Комп'ютерні методи деформативного конструювання геометричних об'єктів на основі політканинних перетворень

Размещено на http://www.allbest.ru

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

КОМП'ЮТЕРНІ МЕТОДИ ДЕФОРМАТИВНОГО КОНСТРУЮВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБ'ЄКТІВ НА ОСНОВІ ПОЛІТКАНИННИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ

Спеціальність: 05.01.01 Прикладна геометрія, інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

ДОРОШЕНКО Юрій Олександрович

УДК 515.2

Київ 2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київській державній академії водного транспорту (КДАВТ) Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Бадаєв Юрій Іванович, Київська державна академія водного транспорту, завідувач кафедри інформаційних технологій

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Ковальов Сергій Миколайович, Київський національний університет будівництва і архітектури, професор кафедри нарисної геометрії, інженерної та машинної графіки;

доктор технічних наук, доцент Ковальов Юрій Миколайович, Національний авіаційний університет, завідувач кафедри прикладної геометрії та комп'ютерної графіки;

доктор технічних наук, професор Корчинський Володимир Михайлович, Дніпропетровський національний університет, завідувач кафедри автоматизації проектування.

Провідна установа: Одеський державний політехнічний університет Міністерства освіти і науки України

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03037, Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.О.Плоский

ВСТУП

Сутність наукової проблеми. Головним призначенням та кінцевим результатом будь-яких наукових досліджень у галузі прикладної геометрії є створення ефективних методів і на їх основі дієвих інструментальних засобів розв'язання різноманітних задач практичної діяльності людини із застосуванням геометричного моделювання.

Нині, в умовах загальної інформатизації усіх сфер життєдіяльності людини, теоретичні досягнення прикладної геометрії знаходять своє практичне втілення у вигляді певного інструментарію новостворюваних комп'ютерних систем різноманітного призначення й застосування. Зокрема, це стосується генерації комп'ютерних моделей геометричних об'єктів (реально існуючих у природі чи уявних), видозміни їх форми, певного опрацювання (візуалізації, об'єднання з іншими об'єктами тощо), використання як першоджерел геометричної інформації для створення різноманітних технологічних процесів тощо.

Розробка комп'ютерних моделей геометричних об'єктів (ГО) складної криволінійної форми є одним з найбільш трудомістких процесів, що мають місце у багатьох галузях народного господарства. Для створення таких моделей нині використовується досить широкий спектр різноманітних синтетичних, аналітичних та графо-аналітичних способів і методів. Проте, неповне задоволення задіяним у геометричних моделях апаратом вимог, що виникають під час розв'язання специфічних практичних задач, вимагає вдосконалення й певної адаптації існуючого та розробки нового, більш досконалого інструментарію. На цей час серед пріоритетних вимог до інструментальних засобів комп'ютерного геометричного моделювання прийнято виділяти: задоволення (чи певне наближення) моделі ГО заданої сукупності геометризованих умов і обмежень конструктивного, функціонального, естетичного тощо характеру; зручність і простоту керування процесом формотворення ГО; передбачуваність одержуваних результатів; можливість зорового відстеження зміни форми об'єкту внаслідок заданого впливу (зміни значень параметрів чи конфігурації геометрично інтерпретованого керуючого апарату); узгодженість структури та змістовного наповнення одержуваної моделі з інформаційним забезпеченням технологічних процесів відтворення заданої форми; необов'язковість досконалого опанування користувачем математичного апарату, реалізованого у використовуваному програмному забезпеченні. При цьому особливої ваги набуває введення до складу моделі геометризованого керуючого апарату, здатного ефективно змінювати форму ГО за сталості структурних складових моделі. Тобто, власне змістовним наповненням геометричної моделі вже має передбачатися потенційна можливість варіації форми (деформативність) ГО.

Одним із найбільш продуктивних способів утворення кривих ліній і поверхонь є одержання нової кривої чи поверхні (як образа) внаслідок певного геометричного перетворення обраної кривої чи поверхні (прообразу). У цьому розумінні не втрачають актуальності дослідження, що пов'язані зі створенням нових перетворень, виявленням їх властивостей та з розробкою конструктивних алгоритмів їх практичного застосування. До таких належать й так звані політканинні перетворення.

Отже, розробка нових ефективних методів (зокрема, на основі геометричних перетворень простору) керованої генерації та цілеспрямованої видозміни форми ГО, що орієнтовані на комп'ютерну реалізацію та призначені для професійного застосування фаховими спеціалістами з різних сфер продуктивної діяльності людини, залишається однією з актуальних проблем сучасної прикладної геометрії.

При цьому, новостворювані методи мають якомога менше залежати від виду попереднього чи підсумкового задання геометричного об'єкта, а система керування (як певний інструментарій) процесом формотворення ГО за його прототипом повинна бути простою, доступною, мати геометричну (графічну) інтерпретацію на рівні найпростіших примітивів, а сукупність дій користувача (як певних впливів або збурювачів деформації) щодо зміни форми об'єкта з метою максимального її наближення до бажаної повинна мати інтуїтивно, підсвідомо зрозумілий характер, концептуально та технологічно відповідати звичній, усталеній роботі фахового спеціаліста, зокрема звичайного (традиційного) конструктора, включати функціональні та змістовні аналоги найхарактерніших прийомів, правил та інструментарію його роботи за некомп'ютеризованим знаряддям (кульманом) й дозволяти одержання достовірної прогностичної оцінки результатів реалізації заданого керуючого впливу.

Отже, сутність наукової проблеми визначається необхідністю подальшого розвитку теоретико-методологічних основ прикладної геометрії щодо керованого синтезу та цілеспрямованої варіації форми геометричних об'єктів із застосуванням геометричних перетворень простору і створення на цій основі нового, орієнтованого на комп'ютерну реалізацію інструментального апарату. При цьому визначальними особливостями цього дослідження є деформативність опрацьовуваного ГО, що закладається в його моделі, та розробка і використання політканинних перетворень, заданих прямолінійним чи площинним базисами.

Сучасний стан проблеми характеризується недостатньою розробкою методів як систематизованих сукупностей певних теоретичних знань і практичного інструментарію, зокрема, програмно-методичного забезпечення, які б якомога повніше враховували всі зазначені вище основні її аспекти.

Теоретична значущість проблеми визначається низкою таких фундаментальних питань, що мають суттєвий характер для подальшого розвитку методів прикладної геометрії стосовно керованого формотворення кривих ліній, поверхонь і тіл із залученням апарату політканинних перетворень та успішне розв'язання яких є необхідною передумовою для вирішення проблеми в цілому:

- розробка концептуальних засад деформативного конструювання (ДК) геометричних об'єктів; прикладний геометрія об'єкт комп'ютерний

- розвиток теоретичних основ та розробка математичного апарату політканинних перетворень у дво- та тривимірному просторах;

- визначення факторів суттєвого впливу на топологічність політканинних перетворень площини;

- встановлення параметрів політканинного перетворення площини за відомими прообразом і образом;

- створення системи способів керованого синтезу (за визначеними про-тотипами) та цілеспрямованої варіації форми кривих ліній і тіл засобами деформативного конструювання на основі політканинних перетворень;

- геометричне моделювання двовимірних криволінійних обводів у тривимірному просторі на основі каркасно-кінематичного методу та деформативного конструювання із застосуванням політканинних перетворень площини;

- демонстрація можливостей застосування математичного апарату політканинних перетворень у прогностичних моделях розвитку природних чи екологічно небезпечних динамічних процесів.

Значущість проблеми в прикладному плані визначається широтою, чисельністю та різноманітністю застосувань, пов'язаних з проектуванням криволінійних обводів регламентованої форми та з геометричним моделюванням об'єктів і процесів. Принциповим моментом проблеми є використання в створюваних моделях як математичного ядра апарату політканинних перетворень та орієнтація одержаних результатів на комп'ютерну реалізацію.

Підстави, вихідні дані, необхідність розробки теми зумовлені зрослими потребами практики щодо розробки нових дієвих засобів цілеспрямованої варіації форми ГО шляхом певної деформації простору за допомогою простого геометризованого унаочненого керуючого апарату; відсутністю моделей, що реалізують ДК ГО на основі політканинних перетворень; значним поширенням комп'ютерно-орієнтованих технологій та загальною інформатизацією всіх сфер продуктивної діяльності людини.

Актуальність роботи. ДК ГО на основі політканинних перетворень з орієнтацією на комп'ютерну реалізацію як подальший розвиток прикладної геометричної науки до цього часу не актуалізовувався, а супутні йому задачі не ставилися на розв'язання. Нині існує багато способів конструювання і моделювання ГО, в яких певною мірою реалізовано керований синтез форми таких об'єктів. Проте, всі вони орієнтуються або на певне математичне задання опрацьовуваних ГО, або дозволяють впливати лише на форму лінійних формоутворюючих складових таких об'єктів, або характеризуються помітною складністю використання чи неможливістю графічної інтерпретації параметрів керування формою, або мають обмежені можливості щодо побудови дієвого, "дружнього" інтерфейсу при програмній реалізації, або ж визначаються обмеженою сферою застосування та у своїй більшості вимагають від користувача досить високої спеціальної математичної підготовки.

Між тим, сучасна практика розв'язання різноманітних задач, пов'язаних з геометричним моделюванням, вимагає наявності багатофункціональних програмних засобів, що реалізують дієві універсальні алгоритми, дозволяють у стислі терміни виконати формалізацію поставленої задачі й орієнтовані на їх використання фаховими (у своїй предметній галузі) спеціалістами, які не мають грунтовної підготовки з математичного (геометричного) моделювання, застосування комп'ютерних засобів та мінімально обізнані з використовуваним математичним апаратом.

Тому на часі комплексне розв'язання зазначеної вище проблеми, що передбачає розробку концептуальних основ деформативного конструювання, теоретичне обгрунтування, створення, апробацію працездатності та визначення меж застосування математичного апарату політканинних перетворень, розробку ефективних способів глобальної та локальної деформації геометричних об'єктів, визначення структури та змістовного наповнення моделей одно- та двовимірних геометричних об'єктів на основі політканинних перетворень, розробку способів конструювання та моделювання ГО відповідно до зазначених вище підходів, практичну реалізацію основних теоретичних результатів та розробленого математичного, алгоритмічного й методичного забезпечення у вигляді проблемно-орієнтованих ППП та апробацію працездатності створеної теорії і інструментарію під час розв'язання визначеного кола реальних задач практичного спрямування.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Теоретичні дослідження відповідають тематиці наукової роботи кафедри інформаційних технологій Київської державної академії водного транспорту; кафедр нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки, репрографії, автоматизації проектування енергетичних процесів і систем Національного технічного університету України "КПІ".

Практичні питання роботи розроблялися в рамках науково-дослідних проблем НТУУ "КПІ", КДАВТ, Інституту педагогіки АПН України, Державної академії легкої промисловості України та видавництва "Педагогічна думка".

Певна частина теоретичних досліджень, пов'язаних з розробкою прогностичних моделей розвитку екологічно небезпечних процесів, та програмна реалізація їх результатів виконувалась у рамках держбюджетної НДР "Інтегрована інтелектуальна система моделювання і моніторингу складних динамічних процесів" (номер державної реєстрації 0197U001556).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є створення теоретичних основ, математичної, алгоритмічної, методичної та інструментальної бази автоматизованого формотворення (за прототипами) та цілеспрямованої варіації форми криволінійних обводів і тіл на основі політканинних перетворень для підвищення ефективності розв'язання різноманітних задач геометричного моделювання об'єктів і процесів.

Досягнення поставленої мети реалізується розв'язанням таких задач:

1. Виконати аналіз існуючих методів конструювання та моделювання геометричних об'єктів, визначити передумови, доцільність та методологічні принципи розробки та запровадження деформативного конструювання з орієнтацією на його комп'ютерну реалізацію.

Ввести у вживання ДК ГО як один з варіантів керованої цілеспрямованої варіації форми обраного ГО-прототипу чи системи формоутворюючих геометричних елементів відповідно із зміною конфігурації керуючого апарату та/чи спричиненої деформації простору, що охоплює ГО чи його складові.

2. Розвинути теоретичні засади геометрії політканин. Розробити теоретичні основи та створити математичний апарат політканинних перетворень із прямолінійним і площинним базисом у дво- та тривимірному просторах.

3. Дослідити властивості політканинних перетворень та визначити фактори, за якими прогнозуватиметься гомеоморфність перетворюваного простору.

4. Розробити спосіб відновлення параметрів політканинного перетворення площини за заданими прообразом і образом.

5. Виконати теоретико-експериментальне обгрунтування ДК ГО на основі політканинних перетворень, увести керуючий апарат такого процесу та опрацювати варіанти його застосування.

6. Створити, обгрунтувати та апробувати систему способів ДК та варіації форми (локальної чи глобальної) плоских та просторових кривих ліній на основі політканинних перетворень дво- та тривимірного просторів.

7. Розробити теоретичні основи формоутворення та геометричну модель двовимірного обводу на основі каркасно-кінематичного методу та ДК ГО із застосуванням математичного апарату політканинних перетворень.

Створити та апробувати систему способів ДК та варіації форми двовимірних криволінійних обводів і тіл у тривимірному просторі на основі політканинних перетворень.

8. Розробити теоретичні основи та показати можливості застосування математичного апарату політканинних перетворень у прогностичних моделях розвитку природних чи екологічно небезпечних динамічних процесів. Виконати загальну формалізацію такого процесу моделювання.

9. Реалізувати створене алгоритмічне забезпечення у вигляді об'єктно-орієнтованих пакетів прикладних програм.

10. Показати можливості практичного використання одержаних результатів дослідження при розв'язанні різноманітних задач проектування та геометричного моделювання і виконати їх впровадження.

Об'єктом дослідження є процес конструювання криволінійних обводів складної форми у дво- та тривимірному просторах та геометричне моделювання об'єктів, процесів і явищ різної природи.

Предметом дослідження є комп'ютерно-орієнтоване деформативне конструювання геометричних об'єктів на основі політканинних перетворень.

Методи дослідження. Розв'язання поставлених у роботі задач виконувалося на основі методів нарисної, аналітичної, диференціальної та обчислювальної геометрій, системного аналізу, геометричних перетворень простору, топології, теорії кривих ліній і поверхонь, методів оптимізації, комп'ютерного моделювання, засобів комп'ютерного дослідження, теорії САПР та програмування. Теоретичною й інформаційною базою проведення досліджень стали роботи вітчизняних та зарубіжних учених:

- з теорії кривих ліній і поверхонь: Ю.І. Бадаєва, В.В. Ваніна, В.М. Верещаги, Г.Г. Власюк, С.М. Грибова, М.Я. Громова, М.С. Гумена, Г.С. Іванова, С.М. Ковальова, І.І. Котова, В.Є. Михайленка, В.О. Надолинного, В.М. Найдиша, А.В.Найдиша, В.С. Обухової, В.А. Осипова, А.В. Павлова, О.Л. Підгорного, А.М. Підкоритова, М.М. Рижова, І.А. Скидана, А.М. Тевліна, С.А. Фролова, В.І. Якуніна, П. Без'є, С. Кунса, Д. Фергюсона та багатьох інших;

- з геометричного моделювання і комп'ютерної графіки: Ю.І. Бадаєва, І.Г. Балюби, С.М. Грибова, С.М. Ковальова, Ю.М. Ковальова, В.М. Корчинського, Л.М. Куценка, В.Г. Лі, Є.В. Мартина, В.М. Найдиша, С.Ф. Пилипаки, Є.Б. Рабінського, К.О. Сазонова, І.А. Скидана, В.П. Шепеля, М.І. Яковлєва, Л. Аммерала, І. Гардана, В. Гілоя, М. Пратта, Ф. Препарати, А. Фокса та багатьох інших;

- з геометричних перетворень простору: Ю.І. Бадаєва, В. Бляшке, Г.С. Іванова, І.С. Джапарідзе, Ю.М. Ковальова, М.І. Кованцова, В.М. Корчинського, В.С. Обухової, В.О. Плоского, О.Л. Підгорного, А.М. Тевліна, В.С. Файна та багатьох інших.

Наукову новизну досліджень складає новий, орієнтований на комп'ютерну реалізацію, метод деформативного конструювання (моделювання) геометричних об'єктів складної форми на основі математичного апарату політканинних перетворень. Цим закладено теоретико-методологічні основи та показано практичне значення нового напрямку прикладної геометрії.

У межах методу одержано нові науково-обгрунтовані результати, що становлять його основний зміст:

1. Уперше до складу методологічного апарату прикладної геометрії введено деформативне конструювання як подальший її розвиток в області керованого синтезу (за прототипами) та цілеспрямованої варіації форми геометричних об'єктів.

2. Розвинуто теоретичні основи геометрії політканин як одного з варіантів задання простору, фіксації в ньому положення геометричних об'єктів та опису їх форми.

3. Із застосуванням геометричної оптимізації розроблено математичний апарат політканинних перетворень у дво- та тривимірному просторах. Ці перетворення концептуально відрізняються від відомих ГП простору й дозволяють розв'язувати задачі, пов'язані з цілеспрямованою деформацією ГО разом із простором, що їх охоплює. Для керування таким процесом задіяно геометричний апарат, що має просте графічне подання й дозволяє інтуїтивно зрозуміле й звичне застосування.

4. Засобами комп'ютерного експерименту досліджено властивості політканинних перетворень, внаслідок чого визначено низку критеріїв щодо прогностичної оцінки гомеоморфності перетворення у певних зонах простору та запропоновано технологічні заходи, спрямовані на досягнення гарантованої топологічності перетворюваного ГО.

5. Уперше аналітично доведено й експериментально підтверджено, що афінне перетворення площини та проективна колінеація площини є частинними випадками політканинних перетворень.

6. Розв'язано задачу відновлення параметрів політканинного перетворення площини за заданими прообразом і образом. Це дозволило розвинути теорію і практику побудови геометричних моделей двовимірних обводів складної форми та геометрично інтерпретованих динамічних процесів за систематизованою послідовністю їх перерізів чи "ключових" станів з урахуванням заданих геометризованих умов чи/та обмежень.

7. Виконано теоретико-експериментальне обгрунтування деформативного конструювання ГО із застосуванням політканинних перетворень площини. Це дозволило на єдиній концептуально-методологічній основі створити систему способів керованого синтезу за визначеними прототипами та цілеспрямованої варіації форми (локальної чи глобальної) криволінійних обводів.

8. Дістала подальший розвиток прикладна геометрія поверхонь, а саме, розроблено теоретичні основи, алгоритмічне забезпечення та виконано комп'ютерну реалізацію геометричного моделювання двовимірних криволінійних обводів у тривимірному просторі на основі каркасно-кінематичного методу та деформативного конструювання геометричних об'єктів із застосуванням політканинних перетворень.

9. Продемонстровано застосування політканинних перетворень у прогностичних моделях розвитку природних чи екологічно небезпечних динамічних процесів.

10. Твердження, оптимізаційні функціонали, аналітичні залежності та формалізовані умови, які розвивають теорії геометричних перетворень, конструювання (моделювання) криволінійних обводів складної форми та геометричного моделювання об'єктів і процесів.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій підтверджується доведенням низки висунутих тверджень, що стали теоретичним підгрунтям проведених в дисертації досліджень, математично строгим одержанням пропонованих аналітичних залежностей та практичною апробацією розроблених алгоритмів із застосуванням засобів обчислювального (комп'ютерного) експерименту з візуалізацією проміжних і кінцевих результатів ДК ГО.

Наукове значення роботи полягає в теоретичному обгрунтуванні, практичній розробці й наочній демонстрації можливостей деформативного конструювання геометричних об'єктів із застосуванням оригінального апарату політканинних перетворень як нового ефективного методу прикладної геометрії, призначеного для керованого формотворення криволінійних обводів і геометричного моделювання об'єктів, процесів і явищ.

Практичне значення одержаних результатів визначається впровадженням у практику конструювання криволінійних обводів та геометричного моделювання об'єктів і процесів нового методу на основі політканинних перетворень у дво- та тривимірному просторах.

При цьому реалізується нова технологія "візуального", "інтуїтивно зрозумілого", "доступного" мінімально підготовленому (в галузі інформаційних технологій) фаховому (стосовно предметної галузі його професійної діяльності) спеціалістові інтерактивного синтезу за визначеними прототипами та цілеспрямованої варіації форми ГО.

Практичне значення також мають унаочнені результати досліджень щодо встановлення властивостей політканинних перетворень, візуальної оцінки їх топологічності, зміни форми (локальної чи глобальної) піддослідного ГО, покрокового процесу генерації форми кривих ліній з урахуванням низки крайових умов геометричного характеру, заданих точками, дотичними, обмежуючими контурами тощо.

Авторське програмне забезпечення, в якому реалізовано основні результати досліджень, може бути інтегровано до будь-яких відкритих САПР/ТПВ виробничого призначення, а також до програмних засобів додрукової підготовки поліграфічної продукції та реклами.

Практичне значення одержаних результатів підтверджується впровадженням розроблених методів, геометричних моделей, методик, математичного, алгоритмічного та програмного забезпечень у практику восьми підприємств і організацій:

1) На Київському авіаційному заводі "АВІАНТ" (у проектно-конструкторських розробках та в складі програмного забезпечення автоматизації технологічної підготовки виробництва нових зразків авіаційної техніки);

2) На Харківському державному авіаційному виробничому підприємстві (у технологічній підготовці виробництва нових зразків авіаційної техніки);

3) У Державному науково-дослідному і проектно-вишукувальному інституті "УКРНДІВОДОКАНАЛПРОЕКТ", м.Київ (під час проектування й технологічної підготовки виробництва різноманітних аераційних систем, промислових дренажних систем, зокрема, скорих фільтрів, каналізаційних механізованих решіток, інших виробів, що мають складну форму й певне функціональне призначення);

4) У Авіаційному науково-технічному товаристві "КНК", м.Харків (у навчальний процес з курсу "Комп'ютерне моделювання об'єктів авіаційної техніки в системах CAD/CAM/CAE");

5) У Академії пожежної безпеки України, м.Харків (у науково-дослідну та проектно-конструкторську роботу науковців, викладачів, ад'юнктів та курсантів, а також у лабораторному практикумі з моделювання топографічних схем розвитку пожеж);

6) У Академії педагогічних наук України (у практику створення веб-сторінок та у складі навчально-методичного забезпечення);

7) У видавництві "Педагогічна думка" Інституту педагогіки АПН України (у практику додрукової підготовки поліграфічної продукції);

8) У Національному технічному університеті України "Київський політехнічний інститут" (у навчальний процес).

Зазначені впровадження підтверджено відповідними документами.

Особистий внесок здобувача. Наукова проблема, що досліджується в дисертації, частково була представлена в докторській дисертації наукового консультанта. Остаточна концептуальна постановка наукової проблеми здійснена автором дослідження разом із науковим консультантом. Наукові дослідження, представлені в дисертації, їх аналіз, розробка математичного, алгоритмічного та програмного забезпечення, впровадження результатів дослідження в виробництво виконано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на: I Всесоюзній нараді "Алгоритмическое обеспечение машинно-ориентируемого производства" (м.Харків, 1989р.); Всесоюзній конференції "Компьютерная геометрия и графика в инженерном образовании" (м.Нижній Новгород, 1991р.); Республіканській науково-технічній конференції "Автоматизированное проектирование ГПС многономенклатурного производства" (м.Київ, 1991р.); Міжнародній науково-методичній конференції "Проблеми багаторівневої вищої технічної освіти" (м.Київ, 1993р.); Міжнародних науково-практичних конференціях "Сучасні проблеми геометричного моделювання (м.Мелітополь, 1995, 1996, 1997, 1998 рр.; м.Харків, 1998, 2001 рр.; м.Донецьк, 2000р.); Міжнародному науковому симпозіумі "Нарисна геометрія. Інженерна та комп'ютерна графіка" (м.Львів, 1996р.); науково-методичному семінарі "Інженерна графіка та геометричне моделювання із застосуванням комп'ютерної технології" (м.Рівне, 1997р.); Міжнародній конференції "Dynamical systems modelling and stability investigation. Systems Modelling" (м.Київ, 1999р.); щорічних наукових конференціях Державної академії легкої промисловості України (м.Київ, 1997, 1998 рр.); Міжвузівських науково-технічних семінарах "Прикладна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка" Загальнотехнічного відділення АН вищої школи України під керівництвом акад. В.Є.Михайленка (м.Київ, 1996, 1997, 1998, 1999 рр.); наукових семінарах кафедр нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки (1990-1995 рр., 2001р.) і автоматизації проектування енергетичних процесів і систем (1995-1997 рр.) Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут", комп'ютерних технологій Київської державної академії водного транспорту (2000-2002 рр.); наукових семінарах лабораторії навчання інформатики Інституту педагогіки АПН України (1997-2002 рр.) та на щорічних звітних наукових конференціях Інституту педагогіки АПН України (1998-2002 рр.)

Публікації. Основні результати дисертації висвітлено у монографії та 61 публікації, 32 з яких опубліковано одноосібно. При цьому 32 статті розміщено у фахових виданнях (з них 21 опубліковано одноосібно).

Структура дисертації. Дисертація складається з вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел із 347 найменувань, додатків. Робота має загальний обсяг 398 сторінок, містить 233 рисунки та 12 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан науково-технічної проблеми, обгрунтовано актуальність дослідження, сформульовано мету та задачі дисертаційної роботи. Показано наукову новизну та практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі “Огляд літератури за темою і визначення напрямків досліджень. Деформативне конструювання у керованому комп'ютерному формотворенні геометричних об'єктів” висвітлено сучасний стан проблеми створення й застосування комп'ютерно-орієнтованих технологій керованого синтезу і зміни форми ГО, зроблено огляд відповідної наукової літератури, виконано певну систематизацію та узагальнення відібраної інформації, визначено передумови, доцільність та основоположні принципи розробки і запровадження деформативного конструювання з орієнтацією на його комп'ютерну реалізацію.

Проаналізовано можливості керування формою ГО, закладені у структурі геометричної моделі. У результаті зіставлення понять і змістовного наповнення визначника ГО та його геометричної моделі з їх складу виділено керуючий апарат, що має геометричну природу й допускає просту наочну інтерпретацію.

Геометричний апарат керування формою певного ГО має складатись з простих геометричних (графічних) об'єктів (елементів) - точок, прямих, ламаних, простих геометричних фігур (трикутник, прямокутник, коло, еліпс тощо), площин, простих поверхонь (сфера, еліпсоїд, призма, піраміда тощо) - і певним чином репрезентувати параметри (числові, функціональні тощо) керування формою криволінійного об'єкта, задіяні у його моделі (визначнику). У цьому разі процес формотворення ГО полягає в цілеспрямованій зміні конфігурації унаочненого керуючого геометричного апарату, що спричинює адекватну зміну форми (як деформацію) створюваного ГО. В результаті оператор впливає на форму ГО опосередковано, через зміну конфігурації керуючого апарату, що значно зручніше, простіше, не змінює звичний режим роботи й дозволяє людині взаємодіяти з ЕОМ на рівні простих зорових образів. Останнє також сприяє значному підвищенню комфортності й продуктивності такої роботи.

Обґрунтовано доцільність створення нових комп'ютерно-орієнтованих методів конструювання та моделювання ГО, визначальною особливістю яких є організація процесів синтезу й варіації форми ГО за допомогою "геометризованого" керуючого апарату.

На підтвердження корисності й практичності зазначеного підходу його найхарактерніші прояви продемонстровано у складі відомих методів варіативного задання криволінійних обводів за допомогою кривих другого порядку в інженерному варіанті, у формі Ерміта, Без'є, В-сплайнів, математичного опису кривих ліній і поверхонь апаратом теорії полюсів, визначення геометричних місць точок, а також низкою унаочнених прикладів керованого синтезу складених багатокомпонентних поверхонь - медіатрис пар опуклих локально-диференційованих фігур (за В.В. Глоговським та О.А.Островською).

Проаналізовано двофазову (конструювання-моделювання) комп'ютерно-орієнтовану технологію синтезу моделей ГО та показано шляхи її розвитку і вдосконалення.

Обґрунтовано - як основний у межах дисертації - дискретно-точковий вид подання опрацьовуваних ГО.

Найбільш продуктивними щодо керованої варіації форми ГО визначено:

1) зміну параметрів форми або вплив на внутрішню геометрію об'єкту у незмінному просторі, що охоплює цей об'єкт;

2) вплив на простір (геометрію простору), у який занурено ГО, та спостереження за адекватною зміною форми об'єкта з незмінного простору.

За літературними джерелами розглянуто поняття "простір" з позицій реалізації керованої варіації форми ГО в результаті певної деформації охоплюючого простору. При цьому практичним реалізатором заданої деформації простору виділено апарат геометричних перетворень.

Однією з поширених операцій конструкторської чи дизайнерської практики є варіативне створення ГО, що відповідають певному функціональному призначенню, шляхом цілеспрямованої деформації їх визначених прототипів. Зазначене складає один з пріоритетних напрямків сучасного етапу розвитку прикладної геометрії як методологічної першооснови створення новітніх комп'ютерних графічно-інформаційних технологій (КГІТ). Отже, є потреба в системному об'єднанні графічних, графо-аналітичних та аналітичних технологій синтезу ГО на основі деформації як узагальнюючого процесу, властивого всім зазначеним технологіям. При цьому слід враховувати сучасні тенденції щодо активної інтуїтивізації конструкторської (дизайнерської) діяльності і широкого застосування всього спектру інструментальних засобів і підходів комп'ютерно-інформаційних технологій.

Зважаючи на сказане, об'єктивно необхідним виглядає створення такого методу формотворення ГО, в основу якого було б покладено здатність заданого моделлю об'єкта до певної деформації впродовж усього життєвого циклу моделі.

Розглянуто теоретичні передумови запровадження деформативного конструювання ГО. Виконано змістовний аналіз термінів "деформація", "деформативність", "трансформація", "трансформативність".

Зокрема, під терміном "деформативність" розумітимемо потенційну здатність ГО (що закладається в його моделі) змінювати свою форму і розміри в результаті його деформації як деякого керованого цілеспрямованого процесу (впливу). Практична реалізація зазначеної "здатності" вимагає наявності трьох взаємопов'язаних і взаємоузгоджених компонент: опису (моделі) геометризованого керуючого апарату; уніфікованого подання (моделі) форми ГО-прототипа; спеціалізованого математичного апарату, що встановлює однозначний функціональний зв'язок між конфігурацією керуючого апарату й поточною формою ГО-образа.

Слід зазначити, що у літературі з нарисної і прикладної геометрій та комп'ютерної графіки введене словосполучення - "деформативне конструювання" - донині не вживалося ані як спеціальний термін, ані як назва методу формотворення кривих ліній і поверхонь. Проте, аналіз існуючих методів і способів конструювання та моделювання криволінійних обводів дозволяє відзначити, що кожен з них тією чи іншою мірою, явно або неявно містить у собі певні аспекти ДК. Серед найбільш показових - двовимірний геометричний морфінг та метод довільної деформації форми (FFD).

Відповідну інформацію знайдено не лише у геометричній літературі прикладного спрямування, а й у багатьох монографіях і статтях з фундаментальних питань математики та математичних основ комп'ютерної графіки.

У розділі сформульовано означення деформативного конструювання та описано його складові й інструментарій.

Означення 1. Під деформативним конструюванням (рис. 1) розумітимемо керований багатокроковий комп'ютерний синтез (формотворення) ГО (кривих ліній, поверхонь і тіл) з використанням певної кількості прототипів (прообразів) або первинних формоутворюючих елементів, цілеспрямована поступова деформація яких породить об'єкт бажаної форми. Причому, керування таким процесом здійснюється за допомогою простого унаочненого апарату, що має геометричну природу і допускає просту графічну інтерпретацію, а його конфігурація однозначно визначає форму створюваного ГО в цілому, або окремих його формоутворюючих елементів.

Процес створення ГО засобами ДК полягає у цілеспрямованій зміні конфігурації керуючого апарату з синхронним відстеженням спричиненої зміни форми створюваного ГО.

Ідеології ДК найбільше відповідають методи, що грунтуються на різноманітних ГП простору. У зв'язку з цим виконано аналіз найуживаніших ГП як інструментального апарату реалізації ДК ГО та узгоджено розуміння понять деформованого ГО і перетвореного простору, незмінного простору і змінного простору. При цьому математичною моделлю зміни форми (як деформації) деякого ГО визначено перетворення цього ГО разом із простором, що його містить. Тобто, математичним аналогом деформації ГО відносно деякого його вихідного стану є певне перетворення, а аналогом послідовності деформацій - узгоджена послідовність перетворень.

Узагальненням поданого у розділі матеріалу й відправним пунктом розгортання подальших досліджень стали такі концептуальні моменти.

1. ДК є подальшим розвитком методів і засобів керованого синтезу ГО.

2. Керуючим апаратом ДК є деякий складений ГО.

3. Найліпшим варіантом організації процесу ДК ГО вважатимемо занурення прообразу створюваного ГО у деякий простір з наступною деформацією цього простору разом із зазначеним ГО.

4. ДК дискретно-поданого (точкового) ГО шляхом керованої неперервної деформації охоплюючого простору із встановленням взаємно однозначної відповідності між двома будь-якими станами змінюваного простору (між будь-якою точкою-образом і точкою-прообразом простору) вважатимемо одним з варіантів перетворення цього простору.

У результаті об'єднання та узагальнення вимог практично-реалізаційного плану щодо створюваних моделей ГО і реалізуючого цей процес математичного й інструментального апарату, сформульовано основні вимоги до ДК ГО з урахуванням його можливих практичних аспектів, видів реалізації й складових. При цьому, реалізовано такий їх груповий поділ: 1) функціональні (у тому числі й естетичні) вимоги; 2) конструктивні вимоги; 3) технологічні вимоги; 4) методологічні вимоги до керуючого апарату практичної реалізації прийнятого способу проектування форми ГО.

За розглядом фізичної суті процесу ДКГО як деяких матеріальних тіл сформульовано математичні основи пропонованого методу формотворення об'єктів.

Виконано огляд робіт з прикладної геометрії, що містять у собі певні аспекти ДК, використовують ГП і реалізують керовану зміну форми створюваних ГО. При цьому пропоновану інформацію згруповано за такими напрямками.

А) Деформативне конструювання ГО.

Б) Геометричні перетворення у керованому синтезі ГО.

В) Керування синтезом форми об'єкта за допомогою деякого апарату, що має геометричну природу й допускає графічну (наочну) інтерпретацію.

Одним з основних ідейно-теоретичних джерел цього дослідження (що є певним об`єднанням в єдину цілісну систему синтезу та варіювання форми ГО з відповідними властивими йому інструментальними засобами, ключовими складовими якого в свою чергу є ДК, математичний апарат нелінійних перетворень та керуючий апарат геометрично-графічної природи) став зважено-груповий метод локальної деформації ГО В.С.Файна. У дисертації означений матеріал об'єднано й проаналізовано за напрямками: геометричні перетворення як формалізація впливу джерел деформації; вагові функції як інтерпретація ефекту убування; зважено-групові формули апроксимації деформації ГО; основні питання побудови крокового зважено-групового алгоритму деформації ГО.

Наприкінці розділу показано реалізацію основних принципів ДК ГО в сучасних комп'ютерних програмних засобах (ПЗ). При цьому ретроспективний аналіз розвитку інструментальних засобів й загальної методології прикладної геометрії як науки та її природних попередниць дозволив запропонувати таку умовну історичну періодизацію переважного застосування методів і засобів розв'язання геометричних задач: 1) синтетичних (графічних) методів і моделей; 2) графо-аналітичного моделювання; 3) аналітичних моделей та обчислювальних методів; 4) комп`ютерних графічно-інформаційних технологій - поєднання синтетичних методів (видима частина) і надпотужного складного проблемно-орієнтованого математичного апарату, реалізованого у вигляді багатофункціональних програмно-технічних комплексів (невидима, прихована від користувача частина).

Результатом проведеного дослідження новітніх КГІТ стало виділення таких видів комп'ютерної реалізації керованого синтезу ГО бажаної форми як певних проявів основних концептуальних підходів деформативного конструювання.

А) Інтерактивна зміна параметрів форми створюваних ГО, в основному плоских, з візуальним відслідковуванням результатів впливу (режим "гумової нитки" або "гумового контуру").

Б) Зміна форми плоских об'єктів (зображень), охоплених оболонками (рамками) певної форми відповідно до зміни конфігурації цих оболонок.

В) Зміна форми плоских і просторових ГО за допомогою полігонів, вектор-дотичних, вузлових точок-вершин, “полюсів” (методи Ерміта, Без'є, В-сплайнів, різноманітні сплайни, теорія полюсів тощо).

Г) Конструювання ГО, в основному тривимірних, шляхом “скульптурної” деформації їх визначених прототипів (функціональна і візуальна реалізації).

Д) Конструювання ГО на методологічній основі NURBS-технологій.

Аналіз сучасних ПЗ КГІТ дозволив виявити основні тенденції їх створення, застосування, вдосконалення і розвитку, що стане в нагоді під час програмної реалізації методів ДК ГО і певною мірою сприятиме підвищенню їх ефективності та конкурентоздатності.

Другий розділ “Геометрія політканин” присвячено розвитку теоретичних основ та розробці початків математичного апарату порівняно нової геометрії - “геометрії політканин”.

Для цього виконано теоретичне обгрунтування політканинних систем координат (СК) й породжуваних ними відповідних координатних просторів (КП); розроблено теоретичні основи та систему означень прямолінійно-паралельних політканин (політканин з прямолінійним базисом); одержано аналітичні залежності координації точок у прямолінійній політканині; розроблено теоретичні основи політканинних перетворень та методику одержання розрахункових залежностей політканинної відповідності двох точкових полів; виконано зіставлення властивостей політканинних і лінійних (афінних та проективних) перетворень на площині.

Означення 2. Координатним простором називатимемо обмежену частину метричного простору Rn, на яку поширюється дія деякої визначеної системи координат. Кожен КП може мати тільки одну власну СК. КП можуть бути охоплюючими, включеними й розшаровуватися за рівнем вкладеності.

Означення 3. Політканиною розмірності p у просторі R2 називається сукупність у деякій області - p сімей кривих ліній -і, i=1,...,p виду

Ui(x,y)=Ui=const, (1)

що покривають - "простим чином", тобто обидві похідні -Ui/-x та -Ui/-y для кожної з сімей ніде в - не перетворюються в нуль одночасно, через кожну точку T(x,y) області - проходить тільки одна лінія кожної сім`ї -і (лінії однієї сім`ї ніде в - не перетинаються) та будь-які дві криві різних сімей мають в - не більше однієї спільної точки. При цьому функції Ui(x,y) припускаємо аналітичними в - і якобіан (функціональний визначник) для будь-якої пари (за розмірністю простору n=2) сімей кривих ніде в - не обертається в нуль:

(2)

Окрім зазначеного, необхідно, щоб область - була опуклою відносно заданої політканини. Тобто, кожна крива будь-якої сім`ї -і повинна мати тільки одну неперервну дугу, що належить області визначення -.

Політканина утворює своєрідний КП, розмірність р якого у загальному випадку більша, ніж розмірність відповідного евклідового простору Rn, тобто p-n. У залежності від значення p розрізнятимемо двотканину (p=2), тритканину (p=3), чотиритканину (p=4) і т.д. Розрізнятимемо також криволінійну, прямолінійну та змішану політканини.

Означення 4. Усі лінії сімей -і будемо називати координатними лініями політканини.

Означення 5. Сукупність координатних ліній політканини з нульовим значенням параметру, тобто лінії Uі(x,y)=Uі=0, i=1,...,p, будемо називати координатним базисом політканини (КБПТ), а кожну таку координатну лінію - координатною базисною лінією (КБЛ).

Положення будь-якої точки у політканині визначається відносно її КБПТ. КБПТ жорстко зв'язується з політканиною і задає її систему p-координат.

Введено систему означень та одержано математичні залежності координації точок для прямолінійно-паралельних політканин.

Означення 6. Під політканинними перетвореннями ГО будемо розуміти керовану зміну форми і положення об'єкта внаслідок трансформації введеної політканини відповідно до зміни конфігурації, розмірів, орієнтації та положення КБПТ як власної СК КП ГО відносно СК охоплюючого КП.

Керуючим апаратом політканинних перетворень визначено КБПТ, а керуючими елементами - КБЛ.

Виконано постановку задачі реалізації політканинного перетворення точкового поля й показано узагальнену схему одержання необхідних аналітичних залежностей. При цьому особливості алгоритмізації політканинних перетворень розглянуто (рис. 2) на прикладі прямолінійної 4-тканини, що є критичною (за розмірністю й збереженням топології) для простору R2. Уникнути багатозначності й однозначно визначити положення перетвореної точки Т* можна на основі методів оптимізації з використанням цільової функції певного виду. Продемонструємо це.

Нехай на площині у декартовій системі координат XOY задана політканина (р-тканина) за допомогою р лінійних функцій-координат:

(3)

Після перетворення р-тканина визначиться такою системою рівнянь:

(4)

Положення будь-якої точки простору R2 у вихідній р-тканині визначиться координатами (x,y) - у системі координат XOY - та сукупністю політканинних координат -і, i=1,2,...,p-3 відносно КБПТ прообразу. Після перетворення політканини - (x*,y*) та -і, i=1,2,..., p-3 відповідно. Звичайно, якщо розглянути конкретну точку, то її політканинні координати до перетворення й після нього не збігатимуться, тобто -і--і, i=1,2,.., p-3. Адже, за умови -і=-і, i=1,2,..., p-3, замість точки отримується многокутник (рис. 2). Отже, є потреба в одержанні однозначного розв'язку задачі політканинного перетворення простору R2, тобто у встановленні функціонального зв'язку між координатами -і та -і, i=1,2,..., p-3 обох політканин.

Беручи до уваги, що політканинна координата точки інтерпретується вектором, ортогональним певній КБЛ (рис. 2), є аналогом (залежно від варіанту нормалізації рівнянь (3)-(4)) її віддаленості від відповідної КБЛ та скориставшись аналітичними рівняннями зіставлення двох лінійних просторів, можна у загальному випадку записати:

(5)

де -і - деякі невідомі коефіцієнти, двоє з яких (за розмірністю простору R2)

З геометричної точки зору -і, і=1,...,р тільки змінюють довжину (збільшують або зменшують) відповідної вектор-координати -і, і=1,...,р точки, залишаючи незмінною її спрямованість (знак), тобто -і>0, і=1,...,р. Зауважимо, що -і=const (сталість коефіцієнтів) є характерною для автоморфізма і у разі політканинних перетворень призводить до появи області можливого положення точки-образу (рис. 2,б).

У розкритому вигляді система рівнянь (5) має вигляд:

(7)

й містить p рівнянь та p+2 невідомих (-і, i=1,...,p та x*, y*). Отже, для одержання однозначного розв'язку системи (6) необхідно ввести дві додаткових умови. Це можна зробити на основі методів оптимізації. У результаті область знаходження точки-образу Т* стягнеться в точку, положення якої всередині цієї області існування залежатиме від встановленого критерію оптимальності.

Критерій оптимальності політканинних перетворень повинен обиратись залежно до умов конкретної розв`язуваної задачі. Його прийнято записувати у вигляді цільової функції певного виду.

Визначимо -і, i=1,2,...,p-3 за умови їх мінімального відхилення від -j, j-p. У цьому разі необхідно реалізувати цільову функцію такого виду:

(7)

Перепишемо (6) у вигляді

(8)

й знайдемо умови досягнення цільовою функцією (7) свого екстремуму:

(9)

Підставивши у (9) -і, i=1,2,..., p-3 з (8), отримаємо дві додаткові умови для однозначного розв'язання системи (6) у згорнутому вигляді:

(10)

Враховуючи вигляд запису додаткових умов (10), зникає необхідність доповнення ними системи (6), адже шукані координати (x*,y*) знаходяться безпосередньо з (10). Зважаючи на (8), цільову функцію (7) надалі називатимемо функціоналом.

Отже, політканинне перетворення грунтується на функціональній відповідності двох точкових полів. Остання може задаватись у вигляді деякої сукупності функціоналів різного виду. Кожний такий функціонал визначає певну ізотетичність перетворюваного простору. Можливість обирати функціональну відповідність надає користувачеві певну свободу дій під час розв'язання конкретних практичних задач.

Формалізація політканинного перетворення дозволила встановити необхідні (обов'язкові) умови непорушення топології перетворюваного простору.

За результатами порівняльного аналізу політканинних перетворень площини розмірностей р=2 і р=3 з відомими лінійними перетвореннями та їх аналітичного опрацювання доведено такі твердження.

Твердження 1. Афінні перетворення площини є окремим випадком політканинних перетворень двотканини.

Твердження 2. Політканинне перетворення плоскої лінійної тритканини за умови реалізації функціональної відповідності двох точкових полів на основі мінімізації функціоналу (7), тотожне проективному перетворенню (колінеації) площини, якщо КБПТ та проективна система координат збігаються.

Висновок. Проективні колінеації на площині є окремим випадком політканинних перетворень тритканини.

Отже, політканинне перетворення є перетворенням вищого рівня узагальненості щодо зазначених перетворень. Цей факт дозволяє використовувати математичний апарат політканинних перетворень для опису й практичної реалізації лінійних перетворень площини.

Третій розділ “Математичний апарат політканинних перетворень” присвячено формуванню оптимізаційних функціоналів та одержанню розрахункових залежностей, що реалізують різні варіанти політканинної відповідності двох точкових полів й уможливлюють певне адаптування математичного апарату політканинних перетворень до умов конкретної розв'язуваної геометрично інтерпретованої задачі.

Підрозділ 3.1 містить опис і відповідне математичне забезпечення реалізації політканинного перетворення точок, що належать КБПТ (окремо для точок поля, що належать вузлам КБПТ, та для точок поля, інцидентних деякій КБЛ КБПТ).

У підрозділі 3.2 розглянуто різноманітні варіанти політканинних відповідностей двох точкових полів. При цьому опис кожного варіанту починається із висвітлення сутнісного значення застосовуваного функціоналу й закінчується наведенням кінцевих математичних залежностей, за якими обчислюються декартові координати (x*, y*) точок перетвореного поля.

При цьому побудова перетвореної політканини, пов'язана з розв'язанням певної оптимізаційної задачі, виконується за однією з прийнятих умов:

А) мінімізації різниці відповідних політканинних координат точки-образу й точки-прообразу за цільовою функцією

(11)

Б) мінімізації різниці множників -i, i=1,..., р відносно вибраної j-ї КБЛ КБПТ (за функціоналом (7));В) мінімізації різниці всіх множників -i, i=1,..., р, за функціоналом

(12)

Г) мінімізації різниці множників -i, i=1,..., р всіх взаємовпливаючих політканинних координат точки перетворюваного поля за функціоналом

...