Гладке збурення неперервного спектру і аналіз спектральних особливостей

Размещено на http://allbest.ru

Національна академія наук України

Інститут математики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Спеціальність 01.01.01 - математичний аналіз

Гладке збурення неперервного спектру і аналіз спектральних особливостей

Виконав: Черемних Євген Васильович

Київ - 2002



1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Спектральна теорія є одним з найважливіших напрямків як теорії лінійних операторів, так і функціонального аналізу в цілому. Навіть якщо обмежитись прямими застосуваннями до різноманітних фізичних проблем, то і цього достатньо для підтвердження значущості і актуальності даного напрямку. Крім того, внутрішня логіка розвитку теорії несамоспряжених операторів диктує в даний час необхідність відповідного розвитку питань спектральної теорії.

Наведемо відомі прізвища, з якими пов'язано значний розвиток спектральної теорії і які допоможуть зрозуміти тематику дисертації: Гельфанд І.М., Левітан Б.М., Костюченко А.Г.,Наймарк М.А.,Березанський Ю.М.,Марченко В.А., Рофе-Бекетов Ф.С.,Лянце В.Е, Фадєєв Л.Д., Крейн М., Горбачук М.Л., а також Фрідріхс К., Като Т., Курода С., і т.д.

Нас будуть цікавити питання, що належать до теорії збурення неперервного спектру.

Аналізу операторів, на неперервному спектру яких розташовано спектральні особливості, присвячено багато праць. Однією з найперших в цьому напрямку була відома праця Наймарка М.А. (1953). Систематична теорія як у випадку цілком неперервного збурення оператора множення на незалежну змінну, так і у випадку несамоспряженого оператора Штурма-Ліувілля була розроблена в серії відомих праць Лянце В.Е. Автор ефективно використовує вихід у простір узагальнених функцій для побудови спектрального розкладу і функції від оператора, досліджуваний об'єкт має форму

T=S+A^*B

Факторизація збурення використовувалась в працях Като Т. і співробітників, Куроди С. і т.д. Розвинена техніка дозволила численні застосування, в тому числі і до операторів з частинними похідними. Але спектральні особливості,як такі, часто залишались на другому плані, або їх аналіз приводив до занадто складної, незручної на практиці, побудови функції від оператора. Наприклад, Како Т., Yajima T. будують функцію від оператора і хвильові оператори лише відповідно до довільного інтервала неперервного спектра, що не містить спектральних особливостей. Таким чином, актуальною є задача вдосконалення побудови функції від оператора, особливо при наявності спектральних особливостей, з метою практичних застосувань,а саме, опису властивостей розв'язків інтегро-диференціальних рівнянь.

Зв'язок роботи з науковими програмами.

Тема дисертації належить до наукових напрямків, що розробляються у Львові, Харкові та Києві, а також узгоджується з планами наукової роботи кафедри вищоі математики НУ «Львівська політехніка «.

Мета роботи і задачі досліджень: продовжити напрямок досліджень, визначений працями Лянце В.Е. і дати конструкцію функції від оператора для моделі Фрідріхса так, щоб

1. вибір моделі Фрідріхса дозволяв розгляд оператора Штурма-Ліувілля;

2. конструкція функції від оператора враховувала наявність спектральних особливостей і визначала оператор, діючий безпосередньо у вихідному просторі.

З цією метою запропоновано модель Фрідріхса, де вибір параметрів є новим і таким, що модель дозволяє розгляд оператора Штурма-Ліувілля, і, як з'ясувалось, для операторів загального вигляду цієї моделі зберігаються суттєві властивості операторів Штурма-Ліувілля. Наведемо нові методи, що розроблено для вивчення запропонованої моделі Фрідріхса.

Метод побудови функції від оператора на основі оберненого Т-перетворення Фур'є; цей метод має ту перевагу, що не передбачає виходу в оснащений простір.

Метод побудови проектора, що відповідає спектральній особливості в розкладі даного оператора; як наслідок, одержано умови розв'язності певних диференціальних рівнянь.

Метод знаходження двосторонніх оцінок для розв'язків еволюційних рівнянь, що базується на канонічному представленні оператора зі спектральними особливостями.

Метод опису внесків в асимптотику експоненційної функції від оператора, обумовлених спектральними особливостями оператора, а також щільне розширення цієї функції від оператора з метою розгляду деяких початкових умов зовні простору.

Метод вивчення в термінах моделі Фрідріхса операторів зі збуреною областю визначення, наприклад, оператора Штурма-Ліувілля з нелокальною граничною умовою.

Метод побудови аналітичного продовження резольвенти оператора через неперервний спектр і встановлення умов скінченності точкового спектру.

Спосіб обчислення хвильових операторів при нелокальному збуренні граничної умови.

