Математическая статистика

Следовательно, если Sэмп равняется критическому значению или превышает его, нулевая гипотеза может быть отвергнута.

Гипотезы

H0: Тенденция возрастания значений признака при переходе от выборки к выборке является случайной.

H1: Тенденция возрастания значений признака при переходе от выборки к выборке не является случайной.

Графическое представление критерия

Фактически критерий S позволяет определить, достаточно ли велика суммарная зона неперекрещивающихся значений в сопоставляемых выборках: действительно ли в первом ряду значения в общем ниже, чем в последующих, во втором - ниже, чем в оставшихся справа последующих и т. д.

Графически это представлено на Рис. 22.

На Рис. 22(а) у сопоставляемых рядов значений есть непере-крещивающиеся зоны, но их суммарная площадь может оказаться слишком небольшой, чтобы признать тенденцию возрастания признака существенной.

На рис. 22(6) сумма неперекрещивающихся зон, по-видимому, достаточно велика, чтобы тенденция возрастания признака была признана достоверной. Точно определить это мы сможем лишь с помощью критерия S.

Рис. 22. Варианты соотношения 3-х рядов значений: S1-2 - зона тех значений 2-го ряда, которые выше всех значений 1-го ряда; S1-3 - зона тех значений 3-го ряда, которые выше всех значений 1-го ряда; S2-3 - зона тех значений 3-го рада, которые выше всех значений 2-го ряда

Ограничения критерия S

1. В каждой из сопоставляемых выборок должно быть одинаковое число наблюдений. Если число наблюдений неодинаково, то придется искусственно уравнивать выборки, утрачивая при этом часть полученных наблюдений.

Например, если в двух выборках по 7 наблюдений, а в третьей - 11, то 4 из них необходимо отсеять. Для этого карточки с индивидуальными значениями переворачиваются лицевой стороной вниз и перемешиваются, а затем из них случайным образом извлекается 7 карточек. Оставшиеся 4 карточки с индивидуальными значениями не включаются в дальнейшее рассмотрение и в подсчет критерия S. Ясно, что при таком подходе часть информации утрачивается, и общая картина может быть искажена.

Если исследователь хочет избежать этого, ему следует воспользоваться критерием Н, позволяющим выявить различия между тремя и более выборками без указания на направление этих различий (см. вопрос 4).

2. Нижний порог: не менее 3 выборок и не менее 2 наблюдений в каждой выборке. Верхний порог в существующих таблицах: не более 6 выборок и не более 10 наблюдений в каждой выборке (см. Табл.). При большем количестве выборок или наблюдений в них придется пользоваться критерием Н Крускала-Уоллиса.

7. Оценка достоверности сдвига в значениях исследуемого признака

Обоснование задачи исследований изменений

В психологических исследованиях часто бывает важно доказать, что в результате действия каких-либо факторов произошли достоверные изменения ("сдвиги") в измеряемых показателях. К числу таких факторов должен быть отнесён, прежде всего, фактор времени. Сопоставление показателей, полученных у одних и тех же испытуемых по одним и тем же методикам, но в разное время, дает нам временной сдвиг.

Многократные обследования одних и тех же лиц на протяжении достаточно длительного отрезка их жизненного пути, измеряемого иногда десятками лет, представляет собой так называемое лонгитюдинальное исследование, суть которого хорошо известна любому представителю Ленинградской-Петербургской школы психологии. Этот метод позволяет определить генетические связи между фазами психического развития и дать научно обоснованный прогноз дальнейшего психического развития.

Сопоставление показателей, полученных по одним и тем же методикам, но в разных условиях измерения (например, "покоя" и "стресса"), дает нам ситуационный сдвиг. Условия измерения могут изменяться не только реально, но и умозрительно. Например, мы можем попросить испытуемого "представить себе", что он оказался в других условиях измерения: в будущем, в позиции других людей, которые оценивают его как бы со стороны, в состоянии разгневанного отца и т. п. Сопоставляя показатели, измеренные в обычных и воображаемых условиях, мы получаем умозрительный сдвиг.

Мы можем создать специальные экспериментальные условия, предположительно влияющие на те или иные показатели, и сопоставить замеры, произведенные до и после экспериментального воздействия. Если сдвиги окажутся статистически достоверными, это позволит нам утверждать, что экспериментальные воздействия были существенными, или эффективными.

Например, мы можем сделать вывод о том, что данная программа тренинга действительно способствует развитию уверенности, или что данный способ внушающего воздействия влияет на изменение отношения испытуемых к той или иной проблеме, или что психодраматическая замена ролей подтверждает постулат Дж.Л. Морено о сближении позиции спорщиков после того, как им пришлось играть роль своего оппонента и т.п.

Во всех этих случаях мы говорим - о сдвиге под влиянием контролируемых или не контролируемых воздействий. И здесь мы наталкиваемся на методическую трудность, которую оказывается возможным преодолеть только путем введения контрольной группы, которая не испытывала бы на себе воздействия данного экспериментального фактора. Если нет контрольной группы, то сдвиг в экспериментальной группе может объясняться действием самых разных причин: временем суток, в которое производились замеры, важным для испытуемых событием, которое произошло между 1-м и 2-м замерами н по мощности воздействия значительно перекрыло экспериментальный фактор и т. п. Мы никогда не сможем исключить той возможности, что изменения, достигнутые, как нам кажется, в результате наших воздействий, на самом деле объясняются неучтенными причинами, вот если в экспериментальной группе сдвиги окажутся достоверными, а в контрольной группе - недостоверными, то это, действительно, может свидетельствовать об эффективности воздействий. При отсутствии контрольной группы мы констатируем, что сдвиг произошел, но не имеем права приписать его именно данным, изучаемым нами, факторам воздействия.

Допустим, мы установили, что после того, как двум конфликтующим подгруппам пришлось играть роль своих оппонентов в споре, усилилось ощущение понимания этих оппонентов "изнутри". Но мы не можем исключить возможности, что если бы мы не проводили психодраматической замены ролей, взаимопонимание все-таки бы улучшилось просто в силу того, что обе подгруппы какое-то время учились и работали вместе. Бывают случаи, когда мы не располагаем контрольной группой, но зато в нашем распоряжении есть 2 или более экспериментальных, различающихся по условиям и способам воздействия на них. Это могут быть, помимо экспериментальных, и разнообразные естественные условия жизни, обучения, работы, общения и даже питания, водоснабжения, географического расположения и т.д. Сопоставление групп, различающихся по этим признакам, позволит нам уточнить специфическое действие экспериментальных или естественно действующих факторов, хотя при этом нам следует помнить, что воздействие неучтенных факторов может оказаться еще более мощным.

В выводах мы все-таки будет ограничены, если не проверили свои результаты на контрольной группе, в которой измерения производились параллельно.

Помимо рассмотренных сдвигов: временных, ситуационных, умозрительных и сдвигов под влиянием, - можно рассмотреть еще особую категорию структурных сдвигов.

