Математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курс лекций

Математическая статистика

Лейбовский М.А.

Оглавление

• 1. Основные задачи математической статистики и ее применение в психолого-педагогических науках. Шкалирование, виды шкал, их различие и способы организации
• 2. Программные продукты (ППП) для обработки психолого-педагогической и социологической информации
• 3. Статистический анализ экспериментальных данных. Методы первичной обработки результатов эксперимента
• 4. Основные понятия, используемые в математической обработке психологических данных
• 5. Статистические гипотезы
• 6. Выявление различий в уровне исследуемого признака
• 7. Оценка достоверности сдвига в значениях исследуемого признака
• 8. Корреляционный анализ
• 9. Факторный и кластерный анализ
• Перечень вопросов к зачету
• Список источников и литературы
• математический статистика психологический кластерный
• 1. Основные задачи математической статистики и ее применение в психолого-педагогических науках. Шкалирование, виды шкал, их различие и способы организации
• Исследование в любой области, в том числе и в психологии, предполагает получение результатов -- обычно в виде чисел. Однако просто собрать данные недостаточно. Даже объективно и корректно собранные данные ничего не говорят. Исследователю необходимо умение организовать их, обработать и проинтерпретировать, что невозможно без знания основ статистики, применения математических методов. Конечно, можно сослаться на наличие современных компьютерных программ, применение которых сейчас становится нормой для исследователя. Но любая программа обработки данных переводит один набор чисел в другой набор чисел. При этом предлагается богатый набор способов такого преобразования, замечательным образом расширяющий возможности анализа данных. И для использования этих возможностей психолог должен уметь:
• а) организовать исследование так, чтобы его результаты были доступны обработке в соответствии с проблемами исследования;
• б) правильно выбрать метод обработки;
• в) содержательно интерпретировать результаты обработки.
• Эти умения не заменят ни компьютерная программа, ни математик и программист, придумавшие и написавшие данную программу. Таким образом, применение математики как общенаучного метода, наряду с экспериментом, неизбежно приобретает в психологии свои особенности, связанные со спецификой предмета.
• При этом соотношение обыденного и научного познания приведено на рис. 1.

