Группы с операторами

Доказательство. По теореме 1.2.3, BH является -подгруппой. Рассматривая B как область операторов для групп B и H (действуя сопряжением, как в примере 1.2.1), мы видим, что подгруппа BH является

B-допустимой, т.е. BHB. Так как HG, то ВН=НВ. Значит, по лемме 1.3.3 произведение BH является -подгруппой. Нетрудно проверить, что отображение f:bbH, где bB, является гомоморфизмом B в ВН/Н, причем Кеrf=BH, Iтf=BН/Н. Если bB, , то (b^f)=bH =(b)^f, т.е.

Равенство (2) справедливо для любых x, y, z Q.

Введем элемент d(y)= c (x, y). Ясно, что d(y) N. Поскольку | Q |= m и

Nх Q

то из равенства (2) получаем d(z) d(y) ^tz = d(yz) c (y, z)^m или

d(yz) = d(y) ^tzd(z) c (y, z)^m. (3)

Так как (n, m) = 1, то отображение g g^m, g G, является автоморфизмом группы G. Поэтому существует элемент е(у) N такой, что е(у)^m = d(y)^-1. Теперь равенство (4.6) можно записать в виде:

e(yz)^-m =(е(у)^-m) ^tzе(z)^-mс (у, z)^-m = (е(у)^tzе(z) с (у, z))^-m.

Следовательно, e(yz) = e(y) ^tze(z) c (y, z).

Введем элемент s_x = t_xe(x) N и, используя равенство (1), вычислим произведение:

s_ys_z = t_ye(y) t_ze(z) = t_yt_ze(y) ^tze(z) = t_yzc (y, z) e(y) ^tze(z) = t_yze(yz) = s_yz.

Следовательно, отображение : х s_x является гомоморфизмом группы Q в группу G. Если s_x = 1 - единичный элемент группы G, то t_xe(x) = 1 и t_x N. В этом случае x = t_xN = N - единичный элемент группы Q. Следовательно, - инъекция и Q Im - подгруппа порядка m в группе G.

Итак, в случае, когда N - абелева подгруппа, существование подгруппы порядка т в группе G установлено.

Пусть теперь Т и L - две подгруппы порядка m в группе G. Тогда G = [N] T = [N] L и Q = G/N T L. При данных изоморфизмах Q Т и Q L элемент х Q переходит в элементы t_x Т u l_x L. Поэтому T ={t_x \ х Q t_xt_y = t_xy},

L ={l_x \ х Q l_xl_y = l_xy}.

Так как x=t_xN=t_xN, то существует элемент а(х) N такой, что l_x = t_xa(x). Поскольку

l_xy = t_xya(xy) и l_xy = l_xl_y = t_xa(x) t_ya(y) = t_xya(x) ^tya(y), то а(ху) = а(х) ^tya(у). (4)

Введем элемент b = а(x). Из равенства (4.7) получаем b = b^tya(y)^m. Так как

х Q

(n, m) = 1, то существует элемент с N такой, что b = с^m. Поэтому с^m = с^mtyа(у)^m или с = c^tya(y) и а(у)=cc^-ty. Теперь l_у = t_ya(y)=t_yc^-tyc=t_yt^-1c^-1t_yc = c^-1t_yc. Отсюда

L = {l_y | y Q} = {с^-1t_yc | y Q} =c^-1Tc.

Таким образом, если N - абелева подгруппа, то подгруппы порядка т существуют и сопряжены между собой.

2. Существование подгрупп порядка т в группе G. Воспользуемся индукцией по порядку группы G. Пусть p - простое число, делящее порядок подгруппы N, и Р - силовская p-подгруппа из N. Положим L = N_g(P) и Z = Z(P). Тогда L N_q(Z) = M, так как Z - характеристическая подгруппа в Р. По лемме Фраттини G = NL и G = NM. Поэтому для подгруппы N₁ = N М получаем, что | М:N |=| G:N |=т. Поскольку Z Е, то можно применить индукцию к фактор-группе M/Z. Пусть X/Z - подгруппа порядка m в группе M/Z, тогда М = XN₁, X N₁ = Z. Так как | X:Z |=т взаимно просто с | Z | и Z - абелева подгруппа, то X имеет подгруппу порядка т согласно утверждению 1.

Итак, в любом случае в группе G существует подгруппа порядка т.

3. Сопряженность в группе G подгрупп порядка т, когда фактор-группа G/N разрешима.

Обозначим через множество простых делителей числа т и положим R= O(G). Пусть Н и К - две подгруппы из G порядка т. Тогда RH и RK являются -подгруппами группы G, поэтому R Н К. Если R Е, то по индукции H/R и K/R сопряжены в G/R, поэтому подгруппы Н и К сопряжены в группе G.

Пусть R = Е и L/N G/N. По условию факторгруппа G/N разрешима, поэтому L/N является элементарной абелевой p-подгруппой для некоторого простого p . Пересечение L Н будет силовской p-подгруппой в L, поскольку (L H) (L H) N/NL/N и | L:L H | = | HL: H | = | G: H |= n есть p'-число. Аналогично L К будет силовской p-подгруппой в L, поэтому

L H = (L К) ^g = L К ^g для некоторого g L. Пусть S = L H. Тогда

S H, К ^g = J.