Мы можем сопоставлять между собой разные показатели одних и тех же испытуемых, если они измерены в одних и тех же единицах, по одной и той же шкале. Например, мы можем исследовать перепад между вербальным и невербальным интеллектом, измеренными по методике Д. Векслера, или сопоставлять экспертные оценки эмпатичности и наблюдательности, измеренные по одинаковой 10-балльной шкале, или время решения двух задач, измеренное в секундах, или экзаменационную успешность по разным дисциплинам и т.п.

В принципе, мы могли бы для такого рода "перепадов" использовать критерии оценки достоверности в средних тенденциях для независимых выборок: U - критерий, Q - критерий и угловое преобразование Фишера. Однако, строго говоря, перед нами - зависимые ряды значений, поскольку они измерены на одних и тех же испытуемых, поэтому будет более обоснованным использовать критерии оценки достоверности сдвигов для связанных выборок. Исключение представляют случаи, когда мы сопоставляем величины сдвигов в двух независимых группах испытуемых, например экспериментальной и контрольной (см. Табл.). Допустим, если мы установили, что положительный сдвиг в сторону улучшения взаимопонимания наблюдается и в экспериментальной, и в контрольной группах, мы можем попробовать доказать, что в экспериментальной группе этот сдвиг достоверно больше, чем в контрольной, и что, следовательно, экспериментальное воздействие все-таки существенно.

Последний важный вопрос касается того, должны ли мы всегда производить оба замера на одной и той же выборке, или "сдвиг" можно изучать на сходных, так называемых "уравновешенных" выборках, совпадающих друг с другом по полу, возрасту, профессии и другим значимым для исследователя характеристикам.

В сущности, допускается сопоставление показателей разных выборок, уравновешенных по всем значимым для исследования признакам. Иными словами, можно уровень тревоги или объем внимания до экзамена измерять у одной подгруппы, а после экзамена - у другой подгруппы, если они "уравновешены". Опыт показывает, однако, что создать "уравновешенные" подгруппы практически невозможно. Мы всегда упираемся в факт существования различий между выделенными подгруппами, которые могут в значительной степени повлиять на результат. В итоге окажется, что мы исследовали не влияние экзаменационного стресса на уровень тревоги или объем внимания, а различия по этому показателю между двумя выделенными подгруппами. К сожалению, в значительной степени это относится и к проблеме сопоставления экспериментальной и контрольной групп: мы почти никогда не можем быть уверены, что выявленные различия объясняются действием исследуемых факторов, а не различиями между двумя выборками.

Многие исследователи обходят эту проблему самым простым образом: они вообще не заботятся о контрольной группе. Сдвиг есть - значит, воздействие эффективно! И действительно, при отсутствии контрольной выборки тоже можно порассуждать на тему о том, какими же причинами, кроме предполагаемой, могут объясняться полученные сдвиги...

Другой вариант "уравновешивания" - ведение параллельных форм теста. В тех случаях, когда на результатах повторных замеров могут сказаться эффекты научения, приходится "до" измерять реакции испытуемого с помощью одного инструмента, а "после" - с помощью другого. В результате на измерениях может отразиться и действие фактора времени, и различия в параллельных формах теста, и непонятно что еще. Создать параллельную форму методики не менее трудно, чем подобрать "уравновешенную" группу испытуемых. И все же, в тех случаях, когда у нас нет другого выхода, приходится прибегать к этому способу.

При сопоставлении двух, замеров, произведенных на одной и той же (экспериментальной) выборке, применяются критерии знаков G и критерий Т Вилкоксона. При сопоставлении трех и более замеров, произведенных на одной и той же выборке, применяются критерий тенденций L Пейджа, а если он неприменим из-за большого объема выборок - критерий ч2 Фридмана.

В тех случаях, когда мы хотим оценить различия в интенсивности сдвига в двух группах испытуемых (контрольной и экспериментальной или двух экспериментальных), мы можем использовать различные варианты сопоставлений:

1) производить сопоставления отдельно в двух группах, используя критерии L и ч2r;

2) сопоставлять показатели сдвига 1 в двух группах. Поскольку группы независимы, значения сдвигов также независимы, и мы можем применять по отношению к ним уже известные нам критерии Q Розенбаума, U Манна-Уитни и ц* - угловое преобразование Фишера.

Сдвиг - это разность между вторым и первым замерами. 1.Сначала вычисляются разности отдельно для каждой из групп, а уж затем проводятся сопоставления Двух рядов разностей (сдвигов), полученных в разных группах. Примером такого сопоставления сдвигов в ощущении психологической дистанции является Задача 1.

G- критерий знаков

Назначение критерия G

Критерий знаков2 G предназначен для установления общего направления сдвига исследуемого признака.

Критерий знаков с математической точки зрения является частным случаем биномиального критерия для двух равновероятных альтернатив. При вероятности каждой из альтернатив Р=Q=0,50 критерий знаков является зеркальным отражением биномиального критерия.

Он позволяет установить, в какую сторону в выборке в целом изменяются значения признака при переходе от первого измерения ко второму: изменяются ли показатели в сторону улучшения, повышения или усиления или, наоборот, в сторону ухудшения, понижения или ослабления.

Описание критерия G

Критерий знаков применим и к тем сдвигам, которые можно определить лишь качественно (например, изменение отрицательного отношения к чему-либо на положительное), так и к тем сдвигам, которые могут быть измерены количественно (например, сокращение времени работы над заданием после экспериментального воздействия).

Во втором случае, однако, если сдвиги варьируют в достаточно широком диапазоне, лучше применять Т критерий Вилкоксона. Он учитывает не только направление, но и интенсивность сдвигов и может оказаться более мощным в определении достоверности сдвигов, чем критерий знаков.

Как правило, исследователь уже в процессе эксперимента может заметить, что у большинства испытуемых показатели во втором замере имеют тенденцию, скажем, повышаться. Однако ему еще требуется доказать, что положительный сдвиг является преобладающим.

Для начала мы назовем сдвиги, которые нам кажутся преобладающими, типичными сдвигами, а сдвиги более редкого, противоположного направления, нетипичными. Если значения показателя повышаются у большего количества испытуемых, то этот сдвиг мы будем считать типичным. Если мы исследуем отношение испытуемых к какому-либо событию или предложению, и после экспериментальных воздействий у большинства испытуемых отрицательное отношение сменилось на положительное, то этот сдвиг мы назовем типичным.

Есть еще, правда, возможность "нулевых" сдвигов, когда реакция не изменяется или показатели не повышаются и не понижаются, а остаются на прежнем уровне. Однако такие "нулевые" сдвиги в критерии знаков исключаются из рассмотрения. При этом количество сопоставляемых пар уменьшается на число таких "нулевых" сдвигов.

Суть критерия знаков состоит в том, что он определяет, не слишком ли много наблюдается "нетипичных сдвигов", чтобы сдвиг в "типичном" направлении считать преобладающим? Ясно, что чем меньше "нетипичных сдвигов", тем более вероятно, что преобладание "типичного" сдвига является преобладающим. Gэмп - это количество "нетипичных" сдвигов. Чем меньше Gэмп, тем более вероятно, что сдвиг в "типичном" направлении статистически достоверен.

