Анализ путей совершенствования шнековых измельчителей и математическое моделирование процесса износа режущей пары нож-решетка

. (15)

Неопределенный коэффициент С₁ в уравнении (15) определим из граничного условия равенства нулю внутреннего изгибающего момента по внешнему окружному (тангенциальному) сечению пластинки: M_r(R) = 0.

Учитывая зависимость M_r от r, в соответствии с работами [50-53], запишем

(16)

где н - коэффициент Пуассона материала пластинки.

При и , из соотношения (16) следует

(17)

Дифференцируя соотношение (15) дважды, получаем

(18)

(19)

Подставляя выражения (18) и (19) в уравнение (17), запишем

Решая полученное относительно С₁, при r = R, получаем

(20)

Подставляя полученное выражение (20) в уравнение (15), получаем уравнение изогнутой срединной поверхности сплошной круглой перфорированной пластинки под действием нагрузки, параболически распределенной по радиусу, в условиях жесткой заделки ее центральной части

(22)

В этом случае максимальное значение прогиба перфорированной решетки достигает при и составляет величину

(23)

Приведя подобные члены, упростим полученное выражение (23) до вида

. (24)

После подстановки в уравнение (24) соотношения (6), а также значений для q_c и k из (4), получим

. (25)

Следующим этапом решения поставленной задачи является определение прогиба лезвия ножа под действием нагрузки, параболически распределенной по его длине.

2.2.5 Решение дифференциального уравнения изгиба лезвия ножа под действием параболически распределенной по его длине, в условиях консольной жесткой заделки в центральной части решетки

Проблема минимизации контактных напряжений элементов пары нож-решетка, и снижения таким образом скорости их износа, вызывает необходимость обеспечения равенства прогибов лезвий ножа и перфорированной решетки. Таким образом, актуальной задачей настоящего раздела статьи является корректная запись и решение дифференциального уравнения изгиба лезвия ножа как консольной, жестко заделанной одной короткой стороной прямоугольной пластины, находящейся под действием нагружения, параболически распределенного по ее длине.

Расчетная схема сформулированной задачи представлена на рисунке 7.

Рисунок 7 - Схема нагружения пластинчатого ножа нагрузкой, параболически распределенной по его длине «r»;

1-лезвие ножа; Мз-момент в заделке; J_х-осевой момент инерции прямоугольного сечения

На рисунке 8 (схема 1) приведена эквивалентная плоская расчетная картина нагружения ножа, учитывающая постоянство распределенной нагрузки по ширине лезвия.

Рисунок 8 - Плоская эквивалентная схема нагружения пластинчатого ножа нагрузкой, параболически распределенной по его длине «r»;

Р1-эквивалентная плоская схема общего нагружения ножа; Р2-схема суперпозиции постоянной (І) и параболической (ІІ) нагрузок;1-лезвие ножа

В связи с трудоемкостью аналитической записи разрешающего уравнения изгиба ножа при параболической нагрузке, заданной в обобщенном виде (4), решение задачи прогиба лезвия ножа целесообразно искать методом суперпозиции [54, 55]. На рисунке 8 (схема 2) приведена картина, поясняющая принцип суперпозиции действующих на нож чисто параболической (ІІ) и равномерной (І) нагрузок.

Геометрические координаты расположения центров давления равнодействующих эквивалентных сил T и N и аналитические характеристики этих силовых факторов иллюстрируются рисунком 9.

Рисунок 9 - Схемы суперпозиционного нагружения пластинчатого ножа постоянной нагрузкой, и нагрузкой, строго параболически распределенной по его длине «r»

Таким образом, задачу определения деформации прогиба W=W_н лезвия ножа будем решать методом суперпозиции, считая его нагруженным постоянной нагрузкой Q(r)=P_шb_л=const, от действия давления P_ш и чисто параболически распределенной нагрузкой Q_кв(r), уменьшающейся от значения (Р_ц - Р_ш)b_л при r = 0, до нуля при r = R, как это изображено на схемах (І) и (ІІ) рисунка 9.

Для лезвия ножа постоянной толщины и ширины запишем разрешающее уравнение изгиба в известной [53, 54] форме

. (26)

М - значение изгибающего момента в сечении лезвия с координатой «r», Нм;

J = J_х - осевой момент инерции прямоугольного сечения лезвия ножа, м⁴.

J = , (27)

b_л, д_н - ширина и толщина лезвия ножа, м;

E_н - модуль продольной упругости материала лезвия ножа, Па.

А. Решение дифференциального уравнения изгиба лезвия ножа под действием нагрузки, равномерно распределенной по его длине.

В случае равномерно распределенной нагрузки по длине лезвия ножа, значение изгибающего момента в сечении лезвия с координатой «r», определяется в соответствии с рисунком 9, схема (І) соотношением

М=P_шb_л(R-r)²/2. (28)

В таком случае решение определяющего дифференциального уравнения (26) изгиба лезвия ножа может быть записано в следующем алгебраическом виде [54]

, (29)

Здесь С и В являются постоянными интегрирования, определяемыми из граничных условий:

W = 0; при r=0. (30)

В результате интегрирования уравнения (29), при граничных условиях (30), получаем величину прогиба лезвия ножа от постоянной составляющей общей нагрузки в зависимости от координаты «r» рассматриваемого сечения

. (31)

.

.

В таком случае максимальное значение прогиба определяется соотношением (31) при r=R

. (32)

Б. Решение дифференциального уравнения изгиба лезвия ножа под действием нагрузки, распределенной по его длине по закону параболы.

В случае параболически распределенной нагрузки по длине лезвия ножа, значение изгибающего момента в сечении лезвия с координатой «r», определяется в соответствии с рисунком 9, схема (ІІ) соотношением

(33)

Величину N(r) получаем интегрированием значения Q_кв(r) по радиусу «r» [56]

(34)

Нетрудно показать, что алгебраическое значение Q(r) определяется соотношением

. (35)

После подстановки (35) в (34) и интегрирования, получим выражение

. (36)

С учетом полученного значения (36) равнодействующей силы N(r), соотношение (33) для изгибающего момента в сечении лезвия ножа с координатой «r», примет вид

. (37)

В сечении жесткой заделки ножа (r = 0), в соответствии с (37), получаем

М_з = М(0) = .

