(границі) (функції)

Значить,		- друга особлива границя

Для другої особливої границі невизначеність 1

Другий запис другої особливої границі:

;

при

Приклад: 1)

2) 0

= ==-6 = 0

4. Дві нескінченно малі порівнюються між собою за допомогою дослідження їхнього відношення.

Нехай дано дві нескінченно малі:

1) і називаються нескінченно малими одного порядку, якщо

,А є R.

2) називається нескінченно малою вищого порядку, ніж , якщо

.

3) називається нескінченно малою нижчого порядку, ніж , якщо

.

4) Якщо то і - еквівалентні нескінченно малі .

Теорема про заміну відношення нескінченно малих відношенням еквівалентних величин: при знаходженні границі відношення нескінченно малих можна замінити їх еквівалентними величинами

де

Еквівалентність деяких нескінченно малих (при ):

sin x ~ x, tg x ~ x, arcsin x ~ x,

arctg x ~ x, sinkx ~xk

Приклад:

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття.

Питання для самоконтролю

1. Перша особлива границя

2. Друга особлива границя

3. Натуральні логарифми.

4. Порівняння нескінченно малих.

Лекція 14

Тема: Неперервність функції. Похідна. Диференціал функції у= f(x).

Мета: сформувати поняття неперервності функції; ознайомити з похідною, її геометричним та економічним змістом, основними правилами диференціювання, таблицею похідних, похідною складної функції.

ПЛАН

1. Неперервність функції у=f (x).

2. Похідна функції. Геометричний та економічний зміст.

3. Основні правила диференціювання.

4. Таблиця похідних.

5. Похідна складної функції.

6. Означення диференціала та його зміст.

7. Інваріантність форми диференціала.

8. Застосування диференціала в наближених обчисленнях.

1.Розглянемо у=f (x), Ух є [a; b] dyх0 - початкова точка B у=f (x) Ду. Дамо х0 приріст Дх, одержимо A C f (x0+Дx) функцію f (x0+Д) Дx f (x0) 0 х0 х0+Дх х

Різниця f (x0+Д)-f (x0)=Дy називається приростом функції, відповідним приросту аргументу Д х.

Означення. Функція у=f (х) називається неперервною в точці х0, якщо ця функція визначена в деякому околі точці х0 і якщо Ду=0, тобто нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції.

Якщо границя приросту функції при не дорівнює 0, то функція в точці х0 має розрив.

1. Означення. Функція у=f (х) називається неперервною на деякому проміжку

[], якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

2. Означення. Похідною функції у=f (х) називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Похідна позначається символами:

.

Геометричний зміст похідної:

З Д АВС:

Похідна визначає тангенс кута нахилу дотичної до осі абсцис в початковій точці х0.

Економічний зміст похідної:

Продуктивність праці є похідною об'єму продукції за часом.

Похідна визначає швидкість зміни функції точці.

Операція знаходження похідної від функції y=f (x) називається диференціюванням цієї функції.

Нехай функція u=u (x) та v=v (x) - неперервні.

1)

2)

3) с - const

4) с - const

c - сonst

4. Таблиця похідних

1.	с'=0, с - const
2.	х'=1
3.	- довільне число	3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
8.		8.
9.		9.
10.		10.
11.		11.
12.		12.
13.		13.
14.		14.
15.		15.
16.		16.
17.		17.

Приклад:

=

5. Нехай дана складна функція у=f (g (x) ).

Щоб знайти похідну складної функції потрібно похідну від зовнішньої функції помножити на похідну від внутрішньої функції.

Приклади:

1)

2)

6. у= f(x), х є D,

За властивістю границі маємо:

 де - нескінченно мала;

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доданок називається головною частиною приросту функції, її ще називають диференціалом функції:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приріст незалежного аргумента дорівнює його диференціалу , тоді формулою диференціал можна записати так:

Геометричний зміст диференціала

Диференціал визначає приріст ординати дотичної, яка проведена в точці х0 до графіка функції у= f(x).

7. Інваріантність форми диференціала - незмінність: перший диференціал функції у= f(x) визначається за однією і тією самою формулою незалежно від того, чи змінна х є незалежною змінною, чи вона є функцією іншої змінної.

8. Диференціал функції застосовується в наближених обчисленнях.

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття [1] с. 191-222 [2] с. 176-194

2. Самостійна робота №8 “Задача про неперервне нарахування відсотків”

(2 год.) [2] с. 159-161

3. Самостійна робота №9 “Поняття про еластичність функції” (2 год.) [2] с. 196-198

Питання для самоконтролю

1. Неперервність функції у=f (x).

2. Похідна функції. Геометричний та економічний зміст.

3. Основні правила диференціювання.

4. Таблиця похідних.

5. Похідна складної функції.

6. Означення диференціала та його зміст.

7. Інваріантність форми диференціала.

8. Застосування диференціала в наближених обчисленнях.

Лекція 15

Тема: Дослідження функцій. Побудова графіків.

Мета: сформувати поняття екстремума функції, опуклості і вгнутості кривих, асимптоти кривої, ознайомити з схемою дослідження функції та побудовою графіка.

ПЛАН

1. Екстремум функції.

2. Опуклість і вгнутість кривих.

3. Асимптоти кривої.

4. Схема дослідження функції та побудова графіка.

5 Видача індивідуального завдання.

1. Границя відношення двох функцій (у випадках невизначеності виду і при або ) дорівнює границі відношення похідних цих функцій. (або ) (або )

Правило Лопіталя використовується з застосуванням особливих границь і властивостей границь.

Приклад:

=

2. Розглянемо функцію у= f (x), .

1) Функція називається зростаючою, якщо при х2 > х1 f (x2) > f (x1).

2) Функція називається спадною, якщо при x1 > x2 f (x2) < f (x1).

Функція, яка або тільки зростає, або тільки спадає на деякому інтервалі, називається монотонною на цьому інтервалі.

Достатні умови монотонності функції.

1. Якщо в кожній точці інтервалу функція має додатню похідну, то в цьому інтервалі функція зростає, тобто нерівність є достатньою умовою зростання функції.

2. Якщо , то в інтервалі функція спадає.

