (рис. 41 в, г).



Визначаємо кут повороту графоаналітичним методом. На ділянках 2 та 3 використаємо правило Верещагіна, на ділянці 1 - правило трапецій:

Негативне значення кута повороту зазначає, що переріз А повертається в напрямку протилежному дії одиничного моменту , тобто в напрямку обертання часової стрілки.

Приклад 3

Рисунок 42

Для рамної конструкції, шарнірно обпертої в точках і , визначити повне лінійне переміщення в точці ? .

Дано:

Визначаємо опорні реакції :

Визначення повного переміщення точки А складається з двох частин: знаходження вертикального та горизонтального переміщень.

Рисунок 43

Для визначення вертикального переміщення допоміжну систему (рис. 43) навантажуємо одиничною вертикальною силою у точці А, де треба визначити це переміщення і визначаємо опорні реакції



.

В більшості випадків при визначенні переміщень в балках та пласких рамах можна враховувати тільки вплив згинального моменту.

Записуємо рівняння згинальних моментів від зовнішніх навантажень і одиничного навантаження на ділянках рами та будуємо епюри (рис. 2.10 а,б):

Рисунок 44



Для визначення вертикального переміщення в перерізі А використаємо графоаналітичний метод Верещагіна:

Рисунок 45

Для визначення горизонтального переміщення допоміжну систему навантажуємо одиничною горизонтальною силою у точці А, визначаємо опорні реакції (рис. 45)



Записуємо рівняння згинальних моментів від зовнішніх навантажень і одиничного навантаження на ділянках рами:

Будуємо відповідні епюри.

Рисунок 46

Визначаємо горизонтальне переміщення в перерізі :



Вектор повного переміщення дорівнює векторній сумі вертикального та горизонтального переміщень. Його числове значення визначається за формулою:

2.2 Статично невизначувані системи

2.2.1 Основні поняття та визначення

Рисунок 47

На рис. 47 а наведено шарнірно обперту балку.

Всі три реакції визначаються з трьох умов рівноваги плоскої системи сил.

Використовуючи метод перерізів, легко знайти внутрішні силові фактори у будь якому перерізі балки.

Додамо ще одну шарнірну-рухому опору в перерізі С (рис. 47 б). В наслідок цього система стала більш жорсткою, проте з погляду геометричної незмінюваності цей зв'язок «зайвий». Тепер з трьох рівнянь рівноваги чотири реакції визначити неможливо. Балка, що зображена на рис. 47 б, один раз статично невизначуван...