Если J = G, то S - нормальная -подгруппа группы G, что противоречит равенству O(G) = Е. Поэтому J - собственная подгруппа группы G. По индукции подгруппы H и К ^g сопряжены в J. Следовательно, подгруппы Н и К сопряжены в G.

4. Сопряженность в группе G подгрупп порядка m, когда подгруппа N разрешима.

Так как N/N' абелева и N' G, то подгруппы HN'/N' и KN'/N' сопряжены в группе G/N' на основании утверждения 1. Поэтому Н^g < KN' G для некоторого g G. Но теперь подгруппы Н^g и K.сопряжены в KN' по индукции. Следовательно, подгруппы Я и К сопряжены в G.

5. Сопряженность в группе G подгрупп порядка т.

Так как числа n и т взаимно просты, то одно из них нечетное и либо N, либо G/N разрешима. Следовательно, любые две подгруппы порядка т сопряжены в группе G, ч. т.д.

Следствие 2.1.2. Пусть выполняются условия теоремы 2.1. Если натуральное число m₁ делит т, то каждая подгруппа порядка m₁ содержится в некоторой подгруппе порядка m.

Доказательство. Пусть H и H₁ - подгруппы порядков т и т₁ соответственно. Тогда G = HN и H₁N = (H₁N) (HN) = ((H₁N) H) N, откуда следует, что | (H₁N) H | = | H₁N:N | = | H₁ |= m₁. Теперь H₁ и (H\N) Н - две подгруппы порядка m₁ в группе H₁N порядка m₁п. По теореме 4.32

H₁ = ((H₁N) H) для некоторого g G, ч. т.д.

2.2 Теорема Фейта - Томпсона

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы a и b, что abba. Поэтому естественно рассмотреть элемент x, для которого ab=bax. Отсюда x=a^-1b^-1ab.

Коммутатором элементов a и b называют элемент a^-1b^-1ab, который обозначают через [a, b]. Ясно, что ab=ba [a, b]. Подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы G, называется коммутантом группы G и обозначается через G'. Таким образом, G'={[a, b] | a, b G}.

Для группы G можно построить цепочку коммутантов

GG'G''…G⁽ⁱ⁾G⁽ⁱ⁺¹⁾…. Если существует номер n такой, что G⁽ⁿ⁾ =E, то группа называется разрешимой. Наименьшее натуральное n, для которого, называется производной длиной группы G и обозначается через d(G). Группа, которая не является разрешимой, называется неразрешимой. Для единичной группы получаем d(E)=0. Неединичная абелева группа G имеет цепочку коммутантов. Поэтому абелевы группы разрешимы и имеют ступень разрешимости не более 1.

Теорема (Фейта - Томпсона) 2.2.1. Группы нечетного порядка разрешимы.

3. Свойства обобщенной подгруппы Фраттини

3.1 Подгруппа Фраттини

В единичной группе E нет собственных подгрупп. В неединичной группе всегда существует собственная подгруппа, например подгруппа E. Собственная подгруппа M неединичной группы G называется максимальной подгруппой, если M не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы G, т.е. если из условия M H G следует, что M=H или H=G. Для максимальной подгруппы М используется запись М < G. Легко проверяется

Лемма 3.1.1. Пусть М < G и KG. Тогда

1) если аAutG, то (М) < G;

2) если х G, то М ^х < G;

3) если К М, то М/К < G/K;

4) если К не содержится в М, то МК=G;

5) если - максимальная подгруппа факторгруппы =G/K, то существует U < G такая, что К U и = U/K;

6) если МG, то индекс подгруппы М в группе является простым числом.

Подгруппой Фраттини неединичной группы называется пересечение всех ее максимальных подгрупп. Подгруппа Фраттини неединичной группы G обозначатся через Ф(G). Таким образом, Ф(G)=M. Для единичной группы

М < G

Е полагают Ф(Е)=Е.

Если Н G, то пересечение всех подгрупп, сопряженных с Н, называется ядром подгруппы Н в группе G и обозначается через Core_G(H).

Лемма 3.1.2. Пусть Н G. Тогда:

1) Core_G(H) - наибольшая нормальная подгруппа

группы G, содержащаяся в Н;

2) Ф(G)= Core_G(M);

М < G

3) Ф(G) char G, в частности Ф(G)G.

Доказательство. 1. По определению Core_G(H)= Н ^х. Поэтому

x G

Core_G(H)G. Если КG и К Н, то К ^х = К Н ^х для любого х G и

К Core_G(H). Следовательно, Core_G(H) - наибольшая нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в H.

2. Поскольку подгруппа, сопряженная максимальной, будет также максимальной подгруппой, то Ф(G)= М= (М ^х)= Core_G(M).

М < G М< G x G М < G

3. Из леммы 3.1.1 следует, что Ф(G) char G, в частности, Ф(G)G.

