Дискретні моделі коливних систем та методи аналізу їх динаміки

Подання моделі (1) у вигляді двох рівнянь є доцільним з методичного погляду, оскільки дає змогу простежити характер поведінки кожної із змінних стану і виявити вплив параметрів системи і вибраних початкових умов на значення змінних стану. Власне такий підхід спрощує процедуру побудови моделі. Після того як модель, що володіє бажаними характеристиками, побудована, знову можна повернутися до її подання у вигляді одного нелінійного різницевого рівняння типу (1) і тим самим спростити процедуру побудови областей стійкості чи синхронізації при дії зовнішнього збурення .

Для дослідження стійкості використане означення стійкості за Ляпуновим, застосоване до дискретних систем.

Для побудови лінійного наближення дискретної моделі (2) доцільно понизити її порядок. Позначивши , після піднесення кожного з рівнянь системи (2) до квадрату та їх підсумовування отримаємо

. (3)

Перейшовши в (3) до приростів щодо незбуреного режиму r маємо, що

.

Внаслідок неперервності функції після її розкладу в ряд Тейлора за степенями малого параметра і, обмежившись членами першого порядку малості, отримаємо наближену лінійну модель системи (2), де в ролі змінної стану виступає амплітуда коливань:

.

Після підстановки встановленого значення в останню формулу маємо де . Надалі під знаком похідної замість будемо писати , розуміючи, що це дискретна величина. Таким чином, умова стійкості встановленого розв'язку набуває вигляду:

. (4)

Навіть якщо незбурений розв'язок (3) невідомий, можна на основі співвідношення (4) чітко вказати межі, в яких він буде асимптотично стійким в малому.

Відзначимо, що серед 31 дослідженої моделі, які побудовані на основі подання (2), у 27 з них можуть виникати гармонічні рухи ( окрім косинусних спеціальних функцій, взятих з від'ємним знаком та гіперболічного синуса, теж взятого з від'ємним знаком). У ряді з розглянутих моделей, які побудовані на основі базових функцій , , можуть виникати два гармонічні режими, але стійкістю володіє лише один з них. Серед всіх розглянутих моделей у 16 з них будуть існувати стійкі гармонічні рухи.

В табл. 1 наведено подання базових функцій, що забезпечують існування стійких гармонічних рухів із зазначенням амплітуд коливань або наведенням неявних рівнянь для їх розрахунку і діапазону зміни параметрів, що лежать в області стійкості.

У разі використання гіперболічних та спеціальних показникових функцій з довільною основою b амплітуди коливань виражені через відповідні їм обернені функції. Для нововведених спеціальних гіперпоказникових функцій виду

; ; ;

амплітуди гармонічних коливань також можна виразити через обернені функції, означивши їх відповідно. Найбільшим розмахом стійких гармонічних амплітуд володіють моделі, для побудови яких використані розглянуті елементарні функції з внесенням аргументу під знак кореня k-го степеня; спеціальний показниковий тангенс і котангенс з додатним та від'ємним знаком під знаком аргументу; гіперпоказниковий котангенс.

В останньому параграфі другого розділу розроблено способи оптимізації побудованих моделей, які розширюють область стійкості усталених режимів заданої частоти та амплітуди за умови збереження їх форми.

У третьому розділі роботи розглянуто побудову розв'язків дискретних моделей на квазігармоніках та знаходження областей їх стійкості. На основі встановленого зв'язку для амплітуд коливань в m i m+k точках дискретизації у вигляді послідовності рекурсивних викликів отримані рівняння для визначення амплітуд коливань. Якщо

,

для ,

для

і для довільного значення

(5)

