,

где и - произвольные функции из класса функций .

Пример 2. Привести д.у. Трикоми

(22)

к каноническому виду.

Решение. В случае уравнения Трикоми и

.

В зависимости от знака дискриминант меняет знак и поэтому уравнение Трикоми на плоскости является уравнением смешанного типа. Пусть . Тогда и уравнение (22) имеет уже канонический вид:. Пусть . Тогда . Составим соответствующее уравнение характеристик (9):

Отсюда в силу уравнений (11) и (12) имеем

Интегрируя эти уравнения, получим

Введём новые переменные и по формулам:

(23)

Вычислим производные и по формулам (4) и, умножив их на соответствующие коэффициенты уравнения (22), сложим

Отсюда, выражая из (23) соотношение , получим

.

Пусть теперь . В этом случае и интегрируя уравнение характеристик

,

получим

.

Полагая

вычислим производные и :

Подставляя эти производные в уравнение (22), окончательно имеем

4. Уравнения гиперболического типа

Первая начально-граничная задача для уравнения колебаний струны.

1. Постановка задачи. Единственность решения.

Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний однородной струны

 (1)

в прямоугольнике

где - длина струны, - положительное действительное число, - плотность струны, Т0 - сила натяжения струны, p(x,t) -внешняя сила, действующая на струну.

Первая начально-граничная задача. Найти в замкнутой области функцию u(x,t) со следующими свойствами:

1) функция u(x,t) дважды непрерывно дифференцируема на и при всех удовлетворяет уравнению (1), т.е.

(2)

при ; (3)

2) u(x,t) удовлетворяет начальным условиям:

(4)

3) u(x,t) удовлетворяет граничным условиям:

(5)

где - заданные достаточно гладкие функции.

Теорема 1 (Единственность решения). Если существует решение задачи (2)-(5), то оно единственно.

2. Существование решения.

Построение решения задачи (2) - (5) проведем в три этапа. На первом этапе рассмотрим случай, когда концы струны жестко закреплены и колебания являются свободными, т.е. и . На втором этапе построим решение задачи для вынужденных колебаний однородной струны, закрепленной на концах. На третьем этапе покажем построение решения самой задачи (2)-(5).

2.1. Свободные колебания струны, закрепленной на концах

В этом пункте будем искать решение u(x,t) уравнения

(6)

в классе функций , удовлетворяющих начальным условиям (4) и однородным граничным условием:

(7)

Для построения решения задачи (6), (7) и (4) применим метод разделения переменных, основанный на теории рядов Фурье. Частные решения уравнения (6), не равные нулю в области G, будем искать в виде произведения

(8)

удовлетворяющие нулевым граничным условиям (7). Подставляя выражение (8) в уравнение (6) и разделяя переменные, получим

 (9)

Левая часть равенства (9) зависит только от t, а правая часть -- только от х, поэтому равенство (9) возможно тогда и только тогда, когда правая и левая части представляют одну и ту же постоянную . Тогда из (9) получим два обыкновенных д.у. 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

(10)

(11)

Поскольку при , то из (8) и (7) следует, что

(12)

Таким образом, для нахождения функции Х(х) приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра , при которых существуют ненулевые решения Х(х) д.у. (11), удовлетворяющие однородным граничным условиям (12). Такую задачу называют спектральной или задачей Штурма - Лиувилля. Те значения, при которых существуют ненулевые решения задачи (11) и (12), называются собственными числами (значениями), а соответствующие им решения - собственными функциями спектральной задачи (11) и (12). Множество собственных значений задачи (11) и (12) называют ее спектром.

Далее найдем собственные значения и соответствующие собственные функции задачи (11) и (12). Рассмотрим отдельно три случая: .

1. Пусть . Общее решение уравнения (11) определяется по формуле

,

где и - произвольные постоянные. Удовлетворяя общее решение граничным условиям (12), получим однородную систему относительно и :

Поскольку определитель данной системы отличен от нуля, то она имеет единственное нулевое решение . Тогда имеем , что нам не годится.

2. При общее решение уравнения (11) имеет вид:

и на основании граничных условий (12), получим:

Отсюда и снова .

3. Пусть . Тогда общее решение уравнения (11) находится по формуле

Данное решение, удовлетворяя граничным условиям (12), имеет вид



Из первого уравнения следует, а из второго . Постоянная , так как в противном случае , поэтому , то есть . Таким образом, нетривиальные решения задачи (11) и (12) существуют лишь при значениях

которые являются собственными значениями задачи. Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

определяемые с точностью до постоянного множителя.

При общее решение уравнения (10) определяется по формуле

где и - произвольные постоянные. Тогда функции

по построению удовлетворяют в области G уравнению (6) и однородным граничным условиям (7) при любых ak и bk. В силу линейности и однородности уравнения (6) любая конечная сумма решений uk(x,t) также будет решением уравнения (6). Тоже самое справедливое для суммы ряда:

(13)

если ряд (13) сходится равномерно на замкнутой области и там его можно дважды почленно дифференцировать по х и t. Поскольку каждое слагаемое ряда (13) удовлетворяет нулевым граничным условиям (7), то этим условиям удовлетворяет и сумма ряда u(x,t). Остается определить постоянные ak и bk так, чтобы удовлетворялись и начальные условия (4).

Продифференцируем ряд (13) по t:

(14)

Полагая в рядах (13) и (14) t = 0 и с учетом начальных условий (4), получим

(15)

Из теории рядов Фурье известно, что ряды (15) представляют собой разложение заданных функций и в ряд Фурье по синусам на отрезке . Коэффициенты ak и bk рядов (15) определяются по формулам:

 (16)

(17)

Таким образом, решение задачи (6), (7) и (4) определяются рядом (13), где коэффициенты ak и bk находятся по формулам (16) и (17).