Гипотезы

Н0: Преобладание типичного направления сдвига является случайным.

H1: Преобладание типичного направления сдвига не является случайным.

Графическое представление критерия знаков

На Рис. 23 "типичные" сдвиги изображены в виде светлого облака, а нетипичные сдвиги - темного облака. Мы видим, что на рисунке темное облако значительное меньше. Допустим, после выступления оратора большинство слушателей изменили свое отрицательное отношение к какому-то предложению на положительное. Вместе с тем, часть слушателей изменила свое положительное отношение на отрицательное, проявив "нетипичную" реакцию. Критерий знаков позволяет определить, не слишком ли значительная часть слушателей "нетипично" прореагировала на выступление оратора? Поглощает ли масса светлого облака небольшое темное облако?



Рис. 23. Графическое представление положительных и отрицательных сдвигов в форме облаков: светлое облако - положительные сдвиги, темное облако - отрицательные сдвиги

Ограничения критерия знаков

Количество наблюдений в обоих замерах - не менее 5 и не более 300.

Пример

В исследовании Г.А. Бадасовой (1994) изучались личностные факторы суггестора, способствующие его внушающему воздействию на аудиторию. В эксперименте участвовало 39 слушателей колледжа и спецфакультета практической психологии Санкт-Петербургского университета, 9 мужчин и 30 женщин в возрасте от 18 до 39 лет, средний возраст 23,5 года. Испытуемые выступали в качестве суггерендов, т.е. лиц, по отношению к которым оказывалось внушающее воздействие.

В экспериментальной группе (n1=16) испытуемые просматривали видеозапись речи суггестора о целесообразности применения физических наказаний в воспитании детей, а в контрольной группе (n2=23) испытуемые просто читали про себя письменный текст. Содержание речи суггестора и текста полностью совпадали.

До и после предъявления видеозаписи (в экспериментальной группе) и текста (в контрольной группе) испытуемые отвечали на 4 вопроса, оценивая степень согласия с их содержанием по 7-балльной шкале:

1. Я считаю возможным иногда шлепнуть своего ребенка за дело, если он этого заслужил:

Не согласен 1 2 3 4 5 6 7 Согласен

2. Если, придя домой, я узнаю, что кто-то из близких, бабушка или дедушка, шлепнул моего ребенка за дело, то я буду считать, что это нормально:

Не согласен 1 2 3 4 5 6 7 Согласен

3. Если мне станет известно, что воспитательница детского сада или учительница в школе шлепнула моего ребенка за дело, то я восприму это как должное:

Не согласен 1 2 3 4 5 6 7 Согласен

4. Я бы согласился отдать своего ребенка в школу, где применяется система физических наказаний по итогам недели:

Не согласен 1 2 3 4 5 6 7 Согласен

Суггестор был подобран по признакам, которые были выявлены в пилотажном исследовании (Бадасова Г. А., 1994).

Результаты двух замеров по обеим группам представлены в Табл. 8 и Табл. 9.

Таблица 8

Оценки степени согласия с утверждениями о допустимости телесных наказаний до и после предъявления видеозаписи в экспериментальной группе (n1=16)

Таблица 9

Оценки степени согласия с утверждениями о допустимости телесных наказаний до и после предъявления письменного текста в контрольной группе (n2=23)

Вопросы:

Можно ли утверждать, что после просмотра видеозаписи о пользе телесных наказании наблюдается достоверный сдвиг в сторону большего принятия их в экспериментальной группе?

Достоверны ли различия по выраженности положительного сдвига между экспериментальной и контрольной группами?

Является ли достоверным сдвиг оценок в контрольной группе?

Решение

Подсчитаем сначала количество положительных, отрицательных и нулевых сдвигов по каждой шкале в каждой из выборок. Это необходимо для выявления "типичных" знаков изменения оценок и значительно облегчит нам дальнейшие расчеты и рассуждения.

Таблица 10

Расчет количества положительных, отрицательных и нулевых сдвигов в двух группах суггерендов

Из Табл. 10 мы видим, что наиболее типичными являются "нулевые" сдвиги, то есть отсутствие сдвига в оценках после предъявления видеозаписи или письменного текста. И все же, в экспериментальной группе но шкале "Я сам наказываю" и "Бабушка наказывает" положительные сдвиги наблюдаются примерно в половине случаев.

Нам необходимо учитывать только положительные и отрицательные сдвиги, а нулевые отбрасывать. Количество сопоставляемых пар значений при этом уменьшается на количество этих нулевых сдвигов. Теперь для шкалы "Я сам" n=8; для шкалы "Бабушка" n=9; шкалы "Воспитатель" n=5 и шкалы "Школа" n=4. Мы видим, что по отношению к последней шкале критерий знаков вообще неприменим, так как количество сопоставляемых пар значений меньше 5.

Мы можем сразу же проверить и гипотезу о преобладании положительного сдвига в ответах по сумме 4 шкал. Сумма положительных и отрицательных сдвигов по 4 шкалам составляет:

n=8+9+5+4=26.

Сформулируем гипотезы.

Н0: Сдвиг в сторону более снисходительного отношения к телесным наказаниям после внушения является случайным.

Н1: Сдвиг в сторону более снисходительного отношения к телесным наказаниям после внушения является неслучайным.

По Табл. определяем критические значения критерия знаков G. Это максимальные количества "нетипичных", менее часто встречающихся, знаков, при которых сдвиг в "типичную" сторону еще можно считать существенным.

1) Шкала "Я сам наказываю"

n=8

Типичный сдвиг - положительный. Отрицательных сдвигов нет.

Gкр =

Gэмп=0

G эмп < G кр

Н0 отклоняется. Принимается Н1 (р<0,01).

2) Шкала "Бабушка наказывает"

n=9

Типичный сдвиг - положительный.

Отрицательных сдвигов нет.

Gкр =

Gэмп=0

G эмп < G кр

Н0 отклоняется. Принимается Н1 (р<0,01).

Шкала "Воспитательница наказывает

N=5

Типичный сдвиг - отрицательный.

Положительных сдвигов - 2.

Gкр=0 (p<0.05)

Gкр=(p<0.05) при данном n определить невозможно

G эмп=2

G эмп > G кр

H0 принимается.

4) Шкала "Школа наказывает"

n=4

n<5, критерий знаков неприменим.

5) Сумма по 4-м шкалам n=26

Типичный сдвиг - положительный.

Отрицательных сдвигов - 4

Gкр =

Gэмп=4

G эмп < G кр

Н0 отклоняется. Принимается H1 (p<0,01).

Ответ: Сдвиг в сторону более снисходительного отношения к телесным наказаниям в экспериментальной группе после просмотра видеозаписи является неслучайным для шкал "Я сам наказываю", "Бабушка наказывает" и по сумме четырех шкал (р<0,01 во всех случаях).

Сформулируем гипотезы для контрольной группы.

Н0: Сдвиг в сторону более снисходительного отношения к телесным наказаниям после прочтения текста является случайным.

H1: Сдвиг в сторону более снисходительного отношения к телесным наказаниям после прочтения текста не является случайным.

