Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Примеры здания конечных и бесконечных множеств с помощью перечисления или описания

Множество, равномощное отрезку натурального ряда, а также пустое множество (Пустое множество -- множество, не содержащее ни одного элемента; обозначается ?. Пустое множество является подмножеством любого множества. Мощность пустого множества равна нулю.), называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Множества обычно обозначают большими буквами: A, B, C, N, ..., а элементы этих множеств ? аналогичными маленькими буквами: a, b, c, n, ...

Способы задания множеств. Множество может быть задано перечислением всех его элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: А = { 1, 2, a, x } или B = { река Нил, город Москва, планета Уран}.

Пример A={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - множество арабских цифр B={а,б,в,г,…, э,ю,я} - русский алфавит.

Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись A = { x|P( x ) }, которую читают следующим образом: "A есть множество элементов x таких, что для них выполняется свойство P( x )". Пример B = { x| x- натуральное число, меньшее 10 }, при этом, очевидно, B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.

Отрезок [0;1] = {x: xЄR, 0?x?1}

2. Привести примеры подмножеств а) множества натуральных чисел; б) множества целых чисел; в) множества рациональных чисел

а) A={ 1,2, …} - множество натуральных чисел; подмножество: А₁={ 1,3,5,7 }? А

б) А={ …,-2,-1,0,1,2, …} - множество целых чисел; подмножество: А₁={ -3, -1, 1,3, 5}? А

в) А={ … ,- , , ,…} - множество рациональных чисел; подмножество: А₁={ … ,- , , ,…}

3. Привести примеры результатов выполнения над множествами действий объединения, пересечения, вычитания, дополнения

Объединением (U) множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств (т. е. либо A, либо B, либо одновременно и A и B).

Пример. Даны множества А = {-6, -3, 0, 3, 6} и B = {0, 2, 4, 6, 8}. Тогда A U B = {-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}.

Пересечением(?) множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.

Пример. Даны множества А = {-6, -3, 0, 3, 6} и B = {0, 2, 4, 6, 8}. Тогда A ? B = {0, 6}.

Разностью множеств А и В называется множество А\В, содержащее те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

Пример Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти A \ B и B \ A.

Решение

A \ B = {2, 4, 6, 8}.

B \ A = {11, 13, 17, 19}.

Для дополнения множества А до универсального множества U применяется обозначение

Пример Пусть U = {1,2,3,4,5,6} и

1	2	3	4	5	6
0	0,1	0,2	0,5	0,3	0,2

A=

1	2	3	4	5	6
1	0,9	0,8	0,5	0,7	0,8

Тогда =

4. Дать определение и привести примеры прямых произведений множеств

Прямым произведением множеств (Р. Декарт) X и У называется множество, обозначаемое ХхУ и состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству У. Таким образом, элементами прямого произведения являются двухэлементные кортежи (упорядоченный набор) вида ( x,y). Формальное определение XxY = {(x, y) I x ? X, y ? Y}

Пример 1. Пусть X={1,2}, Y={1,3,4}. Тогда XxY={<1,1>, <1,3>, <1,4>,<2,1>, <2,3>, <2,4>} геометрическое представление этого множества(см. рисунок):

Пример 2. Пусть A={0,1}. Найдем декартов квадрат - А²

А² = АхА = {<0,0>, <0,1>,<1,0>,<1,1>}

5. Дать определение интервала и окрестности

Интервал-- множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними.

Окрестностью О(а) точки а называется любой интервал б<х<в, окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.

6. Дать определение сочетаний, размещений, перестановок. Вывести формулы для подсчета числа сочетаний, размещений (с повторениями и без повторений)

Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания: ab, ac, bc.

Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом , и рассчитывается по формуле (без повторений):

(В числителе и знаменателе по k множителей).

Пример:

Формула (с повторением):

Пример: =792

Размещениями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение по k элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие размещения: ab, ac, ba, bc, ca, cb.

Число всех возможных размещений, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом и вычисляется по формуле (без повторений):

=n(n-1)…(n-k+1) (всего k множителей).

Пример: =8*7*…*(8-5+1)=8*7*6*5*4=5720

Всевозможные размещения с повторениями из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие размещения: aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc

Формула (с повторением)

Пример: = =390625

Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов.