• Рис. 1. Соотношение обыденного и научного познания.
• Иными словами - необходимо научиться отвечать на самый простой и вечный вопрос: "Да" или "Нет". Только что "Да" и что "Нет". Например, есть ли разница в уровне тревожности до и после тренинга, есть ли зависимость между теми или иными признаками и т.д. И самое главное - насколько можно верить сделанным утверждениям и какова цена ошибки. Именно поэтому неотъемлемой частью подготовки полноценного специалиста-психолога является изучение не только экспериментальной психологии, но и математических методов психологического исследования.
• Существует мнение, неоднократно высказывавшееся крупными учеными прошлого: область знания становится наукой, лишь применяя математику. С этим мнением, возможно, не согласятся многие гуманитарии. А зря: именно математика позволяет количественно сравнивать явления, проверять правильность словесных утверждений и тем самым добираться до истины либо приближаться к ней. Математика делает обозримыми длинные и подчас туманные словесные описания, проясняет и экономит мысль.
• Математические методы позволяют обоснованно прогнозировать будущие события, вместо того, чтобы гадать на кофейной гуще или как-либо иначе. В общем, польза от применения математики велика, но и труда на ее освоение требуется много. Однако он окупается сполна.
• Психология в своем научном становлении неизбежно должна была пройти и прошла путь математизации, хотя не во всех странах и не в полной мере. Точной даты начала пути математизации, пожалуй, не знает ни одна наука. Однако для психологии в качестве условной даты начала этого пути можно принять 18 апреля 1822 г. Именно тогда в Королевском немецком научном обществе Иоганн Фридрих Гербарт прочел доклад "О возможности и необходимости применять в психологии математику". Основная идея доклада сводилась к упомянутому выше мнению: если психология хочет быть наукой, подобно физике, в ней нужно и можно применять математику.
• Спустя два года после этого программного по своей сути доклада И. Ф. Гербарт издал книгу "Психология как наука, заново основанная на опыте, метафизике и математике". Эта книга примечательна во многих отношениях. Она явилась первой попыткой создания психологической теории, опирающейся на тот круг явлений, которые непосредственно доступны каждому субъекту, а именно на поток представлений, сменяющих друг друга в сознании. Никаких эмпирических данных о характеристиках этого потока, полученных, подобно физике, экспериментальным путем, тогда не существовало. Поэтому Гербарт в отсутствие этих данных, как он сам писал, должен был придумывать гипотетические модели борьбы всплывающих и исчезающих в сознании представлений. Облекая эти модели в аналитическую форму, например
• ц =б(l-exp[-вt])
• где t -- время, ц -- скорость изменения представлений, б и в -- константы, зависящие от опыта, Гербарт, манипулируя числовыми значениями параметров, пытался описать возможные характеристики смены представлений.
• По-видимому, И.Ф. Гербарту первому принадлежит мысль о том, что свойства потока сознания -- это величины и, следовательно, они в дальнейшем развитии научной психологии подлежат измерению. Ему также принадлежит идея "порога сознания", и он первый употребил выражение "математическая психология".
• У И.Ф. Гербарта в Лейпцигском университете нашелся ученик и последователь, позднее ставший профессором философии и математики, -- Мориц-Вильгельм Дробиш. Он воспринял, развил и по-своему реализовал программную идею учителя. В словаре Брокгауза и Ефрона о Дробише сказано, что еще в 30-х годах Х1Х века он занимался исследованиями по математике и психологии и публиковался на латинском языке. Но в 1842 г. М.В. Дробиш издал в Лейпциге на немецком языке монографию под недвусмысленным названием: "Эмпирическая психология согласно естественнонаучному методу".
• Книга М.-В. Дробиша дает замечательный пример первичной формализации знаний в области психологии сознания. Там нет математики в смысле формул, символики и расчетов, но там есть четкая система понятий о характеристиках потока представлений в сознании как взаимосвязанных величинах. Уже в предисловии М.-В. Дробиш написал, что эта книга предваряет другую, уже готовую, -- имеется в виду книга по математической психологии. Но поскольку его коллеги-психологи недостаточно подготовлены в математике, постольку он счел необходимым продемонстрировать эмпирическую психологию сначала безо всякой математики, а лишь на твердых естественнонаучных основах.
• Лишь через восемь лет, в 1850 г. в Лейпциге вышла в свет вторая основополагающая книга М.В. Дробиша -- "Первоосновы математической психологии". Таким образом, у этой психологической дисциплины тоже есть точная дата появления в науке. Некоторые современные психологи, пишущие в области математической психологии, ухитряются начинать ее развитие с американского журнала, появившегося в 1963 г. Воистину, "все новое -- это хорошо забытое старое". Целое столетие до американцев развивалась математическая психология, точнее -- математизированная психология. И начало процессу математизации нашей науки положили И.Ф. Гербарт и М.В. Дробиш.
• Надо сказать, что по части новаций математическая психология Дробиша уступает сделанному его учителем -- Гербартом. Правда, Дробиш к двум борющимся в сознании представлениям добавил третье, а это сильно усложнило решения. Но главное, по-моему, в другом. Большую часть объема книги составляют примеры численного моделирования. К сожалению, ни современники, ни потомки не поняли и не оценили научного подвига, совершенного М.В. Дробишем: у него ведь не было компьютера для численного моделирования. А в современной психологии математическое моделирование -- это продукт второй половины XX века. В предисловии к нечаевскому переводу гербартианской психологии российский профессор А.И. Введенский, знаменитый своей "психологией без всякой метафизики", весьма пренебрежительно отозвался о попытке Гербарта применять в психологии математику. Но не такова была реакция естествоиспытателей. И психофизики, в частности Теодор Фехнер, и знаменитый Вильгельм Вундт, работавшие в Лейпциге, не могли пройти мимо основополагающих публикаций И.Ф. Гербартаи М.В. Дробиша. Ведь именно они математически реализовали в психологии идеи Гербарта о психологических величинах, порогах сознания, времени реакций сознания человека, причем реализовали с использованием современной им математики.
• Основные методы тогдашней математики--дифференциальное и интегральное исчисления, уравнения сравнительно несложных зависимостей -- оказались вполне пригодными для выявления и описания простейших психофизических законов и различных реакций человека. Но они не годились для изучения сложных психических явлений и сущностей. Не зря В. Вундт категорически отрицал возможность эмпирической психологии исследовать высшие психические функции. Они оставались, по Вундту, в ведении особой, по сути метафизической, психологии народов.
• Математические средства для изучения сложных многомерных объектов, в том числе высших психических функции -- интеллекта, способностей, личности, стали создавать англоязычные ученые. Среди других результатов оказалось, что рост потомков как бы стремится возвратиться к среднему росту предков. Появилось понятие "регрессия", и были получены уравнения, выражающие эту зависимость. Был усовершенствован коэффициент, раньше предложенный французом Бравэ. Этот коэффициент количественно выражает соотношение двух изменяющихся переменных, т.е. корреляцию. Теперь этот коэффициент -- одно из важнейших средств многомерного анализа данных, даже символ сохранил аббревиатурный: малое латинское "r" от английского relation -- отношение.
• Еще будучи студентом Кембриджа, Фрэнсис Гальтон заметил, что рейтинг успешности сдачи экзаменов по математике, а это был выпускной экзамен, --- изменяется от нескольких тысяч до немногих сотен баллов. Позднее, связав это с распределением талантов, Гальтон пришел к мысли о том, что специальные испытания позволяют прогнозировать дальнейшие жизненные успехи людей. Так в 80-х гг. XIX века родился гальтоновский метод тестов.
• Идею тестов подхватили и развили французы А. Бит, В. Анри и другие, создавшие первые тесты для селекции социально отсталых детей. Это послужило началом психологической тестологии, что, в свою очередь, повлекло за собой развитие психологических измерений.
• Большие массивы числовых результатов измерений по тестам-- в баллах, стали объектом многочисленных исследований, в том числе математико-психологических. Особая роль здесь принадлежит английскому инженеру, работавшему в Америке, -- Чарльзу Спирмену.
• Во-первых, Ч. Спирмен, полагавший, что для вычисления корреляции между рядами целочисленных баллов, или рангов, нужна специальная мера, перепробовав разные варианты (1904 г.), остановился, наконец, на той форме коэффициента корреляции рангов, которая с тех пор носит его имя.
• Во-вторых, имея дело с большими массивами числовых результатов по тестам и корреляций между этими результатами, Ч. Спирмен предположил, что эти корреляции вовсе не выражают взаимовлияние результатов, а эксплицируют их совместную изменчивость под влиянием обшей латентной психической причины, или фактора, например интеллекта. Соответственно этому Спирмен предложил теорию "генерального" фактора, определяющего совместную изменчивость переменных тестовых результатов, а также разработал метод выявления этого фактора по корреляционной матрице. Это был первый метод факторного анализа, созданный в психологии и для психологических целей.
• У однофакторной теории Ч. Спирмена быстро нашлись оппоненты. Противоположную, многофакторную теорию, объясняющую корреляции, предложил Леон Терстоун. Ему же принадлежит первый метод мультифакторного анализа, основанный на применении линейной алгебры. После Ч. Спирмена и Л. Терстоуна факторный анализ, не только стал одним из важнейших математических методов многомерного анализа данных в психологии, но и вышел далеко за ее пределы, превратился в общенаучный метод анализа, данных.
• С конца 20-х г.г. XX века математические методы все шире проникают в психологию и творчески используются в ней. Интенсивно развивается психологическая теория измерений. На основе аппарата цепей Маркова разрабатываются стохастические модели научения в психологии поведения. Созданный в области биологии Рональдом Фишером дисперсионный анализ становится основным математическим методом в генетической психологии. Математические модели из теории автоматического регулирования и шенноновская теория информации широко применяются в инженерной и общей психологии. В итоге современная научная психология во многих своих отраслях математизирована значительным образом (следует отметить, что многие современные ученые-психологи в качестве первого базового образования имеют математическое или техническое). При этом вновь появляющиеся математические новации нередко заимствуются психологами для своих целей. К примеру, появление алгоритмического языка для задач управления, предложенного А.А. Ляпуновым и Г.А. Шестопалом, почти сразу же было использовано В.Н. Пушкиным для составления алгоритмов деятельности железнодорожного диспетчера.
• Любой вид измерения предполагает наличие единиц измерения Единица измерения это та "измерительная палочка", как говорил С. Стивнес, которая является условным эталоном для осуществления тех или иных измерительных процедур. В естественных науках и технике существуют стандартные единицы измерения, например, градус, метр, ампер и т.д.
• Психологические переменные за единичными исключениями не имеют собственных измерительных единиц. Поэтому в большинстве случаев значение психологического признака определяется при помощи специальных измерительных шкал.