Спосіб доведення стійкості розв'язків оберненої задачі теорії розсіяння для самоспряженого оператора Штурма-Ліувілля.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані результати є новими. Основні результати одержано для класу операторів Штурма-Ліувілля на півосі з нелокальною граничною умовою і експоненційно-спадним комплекснозначним потенціалом, при цьому дія оператора також може бути збуреною. Збурення дії включає інтегральні оператори з достатньо швидко спадним ядром, потенціали із запізненням, їх лінійні комбінації і т.п. Для цих операторів одержано критерій скінченності множини власних значень і спектральних особливостей, а також необхідні і достатні умови розв'язності неоднорідного рівняння у тих випадках, коли спектральний параметр співпадає зі спектральною особливістю. Дано двосторонні оцінки як для значень експоненційної функції від оператора, так і для її норми, що приводить до оцінок розв'язків відповідних еволюційних рівнянь. Для розв'язків еволюційних рівнянь знайдено внески в асимптотику, що обумовлені спектральними особливостями відповідного оператора. При цьому є можливим розгляд як негладких початкових умов (тобто перетворення Фур'є початкового елементу може мати спектральні особливості точками розриву), так і початкових умов з простору більш ширшого, ніж вихідний. Доведено, що для розглядуваних операторів продовження резольвенти через неперервний спектр з точністю до одновимірного доданку є псевдорезольвентою в деякому банаховому просторі. Для операторів Штурма-Ліувілля з різними нелокальними граничними умовами доведено подібність відповідних частин операторів при умові, що множини спектральних особливостей (і відповідні кратності ) є однаковими. Одержано результат стосовно стійкості розв'язку оберненої задачі для оператора Штурма-Ліувілля. Знайдено розв'язки рівняння теплопровідності на півосі, що зберігають просторову асимптотику. Більшість наведених результатів одержано в загальному випадку для операторів деякої моделі Фрідріхса, що дозволяє розглядати різноманітні збурення оператора Штурма-Ліувілля.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати можна використовувати при подальшому вивчені несамоспряжених операторів, що виникають в теорії збурення неперервного спектру. При цьому можна використовувати як окремі результати стосовно конкретних операторів, так і певні загальні методи, приклади їх застосувань наведено в роботі. Результати можна використовувати як доповнення для спецкурсів для студентів математичних факультетів.

Особистий внесок здобувача. Робота виконана самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались в міжнародному математичному центрі ім. С. Банаха, Варшава, Польща, 24-28 січня 1996 р.; на 4-й міжнародній конференції пам'яті М.Кравчука, Київ, травень 1997 р.; на міжнародній конференції ім. М.Крейна, Одеса, 18-22 серпня, 1997 р.; на міжнародній конференції з теорії операторів IWOTA-2000, Бордо, Франція, 13-16 червня,2000 р.; на семінарі при лабораторїі математики університету Анаби, Алжир, 15-30 травня, 2001 р.; на 1-му Українському математичному конгресі, Київ, 22-26 серпня, 2001р., та на інших конференціях.

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано в 22 статтях у профільних журналах.

Структура та обсяг дисертаціі. Дисертація містить зміст, вступ, п'ять розділів, висновки та список джерел, обсяг роботи 307 стор.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Основою роботи є заміна традиційного спектрального розкладу на обернене T- перетворення Фур'є, що дозволяє будувати функцію від оператора без виходу з простору. Побудова оберненого T - перетворення Фур'є вимагає залучення нових теоретичних понять, що їх викладено в розділі 3. У розділі 4 побудовано функцію від оператора і в розділі 5 наведено відповідні застосування.

У роботі введено оператор загального вигляду або, в інших термінах, модель оператора. План всієї роботи полягає у попередньому вивченні абстрактної моделі з наступним застосуванням до конкретних прикладів диференціальних операторів, інтегро-диференціальних операторів і т. п. Дана модель є несамоспряженим оператором, побудованим як збурення самоспряженого оператора канонічного вигляду. Конструктивно модель є узагальненням відомої моделі Фрідріхса.

Оператори моделі діють в просторі де (s)>0, s>0 - деяка вага. Незбурений оператор S:HH є оператором множення на незалежну змінну: S()(), >0 з максимальною областю визначення D(S). Оператори моделі мають вигляд

T=S+A^*B, D(T)=D(S)

Представлення збурення V=A^*B у факторизованому вигляді є зручним і використовується багатьма авторами. Припускаємо, що оператори A,B діють з простору H в деякий допоміжний гільбертів простір G і мають вигляд

A=(s)(s)(s)ds, B=(s)(s)(s)ds

де вектор - функції (s), (s) приймають значення в просторі G. Отже, модель визначається параметрами (s), (s), (s), що повинні задовольняти наступні умови:

А₁) ,

А₂) функції (s), (s), (s) мають n неперервних похідних в інтервалі (0,) при деякому n1,

А₃) (s), (s), (1/(s))=o(1), (s),(s)=o(1/ln s), s,

А₄) sup_(0,)(s)¦(s)¦<, sup_(0,)(s)¦(s)¦<,

А₅) для кожного інтеграли (0) збігаються за нормою простору G і визначають обмежені оператори A,B:HG з областю значень, щільною в G.

Головна увага в роботі приділяється спектральним особливостям оператора Т. В окремих випадках вказано достатні умови скінченності множини спектральних особливостей та власних значень, в усіх інших випадках скінченність цієї множини передбачена як чергова умова на оператор T (якщо не вказано зворотне). Крім того, в багатьох питаннях число n в умові А₂ ) повинно бути не меншим за найбільший

порядок спектральної особливості.

Позначимо

K()=1+BS_?A^*,

де S=(S-)^-1, [0,) та K₊()(K_-()) - граничні значення в слабкій топології оператор - функції K() зверху (знизу) на півосі (0,).

Означення. Нехай

T=S+V

Позначимо

і

Граничні значення на додатній півосі білінійної форми (T,)_H, T=(T_)^_1 позначимо через (T,)_±.

Позначимо через множину значень >0 таких, що оператори N(), K_±() є оборотніми. Твердження, сформульоване в наступній теоремі, називаємо формулою відокремлення розгалуження.