В результате интегрирования уравнения (29), при граничных условиях (30), и значении изгибающего момента в форме (37), получим величину прогиба лезвия ножа от чисто параболической составляющей общей нагрузки в зависимости от координаты «r» рассматриваемого сечения, как это иллюстрируется рисунком 9, схема (ІІ). Для этого введем обозначение

. (38)

Тогда запишем уравнение (37) в виде

. (39)

При r=0 прогиб и угол поворота сечения ножа равны нулю

(40)

(41)

Из граничного условия (41) получаем

,

значит: С=0

Из граничного условия (40) следует

После интегрирования получим

значит: B=0.

Таким образом, окончательно можем записать

(42)

С учетом (38), соотношение (42) примет вид

(43)

В. Общее решение задачи прогиба лезвия ножа.

Суперпозиция деформаций от постоянной (W_н1) и чисто параболической (W_н2) нагрузок дает суммарный максимальный прогиб лезвия ножа

В таком случае максимальное значение прогиба для r=R, запишется

(44)

Суперпозиция деформаций от постоянной (W_н1) и чисто параболической (W_н2) нагрузок дает суммарный прогиб лезвия ножа в функции радиуса r

Суперпозиция максимальных значений деформации от постоянной (W_н1) и чисто параболической (W_н2) нагрузок при r=R дает суммарный максимальный прогиб лезвия ножа

.

Приводя подобные члены, получим

(45)

С учетом соотношения (27) для момента инерции поперечного сечения ножа, общее решение окончательно запишем

(46)



2.3 Формирование критериального соотношения для оптимизации толщины лезвия ножа, при параболическом характере нагружения, в зависимости от толщины выходной измельчительной решетки, а также геометрических и упругих характеристик элементов волчка

Условие оптимальности соотношения толщины ножа и решетки может быть сформулировано в виде уравнения совместности их деформаций с добавлением перемещению лезвия ножа величины , обеспечивающей контактное напряжение, равное напряжению смятия мясного сырья, что исключает тем самым возникновение концентраторов напряжений в паре нож-решетка, и гарантирует наименьшую скорость износа режущих элементов.

При этом величина определяется законом Гука

,

где

- напряжение прочности (смятия) измельчаемого материала.

Критериальное уравнение для соотношения толщины ножа и решетки запишется в таком случае в виде

(47)

Оценим порядок добавленной компонентывлияния упругого основания (решетки) на деформацию смятия измельчаемого материала. Для этого найдем соотношение величин и при

/=/ или

/=

Примем ориентировочно следующие величины параметров этого соотношения [17]

Тогда получим

/0,0036.

Таким образом, учитывая малость величины добавленной компоненты (менее 0,4 %), можем записать критериальное уравнение для соотношения толщины ножа и решетки в виде равенства правых частей уравнений (25) и (46),

Или

После ряда алгебраический преобразований, считая Е=Е_н, получим

(47)

Учитывая, что н = 0,25-0,3 соотношение (47) можно упростить до вида

(48)

Усредняя диапазон вариации н, и учитывая реальное соотношение Р_ш=0,75Р_ц, из соотношения (48) получим

д_н = 1,36 д_р.

Таким образом, для устранения концентрации контактных напряжений в стыке пары нож-решетка, и исключения периода притирки ножа, толщина лезвия ножа быть в 1,36 раза больше толщины решетки. Как показано в работе [58], в таком случае процесс износа при установившемся режиме протекает в два раза медленнее, чем при традиционной схеме закрепления кольцевой измельчительной решетки. При этом период перезаточки ножа может быть повышен с 90 часов до 180 часов [57 - 60], а срок эксплуатации ножей до предельного состояния существенно увеличен.

Выводы по главе 2

В работе аппроксимирован закон изменения давления пищевого материала вдоль радиуса выходной измельчительной решетки параболической функцией; осуществлено математическое моделирование процесса изгиба выходной измельчительной решетки волчка как круглой перфорированной пластинки, находящейся под действием нагрузки, параболически убывающей по радиусу, для перспективной схемы закрепления и соответствующих краевых условий; аналитически определен прогиб решетки и лезвия ножа под действием переменной нагрузки параболически убывающей по радиусу; сформулировано условие исключения концентрации внутренних усилий контактного взаимодействия лезвия ножа и решетки, обеспечивающее снижение скорости износа контактирующих элементов; установлена аналитическая зависимость толщины лезвия ножа от толщины выходной измельчительной решетки в зависимости от их физико-механичесих характеристик и геометрических параметров элементов волчка.

Показано, что для пары нож-решетка, в связи с учетом параболического характера изменяющейся нагрузки, период перезаточки увеличивается с 90 часов до 180 часов, а время наработки до предельного состояния ножа удваивается.



ГЛАВА 3. ФОРМИРОВАНИЕ РЕАЛЬНОЙ ОСТРОТЫ ЛЕЗВИЯ НОЖА ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЛЕЗВИЙНОЙ КРОМКИ С ИЗМЕЛЬЧИТЕЛЬНОЙ РЕШЕТКОЙ

3.1 Стратегия оптимизации формы лезвийной кромки ножа шнекового измельчителя по критерию постоянства энергонапряженности жала лезвия.

Существенное влияние на концентрацию термомеханических напряжений и перераспределение по длине лезвия долей механической и тепловой энергии, поглощаемой продуктом, оказывает острота режущей кромки лезвия, а также угол заточки, угол скольжения и толщина лезвия ножа. В аналогичных условиях теплонапряженного состояния находится жало лезвийной кромки при деформации материала, его резании и трении о продукт. Реальная рабочая острота жала режущей кромки лезвия ножа отличается от идеализированной и зависит от угла заточки, от угла скольжения в связи с его кинематической трансформацией и уменьшается по мере увеличения угла скольжения. Угол скольжения, в свою очередь, определяется конфигурацией абриса лезвийной кромки ножа в плоскости резания. Закон, описывающий оптимальную форму лезвийной кромки, а, следовательно, и характер изменения угла скольжения, может быть получен лишь исходя из выбора объективного критерия оптимизации, основанного на анализе реальных физических особенностей процессов резания, деформации и перемещения мясного сырья при его механическом взаимодействии с лезвием.