3. Якщо в кожній точці інтервалу , то в цьому інтервалі функція постійна.

у=f (x) - гострий кут 0 x

3. Розглянемо функцію у= f (x), х.

х0 - точка max, якщо значення функції в цій точці є найбільшим в порівнянні із значенням функції в деякому околі точки х0.

х0 - називається точкою min, якщо значення функції в цій точці є найменшими в порівнянні із значенням функції в декому околі точки х0.

Необхідна умова існування екстремума (але не достатня).

Якщо в точці х0 існує екстремум, то в цій точці похідна дорівнює 0 або не існує.

Ці точки називаються критичними (або стаціонарними).

Геометрично: дотична в точці maxекстремуму паралельна осі Ох.

Але критичні точки не обов'язково являються точками екстремума.

Достатні умови існування екстремуму.

1) х0 є точкою екстрeмума функції y= f (x), якщо при переході через цю точку похідна змінює знак:

якщо з “+” на “ - “ - точка max;

якщо з “ - “ на “+” - точка min.

2) х0 є точкою екстремума, якщо і - точка max;

- точка min.

4. Загальна схема дослідження функцій та побудова графіків

І Дослідження функції y = f (x).

1) Область визначення функції, точки розриву, лівостороння і правостороння границі, вертикальні асимптоти.

2) Точки перетину графіка з осями координат.

3) Парність і непарність функції.

4) Похилі асимптоти графіка функції.

ІІ

1) Знаходження точок, в яких можливий екстремум (необхідна умова).

2) Достатні умови існування екстремума.

ІІІ

1) Знаходження точок перетину графіка (необхідні умови існування точок перетину).

2) Достатні умови існування точок перетину, інтервали опуклості і вгнутості графіка функції.

IV Поведінка функції на нескінченності, знаходження f (x).

V Побудова графіка.

Завдання. Методами диференціального числення дослідити функцію і побудувати її графік:

І Область визначення функції:

-1

- точка розриву функції.

Знайдемо односторонні границі:



(зліва)

(справа)

Односторонні границі не рівні між собою і не існують, значить в точці х= -1 функція має розрив другого роду.

х =-1 - рівняння вертикальної асимптоти.

х=-1 уАсимптота - пряма лінія, до якої наближається графік функції, але не перетинає її.

Асимптоти бувають вертикальні, похилі і горизонтальні.

2) З віссю Оу : при х=0 у (0)=(0; 0)

З віссю Ох : при у=0 (0; 0)

3) Якщо f (-x) = f (x), то функція парна (графік симетричний відносно осі Оу ).

Якщо f (-x) = -f (x), то функція непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Якщо , то функція ні парна, ні непарна.

- функція ні парна, ні непарна.

4) Похилі асимптоти.

Рівняння похилих асимптот шукаємо у вигляді у=kx+b, де

k=, b= .

k= 0

b=0

у=х-1 - рівняння похилої асимптоти.

ІІ

=0

Знайдемо інтервали монотонності:

		- 2	(- 2; -1)	( -1; 0)	0
	+	0	-	-	0	+
		- 4			0

ІІІ 1) =

=

2) Точкою перетину називається точка, яка відділяє опуклу частину графіка від вгнутої.

АА - точка перетину

Необхідні умови існування точки перетину

Якщо в точці х 0 є перегин, то в цій точці або дорівнює 0, або не існує.

Якщо на деякому інтервалі < 0, то на цьому інтервалі графік функції опуклий; якщо > 0 - графік функції вгнутий.

Знайдемо точки, в яких може бути перегин: =0 коренів немає =

Точок перегину немає.

3) Знайдемо інтервал опуклості і вгнутості:

х	(-; -1)	(-1; +)
	-	+
	опуклий	вгнутий

IV Поведінка функції на нескінченності.

0 0

0 02

Горизонтальним асимптот функція не має (якщо k=0, то b=, тому у=b - рівняння горизонтальної асимптоти).

V Побудова графіка.

1) Будуємо асимптоти, точки екстремума і точки перетину, точки перетину графіка з осями координат.

2) Вітки графіка в інтервалах, де функція зростає і спадає, а також інтервали опуклості і вгнутості графіка.

Завдання додому.

1) Конспект; [1] с. 265, [2] с. 212-238.

Питання для самоконтролю

1. Екстремум функції.

2. Опуклість і вгнутість кривих.

3. Асимптоти кривої.

4. Схема дослідження функції та побудова графіка.

Лекція 16

Тема: Функції багатьох змінних. Частинні похідні.

Мета: Сформувати поняття функції багатьох змінних; ознайомити з границею функції z=f (x; y), частинними та повним приростами функції z=f (x; y), частинними похідними.

ПЛАН

1. Означення функції багатьох змінних. Символіка.

2. Границя функції z=f (x; y).

3. Частинні та повний прирости функції z=f (x; y).

4. Частинні похідні.

1. Нехай задано множину D упорядкованих пар yчисел (х; у). yОзначення. Якщо кожній парі значень (х; у) з множини D за певним законом ставиться у відповідність одне значення z, то говорять, що на множині D 0хвизначено функцію z від двох змінних х і у і записують z=f (x; y)

Множина D є областю визначення функції z=f (x; y)

Способи задання функції:

1) символічний: z=f (x; y), z=F (x; y), z=z (x; y).

2) аналітичний: ;

3) табличний	у х	-2	-4	-5	z=xy;
	-1	2	4	5
	-3	6	12	15
	-5	10	20	25

5) графічний:

функція z=f (x; y) зображається уz=f (x; y)вигляді поверхні, проекцією якої на zплощину Оху є множина D

Побудуємо: 1)

2) x2 + y2 + z2=1 - сфера

3) z=x2 +y2 - параболоїд обертання

2. Означення. Число А називається границею функції z=f (x; y) при і

, якщо для всіх пар значень (х; у), які як завгодно мало відрізняються від (х0; у0) відповідні значення функції як завгодно мало відрізняються від числа А.

Всі властивості і правила обчислення границі такі ж, як і для границь функцій однієї змінної.

3. Розглянемо функцію z=f (x; y), х, у.

Нехай (х0; у0) - початкова точка, дамо приріст , а . Одержимо нову точку .