Теорема 3.1.3. Подгруппа Фраттини является нормальной нильпотентной подгруппой.

Доказательство. Из леммы 3.1.2 следует, что Ф(G)G. Пусть P - силовская подгруппа в Ф(G). Предположим, что Р ненормальна. Тогда N_G(P) - собственная подгруппа и можно выбрать максимальную подгруппу М в G, содержащую N_G(P). Теперь Р N_G(P) М, а по лемме Фраттини

G = Ф(G) N_g(P) М, т.е. получили противоречие. Значит, допущение неверно и РG, ч. т.д.

Элемент x G называется необразующим элементом группы G, если для любого подмножества Т группы G из условия Т, x = G следует, что Т=G.

Теорема 3.1.4. Подгруппа Фраттини группы G состоит из всех необразующих элементов. В частности, если группа G/Ф(G) циклическая, то G циклическая.

Доказательство. Обозначим через X множество всех необразующих элементов группы G. Пусть x X. Предположим, что x не содержится в Ф(G). Тогда существует максимальная подгруппа М, не содержащая х. Теперь М G, и М, x = G. Получили противоречие с тем, что x - необразующий элемент. Поэтому, допущение неверно, и XФ(G).

Пусть у Ф(G) и существует такое подмножество ТG, что Т G, а

Т, у = G. Предположим, что H - максимальная подгруппа, содержащая подгруппу Т. Так как у Ф(G)Н, то G = Т, у H. Получили противоречие. Следовательно, допущение неверно и у - необразующий элемент.

Пусть группа G/Ф(G) циклическая. Тогда G/Ф(G)= gФ(G) для некоторого элемента g G. Поскольку G=gФ(G), то G =g и G циклическая, ч. т.д.

Следствие 3.1.5. Если Н - подгруппа группы G и HФ(G)=G, mo H=G.

Следствие 3.1.6. Пусть KG. В группе G существует единственная подгруппа Н такая, что G=КН тогда и только тогда, когда подгруппа К не содержится в подгруппе Фраттини Ф(G).

Доказательство. Если в группе G существует собственная подгруппа Н такая, что G=КН и К Ф(G), то по теореме 3.1.4 G= К, Н =H. Получили противоречие. Обратно, если К Ф(G), то существует максимальная подгруппа М, не содержащая К. Поэтому KM=G, ч. т.д.

Пусть К - подгруппа группы G. Подгруппа Н называется добавлением к подгруппе К, если КН=G и КН₁ G для любой подгруппы Н₁ из Н, отличной от Н. Понятно, что любая подгруппа обладает по крайней мере одним добавлением.

Лемма 3.1.7. Подгруппа Н является добавлением к нормальной подгруппе К в группе G тогда и только тогда, когда НК=G и НК Ф(H).

Доказательство. Пусть Н - добавление к подгруппе К. Допустим, что НК не содержится в подгруппе Фраттини Ф(H). Тогда существует максимальная подгруппа Н₁ в Н такая, что НК не содержится в Н₁. Так как НКH, то Н₁(НК)=Н, G = HK = Н₁(НК) K = Н₁K, т.е. получили противоречие с определением добавления. Поэтому допущение неверно и НКФ(Н).

Обратно, пусть НК=G, (НК) Ф(Н). Предположим, что Н не является добавлением к K. Тогда существует максимальная подгруппа Н₁ в H такая, что Н₁K = G. По тождеству Дедекинда, Н=Н₁(НК)Н₁Ф(Н) = Н₁. Получили противоречие. Поэтому допущение неверно и Н является добавлением к K, ч. т.д.

Теорема 3.1.8. Пусть КG. Тогда:

1) Ф(К)Ф(G);

2) Ф(G) К/КФ(G/К);

3) если КФ(G), то Ф(G)/К =Ф (G/К);

4) если AG и КФ(А), то КФ(G).

Доказательство. 1. Так как Ф(К) char К, то Ф(К)G. Предположим, что Ф(К)Ф(G). Тогда существует максимальная подгруппа М такая, что Ф(К) М=G. По тождеству Дедекинда, К = Ф(К) (КМ), а по следствию 1 из теоремы 3.20 К=КМ, т.е. КМ. Теперь Ф(К)М, т.е. получили противоречие. Поэтому допущение неверно Ф(К)Ф(G).

2. Утверждение вытекает из леммы 3.1.1.

3. Так как КФ(G), то К содержится в каждой максимальной подгруппе и Ф(G)/К=Ф (G/К) по лемме 3.1.1.

4. Пусть АG и К Ф(А). Предположим, что K не содержится в Ф(G). Тогда существует максимальная подгруппа М группы G, не содержащая К. По тождеству Дедекинда А=AG=АМК =(АМ) К. Так как К Ф(А), то по следствию 1 из теоремы 3.1.4 A=AМ, т.е. А М. Теперь К М, что противоречит предположению. Поэтому оно неверно и К Ф(G), ч. т.д.

Теорема 3.1.9. Ф(G₁xG₂)=Ф(G₁) xФ(G₂).