Таблиця 1 - Набір базових функцій, що забезпечують стійкі гармонічні рухи

Функція	Амплітуда коливань	Область Діапазон зміни : нижній; верхній і	Стійкості Діапазон зміни : нижній ; верхній
		1 ; e2	0 ; 2
b-r	ln(а)/ln(b)	1 ; e2	0 ; 2/ln(b)
r-r	r*ln(r) = a	0,69 ; 1,78	0,36 ; 1,45
exp(-)	(ln(а))k	1 ; e2k	0 ; (2*k)k
r-	r1/k*ln(r) = a	0,48 ; 34,92	0,135 ; 4,944 для k = 2
b-	(ln(a)/ln(b))k	1 ; e2k	0 ; 2*k)k/ln(b) при цьому b>0
cth(r)	arcth( а)	0 ; 1	0 ; 1
tb(r)	arcctb( а)	1 ; ? /	0 ; ?
-tb(r)	-arcctb( а)	1 ; ? /	0 ; ?
ctb(r)	arcth( а )	0 ; 1 /	0 ; ?
-ctb(r)	-arcth( а )	0 ; 1 /	0 ; ?
-sx(r)		0,66 ; 2,21	0,36 ; 0,88
-tx(r)		4,33 ; ?	0,72 ; 1
ctx(r)		0,67 ; 1	1,64 ; ?
-ctx(r)		0 ; 0,34	0 ; 0,36
-ctx()		0 ; 0,62	0 ; 0,135 для k = 2

Для дослідження стійкості можливих амплітуд на кратних частотах введено відхилення амплітуди від встановленого значення для довільної кратності

.

Після підстановки , визначеного з останньої рівності в рівняння (3) та врахування рівнянь для усталених значень амплітуд (5), одержано критерії стійкості коливних режимів різної кратності. Для гармонічних коливань після лінеаризації функції

та урахування рівняння для усталеної амплітуди отримана умова їх стійкості:

.

Щоб визначити критерій стійкості двократних амплітуд, проведено лінеаризацію рівняння для приростів амплітуди щодо усталеного режиму, який визначається розв'язками рівняння (5) при k=2. Після підстановки в (5), лінеаризації функції

,

отримано лінійне різницеве рівняння, яке зв'язує прирости значень амплітуди в дискретні моменти і

_.

Приходимо до критерію стійкості двократних амплітуд

.

Якщо вважати, що гармонічні коливання є стійкими, то необхідна умова стійкості двократних коливань зводиться до виконання нижченаведеного критерію:

Отже, у разі використання додатно визначених функцій і додатної визначеності рекурсивних викликів функції від самої себе та від'ємної визначеності похідної від і похідних від її рекурсивних викликів завжди виконуються необхідні умови стійкості двократних коливань.

Отримано в загальному вигляді критерії існування квазігармонічних коливань кратності три. Доцільність мати такі критерії в тому, що як випливає з теореми Шарковського, якщо в деякій дискретній системі, що задається неперервним відображенням, існують періодичні режими кратності три, то в ній існують періодичні режими довільної кратності.

Для спрощення математичних викладок позначимо композицію двох і трьох функцій у вигляді

Після лінеаризації функції і в околі усталеного режиму, що відповідає значенням амплітуди , маємо

Підставивши отримані наближені рівності в рівняння для приростів і врахувавши рівняння для усталених значень амплітуд (5) при r=3, приходимо до рівняння зв'язку між приростами амплітуд та гармонік

Отже, критерій стійкості квазігармонічних коливань кратності три набуває вигляду

.

Аналіз отриманого співвідношення засвідчує, що у разі використання додатно визначених функцій та їх рекурсивних викликів другого і третього порядків та від'ємної визначеності похідних від них завжди виконується необхідна умова стійкості.

Для коливань довільної кратності рекурсивні лінеаризовані функції в околі усталеного режиму для довільної глибини вкладення мають вигляд:

Після підстановки останніх рівностей в рівняння для приростів та урахування рівняння для встановлених амплітуд (8д) зв'язок між приростами амплітуд довільної кратності набуває вигляду

_.

Отже, критерієм стійкості коливань довільної кратності є виконання умови

. (6)

На основі виразів (5) для знаходження квазігармонічних амплітуд кратності два і три та критеріїв їх стійкості (6) в роботі виконано дослідження для широкого класу моделей при виборі різних базових функцій, розглянутих в попередньому розділі, та визначені області їх стійкості в просторі параметрів та початкових умов. Так у разі вибору експоненційної функції як базової на основі (5) при k=1 маємо оцінку амплітуди і періоду гармонічних коливань

; , (7)

області стійкості яких відповідає діапазон зміни параметра від 1 до . Можливі двократні амплітуди визначаються розв'язками рівняння

, (8)

область стійкості яких показано на рис. 1.

Результати комп'ютерного моделювання підтвердили існування в дискретній моделі (2) як стійких гармонічних коливань так і коливань з двократними амплітудами.

