Дискретні моделі коливних систем та методи аналізу їх динаміки

-формулювання універсальних критеріїв розпізнавання складних динамічних режимів, які дають змогу їх виявляти без проведення повного аналізу системи;

-застосування отриманих результатів до аналізу складних динамічних режимів коливних систем, що працюють в режимі дискретного часу, систем розпізнавання об'єктів дискретної природи для їх ефективного використання.

Розв'язання відзначених задач є теоретичною основою для побудови універсальних швидкодійних програм аналізу коливних процесів і систем, які є необхідною складовою сучасних засобів автоматизації процесу моделювання та проектування.

Такі особливості дискретних за своєю природою моделей, як максимальна пристосованість до постановки комп`ютерного експерименту, відносна простота математичного подання, широкий спектр динамічних режимів, можливість моделювати гармоніки довільної кратності без підвищення порядку математичної моделі, а тим самим описувати складні динамічні режими рівняннями невисоких порядків, і визначають актуальність цієї роботи, яка стосується моделювання та аналізу динаміки дискретних коливних систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася у Національному університеті "Львівська політехніка" і пов'язана з науковими дослідженнями кафедри програмного забезпечення та інформаційних систем і мереж, кафедри радіофізики Львівського національного університету імені І. Франка, кафедри інформаційно-комп'ютерних технологій Львівського державного інституту новітніх технологій та управління імені В'ячеслава Чорновола та відділу відбору і обробки стохастичних сигналів Фізико-механічного інституту імені Г.В. Карпенка НАН України, участь в яких брав дисертант в період з 1991 по 2006 рр. під час виконання держбюджетних та госпдоговірних науково-дослідних робіт. Робота виконана в межах пріоритетного наукового напрямку "Методи проектування комп'ютерних систем і технологій" і державної цільової програми "Створення і розвиток навчально-дослідницьких САПР та їх підсистем" та в межах договірної теми Фт-131Б "Розробка методів та програм дослідження складних нелінійних систем", номер державної реєстрації 0103U01938 (2002 - 2004 рр.), що виконувалася Львівським національним університетом імені Івана Франка. Результати дисертаційної роботи використані при виконанні теми НД № 25/216, номер державної реєстрації 0100U00486872 "Розробка методів виявлення та визначення характеристик прихованих періодичностей для задач технічної діагностики”, що виконувалася за постановою Бюро ФТПМ НАН України № 8 від 16.05.2000 р. Фізико-механічним інститутом імені Г.В. Карпенка НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розроблення методів і засобів аналізу динаміки коливних систем на основі створення нових дискретних моделей, які мають ширший діапазон динамічних режимів, порівняно з наявними, з подальшою апробацією цих моделей на реальних об'єктах та системах, що працюють в режимі реального часу.

Для досягнення поставленої мети сформульовано та вирішено такі задачі:

1. Систематизовано наявні моделі для аналізу поведінки динамічних систем та на підставі їх порівняльного аналізу визначено напрямки їх удосконалення.

2. Розроблено нові підходи до побудови моделей дискретних коливних систем, які мають широкий діапазон динамічних режимів при застосуванні детермінованого математичного опису.

3. Для створеного класу дискретних нелінійних моделей розвинуто відомі та створено нові швидкодіючі та стійкі до збурень параметрів моделі, методи і алгоритми їх аналізу з розробленням відповідного програмного забезпечення.

4. Сформульовано критерії та процедури ефективного виявлення передбачуваних режимів моделі без проведення її повного аналізу.

5. Показано ефективність створених моделей та методів їх аналізу на конкретних динамічних системах, що працюють в режимі дискретного часу або мають дискретну природу.

Об`єкт дослідження - автоколивні системи з тривалими перехідними процесами і високою добротністю та системи, що працюють в режимі дискретного часу.

Предмет дослідження - коливні процеси в автоколивних системах, підходи до побудови моделей автоколивань, методи знаходження розв`язків та аналізу стійкості.