Повним приростом функції z=f (x; y) називається різниця

.

Якщо дати приріст тільки , а залишити без зміни, то різниця називається частинним приростом функції Z по аргументу х.

Аналогічно визначається частинний приріст функції Z по аргументу у:

4. Частинною похідною функції z по змінній х називається границя відношення частинного приросту функції по змінній х до приросту змінної х пр умові, якщо приріст аргумента х прямує до нуля.

Аналогічно дається означення частинної похідної функції z по змінній у:

Частинні похідні позначаються символами:

, ; ;

, ; ;

Правила знаходження частинних похідних

1) Якщо знаходиться похідна по змінній х, то у є постійною величиною.

2) Якщо знаходиться похідна по змінній у, то х є постійною величиною.

Приклад:

Завдання додому

1. Конспект; [1] с. 284-294 [2] с. 397-406

Питання для самоконтролю

1. Означення функції багатьох змінних. Символіка.

2. Границя функції z=f (x; y).

3. Частинні та повний прирости функції z=f (x; y).

4. Частинні похідні.

Лекція 17

Тема: Похідна за напрямом. Градієнт.

Мета: сформувати поняття похідної за напрямом, градієнта, скалярного поля.

ПЛАН

1. Похідна за напрямом.

2. Градієнт.

1. Характеристиками скалярного поля є похідна за напрямом і градієнт.

Нехай дано скалярне поле u=u (х; у; z).

Частинні похідні визначають швидкість зміни функції Z в напрямі осей Ох і Оу.

По аналогії можна знайти швидкість зміни поля в любому напрямі.

Цією швидкістю зміни поля є похідна його в певному напрямку від точки до точки. М1 (х1; у1; z1)Означення. Похідною функції u (х; у; z) в точці М0 (х0; у0; z0) за напрямом вектора називаєтьсяграниця відношення приросту функції М0 (х0; у0; z0)u (М1) - u (М0) до довжини вектора за умови,що М1М0 , тобто

де - напрямні косинуси вектора

Зауваження: для плоского поля формула для обчислення містить тільки два доданки.

Величина дорівнює швидкості зміни поля за напрямом вектора :

- якщо >0, то в цьому напрямі поле зростає;

- якщо <0 - спадає;

- якщо =0 - поле постійне, таке поле називається стаціонарним.

2.Нехай дано скалярне поле u=u (х; у; z).

Означення. Градієнтом функції u (х; у; z) називається вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції u.

матриця функція інтегрування математичний

grad u (х; у; z) =

Напрям градієнта в кожній точці поля збігається з напрямом нормалі до поверхні рівня, що проходить через цю точку.

Похідна в напрямі градієнта має найбільше значення. При цьому поле в напрямі градієнта зростає з максимальною швидкістю, а у напрямі, протилежному до напряму градієнта, найшвидше спадає.

Максимальну швидкість зміни поля можна обчислити за формулою:

max =

u= grad u

Властивості градієнта:

1) grad (u+v)= grad u + grad v

2) grad (c) = grad u

3) grad ()= u grad v +v grad u

4) grad

Приклад: 1. Знайти grad u в точці М (-1; 2; -2), якщо u =

2. Знайти найбільшу швидкість зростання поля.

3. В якому напрямі функція u спадає найшвидше?

1. grad u =

,

,

grad u=

2. max

3. Напрям найшвидшого спадання поля:

- grad u=

Завдання додому

1. Конспект; [2] с. 408-414.

2. Самостійна робота №11 “Метод найменших квадратів” (3 г од.)[2] с. 420-425.

3. Самостійна робота №12 “Умовний екстремум функції Z=f (x; y) в економічній теорії» (3 год.) [2] с. 417-420

Питання для самоконтролю

1. Похідна за напрямом.

2. Градієнт.

Лекція 18

Тема: Екстремум та умовний екстремум функції багатьох змінних.

Мета: сформувати поняття екстремуму та умовного екстремуму функції двох змінних.

ПЛАН

1. Екстремум функції z=f (x; y). Необхідні і достатні умови існування екстремуму.

2. Поняття про скалярне поле.

1. Розглянемо функцію z=f (x; y), (х; у) .

Означення. Точка Р0 (х0; у0) називається точкою max (min) функції z=f (x; y), якщо існує такий окіл точки Р0, що належить області визначення , що значення функції в довільній точці цього околу будуть меншими (більшими) значення функції в точці Р0.

Необхідні умови існування екстремуму.

z=f (x; y), (х; у) , Р0 (х0; у0) .

Якщо в точці Р0 існує екстремум, то в цій точці частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують.

Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарними; точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними.

Приклад: Знайти стаціонарні точки функції .

Відповідь: М1 (-1; 2),М2 (-1; -2),М3 (0; 0)

Достатні умови існування екстремуму

Нехай в точці Р0 (х0; у0) існують неперервні похідні першого та другого порядку. Позначимо А = (Р0), В= (Р0), С= (Р0). Тоді:

Якщо АС-В2<0 - екстремум існує;

А >0 (C>0) - min

A <0 (C<0) - max

Якщо АС-В2>0 - екстремум не існує;

Якщо АС-В2=0 - потрібні додаткові дослідження для визначення екстремуму.

Приклад: Знайти екстремум для попередньої функції.

=4=2у = 2х + 2

1) для М1 (-1; 2)А = (М1)=4

В = (М1)=4

С= (М1)=0

- екстремуму немає

2) для М2 (-1; -2) А=4В =-4С=0

- екстремуму немає

3) для М3 (0; 0)А=4В=0С=2

- екстремум існує; так як А=4>0 - min

Zmin = (0; 0)=0

2. Нехай кожній точці простору ставиться у відповідність функція, яка залежить від координат точки:u=u (х; у; z)

Значення цієї функції змінюється від точки до точки.

Тоді таке поле називається скалярним просторовим полем

Нерівномірно нагрітий камінь - це поле температур.

Задати поле - значить задати скалярну функцію в кожній точці цього поля.

Якщо поле плoське, то функція залежить від двох змінних u=u (х; у).

Означення. Нехай дано просторове поле u=u (х; у; z). Множина точок, в яких функція u=u (х; у; z) має постійне значення називається поверхнею рівного рівня поля.

u=u (х; у; z)=с, с=const.

Якщо поле плоске u=u (х; у), то лінія рівного рівня називається геометричним місцем точок, в яких функція постійна.

u=u (х; у)=с, с=const - рівняння лінії рівня.

Приклад: и=х2+у2 - поле. Скласти рівняння ліній рівня і побудувати їх.

х2+у2 =с

1) с>0, c=R2х2+у2 =R2 -це рівняння задає множину концентричних кіл різних радіусів. у С3 2) с=0х2+у2 =0 - точка С3) с<0, C= - R2 х2+у2 =-R2 - кола уявного радіуса х

Питання для самоконтролю

1. Похідна за напрямом.

2. Градієнт.

Лекція 19

Тема: Первісна функція та невизначений інтеграл.

Мета: сформувати поняття первісної функції та невизначеного інтеграла; ознайомити з властивостями невизначеного інтеграла, таблицею основних інтегралів, інваріантністю формули інтегрування.

ПЛАН

1. Первісна функція.

2. Невизначений інтеграл та його властивості.

3. Таблиця основних інтегралів.

1) Розглянемо функцію f (x) на проміжку х (a; b).

Означення. Первісною для функції f (x) називається така функція F (x), похідна від якої дорівнює f (x):

(x) = f (x)

Приклад. F (x)=2хF (x) =x2

F (x) = x2 - 6

F (x) = x2+…

З приклада можна зробити висновок, що для однієї й тієї ж функції f (x)=2х існує множина первісних, які відрізняються постійним доданком.

Теорема. Якщо F (x) - первісна функції f (x) на проміжку (a; b), то всяка інша первісна функції f (x) на цьому самому проміжку має вигляд F (x)+С.

Доведення: Нехай Ф (х) - деяка інша, крім F (x), первісна функції f (x), тобто

f (x), х (а; b). Знайдемо похідну різниці (ф (х) - F (x))' = ф'(х) - F'(х)=f (x) - f (x)=0, а це означає, що ф (х) - F (x) =С, де С - сonst, тоді ф (х) = F (x) + С, що й потрібно було довести.

1) Дія знаходження множини первісних називається невизначеним інтегруванням.

Множина всіх первісних для функції називається невизначеним інтегралом, який позначається символом:

, де f (x) - підінтегральна функція, f (x) d x - підінтегральний вираз, х - змінна інтегрування (знаходиться під знаком диференціала).

Невизначений інтеграл є множиною кривих, кожна з яких називається інтегральною кривою, і утворюється за допомогою паралельного переносу вздовж осі Оу.

Властивості невизначеного інтеграла

1) Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2) Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

3) Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

4) Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

, с - const

5) Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій:

З першої властивості видно, що знаки похідної і невизначеною інтеграла взаємно знищуються. Тобто операції диференціювання та інтегрування - взаємно обернені.

Правильність виконання операції інтегрування перевіряється диференціюванням.

3. Таблиця основних інтегралів.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.

Приклад. 1)

=

2)

Нехай даний невизначений інтеграл

Довільна формула інтегрування залишається справедливою незалежно від того, чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи довільною функцією від неї, що має неперервну похідну. В цьому _аклечається властивість інваріантності формули інтегрування.

Довільна формула інтегрування зберігає свій вигляд, якщо замість незалежної змінної х підставити довільну диференційовану функцію від х.

Нехай (х) - диференційована функція:

Приклад: - формула

Приклад:

1) =

2) ;

3)

=

Завдання додому

1) Конспект; [1] с. 330 - 336; [2] с. 251 - 258.

Питання для самоконтролю

1. Первісна функція.

2. Невизначений інтеграл та його властивості.

3. Таблиця основних інтегралів.

Лекція 20

Тема: Основні методи інтегрування.

Мета: ознайомити з основними методами інтегрування - безпосереднього інтегрування, підстановки (заміни змінної), інтегрування частинами.

ПЛАН

1. Метод безпосереднього інтегрування.

2. Метод підстановки (заміни змінної).

3. Метод інтегрування частинами.

1. Метод безпосереднього інтегрування.

Базується на властивостях невизначеного інтеграла і на таблиці основних інтегралів. Якщо необхідно, то виконують перетворення підінтегрального виразу.

Приклад: 1)

(інтеграл №5)

2)

3)

4)

5)

6)

2. Метод підстановки базується на властивості інваріантності невизначеного інтеграла:

Знайдемо

Правило. Якщо підінтегральний вираз містить похідну внутрішньої функції, то внутрішню функцію позначають новою змінною (через t):

Приклад:

1)

2)

3)

4) .

3. Нехай дано дві диференційовані функції: . Знайдемо диференціал їх добутку:

Формула інтегрування частинами

Приклад:

=.

Деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами:

1)

2)

3)

4)

5)

6) , де - поліном (многочлен цілих степенів);

і - дійсні числа.

7)

8)

9)

10)

11) , де - многочлен.

Зауваження: інтеграли 7-11 беруться частинами в тому випадку, якщо немає похідної від логарифмів і від обернених тригонометричних функцій.

Правило позначення через “u” i “dv”

1. Для інтегралів 1-4 через “u” позначають множник P (х) а через “dv” - вираз, що залишився.

2. Для інтегралів 5-6 немає різниці, яку функцію позначити через “u” (оборотні інтеграли).

3. Для інтегралів 7-11 через “u” позначаються логарифми або обернені тригонометричні функції, а через “dv” - Q (x) dx.

Приклад

1) =

=

2)

3)

4)

Завдання додому

Конспект; [1] с. 336 - 342 [2] с. 256 - 266

Питання для самоконтролю

1. Метод безпосереднього інтегрування.

2. Метод підстановки (заміни змінної).

3. Метод інтегрування частинами.

Лекція 21

Тема: Інтегрування раціональних дробів.

Мета: ознайомити з розкладанням правильного дробу на суму найпростіших, інтегруванням раціонального дробу, інтегруванням виразів, які містять квадратний тричлен.

ПЛАН

1. Розкладання правильного дробу на суму найпростіших.

2. Інтегрування раціонального дробу.

3. Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен.

1. Означення. Відношення двох многочленів називається раціональним дробом.

де і - многочлени степеня m і n відповідно.

Якщо m<n , то дріб називається правильним.

Якщо mn , то дріб називається неправильним.

Приклад: 1) - правильний дріб.

2) - неправильні дроби.

3

Щоб знайти інтеграл від неправильного раціонального дробу, потрібно виділити цілу частину шляхом ділення чисельника на знаменник:

Щоб знайти інтеграл від правильного раціонального дробу, потрібно розкласти його на суму елементарних дробів.

Є чотири види елементарних правильних раціональних дробів.

І

ІІ

ІІІIV

- дійсні числа, а тричлен не має дійсних коренів, тобто .

Якщо знаменник правильного раціонального дробу розкладено на множники (а всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти на лінійні та квадратні (з комплексними коренями) множники з дійсними коефіцієнтами), то такий дріб можна подати у вигляді суми простіших (елементарних) дробів, чисельники яких невідомі.

Якщо в розкладі знаменника на множники є множник , де

- дійсний корінь, то елементарних дробів буде k такого виду:

,,..., .

Якщо в розкладі знаменника є множник виду () , то елементарних дробів буде l такого виду:

,,...,

Числа А1, А2,..., Аk, М1, N1, M2, N2, …, Me, Ne потрібно знайти.

Знаходять ці числа (чисельники) одним із методів: 1) порівнювання коефіцієнтів; 2) окремих значень аргументу або комбінують ці два методи.

Приклад: Правильний елементарний дріб розкласти на суму елементарних дробів:

++++

1) Метод порівнювання коефіцієнтів (або метод невизначених коефіцієнтів).

Суму елементарних дробів зводять до спільного знаменника.

Прирівнюють чисельники дробів лівої і правої частини рівності.

З попередньої тотожності складемо систему лінійних рівнянь при однакових степенях х; з цієї системи знайдемо невідомі чисельники елементарних дробів.

Приклад: Розкласти дріб на суму елементарних дробів.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях х, починаючи з х в старшому степені:

х2 0=А+В+С

х 1=5А+2В+С

вільні члени- 3=6А - 3В - 2С

2) Метод окремих значень аргументу.

Якщо корені знаменника дійсні і прості, то для обчислення А, В, С можна застосувати метод підстановки коренів знаменника.

2,3. Інтеграли від елементарних дробів.

І

ІІ

ІІІ =

=

=

Перший інтеграл буде дорівнювати



Другий інтеграл - табличний.

IV

Підстановкою зводиться до двох інтегралів:

Перший інтеграл обчислюється безпосередньо.

Другий - за рекурентною формулою.

Завдання додому

Конспект; [1] с. 342 - 354; [2] с. 267 - 271.

Питання для самоконтролю

1. Розкладання правильного дробу на суму найпростіших.

2. Інтегрування раціонального дробу.

3. Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен.

Лекція 22

Тема: Визначений інтеграл.

Мета: ознайомити з задачами, що приводять до поняття визначеного інтеграла, з означенням визначеного інтеграла та його властивостями, теоремою Ньютона-Лейбніца.

ПЛАН

1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

2. Означення визначеного інтеграла та його властивості.

3. Теорема Ньютона-Лейбніца.

1. До поняття визначеного інтеграла приводять такі задачі:

1) про площу криволінійної трапеції;

2) про об'єм просторового тіла;

3) про роботу змінної сили;

4) про пройдений шлях та інші.

Розглянемо одну з цих задач: про площу криволінійної трапеції.

Нехай на відрізку [а; b] задано функцію

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком даної функції у=f (x) (зверху), віссю абсцис (у=0) та відрізками прямих х=а, х=b (по боках).

Знайдемо S ABCD

Розіб'ємо відрізок [а; b] на n частинних відрізків за допомогою точок Bа=х0 < x1 < x2 <… <xn = b

Позначимо довжини частинних відрізків через x1 =x1- x0; x2 =x2 - x1;...

xi =xi - xi-1;

xn =xn - xn-1;

Площа і - го прямокутника

Знайдемо суму площ всіх прямокутників, одержимо площу ступінчатої фігури:

Площа ступінчатої фігури наближено дорівнює площі криволінійної трапеції S ABCD

Спрямуємо число частинних відрізків відрізка [а; b] до нескінченності

, тоді довжина кожного частинного відрізка буде прямувати до нуля (максимальна) ( max ), а площа ступінчатої фігури буде прямувати до площі трапеції, тобто:

- (границя суми нескінченно великого числа нескінченно малих доданків)

Вираз називається інтегральною сумою, а границя її (якщо вона існує) - визначеним інтегралом.

а і b - відповідно нижня і верхня межа інтегрування;

- підінтегральна функція;

- підінтегральний вираз

- змінна інтегрування;

[а; b] - проміжок інтегрування.

Теорема 1 (достатня умова інтегрованості)

Якщо функція неперервна на відрізку [а; b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

Теорема 2

Якщо функція обмежена на відрізку [а; b] і неперервна в ньому скрізь, крім скінченного числа точок, в яких функція має розрив першого роду, то вона інтегрована на цьому відрізку.

2. Властивості визначеного інтеграла.

1) Геометричний зміст - це площа відповідної криволінійної трапеції.

2)

3)

4)

5)

6) (аддитивність)

7)

Приклад: 1)

2)

Формула Ньютона-Лейбніца

Теорема: Якщо є первісною для неперервної функції на відрізку [а; b], то справедлива формула:

Приклад:

у=х2 Геометрично результат дорівнює площікриволінійної трапеції, обмеженої зверху параболоюу=х2 на відрізку [-1; 3]

Завдання додому

1) Конспект; [1] с. 365 - 381; [2] с. 283 - 299

Питання для самоконтролю

1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

2. Означення визначеного інтеграла та його властивості.

3. Теорема Ньютона-Лейбніца.

Лекція 23

Тема: Методи обчислення визначених інтегралів.

Мета: розглянути методи обчислення визначених інтегралів.

ПЛАН

1. Метод заміни змінної (метод підстановки);

2. Формула інтегрування частинами.

1 Метод підстановки.

=

Приклад:

=

2. Формула інтегрування частинами.

Приклад:

+

Завдання додому

1) Конспект; [1] с. 365 - 381; [2] с. 283 - 299

Питання для самоконтролю

1. Метод заміни змінної (метод підстановки);

2. Формула інтегрування частинами.

Лекція 24

Тема: Геометричне застосування визначених інтегралів. Невласні інтеграли.

Мета: ознайомити з обчисленням площ плоских фігур, довжиною дуги, об'ємом тіла, площею поверхні обертання.

ПЛАН

1. Обчислення площ плоских фігур.

2. Довжина дуги.

3. Об'єм тіла обертання.

4. Площа поверхні обертання.

1) 2) у y y= f (x)y= (x)

y= f (x) y= (x) 0 a b x 0 a c b x

3) 4) y a b уa b хx y=f (x)

y= (x)

y= f (x)

Приклад: Обчислити площу фігури, обмеженої лініями ху=1, х=1, х=4,

(кв. од.)

- об'єм тіла обертання навколо осі Ох.

- об'єм тіла обертання навколо осі Оy.

Приклад: Обчислити об'єм тіла обертання навколо осі Ох трапеції, обмеженої лініями уТіло обертання має назву катеноїд

=

=

= (куб. од.)

Питання для самоконтролю

1. Обчислення площ плоских фігур.

2. Довжина дуги.

3. Об'єм тіла обертання.

4. Площа поверхні обертання.

Лекція 25

Тема: Невласні інтеграли.

Мета: ознайомити з нескінченними межами інтегрування (першого роду), невласного інтеграла від необмежених функцій (другого роду).

ПЛАН

1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (першого роду).

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (другого роду).

Якщо верхня межа визначеного інтеграла , то одержуємо невласний інтеграл з нескінченною верхньою межею інтегрування:

Якщо границя існує (дорівнює певному числу), то невласний інтеграл називається збіжним;

Якщо ж границя не існує або нескінченна - розбіжним.

, с - довільне число

Даний інтеграл існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли - доданки. Якщо ж хоча б один з інтегралів розбіжний, то даний інтеграл також буде розбіжним.

Нехай функція y=f (x) визначена на проміжку [a; b).

Точку b назвемо особливою точкою функції, якщо f (x) при

Невласним інтегралом від необмеженої функції (справа) називають

, де - довільне

Якщо - особлива точка функції, то

(функція необмежена зліва).

Якщо f (x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки (розривна), то

, с - точка розриву

Приклад:

=

Завдання додому

Конспект; [1] с. 401-408, 385-393; [2] с. 299-312.

Питання для самоконтролю

1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (першого роду). 2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (другого роду).

Лекція 26

Тема: Застосування визначеного інтегралу в економіці.

Мета: розглянути застосування визначеного інтегралу в економіці.

ПЛАН

1. Витрати, доход та прибуток.

2. Коефіцієнт нерівномірного розподілу прибуткового податку.

3. Максимізація прибутку за часом.

4. Дослідження стратегії розвитку.

1.Витрати, доход та прибуток.

Нехай V(x) буде функцією загальних витрат на виробництво x одиниць продукції, V'(x) - функція маргінальних витрат. Тоді визначений інтеграл

(20)

дорівнює зміні загальних витрат при зростанні виробленої продукції від a до b одиниць.

Звідси випливає важливий наслідок: Зміна виробничих витрат при зростанні виробленої продукції від a до b одиниць дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції маргінальних витрат y=V'(x), відрізком [a, b] та прямими x=a та x=b.

Аналогічно, якщо D'(x) та P'(x)- функції маргінального доходу та прибутку, відповідно, то зміни доходу та прибутку при зростанні реалізації виробленої продукції від a до b одиниць обчислюється за формулами

(21)

(22)

Приклад: функція маргінальних витрат фірми має вигляд

V'(x)=23,5-0,01 x

Знайти зростання загальних витрат, коли виробництво зростає з 1000 до 1500 одиниць.

Розв'язування. За формулою (20) зростання загальних витрат буде

Отже, витрати зростуть на 5500 гривень.

2. Коефіцієнт нерівномірного розподілу прибуткового податку.

Нехай у є частина загального прибуткового податку пропорційна частині x усього населення держави.

Наприклад, якщо x=1/2, а у=1/4, то це означає, що 50% населення сплачує 25% загального прибуткового податку.

Якщо у=0,7, коли x=0,9, то це означає, що 90% населення сплачує 70% прибуткового податку.

У загальному випадку x та у - дробові частини цілого і у є функцією x, тобто у=f(x).

Будемо вважати, що немає осіб, які не сплачують прибуткового податку, тобто f(0)=0 і весь прибутковий податок сплачує 100% населення, тобто f(1)=1.

Графік функції у=f(x), яка описує дійсний розподіл прибуткового податку, називають кривою Лоренцa.

Припустимо, що крива Лоренцa задана рівнянням

Коли x= 0,2, маємо

Це означає, що 20%населення сплачує 5% загального податку.

Коли x= 0,5, маємо

Це означає, що 50% населення сплачує тільки 26,56% податку.

Коефіцієнтом нерівності розподілу податку кривої Лоренцa називають відношення площі фігури, обмеженої кривою Лоренцa та прямою у=х до площі фігури, що лежить нижче прямої у=х.

Коефіцієнт нерівного розподілу податку, що здійснюється за законом Лоренца, позначають L.

Площа трикутника

Площу заштрихованої фігури одержимо з використанням визначеного інтеграла за формулою

Тому, згідно з означенням, коефіцієнт Лоренца обчислюють за формулою

У випадку кривої Лоренца вигляду

коефіцієнт нерівності розподілу податку буде

Відмітимо, що коефіцієнт нерівності розподілу податку завжди задовольняє співвідношення

Коли L=0, прибутковий податок розподілено рівномірно, коли L=1, нерівномірність розподілу податків найбільша.

3.Максимізація прибутку за часом.

Нехай V(t), D(t) та P(t)- загальні витрати, доход та прибуток, що змінюються з часом, тобто залежать від часу t. Тоді

P(t)= D(t)- V(t) або

P'(t)= D'(t)- V'(t)

Максимум загального прибутку буде тоді, коли

P'(t)=0 або D'(t)= V'(t)

Іншими словами, існує такий час t1, коли D'(t)= V'(t), тобто швидкості зміни дохода та витрат рівні. Загальний прибуток за час t1 можна знайти за формулою:

(24)

Максимум прибутку дорівнює площі між кривими D'(t) та V'(t) на проміжку .

Приклад. Швидкості зміни витрат та доходу підприємства після початку його діяльності визначилися формулами

та

де V та D вимірювались мільйонами гривень, а t вимірювали роками. Визначити, як довго підприємство було прибутковим та знайти загальний прибуток, який було одержано за цей час.

Розв'язування. Оптимальний час t1 для прибутку підприємства одержимо з умови D'(t)= V'(t):

Отже, підприємство було прибутковим 8 років. За цей час було одержано прибутку

4. Дослідження стратегії розвитку.

Приклад.

Компанія повинна обрати одну із двох можливих стратегій розвитку:

1) вкласти 10 млн. гривень у нове обладнання і одержувати 3 млн. гривень прибутку кожного року на протязі 10 років;

2) закупити на 15 млн. гривень більш досконале обладнання, яке дозволить одержати 5 млн. гривень прибутку щорічно на протязі 7 років.

Яку стратегію треба обрати компанії, якщо номінальна облікова щорічна ставка 10%.

Розв'язування. Якщо f(t) є прибуток за час t i r=R/100 є номінальна облікова щорічна ставка, то дійсне значення загального прибутку за час між t=0 та t=Т дорівнює

При R=10 маємо r=0,1. Тому для першої стратегії дійсне значення прибутку за 10 років буде

Для другої стратегії одержимо:

Отже, друга стратегія краще першої і тому її доцільно обрати для подальшого розвитку компанії.

Питання для самоконтролю

1. Витрати, доход та прибуток.

2. Коефіцієнт нерівномірного розподілу прибуткового податку.

3. Максимізація прибутку за часом.

4. Дослідження стратегії розвитку.

Лекція 27

Тема: Диференціальні рівняння. Основні поняття.

Мета: сформувати поняття диференціального рівняння першого порядку; ознайомити з задачею Коші.

ПЛАН

1.Основні означення.

2. Задача Коші.

3. Неповні диференціальні рівняння.

1. Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, яке містить незалежну змінну х , невідому функцію у = у (х) та її похідну у':

або

Враховуючи, що диференціальне рівняння можна записати в диференціалах:

Порядок диференціального рівняння визначається по порядку старшої похідної цього рівняння:

- ІІІ порядку.

Розв'язком диференціального рівняння на деякому інтервалі (а; b) називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в диференціальне рівняння обертає його в тотожність.

Графік розв'язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння.

2.Теорема Коші (про існування і єдиність розв'язку)

Дано диференціальне рівняння . Нехай функція і її частинна похідна визначені і неперервні в деякій області D і нехай точка . Тоді існує єдиний розв'язок рівняння , який задовольняє умову при .

Геометрично теорема Коші стверджує, що через кожну точку області D проходить єдина інтегральна крива.

Умову при або або називають початковою умовою розв'язку.

Умови існування і неперервності і в області D називають умовами теореми Коші.

Зауваження: Точки області D, в яких не виконуються умови теореми Коші називаються особливими. Через кожну з таких точок проходить кілька інтегральних кривих або не проходить жодної.

Задача знаходження розв'язку диференціального рівняння при початкових умовах називається задачею Коші.

Загальним розв'язком рівняння називається функція , яка залежить від змінної і довільної сталої С.

Геометрично загальний розв'язок визначає сім'ю інтегральних кривих.

Частинним розв'язком рівняння називається функція , яка знаходиться із загального розв'язку пр певному значенні сталої с=с0.

С0 знаходиться, використовуючи початкові умови.

Геометрично частинний розв'язок визначає одну криву із сім'ї інтегральних кривих, яка проходить через точку і для якої с=с0.

Загальний розв'язок називають загальним інтегралом диференціального рівняння.

Завдання додому.

1) Конспект; [1] с. 421 - 451; [2] с. 325 - 339.

Питання для самоконтролю

1.Основні означення.

2. Задача Коші.

3. Неповні диференціальні рівняння.

Лекція 28

Тема: Диференціальні рівняння першого порядку.

Мета: ознайомити з методами відокремлювання змінних, розв`язку лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.

ПЛАН

1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

2. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

1)

Якщо дане диференціальне рівняння можна записати у вигляді , то таке рівняння називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

Приклад:

2)

- рівняння з відокремлюваними змінними.

Щоб розв'язати таке рівняння потрібно відокремити змінні, тобто функція при повинна залежати тільки від , а функція при - тільки від .

Для відокремлення змінних досить обидві його частини поділити на функцію :

- з відокремленими змінними.

Це рівняння можна інтегрувати:

Приклад: ,

,

- загальний розв'язок (загальний інтеграл) рівняння, записаний в неявному вигляді.

2. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, де

і - задані і неперервні на деякому проміжку функції.

Є кілька методів інтегрування цього рівняння. Один х них (метод Бернуллі) полягає в тому, що розв'язок цього рівняння шукають у вигляді добутку , де - невідомі функції , причому одна з цих функцій довільна (але не рівна тотожно 0).

Приклад:

,;

+

Сгрупуємо доданки і винесемо спільний множник за дужки:

Один з множників виберемо так, щоб вираз в дужках дорівнював 0,

тобто ;

,,

- рівняння з відокремлюваними змінними.

,

,;

Підставимо це значення в дане диференціальне рівняння:

,

,;

= - загальний розв'язок рівняння

Завдання додому.

1) Конспект; [1] с. 421 - 451; [2] с. 325 - 339.

Питання для самоконтролю

1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

2. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Лекція 29

Тема: Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами

Мета: сформувати поняття лінійного диференціального рівняння другого порядку; ознайомити з однорідними та неоднорідними рівняннями.

ПЛАН

1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

2. Однорідні та неоднорідні рівняння.

1. Розглянемо диференціальні рівняння другого порядку:

- запис рівняння в неявному вигляді;

- нормальний (або явний) запис диференціального рівняння другого порядку.