Измерительные шкалы

Существует 4 основных типа измерительных шкал.

Номинативная шкала - это шкала, классифицирующая по названию: потеп (лат.) - имя, название. Название же не измеряется количественно, оно лишь позволяет отличить один объект от другого или одного субъекта от другого. Номинативная шкала - это способ классификации объектов или субъектов, распределения их по ячейкам классификации.

Простейший случай номинативной шкалы - дихотомическая шкала, состоящая всего лишь из двух ячеек, например: "имеет братьев и сестер - единственный ребенок в семье"; "иностранец - соотечественник"; "проголосовал "за" - проголосовал "против"" и т.п.

Признак, который измеряется по дихотомической шкале наименований, называется альтернативным. Он может принимать всего два значения. При этом исследователь зачастую заинтересован в одном из них, и тогда он говорит, что признак "проявился", если тот принял интересующее его значение, и что признак "не проявился", если он принял противоположное значение. Например: "Признак леворукости проявился у 8 испытуемых из 20". В принципе номинативная шкала может состоять из ячеек "признак проявился - признак не проявился".

Более сложный вариант номинативной шкалы - классификация из трех и более ячеек, например: "экстрапунитивные - интрапунитивные - импунитивные реакции" или "выбор кандидатуры А - кандидатуры Б - кандидатуры В - кандидатуры Г" или "старший - средний - младший -единственный ребенок в семье" и др.

Расклассифицировав все объекты, реакции или всех испытуемых по ячейкам классификации, мы получаем возможность от наименований перейти к числам, подсчитав количество наблюдений в каждой из ячеек.

Как уже указывалось, наблюдение - это одна зарегистрированная реакция, один совершенный выбор, одно осуществленное действие или результат одного испытуемого.

Допустим, мы определим, что кандидатуру А выбрали 7 испытуемых, кандидатуру Б - 11, кандидатуру В - 28, а кандидатуру Г - всего 1. Теперь мы можем оперировать этими числами, представляющими собой частоты встречаемости разных наименований, то есть частоты принятия признаком "выбор" каждого из 4 возможных значении. Далее мы можем сопоставить полученное распределение частот с равномерным или каким-то иным распределением.

Таким образом, номинативная шкала позволяет нам подсчитывать частоты встречаемости разных "наименований", или значений признака, и затем работать с этими частотами с помощью математических методов.

Единица измерения, которой мы при этом оперируем - количество наблюдений (испытуемых, реакций, выборов и т. п.), или частота. Точнее, единица измерения - это одно наблюдение. Такие данные могут быть обработаны с помощью метода ч2, биномиального критерия m и углового преобразования Фишера ц*.

Порядковая шкала (ранговая)- это шкала, классифицирующая по принципу "больше - меньше". Если в шкале наименований было безразлично, в каком порядке мы расположим классификационные ячейки, то в порядковой шкале они образуют последовательность от ячейки "самое малое значение" к ячейке "самое большое значение" (или наоборот). Ячейки теперь уместнее называть классами, поскольку по отношению к классам употребимы определения "низкий", "средний" и "высокий" класс, или 1-й, 2-й, 3-й класс, и т.д.

В порядковой шкале должно быть не менее трех классов, например "положительная реакция - нейтральная реакция - отрицательная реакция" или "подходит для занятия вакантной должности - подходит с оговорками - не подходит" и т. п.

В порядковой шкале мы не знаем истинного расстояния между классами, а знаем лишь, что они образуют последовательность. Например, классы "подходит для занятия вакантной должности" и "подходит с оговорками" могут быть реально ближе друг к другу, чем класс подходит с оговорками" к классу "не подходит".

От классов легко перейти к числам, если мы условимся считать, что низший класс получает ранг 1, средний класс - ранг 2, а высший класс - ранг 3, или наоборот. Чем больше классов в шкале, тем больше. У нас возможностей для математической обработки полученных данных и проверки статистических гипотез.

Например, мы можем оценить различия между двумя выборками испытуемых по преобладанию у них более высоких или более низких рангов или подсчитать коэффициент ранговой корреляции между двумя переменными, измеренными в порядковой шкале, допустим, между оценками профессиональной компетентности руководителя, данными ему разными экспертами.

Все психологические методы, использующие ранжирование, построены на применении шкалы порядка. Если испытуемому предлагается упорядочить 18 ценностей по степени их значимости для него, проранжировать список личностных качеств социального работника или 10 претендентов на эту должность по степени их профессиональной пригодности, то во всех этих случаях испытуемый совершает так называемое принудительное ранжирование, при котором количество рангов соответствует количеству ранжируемых субъектов или объектов (ценностей, качеств и т.п.).