Методи дослідження. Теоретичні та прикладні результати отримані в процесі теоретичного системного аналізу коливних процесів та їх комп'ютерного моделювання. Методологічну основу дисертаційної роботи складає теорія коливань для створення нового класу дискретних моделей коливних систем; теорія системного аналізу та методи обчислювальної математики для розроблення та обґрунтування методів і алгоритмів побудови розв'язків та знаходження динамічних режимів створених моделей; елементи теорії стійкості та функціонального аналізу для отримання критеріїв стійкості гармонічних та квазігармонічних режимів дискретних моделей; математичного моделювання та програмування для постановки числових експериментів та проведення комп'ютерного моделювання; методи теорії розпізнавання образів для створення автоматизованої системи розпізнавання та ідентифікації користувача комп'ютера.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації на основі математично обґрунтованих нових підходів до побудови дискретних моделей створено новий клас дискретних моделей з ширшим діапазоном коливних режимів, порівняно з наявними. Ефективність створених моделей підтверджена результатами комп'ютерних експериментів і апробована при аналізі динаміки коливних об'єктів, що працюють в режимі дискретного часу. Отримані такі наукові результати:

1. Уперше розроблено новий підхід до побудови дискретних моделей коливних систем, що ґрунтується на введенні в матрицю переходу станів нелінійних функцій, які мають ділянки швидких і повільних рухів та ділянку з від'ємним значенням похідної за великих амплітуд коливань, правомірність якого математично обґрунтована на підставі теорії системного аналізу та теорії стійкості.

2. Створено новий клас дискретних моделей коливних систем, які мають значно ширший діапазон динамічних режимів, порівняно з відомими моделями, при порівняно нескладній формі їх математичного подання.

3. Розроблено методи та реалізовано алгоритми знаходження амплітуди та частоти гармонічних і квазігармонічних коливань довільної кратності, які апробовані на цілому ряді створених моделей. Отримані результати підтверджено як комп'ютерним моделюванням, так і їх збігом з деякими частковими результатами, відомими з літератури.

4. Встановлено необхідні і достатні умови стійкості основних режимів роботи дискретних моделей коливних систем, на основі яких побудовано області стійкості основних режимів та досліджено області синхронізації цих режимів при дії зовнішнього збурення.

5. Розроблено методи знаходження симетричних, несиметричних режимів та хаотичних рухів у коливних електричних контурах з феромагнітними осердями за умови їх роботи в режимі дискретного часу.

6. Сформульовано критерії виявлення можливих динамічних режимів у коливних системах дискретної природи, які не потребують повного аналізу системи і не пов'язані з особливостями самої системи, а мають універсальний характер.

7. Розроблено метод пошуку рухів близьких до хаотичних на основі вивчення динаміки дискретних нелінійних послідовних та паралельних контурів з введенням феромагнітного осердя в котушку індуктивності, які можна розглядати як компоненти складних систем, що суттєво спрощує аналіз динаміки систем такої природи. Встановлено умови конвергентності цих моделей, що спрощує процедуру проектування реальних пристроїв з такими самими режимами функціонування.

8. Запропоновано метод формування дискретних ознак при реалізації комп'ютерної системи ідентифікації користувача комп'ютера за його рукомоторними реакціями. Застосування до розробленої системи математичного опису у вигляді дискретної моделі забезпечило достовірність ідентифікації користувача на 96%. Ефективність системи підтверджена результатами комп'ютерного моделювання та проведених статистичних випробувань.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що:

-створено дискретні моделі коливних систем, які мають широкий спектр динамічних режимів, що дало можливість досконало вивчити ці режими в реальних коливних системах і оптимізувати процедури проектування реальних пристроїв, що мають відповідні режими;

-побудовані області стійкості та синхронізації динамічних режимів розглянутих дискретних моделей дають практичні рекомендації для вибору параметрів реальних пристроїв для забезпечення бажаних характеристик;

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, шести розділів, загальних висновків з роботи, списку використаних літературних джерел і двох додатків. Загальний обсяг дисертації 325 сторінок машинописного тексту, зокрема 48 рисунків і 10 таблиць, що займають 18 сторінок, список використаних джерел містить 256 назв на 21 сторінці та двох додатків, що займають 17 сторінок..

