Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство фінансів України

Харківський інститут фінансів

Українського державного університету фінансів

та міжнародної торгівлі

Кафедра економіко - математичних методів та інформаційних технологій

галузь знань - 0305 «Економіка та підприємництво»

напрям підготовки - 6.030508 «Фінанси і кредит»,

6.030509 «Облік і аудит»

Опорний конспект лекцій

для студентів денної форми навчання 1 курсу

освітньо-кваліфікаційний рівень - бакалавр

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ

Укладачі Лапшин В.І., д. ф.-м. н., професор,

Попова О.М., старший викладач,

Шульга Н.В., викладач

Розглянуто та ухвалено на засіданні кафедри

Протокол від 27.08.2009 р. № 1

Лекція 1

Тема: Вступна частина. Визначники

Мета: сформувати поняття визначника; ознайомити з визначниками 2-го та 3-го порядків, властивостями визначників, теоремою Лапласа, визначниками n-го порядку та їх обчисленням

План

1. Визначники 2-го та 3-го порядків.

2. Властивості визначників. Розклад визначників за елементами рядка (стовпця.

3. Визначники n-го порядку та їх обчислення.

1. Матриця розміром m x n -це сукупність чисел, розміщених у вигляді прямокутної таблиці, яка має m рядків та n стовпців.

Матриці позначають великими літерами латинського алфавіту та круглими дужками. Така матриця має вигляд:

А=

або А= , A=

Кожен елемент матриці А має два індекси : перший вказує номер рядка, другий -номер стовпця

Якщо m=n, то матриця буде квадратною.

n -порядок матриці.

Визначник - це число, яке знаходиться з елементів квадратної матриці за певним правилом.

Якщо квадратна матриця позначена літерою , то її визначник позначається або . Друга назва - детермінант.

Визначники 2-го порядку:

допоміжна головна діагональ діагональ (-) (+) (дорівнює різниці добутків елементів головної та допоміжної діагоналей)

Приклад: =

Визначники 3-го порядку:

а) Обчислення за правилом трикутників:

головна допоміжна діагональ (-) (+)

б) Обчислення за правилом Саріуса:

гол. діаг.допом. діаг.

Приклад:

2. Властивості визначників

1) Визначник при транспонуванні не змінюється (при заміні рядків на стовпці).

- транспонована матриця

2) Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які рядки (або стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.

3) Якщо визначник має два однакових рядки (або стовпці), то він дорівнює нулю.

4) Якщо у визначнику усі елементи одного рядка (або стовпця) помножити на дійсне число k, то визначник зміниться також в k разів

Наслідок 1. Спільний множник усіх елементів будь-якого рядка (або стовпця) визначника можна винести за знак визначника

Наслідок 2. Якщо усі елементи будь-якого рядка (або стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

5) Визначник, у якого відповідні елементи двох будь-яких рядків (або стовпців) пропорційні, дорівнює нулю.

Доведення випливає з властивостей 3, 4

6) Якщо у визначнику елементи будь-якого рядка (або стовпця) є сумою двох доданків, то він дорівнює сумі двох відповідних визначників,

7) Якщо до всіх елементів будь-якого рядка (або стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця) цього визначника, помножені на одне й те ж саме число, то визначник не зміниться

-16=-16

Для обчислення визначників порядка n > 3 використовують алгебраїчне доповнення.

Мінором елемента з визначника n-го порядку, називається визначник n-1 порядку, який одержуємо з визначника шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент

Алгебраїчним доповненням визначника називається мінор цього елемента, взятий зі знаком , тобто

Приклад: Знайти алгебраїчні доповнення до елементів та визначника

Теорема Лапласа (розкладання визначника за елементами будь-якого рядка або стовпця).

Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого рядка (або стовпця) на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

3. Для того, щоб обчислити визначник n-го порядку потрібно до нього застосовувати властивість 7 та теорему Лапласа.

Для скорочення обчислень визначника доцільно його розкласти за елементами такого рядка чи стовпця, який містить найбільшу кількість нулів.

У такому випадку не треба знаходити алгебраїчні доповнення до елементів, що дорівнюють 0 (добуток 0 на будь-яке алгебраїчне доповнення дорівнює 0). Треба навчитись виконувати еквівалентні перетворення визначника, які дають можливість одержати нулі у деякому рядку або стовпці.

Приклад: Обчислити визначник 4 порядку

Завдання додому

1. Конспект; підготовка до практичного заняття

2. [2] , с. 16-26

3. [4] , с. 81-88

Питання для самоконтролю

1. Визначники 2-го порядку.

2. Визначники 3-го порядку.

3. Властивості визначників.

4. Розклад визначників за елементами рядка (стовпця).

5. Визначники n-го порядку та їх обчислення.

Лекція 2

Тема: Матриці та дії з ними

Мета: сформувати поняття матриці; розглянути застосування матриці в економіці, ознайомити з діями з матрицями та їх властивостям

ПЛАН

1. Поняття матриці. Застосування матриці в економіці.

2. Дії з матрицями, властивості.

1. Матрицею* розміром m x n називають сукупність чисел, розміщених у вигляді прямокутної таблиці, яка має m рядків та n стовпців.

*(поняття матриці вперше ввели англійські математики Гамільтон і Келі)

Матриці позначають великими літерами латинського алфавіту та круглими дужками. Така матриця має вигляд:

або ,

Кожен елемент матриці А має два індекси: перший вказує номер рядка, другий -номер стовпця.

*матриці широко використовуються в Плануванні виробництва та транспортних перевезень. Вони дозволяють розробляти різні варіанти Плану, полегшують дослідження залежності між різними економічними показниками

За формою матриці можуть бути прямокутними (mn), квадратними (m=n), матриця-рядок (у якої всього один рядок), матриця-стовпець ( у якої всього один стовпець).

2. Дії з матрицями:

Порівнювати матриці можна одного розміру. Матриці рівні тоді, коли рівні їх відповідні елементи.

1) Транспонувати матрицю -значить замінити її рядки стовпцями або навпаки.

2) Додавати (віднімати) можна матриці одного розміру. Щоб додати дві матриці , потрібно додати їх відповідні елементи.