Например, из 3 элементов (a,b,c) можно образовать следующие перестановки: abc, bac, cab, acb, bca, cba.

Число всех возможных перестановок, которые можно образовать из n элементов, обозначается символом :

(Произведение n первых целых чисел обозначается символом “n!” и читается “n факториал”)

Пример:

7. Дать определение бинарного отношения, его проекций и сечений. Описать основные способы представления бинарных отношений.

Бинарным отношением между множествами A и B называется любое подмножество R прямого произведения AxB. Часто чтобы обозначить принадлежность упорядоченной пары <x,y> к бинарному отношению R вместо записи <x,y> R используют обозначения R<x,y> или xRy. При этом говорят, что x находится в отношении R к y .

Если A=B, то говорят, что R задано на множестве A.

Пример 1. Пусть A = {a,b,c,d,e,f,g,h} и B={1,2,3,4,5,6,7,8}. Тогда подмножество {<a,2>,<c,3>,<d,5>} в AxB является бинарным отношением между множествами A и B.

Пусть R?AxB бинарное отношение. Множество = {x: xA, y (xRy)} - это множество всех элементов A, участвующие в бинарном отношении Rс некоторыми элементами В (называется первой проекцией, или областью определения), а множество = {y: yB, y (xRy)}- это множество всех элементов В, участвующие в бинарном отношении Rс некоторыми элементами А (называется второй проекцией, или областью значений бинарного отношения R). Для каждой пары <x,y> R элемент x называется первой, а элемент y-второй проекциями пары <x,y>.

Для произвольного элемента xA множество R(x) = {y:yB, xRy}называется сечением (или срезом) бинарного отношения R через элемент x, а множество (y)={x:A, xRy}- обратным сечением отношения R через элемент у.

Способы представлений бинарных отношений.

1.Точечно-стрелочный (графический)

Пусть А ={}, B={} R?AxB. Каждой упорядочной паре элементов <a,b> R ставится в соответствии стрелка. При этом х и у являются точками начала и конца этой стрелки . Принадлежность <х,у> отношению R изображается стрелкой:

х у равнозначно <х,у>R

Конечное бинарное отношение может быть представлено некоторой диаграммой вида (см. рисунок 1):

Эта диаграмма, называется диаграммой Бержа, является графическим представлением множества связей, устанавливаемых отношением Rмежду элементами множеств А и В. В случае А=В при совмещении точек, представляющих элементы х множества А в левой и правой части диаграммы Бержа, возникает графическая диаграмма (см. рисунок 2):

Такое графическое представление R называется ориентированным графом (орграф). Каждая петля как дуга орграфа соответствует элементу, находящемуся в отношении R с самим собой.

2. Матричный способ

Полное конечное бинарное отношение R=AxB можно представить прямоугольной таблицей (матрицей) состоящей из m*n клеток, соответствующих элементам <x,y>R, в каждой из которых стоит один:

Конечное бинарное отношение, не являющееся полным, можно охарактеризовать матрицей, в клетках которой каждой паре <x,y>R соответствует 1, а каждой паре <x,y>R соответствует 0. Такая матрица называется булевой матрицей отношений R.

3.Способ сечений.

Представим элементы как точки двух данных пересекающихся прямых. Проведем через отмеченные точки систему прямых, параллельных двум данным. Поставим в соответствие паре <,>R точку пересечения параллельных данным прямых, проведенных из точек соответственно. Полученная таким образом система точек решетки дает еще одно представление отношения R.

При этом множество точек соответствующих точке , является сечением отношения R через точку и обозначается R (). Обратное соответствие определяет обратное сечения отношения R через элемент обозначается . Ясно, что R () - множество всех элементов i- строк, а ) - j - столбца булевой матрицы отношения R. Все отношения R можно представить последовательностями

, или :

,

4.Способ перечисления элементов(пар) принадлежащих к бинарному отношению

8. Охарактеризовать рефлексивные, симметричные, транзитивные бинарные отношения. Привести примеры отношений, обладающих такими свойствами

Бинарное отношение рефлексивно, если каждый элемент e имеет отношение само на себя: то есть ?e: ?e, e? ? R или (по Riguet)

6D.1 R рефлексивно ? 1_E ? R.

