Ознаки Коші

1) Радикальна ознака Коші.

Якщо для ряду з додатними членами

існує границя , то цей ряд збіжний при < 1 і розбіжний при > 1.

Якщо = 1, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

Застосовується тоді, коли можна добути корінь степеня n з un

Приклад:

;

отже ряд збіжний

2) Інтегральна ознака Коші.

Нехай задано ряд

, члени якого є значеннями неперервної, додатної і монотонно спадної функції f (x) на проміжку [1; +).

Тоді даний ряд збіжний, якщо збіжний невласний інтеграл , і розбіжний, якщо цей інтеграл розбіжний.

Приклад:

- розбіжний.

Інтегральна ознака Коші застосовується в тому випадку, коли можна знайти інтеграл від загального члена ряду.

3. Розглянемо ряд, знаки членів якого строго чергуються, тобто ряд, довільні два сусідні члени якого мають різні знаки:

(3)

Ознака Лейбніца

Якщо члени ряду (3) спадають по модулю і загальний член ряду при прямує до 0, то ряд (3) збіжний. Якщо ж не виконується хоча б одна з цих умов, то ряд розбіжний.

Приклад: За ознакою Лейбніца перевірити збіжність даного ряду:

1) порівняємо члени ряду по модулю:

>... - спадають

2) знайдемо

Отже, ряд збіжний.

Ряд називається знакозмінним, якщо серед його членів є як від'ємні, так і додатні.

Нехай дано ряд, знаки членів якого строго чергуються:

Якщо цей ряд збігається за ознакою Лейбніца і збігається ряд, утворений з модулів його членів, тобто ряд

то ряд називається абсолютно збіжним.

Якщо ж цей ряд збігається за ознакою Лейбніца , а ряд, утворений з модулів його членів, розбіжний, то ряд називається умовно збіжним.

Абсолютно збіжні ряди мають ряд важливих властивостей, наприклад, переставну властивість: будь-який ряд утворений за допомогою перестановки членів абсолютно збіжного ряду також абсолютно збіжний і має ту саму суму, що й заданий ряд. Умовно збіжні ряди переставної властивості не мають, тому що від перестановки їхніх членів може змінтися сума ряду і навіть утворитися розбіжний ряд.

Алгоритми перевірки на абсолютну збіжність.

1) Утворюється ряд з модулів членів даного ряду.

2) Якщо цей ряд збіжний, то значить ряд збігається абсолютно.

3) Якщо цей ряд розбіжний, то даний ряд перевіряють на збіжність за ознакою Лейбніца. Якщо даний ряд збіжний, то він збігається умовно.

Приклад: Абсолютно чи умовно збігається ряд:

- ряд Діріхле (збіжний)

Отже, обидва ряди поводять себе однаково, значить даний ряд збігається абсолютно.

Ряди, знаки членів яких строго чергуються, застосовують для наближених обчислень значень функцій.

Завдання додому

1. Конспект; [1] с. 498 - 510

Питання для самоконтролю

1. Ряди. Основні значення.

2. Збіжність рядів, властивості збіжних рядів.

3. Необхідна умова збіжності

Лекція 33

Тема: Степеневі ряди

Мета: ознайомити з теоремою Абеля, радіусом збіжності ряду. рядами Тейлора та Маклорена, розкладанням елементарних функцій в ряд Маклорена

ПЛАН

1. Теорема Абеля. Радіус збіжності ряду.

2. Ряди Тейлора та Маклорена.

3. Розвинення елементарних функцій у степеневий ряд.

1. Означення. Ряд виду , в якому члени є функціями від , називається функціональним рядом.

Закон зміни членів такого ряду заданий формулою n - го . Якщо замість х підставити значення х0 , де х = х0 - довільне число, то одержимо числовий ряд. Якщо цей ряд є збіжним, то точка х0 називається точкою збіжності функціонального ряду.

Множина всіх точок збіжності функціонального ряду називається областю його збіжності.

Частинною сумою функціонального ряду називається сума .

Якщо існує границя , то називають сумою ряду.

n - м залишком ряду називають різницю :

=

Означення. Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

,де - вільний член ряду; - коефіцієнти ряду.

Теорема Абеля.