Теорема. Нехай і ,C¹[0,)H, тоді

(1)



де a_?, b_?, R - власні функціонали відповідно операторів , а m_±() - деякі скалярні функції.

Відносно модельного оператора Т завжди припускаємо, що функції (s),(s) достатньо диференційовні так, що всі особливості оператор - функцій K_±(s)^_1, N(s)^_1 є узагальненими полюсами.

Означення. Точки (0,), в околі яких функції s(T_s,)₊ або s(T_s,)_{_} при певних, ,C[0,) необмежені, називаються спектральними особливостями оператора T, порядком спектральної особливості називається найбільший порядок узагальненого полюса функцій (T_s,)_±.

У твердженні доведено, що оператори K()-1, [0,), а також K_±(s)_1 ядерні, отже, визначено функції detK() і detK_±(s).

Точка =0 називається спектральною особливістю, якщо найменше ціле m, при якому функції s^m/detK_±(s) обмежені при 0, є додатнім.

Добре відомо, що ізольоване власне значення оператора Т, «занурене « в резольвентну множину, є нормальним власним значенням. Виявляється, що аналогічну властивість мають власні значення як оператора Т, так і максимального оператора , що “занурені” в неперервний спектр, якщо тільки в просторі ввести відповідну норму.

Зафіксуємо значення ₀>0 і позначимо через D^m поповнення підпростору C^m[0,) H за нормою

Теорема. Якщо ₀>0 - власне значення оператора , то для деякого m1 простір D^m є прямою сумою замкнених підпросторів, а саме



формальна заміна на S,T, та ₀ на ₀[0,) дає розклад, що співпадає з відомим розкладом у випадку нормального власного значення ₀.

Дамо конструктивне означення Т-перетворення Фур'є, пізніше встановимо його властивості. Починаємо з побудови компоненти, що відповідає неперервному спектру оператора Т. Власні функціонали в розкладі (1) нормовані наступним чином:

де . Множину всіх спектральних особливостей позначимо через , де - кратність спектральної особливості . Нехай

,

n=degp, q(s)=(1+s)^_np(s)

Вважаємо, що -1(T), інакше вибираємо

q(s)=(s₀+s)^_np(s), s₀>0

так що -s₀(T). Нехай q(s)= q₁(s)q₂(s)q₃(s), де множники q_k(s) мають вигляд



і показники l_j є найменшими такими, що функції

(2)

є неперервними в точках _j (якщо r(_j)=0, то в представленні q₃(s) вибираємо l_j<0).

Функцію називаємо Т-перетворенням елемента на неперервному спектрі [0,).

Кожному власному значенню _k[0,) співставляємо проектор , а саме

де в розкладі правої частини системи векторів і вибрано лінійно незалежними, і вводимо набір функціоналів

.

Означення. Набір називається Т-перетворенням Фур'є елемента .

Підкреслимо, що перетворення визначено тільки для гладких елементів . При розгляді будь - якого оператора називаємо гладкими такої функції, що мають n+1 неперервну похідну, де n - найбільший порядок спектральної особливості оператора.

Випадок, коли точка =0 є спектральною особливістю, вимагає додаткових обмежень на вагу (s). Тому після побудови рівності Парсеваля в подальшому розгляді вважається, що точка =0 не є спектральною особливістю.

Додаткове припущення полягає в існуванні представлення

(3)

де s(0,). Наступна лема є основною при доведенні того, що кінцева точка =0 неперервного спектру не може бути точкою скупчення для точкового спектру.

Означення. Нехай функції r(), >0 співставлено набір функцій ={_k(), >0} такий, що функціонал

є визначеним на лінійному просторі . Тоді значення функціонала називаються значеннями регуляризованого розбіжного інтеграла .

Теорема. Нехай збурення V=A^*B визначається вектор - функціями (s),(s), що допускають продовження (),(), голоморфне в крузі ||<₀ і вага (s) має вигляд (3). Нехай оператор T=S+V не має власних значень і спектральних особливостей, відмінних від =0.

Тоді існують функціонали i_p(^.),j_p(^.), що задані відповідно на T-T^* - перетвореннях і регуляризований інтеграл такі, що

(4)



для всіх гладких елементів ,.

Далі вважаємо, що точка 0 не є спектральною особливістю розглядуваних операторів.

Теорема. Існують функціонали , задані на просторі перетворень Фур'є, неперервні за нормою і такі, що має місце рівність Парсеваля

(5)

для довільних елементів .

Через позначено деяку матрицю розміру , що враховує норму-вання та нумерацію кореневих функціоналів в наборі .

Як підсумок 3-го розділу підкреслимо, що введення максимального оператора (для абстрактно заданого оператора Т) дало можливість записати формулу відокремлення розгалуження (1) (узагальнення формул Сохоцького), згідно з якою граничні значення білінійної форми резольвенти з точністю до одновимірного доданку знову є білінійною формою деякого оператора у вихідному просторі.

Характер формули (1) дозволив, як результат, одержати обернене - перетворення (5). На основі розкладу (5) одержано також рівність Парсеваля

Результати розділу 3 є логічним продовженням напрямку робіт Лянце В.Е. (Revue roum. de math. Pures et appl. 1966,v.11,n.8, 921-950; 1966, v.11,n.10, 1187-122 і доповнюють відомі праці Капо Т., Курода С. та інших по несамоспряженій моделі Фрідріхса.

Переходимо до викладу змісту розділу 4.