Теорема 2. Если функция на сегменте трижды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям

(18)

а функция на дважды непрерывно дифференцируема и

(19)

то функция u(x,t), определяемая рядом (13), имеет непрерывные производные 2-го порядка на и там удовлетворяет уравнению (6), граничным условиям (7) и начальным условиям (4).

2.2. Обобщенное решение

Если начальные функции и не удовлетворяют условиям теоремы 2, то может не существовать дважды непрерывно дифференцируемого решения первой начально-граничной задачи (6), (7), (4). Однако если непрерывно дифференцируема на и , а функция непрерывна на , то ряд (13) равномерно сходится в замкнутой области и определяет непрерывную функцию.

Физически ясно, что при этих начальных условиях струна будет совершать колебания, хотя математического решения задачи может не существовать. Следовательно, должно существовать какое-то «обобщенное решение» задачи, соответствующее реальному физическому колебанию струны.

Определение 1. Дважды непрерывно дифференцируемое на решение первой начально-граничной задачи (6), (7), (4) назовем классическим или регулярным решением этой задачи.

Определение 2. Функцию u(x,t) будем называть обобщенным решением первой начально-граничной задачи (6), (7), (4), если существует последовательность регулярных решений задачи (6), (7), (4) с начальными данными:, равномерно сходящаяся к функции u(x,t) на , где функции удовлетворяют условиям теоремы 2 и сходятся равномерно на соответственно к функциям и .

Теорема 2*. Если , то существует единственное обобщенное решение u(x,t) задачи (6), (7), (4), которое определяется суммой ряда (13) и является непрерывной на .

2.4. Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах

Здесь будем искать решение u(x,t) уравнения вынужденных колебаний однородной струны

(20)

где - заданная внешняя сила, действующая на струну в классе функций , удовлетворяющих начальным условиям (4) и однородным граничным условиям (7). Решение этой задачи найдем в виде суммы

(21)

где - решение неоднородного уравнения

(22)

удовлетворяющее нулевым граничным условиям

(23)

и нулевым начальным условиям

(24)

a - решение однородного уравнения

удовлетворяющее граничным условиям

и начальным условиям

Нетрудно видеть, что если построены функции и, то сумма (21), действительно, дает решение поставленной выше задачи (20), (4) и (7).

Решение представляет вынужденные колебания струны, закрепленной на концах, при отсутствии начальных возмущений. Решение представляет свободные колебания струны, закрепленной на концах, которые происходят только вследствие начального возмущения. Эта задача полностью решена в п.2.1, поэтому здесь остановимся только на нахождении решения задачи (22)-(24).

Решение задачи (22) - (24) будем искать в виде суммы ряда

(25)

где Tk(t) - пока неизвестные функции. Предположим, что ряд (25) сходится равномерно на и там допускает почленное дифференцирование по х и t дважды. Тогда сумма ряда (25) удовлетворяет нулевым граничным условиям (23). Подставляя ряд (25) в начальные условия (24), получим условия для функций Tk(t):

(26)

Пусть заданная функция g(x,t) такова, что она на сегменте по переменной х разлагается в ряд Фурье по синусам

(27)

где коэффициенты gk(t) определяются по формулам

(28)

Подставив ряд (25) в уравнение (22), получим

 (29)

Сравнивая разложения (27) и (29) одной и той же функции g(x,t), найдем обыкновенное линейное неоднородное д.у. с постоянными коэффициентами

(30)

Итак, для определения функций Tk(t) получены д.у. (30) и начальные условия (26). Для решения этой задачи воспользуемся результатами теории обыкновенных линейных д.у. 2-го порядка. Общее решение д.у. (30) построим на основе метода вариации постоянных. Предварительно найдем общее решение соответствующего к (30) однородного уравнения

где и - произвольные постоянные. Общее решение д.у. (30) будем искать в виде

(31)

где неизвестные функции и определяются из системы

Отсюда находим

Интегрируя полученные уравнения, имеем

где и - произвольные постоянные. Подставляя значения функций и в (31), найдем общее решение д.у. (30)

5. Уравнение Лапласа

Краевые задачи для уравнения Лапласа. Метод функции Грина. Постановка краевых задач. Уравнение Лапласа называется уравнение

, (1)

имеющий в декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно следующий вид:

, (2) , (2ґ)

. (2ґґ)

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. В каждой задаче, связанной с уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций определенным дополнительным условием, которое чаще всего является краевым. Таким образом, возникает следующая краевая задача: в области пространства, ограниченной замкнутой поверхностью S, ищется гармоническая функция , удовлетворяющая на границе S краевому условию (п -- направление внешней нормали к S)

где и -- функции, заданные на границе . В задаче стационарного распределения температуры

,

-- температура внешней среды на границе тела.

Наиболее важным является частный случай этой краевой задачи, соответствующий заданию температуры границы тела: . Эта краевая задача называется задачей Дирихле.

Задача Дирихле в пространстве формулируется так:

Найти функцию , удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности S уравнению Лапласа и принимающую на границе S заданные значения:

. (3)

То, что задача Дирихле всегда имеет решение (при некоторых весьма общих предположениях относительно S и ), можно считать очевидным по физическим соображениям. Действительно, если каждая точка границы тела постоянно поддерживается при определенной температуре (которая может быть разной в разных точках границы), то в каждой точке тела установится в конце концов своя температура, которая и дает решение задачи Дирихле при данных граничных значениях. Кроме того, очевидно, что по тем же соображениям это решение будет единственным.