Далее действуем по тому же принципу: вначале определяем количество сдвигов в ту или иную сторону (n), выявляем типичный сдвиг и количество нетипичных сдвигов (Gэмп) сопоставляем с критическими значениям G, определяемыми по Табл.

1) Шкала "Я сам наказываю"

п=8

Положительных сдвигов - 4, отрицательных сдвигов - 4.

Типичный сдвиг установить невозможно, т.к. положительных и отрицательных сдвигов поровну.

Н0 принимается.

2) Шкала "Бабушка наказывает" п=8

Положительных сдвигов - 4, отрицательных сдвигов - 4.

Н0 принимается по тем же основаниям, что и для предыдущей шкалы.

3) Шкала "Воспитательница наказывает"

п=6

Типичный сдвиг - положительный.

Отрицательных сдвигов - 2.

Скр=0 (р<0,05)

GKp(p<0,01) при данном п определить невозможно.

G эмп = 2

G эмп >G кр

H0 принимается.

4) Шкала "Школа наказывает" n=4

Поскольку п<5, критерий знаков неприменим.

5) Сумма по 4-м шкалам п=26

Типичный сдвиг - положительный.

Количество отрицательных сдвигов - 10.

Gкр=

Gэмп=10

G эмп > G кр

Н0 принимается.

Ответ: Сдвиг в сторону более снисходительного отношения к телесным наказаниям в контрольной группе является случайным - и по каждой из шкал в отдельности, и по сумме шкал.

Мы можем определенно ответить на 1-ый вопрос задачи: да, можно утверждать, что после просмотра видеозаписи о пользе телесных наказаний наблюдается достоверный сдвиг в пользу большего принятия их в экспериментальной группе. Мы можем ответить и на 3-й вопрос задачи: нет, сдвиг оценок в контрольной группе недостоверен. Однако мы пока не ответили на второй вопрос - о том, достоверны ли различия по выраженности положительного сдвига между экспериментальной и контрольной группами?

Дело в том, что нами был избран вариант сопоставлений, предполагающий сравнение значений "после" и "до" экспериментального воздействия отдельно в экспериментальной и контрольной выборках. Для того, чтобы ответить на вопрос 2, необходимо выбрать второй вариант сопоставлений, предусматривающий сравнение сдвигов в двух группах с помощью критериев для сравнения независимых выборок -Q - критерия Розенбаума, U - критерия Манна-Уитни и критерия ц* Фишера (см. Табл.). Однако такого рода сопоставления, как правило, проводятся только в том случае, если и в экспериментальной, и в контрольной группах выявлен достоверный однонаправленный эффект, и нужно доказать, что в экспериментальной выборке он достоверно больше, выражен (см. Задачу 1). В данном же случае нами доказано, что в контрольной выборке не произошло сколько-нибудь значимых изменений, и мы можем этим удовлетвориться.

Казалось бы, мы доказали все, что необходимо: в экспериментальной группе испытуемые стали снисходительнее относиться к телесным наказаниям, а в контрольной группе достоверных сдвигов не обнаружено. Похоже, сугтестор, отобранный по выявленным Г. А. Бадасовой качествам, действительно повлиял на изменение оценок, и притом именно он, что-то в его личности оказало это воздействие, потому что контрольной группе предъявлялся тот же по содержанию текст, но без суггестора. Однако, на самом деле мы установили лишь то, что в тех случаях, когда наблюдался какой-то сдвиг в оценках, он был скорее положительным, чем отрицательным в экспериментальной группе и скорее случайным в контрольной группе. Все нулевые сдвиги мы отбросили, а ведь они составляют от 43,8 до 50% по тем шкалам, где обнаружен положительный достоверный сдвиг в экспериментальной выборке. Похоже, что многие, очень многие испытуемые экспериментальной выборки просто проигнорировали выступление суггестора... Однако статистический критерий свидетельствует: положительный сдвиг в оценках достоверен, по крайней мере для первых двух шкал и для тех испытуемых, которые хоть как-то прореагировали на выступление суггестора.

Т - критерий Вилкоксона

Назначение критерия

Критерий применяется для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых.

Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность. С его помощью мы определяем, является ли сдвиг показателей в каком-то одном направлении более интенсивным, чем в другом.

Описание критерия Т

Этот критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены по крайней мере по шкале порядками сдвиги между вторым и первым замерами тоже могут быть упорядочены. Для этого они должны варьировать в достаточно широком диапазоне. В принципе, можно применять критерий Т и в тех случаях, когда сдвиги принимают только три значения: --1, 0 и +1, но тогда критерий Т вряд ли добавит что-нибудь новое к тем выводам, которые можно было бы получить с помощью критерия знаков. Вот если сдвиги изменяются, скажем, от --30 до +45, тогда имеет смысл их ранжировать и потом суммировать ранги

Суть метода состоит в том, что мы сопоставляем выраженность сдвигов в том и ином направлениях по абсолютной величине. Для этого мы сначала ранжируем все абсолютные величины сдвигов, а потом суммируем ранги. Если сдвиги в положительную и в отрицательную сторону происходят случайно, то суммы рангов абсолютных значений их будут примерно равны. Если же интенсивность сдвига в одном из направлений перевешивает, то сумма рангов абсолютных значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях.

Первоначально мы исходим из предположения о том, что типичным сдвигом будет сдвиг в более часто встречающемся направлении, а нетипичным, или редким, сдвигом - сдвиг в более редко встречающемся направлении.

Гипотезы

Но: Интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.

Н1. Интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

Графическое представление критерия Т

Сдвига в противоположные стороны мы можем представить себе в виде двух облаков, как и в критерии знаков. Величина облака зависит не только от количества соответствующих сдвигов, но и от их интенсивности, отраженной в длине стрелок (Рис. 24). В сущности, облака противостоят друг другу, как два воздушных фронта: они не просто соревнуются по величине, они меряются силами! При определенных п, а именно при п>18, мы вообще можем отказаться от понятия типичного сдвига. Сдвигов в ту и другую сторону может оказаться поровну, но если 9 меньших сдвигов будут относиться к одному направлению, а 9 больших сдвигов - к противоположному, то мы можем констатировать достоверное преобладание этого противоположного направления сдвигов. Вспомним, что критерий знаков в этом случае не выявил бы никаких достоверных различий.



А) "Светлый фронт" преобладает над "тёмным фронтом" и по количеству сдвигов, и по их интенсивности.

Б) "Светлый фронт" преобладает над "тёмным фронтом" только по интенсивности сдвигов, но по количеству сдвигов они равны.

в) "светлый фронт" уступает "темному' по количеству сдвигов, но самые интенсивные сдвиги принадлежат "светлому фронту".

Рис. 24. Варианты соотношения "светлого" и "темного фронтов" - сдвигов двух разных направленностей

На Рис. 24(а) "светлый фронт" преобладает над "темным фронтом" и по количеству сдвигов, и по их интенсивности. На Рис. 24(6) "светлый фронт" преобладает только по интенсивности сдвигов, но не по их количеству; на Рис. 24(в) в "светлом фронте" наблюдаются более интенсивные сдвиги, но их меньше, чем в "темном фронте". Здесь критерии знаков мог бы констатировать преобладание изменений, соответствующих "темному фронту". Между тем, интенсивность противоположных, хотя и редких, сдвигов, столь велика, что делать какие-то однозначные выводы было бы опрометчиво.