Для измельчителей твердообразных пищевых материалов известен ряд методов конструирования формы режущей кромки лезвия ножа, основанных на априорных подходах. Одним из них является концепция прямолинейной формы абриса лезвийной кромки [61-63]. Другим вариантом является выполнение условия постоянства угла скольжения. В этом случае длина радиуса - вектора точки режущей лезвийной кромки в зависимости от угла его поворота изменяется по закону логарифмической спирали [64, 65]. Однако в указанных вариантах отсутствует обоснованный, содержательный физический критерий, объясняющий корректность предлагаемых условий оптимизации, что не позволяет признать получаемую форму лезвия оптимальной. Научно аргументированная процедура оптимизации формы лезвийной кромки ножа шнековых измельчителей должна осуществляться на основе детального анализа особенностей энергообмена при осуществлении физических процессов в зоне резания и взаимодействия лезвия ножа с материалом и измельчительной решеткой, что позволит корректно обосновать состоятельный по содержательности и адекватности конкретный критерий. В работе Кузьмина В.В. [65] введен объективный по своему физическому содержанию критерий оптимизации формы лезвийной кромки, однако он учитывает не все компоненты воздействующих факторов, а лишь работу сил резания, оставляя без внимания работу сил трения и деформации мясного сырья.

Глубокое и тщательное рассмотрение особенностей процесса измельчения твердообразного материала лезвием многоперьевого ножа в шнековом измельчителе показывает, что наиболее существенное влияние на концентрацию и перераспределение долей механической энергии, преобразуемой в тепловую и поглощаемую продуктом, а также лезвийной кромкой при резании материала, при его деформации и трении оказывает, в первую очередь, острота жала режущей кромки лезвия.

Вторым важным фактором, определяющим особенности процесса измельчения и энергонапряженность в каждой точке жала лезвийной кромки, является величина угла скольжения, влияющая на остроту жала лезвия.

В связи со сложным характером взаимного влияния параметров процесса резания, включая кинематическую трансформацию угла заточки лезвия, выстроим следующую последовательность решения поставленной задачи.

1.Построение компонентного уравнения, определяющего величину номинальной остроты режущей кромки для случая рубящего резания.

2. Определение аналитической зависимости реально работающей остроты режущей кромки от угла скольжения, в связи с кинематической трансформацией угла заточки лезвия.

3. Формирование критерия оптимизации формы абриса для режущей кромки лезвия ножа.

4. Получение уравнения, описывающего оптимальную форму режущей кромки лезвия.

Таким образом, первой задачей оптимизации параметров лезвийной кромки ножа измельчителя является определение максимально достижимой остроты лезвия.

3.2 Основные понятия остроты лезвия, и построение схемы сил при взаимодействии ножа с пищевым материалом и измельчительной решеткой волчка.

Для четкого понимания особенностей процессов, осуществляемых в шнековых измельчителях, будем базировать свои представления о физической картине взаимодействия ножа с решеткой на основе схемы, представленной на рисунке 1.1. Физико-механические и кинематические параметры элементов взаимодействия ножа с решеткой и пищевого материала с рабочими органами оборудования достаточно хорошо изучены, поэтому принимаем для расчетов их средние величины. Так, например, углы заточки лезвия ножа находятся в диапазоне ц = (0,3 - 0,5) радиан, скорость углового вращения ножа составляет величину щ = (12 - 36) с^-1, давление пищевого материала в зоне резания достигает значения Р = q = 1,2 МПа, коэффициент трения скольжения мясного сырья по рабочим поверхностям измельчителя составляет величину f = 0,3, коэффициент трения скольжения лезвия по поверхности ножа, учитывая его полужидкостный режим, находится в области значения f_н-р = 0,1.

Рисунок 1.1 - Схема взаимодействия лезвия ножа шнекового измельчителя с перфорированной решеткой

При этом отметим, что величина давления на поверхность лезвий ножа может составлять значение от 0,3 до 1,5 МПа, напряжения смятия мяса колеблются от 0,22 МПа до 2,5 МПа [66]. Воздействие давления Р мясного сырья на перфорированную измельчительную решетку и лезвие ножа, осуществляемое по поверхности лезвия k-s-E-m-n, изображено на рисунке 1.1 в виде нагружающего цилиндрического слоя 1-2-3-4-n-k-s-E-m. Удельное усилие резания Р_уд пищевого сырья со стороны лезвийной кромки, равномерно распределенное по ее длине, изображено на рисунке 1.1 в виде отдельных стрелок и может быть охарактеризовано по величине данными, приведенными в таблице 1.1. Для парного мяса удельное усилие резания составляет значение около (5000-8000) Н/м.



Таблица 1.1. Физико-механические характеристики пищевого сырья

Исходя из приведенной на рисунке 1.1 общей схемы контакта лезвия ножа шнекового измельчителя с перфорированной решеткой, остановим свое внимание на основных понятиях, параметрах и характеристиках конструктивного устройства, и особенностях кинематики ножей, а также на специфике процесса их контактного взаимодействия с решеткой. В первую очередь нас будут интересовать такие параметры, как угол скольжения лезвия ножа, острота лезвия и кинематическая трансформация угла заточки лезвия.

А) Рассмотрим понятие угла скольжения лезвия ножа.

Углом скольжения принято называть угол между вектором скорости данной точки лезвийной кромки и нормалью к касательной к режущей кромке в этой точке.

Очевидно, что для прямолинейного лезвия, с возрастанием радиуса - вектора, угол скольжения естественным образом уменьшается, как это показано на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 - План сил, действующих на лезвие ножа, а также распределения скоростей точек режущей лезвийной кромки и углов скольжения

Б) Острота лезвия ножа (острота лезвийной кромки, острота жала лезвийной кромки).

Мерой остроты лезвия принято считать удвоенное численное значение радиуса закругления жала лезвийной кромки после удаления заусенца под действием разнонаправленных технологических усилий, что наглядно иллюстрируется рисунком 1.3. В работе [67] отмечается, что радиус закругления представляет собой радиус вписанной окружности в профиль поперечного сечения режущей кромки лезвия, как это демонстрируется на рисунке 1.3.



Рисунок 1.3 - Схема, поясняющая понятие «острота режущей кромки» ножа

На рисунке 1.4 приведена фотография поперечного среза лезвия ножа при увеличении 10000 крат. На макрофотографии поперечного сечения построена описанная окружность радиуса r, огибающая жало режущей кромки. По определению, радиус r является мерой, то есть количественной характеристикой понятия «острота лезвия ножа».

В работе [67] отмечается, что ориентировочно, для острых лезвий деревообрабатывающего инструмента r = 4…6 мкм для фрез, до r = 10 мкм для пил. Тупыми лезвия считаются при значении радиуса закругления r = 30…60 мкм и более.



Рисунок 1.4 - Фотография поперечного сечения лезвия ножа (r - радиус окружности, огибающей жало режущей кромки и определяющий остроту лезвия)

3.3 Построение компонентного уравнения, определяющего величину остроты режущей кромки

Качество разрабатываемой математической модели любого явления, объекта, будь то процесс или аппарат, определяется, в первую очередь, качеством базовой физической модели, максимально отражающей и учитывающей специфику рассматриваемого явления.

Особенности процесса резания мясного сырья в шнековых измельчителях, обусловленные технологией заточки лезвий многоперьевого ножа, связаны с явлением образования и последующего разрушения заусенцев - тонкого клина металла вдоль лезвийной кромки, не способного обеспечить собственную прочность в условиях реальных внешних воздействий и который отламывается от основного металла лезвийной кромки, образуя окончательное жало с радиусом скругления r, характеризующим реальную остроту лезвия (Рис. 1.4).

В процессе резания пищевого материала происходит загиб (первая фаза деформации), а затем отлом (вторая фаза деформации) и удаление заусенца лезвия под действием боковых технологических усилий со стороны мясного сырья, а именно, давления Р и удельного усилия резания Р_уд, как это показано на рисунке 1.5. Таким образом, теоретическая лезвийная кромка трансформируется в реальную режущую часть, образуя жало лезвийной кромки, являющееся действительным режущим элементом ножа (жало лезвия), физически взаимодействующим с мясным сырьем.

Рисунок 1.5 - Схема изгиба заусенца и формирования жала лезвийной кромки ножа

Развернутая аксонометрическая схема образования жала лезвия ножа в процессе нагружения технологическими нагрузками теоретической лезвийной кромки, сформированной в результате заточки, приведена на рисунке 1.6. Основными силовыми факторами, действующими на заусенец, как уже отмечалось, являются давление мясного сырья Р = q на всю плоскость ABFE передней поверхности лезвийной кромки, а вторым фактором выступает удельное усилие резания Р_уд, действующее на теоретическую лезвийную кромку BF в направлении BC. Удельное усилие резания Р_уд лежит в плоскости BCDF и равномерно распределено по длине BF теоретической лезвийной кромки в направлении нормали к ней.

Рисунок 1.6 - Схема силового нагружения заусенца и формирования жала лезвийной кромки ножа силовым фактором давления Р = q и силовым фактором удельного усилия резания Р_уд

Содержательный анализ силового нагружения, приведенного на рисунке 1.6, позволяет построить физическую модель процесса излома заусенца лезвийной кромки под действием силовых факторов, действующих на заусенец, что отображено на рисунке 1.7. На рисунке 1.7 приведена условная схема приложения натуральных силовых факторов, действующих на заусенец. На рисунке 1.8 приведена схема излома заусенца под действием нагружающих силовых факторов в виде силы, эквивалентной распределенным по площади силам давления и силы, эквивалентной распределенному по длине лезвийной кромки удельному усилию резания мясного сырья. Давление мясного сырья Р в межвитковом шнековом пространстве в зоне резания, действующее на переднюю поверхность ABFE лезвийной кромки (Рисунок 1.6) и формирующее равнодействующую силу Q (Рисунок 1.8), раскладывается на две составляющих компоненты Р_ос и Р_и. Составляющая Р_ос совершает работу сжатия по деформации сырья, в то время как составляющая Р_и является для лезвия (и для заусенца жала лезвийной кромки ножа) изгибающим силовым фактором (Рисунок 1.5).

Таким образом, переходя от обобщенных силовых факторов, давления Р и удельного усилия резания Р_уд к приведенным эквивалентным силам Q и Q_рез, рассмотрим подробно схему излома заусенца, для оценки остроты лезвия r, в терминах равнодействующих сил, в соответствии с рисунком 1.8.

Рисунок 1.7 - Схема приложения силовых факторов, действующих на заусенец (Р - давление мясного сырья, Па; Р_и - изгибающая составляющая, Па; Р_ос - осевая составляющая, Па; Р_уд - удельное усилие резания мясного сырья, Н/м)

Переходя от обобщенных силовых факторов, давления Р и удельного усилия резания Р_уд к приведенным эквивалентным силам Q и Q_рез, построим схему излома заусенца, для оценки остроты лезвия r, в терминах равнодействующих сил, которая приобретает вид, приведенный на рисунке 1.8.

Рисунок 1.8 - Схема излома заусенца под действием нагружающих сил давления и удельного усилия резания мясного сырья

Необходимо не просто отметить, а особенно подчеркнуть, что процесс деформации и разрушения заусенца проходит в две стадии. В соответствии с рисунком 1.8, первая фаза характеризуется предварительным изгибом и начальным разрушением заусенца в точке А, где развиваются максимальные напряжения растяжения из-за его изгиба. В этом случае в качестве расчетного опасного сечения заусенца фигурирует плоское сечение АС.

Вторая фаза процесса разрушения связана и обусловлена стадией процесса излома заусенца, когда в качестве расчетного опасного сечения выступает плоское сечение ЕК в соответствии с рисунками 1.4. и 1.8.

А. Рассмотрим первую стадию процесса деформации и разрушения заусенца.

В этом случае, для математического описания первой, начальной стадии процесса деформации и разрушения заусенца построим соответствующую схему прочностного расчета, приведенную на рисунке 1.9.

Рисунок 1.9 - Прочностная расчетная схема начальной фазы излома заусенца

Определение остроты лезвия ножа r сводится к решению задачи теории упругости, по аналитической оценке прочности элемента лезвийной кромки в форме призмы с сечением АВС и элементарной длиной лезвия dL под действием двух силовых факторов, во первых, силы Q, являющейся равнодействующей давления Р на площадку ABFE (Рис. 1.6), приложенной к середине участка АВ (рис. 1.9, точка Т), а во вторых, под действием удельного усилия резания Р_уд, создающего изгибающий момент относительно центра тяжести «О₁» поперечного сечения АС зоны разрушения заусенца (Рис. 1.9).

Для оценки влияния всей совокупности геометрических параметров формирующейся фаски лезвийной кромки на прочностные характеристики лезвия, логично рассмотреть развитие процесса разрушения заусенца по криволинейному сечению ADC в динамике.

Рассматриваемая начальная фаза деформации и разрушения заусенца возникает, начиная с точки A (рис. 1.9), в которой развиваются максимальные растягивающие напряжения (+у). Разрушение заусенца заканчивается в точке С, когда полностью завершается отлом заусенца.

Отметим специально, особо обращая внимание, что опасным сечением начала разрушения является АО₁С высотой АС, в то время, как для завершающей фазы отлома опасным сечением становится сечение ЕDK высотой ЕK.

При этом, для начального этапа нагружения, площадь давления мясного сырья определяется элементарной длиной dL лезвийной кромки и длиной линии нагружения ВА, в то время как на заключительном этапе площадка давления уменьшается от значения ВА до величины ВЕ.

Оценим линейный размер отрезка ВА заусенца, характеризующий координату начала его разрушения и формирования жала лезвийной кромки.

Решение поставленной задачи будем осуществлять, используя условие прочности [68] при разрушении заусенца длиной BО₁ в его поперечном сечении (Рис. 1.9) и размером dL по длине лезвийной кромки, под воздействием изгибающих моментов силовых факторов Р и Р_уд , пренебрегая их сжимающим и перерезывающим действием. То есть рассматриваем [69] случай чистого изгиба (Рис. 1.6, 1.8):

у = . (1)

Рассмотрим числитель соотношения (1), представляющий собой изгибающий момент силовых факторов давления Р (Рис. 1.6) и удельного усилия резания Р_уд (Рис. 1.6, 1.9).

Необходимо подчеркнуть, что равнодействующая Q сил давления Р на поверхность ABFE (Рис. 1.6) определяется интегрированием закона распределения давления Р по площади ABFE.

Учитывая что размер л заусенца на три и более порядков (в 1000-10000 раз) меньше длины МН поверхности лезвийной кромки (Рис. 1.5), принимаем допущение о равномерном характере распределения давлении мясного сырья Р по передней поверхности лезвийной кромки ABFE (Рис. 1.6). Тогда можем записать для равнодействующей Q, приложенной в точке Т (Рис. 1.9) на длине лезвийной кромки d соотношение:

Q = Рd. (2)

При этом вектор равнодействующей силы Q имеет две векторные составляющие компоненты Q_и и Q_ос:

+ . (3)

Что касается силового фактора, обусловленного действием удельного усилия резания Р_уд, на лезвийную кромку (Рис.1.6), то его равнодействующая сила Q_уд, действующая на элементарной длине d, определяется соотношением:

Q_уд = Р_уд . (4)

Таким образом, суммарный изгибающий момент в опасном сечении заусенца AО₁C может быть представлен, в соответствии с рисунком 1.9, в виде суммы трех слагаемых изгибающих моментов от равнодействующих сил давления Q_и, Q_ос и удельного усилия Q_уд резания мясного сырья М₁ = М₁(Q_и), М₂ = М₂(Q_ос), М₃ = М₃(Q_уд):

М = М₁(Q_и) + М₂(Q_ос) + М₃(Q_уд). (5)

Перейдем к определению этих трех изгибающих моментов и суммарного момента изгиба.

Обозначим в уравнении (5) сумму двух первых слагаемых через М_Q:

М_Q = М₁(Q_и) + М₂(Q_ос), (6)

тогда соотношение (5) примет вид:

М = М_Q + М₃(Q_уд). (7)

Из геометрических соображений для величины отрезка AB (рис.1.9) справедливо соотношение:

AB = (л + r) . (8)

Тогда, с учетом (8), уравнение (2) примет вид:

Q = Р (л + r). (9)

При этом величина изгибающего момента М_Q от действия сил давления в форме сосредоточенной силы Q, определяется выражением (6).

В соответствии с расчетной схемой, приведенной на рисунке 1.9, можем записать очевидные соотношения:

М₁ = М₁(Q_и) = Q_и, (10)

М₂ = М₂(Q_ос) = - Q_ос, (11)

Q_и = Q, (12)

Q_ос = Q. (13)

Тогда, в соответствии с соотношением (8), из уравнений (12) и (13) получаем очевидные зависимости:

Q_и = Р (л + r), (14)

Q_ос = Р (л + r). (15)

В соответствии с уравнениями (14) и (15), соотношения (10) и (11) примут вид:

М₁(Q_и) = Р (л + r), (16)

М₂(Q_ос) = - Р (л + r). (17)

Подставляя в (16) и (17) значение АВ из (8),запишем:

М₁(Q_и) = , (18)

М₂(Q_ос) = - . (19)

Подставляя (18) и (19) в (6), получим:

М_Q = , (20)

или, учитывая известные соотношения для тригонометрических функций, окончательное выражение изгибающего момента от действия на заусенец сосредоточенной силы Q, являющейся равнодействующей распределенных сил давления Р по площади ABFE (Рис. 1.6), запишем в виде:

М_Q = . (21)