Задача Дирихле может, конечно, интерпретироваться также и в терминах диффузии: ее решением будет стационарная концентрация при условии, что концентрация на границе известна.

Задача Дирихле может быть поставлена и в двух измерениях. Если и зависит только от двух пространственных координат, например х и у (или только от и в полярной системе координат), то уравнение Лапласа (2) или (2') принимает более простой вид:

(2а)

. (2'а)

Задача Дирихле на плоскости формулируется так: Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую внутри замкнутой кривой S уравнению Лапласа и принимающую на границе S заданные значения:

. (3а)

Эта задача тоже имеет единственное решение. Она может возникнуть в физических задачах двух типов, распределение температуры в котором стационарно. Первый тип задачи относится к стационарному распределению температуры в тонкой однородной пластинке, параллельной плоскости хОу с теплоизолированными нижней и верхней поверхностями. Край пластинки S поддерживается при определенной температуре . Пластинка должна быть настолько тонкой, чтобы можно было пренебречь изменением температуры но ее толщине. Тогда температура и будет функцией только х и у.

Второй тип задачи возникает при рассмотрении стационарного распределения температуры в бесконечном однородном цилиндре, у которого образующие параллельны оси z, направляющая S лежит в плоскости хОу, а боковая поверхность поддерживается при определенной температуре . Здесь и тоже остается постоянной на любой прямой, параллельной оси z, проходящей в цилиндре, так что и = и(х,у).

Задача Дирихле решается очень просто в одномерном случае, т. е. когда в соответствующей системе координат неизвестная функция u зависит только от одной из координат. В случае декартовых координат одномерное уравнение Лапласа принимает вид и его решениями являются линейные функции и=Ах+В (стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью всегда линейно). Задача Дирихле имеет в этом случае решение

где , .

В случае задач с осевой симметрией запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах (2'), считая, что и не зависит от и z:

и,

где А и В -- произвольные постоянные. Задача Дирихле , имеет, как это легко проверить, решение

.

Эта формула дает решение задачи о стационарном распределении тепла в пространстве между двумя цилиндрами с общей осью при условии, что на поверхностях цилиндров поддерживается постоянная температура. Полученное решение теряет смысл при .

Если гармоническая функция и зависит только от расстояния точки до начала координат, то, воспользовавшись сферическими координатами (см.(2")), получим уравнение

,

, и .

Поставив задачу Дирихле

,

найдем стационарное распределение температуры в сферическом слое : (и здесь решение не имеет смысла при ).

Трехмерные и двумерные задачи Дирихле могут быть точно решены только для сравнительно простых областей (приближенные методы решения мы не рассматриваем). Изложим основы общего метода решения задачи Дирихле, называемого методом функции Грина.

Метод функции Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай). Метод функции Грина базируется на формуле Грина, являющейся следствием формулы Остроградского--Гаусса:

, (4)

где -- граница области V,

-- единичный вектор внешней нормали к , Ап=Ап -- проекция вектора А на направление п.

Пусть и -- две любые дважды дифференцируемые функции и

.

Тогда

.

Поскольку скалярное произведение градиента функции на единичный вектор равно производной функции по направлению этого вектора, то

.

Поэтому выражение для Ап примет вид

.

Перейдем теперь к вычислению :

.

Преобразуем каждое из выражений в правой части:

и аналогично

.

Поэтому

.

Подставляя выражения для Ап и через и в формулу (4), получим формулу Грина

(5)

Нам понадобится, однако, обобщение этой формулы на тот случай, когда область ограничена не одной, а двумя поверхностями. Пусть область ограничена снаружи замкнутой поверхностью и изнутри замкнутой поверхностью , лежащей целиком внутри (так что -- это часть внутренности , внешняя относительно ). Тогда формула Остроградского -- Гаусса (4) запишется в виде

,

где -- единичный вектор внешней нормали к , т. е. вектор, направленный внутрь (внутренность не принадлежит и поэтому является областью, внешней относительно ). Соответственно формула Грина (5) примет вид

(6)

Эта формула и служит основой метода функции Грина решения задачи Дирихле в пространстве.

Введем теперь определение самой функции Грина для трехмерного случая. В качестве поверхности возьмем границу области , для которой мы решаем задачу Дирихле, и выберем внутри Г произвольную, но фиксированную точку А (х0, у0, z0), которую окружим сферой радиуса с центром в А. При этом предположим, что сфера целиком лежит внутри Г (рис.).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тогда между и Г мы имеем область . Обозначим, далее, через Р(х, у, z) любую точку области , отличную от А, и через -- расстояние между точками А и Р:

.

Легко проверить, что функция

является гармонической, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа, во всех точках, кроме самой точки А, в которой она обращается в бесконечность. Еще проще в этом можно убедиться, если рассмотреть лапласиан в сферической системе координат с началом в точке А (см. (2"));

и , т.к.

Обозначим, далее, через решение задачи Дирихле для области с краевым, условием

. (7)

Согласно определению функция -- гармоническая уже во всей области , в то время как -- гармоническая только в области , получающейся удалением из области сферы , содержащей точку А (таким образом, область не содержит точки А). Поясним это простым примером. Пусть -- шар радиуса 1 с центром в начале координат, Г -- его граница и точка А совпадает с началом координат. Тогда и . В то же время функция, принимающая на Г значения, равные 1, и гармоническая во всем шаре, будет, очевидно, тождественно равна единице: (это особенно ясно из физических соображений: если температура в точках тела не меняется с течением времени, а на границе тела постоянна, то она вообще будет величиной

постоянной). Этим примером подчеркивается, что функции и совпадают, вообще говоря, только на границе Г.