Ограничения в применения критерия Т Внлкоксона

1. Минимальное количество испытуемых, прошедших измерения в двух условиях - 5 человек. Максимальное количество испытуемых - 50 человек, что диктуется верхней границей имеющихся таблиц (но не сказывается на компьютерных методах обработки). Критические значения Т приведены в Табл.

2. Нулевые сдвиги из рассмотрения исключаются, и количество наблюдений n уменьшается на количество этих нулевых сдвигов. Можно обойти это ограничение, сформулировав гипотезы, включающие отсутствие изменений, например: "Сдвиг в сторону увеличения значений превышает сдвиг в сторону уменьшения значений и тенденцию сохранения их на прежнем уровне".

Критерий ч2r Фридмана

Назначение критерия

Критерий ч 2r применяется для сопоставления показателей, измеренных в трех или более условиях на одной и той же выборке испытуемых.

Критерий позволяет установить, что величины показателей от условия к условию изменяются, но при этом не указывает на направление изменений.

Описание критерия

Данный критерий является распространением критерия Т Вилкоксона на большее, чем 2, количество условий измерения. Однако здесь мы ранжируем не абсолютные величины сдвигов, а сами индивидуальные значения, полученные данным испытуемым в 1, 2, 3 и т. д. замерах.

Например, если у испытуемого в первом замере определена скорость прохождения графического лабиринта 54 сек, во втором замере - 42 сек, а в третьем замере - 63 сек, то эти показатели получат ранги, соответственно, 2, 1, 3, поскольку меньшему значению, полученному во втором замере, мы начислим ранг 1, среднему значению, полученному в первом замере - ранг 2, а наибольшему значению, полученному в третьем замере - ранг 3.

После того, как все значения будут проранжированы, подсчитываются суммы рангов по столбцам для каждого из произведенных замеров.

Если различия между значениями признака, полученными в разных условиях, случайны, то суммы рангов по разным условиям будут приблизительно равны. Но если значения признака изменяются в разных условиях каким-то закономерным образом, то в одних условиях будут преобладать высокие ранги, а в других - низкие. Суммы рангов будут достоверно различаться между собой. Эмпирическое значение критерия ч 2r и указывает на то, насколько различаются суммы рангов. Чем больше эмпирическое значение ч 2r , тем более существенные расхождения сумм рангов оно отражает.

Если ч 2r равняется критическому значению или превышает его, различия статистически достоверны.

Гипотезы

Н0: Между показателями, полученными (измеренными) в разных условиях, существуют лишь случайные различия.

H1: Между показателями, полученными в разных условиях, существуют неслучайные различия.

Ограничения критерия

1. Нижний порог: не менее 2-х испытуемых (п>2), каждый из которых прошел не менее 3-х замеров (с>3).

2. При с=3, п<9, уровень значимости полученного эмпирического значения ч2r определяется по Таблице; при с=4, n<4, уровень значимости полученного эмпирического значения X2r определяется по Таблице; при больших количествах испытуемых или условий полученные эмпирические значения ч 2r сопоставляются с критическими значениями ч2, определяемыми по Таблице. Это объясняется тем, что ч 2r имеет распределение, сходное с распределением ч 2 . Число степеней свободы н определяется по формуле:

н=c-1,

где с - количество условий измерения (замеров).

Пример

На Рис. 24. представлены графики изменения времени решения анаграмм в эксперименте по исследованию интеллектуальной настойчивости (Сидоренко Е.В., 1984). Анаграммы нужно было подобрать таким образом, чтобы постепенно подготовить испытуемого к самой трудной - а фактически неразрешимой - задаче. Иными словами, испытуемый должен был постепенно привыкнуть к тому, что задачи становятся все более и более трудными, и что над каждой последующей анаграммой ему приходится проводить больше времени. Достоверны ли различия во времени решения испытуемыми анаграмм?

Таблица 10

Показатели времени решения анаграмм (сек.)

№ п/п	Код имени испытуемого	Анаграмма 1: КРУА (РУКА)	Анаграмма 2: АЛСТЬ (СТАЛЬ)	Анаграмма 3: ИНААМШ (МАШИНА)
1	Л-в	5	235*	7
2	П-о	7	604	20
3	К-в	2	93	5
4	Ю-ч	2	171	8
5	Р-о	35	141	7
	Суммы	51	1244	47
	Средние	10,2	248,8	9,4

*Испытуемый Л-в так и не смог правильно решить анаграмму 2.

Проранжируем значения, полученные по трем анаграммам каждым испытуемым. Например, испытуемый К-в меньше всего времени провел над анаграммой 1 - следовательно, она получает ранг 1. На втором месте у него стоит анаграмма 3 - она получает ранг 2. Наконец, анаграмма 2 получает ранг 3, потому что она решалась им дольше двух других.

Сумма рангов по каждому испытуемому должна составлять 6. Расчетная общая сумма рангов в критерии определяется по формуле:



где n - количество испытуемых

с - количество условий измерения (замеров).

В данном случае,

Таблица 11

Показатели времени решения анаграмм 1, 2, 3 и их ранги (n=5)

Код имени испытуемого	Анаграмма 1	Анаграмма 2	Анаграмма 3
	Время (сек)	Ранг	Время (сек)	Ранг	Время (сек)	Ранг
1. Л-в	5	1	235	3	7	2
2. П-о	7	1	604	3	20	2
3. К-в	2	1	93	3	5	2
4. Ю-ч	2	1	171	3	8	2
5. Р-о	35	2	141	3	7	1
Суммы		6		15		9

Общая сумма рангов составляет:

6+15+9=30,

что совпадает с расчетной величиной.

Мы помним, что испытуемый Л-в провел 3 минуты и 55 сек над решением второй анаграммы, но так и не решил ее. Поскольку он решал ее дольше остальных двух анаграмм, мы имеем право присвоить ей ранг 3. Ведь назначение трех первых анаграмм - подготовить испытуемого к тому, что над следующей анаграммой ему, возможно, придется думать еще дольше, в то время как сам факт нахождения правильного ответа не так существен.

Сформулируем гипотезы.

Н0: Различия во времени, которое испытуемые проводят над решением трех различных анаграмм, являются случайными.

Н1: Различия во времени, которое испытуемые проводят над решением трех различных анаграмм, не являются случайными.

Теперь нам нужно определить эмпирическое значение ч2r по формуле:

где с - количество условий;

n - количество испытуемых;

Tj - суммы рангов по каждому из условий.

Определим ч2r для данного случая:

Поскольку в данном примере рассматриваются три задачи, то есть 3 условия, с=3. Количество испытуемых n=5. Это позволяет нам воспользоваться специальной таблицей ч2r .

Эмпирическое значение ч2r = 8,4 при с=3, п=5 точно соответствует уровню значимости р==0,0085.