При побудові функцій від оператора використовуємо простір раціональних функцій h(s), визначених на спектрі (T), а також простір функцій h(s), визначених на [0,), голоморфних в околі власних значень _k[0,) і наділених нормою

Якщо , то вираз (див. 5)

(6)

задовольняє властивостям функції від оператора. Через наявність необмежених операторів в (6) перейдемо до іншої форми запису для h(T).

Функції

(7)

задовольняють співвідношення , тому оператор

(8)

визначений на достатньо гладких функціях, є проектором, . Вибір саме функцій (7) обумовлює наявність оператора (див. (3)) в розкладі



Всі доданки розкладу (6) належать до простору H і подані в термінах Т-перетворень Фур'є, але ці доданки в загальному випадку є необмеженими операторами в H. Наступна форма запису, що одержується елементарними перетвореннями, містить тільки обмежені оператори (їх залежність від Т-перетворення Фур'є стає неявною )

(8)

, .

Позначатимемо елементи прямої суми через . Введемо перетворення UH HH співвідношенням

,

Наступне перетворення виразу (8) дає модель, що формально є подібною до відомої функціональної моделі. Наведемо необхідні означення.

Означення. Позначаємо через D_THH лінійний підпростір пар , наділений нормою

Означення. Позначаємо через P_D: D_TD_T наступний оператор



Оператор P_D є обмеженим проектором з простору D_T на деякий замкнений підпростір D. Згідно до теореми 4.2.7 має місце представлення

(9)

Представлення (9) називаємо моделлю оператора з множиною спектральних особливостей S. Відокремлення спектральної компоненти, що реалізовано на моделі (9), дозволяє отримати оцінку знизу для норми .

Позначимо через MH множину гладких елементів , для яких виконується хоча б одна з двох умов: ,

Множину всіх таких пар (l,j) позначимо через I(), множину всіх можливих пар позначимо через I. Нехай вага (s) має вигляд

, , (10)

Теорема. Нехай виконується умова P=0 і вага (s) має вигляд (10), нехай M. Тоді для всіх функцій hH виконуються нерівності

де сталі C₁ (),C₂ не залежать від h₀.

Теорема. Нехай hH₀,тоді функція від оператора T=S+V має представлення

(h(T))()= h()()+K(s,)(s)ds

де ядро K(s,) визначається явно через параметри (s),(s),(s), і оператор-функцію N(S)^_1. Оператор h(T)_h(S) має слід і при виконанні певних умов має місце представлення

Переходимо до питань збурення області визначення оператора T. Нам потрібно два функціонали, що визначені на Це функціонал c() (див. означення максимального оператора ) і функціонал . Значення на елементах D(S) визначаємо (формально) як скалярний добуток, а на одному з елементів , що не належить до D(S), надаємо виразу (,1) довільного значення.

Позначимо через C² простір пар з нормою

,



Набору ={,,k} де ,H, ¦k¦_C2=1 співставимо функціонал неперервний відносно норми графіка оператора .

Означення Оператор S():HH задається співвідношенням

Якщо позначити то тобто введений клас операторів є замкненим відносно операції спряження. Введемо оператор

T()=S()+V, D(T())=D(S())

Перед тим, як виписати аналог формули (1) для оператора T(), введемо термін «обумовлення розгалуження». Припустимо, що існує функція m(), аналітична зовні [0,), що допускає аналітичне продовження через (0,) і m(i0)=m() Припустимо далі, що інші вирази в правій частині (1) є однозначними аналітичними функціями в околі півосі [0,) Тоді кажемо, що згідно до теореми 3.3.13 функція m() обумовлює розгалуження форми (T,)_H, (T).

Множину функцій, що допускають аналітичне продовження у фіксовану область [0,) позначимо через .

Існування аналітичного продовження забезпечується додатковими обмеженнями на оператор. Називаємо оператор T() -регулярним, якщо функції A^*c,B^*c, cG, а також , належать до , а вага () допускає аналітичне продовження в область \(-,0].

У випадку оператора T=S+V можна вибрати



m()=m₀()-(K()^-1₀(),₀()), (T) (11)

Неважко в сенсі узагальнених функцій визначити резольвенту T на функціоналі це буде деякий елемент тоді рівність (11) означає m()=(T1,1).

Для спряженого оператора T^* функція (11) має вигляд . Всюди далі вважаємо, що Сформулюємо аналог теореми 3.3.13 для оператора T().

Теорема. Нехай оператор T() є -регулярним.

Розгалуження значень резольвенти T()=(T()-)^-1, обумовлено розгалуженням власного вектора h_,H (T()) максимального оператора T()_max, а саме

де функція m() допускає представлення: через резольвенту оператора

m()=(T(),^*), (T()), де (13)

Функцію m() (див. (13)) називаємо функцією Вейля оператора T(). На аналогію з класичним означенням функції Вейля вказує розклад (12), а також наступна теорема.

Теорема дозволяє дати певний опис резольвенти оператора T() після її продовження через неперервний спектр. З цією метою на функціях (), , голоморфних в області , введемо норму



(14)

Простір функцій з нормою |||| позначимо через H.

Теорема. Припустимо, що оператор T() є -регулярним.

Тоді аналітичне продовження білінійної форми резольвенти (T,), зверху (знизу) через піввісь (0,) в область на гладких елементах , існує і з точністю до одновимірного доданку знову є білінійною формою деякого, взагалі необмеженого, оператора

,

Теорема є базою для побудови функції від оператора T(), при цьому всі формули зберігаються такими, як і у випадку оператора T.