, (1)

де f, g, h, z - нелінійні функції, які приводять до істотних відмін дискретної моделі від неперервної і забезпечують широкий спектр динамічних режимів. Якщо k=2, ввівши нову змінну у, приходимо до системи двох нелінійних різницевих рівнянь:

Для ефективного дослідження систем виду (1) необхідне розроблення принципово нових підходів до їх побудови та алгоритмів аналізу. Такий стан речей зумовлений істотно різною природою самих рівнянь. Адже диференційні рівняння в математичній формі виражають зв'язки між деякими величинами (включаючи і нескінченно малі) в один і той самий момент часу і для одних і тих самих просторових координат. Водночас різницеві рівняння зв'язують між собою виключно скінченні величини в різні моменти часу для різних просторових координат. Очевидно, різницеві рівняння повинні володіти набагато ширшим спектром динамічних процесів, ніж звичайні диференціальні рівняння. Підтвердженням цього висновку може служити пояснення певних властивостей турбулентності на основі рівнянь дискретної природи першого порядку.

Очевидно, при розробленні дискретних коливних моделей необхідно враховувати такі вимоги:

1) забезпечити створення моделі, для аналізу якої необхідно мінімум математичних перетворень та обчислювальних засобів;

2) забезпечити широкий спектр можливих коливних режимів для відтворення основних характеристик сигналу як у часовій, так і в частотній області, а також забезпечити бажану форму сигналу;

3) мати можливість змінювати параметри системи та початкові умови для проектування або аналізу реальних пристроїв, об'єктів та систем.

Оскільки йдеться про побудову коливних моделей, то необхідно забезпечити, щоб при малій амплітуді коливань рух відбувався від нульового положення рівноваги в напрямку її зростання, а при великій - в напрямку її зменшення. Цього можна досягнути введенням в матрицю переходу станів експоненційної функції як функції амплітуди коливань. Знак аргументу при експоненті має бути від'ємним. Якщо праві частини нелінійних функцій (1) міститимуть добуток експоненти з від'ємним знаком при аргументі, що стоїть під експонентою, на змінну стану, то для невеликих амплітуд внесок експоненти буде менш істотним, ніж змінної і рух відбуватиметься у бік зростання амплітуди. Коли амплітуда стане достатньо великою, внесок експоненти в амплітуду переважатиме значення амплітуди і на наступному кроці відбудеться її зменшення. Усталений режим досягається, якщо побудована система є стійкою. Це вимагає додаткових досліджень моделі після її побудови. Введення експоненти в матрицю переходу станів - далеко не єдиний спосіб забезпечити існування коливного процесу. Цього можна досягнути, використовуючи як базові показникові функції з довільною основою, у яких роль показника виконуватиме амплітуда коливань, взята з від'ємним знаком. Очевидно, чим менша основа функції, тим треба очікувати більшого розмаху амплітуди. Роль базових функцій можуть виконувати і гіперболічні функції чи будь-які інші, які для малих значень аргументу змінюються слабше, ніж лінійна функція, а при великих аргументах їх вплив істотніший, ніж лінійної функції. Отже, з'являється можливість змінювати амплітуду коливань в широкому діапазоні параметрів та початкових умов.

Для забезпечення бажаної частоти коливань необхідно задати початкове значення фази коливань. Цього можна досягнути введенням синусоїдальної функції, роль аргументу в якій відіграватиме початкова фаза коливань, в матрицю переходу станів як одного із співмножників.

Нарешті, зміну амплітуди коливань найпростішим способом можна забезпечити, якщо ввести постійний коефіцієнт в праву частину рівнянь (1) як ще один співмножник. Отже, можна запропонувати узагальнену дискретну модель коливних рухів другого порядку:

(2)

Оскільки йдеться про побудову моделей другого порядку, то, комбінуючи різні функції від амплітуди коливань та задаючись різними тригонометричними функціями для завдання початкової фази коливань, можна отримати цілий клас моделей із симетричною, кососиметричною та несиметричною матрицями переходу станів. Кожна з таких моделей володіє своєю динамікою і потребує детального дослідження.