3) Добуток матриці на число:

щоб помножити матрицю на число , потрібно кожний елемент її помножити на це число

З цього випливає, що за знак матриці можна виносити спільний множник всіх елементів.

Приклад: Виконати дії:

Діагональною матрицею називається квадратна матриця, в якої всі елементи, крім елементів, які знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю.

Одиничною матрицею називається діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці

Е=

Нульовою матрицею називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю.

4) Добуток матриць

Матриці можна перемножати тоді, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці

(такі матриці називаються узгодженими)

Правило множення рядка на стовпець:

11

Схема:

Щоб визначити елементи , потрібно кожний елемент i-го рядка першої матриці помножити на відповідні елементи j-го стовпця другої матриці і результати (добутки) додати.

Приклад:

2)

Властивості додавання:

1) А+В=В+А (комутативність)

2) А+(В+С)=(А+В)+С (асоціативність)

3) А+0=А (роль 0 матриці як числа 0)

4)

5) (А+В)=А+В

6)

Властивості множення:

1) (іноді не має змісту),

Якщо , то такі матриці називаються переставними

2) розподільний закон множення відносно додавання

3)

4)

5) (роль Е матриці як числа 1)

Приклад: Знайти добуток:

3. Якщо в квадратній матриці всі елементи замінити на відповідні алгебраїчні доповнення , потом транспонувати матрицю, то одержимо матрицю, яка називається приєднаною:



Визначником (детермінантом) квадратної матриці А називається визначник, елементами якого є елементи матриці:

число!

Квадратна матриця називаються виродженою (особливою), якщо її визначник дорівнює нулю.

Квадратна матриця називається невиродженою (неособливою), якщо її визначник не дорівнює нулю.

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття.

2. [2], с. 26-29

Питання для самоконтролю

1. Поняття матриці.

2. Застосування матриці в економіці.

3. Дії з матрицями, властивості.

Лекція 3

Тема: Власні числа і власні вектори матриці. Квадратичні форми

Мета: сформувати поняття лінійного оператора; ознайомити з власними числами і власними векторами матриці, квадратичними формами

ПЛАН

1. Лінійні оператори

2. Власні числа і власні вектори матриці (лінійного оператора).

3. Квадратичні форми

1. Розглянемо 2 векторних простори Rn та Rm.

Якщо заданий закон (правило), за яким кожному вектору простору Rn ставиться у відповідність вектор простору Rm, то говорять, що заданий оператор (перетворення, відображення), який переводить вектор з простору Rn в простір Rm.

- оператор

( з тільдою (волною))

- дія оператора над

Вектор називається прообразом вектору , а вектор - образом вектора .

Оператор називається лінійним, якщо він має такі властивості:

1) застосовується до суми векторів:

2) застосовується до добутку вектора на число:

- стале число.

Якщо простори Rn і Rm збігаються, то оператор відображає простір Rn сам в себе.

Кожному оператору в деякому базисі ставиться у відповідність квадратична матриця, за допомогою якої можна виконати перетворення

Введемо позначення у вигляді матриць:

,

Запишемо перетворення за допомогою оператора у матричній формі:

Приклад: Нехай в просторі R3 оператор , заданий матрицею і заданий в деякому базисі вектор , де 1 ,2 ,3 -базисні вектори. Потрібно знайти образ в цьому ж базисі.

Запишемо в матричній формі:

Х=

Тоді:

2. Нехай заданий лінійний оператор у вигляді квадратної матриці

А=

Ненульовий вектор називається власним вектором лінійного оператора , якщо знайдеться таке число , що . Число називається власним числом або власним значенням оператора , відповідним вектору .

З означення випливає, що власний вектор, під дією лінійного оператора переходе у вектор, колінеарний самому собі, тобто просто множиться на деяке число.

Поставимо задачу: для даного оператора знайти власні вектори і власні числа.

Запишемо в матричній формі рівність :

=

Це система лінійних однорідних рівнянь, яка завжди має нульовий розв'язок х1=х2=х3=0. Але ж вектор =(х1; х2; х3) ненульовий за умовою.

Нас цікавлять ненульові розв'язки системи, це значить , що головний визначник системи

- характеристичне рівняння оператора (або матриці А).

Розв'язавши рівняння, знайдемо , і, підставивши в систему, знайдемо координати власного вектора.

Приклад: знайти власні числа і власні вектори оператора , заданого матрицею А=

Запишемо систему:

Складемо характеристичне рівняння:

за т. Вієта

Одержали два власних значення, значить для даного оператора існує два власних вектора.

1) Для

множина розв'язків

2) Для

множина розв'язків

Зауваження: власні вектори і власні значення застосовуються для розв'язування економічних задач, зокрема в міжнародній торгівлі. За їх допомогою можна знайти національний прибуток кожної країни з врахуванням збалансованої торгівлі між країнами.

3. Квадратичною формою від n змінних називається сума, кожний член якої є квадратом однієї із змінних або добутком двох різних змінних з деяким коефіцієнтом.

Кожній квадратичній формі ставиться у відповідність квадратна матриця.

Дано:

, де

Приклад: Для даної квадратичної форми - записати матрицю,

Коефіцієнти, симетричні відносно головної діагоналі, рівні між собою, така матриця називається симетричною.

Квадратична форма називається канонічною, якщо всі її коефіцієнти при дорівнюють 0.

Матриця в цьому випадку є діагональною.

Квадратичну форму можна привести до канонічного виду за допомогою власних значень матриці квадратичної форми.

Приклад: квадратичну форму привести до канонічного виду.

- власні числа матриці квадратичної форми

Характеристичне рівняння матриці:

гіпербола

Питання для самоконтролю

1. Лінійні оператори

2. Власні числа і власні вектори матриці (лінійного оператора).

3. Квадратичні форми

Лекція 4

Тема: Розв'язування систем лінійних рівнянь

Мета: ознайомити з формулами Крамера розв'язування систем лінійних рівнянь; провести дослідження систем лінійних неоднорідних рівнянь, навчити дослідженню студентів

ПЛАН

1. Формули Крамера.

2. Дослідження систем лінійних неоднорідних рівнянь.

1. Розглянемо систему двох лінійних неоднорідних рівнянь з двома невідомими:

х та у -невідомі,

-коефіцієнти при невідомих,

та -вільні члени.

Якщо невідомі системи в 1-му степені, то система називається лінійною

Якщо хоча б один із вільних членів не дорівнює нулю, то система називається неоднорідною.

В чисельнику і знаменнику знаходяться визначники 2-го порядку

Позначимо - головний визначник системи

- допоміжний визначник системи для невідомої х

Тоді

Виключивши із системи невідому х, одержимо, що

	Тоді

Одержані формули для х та у називають формулами Крамера.

Приклад: Розв'язати систему за допомогою формул Крамера:

Перевірка -підставити в систему значення х та у:

2. Дослідження системи двох лінійних неоднорідних рівнянь з двома невідомими:

1) Якщо , то система має 1 розв'язок, який знаходиться за формулами Крамера.

2) Якщо , а (або ), то система не має розв'язків.

3) Якщо , то система має нескінченну множину розв'язків. В цьому випадку коефіцієнти при невідомих і вільні члени пропорційні. Значить, одне із рівнянь (довільне) можна відкинути, а рівняння, яке залишилось, розв'язати відносно довільного невідомого.

Приклад: 2х+3у=1х=, де у -

2х=1 -3у(довільне)

Дослідження системи трьох лінійних неоднорідних рівнянь з трьома невідомими:

За формулами Крамера:

Приклад:

,

,

1) Якщо , то система має 1 розв'язок, який знаходиться за формулами Крамера.

2) Якщо , а хоча б один із , то система не має розв'язків.

3) Якщо , то система має або нескінченну множину розв'язків, або не має розв'язків.

Система буде мати нескінченну множину розв'язків, якщо одне із рівнянь системи є наслідком двох інших, або ж коефіцієнти при невідомих і вільні члени пропорційні.

Система не буде мати розв'язків, якщо коефіцієнти при відповідних невідомих пропорційні, а вільні члени не пропорційні.

Приклад:

Коефіцієнти при невідомих пропорційні, а вільні члени не пропорційні, значить система не має розв'язків (або несумісна).

Приклад

Перше рівняння є наслідком двох других, значить система має нескінченну множину розв'язків. Тому одне з рівнянь можна відкинути.

Загальний розв'язок (довільне число)

Знайдемо частковий розв'язок

при z=2:

Додатково: Системи двох лінійних однорідних рівнянь з трьома невідомими

Всі вільні члени =0, значить система однорідна

Така система завжди має нескінченну множину розв'язків. Якщо одне з рівнянь не є наслідком другого, то множину розв'язків знаходять за формулами:

k- довільне число

Приклад:

,

Відповідь:

Якщо одне з рівнянь є наслідком другого, то система перетворюється в одне рівняння з трьома невідомими. З цього рівняння одне з невідомих виражають через інші:

Приклад:

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття

2. [2], с. 51-56

Питання для самоконтролю

1. Формули Крамера.

2. Дослідження систем лінійних неоднорідних рівнянь.

Лекція 5

Тема: Розв'язування систем лінійних рівнянь за допомогою матриць

Мета: сформувати поняття оберненої матриці; розглянути розв'язування матричних рівнянь , а також розв'язування лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці.

ПЛАН

1. Обернена матриця.

2. Розв'язування матричних рівнянь

3. Розв'язування систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці.

1. Аналогічно поняттю оберненого числа в теорії чисел вводиться в лінійній алгебрі поняття оберненої матриці, але тільки для квадратних матриць.

Нехай дана квадратна матриця:

Матриця А-1 називається оберненою до матриці А якщо при множенні цієї матриці на дану як справа так і зліва одержуємо одиничну матрицю Е:

Обернена матриця існує тільки для невиродженої матриці.

Приклад: Знайти обернену матрицю для матриці А:

Перевірка:

2. АХ=В, де А і В-задані матриці,

Х -невідома матриця

Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю А-1.

, тобто

так як

Приклад:

А В

Знайдемо А-1:

А11= 3А21= -4

А12= -1А22= -2

Тоді:

Перевірка:

Відповідь:

б)

в)

3. Нехай дана система лінійних неоднорідних рівнянь:

введемо позначення:

основна матриця системи

Дану систему можна записати за допомогою введених позначень:

Звідси

Метод розв'язування систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці можна використовувати тоді, коли матриця А невироджена.

Приклад: Розв'язати систему за допомогою оберненої матриці:

, звідси

х=3, у=1, z=2

Перевірка:

Відповідь: х=3, у=1, z=2

Приклад:

система лінійних однорідних рівнянь

,,

Так як , то система має 1 розв'язок (х=0, у=0, z=0).

Якби , то система мала б нескінченну множину розв'язків.

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття.

2. Питання для самоконтролю

1. Обернена матриця.

2. Розв'язування матричних рівнянь

3. Розв'язування систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці.

Лекція 6

Тема: Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі

Мета: сформувати поняття ранга матриці; ознайомити з елементарними перетвореннями матриці, теоремою Кронекера-Капеллі

ПЛАН

1. Ранг матриці.

2. Методи обчислення рангу.

3. Теорема Кронекера-Капеллі.

1. Мінором матриці k-го порядку називається визначник k-го порядку, який складається з елементів, що знаходяться на перетині будь-яких k рядків та k стовпців.

Обираючи різними способами k рядків та k стовпців, одержимо деяку кількість мінорів k-го порядку.

Матриця має мінори будь-якого порядку: від першого (елементи матриці -мінори 1-го порядку) до найменшого із чисел m та n.

Приклад:

Рангом матриці А (rang А або r (А)) називається найбільший порядок її мінорів, відмінних від нуля.

Властивості:

1) Ранг існує для будь-якої матриці , причому .

2) r (А) =0 тоді і тільки тоді, коли А=0.

3) Для квадратної матриці n-го порядку ранг дорівнює n тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена (тобто її визначник не дорівнює 0).

Якщо rang А=r, то любий мінор r-го порядку не рівний 0 називається базисним мінором. Базисних мінорів для матриці може бути декілька.

Якщо rang А=r, то любий мінор k-го порядку дорівнює 0, якщо k > r

2. Ранг матриці простіше всього знайти за допомогою елементарних (еквівалентних) перетворень:

1) перестановка місцями рядків (стовпців) матриці;

2) множення (ділення) всіх елементів любого рядка (стовпця) на будь яке число ;

3) додавання до елементів будь-якого рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на одне й те саме число;

4) викреслювання (відкидання) нульового рядка (стовпця) (не обов'язково).

Застосовуючи ці перетворення, в результаті одержують еквівалентні матриці, ранги яких однакові:

А~В => rang А = rang В

За їх допомогою матрицю зводять до матриці, у якої нижче головної діагоналі всі елементи нулі. Тоді ранг матриці дорівнює кількості елементів головної діагоналі, відмінних від 0.

rang

(матриця має вигляд “східців”, її ще називають “трикутною” або “трапецевидною”)

Другий метод знаходження ранга матриці: за допомогою елементарних перетворень в кожному рядку і в кожному стовпчику матриці одержати не більше одного, не рівного нулю, елемента. В такій матриці ненульові рядки і стовпці називаються базисними рядками і стовпцями. Тоді ранг такої матриці дорівнює числу базисних рядків (стовпців).

Приклад: Знайти rang А:

~ ~

х (-2)

~ ~ ~

~

нульові рядки і стовпці викреслюються

Ненульових стовпців (рядків) 3, значить rang В=3, тому і rang А=3.

Мінор, складений з невикреслених елементів (тобто мінор, який складається з елементів базисних рядків і стовпців) називається базисним мінором.

3. Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими:



Основна матриця системи -це матриця, елементами якої є коефіцієнти при невідомих:

Розширена матриця системи -це матриця основна, до якої дописано матрицю-стовпець вільних членів:

Розв'язком системи називається множина дійсних чисел підстановка яких у систему замість невідомих перетворює кожне рівняння системи у тотожність.

Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв'язок. Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок, і невизначеною, якщо вона має більше одного розв'язку (значить вона має нескінченну множину розв'язків).

Система, що не має розв'язку, називається несумісною.

Теорема Кронекера -Капеллі*

(критерій сумісності системи)

*Кронекер -німецький математик, Капеллі -італійський

Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці: rang А=rang .

1) Для сумісної системи:

а) Якщо rang =rang = n, де n -число невідомих системи, то система має один розв'язок.

б) Якщо rang =rang < n, то система має нескінченну множину розв'язків.

2) Якщо rang < rang , то система несумісна.

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття

2. с. 29-35

Питання для самоконтролю

1. Ранг матриці.

2. Методи обчислення рангу.

3. Теорема Кронекера - Капеллі.

Лекція 7

Тема: Метод Жордана -Гаусса

Мета: ознайомити з методом Гаусса розв'язування систем лінійних рівнянь (інформативно), з методом Жордана-Гаусса, загальним та частинним розв'язками систем лінійних рівнянь

ПЛАН

1. Метод Гаусса* розв'язування систем лінійних рівнянь (інформативно)

2. Метод Жордана -Гаусса.

3. Загальний та частинний розв'язки систем лінійних рівнянь

* Карл Фрідріх Гаусс (1777-1855) -видатний німецький математик, астроном, фізик, геодезист.

1. Нехай дана система лінійних рівнянь:

Суть метода Гаусса полягає в тому, що шляхом елементарних перетворень систему треба привести до трикутного вигляду (або трапецевидного (східчастого) вигляду): перше рівняння системи буде містити всі невідомі, крім першого; третє -всі невідомі, крім першого і другого і т.д.:

Якщо система рівнянь буде мати один розв'язок, то останнє рівняння буде містити тільки одне останнє невідоме; якщо безліч розв'язків, то крім останнього невідомого останнє рівняння буде містити ще хоча б одне невідоме.

Зворотній хід методу Гаусса: із останнього рівняння знайдемо хn (у випадку 1 розв'язку) або одне із невідомих через послідуючі (у випадку безлічі розв'язків); підставляючи знайдене значення в передостаннє рівняння, знайдемо хn-1 і т.д.

Елементарні перетворення системи

1) Множення (ділення) довільного рівняння системи на число, відмінне від 0.

2) Додавання до обох частин одного з рівнянь системи відповідних частин другого рівняння, помножених на одне й те ж саме відмінне від 0 число.

В результаті елементарних перетворень одержимо еквівалентну даній систему. Еквівалентними (рівносильними) називаються системи, якщо вони мають одні й ті ж розв'язки.

Якщо для даної системи лінійних рівнянь записати розширену матрицю, то після виконання елементарних перетворень по методу Гаусса одержують рівними нулю елементи, що лежать нижче головної діагоналі.

2. Застосовуючи еквівалентні перетворення до системи лінійних рівнянь, можна одержати кожне із рівнянь в такому вигляді, коли кожне із рівнянь містить тільки одне (всі вони різні). Якщо розглядати розширену матрицю системи, то в цьому випадку рівними нулю будуть не тільки елементи, що лежать нижче головної діагоналі, а й ті елементи , що лежать вище головної діагоналі. В цьому заключається метод Жордана*-Гаусса.

* Каміль Жордан (1838-1922) -французький математик

В процесі елементарних перетворень системи можуть бути такі випадки:

1) Одержимо рівняння:

Таке рівняння викидається із системи і система буде містити менше число рівнянь.

2) Одержимо рівняння де . В цьому випадку система несумісна (розв'язків немає).

Зауваження: Так як елементарні перетворення виконуються над рівняннями системи, то в розширеній матриці їх потрібно застосовувати тільки до рядків.

Мета перетворень: в кожному рядку вибрати ведучий елемент; а в кожному стовпці одержати нулі, крім ведучого елемента.

Невідомі, які відповідають базисним стовпцям матриці називаються базисними, а інші невідомі називаються вільними (у випадку, коли система має безліч розв'язків).

3. Загальним розв'язком системи лінійних рівнянь (у випадку безлічі розв'язків) називається розв'язок, в якому базисні невідомі виражені через вільні невідомі.

Частинними розв'язками системи називаються розв'язки, в яких вільні невідомі дорівнюють яким-небудь числам.

До частинних розв'язків належать:

-базисний (якщо усі вільні невідомі дорівнюють 0);

-фундаментальний (якщо одну вільну невідому прирівняти до 1, а інші до 0) (кількість фундаментальних розв'язків залежить від кількості вільних невідомих);

-невід'ємний базисний розв'язок -опорний

Якщо в результаті перетворень матриці одержимо число базисних стовпців рівне числу невідомих, то система має єдиний розв'язок.

Якщо число базисних стовпців менше числа невідомих, то система має безліч розв'язків.

Приклад 1: Розв'язати систему методом Жордана-Гаусса:

~ ~

~ одержали 4 рядки одинакові -це значить, що в системі буде 4 однакових рівняння, тому 3 з них можна відкинути, тобто в матриці можна викреслити 3 рядки.

~ ~

Базисних стовпців 2 (третій і четвертий), а невідомих 5. Так як число базисних стовпців менше числа невідомих, то система буде мати нескінченну множину розв'язків.

х3, х4 -базисні невідомі

х1, х2, х5 -вільні невідомі

Знайдемо загальний розв'язок системи:

, де

х загал. =

Знайдемо частинний розв'язок:

нехай х1 =1, х2 =3, х5 =-1, тоді

х част. =

Знайдемо базисний розв'язок х1=х2==х5=0

Х баз. =

Приклад 2:

~ ~

~ ~

не має змісту

Відповідь: розв'язків немає

Приклад 3:

~

~ ~ ~

~ ~ ~

~~

Всі стовпці основної матриці базисні, значить всі невідомі базисні, система має 1 розв'язок:

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття

2. , с. 44-51

Питання для самоконтролю

1. Метод Гаусса* розв'язування систем лінійних рівнянь (інформативно)

2. Метод Жордана -Гаусса.

3. Загальний розв'язок систем лінійних рівнянь.

4. Частинний розв'язок систем лінійних рівнянь.

Лекція 8

Тема: Поняття вектора. Дії з векторами

Мета: сформувати поняття вектора, ознайомити з лінійними діями з векторами, з скалярним добутком та його властивостями, довжиною вектора, кутом між векторами, проекцією, розкладом вектора за базисом.

ПЛАН

1. Лінійні дії з векторами.

2. Скалярний добуток та його властивості.

3. Довжина вектора, кут між векторами, проекції.

4. Розклад вектора за базисом.

Скалярні величини характеризуються своїм числовим значенням (об'єм, маса, температура…). Векторні* -крім числового значення мають ще й напрям (сила, швидкість…).

*лат. Vector (переносник) ввів у 1848 р. Гамільтон

Геометрично векторна величина зображається напрямленим відрізком:

А В

Модуль вектора (його довжина) позначається .

До лінійних дій з векторами належать додавання і віднімання векторів, множення вектора на число.

1) Додавання.

а) правило трикутника

б) правило паралелограма

2) Віднімання

3) Множення вектора на число (скаляр)

Нульовим називається вектор, початок якого збігається з кінцем (). Напрям його невизначений, а довжина дорівнює 0.

Одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці.

Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора називається ортом вектора і позначається

орт

2. та -одиничні вектори на осях х та у в координатній площині.

х - проекція на Ох

у - проекція на Оу

З

Напрям такий же, як і у орта , - у орта ; довжини:

	- розклад вектора за ортонормованим базисом на площині

-координати вектора

- ортонормований базис на площині.

Записують так:

В просторі ортонормований базис утворюють вектори

Якщо задано вектор , де А (x1; y1; z1) -початок вектора , В (x2; y2; z2) - кінець, то (х2-х1; у2-у1; z2-z1).

Дії з векторами в координатній формі.

1) , якщо

2)

3)

Колінеарними називають вектори, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

- умова колінеарності векторів, тобто якщо вектори колінеарні, то один з них можна виразити через другий.

Якщо вектори задані в координатній формі, то відповідні координати їх пропорційні:

Приклад: Чи колінеарні вектори

(-2; 1; -3) і (4; -2; -3) ?

Вектори не колінеарні

Три вектори називаються комПланарними, якщо вони лежать в одній площині, або в паралельних площинах.

3. Скалярним добутком двох векторів називається добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними

-число!

Властивості:

1)

2)

3)

4)

5) (), звідки

Скалярний добуток двох векторів, заданих координатами в прямокутній системі координат, дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат:



4. Довжина вектора в координатній формі:

Кут між векторами:

Напрямні косинуси вектора:у

Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів, які 0 хвектор утворює з осями координат Ох, Оу, Оz відповідно.

Тоді

(сума квадратів напрямних косинусів довільного вектора дорівнює 1).

Приклади:

1) При якому значенні у вектори будуть перпендикулярними?

(5; -4; 8)

(2; у-1; 4)

10-4 х (у-1)+32=46-4у

46-4у=0, у=

2) вектори і колінеарні, знайти х і z:

(х; 3; -2)

(2; 6; -z)

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття

2. [1] c. 32-42, 54-58

Питання для самоконтролю

1. Лінійні дії з векторами.

2. Скалярний добуток та його властивості.

3. Довжина вектора, кут між векторами, проекції.

4. Розклад вектора за базисом.

Лекція 9

Тема: Векторні простори

Мета: сформувати поняття n-вимірного векторного простору; ознайомити з лінійною комбінацією векторів; лінійно залежними та незалежними системами векторів, базисним мінором, базисом, розкладом вектора за базисом, рангом системи векторів.

ПЛАН

1. n-вимірні векторні простори. Лінійна комбінація векторів.

2. Лінійно залежні та лінійно незалежні комбінації векторів. Базисний мінор.

3. Базис. Розклад вектора за даним базисом.

4. Ранг системи векторів

n-вимірним вектором називається упорядкована множина n дійсних чисел, які називаються координатами вектора.

n-вимірний вектор можна записати як матрицю-рядок або матрицю-стовпець:

або

Число координат вектора називається розмірністю вектора.

Дії з n-вимірними векторами

1) Порівнюють вектори тільки однієї розмірності.

2)

3)

4) або

5) Існує нульовий вектор (всі координати якого дорівнюють 0): =(0; 0;... 0)

6) Існують одиничні вектори (у яких одна з координат дорівнює 1, а інші 0; довжина одиничного вектора дорівнює 1):

=(1; 0;...0), =(0; 1; 0;...0),...=(0; 0;...1)

7)

n-вимірним векторним простором називається множина всіх n-вимірних векторів, в якій операції додавання векторів та множення вектора на число визначені, як в пунктах 2 і 3.

Позначається Rn

Зауваження: Простори R1, R2, R3 є окремими випадками простору Rn. Їх можна зобразити геометрично; для n>3 простори Rn геометрично вже уявити не можна, проте вони відіграють важливу роль в науці і техніці.

1) У системі лінійних рівнянь з n невідомими кожне рівняння можна розглядати як (n+1) - вимірний вектор; наприклад перше рівняння: .

2) Розв'язок системи рівнянь з n невідомими є n-вимірним вектором.

3) Кожний рядок матриці Аmn є n-вимірним вектором, а кожний стовпець m-вимірним. Рядки називаються горизонтальними, а стовпці - вертикальними векторами матриці.

Система n-вимірних векторів

Нехай дана система n-вимірних векторів: , і дані скаляри (числа): . Нехай

* - лінійна комбінація векторів, а числа - лінійна комбінація векторів, а числа -коефіцієнти лінійної комбінації.

Вираз * визначає розклад вектора за векторами .

2. Розглянемо систему з k n-вимірних векторів: .

Вектори називаються лінійно залежними, якщо хоча б один з них можна лінійно виразити через інші.

Або: якщо лінійна комбінація системи векторів рівна нулю за умови, що хоча б один із коефіцієнтів не дорівнює нулю, то вектори називаються лінійно залежними.

Вектори називаються лінійно незалежними, якщо ні один із векторів не можна лінійно виразити через інші.

Або: Вектори називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю тільки за умови, що всі .

Приклад: Чи будуть вектори лінійно залежними: ?

Складемо лінійну комбінацію цих векторів і знайдемо, при яких значеннях лінійна комбінація дорівнює 0.

- в правій частині одержаної рівності нульовий вектор, значить його координати повинні дорівнювати 0.

Система має нескінченну множину розв'язків за умови , значить дані вектори лінійно залежні.

3. Нехай дана система n-вимірних векторів:

Рангом системи n-вимірних векторів називається число, яке дорівнює найбільшому числу лінійно незалежних векторів.

Базисом системи векторів називається впорядкована сукупність найбільшого числа лінійно незалежних векторів цієї системи.

Значить, ранг системи векторів дорівнює числу векторів, які утворюють базис.

В одній і ті й же системі векторів може бути декілька базисів, але кількість базисних векторів в кожному базисі одна й та ж.

Щоб знайти базис системи векторів записують матрицю з координат цих векторів, записаних у вигляді матриці-стовпця. Знаходять ранг матриці, який буде дорівнювати рангу системи векторів, а базисними векторами будуть вектори, які відповідають базисним стовпцям матриці.

Базисом n-вимірного векторного простору Rn називається довільна впорядкована система з n лінійно незалежних векторів.

Якщо система векторів є базисом n-вимірного векторного простору Rn, то довільний вектор цього простору можна подати у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:

** , де - координати в базисі

Вираз ** називається розкладом вектора за даним базисом.

Система n-вимірних векторів в Rn, яка складається більше, ніж з n векторів, завжди лінійно залежна!

В двомірному просторі базис має 2 вектори ( та ), а система більше 2-х векторів завжди лінійно залежна.

Система більш, ніж 3-х векторів, в тривимірному просторі також лінійно залежна.

Розклад вектора за даним базисом

Нехай дана система n векторів . Потрібно перевірити, чи утворює дана система базис, і розкласти вектор за даним базисом.

1) Вектор подамо у вигляді лінійної комбінації векторів ; коефіцієнти лінійної комбінації являються координатами , який потрібно знайти, тому позначимо їх :

(1)

2) В рівності (1) замість запишемо стовпці їх координат.

3) Виконавши дії над одержаною рівністю у вигляді матриць, одержимо систему n рівнянь з n невідомими, яку розв'язуємо методом Жордана-Гаусса.

- Якщо система має 1 розв'язок, то утворюють базис і вектор єдиним способом може бути розкладений за цим базисом.

- Якщо система рівнянь має безліч розв'язків або несумісна, то вектори базис не утворюють.

Зауваження: Довільний n-вимірний векторний простір має базис, який утворює система одиничних n-вимірних векторів:

= (1; 0; 0;...0)= (0; 1; 0;...0)

= (0; 0; 1;...0)...= (0; 0; 0;...1)

В тривимірному просторі такими були вектори .

Приклад: чи утворюють вектори базис і якщо утворюють , то розкласти за цим базисом:

= (1; 0; 1; 0)= (2; 1; -1; 2)= (-1; 1; 2; -1)

= (0; 1; 1; 1)= (2; 2; 2; 1)

Розкласти вектор за даним базисом -значить записати його як лінійну комбінацію базисних векторів.

?

~ ~

~ ~ ~

~ ~

Всі стовпці основної матриці базисні, значить система має 1 розв'язок, а значить вектор можна єдиним способом розкласти за даним базисом. Всі чотири вектори утворюють базис.

х1=1, х2=1 х3=1 х4=0

В новому базисі вектор має координати: =(1; 1; 1; 0).

Завдання додому.

1. Конспект; підготовка до практичного заняття.

2. [2] с. 70-76

Питання для самоконтролю

1. n-вимірні векторні простори.

2. Лінійна комбінація векторів.

3. Лінійно залежні та лінійно незалежні комбінації векторів.

4. Базисний мінор.

5. Базис.

6. Розклад вектора за даним базисом.

7. Ранг системи векторів

Лекція 10

Тема: Пряма лінія на площині

Мета: ознайомити з різними видами рівнянь прямої на площині, кутом між двома прямими, відстанню від точки до прямої

ПЛАН

1. Різні види рівнянь прямої на площині.

2. Кут між двома прямими.

3. Відстань від точки до прямої.

1. Точка на площині характеризується двома координатами: абсцисою та ординатою (М (х; у)). Рівняння прямої містять координати х та у у першому степені.

1) у Нехай дана пряма на площині.

М1М1 (х1; у1) - фіксована точка прямої.

М (х; у) - довільна точка прямої (змінна)

Вектор = (m; n) паралельний прямій.

Потрібно за цими даними скласти рівняння прямої.

Вектори і колінеарні, значить їх координати пропорційні.

= (х-х1; у-у1)

Умова колінеарності:

	Канонічне рівняння прямої на площині

2) Перетворимо одержане рівняння прямої:

Відношення називають кутовим коефіцієнтом прямої =k

	Рівняння прямої, яка проходить через т. М в
	напрямі (напрям вказує k)

- кут нахилу прямої до осі абсцис

k>0 - кут гострий, k<0 - тупий

3) Перетворимо одержане рівняння:

	Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

- ордината точки, в якій пряма перетинає вісь Оу

4) Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

М2М1 (х1; у1)

М1М2 (х2; у2)

Запишемо рівняння прямої:

у-у1=к (х-х1)

у2-у1=к (х2-х1)

Так як М2 (х2; у2) лежить на прямій, то її координати задовольняють рівнянню прямої, тому замість х і у можна підставити координати т. М2.

Розділимо обидві частини рівнянь і одержимо:

	Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки

5) Загальне рівняння прямої М1 М

=(А; В) прямій

позначимо С

	Загальне рівняння прямої, де А і В - координати
	нормального вектора прямої, С - вільний член

Дослідження загального рівняння прямої

а) Нехай А=0, Ву+С=0 - пряма, паралельна осі Ох

б) Нехай В=0, Ах+С=0 - пряма, паралельна осі Оу

в) С=0, Ах+Ву=0 - пряма, проходить через початок координат

6) Рівняння прямої у відрізках на осях.

	Рівняння прямої у відрізках на осях

у і - відрізки, які віднімає пряма на осях Ох та Оу

2. Нехай дані рівняння двох прямих:

Якщо рівняння прямих задані в загальному вигляді Ах+Ву+С=0, то

Кутовий коефіцієнт

Умова паралельності прямих

, значить

Умова перпендикулярності прямих

( не існує)

3. М0 (х0; у0)Нехай пряма задана рівнянням Ах+Ву+С=0

М0 (х0; у0) - точка, яка не лежить на цій прямій.

Приклади:

1) Записати рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1; 2) перпендикулярно прямій 2х-у+1=0

2) Загальне рівняння прямої записати у відрізках на осях і побудувати пряму:

y

2

-5 0 x

3) Записати рівняння прямої, яка проходить через точки М1 (-2; 5), М2 (3; 5)

- пряма, паралельна осі Ох

Додатково: Побудова система нерівностей.

Довільна пряма ділить площину на дві півплощини Ах+Ву+С=0

уАх+Ву+С або Ах+Ву+С0 - ці нерівності, описують множину точок, які належать одній із півплощин

Для того, щоб побудувати шукану півплощину , потрібно:

1) побудувати пряму Ах+Ву+С=0;

2) з довільної півплощини вибрати точку з відомими координатами і ці координати підставити в нерівність. Якщо зміст нерівності зберігся, то нерівність описує ту півплощину, з якої була вибрана точка. Якщо зміст нерівності не зберігся, то нерівність описує другу півплощину.

Завдання додому

1) Конспект; [1] с. 76-83

Питання для самоконтролю

1. Різні види рівнянь прямої на площині.

2. Кут між двома прямими.

3. Відстань від точки до прямої.

Лекція 11

Тема: Площина та пряма в трьохвимірному просторі R3

Мета: ознайомити з рівнянням площини в R3, рівнянням прямої в R3 , розглянути взаємне розташування площин, прямих, прямої та площини.

ПЛАН

1. Рівняння площини в R3.

2. Взаємне розташування площин.

3. Рівняння прямої в R3.

4. Взаємне розташування прямих, прямої та площини.

5 Аналітична геометрія в економіці.

1. Рівняння площини в просторі містить змінні х, у та z в першому степені

Розглянемо, який вид має рівняння площини. Нехай М1 (х1; у1; z1) -фіксована точка площини, М (х; у; z) - довільна точка площини (змінна)

Заданий вектор = (А; В; С;)

= (А; В; С;)перпендикулярний площині. Він називається

нормальним вектором площини.

М (х; у; z)

М1 (х1; у1; z1)

(х-х1; у-у1; z-z1)

	Рівняння площини, яка проходить через задану т. М1

Загальне рівняння площини

	- вільний член

Для того, щоб побудувати площину в системі координат, потрібно знайти точки перетину її з осями координат.

Приклад: Побудувати площину 3х-у+2z-6=0

Z1) при х=0, у=0 2z=6

z=3

2) при х=0, z=0 3x=6

- 3x=2

-6 - 0

y3) при x=0, z=0 -y=-6

2y=-6

Дослідження загального рівняння площини.

z

1) площина Ох 0 у z

2) площина Оy 0y x

3) z площина Оz 0 y x

4) z площина проходить через початок координат yx

5) площина проходить через вісь Ох z0 y x

6) площина проходить через вісь Оу z0 y x

7) площина проходить через вісь Оz z 0 y



9)

Рівняння площини у відрізках на осях.

	-відрізки, які відтинає площина на осях Ох, Оу, Оz відповідно

z с у х 1=(А1; В1; С1)

1) Площини можуть бути паралельними.

2=(А2; В2; С2)

Якщо площини паралельні, то їх нормальні вектори колінеарні.

	- умова паралельності площин

2) Площини можуть бути перпендикулярними.

	- умова перпендикулярності площин

3) Кут між площинами обчислюється як косинус кута між

4) Відстань від точки до площини.

М0 (х0; у0; z0)Ах+Ву+Сz+D=0 - площина

3. Довільна пряма в просторі розглядається як пряма перетину двох площин, тому рівняння прямої в загальному вигляді задається як система рівнянь площин:

Канонічне рівняння прямої.

=(m; n; p)

(х-х1; у-у1; z-z1)

М1 (х1; у1; z1) М (х; у; z)

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

М1 (х1; у1; z1) М2 (х2; у2; z2)

4. Взаємне розташування прямих.

1 (1) (2)1 =(m1; n1; p1),2 =(m2; n2; p2)

Якщо прямі паралельні, то їх

напрямні вектори колінеарні

	- умова паралельності прямих

Перпендикулярні.

(1) 2 (2)

1

	- умова перпендикулярності прямих

3) Кут між двома прямими дорівнює куту між їхніми напрямними векторами 1 і 2.

Взаємне розташування прямої та площини.

- пряма

- площина

1) Паралельні.

- умова паралельності прямої і площини

Размещено на http://www.allbest.ru/

2) Перпендикулярні. ||

- умова перпендикулярності прямої і площини

Размещено на http://www.allbest.ru/

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття.

2. [1] с. 84-93

Питання для самоконтролю

1. Рівняння площини в R3.

2. Взаємне розташування площин.

3. Рівняння прямої в R3.

4. Взаємне розташування прямих, прямої та площини.

5 Аналітична геометрія в економіці.

Лекція 12

Тема: Функція однієї змінної. Границя функції

Мета: сформувати поняття функції, розглянути способи її задання; ознайомити з границею змінної величини, нескінченно малими і нескінченно великими величинами, зв'язком між ними, границею функції, односторонніми границями.

ПЛАН

1. Означення функції, способи її задання.

2. Границя змінної величини. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх зв'язок.

3. Границя функції. Односторонні границі.

1. Якщо кожному елементу х з деякої множини Х за певним правилом ставиться у відповідність єдиний елемент у з множини У, то говорять, що у є функція від х і пишуть у=f (x).*

*Це означення належить М.І. Лобачевскому і Л. Діріхле.

х - незалежна змінна (або аргумент).

у - залежна змінна (або значення функції).

Множина Х називається областю визначення функції, множина У - область значень.

Способи задання функції.

1) Аналітичний (за допомогою формули).

при

2) Графічний (за допомогою графіка).

3) Табличний

х	-2	-1	0	1	2
у	-8	-1	0	1	8

4) Словесний

Функція Діріхле: f (x)=1, якщо х - раціональне число; f (x)=0, якщо х - ірраціональне число.

2. Нехай в деякому процесі змінна величина х наближається до числа , тоді говорять, що х прямує до і пишуть . Це значить, що починаючи з деякого значення, х приймає як завгодно близькі до числа значення, але не рівні . Тоді говорять, що число є границею змінної величини х, і пишуть =

Означення Число називається границею змінної величини х, якщо для довільного числа >0, починаючи з деякого значення, всі наступні значення х задовольняють нерівність .

Тобто, починаючи з деякого значення, всі наступні значення х попадають

в - окіл точки і в процесі зміни залишаються в цьому околі.

Нескінченно малі величини

Нехай змінна величина* х в деякому процесі нескінченно зменшуючись наближається до 0 , тоді говорять, що х є нескінченно малою величиною.

* Величина, границя якої дорівнює 0

Означення. Змінна величина х називається нескінченно малою в процесі її зміни, якщо існує яке завгодно мале додатнє число , таке, що починаючи з деякого значення, всі наступні значення х задовольняють нерівність .

Тобто значення х попадає в - окіл нуля.

Властивості нескінченно малих величин

1) Сума (різниця) нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

2) Добуток нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

3) Частка від ділення нескінченно малої величини на функцію, яка має відмінну від нуля границю, є величина нескінченно мала.

4) Добуток обмеженої функції на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

5) -невизначеність.

Нескінченно великі величини.

Означення. Змінна величина х називається нескінченно великою в деякому процесі, якщо для довільного як завгодно великого додатнього числа М її модуль більший від М: .

Говорять, що змінна х прямує до нескінченності і пишуть

або lim =

Нескінченно великі величини можуть бути і від'ємними, і додатніми.

- нескінченно велика від'ємна величина

- нескінченно велика додатня величина

Властивості нескінченно великих величин

1)

2)

3) - невизначеність

4) - невизначеність

Зв'язок між нескінченно великими і нескінченно малими величинами

Величина, обернена нескінченно великій, є нескінченно мала

Величина, обернена нескінченно малій, є нескінченно велика

3. Нехай дана функція у=f (х). Число А називається границею функції f (х) при , якщо для всіх значень х, які як завгодно мало відрізняються від , відповідні значення у як завгодно мало відрізняються від А. f(x)=А

уу= f(x)Означення Число А називається границею Афункції у= f(x) при , якщо для будь-якого наперед заданого скільки А-завгодно малого числа >0знайдеться таке число , що длябудь-якого х, відмінного від , при 0 хвиконанні нерівності виконується нерівність .

Якщо значення х попадає в -окіл точки , то значення у попадає в

-окіл точки А.

Правило обчислення границі

f (x) = f (a), якщо f (a) існує.

Приклад: Знайти

Властивості границь

1) (f (x)+g (x)) = f (x) + g (x)

(якщо = f (x) і g (x) існують) для всіх властивостей

2) (f (x) (x)) = f g (x)

3) , якщо g (x)

4) c= f (x), де с - const

5) С=С, де С -const

6) Для того, щоб число А було границею функції f (x) при , необхідно і достатньо, щоб різниця f (x) - А була нескінченно малою величиною, тобто f (x) =A <=> , де - нескінченно мала величина;

Тобто функція мало відрізняється від своєї границі на нескінченно малий доданок: при

Односторонні границі

1) Лівостороння границя

Границя функції при за умови, що х залишається меншим за , називається лівосторонньою.

х

2) Правостороння границя

х

Приклад:

Одна з ознак існування границі (про границю проміжної функції)

Нехай функції і Ф (х) при мають одну й ту ж границю:

F (x) = Ф (х) =А. Нехай функція f (x) задовольняє нерівність

F (x) f (x) Ф (х). Перейдемо до lim при :

F (x) f (x) Ф (х)

А f (x) A

f (x) =A

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття

2. Самостійна робота №5 “Графіки елементарних функцій” (2 год.)

[1] c. 138-142

3. Самостійна робота №6 “Границя послідовності” (2 год.)

[1] с. 149-153

4. Самостійна робота №7 “Порівняння нескінченно малих і нескінченно великих величин” (2 год.)

[2] с. 147-153

Питання для самоконтролю

1. Означення функції, способи її задання.

2. Границя змінної величини.

3. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх зв'язок.

4. Границя функції. Односторонні границі.

Лекція 13

Тема: Особливі границі

Мета: Ознайомити з першою та другою особливими границями, натуральними логарифмами, порівнянням нескінченно малих

ПЛАН...