Ответ: Н0 отклоняется. Принимается Н1. Различия во времени, которое испытуемые проводят над решением трех различных анаграмм, неслучайны (р=0,0085).

Теперь мы можем сформулировать общий алгоритм действий по применению критерия ч2r.

Алгоритм

Подсчет критерия ч2r Фридмана

Проранжировать индивидуальные значения первого испытуемого, полученные им в 1-м, 2-м, 3-м и т. д. замерах.

Проделать то же самое по отношению ко всем другим испытуемым.

Просуммировать ранги по условиям, в которых осуществлялись замеры. Проверить совпадение общей суммы рангов с расчетной суммой.

Определить эмпирическое значение ч2r по формуле:

где с - количество условии;

n - количество испытуемых;

Tj - суммы рангов по каждому из условий.

5. Определить уровни статистической значимости для ч2r эмп:

а) при с=3, n<9 - по Табл. VII-A Приложения 1;

б) при с=4, n<4 - по Табл. VII-Б Приложения 1.

6. При большем количестве условий и/или испытуемых количество степеней свободы н по формуле:

н=c--1,

где с - количество условии (замеров).

По Табл. определить критические значения критерия ч2r при данном числе степеней свободы н.

Если ч2r эмп равен критическому значению ч2r или превышает его, различия достоверны.



Рис. 25. Алгоритм принятия решения о выборе критерия оценки изменений

8. Корреляционный анализ

Коэффициент корреляции -- двумерная описательная статистика, количественная мера взаимосвязи (совместной изменчивости) двух переменных.

История разработки и применения коэффициентов корреляции для исследования взаимосвязей фактически началась одновременно с возникновением измерительного подхода к исследованию индивидуальных различий -- в 1870--1880 гг. Пионером в измерении способностей человека, как и автором самого термина "коэффициент корреляции", был Френсис Гальтон, а самые популярные коэффициенты корреляции были разработаны его последователем Карлом Пирсоном. С тех пор изучение взаимосвязей с использованием коэффициентов корреляции является одним из наиболее популярных в психологии занятием.

К настоящему времени разработано великое множество различных коэффициентов корреляции, проблеме измерения взаимосвязи с их помощью посвящены сотни книг. Поэтому, не претендуя на полноту изложения, мы рассмотрим лишь самые важные, действительно незаменимые в исследованиях меры связи -- rxy--Пирсона, с-Спирмена и ф-Кендалла1. Их общей особенностью является то, что они отражают взаимосвязь двух признаков, измеренных в количественной шкале -- ранговой или метрической.

Вообще говоря, любое эмпирическое исследование сосредоточено на изучении взаимосвязей двух или более переменных.

Пример

Приведем пример исследования влияния демонстрации сцен насилия по ТВ на агрессивность подростков.

1. Изучается взаимосвязь двух переменных, измеренных в количественной (ранговой или метрической) шкале:

1) "время просмотра телепередач с насилием";

2) "агрессивность".

Читается как тау-Кендалла.

2. Изучается различие в агрессивности 2-х или более групп подростков, отличающихся длительностью просмотра телепередач с демонстрацией сцен насилия.

Во втором примере изучение различий может быть представлено как исследование взаимосвязи 2-х переменных, одна из которых -- номинативная (длительность просмотра телепередач). И для этой ситуации также разработаны свои коэффициенты корреляции.

Любое исследование можно свести к изучению корреляций, благо изобретены самые различные коэффициенты корреляции для практически любой исследовательской ситуации. Но в дальнейшем изложении мы будем различать два класса задач:

исследование корреляций -- когда две переменные представлены в числовой шкале;

исследование различий -- когда хотя бы одна из двух переменных представлена в номинативной шкале.

Такое деление соответствует и логике построения популярных компьютерных статистических программ, в которых в меню Корреляции предлагаются три коэффициента (г-Пирсона, r-Спирмена и т-Кендалла), а для решения других исследовательских задач предлагаются методы сравнения групп.

Понятие корреляции

Взаимосвязи на языке математики обычно описываются при помощи функций, которые графически изображаются в виде линий. На рис. 26 изображено несколько графиков функций. Если изменение одной переменной на одну единицу всегда приводит к изменению другой переменной на одну и ту же величину, функция является линейной (график ее представляет прямую линию); любая другая связь -- нелинейная. Если увеличение одной переменной связано с увеличением другой, то связь -- положительная (прямая); если увеличение одной переменной связано с уменьшением другой, то связь -- отрицательная (обратная). Если направление изменения одной переменной не меняется с возрастанием (убыванием) другой переменной, то такая функция -- монотонная; в противном случае функцию называют немонотонной.

Функциональные связи, подобные изображенным на рис.1, являются идеализациями. Их особенность заключается в том, что одному значению одной переменной соответствует строго определенное значение другой переменной. Например, такова взаимосвязь двух физических переменных -- веса и длины тела (линейная положительная). Однако даже в физических экспериментах эмпирическая взаимосвязь будет отличаться от функциональной связи в силу неучтенных или неизвестных причин: колебаний состава материала, погрешностей измерения и пр.

Рис. 26. Примеры графиков часто встречающихся функций.

В психологии, как и во многих других науках, при изучении взаимосвязи признаков из поля зрения исследователя неизбежно выпадает множество возможных причин изменчивости этих признаков. Результатом является то, что даже существующая в реальности функциональная связь между переменными выступает эмпирически как вероятностная (стохастическая): одному и тому же значению одной переменной соответствует распределение различных значений другой переменной (и наоборот). Простейшим примером является соотношение роста и веса людей. Эмпирические результаты исследования этих двух признаков покажут, конечно, положительную их взаимосвязь. Но несложно догадаться, что она будет отличаться от строгой, линейной, положительной -- идеальной математической функции, даже при всех ухищрениях исследователя по учету стройности или полноты испытуемых. (Вряд ли на этом основании кому-то придет в голову отрицать факт наличия строгой функциональной связи между длиной и весом тела.)

Итак, в психологии, как и во многих других науках, функциональная взаимосвязь явлений эмпирически может быть выявлена только как вероятностная связь соответствующих признаков. Наглядное представление о характере вероятностной связи дает диаграмма рассеивания -- график, оси которого соответствуют значениям двух переменных, а каждый испытуемый представляет собой точку (рис. 27). В качестве числовой характеристики вероятностной связи используются коэффициенты корреляции.

Рис. 27. Примеры диаграмм рассеивания и коэффициентов корреляции.

Коэффициент корреляции -- это количественная мера силы и направления вероятностной взаимосвязи двух переменных; принимает значения в диапазоне от --1 до +1.

Сила связи достигает максимума при условии взаимно однозначного соответствия: когда каждому значению одной переменной соответствует только одно значение другой переменной (и наоборот), эмпирическая взаимосвязь при этом совпадает с функциональной линейной связью. Показателем силы связи является абсолютная (без учета знака) величина коэффициента корреляции.

