Расчет и исследование астатического электропривода малой мощности

8. Коэффициент влияния нестабилъности источника питания на выходное напряжение. Показывает изменение выходного напряжения при изменении напряжений питания (+ U и - U одновременно) на 1 В. Обычно дается в мкВ/В.

9. Входная емкость. Емкость между входными выводами и землей.

10. Ток потребления. Ток покоя (без нагрузки), потребляемый операционным усилителем.

11. Потребляемая мощность. Мощность (без нагрузки), рассеиваемая операционным усилителем.

12. Максимальная скорость нарастания выходного напряжения. Максимальная скорость изменения выходного напряжения, данная в В/мкс.

13. Предельно допустимые значения. Сюда относятся такие параметры, как максимальная рассеиваемая мощность, рабочий диапазон температур, максимальное напряжение питания, максимальная разность входных напряжений (между инвертирующим и неинвертирующим входами), максимальное напряжение синфазных входных сигналов и интервал температур хранения. Превышение этих максимальных значений приводит к повреждению операционного усилителя.

Неинвертирующий усилитель. Схема, показанная на рис. 1.17, позволяет использовать операционный усилитель в качестве неинвертирующего усилителя с высоким полным входным сопротивлением.

Коэффициент усиления всей схемы по напряжению может быть жестко задан с помощью сопротивлений R₁ и R_ос. Полное входное сопротивление всей схемы оказывается высоким, так как единственным путем для тока между входом и землей (входного тока) является высокое полное входное сопротивление операционного усилителя.

Рис. 1.17 Неинвертирующий усилитель

Сопротивления R₁ и R_ос образуют делитель напряжения с очень малой нагрузкой, в силу того, что ток, необходимый для управления усилителем, очень мал (I_см ? 0). Поэтому через R₁ и R_ос течет одинаковый ток, и напряжение, приложенное к инвертирующему входу, равно

.

Если, например, U_вх = 1 В, то усилитель будет реагировать на превышение U_д над U_вых/K, меняя выходное напряжение до тех пор, пока напряжение на инвертирующем входе не станет равным напряжению на неинвертирующем входе (т.е. U_д = U_вых/K ? 0). Если R₁ = 10 кОм и R_ос = 100 кОм, то U_вых должно стать равным 11 В для того, чтобы напряжение U_д стало настолько малым, чтобы точно соответствовать выходному напряжению усилителя. После этого выходное напряжение будет оставаться равным 11 В, пока не изменится входной сигнал.

Поскольку входное сопротивление операционного усилителя стремится к бесконечности, то , причем , . Напряжение на инвертирующем входе равно U_вх + U_д, поэтому

; ,

следовательно

.

В предположении, что коэффициент усиления усилителя без обратной связи K > ? и U_д ? 0, можно записать

.

Отсюда найдем коэффициент усиления замкнутого усилителя (с замкнутой обратной связью) K_ос. Решая уравнение

,

получим

.

Таким образом, значения сопротивлений R₁ и R_ос определяют коэффициент усиления схемы по напряжению. Формула для коэффициента усиления с замкнутой обратной связью неинвертирующего усилителя

верна в том случае, если K >> K_ос.

Сопротивление R₁ + R_ос выбирают таким образом, чтобы общий ток нагрузки с учетом этого сопротивления не превышал максимального выходного тока усилителя. В большинстве случаев следует стремиться использовать более низкие значения суммы R₁ + R_ос, чтобы свести к минимуму температурные шумы. Обычно значения данного сопротивления находятся в пределах 50 кОм-1 МОм.

Инвертирующий усилитель. Как следует из названия, входной и выходной сигналы инвертирующего усилителя сдвинуты по фазе на 180°. Здесь, как и в случае неинвертирующего усилителя, благодаря высокому коэффициенту усиления усилителя без обратной связи для изменения выходного напряжения усилителя во всем рабочем диапазоне достаточно малых значений U_д (обычно U_{вых.макс} немного меньше напряжения питания). Если на схему (рис. 1.18) подать положительное U_вх, то U_д станет положительным и выходной потенциал начнет снижаться (поскольку входное напряжение подано на инвертирующий вход усилителя).



Рис. 1.18 Инвертирующий усилитель

Выходное напряжение будет меняться в отрицательном направлении до тех пор, пока напряжение на инвертирующем входе (точка А на рис. 1.18) не станет почти нулевым: U_д = U_вых/K ? 0. Таким образом, сопротивления R₁ и R_ос действуют как делитель напряжения между U_вх и U_вых.

Выше было отмечено, что , поскольку входное сопротивление усилителя велико. Так как

; ,

то

.

Полагая U_д ? 0, получим

.

Коэффициент усиления с обратной связью

.

Сопротивление R₁ должно быть выбрано так, чтобы не нагружать источник напряжения U_вх, а сопротивление R_ос должно быть достаточно большим, чтобы чрезмерно не нагружать операционный усилитель.

Суммирующий усилитель (усилитель с дифференциальным входом). Поскольку, как было показано выше, разность напряжений между инвертирующим и неинвертирующим входами операционного усилителя мала (обычно менее 1 мВ), будем считать, что инвертирующий и неинвертирующий входы находятся под одинаковым напряжением, равным U_ос (рис. 1.19). Данная схема включения операционного усилителя применяется в проектируемом электроприводе (см. рис. 1.1), поэтому на рис. 1.19 используем соответствующие обозначения действующих значений входных сигналов усилителя U_з и U_б.

Отметим, что если напряжение U_з = 0, то усилитель по отношению к U_б будет действовать как инвертирующий усилитель, поскольку входной ток на неинвертирующем входе усилителя равен нулю (током смещения пренебрегаем). Следовательно, через R₂ и R_ос2 не протекает ток и напряжение U_ос равно нулю. Если же U_б будет равно нулю, а U_з ? 0, то усилитель будет действовать как неинвертирующий усилитель, у которого входное напряжение U_ос подается на неинвертирующий вход с делителя напряжения R₂ и R_ос2.



Рис. 1.19 Суммирующий (дифференциальный) усилитель

Если оба напряжения U_з и U_б подаются на соответствующие входы одновременно, то сигнал на инвертирующем входе вызовет такое изменение выходного напряжения, что напряжение в точке соединения сопротивлений R₁ и R_ос1 станет равно U_ос, причем , а не нулю, как было бы в случае обычного инвертирующего усилителя.

Выведем уравнение для выходного напряжения. Так как входное сопротивление усилителя велико, то

; ;

.

Приравнивая второй и четвертый члены в последнем выражении и решая полученное уравнение относительно выходного напряжения, получим

,

.

Полученное выражение для напряжения U_вых представляет собой сумму выражения для выходного напряжения неинвертирующего усилителя, в котором в качестве входного сигнала использовано U_ос, и выражения для U_вых инвертирующего усилителя. Поскольку U_ос - это напряжение в точке соединения сопротивлений R₂ и R_ос2, составляющих делитель напряжения, и к R₂ приложено напряжение U_з, то, как было показано выше,

.

Подставим данное выражение в формулу для U_вых и получим

.

Полученное выражение представляет собой общую формулу для определения U_вых. Если принять, что R₁ = R₂ и R_ос1 = R_ос2 (ситуация, которая часто встречается), то можно записать

или

.

В этой ситуации (R₁ = R₂ и R_ос1 = R_ос2) полярность выходного напряжения определяется большим из напряжений U_з и U_б. Выбор величин сопротивлений в данной схеме осуществляется аналогично выбору сопротивлений для инвертирующего и неинвертирующего усилителей.

1.5 Усилители мощности

В простейшем случае усилитель переменного тока состоит из предварительного усилителя напряжения, выполненного на операционном усилителе, и транзисторного двухтактного усилителя мощности. Входным воздействием в рассматриваемом случае является сигнал рассогласования.

Схема усилителя, показанная на рис. 1.20, включает в себя предварительный усилитель, собранный на интегральной микросхеме DA, и двухкаскадный двухтактный усилитель мощности [11].

Рис. 1.20 Усилитель мощности

Входной сигнал u_вх = Дu подается между общей точкой входа, которая образована делителем напряжения источника питания, делящим его пополам, и внешним добавочным резистором R1. Для ограничения больших уровней входного сигнала применен диодный ограничитель входа на диодах VD1 и VD2. При небольших сигналах рассогласования (доли вольта) сопротивление диодов VD1, VD2 достаточно велико, и все напряжение поступает на вход DA. При больших сигналах (десятки вольт) входной сигнал вследствие резкого уменьшения сопротивлений диодов будет ограничен падением напряжения на диодах в прямом направлении (0,3... 0,7 В), а остальное напряжение будет падать на резисторе R1 и внутреннем сопротивлении источника. Усилитель питается стабилизированным напряжением u_п, снимаемых со стабилитронов VD3 и VD4. Для питания микросхемы DA использованы ограничительные цепочки, состоящие из параллельно соединённых резисторов R3, R4 и R6, R7. Для фильтрации переменной составляющей к общей точке входа относительно источника питания подключены конденсаторы С2, С3. Нагрузка - обмотка управления двигателя - подключается между выходом усилителя и средней точкой.

В качестве усилителя мощности применен двухкаскадный усилитель на транзисторах VТ1 - VТ4 с симметричным входом и выходом. Выходной каскад построен по схеме двухтактного комплементарного (используются транзисторы разной проводимости) эмиттерного повторителя на транзисторах VТ3 и VТ4.

При условии симметрии схемы (R10 = R11) ток покоя транзистора VT3, протекающий через нагрузку от +u_п к средней точке, будет компенсироваться током покоя транзистора VT4, протекающего через нагрузку в обратном направлении от средней точки к -u_п, т.е. при нулевом входном сигнале выходное напряжение u_вых также равно нулю. Стабилизация тока покоя транзисторов осуществляется с помощью отрицательной обратной связи, реализуемой на резисторах R10, R11.

Для обеспечения режима работы транзисторов выходного каскада применен комплементарный каскад на транзисторах VT1, VT2, включенных по схеме однотактного эмиттерного повторителя для лучшего согласования сопротивлений. Сопротивления резисторов R8 и R9, задающих силу эмиттерных токов входных транзисторов и базовых токов выходных, выбираются небольшими для ограничения базовых токов транзисторов VT3, VT4.

При поступлении входного сигнала, отличного от нуля, в положительные полупериоды ток транзистора VT1 уменьшается, а ток VT3 возрастает; в нижнем плече, наоборот, возрастает ток транзистора VT2, а ток VT4 уменьшается. В результате через нагрузку будет протекать разностный ток, определяемый большим током транзистора VT3. Нижнее плечо усилителя определяет соответственно направление тока в нагрузке в отрицательные полупериоды. Таким образом, фаза и сила тока в нагрузке зависят от фазы и значения входного сигнала. Конденсатор С1 служит для увеличения крутизны фронтов выходного сигнала.

Чтобы повысить коэффициент усиления по переменному току, использован операционный усилитель DA, не охваченный обратной связью. Однако для обеспечения устойчивости весь усилитель с помощью резистора R12 охвачен отрицательной обратной связью по напряжению. Резистор R2 служит для симметрирования операционного усилителя, резистор R5 определяет коэффициент передачи усилителя напряжения.

При работе выходных транзисторов на индуктивную нагрузку (обмотку управления) появляется отрицательный импульс напряжения, который в момент открывания выходных транзисторов создает на переходе база-эмиттер напряжение, превышающее допустимое. Для ограничения обратного напряжения в цепь коллектор-эмиттер каждого выходного транзистора включен ограничитель на диодах VD5, VD6.

Более сложный по функциональному назначению усилитель, построенный по схеме усилитель напряжения-демодулятор-корректирующее устройство-модулятор-усилитель мощности, показан на рис. 1.21. Особенностью данного усилителя является то, что вместо источника двуполярного питающего напряжения применен один источник, имеющий суммарное напряжение. Это допустимо, так как при усилении сигнала переменного тока нет необходимости в нулевом потенциале на выходе интегрального операционного усилителя относительно общей шины.

Для обеспечения режима питания микросхем служат ограничительные резисторы R24, R26. Для фильтрации переменной составляющей включен конденсатор С9. Входной сигнал через разделительный конденсатор С1 и резистор R1 поступает на инвертирующий вход ОУ DA1. Коэффициент усиления этого каскада определяется отношением R3/R1. Усиленный сигнал подается на двухполупериодный демодулятор, выполненный на базе ОУ DA2 с управляемым ключом в цепи прямого входа. В качестве ключа служит полевой транзистор VT1 с элементами, формирующими опорное напряжение u_оп, трансформатором Т, диодом VD1 и резистором R6. В полупериод u_оп, когда диод VD1 открыт, напряжение u_з.и (затвор-исток) транзистора равно нулю, транзистор VT1 открыт, т. е. ключ замкнут. Так как неинвертирующий (прямой) вход ОУ соединен с землей, управляющий сигнал через инвертирующий вход ОУ поступает на выход с коэффициентом передачи k_п = -1 (при условии, что R4 = R7). В другой полупериод u_оп диод VD1 закрыт, транзистор также, а ключ разомкнут, и управляющий сигнал через прямой вход ОУ поступает на выход с коэффициентом передачи k_п = 1 (при условии, что R5 = R7). Выпрямленный сигнал фильтруется цепочкой R8, С2 и поступает на корректирующее устройство, которое выполнено на ОУ DA3, резисторах R9, R10, R12, R13 и конденсаторах С3, С4.

Модуляция скорректированного сигнала осуществляется поочередным замыканием и размыканием ключа, собранного на полевом транзисторе VT2 в цепи прямого входа усилителя DA4. Назначение резисторов R14-R17, диода VD2, трансформатора Т аналогично назначению элементов рассмотренного выше демодулятора.



Рис. 1.21 Усилитель с преобразованием

Входной сигнал через резистор R15 попадает на инвертирующий вход, а через резистор R16 - на прямой вход ОУ DA4. В замкнутом состоянии ключ шунтирует прямой вход DA4, и сигнал, проходя через ОУ, инвертируется. При разомкнутом ключе - не инвертируется, что соответствует двухполупериодной модуляции. Сигнал с выхода модулятора фильтруется конденсатором С5 и через разделительный конденсатор С6 поступает на каскад промежуточного усиления напряжения, собранный на ОУ DA5, резисторах R18, R19, R20, R22. На резисторах R18, R19 сигнал прямой цепи суммируется с сигналом внутренней обратной связи. Резисторы R2, R11, R20 обеспечивают режим работы ОУ по току.

Далее сигнал по мощности усиливается транзисторами VT3-VT6. Выходной каскад усилителя выполнен на транзисторах VT5, VT6 по двухтактной схеме с последовательным управлением транзисторов. Здесь входным является составной транзистор VT4, VT6, включенный по схеме с общим эмиттером, а выходным - транзистор VT5. Для исключения паразитных обратных связей применен развязывающий фильтр С10, С11, ограничивающий помехи по питанию.

Нагрузка (обмотка управления двигателя М) подключается к выходу усилителя и общей шине. Транзистор VT3 служит для управления токами транзисторов VT4, VT6. При отсутствии сигнала рассогласования транзистор VT5 открыт за счет смещения, создаваемого на резисторе R29. Конденсатор С11 заряжается до напряжения источника питания, и ток через обмотку управления не течет.

При появлении сигнала рассогласования в положительный полупериод открываются транзисторы VT3, VT4 (за счет смещения на резисторе R28) и VT6. Конденсатор С11 начинает разряжаться по цепи VD3, VT6, -u_п, обмотка управления М. За счет падения напряжения на диоде VD3 транзистор VT5 подзапирается. Во второй полупериод управляющего сигнала транзисторы нижней половины схемы VT3, VT4, VT6 закрыты, открыт транзистор VT5. Начинается подзаряд конденсатора С11 по пути +u_п, VT5, С11, обмотка управления М, -u_п.

Ток через обмотку управления протекает сверху вниз. Фаза и амплитуда тока управления будут зависеть от фазы и амплитуды входного сигнала.

Для уменьшения нелинейных искажений и коррекции частотной характеристики введена отрицательная обратная связь - цепочка R21, С8. Резистор R28 предназначен для выбора начальной рабочей точки составного транзистора, резисторы R23, R25, R27 определяют режим работы транзистора VT3. Конденсатор С7 пропускает только переменную составляющую сигнала.

1.6 Редукторы

Редуктором называется зубчатая, червячная или другого типа передача, заключенная в корпус, предназначенная для уменьшения угловых скоростей и увеличения крутящих моментов [6]. Такая же передача в отдельном корпусе, но предназначенная для увеличения угловых скоростей, называется мультипликатором.

При небольших размерах электродвигателя его часто укрепляют непосредственно на корпус редуктора. В том или другом случае установка будет компактной, снизится вес конструкции и в отдельных случаях будет исключено применение соединительных муфт, так как такие редукторы могут быть приведены в действие непосредственно от шестерни (трибки), насаженной на вал электродвигателя. На рис. 1.22, а показан общий вид одноступенчатого редуктора с литым корпусом, мощностью 50 Вт, а на рис. 1.21, б - двухступенчатый редуктор, мощностью 100 Вт.



а б

Рис. 1.22 Общий вид: а) одноступенчатого редуктора мощностью 50 Вт, с неразъёмным корпусом; б) двухступенчатого редуктора мощностью 100 Вт

Представленные на рис. 1.22 редукторы имеют компактную конструкцию, простую форму корпуса и приводятся в действие непосредственно от вала электродвигателя, корпус которого жестко соединен с корпусом редуктора. Для ознакомления с формами конструкций, габаритными размерами и другими параметрами редукторов малой мощности рассмотрим краткое описание некоторых из них.

На рис. 1.23 представлен одноступенчатый приборный редуктор с цилиндрическими колёсами для передачи небольшой мощности.

Редуктор размещен в пластмассовом неразъемном корпусе 1, сверху которого винтами укреплена металлическая смотровая крышка. Валы 2 и 3 вращаются в бронзовых подшипниках скольжения 4 и 5, укрепленных в корпусе. На валу 2 расположен блок 6, состоящий из трех зубчатых колес, входящих в зацепление с зубчатыми колесами подвижной каретки 7. Перемещение каретки по валу осуществляется вручную с помощью рычажной отводки. Вал 3 редуктора имеет паз 8, в котором скользят два штифта 9, расположенные в ступице каретки 7. Перемещая каретку по валу, можно получить три передаточных отношения:

; ; .

Рис. 1.23 Редуктор приборный одноступенчатый: 1 - корпус; 2 - вал; 3 - вал ведущий; 4 - втулка; 5 - втулка; 6 - блок из трех зубчатых колес; 7 - подвижная каретка; 8 - паз; 9 - штифты

Смазка редуктора осуществляется периодически жидким маслом через отверстия, имеющиеся во втулках. Для предупреждения осевого перемещения валов применены стопорные винты и шплинты.

Двухступенчатый редуктор показан на рис. 1.24. Передача заключена в чугунный литой корпус 1 и состоит из двух пар зубчатых колёс с общим передаточным числом (первая ступень , вторая ступень ). Мощность редуктора 280 Вт. Скорость вращения быстроходного вала 1400 об/мин, тихоходного вала - 97 об/мин.



Рис. 1.24 Общий вид цилиндрического двухступенчатого редуктора: 1 - корпус; 2 - смотровое отверстие; 3 - маслоуказатель; 4 - маслосливная пробка

Валы вращаются в шарикоподшипниках. Смазка зубчатых колес производится жидким маслом, залитым в корпус редуктора. Подшипники имеют консистентную смазку. Для защиты подшипников от вымывания и разжижения консистентной смазки на валах предусмотрены маслосъемные кольца. Маслоуказатель 3 жезлового типа. Маслоспускное отверстие закрыто пробкой 4.



2. расчет и моделирование неизменяемой части электропривода

2.1 Выбор исполнительного двигателя по эквивалентному рабочему циклу

Как правило, закон изменения воспроизводимой электроприводом величины представляет собой некоторую периодическую функцию времени. Такое периодическое изменение воспроизводимой величины, являющееся рабочим циклом системы, при выборе исполнительного двигателя следует заменить эквивалентным циклом.

Наиболее характерным эквивалентным циклом для автоматизированного электропривода является синусоидальный цикл [9]. В этом случае положение вала объекта управления б определяется по формуле

,

где , Т - период эквивалентного цикла.

Выражения для скорости и ускорения при этом запишутся в виде

;

.

При применении синусоидального эквивалентного цикла двигатель выбирают по эквивалентному моменту М_экв, исходя из условия

М_дв.ном ? М_экв. (2.1)

Известно, что эквивалентный момент

, (2.2)

где М_дв - мгновенное значение момента двигателя.

При синусоидальном рабочем цикле и статическом моменте сопротивления нагрузки М_c = const

. (2.3)

Статический момент сопротивления нагрузки после приведения к валу двигателя определяется выражением

, (2.4)

где i и з - передаточное отношение и КПД редуктора.

Динамический момент на валу двигателя, с учетом приведенных к валу момента инерции редуктора J_ред и момента инерции нагрузки (объекта управления) J_нагр

, (2.5)

где J_дв - момент инерции двигателя.

Подставим в формулу (2.3) выражения (2.4) и (2.5)



. (2.6)

Введём в (2.6) среднеквадратичное значение ускорения

. (2.7)

Произведем в подкоренном выражении формулы (2.7) замену и исследуем его на минимум по величине i

;

, (2.8)

откуда оптимальное передаточное отношение редуктора

. (2.9)

Подставим значение i_o из формулы (2.9) в выражение для эквивалентного момента (2.7)



. (2.10)

Однако, поскольку величина неизвестна, то по выражению (2.10) найти эквивалентный момент невозможно.

Если максимальная скорость вращения двигателя

,

где а = 1,2 - коэффициент кратковременного допустимого увеличения скорости вращения двигателя выше номинальной, и, в то же время

,

то

.

Под оптимальной скоростью вращения двигателя будем понимать номинальную скорость, которая соответствует i_o при некотором значении коэффициента а

. (2.11)

На основании выражений (2.11) и (2.8) можно записать



. (2.12)

Величина оптимальной скорости по формуле (2.12) также не может быть определена, так как неизвестен момент инерции - величина .

С целью упрощения расчетов введем зависящие только от параметров нагрузки и закона движения объекта управления коэффициенты и , которые определяются из соотношений (2.10) и (2.12). Кроме того, на первом этапе расчета пренебрежем моментом инерции редуктора и предположим, что его КПД з = 1,0, если его значение не задано

; (2.13)

. (2.14)

Из выражений (2.13) и (2.14) видно, что коэффициенты и могут быть легко вычислены при заданных параметрах нагрузки. Если по каталогу выбрать двигатель, имеющий

, (2.15)

, (2.16)

То

,

.

Очевидно, что мощность двигателя

.

После выбора двигателя по коэффициентам и определяется передаточное отношение редуктора по формуле

. (2.17)

В результате расчёта редуктора могут быть определены значения его КПД и момента инерции.

Таким образом, представляется возможным рассчитать величину среднеквадратичного момента по формуле (2.6). Затем необходимо проверить выполнение условия

.

Кроме того, определив требуемый момент по формуле



,

проводят проверку на кратковременную перегрузку

.

Проверка требования по увеличению скорости в данном случае не требуется.

Если хотя бы одна из проверок выявит несоответствие режима работы двигателя допустимому, то следует из ряда двигателей выбранной серии взять двигатель, следующий по мощности, и вновь произвести проверку.

Пример 2.1. Произвести выбор асинхронного исполнительного двигателя (по прил. П. 2 или П. 3) на основании следующих исходных данных:

момент инерции нагрузки ;

статический момент сопротивления ;

КПД ;

эквивалентный рабочий цикл ;

период эквивалентного рабочего цикла Т = 10 с;

максимальное значение угла поворота вала рад;

круговая частота рабочего цикла с-¹.

Решение. Скорость и ускорение на валу нагрузки в рабочем цикле:

;

рад/с;

;

рад/с².

Среднеквадратичное значение ускорения

рад/с².

По формуле (2.13) определяем коэффициент

По формуле (2.14) определяем коэффициент

Мощность двигателя

Вт.

По прил. П. 2 выбираем асинхронный исполнительный микродвигатель серии ЭМ-1М и сводим в табл. 2.1 его основные технические данные.

Таблица 2.1

Основные технические данные двигателя серии ЭМ-1М

Тип	Р, Вт	n, об/мин	f, Гц	Uy, В	Мдв, Г · см	Мп, Г · см	dрот, мм	mрот, кг
ЭМ-1М	1	2500	50	36	38	70	3	0,03

Номинальный вращающий момент выбранного двигателя в системе СИ М_дв.ном ? 0,0038 Н · м (так как 1 кГ · м ? 9,81 Н · м).

Номинальная скорость двигателя, рад/с

рад/с.

Момент инерции двигателя

кг · м².

Определяем коэффициенты и по формулам (2.15) и (2.16)



Полученные значения коэффициентов и близки к требуемым.

Рассчитываем передаточное отношение редуктора по формуле (2.17)

.

Конструктивный расчет редуктора производить не требуется.

Определяем среднеквадратичный момент по формуле (2.7)

М_дв.ном = 0,0038 Н · м ? М_экв = 0,00155 Н · м,

т.е. условие проверки по нагреву выполняется.

Найдем максимальный требуемый момент по формуле

и произведем проверку на кратковременную перегрузку

.

Таким образом, двигатель типа ЭМ-1М выбран правильно.

2.2 Моделирование неизменяемой части электропривода

Для расчета и моделирования неизменяемой части электропривода сформируем систему исходных данных (см. прил. П. 1):

- момент инерции нагрузки ;

- статический момент сопротивления ;

- КПД ;

- эквивалентный рабочий цикл ;

- период эквивалентного рабочего цикла Т, с;

- максимальное значение угла поворота вала , рад;

- круговая частота рабочего цикла , с-¹;

- коэффициент передачи усилителя мощности k_у;

- постоянная времени усилителя мощности Т_у, с;

- коэффициент передачи датчика положения k_дп, В/рад^** коэффициент передачи датчика положения k_дп включает в себя коэффициенты передачи вращающегося трансформатора, демодулятора и усилителя.;

- ошибка по скорости , угл. мин;

- ошибка по ускорению , угл. мин;

- перерегулирование у, не более.

Пример 2.2. Определить передаточные функции и составить структурную схему динамической модели (ССДМ) электропривода согласно рис. 1.1. Провести моделирование в среде MatLab Simulink. Для расчета использовать технические данные двигателя серии ЭМ-1М и результаты вычислений, полученные в примере 2.1. Для моделирования принять следующие исходные данные:

- момент инерции нагрузки ;

- статический момент сопротивления ;

- КПД ;

- эквивалентный рабочий цикл ;

- период эквивалентного рабочего цикла Т = 10 с;

- максимальное значение угла поворота вала рад;

- круговая частота рабочего цикла с-¹;

- коэффициент передачи усилителя мощности k_у = 10;

- постоянная времени усилителя мощности Т_у = 0,005 с;

- коэффициент передачи датчика положения k_дп = 12 В/рад;

- ошибка по скорости = 15 угл. мин;

- ошибка по ускорению = 25 угл. мин;

- перерегулирование у ? 10 %.

Решение. Определим передаточную функцию двигателя, используя выражение (1.12)

.

Коэффициент момента по (1.10)



.

Коэффициент внутреннего демпфирования по (1.11)

.

Коэффициент передачи двигателя

.

Электромеханическая постоянная времени двигателя

с.

Передаточная функция асинхронного исполнительного двигателя

.

Структурная схема динамической модели (ССДМ) двигателя с учетом воздействия момента сопротивления представлена на рис. 2.1.



Рис. 2.1 Структурная схема динамической модели асинхронного исполнительного двигателя

Передаточная функция усилителя мощности

.

Передаточная функция редуктора

.

Передаточная функция датчика положения

В/рад.

Составим ССДМ неизменяемой части электропривода, показанную на рис. 2.2.



Рис. 2.2 Структурная схема динамической модели неизменяемой части электропривода

Вычислим значение коэффициента

.

ССДМ неизменяемой части электропривода, реализованная в среде MatLab Simulink, представлена на рис. 2.3.

Рис. 2.3 Структурная схема динамической модели неизменяемой части электропривода в MatLab Simulink

Поскольку передаточная функция двигателя была получена без учета момента сопротивления (см. выражения (1.7)-(1.9)), моделирование проводится при М_с = 0.

Результаты моделирования представлены на рис. 2.4-2.6.

В качестве регистрируемой координаты принимаем напряжение на выходе датчика положения , что позволяет проводить исследование системы с единичной обратной связью. Очевидно, что значение выходной координаты (см. рис. 1.1, 2.2) будет отличаться от угла поворота вала нагрузки б на величину . Задаем в блоке Step напряжение u_з = 1,58 В. Графики зависимостей и показаны на рис. 2.4.

, , В

t, c

Рис. 2.4 Графики зависимостей: 1) ; 2)

Из анализа рис. 2.4 видно, что значения задающего воздействия (график 1) и выходной координаты (график 2) в установившемся режиме равны между собой, т.е. ошибка электропривода при неизменном задающем воздействии равна нулю.

Линейно возрастающее воздействие формируется блоком Ramp, в диалоговое окно которого в строке Slope вводим значение 0,992, соответствующее максимальной скорости на валу нагрузки .

Графики зависимостей и при линейно возрастающем задающем воздействии показаны на рис. 2.5.

, , В

t, c

Рис. 2.5 Графики зависимостей и при линейно возрастающем задающем воздействии

Поскольку электропривод обладает астатизмом первого порядка, то, как следует из рис. 2.5, при линейно возрастающем задающем воздействии имеет место ошибка Дu = 0,1646 В (см. значение ошибки в блоке Display на рис. 2.3). График ошибки показан на рис. 2.6.



, В

t, c

Рис. 2.6 График ошибки при линейно возрастающем задающем воздействии

Из задания (см. пример 2.2) следует, что требуемое значение ошибки по скорости = 15 угл. мин, т.е. фактическое значение ошибки

рад,

или

угл. мин.

превышает заданное значение более чем в три раза, что недопустимо.

Таким образом, выбранная и рассчитанная неизменяемая часть электропривода не удовлетворяет требованию по точности воспроизведения задающего воздействия, и электропривод нуждается в корректирующем устройстве.

3. Методика синтеза регулятора положения с применением частотных характеристик

В практике проектирования автоматизированного электропривода, особенно при синтезе корректирующих устройств, широко применяются частотные методы. Использование логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) делает частотные методы достаточно простыми и наглядными в инженерных приложениях к расчету систем управления электроприводов. Неплохо зарекомендовал себя метод синтеза корректирующих устройств с применением ЛЧХ на основе критерия динамической точности системы при воспроизведении гармонического задающего воздействия [5, 7]. Колебательность системы в данном случае оценивается так называемым показателем колебательности. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

3.1 Показатель колебательности в системах управления

Пусть дана линейная система (рис. 3.1, а) с частотной передаточной функцией в разомкнутом состоянии

где и ц(щ) - амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутой системы.

Для замкнутой системы частотная передаточная функция запишется в виде

где = М(щ), ц_з(щ) - амплитудная и фазовая частотные характеристики замкнутой системы.

Для амплитудной частотной характеристики (АЧХ) замкнутой системы характерным является наличие максимума усиления по амплитуде при некотором значении частоты щ = щ_р (рис. 3.1, б). Показателем колебательности линейной системы называется максимальное значение ординаты АЧХ замкнутой системы М_max при начальной ординате, равной единице.

Физически показатель колебательности характеризует резонансные свойства замкнутой системы при подаче на ее вход гармонических воздействий. Чем больше показатель колебательности, тем система более склонна к колебаниям в ее свободном и вынужденном движениях.

Рис. 3.1 Определение показателя колебательности

Показатель колебательности можно также определить и по амплитудной фазовой частотной характеристике (АФЧХ) W(jщ) разомкнутой системы.

Найдем геометрическое место точек на комплексной плоскости U, jV (рис. 3.1, в), соответствующие постоянному значению М = const амплитудной характеристики замкнутой системы (рис. 3.1, б), т.е. отобразим т. а с ординатой М на комплексную плоскость U, jV. Показатель колебательности

.

Возведя в квадрат правую и левую части последнего равенства, получим

.

После деления всех членов выражения на и прибавления и вычитания члена , запишем

.

Последнее выражение представим в виде

, (3.1)

или

, (3.2)

где

, . (3.3)

Уравнение (3.2) есть уравнение окружности с координатами центров U₀, j0 и радиусами R.

Следовательно, постоянным значениям М ординаты АЧХ замкнутой системы на плоскости U, jV соответствуют окружности. На рис. 3.1, г изображены окружности для различных значений М = const. Значение М той окружности, которой касается АФЧХ разомкнутой системы W(jщ), и будет показателем колебательности. Следовательно, обеспечение заданного показателя колебательности М в линейной системе связано с требованием незахождения АФЧХ W(jщ) в некоторую запретную зону, охваченную окружностью заданного значения М = const (заштрихованная область на рис. 3.1, в).

Для всех окружностей при расстояние по оси вещественных до ближайшей точки от начала координат

,

а расстояние до наиболее удаленной точки



.

Величина М может быть определена и в случае использования логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ). Для этого следует запретные зоны М = const (рис. 3.2, а) отобразить на логарифмическую плоскость. На окружности возьмём произвольную точку В и из начала координат проведем в неё вектор А. Угол м, образованный этим вектором и отрицательной полуосью вещественных, является запасом по фазе для той системы, у которой частотная характеристика W(jщ) касается окружности М = const в точке В.

Рис. 3.2 Определение показателя колебательности с использованием логарифмических частотных характеристик

Величину запаса по фазе м можно определить из треугольника ОВО₁, если по теореме косинусов записать соотношение

,

откуда

.

Подставив в последнее выражение значения , , окончательно получим

. (3.4)

Из рис. 3.2, а видно, что полученная зависимость существует только для модулей, лежащих в пределах . В противном случае запас по фазе может быть любым, так как конец вектора не может попасть в запретную зону. Максимальное значение запаса по фазе будет при R, перпендикулярном А, т.е.

(3.5)

при

. (3.6)

Задаваясь значениями М = const по формуле (3.4) можно построить графики м = f(A). При построении м-кривых модуль откладывается в децибелах, а запас по фазе в градусах. Имея м-кривые и построенную логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ), легко построить запретную зону для логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ), как это изображено на рис. 3.2, б. Каждому значению М = const будет соответствовать своя запретная зона и тем большая, чем меньше показатель колебательности. Показатель колебательности определится как М той запретной зоны, которой касается ЛФЧХ разомкнутой системы, не заходя в нее.

3.2 Желаемые логарифмические амплитудные частотные характеристики

Вид желаемой ЛАЧХ должен гарантировать необходимый запас по фазе м. Из условия получения достаточного запаса по фазе при применении простых последовательных корректирующих устройств в системах с нулевым, первым и вторым порядками астатизма наиболее подходящими являются шесть типовых ЛАЧХ, которые обозначаются буквами A, B, C, D, E, F или цифрами соответственно наклонам асимптот (рис. 3.3).



Рис. 3.3 Типовые логарифмические амплитудные частотные характеристики

Известно, что если частотная передаточная функция W(jщ) относится к классу минимально-фазовых, то значительный запас устойчивости по фазе при частоте среза щ_с будет обеспечиваться лишь в том случае, если в окрестности частоты среза ЛАЧХ имеет достаточно протяженный участок h с наклоном -20 дБ/дек. Увеличение ширины этого участка желательно, так как при этом увеличивается запас по фазе. Увеличение же протяженности участка h₁ с наклоном -40 дБ/дек левее частоты среза приводит к набеганию фазовой характеристики к критическому значению -180°, т.е. к уменьшению запаса по фазе. Поэтому на протяженность участка h₁ должны быть наложены ограничения.

Возьмем желаемую асимптотическую ЛАЧХ линейной части типа В (рис. 3.4) и найдем связь протяженностей участков h и h₁ с показателем колебательности. При построении ЛАЧХ будем использовать относительные единицы, а сами характеристики в относительных единицах будем называть нормированными. На рис. 3.4 по оси абсцисс отложена относительная частота н = щ/щ₀.



Рис. 3.4 Желаемая ЛАЧХ типа В

Нормированное значение передаточной функции для ЛАЧХ типа В будет

, (3.7)

где - новое значение оператора; ф₁ = щ₀Т₁, ф₂ = щ₀Т₂, ф₃ = щ₀Т₃ - относительные постоянные времени.

Протяженность участка ЛАЧХ с наклоном -20 дБ/дек

, (3.8)

а протяжённость участка ЛАЧХ с наклоном -40 дБ/дек

. (3.9)

С учётом (3.8) и (3.9) нормированную передаточную функцию (3.7) запишем в виде

,

а соответствующая ей нормированная частотная передаточная функция при замене s = jн будет

. (3.10)

Согласно (3.10) ЛФЧХ системы определится соотношением

, (3.11)

откуда запас по фазе

. (3.12)

При достаточной протяженности участков h и h₁ ЛАЧХ для частот, близких к н = н_m, разность



> 0

будет величиной сравнительно малой. Тогда для определения протяженности участка h можно ограничиться рассмотрением приближенного соотношения

. (3.13)

Исследуя (3.13) на максимум, получим

, (3.14)

откуда максимальное значение запаса по фазе

. (3.15)

С другой стороны, максимальный запас по фазе согласно (3.4) можно связать с показателем колебательности

. (3.16)

Приравнивая значения из (3.15) и (3.16), получим зависимость между протяженностью участка h и показателем колебательности М



, (3.17)

. (3.18)

Определим оптимальное значение относительной постоянной времени ф, соответствующее минимальному значению показателя колебательности, полученного из (3.18) при заданной протяженности участка h с наклоном -20 дБ/дек.

Для уменьшения влияния больших и малых постоянных времени на запас по фазе при частоте н = н_m участок ЛАЧХ с наклоном -20 дБ/дек располагаем симметрично относительно частоты н_m. Протяженности участков от н₂ до н_m и от н_m до н₃ в соответствии с логарифмической шкалой будут составлять величину (рис. 3.4).

Протяженность участка между частотами н_m до н_с может быть определена из усиления по амплитуде при частоте н_m, которое составляет . Для участка ЛАЧХ с наклоном -20 дБ/дек при R_c = 1 можно записать

. (3.19)

Протяжённость участка н_z можно представить как половину протяженности от суммы участков и (рис. 3.4), что в переходе от логарифмического масштаба к относительным частотам дает

. (3.20)

Тогда для относительной частоты н₃ можно записать и, следовательно, относительная постоянная времени ф₃ с учетом (3.19) и (3.20)

. (3.21)

Подставляя в полученную формулу значение h из (3.17), получим

. (3.22)

Значение относительной постоянной времени ф₂ будет

. (3.23)

Для определения протяженности участка h₁ (рис. 3.4) потребуем, чтобы запас по фазе при частоте н_b, соответствующей середине участка h₁, составлял величину м_m. Тогда согласно (3.12) имеем

,

или

.

Взяв тангенсы от разностей углов, соответствующих левой и правой частям последнего равенства, получим

. (3.24)

Подставляя значение и учитывая, что h = н₃ / н₂ = ф₃ / ф₂, , имеем .

Разрешая последнее равенство относительно h, получим формулу, связывающую значения протяжённостей участков h и h₁ с показателем колебательности

. (3.25)

Запишем формулы, связывающие протяжённости участков h и h₁ с показателем колебательности для желаемых ЛАЧХ типов A, D, E:

- для ЛАЧХ типа А

; (3.26)

- для ЛАЧХ типа D



; (3.27)

- для ЛАЧХ типа Е

. (3.28)

По формулам (3.25)-(3.28) определяются значения h и h₁, удовлетворяющие заданным значениям показателя колебательности. Результаты вычислений сведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

М	1,1	1,3	1,5	2	2,5
h	21	7,7	5	2	2,33
h1	A	5,5	8,9	12,7	28	42
	B	2,05	3,35	4,8	10	14,1
	C	5,5	8,9	12,5	26,6	40
	D	1,9	2,8	3,6	6,1	7,2

3.3 Синтез регулятора положения

В системах управления подъем желаемой ЛАЧХ определяется по заданной точности. По допустимой ошибке определяется коэффициент передачи системы K в разомкнутом состоянии. Желаемая ЛАЧХ должна иметь подъем горизонтального участка статических систем и начального участка с наклоном -20 дБ/дек при щ = 1 1/с систем с астатизмом первого порядка на величину L₀ = 20lgK (рис. 3.5, а, б).

Рис. 3.5 Желаемые ЛАЧХ для систем с астатизмом нулевого и первого порядка

В системах с астатизмом первого порядка, и в частности в типовых следящих системах или, как в нашем случае, системе программного управления, наиболее просто можно оценить точность и определить положение желаемой ЛАЧХ по воспроизведению системой эквивалентного гармонического воздействия.

Очевидно, можно подобрать гармоническое входное воздействие, приложенное к системе с частотой Щ_з и амплитудой u_зmax, т.е.

, (3.29)

максимальная ошибка воспроизведения которого будет равна заданной допустимой ошибке.

При воспроизведении системой гармонического воздействия ошибка в ней также будет гармонической при той же частоте Щ_з и амплитуде Дu_max. Амплитуда ошибки может быть найдена через модуль частотной передаточной функции для ошибки замкнутой системы



.

Так как >> 1, то приближенно можно принять

.

Отсюда вытекает требование к низкочастотному участку желаемой ЛАЧХ системы. Для того чтобы входное воздействие воспроизводилось с ошибкой, не превосходящей Дu_max, ЛАЧХ системы должна иметь подъём при частоте Щ_з, не меньший (рис. 3.6)

. (3.30)

Рис. 3.6 Запретная зона для типовых желаемых ЛАЧХ

В задании на проектирование системы программного управления с астатизмом первого порядка задается эквивалентный гармонический цикл, вычисляются максимальная скорость и максимальное ускорение изменения входного сигнала. Эквивалентному входному циклу соответствует эквивалентный рабочий цикл, воспроизводимый валом объекта управления и применявшийся при определении мощности двигателя (см. п. 2.1).

Дифференцируя входное гармоническое воздействие (3.29) по времени, получим

;

.

Приравнивая значения амплитуд скорости и ускорения входного эквивалентного гармонического воздействия найденным при выборе двигателя максимальным значениям скорости и ускорения , получим

(3.31)

Поделив в (3.31) первое равенство на второе, получим значение частоты входного эквивалентного гармонического воздействия

. (3.32)

Значение амплитуды u_зmax можно получить из первого равенства (3.31) при подстановке в него (3.32)



. (3.33)

Подставив полученное значение u_зmax в (3.30), формулу для определения подъема ЛАЧХ проектируемой системы управления при частоте Щ_з можно представить в виде

.

Для определения подъема желаемой ЛАЧХ системы при частотах, меньших и больших частоты Щ_з, или левее и правее контрольной точки А_к (рис. 3.6) будем рассуждать следующим образом.