Это свойство конечно невозможно, если S ? E ? F и E ? F.

Примеры:

· отношения эквивалентности:

o отношение равенства

o отношение сравнимости по модулю

o отношение параллельности прямых и плоскостей

o отношение подобия геометрических фигур;

· отношения нестрогого порядка:

o отношение нестрогого неравенства

o отношение нестрогого подмножества

o отношение делимости

Симметричные бинарные отношения

В математике бинарное отношение на множестве X называется симметричным, если для каждой пары элементов множества выполнение отношения влечёт выполнение отношения .

Формально, отношение симметрично, если .

Примеры

Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным). Также симметрично отношение связи вершинграфа (неориентированного).

Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного), а также отношение следования вершин ориентированного графа. Однако, отношение сравнимости для частичного порядка является, по построению, симметричным (хотя, в отличие от самогом порядка, не транзитивным).

Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали (совпадает с транспонированной). Если в графе симметричного отношения существует связь между двумя вершинами, то существует и обратная связь.

Транзитивные бинарные отношения

В математике бинарное отношение на множестве называется транзитивным, если для любых трёх элементов множества выполнение отношений и влечёт выполнение отношения .

Формально, отношение транзитивно, если .

примеры

· Равенство: и , значит (на самом деле, отношение равенства вместе с отношением эквивалентности и параллельности прямых обладает более сильным свойством также ещё и «равенства третьему» по причине своей симметричности)

· Отношение порядка: и , значит или нестрогого порядка: и , значит

· Параллельность прямых: и , значит (см. примечание к «равенству чисел»)

· Импликация: и , значит

· Эквивалентность: и , значит (см. примечание к «равенству чисел»)

· Включение подмножества: если b является подмножеством a, и в свою очередь c является подмножеством b, тогда c является подмножеством a

· Делимость: если a делится на b, и b делится на c, тогда a делится на c.

· Отношение следования вершин ориентированного графа: если вершина достижима из вершины , а вершина , в свою очередь, -- из , то достижима из .

Примеры отсутствия транзитивности (встречаются, когда логические высказывания связаны не арифметическими отношениями или их эквивалентами в языке, а другими смысловыми отношениями):

· Игра «Камень, ножницы, бумага»: Камень сильнее Ножниц; Ножницы сильнее Бумаги; однако Камень не сильнее Бумаги (). Здесь "сильнее" не имеет буквального значения, поскольку "сила" Бумаги в том, что она просто обертывает Камень.

· В круговом турнире часто бывает ситуация, когда команда A победила команду B, команда B -- команду C, а C -- A. Следовательно, в таком турнире отношение «победа» является не транзитивным и не имеет эквивалента арифметической операции или арифметического отношения.

· Отношение связи вершин граф-схемы алгоритма: например, если в граф-схеме алгоритма имеет место альтернативное ветвление, начинающееся условной вершиной , и две вершины и , входящие в состав различных альтернативных ветвей ветвления, то вершина связана с , связана с , однако вершины и не связаны (они либо параллельны, либо альтернативны).

· Отношение параллельности вершин параллельной граф-схемы алгоритма: например, если в составе параллельного фрагмента алгоритма в одной из ветвей находится вершина , а другая представлена альтернативным ветвлением с двумя ветвями, одна из которых содержит вершину , а другая -- , то вершины и находятся в отношении параллельности, также как и вершины и , однако вершины и не параллельны (они находятся в отношении альтернативы).

· Отношение альтернативы вершин граф-схемы алгоритма: например, если в составе альтернативного фрагмента алгоритма одна из ветвей представлена вершиной , а другая включает последовательно выполняемые вершины и , то вершины и находятся в отношении альтернативы, что справедливо и для вершин и , однако вершины и не состоят в отношении альтернативы (они состоят в отношениях следования и связи).

9. Дать определение бинарного отношения эквивалентности и класса эквивалентных элементов

Отношение эквивалентности () на множестве -- это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

1. Рефлексивность: для любого в ,

2. Симметричность: если , то ,

3. Транзитивность: если и , то .

Запись вида «» читается как « эквивалентно ».