Якщо степеневий ряд збіжний при , то він абсолютно збіжний для всіх значень х, що задовольняють нерівність , тобто збіжний на інтервалі . Такий інтервал називається інтервалом збіжності ряду, а число називається радіусом збіжності степеневого ряду.

Інтервал збіжності можна записати у вигляді (- R; R)

Метод знаходження інтервала збіжності степеневого ряду

Нехай дано степеневий ряд . Для знаходження інтервала збіжності застосовують ознаку Д'Аламбера.

Для того, щоб ряд був збіжним, потрібно, щоб одержаний вираз був меншим 1, тобто

- інтервал збіжності ряду

Для знаходження області збіжності потрібно дослідити поведінку ряду на кінцях інтервалу. Для цього замість х в степеневий ряд підставляють значення і і досліджують одержані числові ряди на збіжність.

Приклад: знайти область збіжності степеневого ряду

- інтервал збіжності

R = 3

Перевіримо поведінку ряду на кінцях інтервалу:

а) при х = 3 не виконується необхідна ознака збіжності, тобто 1=1, отже ряд розбіжний.

Значить правий кінець інтервалу не входить в область збіжності.

б) при х = - 3

одержали ряд, знаки якого строго чергуються; застосуємо ознаку Лейбніца:

1 = 1=1 =... - модулі членів ряду не спадають, значить ряд розбіжний.

Тобто, лівий кінець інтервалу не входить в область збіжності.

Відповідь: областю збіжності степеневого ряду є інтервал ( - 3; 3)

- 30 3 х

2. Розглянемо степеневий ряд за степенями :

Нехай функція f (x) є сумою ряду на інтервалі :

Нехай існують всі похідні функції f (x) і значення самої функції в точці . Знайдемо коефіцієнти цього ряду, послідовно диференцюючи ряд і підставляючи в знайдені похідні значення .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Знайдемо

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

...

Тоді

Размещено на http://www.allbest.ru/

Степеневий ряд прийме вигляд:

0, 1, 2,... - ряд Тейлора.

Теорема (про достатні умови розкладання функції в ряд Тейлора)

Якщо функція f (х) в інтервалі має похідні всіх порядків та існує число M > 0 таке, що модуль кожної похідної буде меншим від М.

, то функцію f (x) можна розкласти в ряд Тейлора.

Якщо в ряді Тейлора приймемо , то одержимо ряд Маклорена:

Степеневі ряди застосовуються для наближених обчислень, для розв'язування диференціальних рівнянь, для обчислення визначених та невизначених інтегралів.

3. Щоб функцію f (x) розкласти в ряд Маклорена, потрібно:

1) знайти похідні

2) обчислити значення похідних в точці х = 0

3) записати ряд Маклорена для даної функції і знайти інтервал його збіжності;

4) визначити інтервал ( - R; R) в якому залишковий член формули Маклорена при .

Приклади:

1)

...

Область збіжності ряду

2)

3)

4) Біноміальний ряд

,

Область збіжності

5)

n = 0, 1, 2,...

Область збіжності ( -1; 1]

6)

n = 1, 2, 3 …

Область збіжності [ -1; 1]

Завдання додому

1) Конспект; [1] с. 512 - 527

Питання для самоконтролю

1. Теорема Абеля. Радіус збіжності ряду.

2. Ряди Тейлора та Маклорена.

3. Розвинення елементарних функцій у степеневий ряд.

Лекція 34

Тема: Ряди Фурє

Мета: ознайомити з тригонометричним рядом Фурє, комплексною формою ряду Фурє інтегралами Фурє.

ПЛАН

1. Тригонометричний ряд Фурє, коефіцієнти Фурє.

2. Розкладання функції у ряд Фурє

І. Означення.Функція називається такою, що задовольняє умови Діріхле на відрізку[a;b], якщо на цьому відрізку виконуються такі умови:

має скінченне число розривів першого роду;

має скінченне число екстремумів;

для

Теорема. Функція , що задовольняє умови Діріхле на відрізку [-;] на інтервалі(-;), може бути визначена тригонометричним рядом Фурє:

(1)

де коефіцієнти Фурє та обчислюються за такими формулами:

Зауваження.Якщо функція - парна, то в (1) , а якщо - непарна, то

Теорема. (ознака Діріхле). Якщо - періодична функція з періодом 2 задовольняє умови Діріхлє на відрізку [-;], то її ряд Фурє збіжний, а його сума в точці дорівнює:

, якщо - неперервна в точці ;

, якщо - точка розриву для .

Приклад. Розкласти функцію у ряд Фурє на проміжку (0;2).

Ця функція на відрізку [0;2] задовольняє умови Діріхле, а тому ряд Фурє на інтервалі (0;2) для неї існує. Обчислимо коефіцієнти Фурє, узявши в (1):

Отже,

Питання для самоконтролю

1. Тригонометричний ряд Фурє, коефіцієнти Фурє.

2. Розкладання функції у ряд Фурє

Лекція 35

Тема: Елементи математичної економіки

Мета: сформувати поняття арифметичної прогресії та простих відсотків, геометричної прогресії та складних відсотків, розглянути застосування понять до розв'язування економічних задач.

ПЛАН

1. Арифметична прогресія та прості відсотки

2. Властивості арифметичної прогресії

3. Поняття простих відсотків та капітал

4. Геометрична прогресія та складні відсотки

5. Властивості геометричної прогресії

6. Поняття складних відсотків та капітал

1. Означення. Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, доданого до певного сталого для даної послідовності числа d, яке називається різницею прогресії. Арифметичну прогресію позначають ч

У випадку d > 0 арифметичну прогресію називають зростаючою, а при d < 0 - спадною.

За означенням арифметичної прогресії маємо an+1 =an+d, n Є N.

Теорема 1. Загальний член арифметичної прогресії може бути знайдений за формулою

an=a1+(n-1)d (1)

Доведення проведемо методом математичної індукції. Згідно з формулою (1) маємо a2= a2+2d

a3= a2+d= a1+2d

Нехай має місце (1) для деякого n і доведемо її для n+1.

Згідно з означенням: an+1 =an+d.

Підставивши у цю рівність замість an його значення з (1), одержимо:

an+1=a1+(n-1)d+d= a1+nd або an+1=a1+[(n+1)-1]d

Остання рівність - це формула (1) записана для n+1, яку й треба було довести.

2. Властивості арифметичної прогресії

Кожен член арифметичної прогресії a1, a2, a3,…, an, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів, тобто

ak = , k2 (2)

Дійсно, якщо ak=ak-1+d, ak+1= ak+d ak=ak-1 - d.

Сума цих рівностей дає: 2 ak=ak-1 + ak+1 звідки випливає формула (2).

Сума двох членів скінченої арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії, тобто

ak + an-k+1 =a1 + an , k2 (3)

Дійсно, ak + an-k+1 =[ a1+(k-1)d]+[ a1+(n-k)d]=2a1+(n-1)d;

a1 + an=a1+ a1+ (n-1)d=2a1+(n-1)d.

Праві частини цих рівностей співпадають, тому їх ліві частини рівні, тобто має місце рівняння (3) для k2.

Сума членів скінченої арифметично прогресії дорівнює добутку півсуми крайніх її членів на число всіх членів:

Sn= (4)

Для доведення цього твердження запишемо суму Sn арифметичної прогресії двома способами:

Sn = a1 + a2+…+ an-1+ an

Sn = an-1 + аn+…+ a2+ a1

Додавши почленно ліву і праву частини, одержимо згідно формули (3):

2Sn = (a1 + an)* n,

Звідки і випливає формула (4)

Наслідок. Якщо замість an підставити у формулу (4) його значення у вигляді (1), тоді одержимо другу формулу для суми членів арифметичної прогресії:

Sn = (5)

3. Поняття простих відсотків на капітал

Якщо сума коштів Р вкладена під R відсотків річних, то після першого року буде одержано прибуток величиною d=.

Якщо вкладення капіталу здійснюється під простий річний відсоток, тоді з кожним роком прибуток зростає на однакову величину. Тому послідовність значень капіталу буде Р, P+d, P+2d, P+3d,… тобто ці значення утворюють арифметичну прогресію.

Отже, величина капіталу Р, вкладеного під простий річний відсоток R, через n років буде an= P+n*d=P+n*= P(1+).

Наприклад, якщо вкладено 5000 гривень під простий річний відсоток 10%, тоді через 5 років вкладник матиме:

гривень.

4. Геометрична прогресія та складні відсотки

Означення. Геометричною прогресією називається послідовність, кожний наступний член якої дорівнює попередньому, помноженому на одне і те ж саме число q , яке називають знаменником прогресії. Геометричну прогресію позначають .

Згідно з означенням

(1)

Наприклад, 1,3,9,27,…- геометрична прогресія із знаменником q=3.

Геометрична прогресія називається зростаючою, якщо і спадною, якщо .

Якщо кількість членів геометричної прогресії скінченна, то вона називається скінченною, у протилежному випадку вона називається нескінченою геометричною прогресією.

Методом математичної індукції можна довести, що загальний член геометричної прогресії знаходиться за формулою

 (2)

5. Властивості геометричної прогресії

Будь-який член геометричної прогресії з додатним членом, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному двох сусідніх з ним членів:

(3)

Дійсно, за формулою (2) маємо

.

Бачимо, що обидві частини рівності (3) однакові.

Добутки членів скінченої геометричної прогресії, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою, тобто

(4)

Дійсно, ;

Отже, обидві частини рівності (4) однакові.

Сума членів скінченої геометричної прогресії може бути знайдена за формулою:

 (5)

Для доведення цієї формули знайдемо

(6)

Помноживши обидві частини цієї рівності на q , одержимо

(7)

Віднімемо почленно з рівності (6) рівність (7), тоді одержимо

Тобто . З останньої рівності випливає формула (5).

Суму всіх членів спадної нескінченої прогресії знаходять за формулою

(8)

Доведення. Члени геометричної прогресії спадають, тому .

Розглянемо суму членів вказаної геометричної прогресії як границю скінченої геометричної прогресії. Тоді



Але , . Отже, , що і треба було довести.

6. Поняття складних відсотків на капітал

Припустимо, що вкладник надає банку 5000 гривень з умовою їх зростання кожного року на 10 складних відсотків. Це означає: кожного року величина капіталу, що знаходиться на рахунку вкладника у банку, повинна зростати на 10 відсотків.

Після першого року величина вкладення буде

гривень

Після другого року величина вкладення буде

,

А після n років величина вкладення буде .

Отже, величина капіталу з роками змінюється таким чином:

,

Тобто вона утворює геометричну прогресію із знаменником q=1,1 та першим членом b1 = 5000. Тому величина капіталу Р, що зростає кожного року на R складних відсотків, через n років приймає значення

(9)

У розглянутому вище випадку вкладник через 5 років буде володіти капіталом, який дорівнює:

(гривень),

А через 10 років капітал становитиме

(гривень)

(у випадку простого відсотка, згідно з прикладом розділу 3.2 величина вкладу через 5 років буде 7500 гривень)

Питання для самоконтролю

1. Арифметична прогресія та прості відсотки

2. Властивості арифметичної прогресії

3. Поняття простих відсотків та капітал

4. Геометрична прогресія та складні відсотки

5. Властивості геометричної прогресії

6. Поняття складних відсотків та капітал

Лекція 36

Тема: Математика фінансів

Мета: сформувати поняття рахунків накопичення, розрахунків ренти, погашення боргу; застосування понять до розв'язування економічних задач.

ПЛАН

1. Рахунки накопичення

2. Розрахунки ренти

3. Погашення боргу

Основні проблеми математики фінансів -- обчислення простих та складних відсотків прибутку, розглянуто у розділах 3.2 та 3.3. Зараз ознайомимось з деякими іншими важливими задачами фінансової сфери.

1. Рахунки накопичення

Найпростішим типовим рахунком накопичення є такий рахунок фізичної або юридичної особи, на який регулярно начисляється і зараховується (наприклад, в кінці кожного місяця або на початку наступного року) фіксований доход та робиться баланс вкладень і запланованих відсотків з врахуванням терміну одержаних вкладень.

Приклад 1. Кожного місяця робітник вносить 100 гривень на свій рахунок накопичення з одержанням прибутку величиною 1/2% за кожен місяць. Обчислити величину його накопичень: а) - безпосередньо після здійснення 25 внеску; б) безпосередньо після здійснення n внеску.

Розв'язування. а) Кожен внесок за місяць зростає в 1,005 рази (0,5% за місяць). Тому перший внесок за 24 місяця перебування рахунку прийме значення 100 * (1,005)24. Другий внесок знаходився на рахунку 23 місяця, тому він прийме значення 100 * (1,005)22, третій внесок стане 100 ? (1,005)22, і т.д. Отже, загальна сума накопиченого рахунку робітника прийме значення

S = 100 * (1,005)24 + 100(1,005)23 +... + 100 * (1,005) + 100.

Якщо розглядати праву частину в оберненому порядку, тоді її можна розглядати як геометричну прогресію з першим членом b1=100 і знаменником q= 1,005. Тому, використовуючи формулу суми скінченної геометричної прогресії, одержимо

Таким чином, після 24 місяців робітник буде мати на своєму рахунку накопичення 2 655,9 гривень.

б) Для знаходження величини рахунку

накопичення безпосередньо після здійснення n внеску, слід рахувати (n-1) місяць першого вкладу. Після (n-1) місяця перший вклад величиною 100 гривень зросте до 100- (1,005)n-1, другий вклад зросте до 100- (1,005)n-2 і т.д. Таким чином, загальним значенням рахунку накопичення буде сума

Знову одержали суму геометричної прогресії з першим членом 100 (розглядаємо її в оберненому порядку) і знаменником q= 1,005. Тому вона буде мати вигляд

(1)

Зауваження. Формула (1) дозволяє знайти величину накопичених коштів при умовах задачі за довільну кількість місяців. Наприклад, після 59 місяців на рахунку буде

20000[(1,005)59-1] = 20000[1,34885-1]=6977 гривень

Тепер узагальнимо проведені при розв'язанні прикладу 1 міркування на випадок, коли перший внесок на рахунок накопичення дорівнює величині Р, а постійний відсоток зростання величини коштів дорівнює К за кожен певний період. У фінансових розрахунках застосовують позначення

(2)

При таких позначеннях величина накопичених коштів на рахунку після (n - 1) періоду їх зберігання

буде

S=P(1+i)n-1+P(1+i)n-2+…+P(1+i)+P

Якщо цю суму записати в оберненому порядку, то одержимо суму геометричної прогресії п членів, з першим членом b2 = Р та знаменником q = 1 + і. Тому, згідно з формулою суми скінченної геометричної прогресії маємо

(3)

Зауваження. 1) Якщо у формулі (3) покласти Р= 100, i=0,005, то ми одержимо результат прикладу 1.

2) У фінансових розрахунках формула (3) використовується у вигляді

S=P*sn/i (4)

де значення sn/i для різних n та і вказані в спеціальних розрахункових таблицях (дивись, наприклад, таблицю 1).

Так, розв'язок прикладу 1. а) за формулою (4) буде згідно табличному значенню sn/i:

2. Розрахунки ренти

Деяка частина населення держав з ринковою економікою живе за рахунок ренти, тобто регулярно на протязі певного терміну (наприклад, спочатку кожного року на протязі 20 років) одержують раніше обумовлену величину коштів з відповідного рахунка в банку або страховій компанії.

Виникає задача: скільки коштів треба покласти на рахунок ренти для виконання відповідних умов?

Перш ніж розв'язати цю задачу у загальному випадку, розглянемо конкретний приклад.

Приклад 2. В день 60-річчя містер Стоун відкрив рахунок ренти в страховій компанії на своє ім'я з умовами, що він буде одержувати щорічно у свій день народження, починаючи з наступного року 5000 доларів на протязі 10 років. Компанія прийняла його кошти і відкрила йому рахунок ренти з щорічним зростанням вкладених коштів на 8%. Яку суму внесено на рахунок ренти містера Стоуна?

Розв'язування. Позначимо через А1 частину усього внеску, яка забезпечила виконання умов містера Стоуна та компанії через 1 рік, тобто у день 61-річчя. Ця частина ренти на протязі одного року знаходилась на рахунку і тому, згідно з умовою страхової компанії, одержала 8% прибутку, тобто стала 1,08А1 За умовою містера Стоуна ця величина повинна дорівнювати 5000 доларів. Отже, з рівності

1,08А1=5000 знаходимо

А1=5000(1,08)-1

Таким чином, саме таку суму коштів треба було внести на рахунок у день 60-річчя для того, щоб у день 61 річниці одержати 5 000 доларів.

Тепер позначимо через А2 частину первинного внеску, яка через два роки буде сплаченою у кількості 5 000 доларів. Ця частина ренти знаходилась на рахунку на протязі двох років і одержала щорічно 8% прибутку, тобто прийняла значення (1,08)2А2. З рівності (1,08)2А2=5000 випливає

А2 = 5000(1,08)-2.

Таким чином, якщо вклад на рахунок ренти дорівнював А2, то в день 62 річниці містер Стоун одержав 5000 доларів. Якщо містер Стоун у день свого 60-річчя зробив внесок на рахунок ренти величиною А1+А2, тоді його умова одержання 5 000 доларів у дні 61 та 62 річниць буде задоволена.

Аналогічно можна впевнитись, що внесок

А3 = 5000(1,08)-3

дозволить йому отримати 5 000 доларів у день 63 річниці і т.д. Для одержання останніх 5000 доларів у день 70-річчя треба було зробити початковий внесок величиною

А10 = 5000(1,08)-10.

Для повного виконання умов містера Стоуна, він повинен одержувати 5 000 доларів усі 10 років, а тому загальний внесок на рахунок ренти повинен бути

А = А1 + А2 + А3 +... + А10 = 5000(1,08)-1 + 5000(1,08)-2 + + 5000(1,08)-3+... + 5000(1,08)-10

Таким чином, шукана величина внеску А на рахунок ренти є сума 10 членів геометричної прогресії з першим членом b1=5000(1,08)-1 і знаменником q=(1,08)-1, її сумою буде

Помножимо чисельник та знаменник дробу на (1,08) тоді одержимо

Отже, містер Стоун повинен вкласти на рахунок ренти 33 550 доларів, щоб одержувати по 5 000 доларів щорічно на протязі 10 років.

Тепер розглянемо загальний випадок ренти.

Позначимо через А величину внеску на рентний рахунок. Нехай з цього рахунку роблять виплати розміром Р регулярно, з постійним періодом часу на протязі n періодів, починаючи через один після відкриття рахунка ренти. Нехай величина внеску зростає кожного періода на R відсотків.

Як і в прикладі 2, щоб отримати першу виплату у розмірі Р після першого періода часу треба вкласти в рахунок ренти таку кількість коштів А1, яка задовольняє рівність

A1(1+i)=P,

де . З цієї рівності знаходимо значення А1 вигляду

А1=Р(1+і)-1

Аналогічно знаходимо внесок А2, який зростає до Р після двох періодів часу

А2=Р(1+і)-2

а також частину внеску Аn, яка зростає до Р після n періодів

Аn=Р(1+і)-n

Загальна величина внеску А на рахунок ренти є сумою

А=А1+А2+…+Аn=Р(1+і)-1+Р(1+і)-2+…+Р(1+і)-n

Тобто А - це сума геометричної прогресії n членів, перший Фінансисти використовують

формулу (5) у вигляді (б),

де ап/ =/ '[1-(1+Л "] табульована для різних значень і = -г=гтЛ100 та п.

Наприклад, а|0/ =6,710081 у таблиці, тому/0.08

А = Ра10/ = 5000аІ0/ =5000-6,710081 = 33550,/0,08/0,08 як і в прикладі 2.де і = -т~. З цієї рівності знаходимо значення А, вигляду.

Аналогічно знаходимо внесок А^, який зростає до Р після двох періодів часу

А2 = Р(1-м)-2,

а також частину внеску А,,, яка зростає до Р після п періодів ш* Приклад 3. Щорічна рента.

Місіс Стоун у свою 59 річницю зробила внесок 120000 доларів у страхову компанію, як ренту. Компанія страхування життя погодилась надавати місіс Стоун 6% щорічного прибутку з внеску і проводити щорічні виплати на протязі 15 років. Скільки коштів щорічно буде одержувати місіс Стоун з цього рахунку?

Розв 'язання. У даному випадку відома величина внеску на рахунок ренти А= 120000, а також відсоток прибутку К=6, тобто

Загальна величина внеску А на рахунок ренти є сумою

Підставимо значення А та і у формулу (5) або (6) в одержимо шукану величину Р:тобто А -- це сума геометричної прогресії п членів, перший член якої Ь1 = Р(1 + /)"1, а знаменник ч = (1 + і). Тому

120000= Р-а15/ =Р-9,712249ЛІ,06(значення а взято з таблиці 1).

Питання для самоконтролю

1. Рахунки накопичення

2. Розрахунки ренти

3. Погашення боргу

Размещено на Allbest.ru

...