Если рассматривать режим гармонического воздействия со скоростью = const и уменьшать ускорение, то Щ_з согласно (3.32) будет пропорционально уменьшаться, а амплитуда u_зmax согласно (3.33) будет увеличиваться обратно пропорционально принимаемым значениям . Контрольная точка А_к будет перемещаться по прямой с наклоном -20 дБ/дек. В предельном случае, если принять амплитуду ускорения равной нулю, контрольная частота Щ_з также будет стремиться к нулю. Это соответствует режиму слежения при постоянной скорости. Тогда формула для максимального значения ошибки вырождается в соотношение

(3.34)

и, следовательно, предельное значение добротности по скорости будет



. (3.35)

Если рассматривать режим гармонического воздействия с амплитудой ускорения, равной максимальному значению , и амплитудой скорости, меньшей максимального значения скорости слежения , то контрольная точка А_к будет двигаться вправо по прямой с наклоном -40 дБ/дек. Пересечение этой прямой с осью нуля децибел дает значение базовой частоты

,

где - добротность системы по ускорению.

Область, расположенная ниже контрольной точки А_к и двух прямых (рис. 3.6) с наклоном -20 дБ/дек и -40 дБ/дек, представляет собой запретную зону для желаемой ЛАЧХ системы при астатизме первого порядка. При этом в случае работы системы со скоростями и ускорениями, не превышающими заданных максимальных значений, ошибка не превзойдет заданного значения .

Таким образом, в соответствии с запретной зоной (рис. 3.6) для типовых ЛАЧХ В и Е первую сопрягающую частоту асимптотической ЛАЧХ следует выбирать не меньше частоты эквивалентного гармонического воздействия. Протяженность участков h и h₁ выбирается в соответствии с принятым показателем колебательности, и тогда определяются частоты излома асимптотической желаемой ЛАЧХ и тем самым полностью определится желаемая ЛАЧХ.

Если частота первого излома желаемой ЛАЧХ выбирается равной частоте эквивалентного гармонического воздействия щ₁ = Щ_з, то следует иметь в виду, что истинная ЛАЧХ при частоте щ₁ проходит ниже точки пересечения двух асимптот на 3 дБ, а усиление по амплитуде будет отличаться в раз. Поэтому желаемая ЛАЧХ в этом случае дополнительно должна быть поднята на 3 дБ вверх. При этом требуемым значением добротности по скорости будет

. (3.36)

Базовая частота желаемой ЛАЧХ соответственно будет равна

. (3.37)

Если же частота щ₁ будет выбрана больше Щ_з, примерно в 1,5 раза и больше, то дополнительного подъема желаемой ЛАЧХ можно не делать, так как разность в значениях асимптотической ЛАЧХ и истинной ЛАЧХ будет незначительной.

Сформулируем основные этапы синтеза регулятора положения:

1. Определение передаточной функции неизменяемой части системы W_н(s), получаемой на основании разработанной структурной схемы динамической модели проектируемой системы (см. рис. 2.2).

2. Определение желаемой передаточной функции W_ж(s), характеризующей поведение скорректированной системы. Ее определение выполняется на основании требований, предъявляемых на проектирование системы. При синтезе корректирующих устройств по показателю колебательности задача формирования желаемой передаточной функции W_ж(s) сводится к определению связи ее с показателем колебательности и заданными требованиями на проектирование.

3. Определение передаточной функции последовательного корректирующего устройства по выражению

. (3.38)

По полученной передаточной функции строится ЛАЧХ корректирующего устройства, и путём аппроксимации полученной ЛАЧХ асимптотами определяются вид и параметры регулятора положения W_рп(s) ниже в примере 3.1 будет показано формальное различие между последовательным корректирующим устройством W_пку(s) и регулятором положения W_рп(s)..

4. Проверка выполненного синтеза осуществляется путём моделирования системы и оценки его результатов с точки зрения удовлетворения требованиям на проектирование. Если требования удовлетворяются, выполняются выбор и расчет элементов регулятора положения.

5. В случае неудовлетворительных результатов моделирования по передаточной функции W_ж(s) строятся желаемые ЛЧХ и определяется частота среза щ_жс. Затем желаемую передаточную функцию следует домножить на выражение

, (3.39)

где - передаточная функция дифференцирующего контура первого порядка, ; ф << Т_дк - постоянные времени дифференцирующего контура, и определить передаточную функцию

.

Благодаря наличию в выражении (3.39) производной от входного воздействия обеспечивается увеличение устойчивости желаемой части подъемом ее фазовой частотной характеристики в зоне частоты среза.

Далее вновь выполняются пп. 3 и 4.

Для более четкого усвоения сформулированных выше этапов представим методику синтеза в виде блок-схемы (рис. 3.7).

Рис. 3.7 Методика синтеза регулятора положения

Рассмотрим синтез регулятора положения на примере.

Пример 3.1. Синтезировать регулятор положения для проектируемого электропривода по логарифмическим частотным характеристикам на основе критерия динамической точности. Исходные и расчетные данные принять из примера 2.2.

Решение. Передаточная функция неизменяемой части для разомкнутой системы согласно рис. 2.2. запишется как

Из полученного выражения видно, что наклон начальной асимптоты располагаемой ЛАЧХ составляет -20 дБ/дек, поэтому выбираем желаемую ЛАЧХ типа В (см. рис. 3.3).

Добротность по скорости

,

где В; В/c - скорость изменения входного воздействия (см. пример 2.1).

Базовая частота

,

где В/с² - ускорение входного воздействия.

Поскольку из задания (см. условие задачи 2.2) следует, что перерегулирование у ? 10 %, принимаем показатель колебательности М = 1,1. Тогда, согласно выражениям (3.22) и (3.23), желаемые постоянные времени в абсолютных единицах определятся как

с;

с.

По табл. 2.2 определяем значение протяжённости участка желаемой ЛАЧХ с наклоном -40 дБ/дек h₁ = 2,05, из анализа рис. 3.4 находим частоту , и соответствующую постоянную времени Т_1ж

с.

Желаемая передаточная функция для электропривода с астатизмом первого порядка

(3.40)

Для определения передаточной функции последовательного корректирующего устройства в соответствии с формулой (3.38)

в командном окне MatLab запишем программу 1:

...