Результати розділу 4 доповнюють відомі праці Лянце В.Е., а також працю Kako T.,Yajima K. (Sci. Pap. Coll. Gen. Educ. Univ. Tokio, 1976,v.26, n.2.,73-89 ), в якій функція від оператора будується поза спектральними особливостями, хоча і для моделі набагато більш загальної. Зауважимо, що формула відокремлення розгалуження, яка є базовою для розділів 3-4, є узагальненням формул Сохоцького. В термінах диференціальних операторів у випадку кратного спектру близькою є теорема Тітчмарша- Кодаіри (Н. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы, т.2, стор. 530).

Переходимо до викладу змісту розділу 5. У пунктах 5.1-5.2 розглянуто загальні питання спектрального розкладу, в тому числі для оператора Штурма-Ліувілля, в 5.3-5.5 - асимптотика експоненційноі функції від оператора, в 5.6-5.8 - спектр (спектральні особливості, занурені в неперервний спектр, їх множини), в 5.9-5.11 - прямі та обернені задачі теорії розсіяння.

У пункті 5.1 показано, що при вкладенні оператора Штурма-Ліувілля в модель Фрідріхса T=S+V всі параметри моделі можна подати безпосередньо в термінах розв'язків диференціального рівняння. Нагадаємо, що формальний запис спектрального розкладу в моделі Фрідріхса вимагає обчислення оберненого оператора K()^-1. У випадку оператора Штурма-Ліувілля це означає розв'язання певного інтегрального рівняння. Як з'ясувалось, всі конструктивні елементи моделі Фрідріхса можна подати в термінах розв'язків, що традиційно використовуються при розгляді оператора Штурма-Ліувілля.

У просторі L²(0,) розглядається самоспряжений оператор L, породжений виразом l_y=-y і краєвою умовою y(0)=0, оператор Q множення на обмежену комплекснозначну функцію q(x), що задовольняє умову

а також оператор

З представлення резольвенти в стандартних позначеннях беспосередньо випливає аналог формули відокремлення розгалуження

, (15)



Оператор Штурма - Ліувілля є унітарно еквівалентним оператору T=S+A^*B в просторі , . Оператор A (і, аналогічно, оператор B) має вигляд A:HG, G=L² (supp(q)),

(16)

де і за множником q₂(x) побудовано функцію (s,x). Через (,) позначаємо скалярний добуток в просторі .

Наступні теореми випливають з результатів розділу 4.

Теорема. Нехай P=0. Якщо m - найбільша кратність спектральних особливостей оператора M, то

C₁(1+|t|^m-1+)¦e^iTM¦C₂(1+|t|^m), -<t<

де і стала C₁ залежить від вибору значення .

Теорема. Розклад за власними елементами оператора M степенево спадної функції uL²(0,) має вигляд

, (17)

де Df() означає лінійну комбінацію похідних деякого порядку по від f() в точках _j, елементи з простору uL²(0,) одержуються лінійними операціями над власними та приєднаними функціоналами вихідного та максимального операторів і P - сума власних проекторів, що відповідає спектру зовні півосі [0,).

Рівність Парсеваля оператора M має вигляд

де u,v - степенево спадні функції з простору L²(0,) і

Зауважимо, що перетворення Гільберта можна визначити на розв'язках рівняння наступним чином:

, де

це використовується при обчисленні складових розкладу (17).

Результати пункту є логічним продовженням відомих праць Лянце В.Е. В пункті 5.2 на прикладах подано основні формули для побудови як рівності Парсеваля, так і оберненого T-перетворення Фур'є. Спектральний розклад описується певним набором формул, де суттєве значення має функція Вейля. Лише для функціоналів , що в рівності Парсеваля відповідають спектральним особливостям, замість явних формул наведено методику обчислення. На прикладах роз'яснюється ця методика, а також застосування інших формул.

У розділі 5.3 спочатку побудовано розширення функції від оператора, яке визначено на деяких елементах, що вже не належать до L²(0,). Далі розглядається внесок в асимптотику експоненційної функції від спектральної особливості, а також його залежність від елемента, на якому визначена ця оператор функція.

Нехай E:HH - деякий оператор і - деякі гільбертові простори.

Означення. Нехай , де замикання береться в топології простору H₁. Нехай замикання в топології прямої суми H₁H₂ графіка звуження є графіком деякого оператора , тобто

Тоді оператор називається щільним розширенням оператора .

Інакше кажучи,

і тоді .

Теорема. Нехай - деякий замкнений оператор в просторі . Нехай рівняння

(20)



з початковою умовою має сильний розв'язок, що допускає наступне представлення

(21)

де - обмежені оператори.

Тоді рівняння (20) має сильний розв'язок для довільного uH₁ і, крім того, цей розв'язок має представлення (21).

Як приклад розглянемо оператор Штурма-Ліувілля. Нехай k(x,t) - ядро представлення Левіна розв'язку e(x,) і k₀(t) - оцінка для частинних похідних до

5-го порядку від функції k(x,t), x<t. Нехай

,

Наслідок. Нехай M - оператор Штурма - Ліувілля. Тоді рівняння

при умові uD(M)L²(0,) має сильний розв'язок , що належить до вихідного простору, v(t,) L²(0,), і при умові має сильний розв'язок v(t,)H₂ ( розв'язок v(t,)H₂ у випадку uH визначає щільне розширення експоненційноі функції ).