· Классом эквивалентности элемента называется подмножество элементов, эквивалентных . Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если , то .

Множество всех классов эквивалентности обозначается .

· Для класса эквивалентности элемента используются следующие обозначения: , , .

· Множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества.

множество бинарный отношение бинарный

10. Охарактеризовать отношение частичного порядка. Привести примеры частично упорядоченных и линейно упорядоченных множеств

Бинарное отношение на множестве называется отношением частичного порядка, если оно удовлетворяет свойствам

1. рефлективности: для всех ;

2. антисимметричности: для всех ;

3. транзитивности: для всех .

Примеры: отношения «больше» и «меньше»

Бинарное отношение на множестве называется отношением линейного порядка, если

1. является отношением частичного порядка;

2. для любых либо , либо .

Примеры: На множестве действительных чисел упорядочение является отношением линейного порядка.

11. Дать определение векторного (линейного) пространства над полем действительных чисел. Как выполняются действия над векторами арифметического пространства?

Линейное пространство -- это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства.

Действия над n-мерными векторами

Пусть даны векторы и . Определение. Суммой векторов и называется вектор , т.е. при сложении векторов их соответствующие координаты складываются: (2, -4) + (-2, 4) = (0, 0); (3,0,1) + (0,1,4)+(-1, -7,0) = (2, -6,5). Определение. Произведением вектора на число называется вектор т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число. Можно проверить, что введенные таким образом операции над векторами удовлетворяют всем свойствам операций в линейном пространстве. Следовательно, арифметическое n-мерное пространство Rⁿ является частным случаем введенного ранее линейного пространства. Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов: Пример: Пусть и . Тогда . Скалярное произведение обладает следующими свойствами: 1., причем , только при 2., 3., 4.. Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0, т.е. . Пример. Пусть Тогда ортогональны. Определение. Линейное пространство с введенным скалярным произведением называется евклидовым n-мерным пространством. Примеры: 1. Множество трехмерных векторов R³. 2. Множество двумерных векторов R². 3. Множество R¹ = R - множество действительных чисел.

12. Охарактеризовать системы образующих и базисы векторного пространства. Дать определение размерности векторного пространства

Пусть V - векторное пространство. 1)Линейной комбинацией векторов называется вектор 2) Векторы называются линейно зависимыми, если , где хотя бы одно из чисел не равно нулю. В противном случае векторы называются линейно независимыми. Теорема. Системы векторов линейно зависима, если и только если один из векторов является линейной комбинацией векторов - линейно зависимы ) => в линейном пространствеV существует минимальная независимая система векторов, к-рая облад. св-вами

1) - линейно независимы

2) любой вектор выражается в виде линейной комбинации вектора Базисом линейного векторного пространства V называется максимальная система векторов, обладающих с-вами 1 и 2. Число векторов базиса называется размерностью векторного пространства и обозначается dimV (dimension) Базис - система векторов, таки что 1) - линейно независимы, 2) + Пример. Арифметическое n-мерное лин. пр-во. ?ⁿ=V₁+V₂= <x₁,x₂,…x_n> +<y₁,y₂,…y_n>б*V=б <бx₂,…,бx_n>?ⁿ - линейное пространство с Ф=<0,0…0> Базисом этого пространства является набор векторов 0>; Любой вектор v=<x₁,…,x_n>v=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_ndim?ⁿ=n Часто n-мерные векторы как упорядоченные наборы n чисел

Любой из векторов ⁿможно получить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е.

13. Охарактеризовать действие скалярного произведения векторов в арифметическом n-мерном векторном пространстве

Скалярным произведением двух векторов V=<x₁,x₂,…x_n> и W=<y_1,y₂,…,y_n> называется число, равное сумме произведений компонент этих векторов, т.е. коэффициентов их выражения через базис. Обозначается VW=V*W=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n. Из определения вытекают следующие свойства 1) VW=WV 2)(V₁+V₂)W = V₁W+ V₂W 3)если б - некоторое число, то б(WV) = (бW)V=(бV)WЕсли W*V=0, то говорят, что векторы W и V ортогональны и пишут V+WНормой (длиной) вектора Vназывается число |V|= Норма обладает след.св-вами |V| |V|=0, если V=Ф=<0,0,0,….,0> 3) Если б 4) Неравенство Коши-Буняковского |WV| 5) Неравенства треугольника (для любых V и W|-|W|| Линейное пространство векторов V, в котором определено скалярное произведение векторов, удовлетворяют. перечисленным выше св-вам называют Евклидовым пространством.