Разность функций называется функцией Грина для области и обозначается обычно через

. (8)

Обратим внимание на то, что функция Грина зависит как от координат х, у, z текущей точки Р, так и от координат х0, у0, z0 произвольно выбранной, но фиксированной точки А (последние входят в явном виде в , но они войдут также через краевые значения и в ).

Особо отметим, что, в силу условия (7), функция Грина на границе Г обращается в нуль:

. (9)

Пусть теперь и -- искомая гармоническая функция в области , принимающая на границе Г значения и; положим и применим к области формулу Грина (6). Тогда, ввиду того что в этой области и , правая часть формулы Грина обращается в нуль, и мы получим следующее равенство:

. (10)

Второй из интегралов в силу равенства и условия к .

Для вычисления первого интеграла введем систему сферических координат с началом в точке А. Тогда на

.

Следовательно, равенство (10) перепишется в виде

.

Правая часть этого равенства, очевидно, не зависит от . Поэтому она должна быть равна также и пределу левой части при :

. (11)

Чтобы вычислить этот предел, заметим, что по формуле (8) (так как мы теперь обозначаем через ). Тогда

Функции и -- гармонические во всей области , включая точку А. Поэтому они вместе со своими производными ограничены (точное доказательство этого факта мы не проводим; отметим лишь, что с физической стороны он совершенно ясен: функции и можно толковать как некоторые стационарные распределения температур в однородном теле). Это значит, что

.

Со вторым интегралом дело обстоит сложнее, так как

и

неограниченно возрастают при . Найдем предел каждого слагаемого в отдельности:

.

Так как функция непрерывна, то . Считая возможным переход к пределу под знаком интеграла, получим

.

Далее, в силу ограниченности

.

Таким образом, предел в левой части равенства (11) есть просто так как при в качестве аргументов функции и мы получаем координаты точки А. Теперь формула (11) принимает окончательный вид:

. (12)

Эта формула дает решение задачи Дирихле в пространстве, если известна функция Грина ; действительно, мы получили значение искомой функции и в любой точке А области .

Метод функции Грина для задачи Дирихле (двумерный случай). Здесь метод функции Грина также основывается на формуле Грина, аналогичной формуле (5), а именно:

, (13)

где -- замкнутая кривая на плоскости, ограничивающая область , а и- производные по направлению внешней нормали к .

Эта формула может быть получена из формулы (5), примененной к цилиндру высоты 1, построенному на как на направляющей с образующими, параллельными оси z. Тогда, поскольку и не зависят от z,

,

(плюс интегралы по основаниям цилиндра, которые, однако, равны нулю, так как на верхнем основании, на нижнем, а).

Отметим, что формула (13) может быть выведена из формулы Грина на плоскости. Нам нужна обобщенная формула Грина, аналогичная формуле (6), а именно:

 (14)

Размещено на http://www.allbest.ru/

где -- замкнутая кривая, лежащая внутри , а -- двухсвязная область, заключенная между кривыми и . Как и в пространственном случае под направлением вектора понимается направление внешней нормали к кривой (см. рис.). Функция Грина на плоскости вводится теперь следующим образом. В качестве кривой возьмем границу Г области ,для которой мы решаем задачу Дирихле, и выберем внутри Г произвольную, но фиксированную точку ; за контур примем окружность радиуса с центром в точке А. При этом мы предположим, что окружность целиком лежит внутри Г. Тогда между и Г мы имеем область (заштрихованную на рис. 2). Обозначим вновь через Р (х, у) любую точку области отличную от А, и через -- расстояние между точками А и Р:

Проверим, что функция

является гармонической, т. е. удовлетворяет уравнению.

Действительно,

.

Аналогично

В этом можно также убедиться, если рассмотреть лапласиан в полярной системе координат с началом в точке А (см. (2ґ); тогда

, и ,

так как и не зависит от .

Отметим, что функция -- гармоническая в области Е (так как эта область не содержит точку А).

Обозначим, далее, через , решение задачи Дирихле для области с краевым условием

. (15)

Функция -- гармоническая уже во всей области . (Различие между функциями и , было выяснено выше.)

Тогда функция Грина для области будет иметь вид

. (16)

Как и в трехмерном случае, функция Грина и здесь зависит от координат точек и , и по определению (16) и условию (15)

. (17)

Для искомой гармонической функции и, удовлетворяющей условию и, и функции запишем формулу (14), правая часть которой обратится в нуль (так как ):

, (18)

причем в силу равенства (17)

.

Введем полярные координаты с началом в точке А. Тогда на окружности справедливы соотношения

и .

Учитывая все это, мы можем переписать формулу (18) в виде

, (19)

.

Поскольку правая часть равенства (19) не зависит от , то в левой части можно перейти к пределу при аналогично тому, как это было сделано выше (см. (11)). Подставим из формулы (16); разбивая интеграл в левой части формулы (19) на два слагаемых и учитывая , что функции и, и их производные ограничены ( без доказательства) в области , получим, что искомый предел равен

,

так как при , а .

Поэтому

. (20)

Это формула даёт решение задачи Дирихле на плоскости, если известна функция Грина .

Задача Неймана. В приложениях встречается еще одна краевая задача для уравнения Лапласа, так называемая задача Неймана. Задача Неймана состоит в следующем:

Найти функцию , удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности (или кривой) уравнению Лапласа и на границе условию

(21)

где - производная по направлению внешней нормали к , а -- функция, заданная на .

Прежде всего отметим, что функция на поверхности (или кривой) не может быть задана произвольно. Если в формуле (5), верной для любых функций и , положить , тои и формула примет вид

.

Поэтому для любой функции , гармонической в области , ограниченной поверхностью , должно соблюдаться равенство

. (22)

(23)

(Аналогично в двумерном случае из формулы (13) будет следовать, что , где -- граница области .)

При соблюдении условия (23) задача Неймана всегда имеет решение. При этом очевидно, что вместе с любым решением решением будет также . Можно доказать, что других решений задача Неймана не имеет, т. е. что разность двух любых решений задачи Неймана постоянна. Это означает, что решение задачи Неймана единственно с точностью до аддитивной постоянной.

Задача Неймана играет важную роль в теории волновых процессов, в частности в теории электромагнетизма.

Метод функции Грина может быть применен и к решению задачи Неймана на основе формул (6) (для пространства) и (14) (для плоскости). Но функция Грина для задачи Неймана должна быть определена несколько иначе. Мы по-прежнему полагаем

,

где для пространства и для плоскости; однако на функцию , гармоническую во всей области , накладываем теперь краевое условие

Применяя формулу (6), можно доказать, что если положить , где -- площадь поверхности (или, в двумерном случае,



где -- длина кривой Г), то интеграл от , взятый по границе области , будет равен нулю, т. е. что условие (22) будет соблюдаться. Тогда

,

и, рассуждая так же, как в пп. 55 и 56, мы придем к решению задачи Неймана

(24)

(в пространстве) и

(25)

(на плоскости); как уже отмечено, функция определяется с точностью до произвольной постоянной.

Задачу Дирихле часто называют первой краевой задачей для уравнения Лапласа, а задачу Неймана -- второй краевой задачей. Рассматривается еще третья краевая задача: найти функцию , удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности (или кривой) уравнению Лапласа и на границе Г условию

,

где -- функции, заданные на . Очевидно, что задачи Дирихле и Неймана являются частными случаями этой задачи. Однако третьей краевой задачи мы касаться не будем.

6. Уравнение Лапласа в конечных разностях

Для получения конечно-разностного уравнения, соответствующего уравнению Лапласа

(1)

достаточно заменить производные и отношениями конечных разностей по формулам:

;

;

Тогда будем иметь

и, следовательно,

. (2)

Однако, чтобы иметь возможность оценить точность такой замены, следует идти по несколько иному пути, используя для получения конечно-разностного уравнения формулу Тейлора

(3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

При этом пользуются различными схемами. Рассмотрим две основные схемы. Первая основная схема. Рассмотрим точки

лежащие в центре квадрата и на серединах его сторон (рис. 1), и выразим значения функции в точках через значения этой функции и ее производных в центральной точке .

 (4)

где -- значения производных в точке, а -- производные в некоторых промежуточных точках.

Складывая равенства (4), получаем

, (5)

где остаточный член

при имеет порядок . Отсюда будем иметь

и, следовательно,

. (6)

Формула (6) выражает оператор Лапласа через конечные разности и называется первой основной конечно-разностной формой оператора Лапласа. Откидывая в уравнении (6) член , получим, что уравнению Лапласа приближенно соответствует следующее уравнение в конечных разностях:

Размещено на http://www.allbest.ru/

(7)

что совпадает с уравнением (2).

Вторая основная схема. Рассмотрим точки

лежащие в центре и вершинах квадрат (рис. 2).

Как и в первой схеме, выразим значения функции в точках через значения этой функции и ее производных в точке .

Полагая в формуле (3), получим:

(8)

Складывая равенства (8), будем иметь

Откидывая остаточный член , получаем, что уравнение Лапласа приближенно можно заменить конечно-разностным уравнением

. (9)

Решение задачи Дирихле методом сеток

Идея метода сеток (или, иначе, метода конечных разностей) для приближенного решения краевых задач для двумерных дифференциальных уравнений заключается в следующем:

1) в плоской области , в которой разыскивается решение, строится сеточная область , состоящая из одинаковых ячеек (рис. 3) и приближающая данную область ;

2) заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением;

3) на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найдя решение конечно-разностного уравнения, для чего, вообще говоря, нужно решить алгебраическую систему с большим числом неизвестных, мы получим значения искомой функции в узлах сетки, т. е. будем иметь численное решение нашей задачи.

Выбор сеточной области производится в зависимости от конкретной задачи, но во всех случаях контур сеточной области следует выбирать так, чтобы он возможно лучше аппроксимировал контур Г заданной области .

Сеточная область может состоять из квадратных, прямоугольных, треугольных и других клеток. От выбора основного размера клетки зависит величина остаточного члена при замене дифференциального уравнения конечно-разностным. Следовательно, размер теоретически должен определяться требованием, чтобы этот остаточный член был меньше погрешности, допустимой при решении. Однако такой путь не всегда целесообразен, так как получаемый при этом размер настолько мал и, следовательно, число клеток настолько велико, что решение оказывается практически невыполнимым.

Обычно задача решается сначала при большом значении , т. е. при малом числе клеток, и лишь после того, как задача грубо приближенно решена для этой крупной сетки, переходят к более мелкой сетке или во всей рассматриваемой области, или в какой-нибудь ее части.

Идея метода сеток известна давно и восходит еще к Эйлеру. Однако практическое использование этого метода наталкивалось на серьезные трудности, так как получение с его помощью достаточно точного решения краевой задачи обычно приводило к колоссальным системам алгебраических уравнений, на решение которых при ручном счете требовались годы вычислительного труда. Положение резко изменилось с появлением быстродействующих электронных вычислительных машин. Метод сеток допускает удобную реализацию на электронных счетных машинах, так как применение его обычно сводится к массовой повторяемости однородных циклов. В настоящее время метод сеток является одним из наиболее эффективных методов решения линейных, а также отчасти нелинейных задач математической физики.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Покажем применение метода сеток для построения решения задачи Дирихле

при и при , (1)

где

заданная непрерывная функция; причем для простоты рассмотрим лишь случай квадратной сетки. Будем предполагать, что область ограничена простым замкнутым кусочно-гладким контуром Г.

Выбрав шаг , построим квадратную сетку

с таким расчетом, чтобы узлы сетки или принадлежали области или отстояли от ее границы Г на расстоянии меньшем, чем .

Точки (узлы) сетки называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси или оси на расстояние, равное шагу сетки . Узел сетки называется внутренним, если он принадлежит области , а все четыре соседних с ним узла -- множеству ; в противном случае он называется граничным (например, узлы и сетки ) (на рис.4 внутренние узлы обозначены светлыми кружками, а граничные -- темными кружками и темными треугольниками).

Граничный узел сетки называется узлом первого рода, если он имеет соседний внутренний узел этой сетки (например, узел на рис.4); в противном случае граничный узел называется узлом второго рода (узел на рис.4). Внутренние узлы и граничные узлы первого рода сетки называются расчетными точками. Граничные узлы второго рода не входят в вычисление и могут быть изъяты из сетки (на рис.4 граничные узлы второго рода обозначены темными треугольниками).

Относительно сетки предположим, что множество ее расчетных точек «связное», т. е. любые две расчетные точки можно соединить цепочкой узлов, каждые два смежных элемента которой являются соседними узлами. Кроме того, будем считать многоугольную сеточную область выбранной так, чтобы ее геометрическая граница возможно ближе примыкала к границе Г области . Заметим, что узловые точки контура могут лежать как внутри, так и вне области .

Значение искомой функции в точках обозначим через

Следуя общей схеме (см. п.п., (2)), для каждой внутренней точки сетки заменяем дифференциальное уравнение (1) конечно-разностным уравнением

, (2)

где -- расчетные точки.

В граничных узлах 1-го рода сетки полагаем

, (3)

где -- ближайшая к точка границы Г.

Система (2) является неоднородной линейной системой, причем число неизвестных (т. е. число внутренних узлов сетки) равно числу уравнений. Система (2) всегда совместна и имеет единственное решение. Чтобы доказать это, достаточно убедиться в том, что соответствующая однородная система имеет лишь нулевое решение. Однородная система, очевидно, формально может быть записана в виде системы (2) с той лишь разницей, что значение функции на границе Г следует положить тождественно равным нулю .

Однородная система (2) всегда совместна, так как эта система имеет тривиальное решение (без доказательства).

Решив систему (2), получим приближенные значения искомой функции в узлах сеточной области . Тем самым будет найдено приближенное численное решение задачи Дирихле для области . Можно показать, что в общем случае погрешность приближенного решения имеет порядок .

Процесс Либмана

Если число узлов сетки велико, то непосредственное решение системы (2) из п.п. становится затруднительным. Кроме того, для криволинейной области значения функции в граничных узлах сетки выбраны слишком грубо. Эти обстоятельства заставляют для решения указанной системы прибегать к итерационным методам с одновременным исправлением граничных значений.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Согласно процессу усреднения Либмана, выбрав начальные приближения , последовательные приближения для внутренних узлов сетки определяем по формуле

. (1)

Что касается граничных узлов сетки , то значения функции в этих узлах последовательно исправляем по формулам линейной интерполяции:

, (2)

где -- ближайшая к точка границы Г (), --ближайший к внутренний узел сетки (рис.5) и -- удаление узла от точки , причем , если -- внутренняя точка области ,и если -- внешняя точка области . В частном случае, если узел лежит на границе Г (), то имеем точно

.

На практике после некоторого шага можно считать неизменными (например, если эти значения установятся с заданной степенью точности).

За начальные значения теоретически можно взять любую систему чисел. Однако следует иметь в виду, что в силу принципа максимума для значений искомой функции должны быть выполнены неравенства

,

и .

Поэтому разумно полагать

.

Практически для выбора грубо решают задачу Дирихле в области с помощью крупной сетки, а затем найденные значения используют для решения задачи Дирихле на данной мелкой сетке. Для начала процесса обычно применяют линейную интерполяцию.

Доказывается, что для любого шага сетки процесс Либмана независимо от выбора начальных значений сходится, т. е. существует

,

причем погрешность приближенного решения имеет порядок . Для практического проведения - вычислений по методу итерации полезно приготовить достаточное число специальных вычислительных шаблонов .

Процесс продолжается до тех пор, пока в пределах заданной точности не совпадут два последних шаблона.

Пример. Найти приближенное решение уравнения



удовлетворяющее на окружности (Г) условию .

Решение. В силу симметричности решения рассмотрим четверть круга.

1-й этап. Берем крупную сетку с шагом (рис. 6). Ближайшая к узлу сетки точка границы Г есть , поэтому полагаем . Аналогично, для узла сетки ближайшая точка границы Г есть , поэтому. В узлах и сетки, очевидно, имеем .

Обозначая через и значения функции во внутренних узлах сетки (рис. 6) и учитывая симметрию задачи, составляем систему конечно-разностных уравнений

Из этой системы находим

Размещено на http://www.allbest.ru/

2-й этап. Берем более мелкую сетку (рис. 7) с шагом при неуточненных граничных значениях. Полагаем

Используя значения функции в узлах крупной сетки с шагом и в граничных узлах и учитывая симметрию задачи, составляем конечно-разностные уравнения по первой и второй схеме для значений искомой функции в узлах сетки с шагом (рис. 7). Имеем

Отсюда приближенно находим

3-й этап. Уточняем значения в граничных узлах.

Используя формулы (2) и полученные значения во внутренних узлах сетки, находим

4-й этап. На основе полученных данных строим систему шаблонов (№ 1--7) и последовательно уточняем (с точностью до единицы) значения искомой функции во внутренних узлах.

Шаблоны № 6 и 7 совпадают с точностью до единицы.

Отметим, что точным решением этой задачи является функция

.

Для сравнения приводим значения точного решения в узлах сетки (шаблон № 7а).

Для оценки точности решения, полученного по методу сеток, существуют теоретические оценки. Как правило, эти оценки весьма сложны и применение их затруднительно. Поэтому на практике используют двойной пересчет решения с шагами и . Если соответствующие результаты совпадают с заданной точностью, то считают, что искомое решение задачи найдено правильно. В противном случае применяют пересчет с шагом и сравнивают полученный результат с прежним результатом, соответствующим шагу, и т. д.

Отдельно следует проанализировать влияние ошибок округления. Схема вычислений должна быть устойчивой, т. е. ошибки решения, связанные с округлением, не должны возрастать неограниченно.

7. Уравнения параболического типа

дифференциальное уравнение пуанкаре лаплас

К уравнениям параболического типа приводят задачи, связанные с процессами теплопроводности и диффузии, с распространением электромагнитных полей в проводящих средах, с движением вязкой жидкости и др.

Простейшим представителем параболических уравнений является уравнение теплопроводности



Постановка граничных задач. Теоремы единственности.

Первая граничная задача. Теорема о максимуме и минимуме.

Постановка задачи. Пусть - ограниченная область пространства . Обозначим через в пространстве цилиндр, основание которого есть областьи образующие которого параллельны оси . Пусть - часть этого цилиндра, ограниченная снизу плоскостью и сверху плоскостью . Часть границы цилиндра , состоящую из его нижнего основания и боковой поверхности, обозначим через .

Рассмотрим следующую задачу: Найти в цилиндре решение уравнения теплопроводности

(1)

удовлетворяющее начальному условию

(2)

и граничному условию

(3)

где -граница области , -точка поверхности . Функции и непрерывны, причём значения при совпадают со значениями на границе .

Задача нахождения решения уравнения (1) при условиях (2) и (3) называется первой граничной задачей для уравнения теплопроводности.

Теорема. Функция удовлетворяющая однородному уравнению теплопроводности (1) внутри цилиндра и непрерывная вплоть до его границы, принимает наибольшее и наименьшее значения на , т.е. или при , или на боковой поверхности цилиндра .

Т.к. теорема о минимуме сводится к теореме о максимуме переменой знака, , то ограничимся доказательством теоремы о максимуме.

Обозначим через наибольшее значение функции в цилиндре , а через наибольшее значение на . Допустим, что существует такое решение , для которого , т.е. для которого теорема о максимуме неверна. Пусть это функция принимает значение в точке , где принадлежити.

Рассмотрим функцию

,

где - диаметр области . На боковой поверхности цилиндра и на его нижнем основании

,

.

Следовательно, , так же как и , не принимает наибольшего значения ни на боковой поверхности ни на его нижнем основании. Пусть принимает наибольшее значение в точке , где лежит внутри и. Тогда в этой точке вторые производные не положительны и (если , то , если же , то ), откуда следует, что в точке должно быть

(4)

С другой стороны,

что противоречит (4), и теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что:

1) Решение первой граничной задачи (1)-(2) в цилиндре единственно. Действительно, если бы имели два каких-либо решения и задачи, то их разность , удовлетворяя однородному уравнению (1), обращалась бы в нуль как при , так и на поверхности области . Но тогда, в силу теоремы о максимуме и минимуме, следует, что равна тождественно нулю в области при , т.е. .

2) Решение первой граничной задачи (1)-(2) непрерывно зависит от правых частей начального и граничного условий. В самом деле, если разность функций, входящих соответственно в начальное и граничное условия, по абсолютной величине не превосходят некоторое положительное число , то и разность соответствующих решений, как решение однородного уравнения теплопроводности с малым начальным и граничным значениями, во всём цилиндре по абсолютной величине также не будет превосходить .

Задача Коши.

Постановка задачи Коши. Найти функцию , удовлетворяющую уравнению теплопроводности

(5)

начальному условию

(6)

где - непрерывная и ограниченная функция. Докажем единственность решения задачи Коши, предполагая, что решение ограничено во всей области, т.е. существует такое число , что для всех при любом . Пусть и - два решения (5), удовлетворяющие одному и тому же начальному условию (6).

будет удовлетворять уравнению (5) и начальному условию

Кроме того, ограничена во всей области

Теорему о максимуме и минимуме к неограниченной области непосредственно применить нельзя, ибо функция может нигде не достигать наибольшего или наименьшего значений. Чтобы воспользоваться этой теоремой, рассмотрим конечную область

 (7)

Возьмём функцию

которая является решением уравнения теплопроводности (5). Легко видеть, что

Применяя теорему о максимуме и минимуме к разности между функциями и в области (7), будем иметь:

откуда

или

Что и доказывает единственность решения задачи Коши.