Направление связи определяется прямым или обратным соотношением значений двух переменных: если возрастанию значений одной переменной соответствует возрастание значений другой переменной, то взаимосвязь называется прямой (положительной); если возрастанию значений одной переменной соответствует убывание значений другой переменной, то взаимосвязь является обратной (отрицательной). Показателем направления связи является знак коэффициента корреляции.

Следует отметить еще один важный факт. Когда мы смотрим значение коэффициента корреляции о его значимости можно судить только после того, как мы будем знать объем выборки. Так, одно и то же значение rxy для одной выборки будет незначимым, а для другой значимым на уровне 0,01. Желающие могут провести следующий эксперимент: для выборки, у которой rxy оказалось незначимым, надо скопировать ее саму на себя несколько раз. Очевидно, что значение rxy при этом не изменится, а коэффициент корреляции станет значимым!

Коэффициент корреляции rxy Пирсона

r-Пирсона (Pearson r) применяется для изучения взаимосвязи двух метрических переменных, измеренных на одной и той же выборке. Существует множество ситуаций, в которых уместно его применение. Влияет ли интеллект на успеваемость на старших курсах университета? Связан ли размер заработной платы работника с его доброжелательностью к коллегам? Влияет ли настроение школьника на успешность решения сложной арифметической задачи? Для ответа на подобные вопросы исследователь должен измерить два интересующих его показателя у каждого члена выборки. Данные для изучения взаимосвязи затем сводятся в таблицу, как в приведенном ниже примере.

Пример

В таблице приведен пример исходных данных измерения двух показателей интеллекта (вербального и невербального) у 20 учащихся 8-го класса.

Таблица 11

№	Вербальный IQ (х)	Невербальный IQ (у)
1	13	12
2	9	11
3	8	8
4	9	12
5	7	9
6	9	11
7	8	9
8	13	13
9	12	9
10	12	10
11	8	9
12	9	8
13	10	10
14	10	12
15	12	10
16	10	10
17	8	11
18	9	10
19	10	11
20	11	13
Средние:	9,8	10,4

Связь между этими переменными можно изобразить при помощи диаграммы рассеивания (см. рис. 28). Диаграмма показывает, что существует некоторая взаимосвязь измеренных показателей: чем больше значения вербального интеллекта, тем (преимущественно) больше значения невербального интеллекта.

Прежде чем дать формулу коэффициента корреляции, попробуем проследить логику ее возникновения, используя данные примера 6.1. Положение каждой /-точки (испытуемого с номером i) на диаграмме рассеивания относительно остальных точек (рис.3) может быть задано величинами и знаками отклонений соответствующих значений переменных от своих средних величин: (Xj-- Мх) и (yj -- My). Если знаки этих отклонений совпадают, то это свидетельствует в пользу положительной взаимосвязи (большие значения по у или меньшим значениям по х соответствуют меньшие значения по у).

Рис. 28. Диаграмма рассеивания для примера.

Пример

Для испытуемого №1 отклонение от среднего по х и по у положительное, а для испытуемого №3 и то и другое отклонения отрицательные. Следовательно, данные того и другого свидетельствуют о положительной взаимосвязи изучаемых признаков. Напротив, если знаки отклонений от средних по х и по у различаются, то это будет свидетельствовать об отрицательной взаимосвязи между признаками. Так, для испытуемого № 4 отклонение от среднего по х является отрицательным, по у -- положительным, а для испытуемого №9 -- наоборот.

Таким образом, если произведение отклонений (хi-- Мх)*(yi -- My) положительное, то данные /-испытуемого свидетельствуют о прямой (положительной) взаимосвязи, а если отрицательное -- то об обратной (отрицательной) взаимосвязи. Соответственно, если х и у ъ основном связаны прямо пропорционально, то большинство произведений отклонений будет положительным, а если они связаны обратным соотношением, то большинство произведений будет отрицательным. Следовательно, общим показателем для силы и направления взаимосвязи может служить сумма всех произведений отклонений для данной выборки:

При прямо пропорциональной связи между переменными эта величина является большой и положительной -- для большинства испытуемых отклонения совпадают по знаку (большим значениям одной переменной соответствуют большие значения другой переменной и наоборот). Если же х и у имеют обратную связь, то для большинства испытуемых большим значениям одной переменной будут соответствовать меньшие значения другой переменной, т.е. знаки произведений будут отрицательными, а сумма произведений в целом будет тоже большой по абсолютной величине, но отрицательной по знаку. Если систематической связи между переменными не будет наблюдаться, то положительные слагаемые (произведения отклонений) уравновесятся отрицательными слагаемыми, и сумма всех произведений отклонений будет близка к нулю.

Чтобы сумма произведений не зависела от объема выборки, достаточно ее усреднить. Но мера взаимосвязи нас интересует не как генеральный параметр, а как вычисляемая его оценка -- статистика. Поэтому, как и для формулы дисперсии, в этом случае поступим так же, делим сумму произведений отклонений не на N, а на N-- 1. Получается мера связи, широко применяемая в физике и технических науках, которая называется ковариацией (Covariance):

В психологии, в отличие от физики, большинство переменных измеряются в произвольных шкалах, так как психологов интересует не абсолютное значение признака, а взаимное расположение испытуемых в группе. К тому же ковариация весьма чувствительна к масштабу шкалы (дисперсии), в которой измерены признаки. Чтобы сделать меру связи независимой от единиц измерения того и другого признака, достаточно разделить ковариацию на соответствующие стандартные отклонения. Таким образом и была получена формула коэффициента корреляции К. Пирсона.

Или, после подстановки уx и уy, получим:

Приведенное выше уравнение является основной формулой коэффициента корреляции Пирсона. Эта формула вполне осмысленна, но не очень удобна для вычислений "вручную" или на калькуляторе. Поэтому существуют производные формулы -- более громоздкие по виду, менее доступные осмыслению, но упрощающие расчеты. Мы не будем их здесь приводить, так как один раз в жизни можно в учебных целях посчитать корреляцию Пирсона и по исходной формуле "вручную", а в дальнейшем для обработки реальных данных все равно придется воспользоваться компьютерными программами.

Пример

Для расчета коэффициента корреляции воспользуемся данными предыдущего примера о вербальном и невербальном IQ, измеренном у 20 учащихся 8-го класса. К двум столбцам с исходными данными добавляются еще 5 столбцов для дополнительных расчетов, и внизу -- строка сумм.