14. Дать определение свободного вектора на плоскости (в пространстве)

Векторным пространством называют множество, для элементов которого (называемых векторами и обозначаемых обычно жирными буквами, или буквами с чертой или стрелкой - a,) определены две операции: сложение, сопоставляющее любым двум векторам a и b третий, их сумму a + b, и умножение на действительные числа, сопоставляющее вектору a и числу k вектор b = ka, их произведение, причем эти операции должны удовлетворять следующим свойствам (аксиомам векторного пространства):

1) a + b = b + a (коммутативность сложения);

2) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения);

3) имеется такой вектор, обозначаемый 0 (нулевой вектор или нуль-вектор), чтоa + 0 = a для любого вектора a;

4) для любого вектора имеется противоположный вектор b, обозначаемый -a, такой, что a + b = 0;

5) 1·a = a;

6) (kl) a = k(l a) (ассоциативность умножения на числа);

7) (k + l) a = ka + la (дистрибутивность относительно сложения чисел);

8) k (a + b) = ka + kb (дистрибутивность относительно сложения векторов).

В школе приходится иметь дело с двумя примерами векторных пространств: пространством всех (свободных) векторов на плоскости и пространством всех (свободных) векторов в пространстве. Первое из них двумерно, второе - трехмерно, т.е. первое имеет базис из двух, а второе - из трех векторов. Другие примеры - пространство всех арифметических прогрессий (оно двумерно, т.к. имеет базис из двух последовательностей - {1, 1, 1, …} и {1, 2, 3, …}), пространство всех многочленов степени не выше 2 (в качестве его базиса можно взять три многочлена - y = 1, y = x и y = x², поэтому оно трехмерно). А, например, пространство всех функций на отрезке [0; 1] не имеет конечного базиса и потому «бесконечномерное».

15. Дать понятие ортонормированного базиса и ориентации базиса

В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Любую ортонормированную систему векторов конечномерного евклидова пространства можно дополнить до ортонормированного базиса. Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом. Если e1, e2, ..en -- ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и x = x1e1 + x2e2 + .+ xnen -- разложение вектора x по этому базису, то координаты xi вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам xi =(x, ei), i = 1, 2, ..n. Пространство n-мерных арифметических векторов Rn с естественным скалярным произведением (x,y) = x1·y1+ x2·y2 + .+ xn·yn ? n-мерное евклидово пространство. Векторы e1= (1, 0, 0,...0, 0), e2= (0, 1, 0,...0, 0), ..en-1= (0, 0, 0,...1, 0), en= (0, 0, 0,...0, 1), образуют ортонормированный базис пространства Rn. Очевидно, что (ei, ej) = 0, если i ? j ,(ei, ei) = 1.

Ортонормированный базис Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице. Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат. Пример. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы, и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему: линейно независимы. Тогда . Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера. D1 = ; D2 = D3 = Итого, координаты вектора в базисе , ,: { -1/4, 7/4, 5/2}. Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то . Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, считая от А, то координаты этой точки определяются как: В частном случае координаты середины отрезка находятся как: x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.

16. Дать определение прямоугольной матрицы, равенства матриц, транспонированной матрицы. Как определяются и выполняются действия умножения матрица на число, умножения, вычитания и умножения матриц

Определение 1. Прямоугольная таблица чисел виданазывается прямоугольной матрицей размера , где m - количество строк, а n - количество столбцов.

Определение 2. Числа, которые образуют матрицу, - a_ij, где , , называются элементами матрицы. Определение 3. Числа i и j называются индексами элемента a_ij, i показывает, в какой строке расположен данный элемент, а j - в каком столбце находится этот элемент. Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы.

Транспонированная матрица - это матрица, полученная из исходной путем замены строк на столбцы. Например,

или вот так

Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число

Умножение матрицы на число.

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае - на тройку.