Подставляя в это уравнение (21) соотношение(8) для АВ, получим:

М_Q = . (22)

Дополнительный, третий изгибающий момент М₃ = М₃(Q_уд) от действия сосредоточенной силы Q_уд, являющейся равнодействующей распределенного удельного усилия резания Р_уд на элементарном участке лезвийной кромки длиной , может быть вычислен в соответствии с рисунком 1.9 по соотношению:

М₃ = Q_уд(ВО₁). (23)

В свою очередь длина отрезка (ВО₁) определяется (Рис. 1.9) выражением:

ВО₁ = АВ (24)

Учитывая соотношение (8) для АВ, уравнение (24) примет вид:

ВО₁ = (л + r) (25)

При этом равнодействующая Q_уд распределенного удельного усилия резания Р_уд на элементарном участке лезвийной кромки длиной , может быть вычислена по соотношению:

Q_уд = Р_уд . (26)

Таким образом, соотношение (23) с учетом (25) и (26), принимает вид:

М₃ = Р_уд (л + r) . (27)

Таким образом, окончательные выражения (5) и (7) для суммарного изгибающего момента с учетом соотношения (22) и (27), приобретает вид:

М = + Р_уд (л + r) . (28)

После ряда алгебраических преобразований из (28) получим:

М = []. (29)

Переходя к знаменателю соотношения (1), являющегося условием прочности заусенца, отметим, что момент сопротивления сечения изгибу W, согласно работам [68, 69] и рисунку 1.9, определяется из выражения:

W = . (30)

Из геометрических условий рисунка 1.9 высота сечения АС может быть определена по соотношению:

(АС) = 2(АВ). (31)

С учетом (31), уравнение (30) принимает вид:

W = . (32)

С учетом соотношения (8) для АВ, получим:

W = . (33)

В таком случае, максимальное значение разрушающих заусенец напряжений (1), запишется в виде:

у = . (34)

Или, разделив слагаемые числителя (34) на его знаменатель почленно, получим

у = + . (35)

Запишем это уравнение (35) в промежуточной форме, удобной для его решения относительно неизвестного

- = . (36)

Решая (36) относительно , получаем:

. (37)

Учитывая очевидное соотношение, следующее из рисунка 1.9, запишем:

, (38)

тогда, решая совместно систему уравнений (37) и (38) получаем искомую величину остроты режущей кромки:

. (39)

Для реальных значений конструктивных параметров лезвия и физико-механических характеристик измельчаемого сырья: [у] = (770 - 980) МПа -допускаемые напряжения растяжения для материала (9Х18) стального лезвия; Р_уд = (5000 - 8000) Н/м - среднее значение удельного усилия резания для мясного сырья; Р = 1,0 МПа - давление на лезвие в зоне резания; ц = 24^о - угол заточки лезвия ножа, вычисления по уравнению (39) дают на начальной стадии излома заусенца величину r = 9,510^-6 м. Вычисленное значение согласуется с данными работы [67] и позволяет, при заточке лезвия из выбранной марки стали, считать полученную лезвийную кромку острой.

Химический состав одной из часто применяемых для изготовления ножей сталей, таких как Х12МФ, ХВГ, 9ХС, 9Х18, 95Х18, 65Г, приведен в таблице 1.2.

Таблица 1.2. Химический состав одной из марок сталей для изготовления ножей волчков и мясорубок

Следует подчеркнуть, что сталь 9Х18 обладает высокой коррозионной, контактной механической стойкостью, отличной химической стойкостью в органических веществах, во влажной среде, в растворах кислот и щелочей, поэтому является одной из сталей, наиболее приемлемых для использования в пищевом оборудовании.

Б. Рассматривая вторую, завершающую стадию процесса деформации и разрушения заусенца, отметим следующие особенности соответствующей математической модели и расчетной схемы, приведенной на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10 - Прочностная расчетная схема завершающей фазы излома заусенца

Первой особенностью разработки данной математической модели является принципиальная корректировка состава действующих и учитываемых напряжений в опасном сечении. Действительно, в предыдущей математической модели при аналитическом описании остроты лезвийной кромки ножа не были учтены напряжения сжатия от силовых факторов Р и Р_уд, так как их направление противоположно направлению опасных изгибных напряжений растяжения и не отдаляет результат в худшую сторону от реальной, фактической остроты режущей кромки. Однако, для еще большего приближения результата к истинному, следует учитывать наличие дополнительных напряжений сжатия от указанных факторов Р и Р_уд, и произвести уточнение математической модели и количественную оценку результата. При этом напряжениями среза, по-прежнему обоснованно [9], пренебрегаем.

Второй особенностью условий расчета завершающего этапа процесса отлома заусенца является уменьшение длины участка его нагружения давлением Р от значения ВА до величины ВЕ и смещением центра давления мясного сырья из точки Т (Рис. 1.9) в точку Ц (Рис. 1.10.).

Третья особенность обусловлена изменением места расположения и уменьшением высоты опасного сечения до значения ЕК.

Адаптируя запись соотношения (2) для равнодействующей Q, приложенной в точке Ц (Рис. 1.10) на длине лезвийной кромки d при новых условиях, можем записать:

Q = Рd. (40)

Общий вид уравнений (3) - (7) не изменяется, а уравнение для определения величины ВЕ приобретает следующую форму:

BЕ = . (41)

Тогда, с учетом (41), уравнение (40) примет вид:

Q = Р dL. (42)

В соответствии с расчетной схемой, приведенной на рисунке 1.10, можем записать очевидные соотношения:

М₁ = М₁(Q_и) = Q_и , (43)

М₂ = М₂(Q_ос) = - Q_ос, (44)

Q_и = Q, (45)

Q_ос = Q. (46)

Тогда, в соответствии с соотношением (42), из уравнений (45) и (46) получаем очевидные зависимости:

Q_и = Рл, (47)

Q_ос = . (48)

В соответствии с уравнениями (47) и (48) и рисунком 1.10, соотношения (43) и (44) примут вид:

М₁(Q_и) = Р, (49)

М₂(Q_ос) = - Р (50)

Подставляя (49) и (50) в (6), получим:

М_Q = . (51)

Дополнительный, третий изгибающий момент М₃ = М₃(Q_уд) от действия сосредоточенной силы Q_уд, являющейся равнодействующей распределенного удельного усилия резания Р_уд на элементарном участке лезвийной кромки длиной , может быть вычислен в соответствии с рисунком 1.10 по соотношению:

М₃ = Q_удл. (52)

При этом равнодействующая Q_уд распределенного удельного усилия резания Р_уд на элементарном участке лезвийной кромки длиной , может быть вычислена по упомянутому ранее соотношению (26):

Q_уд = Р_уд .

