Математические уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Дифференциальные уравнения в частных производных

Основные понятия.

Пусть D - область n - мерного пространства Rn точек x=(x1,x2,…,xn), . Наиболее общее уравнение в частных производных k - го порядка от n независимых переменных x1,x2,…,xn можно записать в следующем виде

(1)

k1+k2+…+kn=k, u=u(x)=u(x1,x2,...,xn)

неизвестная функция, - заданная функция от своих аргументов. D - область задания уравнения (1).

Уравнение в частных производных называется уравнением k-го порядка, если оно содержит хотя бы одну частную производную k-го порядка и не содержит производных более высокого порядка.

Примеры:

1) - уравнение 1-го порядка;

2) -уравнение 2-го порядка;

3) - уравнение 3-го порядка, u=u(x1,x2,x3).

Функция u(x)=u(x1,x2,…,xn), определённая в области D задания уравнения (1), непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение, и обращающая его в тождество по независимым переменным x1,x2,…,xn , называется решением дифференциального уравнения (1).

Если размерность пространства Rn равна 2, то будем писать x1=x, x2=y. Если n=3, будем писать x1=x, x2=y, x3=z.

Уравнение в частных производных (1) называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и её производных.

Уравнение в частных производных (1) называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных искомой функции.

Примеры:

1) - квазилинейное уравнение 2-го порядка;

2) -линейное д.у. в ч.п. 2-го порядка относительно u(x,y).

3) - уравнение нелинейное и не квазилинейное.

Линейное д.у. в ч.п. 1-го порядка:

(2),

где b1, b2,…, bn, c и f - заданные в области D функции переменных x1, x2,…, xn. При этом функции b1, b2,…, bn, c называются коэффициентами, а f(x) - правой частью или свободным членом линейного д.у. в. ч.п. (2).

Линейное д.у. в ч.п. 2-го порядка:

(3)

где - заданные в области D функции, которые называются коэффициентами уравнения, f(x) - заданная в области D функция и называется правой частью или свободным членом линейного д.у. в. ч.п. (3).

Если в д.у. в ч.п. (2) и (3) функция , то они называются однородными, иначе неоднородными.

Левую часть д.у. в ч.п. (3) обозначим через L(u). Тогда оно примет вид

(4)

(5)

Называют линейным дифференциальным оператором в частных производных 2-го порядка. Если в (5) все , , но хотя бы один из коэффициентов bi(x) отличен от нуля, то L линейным дифференциальным оператором 1-го порядка.

Свойства линейных дифференциальных операторов 1-го 2-го порядков:

1°.

2°.

Из свойств 1° и 2° для линейных однородных д.у. вытекают следующие утверждения.

Утверждение 1. Если функция u(x) в области D является решением л.о.д.у , то произведение , также является в области D решением этого уравнения.

Утверждение 1. Если функции u1(x) и u2(x) в области D является решением л.о.д.у , то их сумма u1(x)+u2(x), также является в области D решением этого уравнения.

Следствие. Если в области D функции u1(x), u2(x),…, up(x) удовлетворяют уравнению,то их линейная комбинация где , -произвольные постоянные, также является в области D решением уравнения .

Пример 1. Проверить являются ли следующие функции:

а) б)

решениями уравнения

в области:

Решение. а) Вычислим частные производные ux, uy, uz:

Подставляя их в данное уравнение, получим

Следовательно, функция в указанной области является решением данного уравнения.

б) Найдём частные производные: , , и подставим их в данное уравнение:

при x>0, y>0, z>0, поэтому функция не является решением уравнения. Пример 2. Проверить, является ли функция , ,

- фиксированная точка плоскости , решением уравнения Лапласа

.

Решение. Данную функцию представим в виде

.

Отсюда находим

,

.

Аналогично находится

.

Подставляя найденные значения производных и в уравнение Лапласа, имеем

во всех точках плоскости , за исключением точки. Таким образом, функция является решением уравнения Лапласа всюду на плоскости , за исключением точки, где она обращается в .

Д.у. в ч.п., как и обыкновенные д.у., в большинстве случаев имеет бесконечное множество частных решений. Совокупность таких решений образует общее решение д.у. в ч.п.

Общее решение обыкновенного д.у.

, (6)

представляет собой семейство функций , зависящее от двух произвольных постоянных:

. (7)

Любое частное решение д.у. (6) получается из (7), если постоянным и придать определённые значения. Например, обыкновенное линейное однородное д.у. 2-го порядка

имеет общее решение вида

,

где и - произвольные постоянные. Если задать начальные условия: , , то удовлетворяя общее решение этим начальным условиям, получим систему для нахождения значений и :



Отсюда находим, что , Следовательно, соответствующее частное решение имеет вид

.

Рассмотрим любое д.у. в ч.п. первого порядка с двумя независимыми переменными и не содержащей производную, например, по

. (8)

В уравнении (8) входит только частная производная , при вычислении которой переменная считается фиксированной. При фиксированном значении д.у. (8) можно рассматривать как обыкновенное д.у. с искомой функцией и независимой переменной . Пусть общее решение этого обыкновенного д.у. определяется по формуле

. (9)

Решение (9) содержит как параметр и оно при постоянном C является решением уравнения (8). Для того чтобы функция (9) была решением д.у. (8) необходимо и достаточно чтобы C было постоянным относительно . Т.е. оно может быть любой функцией от . Тем самым получим наиболее общее решение д.у. в. ч.п. (8)

. (91)

Таким образом, общее решение д.у. в ч.п. первого порядка вида (8) содержит одну произвольную функцию из класса непрерывных функций. Рассмотрим следующий пример:

, (10)

Перепишем в следующем виде:

Рассмотрим как параметр. Последнее уравнение представляет линейное д.у. 1-го порядка, его общее решение есть: . Тогда общее решение д.у. в ч.п. (10) определяется по формуле

.

У д.у в ч.п. более высокого порядка общее решение содержит произвольные функции, количество которых равно порядку уравнения.

Пример 3. Решить д.у. в ч.п.

. (11)

, (12)

где - произвольная непрерывная функция. Интегрируя уравнение (12) по переменной , получим

,

где - произвольная функция, или

, (13)

где , .

Если функции и один раз непрерывно дифференцируемы на числовой прямой , то функция , определённая формулой (13), задаёт общее решение д.у (11) на плоскости. Исходя из общего решения д.у (11), можно найти частное решение этого уравнения, Для этого надо найти конкретный вид функций и на основании заданных условий рассматриваемой задачи.

Многие задачи физики приводят к исследованию д.у. в ч.п. 2-го порядка. Например, при изучении различных видов волн приходят к волновому уравнению

, (14)

где ,

- скорость распространения волны в данной среде.

Уравнение (14) называется трёхмерным волновым уравнением. Уравнение вида

называется двумерным волновым уравнением.

называется уравнением вынужденных колебаний струны.

Процесс распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как и явления диффузии, описывается уравнением теплопроводности

. (15)

Уравнение (15) является трёхмерным уравнением теплопроводности.

Уравнение вида

называется двумерным уравнением теплопроводности.

Уравнение вида

называется одномерным уравнением теплопроводности.

При рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле из уравнения (15) получим уравнение Пуассона

. (16)

Когда отсутствует внешний источник тепла, то есть функция , уравнение (16) переходит в уравнение Лапласа

. (17)

Уравнения (14) - (17) называют основными уравнениями мат. физики.

2. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных.

Рассмотрим в области, , линейное однородное уравнение вида

, (1)

где , ,…,- заданные в области непрерывно дифференцируемые функции независимых переменных , , …,, не обращающиеся одновременно в нуль, т.е. при любом : , - искомая функция. Решением в области д.у. в ч.п. (1) называется любая функция , непрерывная вместе со своими частными производными первого порядка и обращающая его в тождество по независимым переменным , , …,. Геометрически решение д.у. (1) представляет поверхность в пространстве переменных , , …,,. Эту поверхность называют интегральной поверхностью. Наряду с дифференциальным уравнением (1) рассмотрим систему обыкновенных д.у., соответствующие д.у. (1):

 (2)

или в симметричной форме

. (3)

Система обыкновенных д.у. (2) называется системой уравнений характеристик для д.у. в ч.п. (1), а её интегральные кривые - характеристиками уравнения (1).

В силу условий, наложенных на коэффициенты ,, для системы (2) или (3) имеет место теорема существования и единственности решения задачи Коши т.е. через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая системы (2). Теорема 1. На интегральной кривой системы д.у. (2) ( на характеристике д.у. (1)) решение д.у. в ч.п. (1) сохраняет постоянное значение. Доказательство. Пусть , , …,, - произвольная интегральная кривая системы (2). Тогда на основании теоремы дифференцирования сложной функции

т.к. - решение д.у. (1). Отсюда следует, что на кривой .

Определение. Соотношение , где функция из класса - один раз непрерывно дифференцируемых в области функций, называется первым интегралом системы (2), если на любой интегральной кривой этой системы, лежащей в , функция постоянна.

Теорема 2. Функция является решением д.у. (1) тогда и только тогда, когда соотношение является первым интегралом системы(2).

Доказательство. Пусть -первый интеграл системы обыкновенных д.у(2), где . , , …,, - произвольная интегральная кривая системы (2), лежащая в области . Тогда полный дифференциал функции на кривой равен нулю, т.е.

(4)

Поскольку ,, …, являются решением системы (2), то заменяя в (4) дифференциалы ,,…, их значением из системы (2) и сокращая на получим

.

Полученное равенство означает, что функция является решением д.у. (1).

Обратно, пусть является произвольным решением д.у. (1) в области . Тогда в силу теоремы 1 функция на любой интегральной кривой системы (2), лежащей в , сохраняет постоянное значение . Тогда есть первый интеграл системы (2).

Теорема 3. Если в области , ,…, есть система независимых первых интегралов системы (3), то формула , где -произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, определяет общее решение д.у. в ч.п. (1).

Доказательство. Пусть

(5)

есть система независимых интегралов системы (3), определённая в области . Т.е. определитель Якоби

в области , если принять за независимую переменную и в области.

По теореме 2 все функции ,,…, являются в области частными решениями д.у. (1), т.е. при любом верны равенства

.

Возьмем произвольную, непрерывно дифференцируемую функцию от аргументов :

. (6)

Подставляя функцию (6) в д.у (1) на основании теоремы дифференцирования сложной функции и принимая во внимания, что функции из (5) являются в решениями д.у. (1), получим

Последнее тождество означает, что функция (6) является в области решением д.у. (1). Теперь докажем, что формула (6), где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, даёт общее решение д.у. в ч.п. (1) в том смысле, что любое частное решение д.у. (1) содержится в формуле (6). Пусть - любое частное решение д.у. (1) в области . Тогда

. (7)

По условию функции также являются в области решениями д.у. (1), поэтому

 (8)

Система уравнений (7) и (8) относительно коэффициентов линейна и однородна; она допускает не равные нулю решения, и следовательно, определитель, этой системы тождественно равно нулю. Этот определитель есть якобиан от функций . Таким образом, в области

(9)

Отсюда в силу теоремы о якобианах следует, что между функциями существует функциональная зависимость, т.е существует функция от переменных такая, что при всех выполняется равенство

. (10)

Поскольку система первых интегралов (5) системы (2) независима в области, то в функциональном определителе, стоящем в левой части равенства (9) хотя бы один из миноров первой строки равен тождественно нулю. Действительно, если задать для системы (3) начальные данные: …,и, переменная принята за независимую, то в окрестности точки на основании теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши для системы (2) существуют независимые интегралы

,

причём

.

Отсюда на основании теоремы о неявных функциях следует, что равенство (10) однозначно разрешимо относительно функции

в окрестности точки . Теорема доказана. Задача Коши. Для д.у. (1) поставим задачу Коши: найти решение д.у. (1), удовлетворяющее условию

(11)

где заданное число, -заданная непрерывна дифференцируемая функция своих аргументов. Пусть функция определена в окрестности точки , причём точка области такая, что . Тогда для системы (2) существует система (5) независимых интегралов. Рассмотрим систему уравнений:

 (12)

где ,

независимые интегралы системы(2). Поскольку якобиан

,

то в окрестности точки система (12) может быть разрешена относительно ,,…,:

(13)

При этом если переменные принимают значения , то соответствующие функции принимают значения ,; функции имеют ту же гладкость, что и сами функции . Тогда функция

(14)

является решением задачи Коши, т.е. задачи (1) и (11). Действительно, выражение (14), являясь функцией от частных решений ,,…,, само является решением уравнения (1) и при в силу систем (12) и (13) удовлетворяет граничному условию (11).

В случае, когда искомая функция зависит от двух переменных и , т.е. когда имеем д.у.

(15)

Задача Коши состоит в том, чтобы найти решение д.у.(15), удовлетворяющее условию

, (16)

где -заданная непрерывная дифференцируемая функция одной переменной. Геометрически это означает, что среди всех интегральных поверхностей д.у. (15) надо найти интегральную поверхность , проходящую через заданную кривую (16) и лежащую на плоскости параллельной координатной плоскости .

Пример 1.Найти решение д.у в ч.п.

(a)

в области . Решение. Составим соответствующий д.у. (a) систему уравнений характеристик

.

Это система имеет следующие первые интегралы

, ,.

Тогда функции , , являются решениями д.у. (a) в области .

Пример 2. Найти общее решение д.у. в ч.п. . (a)

Решение. Составим соответствующую систему обыкновенных д.у.

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим общий интеграл . Тогда общее решение д.у. (a) задаётся формулой

,

где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция одной переменной.

Пример 3. Найти общее решение д.у. в ч.п.

в области .

Решение. В этом случае система уравнений характеристик имеет следующие независимые первые интегралы

, .

Тогда по теореме 3 общее решение д.у. задаётся формулой

,

где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция двух переменных.

Пример 4. Найти решение д.у. в ч.п.

удовлетворяющее условию

где -заданная непрерывная дифференцируемая функция.

Решение. Общее решение определяется формулой . Полагая здесь , получим .

Отсюда . Тогда решение задачи определяется формулой

.

Вместо задачи Коши для д.у. (1) можно рассмотреть более общую задачу: найти решение д.у. (1), содержащее функции

, , , (17)

где и - непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов . Это значит что должно выполняться тождество

.

Для д.у. (15) обобщённая задача Коши, т.е. задача (1) и (17) формулируется так - найти решение д.у. (15), содержащее заданную кривую

, , . (18)

При этом должно быть выполнено тождество

Геометрический обобщённая задача (15) и (18) означает, что требуется найти интегральную поверхность д.у. (15), проходящую через заданную кривую (18).

Чтобы найти решение задачи (15) и (18), найдём общий интеграл обыкновенного д.у.

. (19)

(20)

есть общий интеграл д.у. (19). Пусть кривая , не является кривой семейства (20), т.е. не является интегральной кривой д.у. (19). Эту кривую подставим в (20):

. (21)

Отсюда найдём как функцию от : . Теперь рассмотрим функцию

,

которая является решением задачи (15) и (18), т.к.

.

Пусть теперь кривая ,является интегральной кривой д.у. (19), т.е. . Поскольку любое решение д.у. (15) на интегральной кривой д.у.(19) принимает постоянное значение

(22)

то задача (15) и (18) имеет решение только тогда, когда . Поэтому решением задачи (15) и (18) будет любая функция , удовлетворяющая условию (24), где задаётся произвольно. Следовательно, в случае, когда кривая ,является интегральной кривой д.у. (19), задача (15) и (18) имеет бесконечное множество решений.

Пример 5. Найти решение д.у. в ч.п. ,

содержащее кривую:

a) , , , ;

b) , , , ;

c) , , , .

Решение. Составим уравнение характеристик

.

Разделяя переменные и интегрирую, найдём общий интеграл:

.

a) Составим равенство (21): . Отсюда . Тогда соответствующее решение задачи Коши имеет вид

b) В этом случае кривая , является интегральной кривой уравнения характеристик. В силу условия (22) задача Коши в этом случае не имеет решения, т.к. не является постоянной.

c) В этом случае кривая , является интегральной кривой уравнения характеристик. Здесь условие (22) выполнено, поэтому задача Коши имеет решение в виде функции , где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

3. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.

Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных.

Рассмотрим д.у. в ч.п.

, (1*)

где - заданные в области пространства переменных , и непрерывно дифференцируемые функции от своих аргументов, причём в области .

Линейное однородное д.у. в ч.п., которое мы рассматривали, является частным случаем д.у. (1*), т.к. в случае линейное однородное д.у. в ч.п. правая часть и коэффициенты при производных не зависят от искомой функции . Решение д.у. (1*) сводится к решению линейного однородного д.у. вида (1). Для этого решение д.у. (1*) будем искать в неявном виде на основании равенства

(2)

относительно неизвестной функции . Из равенства (2) найдём частные производные

и подставим в исходное уравнение (1*). Тогда получим линейное однородное уравнение относительно :

. (3)

Теорема 4. Пусть уравнение (2), где функция является решением д.у. в ч.п. (3) и , определяет в области переменных дифференцируемую функцию . Тогда функция является в области решением д.у. (1*).

Доказательство. Поскольку является решением д.у. (3), то она имеет непрерывные частные производные по переменным . По условию теоремы . Тогда по теореме о неявной функции существуют непрерывные частные производные , и при подстановке в д.у (1*) на основании д.у. (3) получим тождество.

Построим решение д.у. (1*). Выпишем систему обыкновенных д.у., соответствующую линейному однородному д.у. (3):

, (4)

Которая называется системой уравнений характеристик, а её интегральные кривые - характеристиками д.у. (1*). В силу условий, наложенных на коэффициенты системы (4), она имеет независимых первых интегралов:



Тогда общее решение д.у. (3) имеет вид

где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция, и полагая здесь , получим уравнение

(5)

для нахождения искомой функции . Равенство (5) определяет общий интеграл ( общее решение) д.у. (1*).

В отличии от линейного однородного д.у. (1) характеристики квазилинейного д.у. (1*) лежат не в пространстве переменных , а в пространстве переменных , поэтому геометрический смысл характеристик заключается в следующем утверждении. Теорема 5. Любая интегральная поверхность - произвольная интегральная поверхность д.у. (1*) состоит из его характеристик, т.е. через каждую точку этой поверхности проходит характеристика д.у. (1*), целиком лежащая на ней. Доказательство. Пусть - произвольная интегральная поверхность д.у. (1*). Рассмотрим систему обыкновенных д.у.

(6)

которая определяет семейство интегральных кривых в пространстве переменных . Пусть - любая интегральная кривая из данного семейства кривых. В пространстве переменных построим кривую которая по построению лежит на интегральной поверхности . Докажем, что кривая является характеристикой д.у. (1*), т.е. является интегральной кривой системы (4). Для этого достаточно в силу системы (6) проверить справедливость равенства . В самом деле, поскольку является решением д.у. (1*), то имеем

Пример 6. Найти решение д.у. в ч.п.

Решение. Составим систему уравнений характеристик :

Отсюда найдём два независимых интеграла

Тогда все решения исходного уравнения задаются формулой (5):

где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Разрешая последнее равенство относительно второго аргумента, найдём решение данного д.у.

где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Пример 7. Найти решение д.у. в ч.п.

,

удовлетворяющее условию

.

Решение. Составим систему уравнений характеристик :

Интегрируя данную систему, найдём независимые первые интегралы

.

Тогда решение д.у. в ч.п. задаётся формулой (5):

Разрешив полученное равенство относительно второго аргумента функции , найдём решение д.у. в ч.п.:

где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция одной переменной. Удовлетворяя полученную функцию условию , получим решение поставленной задачи

Пример 8. Одномерная среда состоит из частиц, движущихся по прямой по инерции, так что скорость частицы остаётся постоянной. Найти скорость частицы в точке в момент времени , если .

Решение. Пусть - уравнение движения частицы, тогда

По условию ускорение частицы равно нулю, поэтому

.

Таким образом, поле скоростей удовлетворяет квазилинейному уравнению. Учитывая начальное условие, приходим к задаче Коши:

.

Уравнения характеристик имеют вид:

Общее решение данного уравнения будет: ,

Разрешив его относительно второго аргумента, получим где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Из начального условия найдём решение задачи в неявном виде

. (*)

Это равенство представляет собой нелинейное чисто функциональное уравнение относительно . Его разрешимость на основании теоремы о неявных функциях зависит от условия



При условие всегда выполнено, поэтому функциональное уравнение (*) однозначно разрешимо относительно функции . Следовательно при задача имеет единственное решение, а при возможны разрывы, то есть задач (Коши) не будет иметь гладкого решения.

Вывод уравнения колебаний струны. Постановка основных начально-граничных задач. Рассмотрим натянутую вдоль оси Ох струну длины , закрепленную на концах. Пусть к концам струны приложены вдоль оси Ох силы натяжения , равные по величине, но противоположные по направлению. Под струной понимается тонкая, упругая, гибкая нить. Тонкая - это значит, мы отвлекаемся от двух физических измерений струны, которые считаются бесконечно малыми по сравнению с длиной струны. Гибкая - это значит, что струна не оказывает никакого сопротивления изменению ее формы, не связанному с изменением ее длины. Математически это будет означать, что силы натяжения Т(х), возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю. Если теперь выведем струну из положения равновесия и подвергнем действию внешней силы, то струна начнет колебаться, при этом точка струны, занимавшая при равновесии положение N(x) к моменту времени t займет положение М (см. рис. 1). Для вывода уравнения колебаний струны сделаем ряд предположений относительно рассматриваемых колебаний:

колебания являются поперечными, т.е. все точки струны движутся перпендикулярно оси Ох только в одной плоскости;

колебания малы;

пренебрегаем действием силы тяжести.



Поскольку струна колеблется в одной плоскости, то закон ее колебаний, т.е. смещение NM задается одной функцией двух переменных и = и(х, t) где и -отклонение NM точки N с абсциссой х от положения равновесия до точки М в момент времени t. Если колебания малы, то это значит, что функция и(х, t) мала и при достаточной гладкости струны их (х, f) - тангенс угла наклона касательной к струне в точке х в момент времени t тоже мал.

Предположим, что колебания настолько малы, что можно пренебречь квадратом их (х, t), т.е.

.

Отсюда следует, что длина струны при малых колебаниях остается неизменной. В самом деле, длина дуги МК в момент времени t определяется по формуле

.

Поскольку не происходит удлинения участков струны в процессе малых колебаний, то по закону Гука величина натяжения Т не зависит ни от времени, ни от х и во всех точках одно и тоже, и равно .

Перейдем к выводу уравнения колебаний струны. Для этого выделим малый участок струны МК и спроектируем все действующие силы на этот участок на оси координат. Согласно принципу Даламбера, сумма проекций всех сил, включающая силы инерции в момент времени t , должна равняться нулю.

Сумма проекций сил натяжений на горизонтальную ось равна

так как

.

Сила тяжести струны не учитывается, так как полагается, что сила натяжения настолько значительна, что можно пренебречь действием силы тяжести.

Рассмотрим проекцию сил натяжения на вертикальную ось:

Отсюда на основании теоремы Лагранжа, имеем

.

Поскольку рассматриваем поперечные вынужденные колебания, то силы инерции и внешние силы направлены параллельно оси Ои. Найдем их проекции на ось Ои. Пусть р(х, t) - непрерывная внешняя сила, рассчитанная на единицу длины. Тогда ее проекция на ось Ои приближенно равна

.

Пусть - непрерывная линейная плотность струны, тогда масса участка струны МК приближенно равна

.

Сила инерции по закону Ньютона определяется

.

Тогда проекция всех сил на ось Ои равна

.

Сократив на последнее равенство и перейдя к пределу при , получим уравнение вынужденных колебаний струны

. (1)

Если струна однородная, то и уравнение (1) запишется в виде

, (2)

где , .

Если отсутствуют внешние силы, т.е. , то уравнение (2) примет вид

(3)

Уравнение (3) называют уравнением свободных колебаний однородной струны. Продольные колебания стержня, а также колебания газа в трубке сводятся к уравнению вида (1). Постановка основных начально-граничных задач

Уравнение в частных производных (1) при определенных условиях относительно коэффициентов в правой части имеет бесчисленное множество частных решений. Поэтому одного уравнения (1) не достаточно для полного определения движения струны. Нужны еще дополнительные условия, вытекающие из физического смысла задачи. Из динамики известно, что для определения движения точки нужно знать её начальное положение и начальную скорость. Поэтому для определения движения струны естественно задать в начальный момент времени t = 0 положение и скорость всех точек струны, т.е.

. (4)

Условия (4) называются начальными условиями или условиями Коши.

Струна может быть закрепленной или не закрепленной на концах. Для закрепленной на концах струны имеем

. (5)

где - длина струны.

Условия (5) называются граничными или краевыми условиями.

Таким образом, физическая задача об определении движения струны, закреплённой на концах, свелась к следующей математической задаче: найти решение д.у. (1) удовлетворяющее начальным условиям (4) и граничным условиям (5). Такая задача называется первой начально-граничной задачей для д.у. в ч.п. гиперболического типа, в частности, для уравнения струны.

Если концы струны не закреплены, а движутся по определённому закону, то условия (5) заменяются условиями:

,

где и - заданные достаточно гладкие функции.

Граничные условия различают трёх видов.

1. Граничные условия первого рода

. (6)

Условия (6) означают, что концы струны движутся вертикально оси по закону заданных функций и .

2. Граничные условия второго рода

. (7)

Условия (6) означают, что к концам струны приложены известные силы и .

3. Граничные условия третьего рода

(8)

где - заданные на достаточно гладкие функции, причём и . Условие (8) означает упругое закрепление концов струны.

Если функции, задаваемые в правой части граничных условий (6)- (8), равны нулю, то граничные условия называются однородными.

Рассмотрим задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплён в точке подвеса, а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан. Если в точке подвеса , отклонение , а на свободном конце натяжение пружины равно нулю:

.

Поскольку действие внешних сил отсутствует, то математическая формулировка условия свободного конца имеет вид:

.

Если конец пружины движется по определённому закону , а при задана сила , то граничные условия имеют вид:

.

Типичным также является условие упругого закрепления, например, для конца

или ,

где , при котором конец может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в начальное положение. По закону Гука данная сила пропорциональна смещению u(l,t), при этом коэффициент пропорциональности называется коэффициентом жесткости закрепления.

Если точка , относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается и ее отклонение от начального положения задается функцией ,то граничное условие имеет вид

. (9)

Условие упругого закрепления на левом конце имеет вид

,

так как сила натяжения .

Отметим, что в случае жесткого закрепления ( велико), т.е. когда даже небольшие сдвиги конца вызывают большие натяжения, граничное условие (9) переходит в граничное условие первого рода .

В случае мягкого закрепления ( мало), т.е. когда большие сдвиги конца вызывают слабое натяжение, граничное условие (9) переходит в условие второго рода (условие свободного конца) .

Если на обоих концах струны берутся граничные условия 2 -го или 3-го рода, т.е. условия (7) или (8), то соответствующие задачи называются второй или третьей начально-граничными задачами для д.у. в ч.п. гиперболического типа, в частности, для уравнения струны.

Если граничные условия при и имеют различные типы, то такие начально-граничные задачи называют смешанными.

Вывод уравнения теплопроводности.

Постановка основных начально-граничных задач

Рассмотрим твердое тело, температура которого в каждой точке (х, у, z) определяется функцией в момент времени t. Если различные части тела находятся при различной температуре, то в теле будут происходить движение тепла от более нагретых частей к менее нагретым частям тела. Вывод уравнения распространения тепла базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла , проходящее за время через малую площадку , находящуюся внутри рассматриваемого тела, определяется формулой

, (1)

где k - коэффициент теплопроводности, - производная по нормали N к площадке и она определяется формулой

,

т.е. производная по нормали представляет собой скалярное произведение двух векторов:

где i,j,k- направляющие единичные векторы соответственно осей координат - углы между нормалью N с осями координат.

В формуле (1) знак " -" означает, что тепло переходит от более нагретых точек к менее нагретым. В дальнейшем предположим, что тело изотропно, это означает, что коэффициент теплопроводности k зависит только от x,y,z и не зависит от и . Если тело анизотропно, то

.

Для вывода уравнения распределения тепла в изотропном теле выделим внутри тела достаточно малый параллелепипед

.



Составим для параллелепипедатепловой баланс. Через площадку по закону (1) входит за время количество тепла:

.

Через площадку выходит следующее количество тепла

.

Тогда остающееся количество тепла в теле вдоль оси равно

,

.

Тогда общее количество теплоты, притекающее в тело за промежуток времени , равняется

Предположим, что внутри рассматриваемого тела имеются источники тепла. Пусть - непрерывная плотность тепла в единицу времени в единице объема тела. Тогда количество тепла , образующееся в теле за счет внешних источников тепла за время , равно

. (3)

С другой стороны для изменения температуры тела на за промежуток времени нужно затратить количество тепла

где - плотность тела, - теплоемкость тела, которые будем считать непрерывными функциями. На основании теоремы Лагранжа имеем

. (4)

Составим уравнение баланса выделенного тепла для тела . Тогда с учетом выражений (2) - (4) получим

Сократив полученное равенство на и переходя к пределу при , будем иметь

(5)

где дивергенция вектор - функции

определяется формулой

.

Уравнение (5) называется уравнением теплопроводности неоднородного изотропного тела.

Если тело однородное, то

,

где

называется оператором Лапласа. Тогда уравнение (5) примет вид

, (6)

где .

Если в рассматриваемом однородном теле нет внешних источников тепла, т.е. , то получим однородное уравнение теплопроводности

.

В частности, когда температура зависит только от координат что, например, имеет место при распределении тепла в тонкой однородной пластинке, то уравнение (5) переходит в следующее уравнение

.

Для тела линейного размера, например, для однородного стержня уравнение теплопроводности имеет вид

.

Постановка основных начально-граничных задач

Чтобы найти температуру внутри тела в любой момент времени недостаточно одного дифференциального уравнения в частных производных (5). Необходимо, как это следует из физической постановки задачи, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе рассматриваемого твердого тела (граничное условие).

Граничные условия могут быть заданы по-разному:

1. В каждой точке поверхности тела задается температура

,

где и - заданная функция.

2. На поверхности задается тепловой поток, т.е. количество тепла, проходящего через единицу площади поверхности за единицу времени. Тогда из закона Фурье (1) будем иметь

.

Откуда

, (7)

и - заданная функция. 3. На поверхности твердого тела происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой известна. Закон теплообмена достаточно сложен и в более упрощенной ситуации он может быть задан в виде эмпирического закона Ньютона. Согласно этому закону, количество тепла, передаваемое в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды:

,

где - коэффициент теплообмена, который зависит от разности температур , свойств поверхности и окружающей среды.

По закону сохранения энергии это количество тепла должно быть равно количеству тепла, которое определяется на основании закона Фурье равенством:

.

Тогда приходим к следующему граничному условию на :

или, положив ,

на .

, (8)

где , - заданные функции.

Таким образом, задача о распространении тепла в изотропном твердом теле ставится следующим образом: найти в цилиндре

решение д.у. (5), удовлетворяющее начальному условию

(9)

и одному из граничных условий (6), (7), (8).

Математические задачи (5), (6) и (9); (5), (7) и (9); (5), (8) и (9) называются основными начально-граничными задачами для д.у. параболического типа, в частности, для уравнения теплопроводности, при этом задача (5), (6) и (9) называется первой, задача (5), (7) и (9) - второй, задача (5), (8) и (9) - третьей начально-граничными задачами для д.у. параболического типа.

Задачи, приводящиеся к уравнению Пуассона и Лапласа.

Постановка основных граничных задач. Выше было показано, что уравнение распространения тепла в изотропном однородном теле имеет вид:

(1)

Допустим теперь, что температура u(x,y,z,t) в каждой точке (x,y,z) установилась, т.е. она не меняется с течением времени t. Тогда u(x,y,z,t) = u(x,y,z) и и д.у. (1) принимает вид:

. (2)

Д.у. (2) называется уравнением Пуассона. При отсутствии внешних источников тепла внутри тела, д.у. (2) переходит в уравнение Лапласа

. (3)

Таким образом, уравнению Пуассона удовлетворяет установившаяся в однородном теле температура. Для определения функции u(x,y,z) теперь уже не нужно задавать начальное распределение температуры, а достаточно задать одно граничное условие, не зависящее от времени.

Постановка основных граничных задач

1. Задача Дирихле или первая граничная задача. Задача определения решения д.у. (2) в области D по его значениям на границе S области D называется задачей Дирихле или первой граничной задачей, т.е. найти решение u(x,y,z) уравнения (2) в области D , удовлетворяющее граничному условию

,

где - заданная функция.

2. Задача Неймана или вторая граничная задача. Найти в области D решение уравнения (2), удовлетворяющее граничному условию

,

где -заданная на границе S функция.

3. Задача Пуанкаре или третья граничная задача. Найти в области D решение уравнения (2), удовлетворяющее граничному условию

,

где функции и - заданные функции.

Если в указанных задачах решение ищется в области D внутренней (или внешней) по отношению к поверхности S , то соответствующую задачу называют внутренней (или внешней) граничной задачей.

Не только установившиеся тепловые процессы в однородном твердом теле описываются уравнениями (2) и (3), но и другие стационарные физические задачи сводятся к этим уравнениям. В качестве второго примера рассмотрим потенциальное течение жидкости без источников. Пусть внутри тела D с поверхностью S имеет место стационарное течение несжимаемой жидкости (плотность) с заданной скоростью . Если течение жидкости не вихревое, то, векторное поле скоростей является потенциальным, т.е. градиентом некоторого скалярного поля :

, (4)

где называется потенциалом скорости.

в D. (5)

Теперь, подставляя (4) в тождество (5), получим

в D .

Отсюда следует, что потенциал скорости несжимаемой и невихревой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа. Пусть в однородной электропроводящей среде D имеется стационарный ток с объемной плотностью j(x, у, z). Если в среде D нет источников тока, то

 в (6)

Электрическое поле Е определяется через плотность тока по закону Ома

где - проводимость среды. Поскольку процесс протекания тока в среде D является стационарным, то электрическое поле является потенциальным или безвихревым, т.е. существует скалярное поле , заданное в области D, такое, что

. (7)

Аналогично на основании (6) и (7) следует, что

,

т.е. потенциал электрического поля стационарного тока удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, где отсутствуют источники тока.

Потенциал поля тяготения также удовлетворяет уравнению Лапласа в точках, где отсутствуют массы.

2. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

Типы линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

Рассмотри линейное д.у. в ч.п. второго порядка от независимых переменных

(1)

где Коэффициенты и - заданные в области достаточно гладкие функции. В точках , где все коэффициенты , где , уравнение (1) вырождается в уравнение первого порядка. Далее будем предполагать, что всюду в области порядок уравнения равен, т.е коэффициенты одновременно в области в нуль не обращаются, причём .

Пусть - произвольная, но фиксированная точка области . Составим квадратичную форму от переменных соответствующую уравнению (1):

(2)

Квадратичную форму (2) при помощи неособого линейного преобразования переменных приводится к каноническому виду:

 (3)

Определение 1. Когда все или , т.е. когда форма (2) соответственно положительно или отрицательно определена, то д.у. (1) называют эллиптическим в точке .

Если один из коэффициентов отрицателен, а все остальные положительны (или наоборот), то д.у. (1) называют гиперболического типа в точке .

В силу, когда коэффициентов положительны, а остальные отрицательны, то д.у. (1) в точке называют ультрагиперболическим.

Если хотя бы один из коэффициентов то д.у. в точке называют параболическим. При этом, если остальные коэффициенты одного знака, то д.у. (1) в точке называют параболо - эллиптическим; если же остальные коэффициенты имеют разные знаки, то д.у. (1) в точке называют параболо - гиперболическим.

Говорят, что в области своего задания уравнение (1) является уравнением эллиптического, гиперболического и параболического типа, если оно соответственно эллиптично, гиперболично и параболично в каждой точке области . Если в различных частях области уравнение (1) принадлежит различным типам, то говорят, что уравнение (1) является уравнением смешанного типа в данной области . Пример 1. Рассмотрим - мерное уравнение Лапласа

(4)

которое определено во всём пространстве .

Составим соответствующую квадратичную форму

т.к. и по этому . Следовательно, уравнение (4) является эллиптическим во всём пространстве .

Пример 2. Рассмотрим - мерное волновое уравнение

(5)

которое определено в пространстве

Составим соответствующую квадратичную форму

После замены квадратичная форма примет вид

Здесь один коэффициент положительный, все остальные коэффициенты отрицательные. Следовательно, уравнение (5) является уравнением гиперболического типа во всём пространстве .

Пример 3. Рассмотрим - мерное уравнение теплопроводности, заданное в

. (6)

Составим соответствующую квадратичную форму

Таким образом, уравнение (6) является уравнением параболического типа во всём пространстве .

Используя критерий Сильвестра о положительной определённости квадратичной формы можно, не приводя квадратичную форму (2) к каноническому виду (3), утверждать, что для эллиптичности д.у. (1) необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры симметричной матрицы

(*)

были положительны.

В случае уравнения второго порядка от двух переменных и , уравнение (1) примет вид

 (7)

Соответствующая квадратичная форма равна

(8)

Если , то квадратичную форму (8) можно представить в виде

(9)

Поэтому квадратичная форма (8) положительна или отрицательно определена в точке если . В самом деле, полагая в (9)

Получим

Следовательно, если , то д.у. (7) в точке принадлежит эллиптическому типу.

Пусть . Тогда после замены



квадратичная форма (9) принимает вид

т.е. один из коэффициентов формы положителен, а другой отрицателен. Таким образом, в точке д.у. (7) принадлежит гиперболическому типу.

Пусть . Тогда заменой

квадратичная форма (9) принимает вид

Один из двух коэффициентов формы равен нулю, а другой отличен от нуля. Значит д.у (7) в точке является уравнением параболического типа.

Определение 2. Если в точке :

1. , то в этой точке д.у. (7) называется уравнением эллиптического типа;

2. , то в этой точке д.у. (7) называется уравнением параболического типа;

3. , то в этой точке д.у. (7) называется уравнением гиперболического типа.

Пример 4. тип д.у. в ч.п.

a) ,

b) ,

c)

d)

Решение. В примерах a) - c) коэффициенты д.у. в ч.п. при производных второго порядка постоянные, поэтому тип этих уравнений определяется во всём пространстве.

a) Составим соответствующую данному уравнению квадратичную форму

(10)

И методом выделения полных квадратов приведём её к каноническому виду

Полагая здесь

получим



следовательно, д.у. a) в является уравнением эллиптического типа. В этом случае можно было воспользоваться критерием Сильвестра о положительной определённости квадратичных форм. Для этого для данного д.у. составим аналог матрицы (*) и вычислим все главные диагональные миноры

Поскольку все определители положительны, то в силу теоремы Сильвестра форма (10) положительно определена, поэтому данное д.у. является эллиптическим во всём пространстве.

b) В этом случае форма имеет вид

где

Отсюда видим, что данное д.у. является гиперболическим во всём пространстве.

c) Составим соответствующую данному уравнению квадратичную форму и приведём её к каноническому виду



где .

Один из коэффициентов канонической формы равен нулю, а остальные отличны от нуля. Следовательно, данное д.у. является параболическим в .

d) Для данного уравнения поэтому . Следовательно, при уравнение принадлежит эллиптическому типу, при оно является уравнением гиперболического типа, а при становится уравнением параболического типа. Таким образом, данное уравнение на плоскости является уравнением смешанного типа.

3. Приведение к каноническому виду дифференциального уравнения второго порядка от двух независимых переменных

Понятие характеристики.

Рассмотрим д.у. в ч.п. второго порядка, линейное относительно старших производных

, (1)

в области , где - заданные дважды непрерывно дифференцируемые в функции, - заданная функция от своих аргументов.

Будем предполагать, что коэффициенты не обращаются одновременно в нуль в области , т.е. при любом



Введём вместо переменных новые переменные :

(2)

где и - дважды непрерывно дифференцируемые функции в области , причём якобиан отличен от нуля в области :

(3)

Тогда систему (2) можно однозначно разрешить относительно и в некоторой области точек . При этом полученные функции , будут также дважды непрерывно дифференцируемыми функциями от и . Далее будем считать, что функция . Вычислим производные функции по новым переменным и . На основании теоремы о дифференцировании сложной функции имеем:

Таким образом, производные функции выражаются через производные от новых переменных и по следующим формулам:

(4)

Подставляя значения производных из формулы (4) в уравнения (1), получим

(5)

(6)

(7)

Из равенства (7) видно, что преобразование (2) и (3) независимых переменных не меняет типа уравнения (1). Выберем переменные и , так чтобы уравнение (1) в этих переменных имело наиболее простую форму. Для этого попытаемся выбрать функции и , так чтобы обратить в нуль некоторые из коэффициентов . Вопрос об обращении в нуль коэффициентов эквивалентен разрешимости д.у. в ч.п. первого порядка

 (8)

Лемма. Пусть функция и в области (или в области ). Функция является частным решением уравнения (8), тогда и только тогда, когда равенство , где , представляет собой общий интеграл обыкновенного д.у.

(9)

Доказательство. 1. Пусть функция в является частным решением уравнения (8). Равенство является общим интегралом уравнения (9), если переменная , определённая из неявного соотношения , удовлетворяет д.у. (9). По условию функция непрерывна вместе со своими частными производными и в рассматриваемой области , причём в области . Тогда по теореме о неявной функции равенство определяет как функцию, зависящую от и . Пусть . Тогда на основании той же теоремы производная функции определяется следующим образом

(10)

Выражение (10) подставим в уравнение (9):



Так как при всех справедливо равенство

2. Пусть равенство есть общий интеграл д.у. (9) в области . Требуется доказать, что при всех

.

Пусть произвольная точка области . Через данную точку будет проходить какая-нибудь интегральная кривая д.у. (9). Выделим эту интегральную кривую, полагая . Тогда уравнением этой кривой является выражение или . При этом . Для всех точек данной интегральной кривой выполняется равенство:

при всех . Положив здесь , будем иметь



Доказали, что в точке функция удовлетворяет уравнению (8). Т.к. точка произвольна, то, следовательно, функция является решением уравнения (8) в области . Обыкновенное д.у. (9) называется характеристическим уравнением для уравнения (1) , а его решение - характеристиками уравнения (1). Рассмотрим три случая в зависимости от типа уравнения (1). Первый случай. Пусть в области . Тогда в этой области уравнение (1) является уравнением гиперболического типа. Рассмотрим произвольную точку , в окрестности которой уравнение (1) будем приводить к каноническому виду. В этой точке или , в противном случае уравнение (1) уже имеет канонический вид. Пусть . Поскольку , тогда уравнение (9) распадается на совокупность двух д.у. первого порядка

(11)

(12)

Поскольку правые части обыкновенных д.у. (11) и (12) имеют по условию непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно и в окрестности точки , то из теоремы существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенных д.у. 1-го порядка следует существование общих интегралов:

, (13)

Уравнений (11) и (12) и их левые части имеют непрерывные частные производные до второго порядка в окрестности точки .

Для уравнений гиперболического типа общие интегралы (13) вещественны и различны. Значит, уравнения гиперболического типа имеют два различных семейства вещественных характеристик.

В преобразовании (2) положим, что

где функции и в силу леммы являются соответственно непрерывно дифференцируемыми решениями уравнения(8). Тогда в силу равенства (6) в уравнении (5) Коэффициент в окрестности точки , т.к. в противном случае либо , либо . Разделив на коэффициент уравнение (5), получим

(14)

Уравнение (14) есть канонический вид уравнений гиперболического типа (1).

При уравнение (1) уже имеет канонический вид (14).

Если уравнение (1) является линейным относительно производных первого порядка и самой функции , то преобразованное уравнение так же будет линейным

Второй случай. Пусть в области . Тогда в этой области уравнение (1) является уравнением параболического типа. Т.к. по предположению коэффициенты и уравнения (1) не обращаются одновременно в нуль, то в силу условия следует, что в каждой точке области один из коэффициентов и отличен от нуля. Не нарушая общности можно считать, что в точке , в окрестности которой будем приводить уравнение (1) к каноническому виду. В этом случае оба уравнения (11) и (12) совпадают и обращаются в уравнение

Для уравнения параболического типа имеется только одно семейство вещественных характеристик . В преобразовании (2) положим , где и есть решение уравнения (8). Возьмём за функцию любую дважды непрерывно дифференцируемую функцию так, чтобы якобиан в окрестности точки был отличен от нуля: . В уравнении (5) коэффициент , т.к. является решением д.у. (8). Тогда из равенства (7) следует, что коэффициент при частной производной также равен нулю, т.е. . Коэффициент в . Если в некоторой точке , то из (6) с учётом , найдём (для определённости и )

Поскольку определитель системы (*)

то система (*) имеет только нулевое решение . Тогда , что противоречит условию в . Разделив на уравнение (5), получим

(15)

Выражение (15) является каноническим видом уравнений параболического типа.

Третий случай. Пусть в области . Тогда в этой области уравнение (1) является уравнением эллиптического типа. Будем считать, что коэффициенты и уравнения (1) являются аналитическими функциями в области . Тогда правые части уравнения (11) и (12) также являются аналитическими функциями от переменных и . Уравнение (11) ( по теореме Коши - Ковалевской) имеет аналитическое решение

в малой окрестности точки такой, что и в .

В преобразовании (2) положим и , причём они удовлетворяют условию

в .

Действительно, допустим что в некоторой точке

Тогда будем иметь

или . (16)

Поскольку функция является аналитической в области , то для неё справедливы условия Коши-Римана:

Отсюда

что противоречит равенству (16). Полученное противоречие доказывает, что якобиан в .

Итак, имеем и подставляя данное равенство в д.у. (8), получим тождество:



Разделив здесь вещественную и мнимую части тождества, будем иметь:

Из последних равенств следует, что и , причём , в противном случае получим противоречие с равенством (7).

Разделив уравнение (5) на коэффициент , получим:

(17)

Выражение (17) является каноническим видом уравнений эллиптического типа.

При и уравнение (1) уже имеет канонический вид (17).

Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение

(18)

Решение. Вычислим при любом . Значит уравнение (18) является уравнением гиперболического типа на плоскости . Согласно теории составляем уравнение характеристик (9):

,

отсюда в силу уравнений (11) и (12) найдём:

Интегрируя последние уравнения, имеем

Введём новые переменные и по формулам:

(19)

Вычислим производные по формулам (4) и подставим в уравнение (18):

Отсюда вычислив выражения в квадратных скобках, получим

(20)

Интегрируя, получим:

 (21)

где и - произвольные, один раз непрерывно дифференцируемые на числовой прямой функции. Возвращаясь в формуле (21) к старым переменным по равенствам (19), найдём общее решение данного д.у. (18)

...