Группы с операторами
Подгруппы и факторгруппы групп с операторами. Теоремы о гомоморфизмах. Содержание и принципы реализации теорем Шура – Цассенхауза и Фейта – Томпсона. Понятие и содержание, свойства обобщенной подгруппы Фраттини. Расширения посредством автоморфизмов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.01.2013 |
| Размер файла | 825,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Доказательство. Пусть G = G1xG2.Так как G1G и G2G, то по теореме 3.1.8 Ф(G1) xФ(G2)Ф(G). Пусть G/(Ф(G1) xФ(G2)) = G*. По теореме 3.1.8 Ф(G)/(Ф(G1) хФ(G2)= Ф (G*). Ясно, что G*=G1*xG2*, где G1*= G1/Ф(G1), G2*= G2/Ф(G2). Вновь по теореме 3.1.8 Ф(G1*)=Ф(G2*)=E. Так как пересечение максимальных подгрупп группы G*, содержащих подгруппу Gi*, равно Gi* и G1*G2*=E, то Ф (G*)=Е. Поэтому Ф(G)=Ф(G1) xФ(G2), ч. т.д.
Теорема 3.1.10. Пусть DКG, DФ(G) и I) <G. Если фактор-группа K/D нильпотентна, то К нильпотентна.
Доказательство. Пусть Р - силовская p-подгруппа группы К.
PD/D - силовская p-подгруппа в K/D, а так как К/D нильпотентна, то PD/DK/D. Поскольку PD/D char K/D, то PD/DG/D, PDG. Пo лемме Фраттини G=NG(P) D, а согласно следствию 1 из теоремы 3.1.4 имеем, что
G= NG(P), РG и К нильпотентна, ч. т.д.
При D=Ф(G) и К = G получаем
Следствие 3.1.11. Если G/Ф(G) нильпотентна, то G нилъпотентна.
Лемма 3.1.12. Пусть G - р-группа. Тогда:
1) G/Ф(G) - элементарная абелева p-группа;
2) если КG и G/К - элементарная абелева группа, то Ф(G) К;
3) Ф(G) является наименьшей нормальной подгруппой группы G, фактор-группа по которой - элементарная абелева p-группа;
4) если | G/Ф(G) | = pn, то существуют элементы x1,…, xn G такие что G=x1,…, xn.
Доказательство. 1. В p-группах максимальные подгруппы нормальны и имеют индекс p. Пусть {Mi | i = 1,…, m} - множество всех максимальных подгрупп группы G. Так как фактор-группа G/Ф(G)=G/(Mi), изоморфна подгруппе прямого произведения (G/Mi) групп G/Mi порядка p, то G/Ф(G) элементарная абелева.
2. Пусть {Hi/К \ i = 1,…, k} - множество всех максимальных подгрупп группы G/K. По условию G/K элементарная абелева, поэтому
(Hi/К)=Е, Ф(G)=() (Hi)=K.
3. Утверждение вытекает из утверждений 1 и 2.
4. Так как G/Ф(G) - элементарная абелева группа порядка pn, то
G/Ф(G)=x1Ф(G),…, xnФ(G) для некоторых x1,…, xn G. Теперь
G=x1,…, xn,Ф(G) и G=x1,…, xn по теореме 3.1.4, ч. т.д.
3.2 Расширения посредством автоморфизмов
Опишем две важные в теории групп конструкции, основанные на автоморфизмах.
Голоморф. Эта конструкция возникает в связи вот с каким вопросом: нельзя ли произвольную группу G вложить изоморфно в такую группу G*, чтобы каждый автоморфизм группы G оказался сужением внутреннего автоморфизма группы G*? Пусть Ф - Аиt(G). Оказывается, в качестве G* можно взять множество пар g, Ф, g G, умножаемых по правилу:
g'g'=g''g' (1)
(мы пишем пары без скобок и запятых). Действительно, аксиомы группы проверяются непосредственно. Так же непосредственно проверяется, что отображения
ФG, GG* (2)
по правилам 1, g1g являются изоморфными вложениями. Мы отождествим Ф и G с подгруппами из G* в силу этих вложений. Из правила умножения (1) сразу вытекает, что
-1g=g для Ф, g G. (3)
Теперь ясно, что
G*= ФG, GG*, ФG=1 (4)
и, ввиду (3), каждый автоморфизм Ф задается сужением некоторого внутреннего автоморфизма группы G*. Задача решена. Построенная группа ФG называется голоморфом группы G и обозначается через Ноl (G).