Таким образом, соотношение (52) с учетом (26), принимает вид:

М₃ = Р_уд . (53)

В результате, окончательные выражения (5) и (7) для суммарного изгибающего момента с учетом соотношения (51) и (53), приобретает вид:

М = + Р_уд. (54)

После несложных алгебраических преобразований из (54) получим окончательное выражение для изгибающего момента М:

М = + Р_уд. (55)

Переходя к знаменателю соотношения (1), являющегося условием прочности заусенца, отметим, что момент сопротивления сечения изгибу W, согласно работам [68, 69] и рисунку 1.10, определяется из выражения:

W = . (56)

Из геометрических условий рисунка 1.10 высота сечения EK может быть определена по соотношению:

(EK) = 2. (57)

С учетом (57), уравнение (56) принимает вид:

W = . (58)

Обозначим максимальное суммарное напряжение растяжения в точке Е опасного сечения EDK через у_max, тогда можем записать уравнение равновесия в проекции на ось 0Х (Рис. 1.10) для этой точки в виде:

у_max = у_и(Q_и) + у_и(Q_ос) + у_и(Р_уд) + у_сж(Q_ос) + у_сж(Q_уд). (59)

Здесь, в соответствии с рисунком 1.10, обозначены следующие составляющие общего напряжения у_max в точке Е:

у_и(Q_и) - напряжения растяжения в точке Е от действия изгибающего момента проекции Q_и равнодействующей силы Q на ось 0У, Па;

у_и(Q_ос) - напряжения растяжения в точке Е от действия изгибающего момента проекции Q_ос равнодействующей силы Q на ось 0Х, Па;

у_и(Q_уд,Р_уд) - напряжения растяжения в точке Е от действия изгибающего момента проекции Q_уд равнодействующей силы Р_уд на ось 0У (проекция Р_уд на ось 0Х дает нулевой изгибающий момент), Па;

у_сж(Q_ос) - напряжения сжатия в точке Е от действия проекции Q_ос равнодействующей силы Q на ось 0Х, Па;

у_сж(Q_уд,Р_уд) - напряжения сжатия в точке Е от действия проекции Q_уд равнодействующей фактора Р_уд на ось 0Х, Па.

С учетом соотношения (1), для напряжений растяжения при изгибе и выражения (58) для момента сопротивления сечения изгибу, в соответствии с полученным уравнением (49), величина у_и(Q_и) приобретает вид:

у_и(Q_и) = (60)

Аналогично, решая совместно уравнения (1), (58) и (50), получим значение напряжений растяжения в точке Е от изгибающего усилия Q_ос:

у_и(Q_ос) = - . (61)

Решение системы уравнений (1), (58) и (52) дает возможность определить напряжения растяжения при изгибе от действия силы Q_уд (Q_уд = Р_удdL), как равнодействующей силового фактора Р_уд:

у_и(Q_уд) = (62)

Напряжения сжатия в точке Е от действия проекции Q_ос определяется в соответствии с очевидным соотношением:

у_сж(Q_ос) = (63)

Здесь S - площадь опасного сечения длиной dL и высотой ЕК:

S = dL (ЕК) (64)

Величина высоты опасного сечения ЕК определяется соотношением (57), поэтому с учетом выражения (48) для Q_ос, и (64) для площади опасного сечения, соотношение (63) примет вид:

у_сж(Q_ос) = . (65)

Напряжения сжатия в точке Е от действия на площадь опасного сечения проекции Q_уд на ось 0Х определяется выражением, подобным уравнению (63), с учетом угла на рисунке 1.10:

у_сж(Q_уд) = . (66)

После подстановки в (66) значений Q_уд и S, получим:

у_сж(Q_уд) = (67)

Максимальные напряжения растяжения в точке Е опасного сечения ЕК, определяются подстановкой соотношений (60), (61), (62), (65), (67), в исходное уравнение (59), с учетом знаков, в результате чего, после ряда алгебраических и тригонометрических преобразований, получаем:

у_max = [3 - 5] + . (68)

Условие сохранения прочности заусенца записывается в известном [70, 71] виде:

у_max . (69)

Тогда для нашего случая нагружения заусенца давлением Р (Па) и удельным усилием резания Р_уд (Н/м), уравнение (68) примет следующую форму:

[3 - 5] + . (70)

Решая уравнение-неравенство (68) относительно неизвестной длины заусенца л, получим:

л . (71)

Максимально достижимое значение остроты жала режущей кромки, то есть минимально возможное значение радиуса r излома заусенца определим, связав между собой величины r и л. Рассматривая прочностную расчетную схему, приведенную на рисунке 1.10, можем записать очевидное соотношение:

= . (72)

Решая теперь уравнение (72) относительно r, с учетом соотношения (71), получим искомое значение остроты режущей кромки лезвия ножа:

r . (73)

3.4 Оптимизация угла заточки лезвия ножа, с использованием средств графоаналитической аппроксимации результатов расчета, по критерию максимально достижимой остроты лезвийной кромки

Для реальных значений конструктивных параметров лезвия и физико-механических характеристик измельчаемого мясного сырья: [у] = 800 МПа -допускаемые напряжения растяжения для материала (9Х18) стального лезвия; Р_уд = 5000 Н/м - среднее значение удельного усилия резания для мясного сырья; Р = 1,0 МПа - давление на лезвие в зоне резания; ц = 24^о - угол заточки лезвия ножа, вычисления по уравнению (73) для уточненной модели излома заусенца дают величину r = 4,210^-6 м.

Попытка исследования и анализа полученного соотношения (73) на экстремум приводит к необходимости решения уравнения 11-ой степени относительно тригонометрического аргумента. Аналитическое решение такого уравнения принципиально отсутствует, поэтому дальнейший анализ уравнения (73) будем осуществлять в графической интерпретации.

Проведенные расчеты параметра r остроты жала лезвийной кромки для различных углов заточки лезвия ножа иллюстрируются графиком, приведенным на рисунке 1.11 и таблицей 1.3.

Таблица 1.3. Расчетная зависимость остроты лезвия от угла заточки

Рисунок 1.11 - Зависимость остроты режущей кромки лезвия ножа шнекового измельчителя от угла заточки

Из полученных расчетных данных и графических материалов следует, что наиболее высокий уровень заострения лезвия ножа, то есть минимальное значение радиуса кривизны жала лезвийной кромки, могут быть достигнуты при значениях угла заточки ц в диапазоне от 12 до 16 градусов.

Анализ причинно-следственных связей силовых и тригонометрических параметров математической модели (71), (73) объясняет причины возникновения минимума для радиуса кривизны жала режущей лезвийной кромки, то есть максимума остроты лезвия. Действительно, механизм действия давления Р на заусенец формируется так, что при уменьшающихся углах заточки менее 12 градусов, , и тем более растет существенно быстрее, чем уменьшается в знаменателе. Таким образом, знаменатель уменьшается значительно быстрее, чем уменьшается числитель за счет уменьшения величины , и существенно растет величина л в (71), а следовательно и r в (73). При возрастании углов заточки выше 16 градусов, рост величин л и r обусловлен превалирующим влиянием Р_уд на процесс деформации сжатия из-за увеличения в числителе компоненты , и уменьшения в знаменателе компоненты (1 - ).

Зону экстремума (минимума) функциональной зависимости r = r() можно аппроксимировать уравнением квадратичной параболы вида:

r = m + n + k. (74)

Подставляя в аппроксимирующее уравнение (74) координаты трех точек из графической зависимости для расчетной кривой при углах заточки лезвийной кромки 8 и 12 градусам, решим систему трех уравнений, записанных в соответствии с (74), относительно трех неизвестных коэффициентов m, n и k, тогда получим:

4,17 = 64 m + 8 n + k;

3,85 = 144 m + 12 n + k;

3,88 = 256 m + 16 n + k.

В результате решения получаем m =0,0109375; n = - 0,29875; k = 5,86 и общее уравнение аппроксимирующей параболы примет вид:

r = 0,0109375 - 0,29875 + 5,86. (75)

Найдем координаты точки экстремума функции r = r(), приравняв первую производную от r по нулю, тогда получим:

= 0,021875 - 0,29875 (76)

Решая уравнение (76), получим = 13,657 град.

Определим знак второй производной от r по :

= 0,021875 значит в точке = 13,657 имеет место r = r_min. Найдем это значение по уравнению (75):

r( = 13,657) = r_min = 3,82 мкм.

Выводы по главе 3

1. Доведение остроты режущей кромки до максимально возможной позволяет снизить энергоемкость процесса измельчения и повысить качество резания.

2. Реальное значение остроты лезвийной кромки при воздействии на продукт формируется и предопределено его механической прочностью, величиной угла заточки, прочностными характеристиками материала лезвия, а также давлением продукта в зоне резания.

3. Явление трансформации угла заточки при изменении угла скольжения вызывает изменение расчетной остроты лезвия и физических условий формирования абриса контура режущей кромки, что требует их учета при проектировании формы лезвия ножа.

4. Разработанная математическая модель расчета остроты жала лезвийной кромки ножа позволяет оптимизировать ее значение в зависимости от угла заточки лезвия.



ГЛАВА 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА СКОРОСТИ ИЗНОСА И ПОВЫШЕНИЕ РЕСУРСА ПАРЫ ТРЕНИЯ НОЖ-РЕШЕТКА В ШНЕКОВЫХ ИЗМЕЛЬЧИТЕЛЯХ

4.1 Постановка задачи моделирования процесса износа ножа

В данной главе рассматривается одна из актуальных задач оптимизации конструктивных параметров шнековых измельчительно-режущих машин, заключающаяся в снижении скорости износа лезвий ножа за счет перехода от традиционной схемы крепления пары нож-решетка в режущей головке по внешнему кольцевому периметру, к прогрессивной схеме крепления по окружности центрального отверстия решетки. В исследовании ставится и решается аналитическими методами задача оценки скорости изнашивания лезвий ножа шнекового измельчителя в различных условиях закрепления режущей пары нож-решетка, а также определяется длительность периода приработки пары трения при традиционной схеме крепления, приводящей к концентрации контактных напряжений. На основе анализа особенностей физической модели процесса контактного взаимодействия лезвий ножа и решетки сформулированы условия закрепления, исключающие концентрацию взаимных сил трения в стыке нож-решетка, и обеспечивающие снижение скорости износа. В результате детального изучения специфики взаимодействия лезвий ножа и измельчительной решетки, в этом случае, обоснован факт исключения из трибологического процесса фазы интенсивного износа лезвий ножа. В этих условиях подробно и доказательно разработаны и изложены положения, из которых логически следует возможность существенного снижения скорости износа лезвий ножа, а также повышения назначенного ресурса эксплуатации режущего узла. Показано, что решение этой задачи является одним из наиболее важных и логически завершающих этапов оптимального синтеза шнековых машин, их аналитического описания и математического моделирования, не нашедших достаточного освещения в существующей литературе. На основании анализа разработанной математической модели процесса изнашивания лезвий ножа в условиях прогрессивной схемы крепления, обеспечивающей эквидистантность упругих линий прогиба ножа и решетки, и, тем самым, равномерность распределения контактных напряжений в стыке нож-решетка, показано, что реализация предложенного способа позволяет в два раза повысить ресурс режущей головки и исключить фазу интенсивного приработочного износа лезвий ножа, вызывающую снижение качества измельчения.

...