Переходимо до питання про асимптотику виразу .



Нехай f L²(0,) і , інтегральне перетворення

(22)

де називаємо індикаторною функцією для f в точці . Функція характеризує як точку розриву функції f(s). Внесок в асимптотику виразу будемо описувати саме в термінах функції , де f-синус перетворення елемента u, або, якщо порядок особливості більше за 1, в термінах інтегральних перетворень

(23)

Зауважимо, що перетворення зводиться до перетворення (22) від похідних на достатньо диференційовних елементах з компактним носієм:

Наведемо деякі властивості перетворень (22)- (23):

1) Для кожного елемента f L²(0,) індикаторна функція неперервна на всій осі R і має оцінку



2) Якщо , то

(24)

Переходимо до оцінок розв'язків рівняння

(25)

Припускаємо потенціал таким, що оператор Штурма - Ліувілля має єдину спектральну особливість кратності 1, тоді . З доведення наступної теореми випливає, що випадок довільного набору спектральних особливостей розглядається аналогічно, для цього достатньо використати властивості індикаторних функцій. Далі позначаємо

,

Теорема. Нехай функція належить до області визначення оператора Штурма - Ліувілля і - її синус перетворення.

а) Розв'язок u(x,t) задачі (25) має представлення у випадку



і у випадку

рівномірно в

.

Нехай , тоді існує функція така, що

Отже, наявність спектральної особливості кратності 1 підвищує порядок зростання по розв'язку не більше, ніж на Ѕ як для функцій з простору , так і для функцій ( повільно зростаючих) з простору .

У розділі 5.4 розглядається стійкість з часом просторової асимптотики деяких розв'язків задачі

(26)

Позначимо через множину функцій таких, що , похідні обмежені при , а також . Для довільних позначимо



де - довільні сталі.

Теорема. Нехай - розв'язок задачі (26). Тоді, якщо

, (27)

У розділі 5.5 розглядається два питання - аналог для півосі методики спектрального аналізу, відомої у випадку скінченного інтервала, а також внесок в асимптотику експоненційної функції за рахунок кінцевої точки неперервного спектру. Нагадаємо модель Фрідріхса на скінченному інтервалі.

Нехай і - деякий окіл інтервала . Розглянемо оператор , де ,

і вектор - функції допускають голоморфне продовження в область .

Нехай - гільбертів простір функцій, голоморфних в , зі скалярним добутком



Комплексно спряжені функції , утворюють простір . Позначимо .

Нехай . Вкажемо тільки аналог формули відокремлення розгалу-ження, що дозволив побудувати у випадку скінченного інтервала регуляризований інтеграл та рівність Парсеваля.

Теорема. Існують продовження та операторів та такі, що

(28)

де - власні функціонали відповідно операторів - резольвента оператора і - деякий нормуючий оператор.

У даній теоремі резольвента будується як мінімальне продовження деякоі псевдорезольвенти. Випадок півосі вимагає узагальнення відповідних означення і теореми на необмежені оператори.

Розглядаючи скінченновимірне збурення оператора Штурма-Ліувілля з тривіальним потенціалом в просторі ,

,

можна для оператора , тобто для образу Фур'є, побудовати аналог рівності (28), а також рівність Парсеваля. Дано приклад, де значення є власним значенням оператора . Елементи вважаються експоненційно спадними функціями.

Повернемось до моделі Фрідріхса на скінченному проміжку і розглянемо питання побудови функції від оператора . Так як модельний оператор є обмеженим, то можна використати інтеграл Данфорда і отримати наступну теорему.

Теорема. Для кожного елемента справедливим є представлення

, (29)

контур охоплює [0,1] так, що власні значення оператора знаходяться зовні і функція має точки розгалуження .

Можна показати, що для елементів, T- перетворення Фур'є яких є голоморфними в околі , асимптотика експоненційної функції зводиться до асимп-тотики інтегралів

Підсумовуючи, відмітимо, що пункти 5.3-5.5 містять нові результати по асимптотиці розв'язків еволюційних рівнянь. По даній тематиці близькими є результати Горбачука М.Л.

У пункті 5.6 розглядається застосування теореми 3.4.8. про нормальне власне значення «занурене « в неперервний спектр до розв'язності деяких задач.

Розглянемо рівняння

(34)

у просторі L²(0,) при умові zL²(0,). Вважаємо, що і припускаємо функцію комплекснозначною і експоненційно-спадною, тобто . Умова розв'язності (34) залежить від того, чи є значення власним для оператора



чи ні, тому ми також приділяємо увагу знаходженню рівняння для власних значень оператора на півосі (0,).

Переходячи до моделі Фрідріхса, маємо (на відміну від (16))

,

Використовуючи результати розділу 4 стосовно скінченності точкового спектру і теорему 3.4.8, одержуємо такий наслідок.

Наслідок. Якщо потенціал q(x) задовольняє умову , то множина власних значень , тобто таких , що однорідне рівняння

(36)

має нетривіальний розв'язок , є скінченною.

а) Якщо є власним значенням, то неоднорідне рівняння (34) має розв'язок yL²(0,) при таких умовах на праву частину:

для деякого і 2) для скінченної множини деяких елементів виконуються умови ;

б) Якщо не є власним значенням, то неоднорідне рівняння (34) має розв'язок yL²(0,), якщо



Наступна теорема має самостійне значення.

Теорема. Нехай q(x) є експоненційно спадною функцією, тоді однорідне рівняння (36), де має розв'язок з наступною асимптотичною поведінкою

рівномірно для для деякого , коефіцієнти є неперервними на (0,) і позначено

.

Безпосередньо одержуємо:

Наслідок.

а) Якщо є власним значенням оператора

, то ;

б) Якщо

то є власним значенням оператора .

Функції допускають аналітичне продовження в окіл півосі [0,), звідки також випливає, шо додатні власні значення є ізольованими. У роботі наведено приклад потенціала із запізненням, що має власне значення на додатній півосі.

У пункті 5.7 розглядаються умови скінченності точкового спектра при нелокальних граничних умовах для збуреного оператора Штурма - Ліувілля, функція Вейля та продовження резольвенти через неперервний спектр.

У просторі L²(0,) розглядається оператор

з граничною умовою , де комплекснозначна функція q(x) задовольняє умову .

Використовуємо матеріал і позначення пункту 5.1, наприклад,

(37)

Згадуючи означення функціонала , неважко знайти . Далі,згідно (37) маємо

,

тобто . Продовження функціонала 1 на зв'язано з вибором функції . Маємо



,

функція в (11) обчислюється за правилом

Згідно до наведених представлень функціоналів оператору (розділ 4) відповідає оператор , що виникає при збуренні як дії, так і області визначення оператора Штурма-Ліувілля, а саме:

де - довільні функції з простору і - довільні числа, такі, що . Позначимо також

Наступна теорема є безпосереднім наслідком теореми.

Теорема. 1) Однорідне рівняння має розв'язок такий, що скалярний добуток допускає аналітичне продовження через на елементах , при цьому

,



де - розв'язки однорідного рівняння в узагальненому сенсі і, як функціонали, неперервні відносно норми і, як функції від , аналітичні і однозначні в області . Функція є функцією Вейля оператора .

Випадку відповідає збурення виключно області визначення оператора Штурма-Ліувілля:

(39)

Повертаючись до загальної моделі (1)-(2), зауважимо, що у випадку двох допустимих збурень і їх сума також задовольняє умови А₁) - А₅). Факторизація збурення легко будується. Справді, рівність реалізується вибором

.

Отже, твердження теореми зберігаються, якщо в (39) розглядати вираз

де - довільне число і є експоненційно спадними функціями.

У пункті 5.8. розглядається метод регуляризації спектрального розкладу у випадку нескінченного точкового спектра.

Нехай оператор має нескінченну послідовність власних значень , . Нехай - функція, нулі якої співпадають з і нехай

(40)

З розкладу

при умові відсутності спектральних особливостей випливає

(41)

де - спектральні проектори. З умови (40) при певних обмеженнях на резольвенту оператора випливає збіжність ряду (41). Підкреслимо, що ряд може бути розбіжним, тому (41) визначає регуляризацію ряду зі спектральних проекторів за рахунок власних функцій неперервного спектра. Зрозуміло, що аналог розкладу (41) можна записати і у випадку нескінченної послідовності спектральних особливостей.

Відмітимо, що розклади типу (40) пов'язані з інтерполяційними формулами. Далі розглядається приклад такої інтерполяційної формули.

У пункті 5.9. розглядається стійкість оберненої задачі для самоспряженого оператора Штурма-Ліувілля. Припускаємо, що оператор не має власних значень, потенціал є дійснозначним і експоненційно спадним.

В даному пункті показано, що потенціал, малий в деякому розумінні, можна знайти за функцією розсіяння як розв'язок деякого нелінійного рівняння і, що цей розв'язок є неперервним відносно функції розсіяння.

З цією метою використано модель Фрідріхса (див. (16)), нелінійне рівняння для потенціала зручно аналізувати саме в термінах абстрактного збурення неперервного спектра. З'ясуємо спочатку вигляд оператора розсіяння в моделі Фрідріхса.

Теорема. Оператор розсіяння пари є оператором множення на функцію

Теорема. Нехай - функція розсіяння дійснозначного потенціала з носієм на , що відповідає оператору без власних значень.

Тоді, якщо

,

.

Теорема. Нехай - функції розсіяння для потенціалів , що задовольняють умови теореми 5.8.4. Нехай - довільне число. Якщо потенціали задовольняють умову



,

.

Наведені оцінки доповнюють відомі результати стосовно стійкості розв'язків оберненої задачі для оператора Штурма -Ліувілля.

У пункті 5.10. розглядається пряма і обернена задача для одновимірного збурення у випадку двократного спектра.Обчислення проведено разом з Mentri S.

У просторі вектор-функцій розглядаємо оператор множення на незалежну змінну

,

та його одновимірне збурення

де

і - дійсне число. Позначимо

,



Теорема. Оператор розсіяння пари є оператором множення на матричну функцію

Кажемо, що скалярна функція є ліпшіцієвою на , якщо існують сталі такі, що . Визначимо як функції, що неперервні в площині з розрізом і такі, що .

Теорема. Нехай задано матричну функцію де функції , і є ліпшіцієвими на і , . Тоді існують число і вектор функція такі, що матриця розсіяння для пари , де , співпадає з матрицею .

Наступна теорема має конструктивне доведення.

Теорема. Нехай

деяка унітарна матриця, складена з функцій неперервно диференційованих на , яка має власні значення і і така, що

а)

б) функція інтегровна на і .

в) .

Тоді існує єдине додатне число і регулярний елемент такі, що матриця є матрицею розсіяння для пари , де .

У пункті 5.11 розглянуто хвильові оператори, що виникають при збуренні граничної умови оператора Штурма - Ліувілля.

Розглянемо самоспряжений оператор , породжений в просторі виразом

,

де дійснозначна функція задовольняє умову . Через позначено функціонал заданий деяким елементом .Нехай

Введемо оператор , породжений тим самим диференціальним виразом, що і оператор , але з іншою областю визначення

Теорема. Нехай , тоді задача рівномірно коректна і її розв'язок має вигляд



Введемо хвильові оператори як сильні границі

Введемо оператори , що визначені співвідношеннями

,

і діють з в , при цьому

Простір елементів, - перетворення яких належать до , позначаємо через і, у випадку компактного носія, позначаємо через .

Означення. Простір , за означенням, є замиканням за нормою лінійного простору

, .

Означення. Взаємно-однозначне відображення

,



що визначено рівністю

,

називається хвильовим оператором для пари .

Теорема. Якщо оператори , що виникають при збуреннях граничної умови фіксованого оператора Штурма - Ліувілля, мають однакові множини спектральних особливостей однакової кратності, то хвильові оператори

визначають взаємно - однозначне та неперервне відображення суттєвих підпросторів, при цьому півгрупи необмежених операторів , подібні між собою.

Доведення теореми використовує те, що перетворення Фур'є на неперервному спектрі для тривіального і нетривіального потенціалів зв'язані сингулярними інтегральними операторами. В умовах загальної моделі можна довести подібне твердження (тобто цілковиту неперервність відповідної інтегральної компоненти оператора ) за рахунок більш сильних обмежень на параметри моделі стосовно їх диференційовності та швидкості спадання. Ми залишаємо це питання як занадто громіздке. Відмітимо, що по заданих функціях розв'язання нестаціонарної (42) і стаціонарної (43) задач при певних умовах можна відновити як граничну умову (тобто функцію ), так і потенціал .

Зауважимо, що згідно до теореми для операторів зі спектральними особливостями природнім є питання про подібність збурених операторів між собою при однакових наборах спектральних особливостей, а не питання подібності до незбуреного оператора. Дійсно, вибираючи деякі канонічної оператори з спектральними особливостями одержуємо певне представлення для всіх операторїв з такими самими особливостями.



ВИСНОВКИ

Поняття та методи, що запропоновано для вивчення як операторів загальної моделі Фрідріхса, так і конкретних диференціальних операторів:

1) поняття максимального оператора та функції Вейля для операторів моделі Фрідріхса;

2) для спектрального аналізу операторів запропоновано (і реалізовано як основний метод дисертації) наступний підхід: розглядаються безпосередньо граничні значення резольвенти зверху і знизу на неперервному спектрі(а не тільки стрибок резольвенти); їх структура (узагальнення формул Сохоцького) містить всю необхідну інформацію стосовно неперервного спектра та спектральних особливостей, розташованих на ньому;

3) методика аналізу власних значень, розташованих на неперервному спектрі, на основі тієї частини функції Гріна, що залишається після відокремлення розгалуження;

4) нове означення - перетворення Фур'є і метод побудови відповідного оберненого перетворення;

5) метод побудови функції від оператора зі спектральними особливостями без виходу з простору;

6) поняття ізольованого нормального власного значення, зануреного в неперервний спектр;

7) поняття індикаторної функції для характеристики точок розриву функції однієї змінної;

8) поняття стійкості з часом просторової асимптотики для розв'язків еволюційних рівнянь;

9) для операторів з однаковими наборами спектральних особливостей введено хвильові оператори як обмежені оператори в так званих суттєвих підпросторах;

10) спосіб аналізу операторів, що виникають при збуренні області визначення, в контексті вихідної моделі Фрідріхса;

Результати, що одержано в роботі:

1) побудовано узагальнення формул Сохоцького;

2) дано конструкцію функції Вейля та її застосування до практичної побудови функції від оператора в моделі Фрідріхса;

3) дано спосіб оцінки знизу норми функції від оператора;

4)дано необхідні і достатні умови розв'язності рівняння типу , де - спектральна особливість (і приклад власного значення для потенціала із запізненням);

5) знайдено внески в асимптотику експоненційної функції від оператора, в тому числі у випадку, коли перетворення Фур'є елемента має розриви в спектральних особливостях;

6) дано метод (щільного розширення), що дозволяє продовжити експоненційну оператор-функцію на деякі елементи зовні вихідного простору;

7) дано опис продовження резольвенти через неперервний спектр, при цьому використовується псевдорезольвента в деякому банаховому просторі;

8) дано спосіб побудови хвильового оператора для оператора Штурма-Ліувілля при нелокальному збуренні граничної умови;

9) дано спосіб регуляризації спектрального розкладу у деяких випадках нескінченного точкового спектру (на основі інтерполяційних формул);

10) дано критерій скінченності точкового спектра операторів моделі Фрідріхса, в тому числі при збуренні області визначення оператора, а у випадку одновимірного збурення дії знайдено критерій скінченності точкового спектра в заданому інтервалі;

11) для рівняння теплопровідності на півосі вказано деякі розв'язки, що зберігають просторову асимптотику;

12) дано результат стосовно стійкості розв'язку оберненої задачі теорії розсіяння для самоспряженого оператора Штурма-Ліувілля;

13) дано розв'язок оберненої задачі теорії розсіяння для самоспряженого одновимірного збурення двократного спектра;

...