Еще один полезный пример:

- умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если - окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:



Из статьи Математика для чайников или с чего начать мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере - это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление - это частный случай умножения.

Сумма (разность) матриц.

Суммой (разностью) двух матриц одинакового порядка называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц.

Сумма матриц действие несложное. НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример:

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание - это частный случай сложения.

Произведением двух матриц А и В, размеры которых заданы соотношением: количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй, называется матрица С, у которой количество строк равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов равно количеству столбцов второй. Каждый элемент данной матрицы равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй.

Умножение матриц. Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример: Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так. Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:

Пример:

Умножить матрицу на матрицу Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

- попытайтесь сразу уловить закономерность.

Пример сложнее:

Умножить матрицу на матрицу

Формула:

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

17. Что называется определителем квадратной матрицы? Описать правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков

Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равны)

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |A| или ?(A).

Свойства определителей:

· При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

· Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

· Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

· Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

· Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

· Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

· Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

· Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

· Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей

Квадратная таблица

A=(a11a21a12a22)

составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице A (или просто определителем матрицы A) называется число

detA=???a11a21a12a22???=a11a22?a12a21.

Аналогично если

A=??a11a21a31a12a22a32a13a23a33??

- квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

detA=????a11a21a31a12a22a32a13a23a33????=

a11a22a33+a21a32a13+a12a23a33?a13a22a31?a12a21a33?a21a32a11.

Эту формулу называют "правило треугольника": одно из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком "+", есть произведение элементов главной диагонали матрицы, каждое из двух других - произведение элементов лежащих на параллели к этой диагонали и элемента из противоположного угла матрицы, а слагаемые, входящие в со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно второй (побочной) диагонали.

18. Сформулировать теорему об алгебраических дополнениях элементов строки (столбца) определителя и объяснить ее роль для вычисления

Рассмотрим определитель третьего порядка

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

?a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31.

Соберем в этом выражении члены, содержащие какой-нибудь один элемент этого определителя, и вынесем указанный элемент за скобки

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31 = a11(a22a33 ? a23a32) + a12(a23a31 ? a21a33) + a13(a21a32 ? a22a31)

Величина, остающаяся при этом в скобках, называется алгебраическим дополнением указанного элемента. Алгебраическое дополнение данного элемента будем обозначать большой латинской буквой того же наименования, что и данный элемент, и снабжать тем же номером, который имеет данный элемент. Например, алгебраическое дополнение элемента a11 будем обозначать через A11,алгебраическое дополнение элемента a12 - через A12 и т. д.

Непосредственно из выражения для определителя (3.1) и из того, что каждое слагаемое в правой части (3.1) содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого столбца, вытекают следующие равенства:

? = a11A11 + a12A12 + a13A13

? = a21A21 + a22A22 + a23A23

? = a31A31 + a32A32 + a33A33

? = a11A11 + a21A21 + a31A31

? = a12A12 + a22A22 + a32A32

? = a13A13 + a23A23 + a33A33

Эти равенства выражают следующее свойство определителя: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (какого-либо столбца)на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки(этого столбца).

Равенства (3.3) - (3.5) принято называть разложением определителя по элементам соответственно первой, второй или третьей строки, а равенства (3.6) -(3.8) - разложением определителя по элементам соответственно первого, второго или третьего столбца.

Введем теперь важное понятие минора данного элемента определителя.3.1. Алгебраические дополнения и миноры.

Определение. Минором данного элемента определителя n - го порядка называется определитель (n ? 1) - го порядка, получаемый из данного определителя путем вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента aij будем обозначать символом Mij . В этом обозначении первый индекс обозначает номер строки, второй - номер столбца. Например,

M11 = a22 a23

a32 a33

M12 = a21 a23

a31 a33

M13 = a21 a22

a31 a32

Правило Алгебраические дополнения и миноры связаны между собой по следующему правилу: алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца (i + j), на пересечении которых стоит данный элемент, есть число четное, и со знаком минус - в противном случае.

Таким образом, соответствующие алгебраическое дополнение и минор могут отличаться только знаком. Следующая таблица дает наглядное представление о том, каким знаком связаны соответствующие алгебраическое дополнение и ми-нор:

+ ? +

? + ?

+ ? +

19. Описать постановку задачи исследования и решения системы линейных алгебраических уравнений с несколькими неизвестными. Описать различные формы записи системы линейных уравнений

Пусть система уравнений имеет вид:

(1) 

(1) AX =B, где х

Х= , B= , A=

A= ,

Для такой системы в случае : имеет место равенство

=n

По теореме Кронекера-Капелли систем= (1)

Методы нахождения систем

1. Матричный метод.

В рассматриваемом случае матрица А имеет обратное ,части уравнения AX=B. Получим ,

X=

Это формула для решения (1) или 1. По этой формуле для нахождения решения:

1) Вычислить

2) Умножить В слева на

Способ определителей .

23.Формулы Крамера.

Х= ==

=

3. Метод Гауса-Жардана (метод элементарных преобразований)

Этот метод основан на возможности приведения матрицы А к диагональному виду ( = ,

Так же как для обратной матрицы.

20. Охарактеризовать способ исследования и решения систем линейных уравнений с помощью определителя. Вывести формулы по Крамера

Пусть дана система n-линейных уравнений с n-неизвестными х₁, х₂,..., х_n:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+...+а_1nх_n=b₁,

а₂₁х₁+а₂₂х₂+...+а_2nх_n=b₂,

а_n1х₁+а_n2х₂+...+а_nnх_n=b_n.

Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, и её определитель называются соответственно матрицей системы (1) и определителем этой системы.

Пусть А_ij (i, j =1, 2,...,n)- алгебраические дополнения элементов определителя . Преобразуем систему (1) так, чтобы каждое из её уравнений содержало только одно неизвестное. Для этого умножим первое уравнение системы на А₁₁, второе - на А₂₁,..., n-е - на А_n1 и сложим их; затем умножим уравнения системы соответственно на А₂₁, А₂₂, ..., А_n2 и сложим их, и т.д., наконец, умножим уравнения системы соответственно на А_n1, А_n2, ..., А_nn и опять сложим. Получим новую систему уравнений:

х₁= b₁А₁₁+ b₂ А₂₁+...+ b_n А_n1,

х₂= b₁А₁₂+ b₂ А₂₂+...+ b_n А_n2,

х_n= b₁А_1n+ b₂ А_2n+...+ b_n А_nn.

Правые части уравнения системы (2) обозначим соответственно символами 1, 2, ..., n, где

Тогда система уравнений (2)примет вид:

х₁=₁,

х₂=_2,

х_n=_n.

Если , то из этих уравнений находим

Полученные формулы называются формулами Крамера; они дают решение системы (2), полученной из системы (1).

Формулы Крамера (5) являются единственным решением системы (1), поскольку система (2) выведена из системы (1). Таким образом, следует

Теорема: если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера.

Правило Крамера. Система n уравнений с n переменными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, определяемое следующим правилом: значение каждого из переменных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом переменном столбцом свободных членов.

21. Дать определение прямоугольной системы координат на плоскости и в пространстве. Как определяются координаты на точке?

Прямоугольная система координат -- прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координатX иY. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

Положение точки на плоскости определяется двумя координатамиx иy . Координатаx равна длине отрезка OA, координатаy -- длине отрезкаOB в выбранных единицах измерения. Отрезки и определяются линиями, проведёнными из точки параллельно осям и соответственно.

При этом координатеx приписывается знак минус, если она лежит левее оси OY. Координатеy приписывается знак минус, если точка лежит ниже осиOX.

Координатаx называется абсциссой точки, координатаy -- ординатой точки.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX,OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей.OX -- ось абсцисс,OY-- ось ординат,OZ -- ось аппликат.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатамиx,y и z. Координата равна длине отрезка OA, координата -- длине отрезка OB, координата -- длине отрезкаOC в выбранных единицах измерения.

Координата называется абсциссой точки x, координата y -- ординатой точки, координатаz -- аппликатой точки.

Чтобы определить координаты точки, нужно опустить перпендикуляры от этой точки до осей.

22. Описать способы вычисления угла между двумя прямыми на плоскости с помощью нормальных векторов и с помощью угловых коэффициентов. Описать способы вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

Вычисление угла между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами k₁ и k₂: у = k₁x + b₁ и у = k₂x + b₂.

За нормальные векторы этих прямых можно взять n₁ = (k₁; --1) и n₂ = (k₂; --1). Формула (2) § 32 в этом случае имеет вид

. (1)

С помощью этой формулы можно найти угол ц между прямыми с угловыми коэффициентами k₁ и k₂:

Если k₁ = k₂:, то cos ц =. 1 и ц = 0, т. е. прямые параллельны.

Если k₁k₂+1= 0, то cos ц = 0 и ц = ^р/₂. т. е. прямые перпендикулярны.

Следовательно, необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами, формулируются следующим образом:

для того чтобы прямые у = k₁x + b₁ и у = k₂x + b₂ были:

а) параллельны, необходимо и достаточно, чтобы k₁ = k₂

б) перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы k₁k₂ = --1.

Выведем еще одну (более простую) формулу для угла между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами.

Так как 0 < ц < 90°, то sin ц > 0 и

sin ц = v1 -- cos²ц.

Подставив выражение для cos ц из формулы (1), получим

Отсюда и из формулы (1) следует, что для тангенса угла между прямыми с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ справедлива формула

(2)

Если знаменатель в формуле (2) обращается в нуль, т. е. если k₁k₂+1= 0, то, как уже отмечалось выше, прямые перпендикулярны и ц = 90°.

Задача 1. Найти угол между прямыми у = -- ^x/₇ + 2 и y = ³/₄ x + 5.

По формуле (2), полагая k₁ = -- ¹/₇, k₂ = ³/₄, находим

Угол между прямыми равен 45°. ^

Задача 2. Вычислить угол между прямыми у = -- ^x/₄ + 1 и у = 8х + 7.

Полагая в формуле (2) k₁ = -- ¹/₄, k₂ = 8, получаем

По таблице тангенсов находим ц ? 83°.

Задача 3. Доказать, что прямые у = -- ^x/₃ -- 3 и у = 3x -- 1 перпендикулярны.

Проверим, выполняется ли условие перпендикулярности прямых:

k₁k₂ = (-- ¹/₃ ) * 3 = -- 1.

Следовательно, прямые перпендикулярны.

Расстояние от точки до прямой

Дана прямая Ах+Ву+С=0 и точка Q(х₁, у₁). Требуется найти расстояние от точки Q до прямой. Это расстояние находится по формуле: (7) Пример. Даны вершины треугольника АВС: А(-2,3), В(1,12), С(11,6). Найти: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение высоты СD, опущенной из вершины С на сторону АВ; 3) уравнение медианы АЕ; 4) уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром. Решение. 1. Уравнение прямой, проходящей через точку А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂), имеет вид . Чтобы найти уравнение стороны АВ, подставим координаты точек А и В в уравнение прямой: ; у -3=3х +6; у=3 х+9 (АВ). 2. Высота СD перпендикулярна стороне АВ, а потому их угловые коэффициенты k_CD и k_AB удовлетворяют условию . Из уравнения прямой АВ следует, что k_AB =3, тогда . Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: y - y₁ =k (x- x ₁) . Подставив в уравнение координаты точки С и угловой коэффициент k_CD получим искомое уравнение высоты СD: (СD). 3. Определим координаты точки Е. Применяем формулы деления отрезка пополам: . Используя координаты вершин В и С получаем: По точкам А и Е построим уравнение медианы АЕ: 4. Уравнение окружности радикса R с центром в точке К(а,b) имеет вид ( х-а)² +(у-b) ²= R². Так как по условию медиана АЕ является диаметром искомой окружности; то центр окружности К делит отрезок АЕ пополам. Находим координаты точки К: . Чтобы найти радиус R окружности, достаточно найти расстояние между точками А и К. Известно, что расстояние d между двумя точками плоскостиМ₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) определяется по формуле: . Подставив координаты точек А и К, получаем , т.е. R=5. Следовательно, (х -2)² +(у -6)² =25 - искомое уравнение окружности. Пример. В треугольнике с вершинами А(2,3), В(-1,0), С(4,1) найти длину высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС. Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через сторону ВС по формуле (5): или . Найдем длину высоты АЕ по формуле (7): .

...