Независимо от того, приписываем ли мы каждому качеству или испытуемому один из 3-4 рангов или совершаем процедуру принудительного ранжирования, мы получаем в обоих случаях ряды значении, измеренные по порядковой шкале. Правда, если у нас всего 3 возможных класса и, следовательно, 3 ранга, и при этом, скажем, 20 ранжируемых испытуемых, то некоторые из них неизбежно получат одинаковые ранги. Все многообразие жизни не может уместиться в 3 градации, поэтому в один и тот же класс могут попасть люди, достаточно серьезно различающиеся между собой. С другой стороны, принудительное ранжирование, то есть образование последовательности из многих испытуемых, может искусственно преувеличивать различия между людьми. Кроме того, данные, полученные в разных группах, могут оказаться несопоставимыми, так как группы могут изначально различаться по уровню развития исследуемого качества, и испытуемый, получивший в одной группе высший ранг, в другой получил бы всего лишь средний, и т.п.

Выход из положения может быть найден, если задавать достаточно дробную классификационную систему, скажем, из 10 классов, или градаций, признака. В сущности, подавляющее большинство психологических методик, использующих экспертную оценку, построено на измерении одним и тем же "аршином" из 10, 20 или даже 100 градаций разных испытуемых в разных выборках.

Итак, единица измерения в шкале порядка - расстояние в 1 класс или в 1 ранг, при этом расстояние между классами и рангами может быть разным (оно нам неизвестно). К данным, полученным по порядковой шкале, применимы все описанные в данной книге критерии и методы.

Интервальная шкала - это шкала, классифицирующая по принципу "больше на определенное количество единиц - меньше на определенное количество единиц". Каждое из возможных значений признака отстоит от другого на равном расстоянии.

Можно предположить, что если мы измеряем время решения задачи в секундах, то это уже явно шкала интервалов. Однако на самом деле это не так, поскольку психологически различие в 20 секунд между испытуемым А и Б может быть отнюдь не равно различию в 20 секунд между испытуемыми Б и Г, если испытуемый А решил задачу за 2 секунды, Б - за 22, В - за 222, а Г - за 242.

Аналогичным образом, каждая секунда после истечения полутора минут в опыте с измерением мышечного волевого усилия на динамометре с подвижной стрелкой, по "цене", может быть, равна 10 или даже более секундам в первые полминуты опыта. "Одна секунда за год идет" - так сформулировал это однажды один испытуемый.

Попытки измерять психологические явления в физических единицах - волю в секундах, способности в сантиметрах, а ощущение собственной недостаточности - в миллиметрах и т. п., конечно, понятны, ведь все-таки это измерения в единицах "объективно" существующего времени и пространства. Однако ни один опытный исследователь при этом не обольщает себя мыслью, что он совершает измерения по психологической интервальной шкале. Эти измерения принадлежат по-прежнему к шкале порядка, нравится нам это или нет.

Можно с определенной долей уверенности утверждать лишь, что испытуемый А решил задачу быстрее Б, Б быстрее В, а В быстрее Г.

Аналогичным образом, значения, полученные испытуемыми в баллах по любой нестандартизованной методике, оказываются измеренными лишь по шкале порядка. На самом деле равно интервальными можно считать лишь шкалы в единицах стандартного отклонения и процентильные шкалы, и то лишь при условии, что распределение значений в стандартизующей выборке было нормальным.

Принцип построения большинства интервальных шкал построен на известном правиле "трех сигм": примерно 97,7-97,8% всех значений признака при нормальном его распределении укладываются в диапазоне М±3д. Можно построить шкалу в единицах долей стандартного отклонения, которая будет охватывать весь возможный диапазон изменения признака, если крайний слева и крайний справа интервалы оставить открытыми (подробнее об этом будет сказано позже).

Р.Б. Кеттелл предложил, например, шкалу стенов - "стандартной десятки". Среднее арифметическое значение в "сырых" баллах принимается за точку отсчета. Вправо и влево отмеряются интервалы, равные 1/2 стандартного отклонения. На Рис. 2 представлена схема вычисления стандартных оценок и перевода "сырых" баллов в стены по шкале №16-факторного личностного опросника Р. Б. Кеттелла.

Рис. 2. Схема вычисления стандартных оценок (стенов) по фактору №16-факторного личностного опросника Р.Б. Кеттелла; снизу указаны интервалы в единицах 1/2 стандартного отклонения

Справа от среднего значения будут располагаться интервалы, равные 6, 7, 8, 9 и 10 стенам, причем последний из этих интервалов открыт. Слева от среднего значения будут располагаться интервалы, равные 5, 4, 3, 2 и 1 стенам, и крайний интервал также открыт. Теперь мы поднимаемся вверх, к оси "сырых баллов", и размечаем границы интервалов в единицах "сырых" баллов. Поскольку М=10,2; д=2,4, вправо мы откладываем 1/2д т.е. 1,2 "сырых" балла. Таким образом, граница интервала составит: (10,2 + 1,2) = 11,4 "сырых" балла. Итак, границы интервала, соответствующего 6 стенам, будут простираться от 10,2 до 11,4 баллов. В сущности, в него попадает только одно "сырое" значение - 11 баллов. Влево от средней мы откладываем 1/2д и получаем границу интервала: 10,2-1,2=9. Таким образом, границы интервала, соответствующие 9 стенам, простираются от 9 до 10,2. В этот интервал попадают уже два "сырых" значения - 9 и 10. Если испытуемый получил 9 "сырых" баллов, ему начисляется теперь 5 стенов; если он получил 11 "сырых" баллов - 6 стенов, и т.д.

Мы видим, что в шкале стенов иногда за разное количество "сырых" баллов будет начисляться одинаковое количество стенов. Например, за 16, 17, 18, 19 и 20 баллов будет начисляться 10 стенов, а за 14 и 15-9 стенов и т.д.