Если вместо Ф=Aиt(G) взять ФAиt(G), то группа ФG по-прежнему будет обладать свойствами (3), (4). В этом случае ФG называется расширением группы G посредством группы автоморфизмов Ф. Ввиду (4) это согласуется с общим понятием расширения.
Можно ещё дальше обобщить ситуацию и взять произвольную группу Ф с отмеченным гомоморфизмом ФAиt(G). Считая, что элементы из Ф действуют на G как соответствующие им автоморфизмы, мы тем же правилом (1) превращаем ФG в группу со свойствами (3), (4). Теперь группа ФG называется расширением группы G посредством группы операторов Ф.
Укажем голоморфы некоторых конкретных групп.
Пример 3.2.1.
Пусть К - любое из колец Z, Z(n), Q. Автоморфизмы аддитивной группы К исчерпываются умножениями на элементы из К*, поэтому
Ноl(K){()| a K*, b K}.
Пример 3.2.2.
Похожее по форме описание можно дать для Ноl (С(p)) Именно, частичную последовательность (s1, s2,…) назовем p-нитью, если в ней несколько первых мест пусты, а на остальных стоят элементы snZ(pn), причем psn= sn+1 (в понятном смысле) и её нельзя доопределить на пустых местах с сохранением этого свойства. Условимся складывать p-нити покомпонентно на тех местах, где оба слагаемых определены, с последующим доопределением суммы на пустых местах, пока оно возможно. Непосредственно проверяется, что p-нити с таким сложением составляют группу. Она изоморфна группе С(p).
Заключение
В данной курсовой работе были рассмотрены вопросы, касающиеся понятия эндоморфизма, оператора, группы с операторами. Были изучены некоторые свойства -допустимых подгрупп. Также было рассмотрено обобщение с помощью операторов подгруппы Фраттини, свойства и строение получившейся конструкции.
Список использованной литературы
1. Л.А. Шеметков, Классические факторизации групп и колец, Гомель,
1979, с. 5-9.
2. В.С. Монахов, Введение в теорию конечных групп и их классов, Минск,
2006, с. 111-115, теоремы 4.19, 4.32.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Исследование свойств конечной разрешимой группы с заданными инвариантами подгруппы Шмидта. Основные свойства проекторов и инъекторов. Определение подгруппы группы, максимальной подгруппы группы, инъектора и биектора. Изложение теорем, следствий и лемм.
курсовая работа [177,7 K], добавлен 22.09.2009Строение конечных групп по заданным свойствам их обобщенно субнормальных подгрупп. Использование методов абстрактной теории групп и теории формаций конечных групп. Субнормальные и обобщенно субнормальные подгруппы и их свойства. Обобщение теоремы Хоукса.
дипломная работа [288,7 K], добавлен 20.12.2009Понятие алгебраической системы (группы), ключевые условия, которым она удовлетворяет и ее нейтральный элемент. Основные свойства группы. Мультипликативные и аддитивные циклические подгруппы и группы. Теорема Лагранжа и характеристика следствий из нее.
курсовая работа [173,6 K], добавлен 10.01.2015Группа, как совокупность преобразований, замкнутая относительно их композиции. Изучение нильпотентных групп, их простейших свойств и признаков. Особенности доказывания теорем Силова, Лагранжа, Виланда. Подгруппа Фраттини конечной группы нильпотентна.
курсовая работа [553,1 K], добавлен 10.04.2011Характеристика и основополагающие свойства силовых подгрупп конечных групп, определение и доказательство соответствующих лемм. Понятие и свойства супердобавлений. Строение группы с максимальной и силовской подгруппой, обладающей супердобавлением.