Розв'язком рівняння на деякому інтервалі (a; b) називається неперервна функція на цьому інтервалі, для якої існують похідні 1-го та 2-го порядку, така, що при підстановці в дане рівняння перетворює його в тотожність.

Графік розв'язку диференціального рівняння називається його інтегральною кривою.

Для диференціальних рівнянь вищих порядків, як і для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими умовами.

Для рівнянь другого порядку ця задача ставиться так: серед усіх розв'язків рівняння знайти такий розв'язок , , який при задовольняє умови:

,

Розглянемо види диференціальних рівнянь другого порядку:

а) Неповні (містять тільки і функцію, яка залежить від х): .

Щоб знайти загальний розв'язок такого рівняння, потрібно праву частину проінтегрувати два рази.

Приклад: Знайти загальний розв'язок рівняння .

,

.

Відповідь:

2. б) Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами - це рівняння виду

, де - дійсні числа.

Якщо , то рівняння називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами (ЛОДР).

Якщо , то таке рівняння називається неоднорідним (ЛНДР).

Розглянемо спочатку розв'язки лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Теорема (про структуру загального розв'язку ЛОДР)

Якщо функції та є розв'язками рівняння (*), то функція також буде розв'язком ЛОДР при умові, що та - лінійно незалежні, тобто .

- загальний розв'язок ЛОДР.

Ейлер запропонував шукати частинні розв'язки цього рівняння у вигляді , де k - стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти.

,

,

Размещено на http://www.allbest.ru/

, тоді - характеристичне рівняння

лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку.

Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2.

Формули для загального розв'язку ЛОДР

1) Якщо k1k2 (дійсні, різні числа) (дискримінант D>0), то

Размещено на http://www.allbest.ru/

2) Якщо k1=k2 (дійсні, рівні числа)

(D=0), то

Размещено на http://www.allbest.ru/

2) Якщо k1, 2 = (комплексно - спряжені числа) (D<0), то

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приклади: Знайти загальний розв'язок:

1)

складаємо характеристичне рівняння

2)

Розглянемо розв'язки лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

.

Теорема (про структуру загального розв'язку ЛНДР)

Загальний розв'язок ЛНДР являє собою суму загального розв'язку відповідного однорідного рівняння і довільного частинного розв'язку даного рівняння.

, де у0 - загальний розв'язок відповідного ЛОДР,

у* - частинний розв'язок ЛНДР.

Є рівняння із спеціальною правою частиною, для яких знайдені частинні розв'язки.

1) , де - многочлен (поліном) степеня n.

Размещено на http://www.allbest.ru/

де - многочлен (поліном) степеня n з невідомими коефіцієнтами;

r знаходимо з умови:

1. r=0, якщо (k1 і k2 - корені характеристичного рівняння).

2. r=1, якщо k1 =0 (або k2 =0).

Приклад: Знайти загальний розв'язок рівняння: .

у0 - ?

у* - ?

=

так як k1 = 0, то r = 1

Потрібно знайти А, В, С:

Підставимо в дане рівняння:

Застосуємо метод невизначених коефіцієнтів:

- загальний розв'язок рівняння.

2) , де М і - сталі числа.

Размещено на http://www.allbest.ru/

де А - невідоме число;

r знаходимо з умови:

1. r = 0, якщо

2. r = 1, якщо (або )

3. r = 2, якщо

Приклад:

у0 - ?

у* - ?

так як , то r = 1

Підставимо в дане рівняння:

,

,

,

- загальний розв'язок

3) , де M і N - сталі числа.

Размещено на http://www.allbest.ru/

де А і В - невідомі числа;

r знаходимо з умови:

1. r = 0, якщо

2. r = 1, якщо

Приклад:

у0 - ?

Підставимо в дане рівняння:

;

;

- загальний розв'язок

Завдання додому

1) Конспект; [1] с. 470 - 493; [2] с. 340 - 350.

Питання для самоконтролю

1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

2. Однорідні та неоднорідні рівняння.

Лекція 30

Тема: Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Мета: сформувати поняття різницевого рівняння порядку k; ознайомити з методами розв'язування різницевих рівнянь, застосуванням різницевих рівнянь в економіці.

ПЛАН

1. Однорідні лінійні різницеві рівняння.

2. Неоднорідні лінійні різницеві рівняння.

1. Означення. Нехай у0, у1, у2, у3,... - послідовність дійсних чисел. Різницевим рівнянням порядку k називають рівняння, що зв'язує у0, у1, у2, у3,..., уn+k для кожного значення n = 0, 1, 2, 3...

Приклад: Визначити порядок різницевих рівнянь:

а) - 3-го порядку

б) - 2-го порядку

в) + - 1-го порядку

Розв'язком різницевого рівняння називають таку множину значень , яка задовольняє різницеве рівняння для усіх можливих значень n.

Однорідним різницевим рівнянням 1-го порядку називають рівняння виду або .

Теорема: Загальним розв'язком різницевого рівняння вигляду , де - задана стала, буде , де С - довільна стала

Доведення. В дане рівняння підставимо значення n = 1, 2, 3,... Одержимо:

n = 1

n = 2

Размещено на http://www.allbest.ru/

n = 3

n = 4

Порівнюючи з формулою бачимо, що , що й потрібно було довести.

Щоб знайти частинний розв'язок різницевого рівняння, потрібно задати початкові умови.

Зауваження: Якщо , то розв'язок зростає за показниковим законом; якщо - спадає.

Приклад: Знайти частинний розв'язок рівняння при початкових умовах

Запишемо формулу ,

.

Використовуючи початкові умови знайдемо С: при n = 5

Неоднорідним різницевим рівнянням 1-го порядку називається рівняння виду

.

Формула для загального рівняння:

, тобто загальний розв'язок неоднорідного різницевого рівняння 1-го порядку являє собою суму двох доданків: перший - загальний розв'язок відповідного однорідного різницевого рівняння, другий - частинний розв'язок неоднорідного рівняння.

Частинний розв'язок неоднорідного різницевого рівняння знаходимо із загального розв'язку, використовуючи початкові умови.

...