В принципе, шкалу стенов можно построить по любым данным, измеренным по крайней мере в порядковой шкале, при объеме выборки п>200 и нормальном распределении признака2.

Другой способ построения равно интервальной шкалы - группировка интервалов по принципу равенства накопленных частот. При нормальном распределении признака в окрестности среднего значения группируется большая часть всех наблюдений, поэтому в этой области среднего значения интервалы оказываются меньше, уже, а по мере удаления от центра распределения они увеличиваются, (см. Рис. 3). Следовательно, такая процентильная шкала является равно интервальной только относительно накопленной частоты.



Рис. 3. Процентильная шкала; сверху для сравнения указаны интервалы в единицах стандартного отклонения

Построение шкал равных интервалов по данным, полученным по шкале порядка, напоминает трюк с веревочной лестницей, на который ссылался С. Стивенс. Мы сначала поднимаемся по лестнице, которая ни на чем не закреплена, и добираемся до лестницы, которая закреплена. Однако каким путем мы оказались на ней? Измерили некую психологическую переменную по шкале порядка, подсчитали средние и стандартные отклонения, а затем получили, наконец, интервальную шкалу. Как отмечал Стивенс "Такому нелегальному использованию статистики может быть дано известное прагматическое оправдание; во многих случаях оно приводит к плодотворным результатам".

Многие исследователи не проверяют степень совпадения полученного ими эмпирического распределения с нормальным распределением, и тем более не переводят получаемые значения в единицы долей стандартного отклонения или процентили, предпочитая пользоваться "сырыми" данными. "Сырые" же данные часто дают скошенное, срезанное по краям или двухвершинное распределение. На Рис. 4 представлено распределение показателя мышечного волевого усилия на выборке из 102 испытуемых. Распределение с удовлетворительной точностью можно считать нормальным (ч2=12,7 при v=9, М=89,75, д= 25,1).



Рис. 4 Гистограмма и плавная кривая распределения показателя мышечного волевого усилия (n=102)

На Рис. 5 представлено распределение показателя самооценки по шкале методики Дж. Менестера - Р. Корзини "Уровень успеха, которого я должен был достичь уже сейчас" (n=356). Распределение значимо отличается от нормального (ч2 =58,8, при v=7; p<0,01; М=80,64; д=16,86).

Рис. 5. Гистограмма и плавная кривая распределения показателя должного успеха (n=356).

С такими "ненормальными" распределениями приходится встречаться очень часто, чаще, может быть, чем с классическими нормальными. И дело здесь не в каком-то изъяне, а в самой специфике психологических признаков. По некоторым методикам от 10 до 20% испытуемых получают оценку "ноль" - например, в их рассказах не встречается ни одной словесной формулировки, которая отражала бы мотив "надежда на успех" или "боязнь неудачи" (методика Хекхаузена). То, что испытуемый получил оценку "ноль", нормально, но распределение таких оценок не может быть нормальным, как бы мы ни увеличивали объем выборки

Шкала отношений

Шкалу отношений называют также шкалой равных отношений. Особенностью этой шкалы является наличие твердо фиксированного нуля, который означает полное отсутствие какого-либо свойства или признака Шкала отношений является наиболее информативной шкалой, допускающей любые математические операции и использование разнообразных статистических методов.

Шкала отношений по сути очень близка интервальной, поскольку если строго фиксировать начало отсчета, то любая интервальная шкала превращается в шкалу отношений

Именно в шкале отношений производятся точные и сверхточные измерения в таких науках, как физика, химия, микробиология и др. Измерение по шкале отношений производятся и в близких к психологии науках, таких, как психофизика, психофизиология, психогенетика.

Очевидно, что все измерения должны проводиться на определенном материале. И здесь следует остановиться на основных определениях, относящихся к понятию Выборка.

Генеральная совокупность -- это все множество объектов, в отношении которого формулируется исследовательская гипотеза.

Выборка -- это ограниченная по численности группа объектов (в психологии -- испытуемых, респондентов), специально отбираемая из генеральной совокупности для изучения ее свойств. Соответственно, изучение на выборке свойств генеральной совокупности называется выборочным исследованием. Практически все психологические исследования являются выборочными, а их выводы распространяются на генеральные совокупности.

Репрезентативность выборки -- иными словами, ее представительность -- это способность выборки представлять изучаемые явления достаточно полно--с точки зрения их изменчивости в генеральной совокупности.

Стратифицированная выборка, или отбор по свойствам генеральной совокупности (разделение выборки на "страты". Он предполагает предварительное определение тех качеств, которые могут влиять на изменчивость изучаемого свойства (это может быть пол, уровень дохода или образования и т.д.).

Статистическая достоверность, или статистическая значимость, результатов исследования определяется при помощи методов статистического вывода, которые предъявляют определенные требования к численности, или объему выборки.

2. Программные продукты (ППП) для обработки психолого-педагогической и социологической информации

Одним из основных направлений подготовки специалиста является формирование умений подготовки и обработки информации в соответствии со сформулированной гипотезой исследования.

К основным средствам обработки информации относятся наиболее популярные пакеты прикладных программ (ППП), такие как SPSS 19, Statistica 6.0 и др. Кроме того ряд исследований может быть произведен и с использованием табличного процессора Excel.

К основным достоинствам компьютерной обработки информации можно отнести:

1. Универсальность подготовки данных, т.к. во всех пакетах программ предусмотрена возможность конвертации данных из одного приложения в другое. Для начинающего пользователя простейшим способом является первичная подготовка данных в Excel с последующей конвертацией в необходимый ППП, либо запуск ППП с указанием того, что исходные данные подготовлены в Excel.

2. Возможность копирования результатов обработки непосредственно в Word, что позволяет значительно украсить результаты исследования и повысить убедительность полученных данных.

3. Развитая система информационной поддержки с имеющейся литературой и on-line помощниками дающая возможность рассмотреть пошаговые алгоритмы обработки информации.

Подготовки исходной информации.

Как уже отмечалось, важнейшим этапом в начале работы с ППП является подготовка первичной информации. Все данные принято представлять в виде исходных таблиц, где каждый столбец соответствует определенному признаку (фактору или измерению), а строка относится к одному респонденту.

Табл. 1. Таблица исходных данных

Классы	Праворукие	Леворукие	Сумма
3	23	2	25
4	20	4	24
5	22	11	33
6	22	8	30
Суммы	87	23	110

В таблице 1 приведены данные опроса школьников (по классам) с разделением их на праворуких и леворуких.

Пример представления данных в компьютере представлении на рис. 6.



Рис. 6. Фрагмент данных в компьютерном представлении.

Каждая из переменных представляется в своем окне. И при этом указывается вид информации, а для номинантивных признаков - значения соответствующие каждому из данных. (Рис. 7).

Рис. 7. Фрагмент представления переменных.

Обработка данных для формирования сложных таблиц в табл. 2

В ней рассмотрена таблица сопряженности по указанным ниже параметрам.

Табл. 2. Таблица сопряженности (психическое состояние - социальное положение)

Таблица сопряженности Психическое состояние * Социальное положение
Частота
	Социальное положение	Итого
	Очень хорошее	Хорошее	Среднее	Удовлетворительное	Неудовлетворительное	Плохое
Психическое состояние	Крайне неустойчивое	1	0	3	4	4	8	20
	Неустойчивое	2	4	13	4	15	2	40
	Устойчивое	4	26	9	2	0	0	41
	Очень устойчивое	4	2	0	0	0	0	6
Итого	11	32	25	10	19	10	107

Данные таблицы могут быть представлены в наглядном виде с использованием дополнительного разбиения на страты по полу (рис. 8).

Рис. 8. Представление результатов обработки сложных таблиц с разбиением на страты (по полу).

В дальнейшем будут рассмотрены приемы использования ППП применительно к конкретным статистическим критериям и методам.

3. Статистический анализ экспериментальных данных. Методы первичной обработки результатов эксперимента

Общее представление о методах статистического анализа экспериментальных данных, назначение этих методов. Деление статистических методов на первичные и вторичные. Основные показатели, получаемые в результате первичной обработки экспериментальных данных. Вычисление средней арифметической. Определение дисперсии. Установление примерного распределения данных. Определение моды. Характеристика нормального распределения. Вычисление интервалов.

Методы вторичной статистической обработки результатов эксперимента.

Способы вторичной статистической обработки результатов исследования. Регрессионное исчисление. Сравнение средних величин разных выборок. Сравнение частотных распределений данных. Сравнение дисперсий двух выборок. Установление корреляционных зависимостей и их интерпретация. Понятие о факторном анализе как методе статистической обработки.

Способы табличного и графического представления результатов эксперимента.

Виды таблиц и их построение. Графическое представление экспериментальных данных. Гистограммы и их применение на практике.

Методами статистической обработки результатов эксперимента называются математические приемы, формулы, способы количественных расчетов, с помощью которых показатели, получаемые в ходе эксперимента, можно обобщать, приводить в систему, выявляя скрытые в них закономерности.

Речь идет о таких закономерностях статистического характера, которые существуют между изучаемыми в эксперименте переменными величинами.

1. Некоторые из методов математико-статистического анализа позволяют вычислять так называемые элементарные математические статистики, характеризующие выборочное распределение данных, например

· выборочное среднее,

· выборочная дисперсия,

· мода,

· медиана и ряд других.

2. Иные методы математической статистики, например

дисперсионный анализ,

регрессионный анализ, позволяют судить о динамике изменения отдельных статистик выборки.

3. С помощью третьей группы методов, скажем,

· корреляционного анализа,

· факторного анализа,

методов сравнения выборочных данных, можно достоверно судить о статистических связях,

существующих между переменными величинами, которые исследуют в данном эксперименте.

Все методы математико-статистического анализа условно делятся на первичные и вторичные (определения не достаточно строгие с точки зрения теории вероятностей и математической статистики как сложившихся областей современной математики. Это сделано для лучшего понимания студентами, не вполне владеющими математическим аппаратом).

Первичными называют методы, с помощью которых можно получить показатели, непосредственно отражающие результаты производимых в эксперименте измерений.

Соответственно под первичными статистическими показателями имеются в виду те, которые применяются в самих психодиагностических методиках и являются итогом начальной статистической обработки результатов психодиагностики.

Вторичными называются методы статистической обработки, с помощью которых на базе первичных данных выявляют скрытые в них статистические закономерности.

К первичным методам статистической обработки относят, например,

· определение выборочной средней величины,

· выборочной дисперсии,

· выборочной моды и

· выборочной медианы.

В число вторичных методов обычно включают

· корреляционный анализ,

· регрессионный анализ,

методы сравнения первичных статистик у двух или нескольких выборок.

Рассмотрим методы вычисления элементарных математических статистик, начав с выборочного среднего.

Выборочное среднее

Выборочное среднее значение как статистический показатель представляет собой среднюю оценку изучаемого в эксперименте психологического качества.

Эта оценка характеризует степень его развития в целом у той группы испытуемых, которая была подвергнута психодиагностическому обследованию. Сравнивая непосредственно средние значения двух или нескольких выборок, мы можем судить об относительной степени развития у людей, составляющих эти выборки, оцениваемого качества.

Выборочное среднее определяется при помощи следующей формулы:



где

хср -- выборочная средняя величина или среднее арифметическое значение по выборке;

п -- количество испытуемых в выборке или частных психодиагностических показателей, на основе которых вычисляется средняя величина;

xk -- частные значения показателей у отдельных испытуемых. Всего таких показателей п, поэтому индекс k данной переменной принимает значения от 1 до п;

? -- принятый в математике знак суммирования величин тех переменных, которые находятся справа от этого знака.

Выражение соответственно означает сумму всех х с индексом k от 1 до n.

Пример. Допустим, что в результате применения психодиагностической методики для оценки некоторого психологического свойства у десяти испытуемых мы получили следующие частные показатели степени развитости данного свойства у отдельных испытуемых: х1= 5, х2 = 4, х3 = 5, х4 = 6, х5 = 7, х6 = 3, х7 = 6, х8= 2, х9= 8, х10 = 4. Следовательно, п = 10, а индекс k меняет свои значения от 1 до 10 в приведенной выше формуле. Для данной выборки среднее значение 1, вычисленное по этой формуле, будет равно:

В дальнейшем, как это и принято в математической статистике, с целью сокращения текста мы будем опускать слова "выборочное" и "арифметическое" и просто говорить о "среднем" или "среднем значении".

В психодиагностике и в экспериментальных психолого-педагогических исследованиях среднее, как правило, не вычисляется с точностью, превышающей один, два знака после запятой, т.е. с большей, чем десятые или сотые доли единицы.

В психодиагностических обследованиях большая точность расчетов не требуется и не имеет смысла, если принять во внимание приблизительность тех оценок, которые в них получаются, и достаточность таких оценок для производства сравнительно точных расчетов.

Дисперсия

Дисперсия как статистическая, величина характеризует, насколько частные значения отклоняются от средней величины в данной выборке.

Чем больше дисперсия, тем больше отклонения или разброс данных. Прежде чем представлять формулу для расчетов дисперсии, рассмотрим пример. Воспользуемся теми первичными данными, которые были приведены ранее и на основе которых вычислялась в предыдущем примере средняя величина. Мы видим, что все они разные и отличаются не только друг от друга, но и от средней величины. Меру их общего отличия от средней величины и характеризует дисперсия. Ее определяют для того, чтобы можно было отличать друг от друга величины, имеющие одинаковую среднюю, но разный разброс.

Представим себе другую, отличную от предыдущей выборку первичных значений, например такую: 5, 4, 5, 6, 5, 6, 5, 4, 5, 5. Легко убедиться в том, что ее средняя величина также равна 5,0. Но в данной выборке ее отдельные частные значения отличаются от средней гораздо меньше, чем в первой выборке. Выразим степень этого отличия при помощи дисперсии, которая определяется по следующей формуле:



где -- выборочная дисперсия, или просто дисперсия;

-- выражение, означающее, что для всех xk от первого до последнего в данной выборке необходимо вычислить разности между частными и средними значениями, возвести эти разности в квадрат и просуммировать;

п -- количество испытуемых в выборке или первичных значений, по которым вычисляется дисперсия.

Заметим, что во многих изданиях дисперсию принято обозначать как D(x).

Определим дисперсии для двух приведенных выше выборок частных значений, обозначив эти дисперсии соответственно индексами 1 и 2:

Мы видим, что дисперсия по второй выборке (0,4) значительно меньше дисперсии по первой выборке (3,0). Если бы не было дисперсии, то мы не в состоянии были бы различить данные выборки.

Выборочное отклонение

Иногда вместо дисперсии для выявления разброса частных данных относительно средней используют производную от дисперсии величину, называемую выборочное отклонение. Оно равно квадратному корню, извлекаемому из дисперсии, и обозначается тем же самым знаком, что и дисперсия, только без квадрата



Медиана

Медианой называется значение изучаемого признака, которое делит выборку, упорядоченную по величине данного признака, пополам.

Справа и слева от медианы в упорядоченном ряду остается по одинаковому количеству признаков. Например, для выборки 2, 3,4, 4, 5, 6, 8, 7, 9 медианой будет значение 5, так как слева и справа от него остается по четыре показателя. Если ряд включает в себя четное число признаков, то медианой будет среднее, взятое как полусумма величин двух центральных значений ряда. Для следующего ряда 0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7 медиана будет равна 3,5.

Знание медианы полезно для того, чтобы установить, является ли распределение частных значений изученного признака симметричным и приближающимся к так называемому нормальному распределению. Средняя и медиана для нормального распределения обычно совпадают или очень мало отличаются друг от друга.

Если выборочное распределение признаков нормально, то к нему можно применять методы вторичных статистических расчетов, основанные на нормальном распределении данных. В противном случае этого делать нельзя, так как в расчеты могут вкрасться серьезные ошибки.

Приблизительно судить о том, является или не является полученное распределение близким к нормальному, можно, построив график распределения данных, похожий на те, которые представлены на рис. 1. Если график оказывается более или менее симметричным, значит, к анализу данных можно применять статистики, предназначенные для нормального распределения. Во всяком случае, допустимая ошибка в расчетах в данном случае будет относительно небольшой.

Приблизительные картины симметричного и несимметричного распределений признаков показаны на рис. 9, где точками т1 и т2 на горизонтальной оси графика обозначены те величины признаков, которые соответствуют медианам, а х1 и х2 -- те, которые соответствуют средним значениям.

Рис. 9. Графики симметричного и несимметричного распределения признаков: 1 - симметричное распределение (все относящиеся к нему элементарные статистики обозначены с помощь индекса 1); 11 - несимметричное распределение (его первичные статистики отмечены на графике индексом 2).

Мода

Мода еще одна элементарная математическая статистика и характеристика распределения опытных данных. Модой называют количественное значение исследуемого признака, наиболее часто встречающееся в выборке. На графиках, представленных на рис. 2, моде соответствуют самые верхние точки кривых, вернее, те значения этих точек, которые располагаются на горизонтальной оси.

Для симметричных распределений признаков, в том числе для нормального распределения, значения моды совпадают со значениям среднего и медианы. Для других типов распределений, несимметричных, это не характерно.

К примеру, в последовательности значений признаков 1, 2, 5, 2, 4, 2, 6, 7, 2 модой является значение 2, так как оно встречается чаще других значений -- четыре раза.

Интервал

Иногда исходных частных первичных данных, которые подлежат статистической обработке, бывает довольно много, и они требуют проведения огромного количества элементарных арифметических операций. Для того чтобы сократить их число и вместе с тем сохранить нужную точность расчетов, иногда прибегают к замене исходной выборки частных эмпирических данных на интервалы.

Интервалом называется группа упорядоченных по величине значений признака, заменяемая в процессе расчетов средним значением.

Пример. Представим следующий ряд частных признаков: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11. Этот ряд включает в себя 30 значений.

Разобьем представленный ряд на шесть подгрупп по пять признаков в каждом.

· Первая подгруппа включит в себя первые пять цифр,

· вторая -- следующие пять и т.д.

Вычислим средние значения для каждой из пяти образованных подгрупп чисел. Они соответственно будут равны 1,2; 3,4; 5,2; 6,8; 8,6; 10,6.

Таким образом, нам удалось свести исходный ряд, включающий тридцать значений, к ряду, содержащему всего шесть значений и представленному средними величинами. Это и будет интервальный ряд, а проведенная процедура -- разделением исходного ряда на интервалы.

Теперь все статистические расчеты мы можем производить не с исходным рядом признаков, а с полученным интервальным рядом, и результаты в равной степени будут относиться к исходному ряду. Однако число производимых в ходе расчетов элементарных арифметических операций будет гораздо меньше, чем количество тех операций, которые с этой же целью пришлось бы проделать в отношении исходного ряда признаков.

На практике, составляя интервальный ряд, рекомендуется руководствоваться следующим правилом: если в исходном ряду признаков больше чем тридцать, то этот ряд целесообразно разделить на пять-шесть интервалов и в дальнейшем работать только с ними.

Для проверки сказанного проведем пробное вычисление среднего значения по приведенному выше ряду, составляющему тридцать чисел, и по ряду, включающему только интервальные средние значения. Полученные цифры с точностью до двух знаков после запятой будут соответственно равны 5,97 и 5,97, т.е. являются одинаковыми.

4. Основные понятия, используемые в математической обработке психологических данных

1. Распределение признака. Параметры распределения

Распределением признака называется закономерность встречаемости разных его значений

В психологических исследованиях чаще всего ссылаются на нормальное распределение.

Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близкие к средней величине - достаточно часто. Нормальным такое распределение называется потому, что оно очень часто встречалось в естественнонаучных исследованиях и казалось "нормой" всякого массового случайного проявления признаков. Это распределение следует закону, открытому тремя учеными в разное время: Муавром в 1733 г. в Англии, Гауссом в 1809 г. в Германии и Лапласом в 1812 г. во Франции. График нормального распределения представляет собой привычную глазу психолога-исследователя так называемую колоколообразную кривую.

Параметры распределения - это его числовые характеристики, указывающие, где "в среднем" располагаются значения признака, насколько эти значения изменчивы и наблюдается ли преимущественное появление определенных значений признака. Наиболее практически важными параметрами являются математическое ожидание, дисперсия, показатели асимметрии и эксцесса.

В реальных психологических исследованиях мы оперируем не параметрами, а их приближенными значениями, так называемыми оценками параметров. Это объясняется ограниченностью обследованных выборок. Чем больше выборка, тем ближе может быть оценка параметра к его истинному значению. В дальнейшем, говоря о параметрах, мы будем иметь в виду юс оценки.

Среднее арифметическое (оценка математического ожидания) вычисляется по формуле:

где x i - каждое наблюдаемое значение признака;

i - индекс, указывающий на порядковый номер данного значения признака;

n - количество наблюдений;

? - знак суммирования.

Оценка дисперсии определяется по формуле:

где Xi - каждое наблюдаемое значение признака;

x - среднее арифметическое значение признака;

п - количество наблюдений.

Величина, представляющая собой квадратный корень из несмещенной оценки дисперсии (S), называется стандартным отклонением или средним квадратническим отклонением. Для большинства исследователей привычно обозначать эту величину греческой буквой д (сигма), а не S. На самом деле, д - это стандартное отклонение в генеральной совокупности, a S - несмещенная оценка этого параметра в исследованной выборке. Но, поскольку S - лучшая оценка д (Fisher R.A., 1938), эту оценку стали часто обозначать уже не как S, а как д:

В тех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому появлению значений, которые выше или, наоборот, ниже среднего, образуются асимметричные распределения. При левосторонней, или положительной, асимметрии в распределении чаще встречаются более низкие значения признака, а при правосторонней, или отрицательной - более высокие.

Показатель асимметрии (А) вычисляется по формуле:

Для симметричных распределений А=0.



Рис. 10. Асимметрия распределений. а) левая, положительная; б) правая, отрицательная.

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преимущественному появлению средних или близких к средним значений, образуется распределение с положительным эксцессом. Если же в распределении преобладают крайние значения, причем одновременно и более низкие, и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом и в центре распределения может образоваться впадина, превращающая его в двухвершинное (см. Рис. 11).

Показатель эксцесса (Е) определяется по формуле:



Рис. 11. Эксцесс: а) положительный; б) отрицательный.

В распределениях с нормальной выпуклостью Е=0.

Параметры распределения оказывается возможным определить только по отношению к данным, представленным по крайней мере в интервальной шкале.

Как мы убедились ранее, физические шкалы длин, времени, углов являются интервальными шкалами, и поэтому к ним применимы способы расчета оценок параметров, по крайней мере, с формальной точки зрения. Параметры распределения не учитывают истинной психологической неравномерности секунд, миллиметров и других физических единиц измерения.

На Рис. 12. Приведен график нормального распределения с параметрами м и у.



Рис. 12. График нормального распределения с параметрами м и у.

...