курсовая работа [489,5 K], добавлен 05.01.2010Исследование существования примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах. Конечные бипримарные группы, разрешимые группы порядка. Порядки силовских подгрупп общей линейной группы. Доказательство лемм и теорем с использованием бинома Ньютона.
курсовая работа [527,0 K], добавлен 26.09.2009Теория групп как фундаментальное понятие и один из разделов современной математики. Основные определения и теоремы. Смежные классы: правые и левые, двойные. Нормальные подгруппы, фактор-группы. Способы их использования в решении различных задач.
курсовая работа [136,6 K], добавлен 30.03.2010Сущность теории групп. Роль этого понятия в математике. Мультипликативная форма записи операций, примеры групп. Формулировка сущности подгруппы. Гомоморфизмы групп. Полная и специальная линейная группы матриц. Классические группы малых размерностей.
курсовая работа [241,0 K], добавлен 06.03.2014Группы и их подгруппы. Централизаторы и нормализаторы. Разрешимые, сверхразрешимые, нильпотентные и холловы группы. Прямое, полупрямое произведения и сплетение групп. Простейшие свойства классов Фиттинга. Нормальные классы Фиттинга и их произведение.
дипломная работа [177,3 K], добавлен 19.04.2011Неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. Нормальные подгруппы конечных-обособленных груп. Факторизуемые группы с разрешимыми факторами нечетных индексов. Произведения 2-разложимых групп специальных видов.
курсовая работа [546,1 K], добавлен 26.09.2009Выработка современного абстрактного понятия групп. Простейшие свойства конечных нильпотентных групп. Подгруппа Фраттини конечной группы нильпотентна. Нахождение прямого произведения нильпотентных групп. Бинарная алгебраическая операция на множестве.
курсовая работа [393,4 K], добавлен 21.09.2013Розвиток теорії задачi Кошi та двоточкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, що є узагальненими. Вивчення властивостей перетворення Бесселя функції та оператора узагальненого зсуву аргументу.
автореферат [21,1 K], добавлен 11.04.2009Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами. Свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, вторая - 2-разложимая. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп. Доказательство теорем и лемм.
курсовая работа [475,0 K], добавлен 22.09.2009Конструкции и свойства конечных полей. Понятие степени расширения, определенность поля разложения, примитивного элемента, строение конечной мультипликативной подгруппы поля. Составление программы, которая позволяет проверить функцию на примитивность.
курсовая работа [19,2 K], добавлен 18.12.2011Исследование самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр. Основные определения, обозначения и используемые результаты. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини.
курсовая работа [264,7 K], добавлен 22.09.2009Виды преобразования симметрии фигур. Понятие оси и плоскости симметрии. Одновременное применение преобразований поворота и отражения, зеркально-поворотная ось. Сопряженные элементы, подгруппы и общие свойства и классификация групп операций симметрии.
реферат [28,0 K], добавлен 25.06.2009Доказательство первой, второй и третей теоремы Силова. Описание групп порядка pq. Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа. Классы сопряженных элементов. Нормализатор множества в группе. Теоремы о гомоморфизмах. Примеры силовских подгрупп.
курсовая работа [246,9 K], добавлен 21.04.2011Описание ненильпотентных групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами. Изучение групп с Х-перестановочными I-максимальными подгруппами. Особенности групп, в которых 2-максимальные подгруппы перестановочны с 3-максимальными подгруппами.
курсовая работа [431,8 K], добавлен 02.03.2010Особенности факторизации четырехмерных симплектических групп. Исследование и анализ композиции геометрических преобразований. Характеристика изометрии, закономерных пространств. Методы решения структурных теорем – центры, коммутанты, теоремы о простоте.
дипломная работа [605,8 K], добавлен 14.02.2010Доказательство теорем Силова о конечных группах, которые представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Нахождение силовских р-подгрупп.
курсовая работа [161,3 K], добавлен 31.03.2011