Таблица 12

№	X	Y	(х,-Мх)	(У,-Му)	(х,-Мх)2	(y,-My)	(х,-Мг){у,-М,)
1	13	12	3,2	1,6	10,24	2,56	5,12
2	9	11	-0,8	0,6	0,64	0,36	-0,48
3	8	8	-1,8	-2,4	3,24	5,76	4,32
4	9	12	-0,8	1,6	0,64	2,56	-1,28
5	7	9	-2,8	-1,4	7,84	1,96	3,92
6	9	11	-0,8	0,6	0,64	0,36	-0,48
7	8	9	-1,8	-1,4	3,24	1,96	2,52
8	13	13	3,2	2,6	10,24	6,76	8,32
9	И	9	1,2	-1,4	1,44	1,96	-1,68
10	12	10	2,2	-0,4	4,84	0,16	-0,88
11	8	9	-1,8	-1,4	3,24	1,96	2,52
12	9	8	-0,8	-2,4	0,64	5,76	1,92
13	10	10	0,2	-0,4	0,04	0,16	-0,08
14	10	12	0,2	1,6	0,04	2,56	0,32
15	12	10	2,2	-0,4	4,84	0,16	-0,88
16	10	10	0,2	-0,4	0,04	0,16	-0,08
17	8	11	-1,8	0,6	3,24	0,36	-1,08
18	9	10	-0,8	-0,4	0,64	0,16	0,32
19	10	11	0,2	0,6	0,04	0,36	0,12
20	11	13	1,2	2,6	1,44	6,76	3,12
У	196	208	0	0	57,2	42,8	25,6

Подобные документы

• Определение данных натуральных наблюдений методами математической статистики

  Основные этапы обработки данных натуральных наблюдений методом математической статистики. Оценка полученных результатов, их использование при принятии управленческих решений в области охраны природы и природопользования. Проверка статистических гипотез.
  
  практическая работа [132,1 K], добавлен 24.05.2013
  

• Основные понятия математической статистики

  Понятие математической статистики как науки о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Точечные оценки параметров статистических распределений. Анализ вычисления средних величин.
  
  курсовая работа [215,1 K], добавлен 13.12.2014
  

• Теория вероятностей и математическая статистика

  Основные методы формализованного описания и анализа случайных явлений, обработки и анализа результатов физических и численных экспериментов теории вероятности. Основные понятия и аксиомы теории вероятности. Базовые понятия математической статистики.
  
  курс лекций [1,1 M], добавлен 08.04.2011
  

• Математическая статистика

  Предмет, методы и понятия математической статистики, ее взаимосвязь с теорией вероятности. Основные понятия выборочного метода. Характеристика эмпирической функции распределения. Понятие гистограммы, принцип ее построения. Выборочное распределение.
  
  учебное пособие [279,6 K], добавлен 24.04.2009
  

• Основы теории вероятности и математической статистики

  Теория вероятности, понятие вероятности события и её классификация. Понятие комбинаторики и её основные правила. Теоремы умножения вероятностей. Понятие и виды случайных величин. Задачи математической статистики. Расчёт коэффициента корреляции.
  
  шпаргалка [945,2 K], добавлен 18.06.2012
  

• Теория вероятности и математическая статистика

  Программа курса, основные понятия и формулы теории вероятностей, их обоснование и значение. Место и роль математической статистики в дисциплине. Примеры и разъяснения по решению самых распространенных задач по различным темам данных учебных дисциплин.
  
  методичка [574,5 K], добавлен 15.01.2010
  

• Методы математической статистики

  Числовые характеристики выборки. Статистический ряд и функция распределения. Понятие и графическое представление статистической совокупности. Метод наибольшего правдоподобия для нахождения плотности распределения. Применение метода наименьших квадратов.
  
  контрольная работа [62,6 K], добавлен 20.02.2011
  

• Математическая статистика и её частные методы

  Понятие, происхождение и предмет статистики с точки зрения современной науки и практики; стадии и методы статистического исследования, математическая составляющая. Метод главных компонент, его применение. Закон больших чисел, парадокс сэра Гиффена.
  
  курсовая работа [955,2 K], добавлен 17.05.2012
  

• Элементы математической статистики

  Оценки параметров распределения, наиболее важные распределения, применяемые в математической статистике: нормальное распределение, распределения Пирсона, Стьюдента, Фишера. Факторное пространство, формулирование цели эксперимента и выбор откликов.
  
  реферат [105,5 K], добавлен 01.01.2011
  

• Теория вероятностей и математическая статистика

  Правила выполнения и оформления контрольных работ для заочного отделения. Задания и примеры решения задач по математической статистике и теории вероятности. Таблицы справочных данных распределений, плотность стандартного нормального распределения.
  
  методичка [250,6 K], добавлен 29.11.2009
  

• Решение задач по курсу статистики

  Что такое абсолютные и относительные величины. Применение абсолютной и относительной величины в статистике. Прикладные варианты использования методов математической статистики в различных случаях решения задач. Опыт построения статистических таблиц.
  
  контрольная работа [39,6 K], добавлен 12.12.2009
  

• Социально-экономическая статистика

  Предмет, методы и задачи социально-экономической статистики - система показателей, основные группировки и классификации. Статистическое изучение численности населения, источники статистической информации о населении. Уравнение демографического баланса.
  
  шпаргалка [516,4 K], добавлен 06.04.2008
  

• Математическая обработка опытной информации

  Исследование методики математической обработки многократно усеченной информации. Особенности графического изображения опытной информации. Определение среднего значения показателя надежности, абсолютной характеристики рассеивания и коэффициента вариации.
  
  курсовая работа [116,1 K], добавлен 16.01.2014
  

• Корреляционные зависимости в физическом эксперименте

  Значение математической статистики для анализа закономерностей массовых явлений. Основные теоретические выкладки корреляционного анализа. Применение его инструментария в контексте металлургической промышленности в среде программного средства Statistica 6.
  
  реферат [261,4 K], добавлен 03.08.2014
  

• Статистическое изучение выборочных данных экономических показателей

  Предмет и метод математической статистики. Распределение непрерывной случайной величины с точки зрения теории вероятности на примере логарифмически-нормального распределения. Расчет корреляции величин и нахождение линейной зависимости случайных величин.
  
  курсовая работа [988,5 K], добавлен 19.01.2011
  

• Методы математической статистики и теории вероятностей в выборе фильма

  Частота встречаемости зарубежных и отечественных фильмов на сайте Megogo.net. Теоретическое описание фильмов сайта. Популярность "отечественных" фильмов. Сравнение размаха количества просмотренных фильмов отечественного и зарубежного производства.
  
  курсовая работа [239,3 K], добавлен 08.12.2015
  

• Математическая статистика

  Формы, виды и способы статистического наблюдения. Виды группировок, их интервал и частота. Структура ряда динамики. Абсолютные и относительные статистические величины. Представление выборки в виде статистического ряда. Точечное и интервальное оценивание.
  
  курс лекций [1,1 M], добавлен 29.11.2013
  

• Ранжирование по степени значимости основных объективных и субъективных факторов, побудивших к поступлению учиться в МАИ

  Словесная, математическая постановка исходной задачи. Исследование математической задачи на корректность. Применение метода экспертных оценок и парных сравнений основных объективных, субъективных факторов, послуживших причиной к поступлению учиться в МАИ.
  
  курсовая работа [145,1 K], добавлен 19.12.2009
  

• Методы математической вероятности и статистики

  Классификация случайных событий. Функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон равномерного распределения вероятностей. Распределение Стьюдента. Задачи математической статистики. Оценки параметров совокупности.
  
  лекция [387,7 K], добавлен 12.12.2011
  

• Статистическая обработка информации

  Методы регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений. Обзор задач математической статистики. Закон распределения случайной величины. Проверка правдоподобия гипотез.
  
  презентация [113,3 K], добавлен 01.11.2013
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам