Пример расчета некоторых математических функций

23. Описать различные способы задания плоскости в пространстве и соответствующие им уравнения. Описать различные способы задания прямой в пространстве и соответствующие им уравнения

Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве.

Плоскость в пространстве.

Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀ ,у₀ ,z₀) перпендикулярно вектору n = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М₀М = {x - x₀ , y - y_{0 ,} z - z₀) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0. (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости - уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

Неполные уравнения плоскости.

Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1) D = 0 - плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2) А = 0 - n = {0,B,C}Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3) В = 0 - плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4) С = 0 - плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5) А = В = 0 - плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6) А = С = 0 - плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7) B = C = 0 - плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8) А = D = 0 - плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9) B = D = 0 - плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10) C = D = 0 - плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11) A = B = D = 0 - уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12) A = C = D = 0 - получаем Ву = 0 - уравнение координатной плоскости Охz.

13) B = C = D = 0 - плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным ( то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

(8.3)

называемому уравнением плоскости в отрезках. Способ преобразования показан в лекции 7. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Прямая в пространстве.

Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.

Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве - представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

где коэффициенты A₁,B₁,C₁ и A₂,B₂,C₂ не пропорциональны:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (8.10)

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.

Составим уравнения прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a={l,m,n}.

Определение 8.1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М₀М = {x - x₀,y - y₀,z - z₀) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:

(8.11)

называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

М₁(х₁, у₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М₁М₂ = {x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁}, и уравнения (8.11) принимают вид:

- (8.12)

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8.11) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

. (8.13)

Для того, чтобы перейти от уравнений (8.10) к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [n₁n₂] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений (8.10), выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

Пример. Составим канонические уравнения прямой

.

Найдем [n₁n₂]. n₁ = {2,1,-3}, n₂ = {1,-5,4}. Тогда [n₁n₂] = {-11,-11,-11}. Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор {1,1,1}.

Будем искать точку на прямой с координатой z₀=0. Для координат х₀ и у₀ получим систему уравнений , откуда х₀=2, у₀=1. Теперь можно составить канонические уравнения прямой:

.

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:

Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.

24. Дать определение предела функции в точке и в бесконечности, односторонних пределов (слева и справа) функции в конечной точке. Описать связь между ними

Предел функции - основные понятия.

Бесконечность обозначают символом . По сути, бесконечность это есть либо бесконечно большое положительное число , либо бесконечно большое отрицательное число .

Что это означает: когда Вы видите , то не имеет разницы это или . Но лучше не заменять на , равно как и лучше не заменять на .

Записывать предел функции f(x) принято в виде , снизу указывается аргумент x и через стрелочку к какому значению он стремится.

Если представляет из себя конкретное действительное число, то говорят о пределе функции в точке.

Если или . то говорят о пределе функции на бесконечности.

Сам предел может быть равен конкретному действительному числу , в этом случае говорят, что предел конечен.

Если , или , то говорят, что предел бесконечен.

Еще говорят, что предел не существует, если нельзя определить конкретное значение предела или его бесконечное значение (, или ). Например, предел от синуса на бесконечности не существует.

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого е > 0 существует д > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого е > 0 существует д > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается предел справа - Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x > 0 обычно опускают первый нуль: и . Так, для функции

25. Каковы основные типы неопределенностей при вычислении пределов функций и способов их раскрытия?

Существуют случаи, когда не применимы теоремы о пределах суммы, произведения, частного, но предел существует и может быть вычислен. Если и , то может существовать . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа . Также может существовать , в этом случае имеем неопределенность типа . Если и , то может существовать . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа . Если и , то может существовать - неопределенность типа . Рассматривают также неопределенности типа , и т. д. Основным признаком неопределенности является невозможность корректного вычисления функции простой подстановкой в выражение для функции. Полезно запомнить замечательные пределы:

(е = 2.71828… - основание натуральных логарифмов) - неопределенность типа .

- неопределенность типа .

26.Охарактеризовать точки непрерывности и точки разрыва функции с помощью односторонних пределов (слева и права) функции в конечной точке. Описать связь между ними

Непрерывность и точки разрыва функции

Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х₀, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента х-х₀= х соответствует бесконечно малое приращение функции

у--у₀ = у, т. е. если

lim y = lim [ f (х₀ + х) - f (х₀)] = 0.

Этому определению равносильно следующее:

Функция f (х) называется непрерывной в точке х₀, если при х-->х₀ предел функции существует и равен ее частному значению в этой точке, т. е. если lim f(х) = f(x₀).

x->х₀

Для непрерывности функции f(х) в точке х₀ необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку х_0.(т. е. в самой точке х₀ и вблизи этой точки);

2) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы

lim f (х) = lim f (x);

x->х₀ -0 x->х₀ +0

3) эти односторонние пределы должны быть равны f (x₀).

Функция f (x) называется разрывной в точке х₀, если она определена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х₀ не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Разрыв функции f(х) в точке х₀ называется конечным, или 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы

lim f(x) и lim f(х).

x-> х₀ -0 x-> х₀ +0

Все другие случаи разрыва функции называются разрывами- 2-го-рода; в частности, если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то и разрыв функции называется бесконечным.

Скачком функции f(х) в точке разрыва х₀ называется разность ее односторонних пределов lim f(x) и lim f(х) если они различны.

x-> х₀ -0 x-> х₀ +0

Если точка х₀ является левой или правой границей области определения функции f(х), то следует рассматривать значения функции соответственно только справа или только слева от этой точки и в самой точке. При этом:

1) если граничная точка х₀ входит в область определения функции, то она будет точкой непрерывности или точкой разрыва функции, смотря по тому, будет ли предел функции при х -->х₀ изнутри ее области определения равен или не равен f(х₀);

2) если граничная точка х₀ не входит в область определения функции, то она является точкой разрыва функции.

Функция называется непрерывной в некотором интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала.

Все элементарные функции непрерывны в тех интервалах, в которых они определены.

При отыскании точек разрыва функции можно руководствоваться следующими положениями:

1. Элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, но не может быть разрывной во всех точках какого-либо интервала.

2. Элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, где она не определена, при условии, если она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки в сколь угодно близких к ней точках.

3. Неэлементарная функция может иметь разрывы как в точках, где она не определена, так и в точках, где она определена; в частности, если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в тех точках, где меняется ее аналитическое выражение.

27. Характеристика монотонности функции с помощью производной. Определение интервалов монотонности функций

Монотонная функция -- это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда отрицательное, либо всегда положительное. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Свойства монотонных функций

ь Монотонная функция, f : { a,b } R ,определённая на замкнутом интервале, ограничена.

ь Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.

ь Монотонная функция f : { a,b } R, дифференцируема почти всюду

Интервалом монотонности функции можно назвать промежуток, в котором функция либо только возрастает, либо только убывает.

Пример.

Исследовать на экстремум функцию f(x) = x/(x2 - 4) и найти ее промежутки монотонности.

Решение:

1) Функция определена для всех R, кроме x=-2, x=2

2) Найдем производную: f '(x)= -(x2 +4)/(x2 - 4)2 .

3) Заметим, что производная не обращается в ноль и отрицательна на всей области определения данной функции. Значит, точек экстремума нет, и функция является убывающей на всей области определения.

4) Таким образом, данная функция убывает на промежутках:-?< x <-2; -2<x<2 и 2<x< +? .

Ответ: точек экстремума нет; функция убывает (?;-2) , (-2; 2) и (2; +?).

28. Характеристика выпуклости функции с помощью производной 2-ого порядка. Определение интервалов выпуклости и точек перегиба графика функции

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

Если f ?(x) ? 0 , то функция f (x) в точке х0 имеет максимум,

если ( 0 ) 0 f ? x ? и минимум, если ( 0 ) 0 f ? x ? .

Если ( 0 ) 0 f ? x ? , то характер критической точки неизвестен. Для его

определения требуется дальнейшее исследование.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x₀) = 0 или f ''(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x₀ и f ''(x) > 0 при x > x₀. Тогда при x < x₀ кривая выпукла, а при x > x₀ - вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x₀ есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x₀ и f ''(x) < 0 при x > x₀.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых.

1.

Найдем производные заданной функции до второго порядка.

.

.

Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб. Итак, точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +?), вогнута на (-?; 1).

2. 

Возможные точки перегиба найдем, решив уравнение 2x² - 1 = 0. Отсюда .

Точки перегиба . Функция выпукла на и вогнута на .

3. y = ln (1 - x²). Область определения функции D(y) = (-1; 1).

.

при всех x из (-1; 1).

Следовательно, f(x) выпуклая на (-1; 1).

29. Экстремумы функций и их нахождение с помощью производных. Необходимый признак и достаточные признаки существования экстремума

Экстремум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Нахождение точек экстремума с помощью производных.

1. Берём производную данной функции

2. Приравниваем её к нулю

3. Находим значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль

4. Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом ещё не забываем о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую). Эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум

5. Вычисляем на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких - отрицательной.

6. Находим экстремумы(Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой, если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется из плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если из минуса на плюс, то - минимумом.)

Есть и другой вариант. Берут ещё и вторую производную. Тогда точка, в какой первая производная равна нулю, а вторая больше ноля, будет минимумом, а если в точке первая производная равна нолю, а вторая меньше ноля, то эта точка будет максимумом.

Теорема 1 (необходимые условия существования экстремума)

Если функция z = f(x, y) в точке имеет экстремум, то в этой точке обе частные производные равны нулю (f_x?(P₀) = 0, f_y?(P₀) = 0) или, по крайней мере, одна из них не существует.

Теорема 1 имеет простой геометрический смысл. Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) в точке экстремума P₀ параллельна плоскости Оху (z_x?(P₀) = 0, z_y?(P₀) = 0) или не существует.

Необходимые условия существования экстремума остаются справедливыми и для функций большего числа переменных.

Точки, в которых все частные производные первого порядка функции z = f(P) равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются критическими точками. Если в критической точке функция дифференцируема, то все частные производные первого порядка в ней обращаются в нуль. Такую точку часто называют стационарной. Для отыскания стационарных точек функции z = f(x, y) находят частные производные первого порядка и решают систему уравнений

(3)

Пример 1. Найти стационарные точки функции z = x³ + y³ - 3 x y.

Решение. Находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений (3):

или

Решив эту систему, получим две стационарные точки Р₁(0,0) и Р₂(1,1).

Согласно теореме 1 любая точка экстремума является критической точкой функции, но не всякая критическая точка является точкой экстремума, т. е. необходимые условия (теорема 1) не являются достаточными условиями существования экстремума.

Действительно, для функции z = xy точка (0,0) является критической, так как в ней частные производные z_x? = y, z_y? = x обращаются в нуль. Однако в этой точке функция не имеет экстремума, поскольку в точке (0,0) функция равна нулю, а в любой окрестности данной точки она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, не существует окрестности точки (0,0), где приращение функции сохраняет знак.

Ответ на вопрос, является ли стационарная точка точкой экстремума, дают достаточные условия существования экстремума, которые будут сформулированы ниже в виде теоремы.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция z = f(x,y) в стационарной точке Р₀ (х₀,у₀) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Если А = f??_xx (Р₀), B = f??_xy (Р₀), C = f??_yy (Р₀) и ?(Р₀) = АС - В², то возможны три случая:

1) при ?(Р₀) > 0 Р₀ - точка экстремума, причем, в точке Р₀ максимум, когда А< 0, и минимум, когда А > 0;

2) при ?(Р₀) < 0 Р₀ не является точкой экстремума;

3) при ?(Р₀) = 0 о характере стационарной точки Р₀ никакого заключения сделать нельзя, нужны дополнительные исследования.

Замечание. Приведенные выше условия эквивалентны следующим. Пусть Р₀ - стационарная точка функции z = f(x, y), т. е. d f(Р₀) = 0, тогда:

1) если d²f(Р₀) < 0 при dx² + dy² ? 0, то f(Р₀) - максимум функции f(x, y);

2) если d² f(Р₀) ? 0 при dx² + dy² ? 0, то f(Р₀) - минимум функции f(x, y);

3) если d²f(Р₀) меняет знак, то f(Р₀) не является экстремумом.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию z = (x² - 2y²) e ^{x - y}.

Решение. Найдем стационарные точки функции. Для этого вычислим первые частные производные:

Приравнивая их к нулю, получим систему

Решениями системы являются две стационарные точки: Р₁(0, 0) и Р₂(-4, -2). Для выяснения их характера согласно теореме 2 найдем ?(Р₁) и ?(Р₂), вычислив предварительно значения частных производных второго порядка.

Для точки Р₁(0, 0) имеем А = 2, В = 0, С = - 4 и ?(Р₁) = АС - В ² = - 8 < 0. На основании теоремы 2 делаем вывод, что в точке Р₁ функция экстремума не имеет. Для точки Р₂ соответственно получаем

А = - 6е ^{- 2}, В = 8е ^{- 2}, С = - 12е ^{- 2} и ?( Р₂) = АС - В ² =72е ^{- 4} - 64е ^{- 4}= 8е ^{- 4} > 0.

Следовательно, Р₂(-4, -2) - точка экстремума, а поскольку А = - 6е ^{- 2} < 0, то Р₂ - точка минимума и минимальное значение функции f(Р₂) = 8е ^{- 2}.

30. Общая схема исследования функции и построения графика

1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

3. Найти точки пересечения с осями координат

4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.

5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

8. Найти наклонные асимптоты функции.

9. Построить график функции.

31. Определение производной функции двух переменных по произвольному направлению. Ее выражение через частные производные. Вектор-градиент функции двух переменных и его свойства

Градиент, производная функция 2-х переменных. Выражение через частные производные.

1. Определение 1. Производная функции u = u(x, y, z) по переменной t называется производной по направлению l

Так как на этой прямой u - сложная функция одной переменной, то производная по t равна полной производной по t (§ 12).

Определение 2. Градиентом функции u(х1,х2,…,хn) называется вектор, координаты которого равны частным производным функции u

Отсюда следует геометрический и физический смысл градиента функции

1. Градиент ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня в данной точке.

2. Градиент направлен в сторону максимального роста (изменения) функции в т.М0

3. Величина наибольшей скорости роста функции равна u=xy²z

2. Определение 1.1 Если каждой совокупности значений "n" переменных из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция "n" переменных.

Множество D, указанное в определении 1.1, называется областью определения или областью существования этой функции.

Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f ( x, y ) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.

Так, например, областью определения функции z=r²-x²-y²

является множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют соотношению x²+y²<r²

т. е. представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат.

Для функции z=ln(x²+y²-r²)

областью определения служат точки, которые удовлетворяют условию z²+y²-r²

т. е. внешние по отношению к заданному кругу.

Часто функции двух переменных задаются в неявном виде, т. е. как уравнение F(x,y,z)=0 связывающее три переменные величины. В этом случае каждую из величин x, y, z можно рассматривать как неявную функцию двух остальных.

3. частные производные - это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций.

Первое, что мы делаем при нахождении частной производной - заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.

32. Сформулировать необходимое условие существования экстремума функции и объяснить его роль для поиска точек экстремума

Необходимое условие экстремума функции

Теорема (Ферма): Если функция f во внутренней точке x0?Д имеет локальный экстремум и дифференцируема в ней, то f?(x0)=0.

Доказательство: В самом деле, если мы допустим, что в точке x0 f?(x0)/=0 ,то по теореме 1 значение f(x0) не может быть локальным экстремумом, что противоречит условию теоремы. ч.т.д.

Определение Точки xi, в которыx f?(xi)=0 , называются стационарными точками или точками возможного экстремума.

Не каждая стационарная точка доставляет функции экстремум.

Пример. f(x)=x3,f`(x)=3x2,3x2=0=>x=0 -- не доставляет экстремум. x=0-- стационарная точка.

Те значениях, в которых f`(xi)=0, и те точки в которых функция не дифференцируема будут называются критическими точками.

Теорема2 (достаточное условие локального экстремума): Пусть точка x0- критическая точка функции f и пусть функция f непрерывна в ней. Если функция f дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U0(x0) в точке x0 и ее производная при переходе через точку x0меняет знак, то f(x0) есть локальный экстремум функции, причем f(x0) будет локальным max, если производная f? при переходе через точку x0 меняет свой знак с `+' на `-' и f(x0) -- локальный min, если при переходе через точку x0 меняет свой знак с `-' на `+'.

Доказательство: Пусть производная f? при переходе через критическую точку x0 меняет знак с `+' на `-',

т.е. f?>0 на U?(x0) (левой полу окрестности) и

f?<0 на U+(x0). Тогда по критерию монотонности функции на U?(x0) функция f возрастает, поэтому с учетом ее непрерывности в точке x0 для всеx x?U?(x0) будем иметь f(x)?f(x0) . На U+(x0) по критерию монотонности функция f убывает, поэтому

?x?U+(x0),f(x)?f(x0)

Итак, при всех x принадлежащих достаточно малой окрестности U(x0) точки x0верно неравенство f(x)?f(x0)

Из чего, согласно определению, следует, что f(x0) - локальный max функции f. Аналогично, доказывается справедливость теоремы, когда f? при переходе через критическую точку x0 меняет знак с `-' на `+'.ч.т.д.

Теорема 3 (достаточное условие локального экстремума): Пусть точка x0- стационарная точка функции f. Если f дифференцируема в некоторой окрестности U(x0) точке x0, а в самой точке x0она дважды дифференцируема и f??(x0)/=0 , то f(x0) -- есть локальный экстремум функции f, а именно f(x0) является локальным max, если f??(x0)<0 и f(x0) -- локальным min, если f??(x0)>0.

Доказательство: Пусть f??(x0)<0 , тогда функция f? в точке x0 будет убывающей, т.е. для точек x левой полу окрестности U?(x0) точки x0будет иметь f?(x)>f?(x0)=0 , для точки

x?U+(x0),f?(x)<f?(x0)=0 , т.е.

при переходе через точку x0производная f? меняет свой знак с `+' на `-'. По теореме 2 получаем, что f(x0) является локальным max функции f.

2) Пусть f??(x0)>0 , тогда функция f? в точке x0 будет возрастающей. Поскольку x0- стационарная точка функции, т.е. f?(x0)=0 , то это означает, что при переходе через точку x0 производная f? меняет свой знак с `-' на `+', что и означает, что f(x0) локальный min функции f. ч.т.д.

Определение Точка М(x0,f(x0)) называется точкой перегиба графика функции f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пределах которой график функции слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости.

Теорема (необходимое условие точки перегиба): Пусть график функции имеет перегиб в точке М(x0,f(x0)) и пусть функция y=f(x) имеет в точке x0 непрерывную вторую производную, тогда f??(x)=0.

Доказательство: (от противного) Предположим, что в точке x0f??(x) не обращается в ноль, значит существуетU(д,x0), где f??(x)/=0 для любого x0?U(д,x0) . Тогда в этой окрестности U(д,x0) функция f(x) является выпуклой либо вверхx, либо вниз, и следовательно точка x0 не является точкой перегиба. Получили противоречие, т.к. М(x0,f(x0)) -- точка перегиба. Следовательно f??(x)=0 . Ч. и т.д.

Определение Точки М(x0,f(x0)) графика функции f(x), для которых f??(x)=0 , будем называть критическими.

Замечание: Не всякая точка x0, в которой f??(x)=0 , является точкой перегиба.

Пример: y=x4, {y}'=4x3,y??=12x2, y??=0, 12x2=0,x=0. Функция выпукла без точек перегиба.

Теорема (достаточно условие точки перегиба): Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0, тогда если в этой окрестности f??(x) имеет разные знаки слева и справа от точки x0, то график функции имеет перегиб в точке М(x0,f(x0)).

Доказательство:

f??(x)?0 для любого

x?U(x0?д,x0) , т.е выпуклость вверx,

f??(x)?0 для любого

x?U(x0,x0+д) , т.е выпуклость вниз.

Следовательно, точка М(x0,f(x0)) -- точка перегиба функции.

33. Дать определение неопределенного интеграла. Сформулировать основные свойства неопределенного интеграла

Если F(x) является первообразной для функции f (x) , то выражение F(x) + C , называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом ?f (x)dx.

Таким образом, по определению ?f (x)dx= F(x) + C , если F?(x)= f (x) .

При этом, знак ?называют знаком интеграла, функцию f (x) называют

подынтегральной функцией, выражение f (x) называют подынтегральным выражением. Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием функции. Проинтегрировать функцию значит найти все ее первообразные.

Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций y = F(x) + C . Геометрически, это семейство кривых, каждая из которых получается путем сдвига вдоль оси Oy. Эти кривые называют интегральными кривыми.

Естественно возникает вопрос, для всякой ли функции существует первообразная. Оказывается, что если f (x) непрерывна на интервале (a;b) , то для нее существует первообразная F(x) на (a;b) , а следовательно, и неопределенный интеграл ?f (x)dx.

Свойства неопределенного интеграла

Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (?f (x)dx)?= f (x).

Действительно пользуясь определением 1, имеем (?f (x)dx)?=(F(x) + C)?= f (x).

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению d(?f (x)dx) = f (x)dx.

В самом деле, по определению ?f (x)dx= F(x) + C , тогда, вспоминая определение дифференциала, имеем

d(?f (x)dx) = d(F(x) + C)=(F(x) + C)?dx= F?(x)dx= f (x)dx.

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

?dF(x) = F(x) + C .

По определению дифференциала функции dF(x) = F?(x) fx, тогда имеем,

?dF(x) = ?F?(x)dx = ?f (x)dx = F(x) + C .

Свойство 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

?(f (x) + f (x))dx 1 2 = ?f (x)dx 1 + ?f (x)dx 2 .

Доказательство. По свойству 1 ( ( ( ) ( )) ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ?f x + f x dx? = f x + f x . С другой стороны (?f (x)dx1 + ( ) ) 2 ?f x dx?=(?( ) )? + (?( ) )? = ( ) + ( ) 1 2 1 2 f x dx f x dx f x f x .

Так как производные слева и справа равны, то функции отличаются на постоянную величину. В этом смысле и следует понимать свойство 4.

Свойство 5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е., если

C = const, то ?Сf(x)dx= С?f (x)dx.

Доказательство. Найдем производные от левой и правой части

(?Сf(x)dx)?=Сf(x), (C?f (x)dx)?=C(?f (x)dx)? = Cf(x) .

Производные слева и справа равны, следовательно, функции стоящие слева и справа отличаются только на постоянную величину.

34. В чем состоит сущность метода интегрирования по частям и замены переменной? Описать основные способы их применения

Метод подстановки

Рассмотрим один из сильнейших методов интегрального исчисления - метод замены переменной или подстановки.

Пусть требуется найти интеграл ?f (x)dx. Причем, непосредственно проинтегрировать мы не можем, но известно, что первообразная существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив x =?(t), где ?(t) - непрерывна, ее производная ??(t) непрерывна и имеет обратную функцию. Тогда dx=??(t)dt. В этом случае имеет место равенство

?f(x)dx=?f (?(t))??(t)dt.

Для доказательства найдем производные от обеих частей равенства. По свойству 1 неопределенного интеграла (?f (x)dx)? = f (x)

Производную от правой части находим, считая, переменную x функцией от переменной t . Учтя, что по правилу дифференцирования обратной функции dt/dx=1/??(t)находим производную по правилу дифференцирования сложной функции

Метод интегрирования по частям

Пусть u=f(x) и v=g(x) две функции от x, имеющие непрерывные производные u? = f ?(x) и v? = g?(x) . Тогда по правилу дифференцирования произведения d(uv) = udv+ vdu, или udv= d(uv) ?vdu.

Интегрируя обе части равенства, получаем ?udv= ?d(uv) ??vdu.

Применив свойство 3 неопределенного интеграла, окончательно имеем

?udv= uv??vdu.

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно заменяет интегрирование выражения udv= uv?dx, интегрированием выражения vdu= vu?dx. Поясним это примером.

Пример. Найти интеграл ?x cosxdx.

Положим u = x , а dv= cosxdx, тогда du= dx, а v = ?cosxdx= sinx .

Замечание: в выражении v мы можем брать любую постоянную, она в конечный результат не входит, поэтому ее удобно считать равной нулю.

Применив формулу интегрирования по частям, имеем

?xcosxdx= xsinx ??sinxdx= xsinx ?(?cosx) + C = xsinx + cosx + C .

Таким образом, интегрирование позволило заменить сложную подынтегральную функцию x cosx на простую sinx . Попутно, для получения v пришлось проинтегрировать выражение cosxdx- отсюда и название: интегрирование по частям.

Применяя формулу интегрирования по частям к вычислению предложенного интеграла, приходится разбивать подынтегральное выражение на два множителя: u и dv. Из которых первый дифференцируется, 11 а второй интегрируется. Нужно стараться, чтобы интегрирование dvне представляло трудностей и, чтобы vduимело более простой вид, чем udv.

При некотором навыке нет надобности, вводить обозначения u, v , и можно сразу применять формулу интегрирования по частям..

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, которые вычисляются с помощью интегрирования по частям. К ним относятся интегралы:

1). ?xksinxdx, ?xkcosxdx, ?xkeaxdx, при вычислении этих интегралов полагают

u = xk,

2). ?xklnmxdx, в этом интеграле полагают u = lnmx ,

3). ?xkarctgxdx, в этом интеграле полагают u = arctgx.

35. Охарактеризовать понятие определенного интеграла как предела интегральных сумм. Сформулировать простейшие свойства определенного интеграла и дать их геометрическую интерпретацию

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 ,x_i], …, [x_n-1 , x_n]; длину i-го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку и составим сумму . Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b]на части [x_i-1 , x_i], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается . Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так: . В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению: Если b=a, то ; если b<a, то

36. Охарактеризовать свойства определенного интеграла как функции его верхнего предела. Сформулировать и доказать формулу Ньютона-Лейбница

Интеграл с переменным верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема: Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и . Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе. Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда

,

где c - точка, лежащая между x и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

Формула Ньютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то . Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве пере обозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, . Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: . Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

37.Описать способы вычисления площадей плоскости фигур с помощью определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции:

Итак: Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла и на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур.

Рассмотрим несколько случаев расположения плоских фигур в декартовой системе координат:

1) Если функция f(x) > 0 на отрезке [a; b] (т.е. кривая y=f(x) расположена над осью OX), тогда площадь криволинейной трапеции будет равна:



2) Если функция f(x) < 0 на отрезке [a;b] т.е. кривая y=f(x) расположена под осью OX , то площадь криволинейной трапеции находится по формуле:

3) Если фигура, ограниченная кривой y=f(x) осью OX и прямыми x=a , x=b расположена по обе стороны от оси OX, т.е. часть криволинейной трапеции расположена осью OX, а другая часть под осью OX, тогда площадь заштрихованной фигуры равна сумме двух площадей:



4) Если фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и , прямыми x=a и x=b и , тогда ее площадь находится по формуле:

5) Если фигура имеет сложную форму, то прямыми , параллельными оси OY , ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

38. Дать определение случайного события. Как определяются действия над событиями? Перечислить и доказать их свойства

Случайное событие -- подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

...