Рис .1. Область стійкості двократних режимів дискретної моделі з експоненційною базовою функцією

Якщо а =3.6, в системі можливі чотири значення огинаючої амплітуди коливань: r₁=0.266; r₂=0.455; r₃=2.373; r₄=2.028. Якщо параметр а =4, виявлені шестикратні амплітуди коливань: r₁ = 2.105; r₂=0.499; r₃=2.942; r₄=0.131; r₅=1.611; r₆=1.027. Як бачимо, зі збільшенням амплітуди розкид їх значень зростає.

Для встановлення зв'язку між усталеними значеннями амплітуд довільної кратності на основі (6) маємо

Враховуючи, що у встановленому режимі r = r_m+к = r_m , можна записати

,

де - визначаються рекурсивно. Отже, якщо отримане значення встановленої амплітуди r для деякого значення а, то кількість можливих амплітуд на основі останньої рівності визначиться як

. (9)

В табл. 2 вказані можливі значення кратностей амплітуд, одержані на основі (9).

Таблиця 2

Кількість усталених амплітуд для різних значень параметра

a	2.8	3.0	3.5	3.6	3.7	3.8	3.9	4.0	5.0	6.0	9.0
K	2	2	2	4	4	8	24	6	9	60	7

Отже, алгоритм визначення всіх можливих амплітуд для конкретних значень параметрів а і після того, як встановлена їх кратність k на основі відношення (9), має вигляд:

1) вибрати початкове наближення r₀ на основі (9) або числового розрахунку системи (2) з використанням (7) до закінчення перехідного режиму;

2) задати початкове значення лічильника точок дискретизації ;

3) визначити

4) якщо і < 2k-1 , перейти до п.3;

5) якщо , перейти до п.7;

6) переприсвоїти r_i = r_i+k , де i=1,2,...,k; i = k. Перейти до п.3;

7) вивести значення r_i , i=1,2,...,k на друк;

Як засвідчують результати комп'ютерного моделювання, використання цього алгоритму потребує 2-72 ітерацій (2k - 72k дискретних точок) для визначення значень всіх амплітуд із заданою точністю. Водночас безпосереднє їх визначення розрахунком системи (2), принаймні, на порядок довше для / 10. Кількість ітерацій, необхідних для визначення амплітуд із заданою точністю, істотно залежить від того, як вибране нульове наближення.

Дискретну систему (2) з базовою експоненційною функцією досліджували в широкому діапазоні зміни її параметрів та початкових умов. Фазові портрети та часові характеристики для змінних стану цієї системи у разі зміни параметра а від 1 до 7 і значенні =/10 відображені на рис. 2 - рис. 4.

Аналіз отриманих результатів привів до висновків:

1. якщо 1, коливання в системі загасають;

2. якщо 1 < а 2,72, в системі існують чисто гармонічні коливання, амплітуда і період яких визначаються на основі (7);

3. якщо а > e (основи натурального логарифма), в системі з'являються модульовані коливання, форма яких все більше відрізняється від гармонічної із зростанням а, що підтверджується побудованим фазовим портретом на рис. 2, а для значень параметра а =4 та відповідно часової характеристики для змінної х, показаної на рис. 3;

Рис. 2. Фазова характеристика дискретної моделі (2) з експоненційною

базовою функцією при а = 4

Рис. 3. Часова характеристика для змінної х при а =4

4. стійким двократним амплітудам відповідає діапазон зміни параметра а в межах 3,53 > а > e, при цьому амплітуда двохкратних коливань може змінюватися в межах 2,17 > r > 0,35;

5. у разі зміни параметра а в межах а > 4,718 в цій моделі можуть з'являтися коливання з амплітудами кратності три, амплітуди яких змінюються в довільних межах, але дослідження показали, що ці коливання є нестійкими;

6. у такій системі можлива поява хаотичних рухів, оскільки при а =7 фазовий портрет системи стає розмитим, а на часовій характеристиці змінної х (рис. 4) не виявлено повторення амплітуди коливань, хоча комп'ютерне моделювання здійснювалося з використанням 1000 і більше дискретних точок.

Рис. 4. Часова характеристика для змінної х при а =7

Якщо відомий діапазон зміни параметра а, в якому існують коливання із заданою кратністю, то (7) можна використати для визначення амплітуд довільної кратності. Відхилення форми коливань від гармонічної пояснюється нев'язкою усталеного значення амплітуди від гармонічної, яка зростає зі збільшенням значення параметра а. Дійсно, на основі (8) зв'язок між приростами амплітуд можна записати як

.

Якщо а > е значення цієї нев'язки зростає, причому зміна амплітуди є стрибкоподібною, про що свідчить від'ємний знак в останньому виразі. Це призводить до стрибків амплітуди коливань основної частоти, тобто модуляції амплітуди. Відзначу, що із зростанням параметра а частота модуляції зростає. Отже, кратні коливання амплітуди можна інтерпретувати як амплітудно-модульовані коливання основної частоти, частота зміни амплітуди яких зростає зі збільшенням параметра а.

Четвертий розділ дисертаційної роботи стосується аналізу дискретних моделей коливних систем у випадку дії зовнішнього збурення та встановленню їх зв'язку з неперервними.

Розглянуто процес синхронізації моделі дискретного генератора (2) при виборі експоненційної базової функції, на яку діє зовнішнє збурення амплітуди А та частоти х: модель дискретний коливний система

. (10)

Встановлено умови синхронізації запропонованої моделі. На рис. 5 показані області синхронізації дискретного генератора (10) в області параметрів А і , де = - для різних значень параметра а. Крива 1 ділить весь простір на дві області: нижче від кривої 1 існує єдиний розв'язок (11), вище - три розв'язки. Для різних значень параметра побудовані криві, нижче від яких, в області існування єдиного розв'язку, він є нестійким, а вище - стійким. Для значення параметра =5 побудовані області стійкості для всіх трьох можливих розв'язків. Область між кривими 2 і 3 відповідає області існування трьох розв'язків. До перетину кривої 4 і 2 стійким є лише один розв'язок, а після перетину цих кривих з'являється вузька область, в якій два розв'язки є стійкими. Третій розв'язок, який знаходиться на спадній ділянці функції f(r)=0 є завжди нестійким. Відзначимо, що крива 4 відповідає границі, на якій більший із коренів до перетину з кривою 2, а після перетину менший із цих коренів за модулем дорівнює одиниці.



Рис. 5. Область синхронізації дискретного генератора з експоненційною базовою функцією

Таким чином, область синхронізації розширюється із збільшенням параметра А і зменшенням і . Аналогічно, як в неперервних системах, при найменших частотних розлагодженнях необхідно прикласти мінімальне зовнішнє збурення для забезпечення стійкості розв'язку, яке визначається виразом

,

де r є розв'язком рівняння

Отже, це збурення не залежить від параметра . У разі виходу генератора із синхронізації в ньому встановлюються різні режими, які пов'язані з величиною амплітуди зовнішнього збурення. Так, при А=1 і >2.8 для а=2 в системі виникають коливання, які істотно відрізняються від гармонічних; при а=5 і >0.63 захоплення виявлено на двократній та трикратній частотах. Значення r можуть бути довільної кратності. Більше того, для =2.45, а=5, А=1 чітко простежується поява хаотичних рухів, що підтверджується розмитістю фазових портретів та нерегулярністю їх заповнення.

У моделях цього класу виявлені якісно нові динамічні режими, які відсутні у неперервних системах. Хоча виявлені режими, як показали результати аналізу, є нестійкими, вони мають значення в процесі проектування коливних систем з погляду захисту їх від завад. Їх також можна ефективно використовувати для аналізу неперервних коливних систем, як показано нижче при пошуку усталених режимів.

Для цього удосконалено метод Ейпрілла - Тріка (ММЕТ) та метод Синицького - Шумкова (ММСШ), щоб забезпечити розширення як області збіжності алгоритмів пришвидшення, так і зменшення часових витрат на виконання обчислень при пошуку усталених режимів в автогенераторах з тривалими перехідними процесами та високою добротністю. Ці модифіковані методи застосовні як до автономних, так і до неавтономних моделей.. Для розширення області стійкості алгоритмів пришвидшення стосовно автономних моделей доцільно період коливань визначати не ітераційним способом, а фіксацією моментів переходу через екстремум однієї із змінних стану. Тоді періоду коливань відповідатиме проміжок часу між двома сусідніми екстремумами.

Такий підхід знімає виродження з матриці монодромії, зменшує її розмірність та забезпечує розширення області збіжності, оскільки величина періоду ніяк не впливає на ширину області збіжності незалежно від того, який метод числового інтегрування використовується для проведення обчислень.

Перевага ММЕТ в тому, що немає потреби задавати початкове значення періоду коливань, чим забезпечується краща збіжність ММЕТ порівняно з МЕТ. Модифікований метод Синицького-Шумкова (ММСШ), який ґрунтується на процедурі Ейткена-Стефенсона, забезпечує суттєвий виграш в часі розрахунку порівняно з попередніми методами. Це пояснюється зменшенням розмірності матриці монодромії, а витрати на здійснення інтерполяції компенсуються тим, що в ММСШ немає потреби додаткових обчислень під час формування матриці монодромії, що має місце в МЕТ і ММЕТ. На основі проведеного аналізу сформульований алгоритм пошуку усталених режимів, який застосовний до неперервних коливних систем виду:

, (11)

розв'язок яких із застосуванням методу Ньютона дає

(12)

де - матриця переходу станів, розрахована при для змінної в часі системи

. (13)

Після застосування числового методу Лінігера-Уілаббі до (14) отримуємо

, (14)

де - величина кроку, а = 1,2,3,…., . Рівняння (14) теж розв'язуємо методом Ньютона:

, (15)

де - якобіан системи (14), а . Після застосування формули Лінігера-Уілаббі до (13) отримуємо

.

Таким чином, матриця переходу станів набуває вигляду

. (16)

Отже, після вирахування матриці переходу станівна основі (16),. використовуючи вираз (12), замінюємо початкові умови на ближчі до періодичного режиму.

Для автономної системи застосування екстраполяційного виразу (12) до знаходження періодичного режиму неможливе, оскільки матриця переходу станів має одиничний корінь. В алгоритмі Ейпрілла-Тріка ця проблема розв'язана шляхом введення в вектор х замість однієї із змінних стану величини періоду коливань. Тоді при визначенні періодичного режиму екстраполяція здійснюється для N-1 змінної і періоду Т, що звужує область збіжності методу. Перевага пропонованого алгоритму ММЕТ у відсутності потреби задавати початкове значення періоду коливань, що розширює область його збіжності. Друга перевага такого підходу в тому, що зменшується розмірність матриці монодромії на одиницю і виграш в розрахунку, принаймні, систем невисокого порядку є очевидним.

Другий широко вживаний алгоритм ґрунтується на екстраполяційній формулі Ейткена-Стефенсона

(17)

де - одинична матриця; - квадратна матриця переходу станів розміром n х n, яка підлягає визначенню; - невідомий -1- мірний вектор-стовбець за кількістю змінних стану, що визначається початковими умовами. Невідомі елементів матриці і -1 невідомих значень вектора можуть бути визначені в процесі вирахування змінних вектора в - ті дискретні відліки часу , які зміщені один відносно одного на період коливань. Дійсно, з (17) маємо

(18)

Перейшовши в останній рівності до приростів змінних стану х, які відстають один від другого на величину періоду отримуємо

, (19)

де .

Застосувавши (18) до послідовності -1 точок , приходимо до співвідношень,

(20)

де квадратні матриці і можуть бути розраховані на основі рівностей

Отже, на основі (19) отримуємо систему рівнянь для визначення невідомої матриці F

. (21)

Після підстановки матриці , визначеної з останньої рівності, в одне із рівнянь (18), визначаємо невідомий вектор , а значення змінних стану, що відповідають усталеному режиму, визначаються за (17). Отже, екстраполяція перехідного режиму до встановленого ґрунтується на формулі (17) і потребує числового інтегрування системи лінійних рівнянь -1-го порядку на часовому інтервалі .

Вищеописані підходи до пришвидшеного пошуку усталених режимів можна сформулювати у вигляді методу, що визначається послідовністю процедур:

1. Вибрати початкове наближення вектора змінних стану . Присвоїти початкове значення лічильнику кроків на періоді коливань і значення періоду коливань . Ввести параметри , що визначають точність розрахунку першої змінної в контрольних точках на початкових етапах розрахунку, точність значень амплітуд змінних стану та періоду коливань. Ввести величину кроку інтегрування , з врахуванням апріорних міркувань.

2. Отримати систему різницевих рівнянь для моделі (11), використовуючи метод (14) або будь-який інший А-стійкий числовий метод. Присвоїти лічильнику кроків .

3. Одержану різницеву систему розв'язати методом Ньютона (15) з заданою точністю.

4. Якщо , перейти до п.2.

5. Якщо , перейти до п.7.

6. Перейти до п.2.

7. Якщо ,перейти до п.9.

8. Присвоїти . Перейти до п.2.

9. Обчислити

,

; j= 1,2, … , N.

10. Якщо і , перейти до п. 2.

11. Визначити екстраполяційні значення вектора змінних стану , використовуючи один із запропонованих методів пришвидшення ММСШ (формула (12)) або ММЕТ (формула (17)). Присвоїти . Перейти до п.2.

12. Вивести результати обчислень: значення періоду коливань і вектора змінних стану та .

13. Закінчити обчислення.

У запропонованому методі з метою уточнення моменту переходу через максимум змінної здійснювалась інтерполяція за Лагранжем за трьома сусідніми точками, що лежать на найкоротшій віддалі від максимуму. Часовий проміжок між сусідніми максимумами відповідає періоду коливань. Вказані операції реалізуються в пункті 9 вище наведеного алгоритму.

Ефективність запропонованих модифікацій методів пришвидшеного пошуку усталених режимів апробовано на реальних схемах автогенераторів, для яких характерні тривалі перехідні процеси, зокрема на кварцових та високодобротних генераторних схемах різного порядку складності (від 3 до 30).

Ні МЕТ, ні його модифікація ММЕТ не дали змоги визначити встановлений режим для моделей автогенераторів вище п'ятого порядку складності, оскільки після перших трьох екстраполяцій період коливань стає від'ємним і немає змісту продовжувати розрахунок або вимагається більше (15 - 25) ітерацій за Ньютоном на кожному кроці розрахунку при використанні ММЕТ.

Водночас ММСШ дав змогу визначити встановлений режим за 6 екстраполяцій, якщо вибрано величину кроку h = 2?10-11, що відповідає 47 дискретним відлікам на періоді розрахунку для моделі 18 порядку. Достатньо трьох-чотирьох ітерацій за Ньютоном для забезпечення точності розрахунку 10-13 в абсолютних одиницях. Час розрахунку склав 36 хв. на комп'ютері типу Pentium-4 з середньою кількістю операцій алгебраїчного підсумовування 106 за секунду. При розрахунку без пришвидшення після розрахунку упродовж 1500 періодів при визначенні змінних стану була досягнута точність 10-5 за частотою і 10-3 за амплітудою. Для ще більшої економії часу розглядалася спрощена модель генератора 15 порядку, яка отримана з вихідної за умови нехтування впливом міжелектродних ємностей транзистора на характеристики коливного процесу. Комп'ютерні експерименти показали часовий виграш в 1,8 рази у випадку зменшення розмірності моделі на три порядки. Розходження отриманих результатів не перевищує 15% порівняно з розрахунком повної схеми.

Якщо процедуру пришвидшення застосовувати лише після розрахунку матриці переходу станів з високою точністю, то можна гарантувати збіжність процесу обчислень до усталеного режиму для моделей як завгодно великої розмірності та тривалості перехідного процесу. Можливість досягнення усталеного режиму при використанні заморожених елементів матриці монодромії, вирахуваних з високою точністю, навела на думку про розрідження цієї матриці шляхом заміни її поза діагональних елементів нулями. Комп'ютерне моделювання підтвердило правомірність такого підходу навіть коли змінними залишилося лише п'ятнадцять діагональних елементів матриці монодромії з 225. Похибка визначення періоду коливань не перевищила 10%. Ці результати є підставою для аналізу систем високих порядків за допомогою моделей, що описуються системою рівнянь невисокого порядку у разі точного обчислення елементів матриці монодромії протягом (N-1)2 періодів, де N - розмірність системи.

У прикінцевому параграфі розділу показана еквівалентність розробленої дискретної моделі (2) та рівнянь чутливості (13) неперервної моделі автономної системи (11), на основі чого в останньому параграфі обґрунтовано чисельно-аналітичний метод аналізу усталених режимів в коливних системах високих порядків шляхом зведення їх до аналізу поведінки N/2 комбінації моделей другого порядку. Ефективність такого підходу підтверджена результатами комп'ютерних експериментів.

У п'ятому розділі роботи розглянуто динаміку нелінійних дискретних контурів з введенням феромагнітного осердя в котушку індуктивності та генераторних схем з трансформаторним зв'язком. На основі вивчення динаміки цих моделей сформульовано аналітичні критерії встановлення умов виникнення та існування динамічних симетричних та несиметричних коливних режимів на субгармоніках, які не пов'язані з особливостями розглядуваних моделей, а можуть бути застосовані для підтвердження або спростування факту існування тих чи інших режимів для широкого класу дискретних моделей динамічних систем другого порядку, що працюють в режимі дискретного часу. Динамічною системою вважається система будь-якої природи (фізичної, математичної, інформаційної, стохастичної), поведінка якої змінюється з перебігом часу. Якщо поведінка однієї із змінних стану системи описується рівнянням

, (22)

де f(x) - неперервно диференційована функція, а x = x(t) - змінна стану системи, буде існувати періодичний режим х* періоду Т, якщо

f(x*) = f(x*+Т). (23)

Позначимо значення х* в моменти t = n·T, де n=0, 1, 2 як x_n. В системі (22) існує симетричний періодичний режим періоду Т, якщо

x_n = x_n+1. (24)

Режим, для якого

x_n = x_n+2, (25)

названо несиметричним. Пошук цих режимів для високодобротних систем є громіздкою задачею навіть за умови описання їх рівняннями невисоких порядків, оскільки перехідний процес розтягується на сотні тисяч періодів. Якщо такий режим не вдається виявити за допомогою комп'ютерного моделювання, то немає гарантії, що він не існує взагалі. Тому розроблення надійних критеріїв та алгоритмів розпізнавання симетричних та несиметричних режимів є актуальною задачею. Відзначимо, що якщо x(t) є кусково-неперервною функцією, то тривалість перехідних процесів є значною навіть для систем з невисокою добротністю.

Пошук симетричного режиму зводиться до знаходження таких початкових умов х = x₀, які є нерухомими точками перетворення виду

x₀=f(x₀). (26)

Очевидно, нерухому точка (26) розташована на бісектрисі, що проходить в першому квадранті площини (x, y), оскільки x₀ є розв'язком рівнянь

y = x, і y = f(x). (27)

Отже, можна сформулювати критерії відсутності та існування симетричних режимів перетворення виду (27):

Критерій 1. Перетворення (27) не має симетричних періодичних режимів, якщо функція f(x) не перетинає бісектриси, що проходить в першому квадранті площини (х, у).

Критерій 2. Перетворення (27) має стільки симетричних режимів, скільки існує точок перетину функції f(x) з бісектрисою, першого квадранту площини (х, у).

Пошук несиметричних режимів зводиться до знаходження нерухомих точок перетворення виду

x₁ = F(x₀), і x₀ = F(x₁). (28)

З рівнянь (28) випливає: якщо існує один несиметричний режим, то обов'язково існує ще другий, який отримується за допомогою циклічної перестановки х₀ і х₁. Отже, перетворення (27) завжди має або парну кількість несиметричних режимів, або вони відсутні взагалі.

Для знаходження можливих несиметричних режимів (27) необхідно в площині (х₀, х₁) побудувати функції (28) і знайти точки їх перетину, які не лежать на бісектрисі ОВ першого квадранта площини (х₀, х₁).

Оскільки (27) є дзеркальним відображенням відносно бісектриси першого квадранта, то якщо f(x₀) не перетинає її, то (27) не має ні симетричних, ні несиметричних періодичних режимів основної гармоніки.

Необхідною умовою виникнення несиметричних режимів перетворення (27) є не монотонність функції f(x). Тут можна виділити чотири випадки:

а) наявність максимуму f(x) вище від бісектриси ОВ першого квадранта в площині (х₀, х₁);

б) наявність мінімуму f(x) нижче від бісектриси ОВ;

в) наявність точки зміни монотонності нижче від бісектриси ОВ, якщо вище від цієї точки f(x) спадає, нижче - зростає;

г) наявність точки зміни монотонності вище від бісектриси ОВ, якщо вище цієї точки f(x) зростає, нижче - спадає;

У всіх цих випадках f(x) повинно мати, принаймні, одну точку перетину з бісектрисою. Відзначимо, що випадок в) є дзеркальним відображенням випадку а) щодо бісектриси першого квадранта; відповідна симетрія існує для комбінацій б) і г). Отже, для встановлення достатніх умов появи несиметричних режимів можна обмежитися розглядом випадків а) і б).

Здійснивши геометричні побудови, що відповідає випадку а), отримано необхідні та достатні умови появи несиметричного режиму перетворення (27), які сформульовано у вигляді критерію:

...