Распространение тепла в бесконечном стержне.

Распространение тепла в неограниченном стержне.

Задача о распространении тепла в неограниченном однородном стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована, математически формулируется следующим образом.

Найти ограниченную функцию , удовлетворяющую уравнению теплопроводности

(1)

начальному условию

(2)

где - непрерывная и ограниченная функция.

Найдём сначала частные решения уравнения (1) вида

(3)

Подставляя (3) в (1), имеем

где - постоянная. Получаем, таким образом,



откуда, отбрасывая постоянный множитель в выражении :

Постоянные и могут зависеть от . Т.к. граничные условия отсутствуют, то параметр остаётся совершенно произвольным.

Согласно (3) получим, что

(4)

есть частное решение уравнения (1) при любых и . Интегрируя (4) по параметру , также получим решение уравнения (1):

(5)

если этот интеграл сходится и его можно дифференцировать один раз по и два раза по под знаком интеграла.

Выберем и так, чтобы выполнялось и начальное условие (2). Полагая в (5) , получим, в силу (2),

(6)

Сравнивая интеграл в правой части с Фурье для функции :



можно удовлетворить равенству (6), положив

(7)

Подставляя (7) в (5) получаем:

или, изменяя порядок интегрирования,

(8)

Вычислим внутренний интеграл. Сделаем замену:

Поэтому

(9)

Дифференцируя интеграл по параметру, найдём, что

(причём это дифференцирование законно в силу равномерной сходимости полученного интеграла). Интегрируя по частям, получим

Чтобы найти постоянную , полагаем здесь . Это даёт

Поэтому

и, в силу (9),

Подставляя это соотношение в (8), окончательно найдём:

(10)

Нетрудно видеть, что функция

(11)

рассматриваемая как функция от, является решением уравнения (1). Функция (11) называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности (11).

Таким образом, функция (10) ограничена, удовлетворяет уравнению теплопроводности (1) и начальному условию (2).

Из формулы (10) следует, что тепло распространяется вдоль стержня не с какой-либо конечной скоростью, а мгновенно. Решение задачи (1)-(2) (задачи Коши) есть функция, непрерывна дифференцируемая сколь угодно раз по и вне зависимости от того, будет ли иметь производные функция или нет.

Выясним физический смысл фундаментального решения (11) однородного уравнения теплопроводности (1).

Выделим малый элемент стержня около точки и будем считать, что функция, дающая начальное распределение температуры, равна нулю вне промежутка и имеет постоянное значение внутри него. Физически можно представить, что в начальный момент времени сообщили этому элементу количества тепла , которое вызвало повышение температуры на в этом участке стержня. В последующие моменты времени распределение температуры в стержне даётся формулой (10), которая в нашем случае принимает вид:

Если будем теперь уменьшать до нуля, т.е. будем считать, что то же количество тепла распределяется на всё меньшем участке и в пределе сообщается стержню в точке , то приходим к понятию мгновенного точечного источника тепла напряжения , помещённого в момент времени в точке . От действия такого мгновенного точечного источника тепла в стержне получается распределение температур по формуле

(12)

Применяя теорему о среднем, будем иметь

и т.к. при , то выражение (12) принимает следующий вид:

Таким образом, фундаментальное решение (11)даёт распределение температуры, которое вызывается мгновенным точечным источником тепла напряжения , помещённым в начальный момент времени в точке стержня.

График фундаментального решения

(11)

При фиксированном как функции от , в отдельные моменты времени имеет вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Площадь под каждой из этих кривых равна

Это означает, что количество тепла в стержне остаётся неизменным с течением времени. Из чертежа видно, что почти вся площадь, ограниченная кривой (11) и осью абсцисс, находится над промежутком (, где сколь угодно малое число, если только достаточно малое число. Величина этой площади, умноженная на , равна количеству тепла, помещённому в начальный момент. Таким образом, для малых значений почти всё тепло сосредоточено в малой окрестности точки . Из сказанного следует, что в момент времени всё количество тепла помещается в точке , т.е. имеем мгновенный точечный источник тепла.

Для того чтобы придать сечению стержня температуру в начальный момент, мы должны распределить на малом элементе около этой точки количество тепла или, что то же самое, поместить в точке мгновенный точечный источник тепла напряжения ; распределение температуры, вызываемое этим мгновенным точечным источником, согласно формуле (11), будет

Общее же действие от начальной температуры во всех точках стержня суммируется из этих отдельных элементов, что и даёт решение (10).

В случае распространения тепла в неограниченном пространстве имеем уравнение теплопроводности

и начальное условие

и решением будет функция

Распространение тепла в полуограниченном стержне.

Рассмотрим задачу о распространении тепла в полуограниченном стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована. Пусть конец поддерживается при заданной температуре, которая может изменяться с течением времени. Тогда задача сводится к решению уравнения

(13)

при граничном условии

(14)

и начальном условии

(15)

Решение задачи (13)-(15) будем искать в виде суммы

(16)

где и суть решения следующих задач:



Решим сначала задачу (I). Решение задачи (I) может быть получено из решения для неограниченного стержня. Перепишем формулу (10) в виде

(17)

Удовлетворяя граничному условию, будем иметь

(18)

Это условие будет выполнено, если положить

(19)

т.е. функцию нужно продолжить нечётным образом в промежутке .

Подставив (19) в (17), получим решение задачи (I) в виде

(20)

Если, например , начальная температура постоянна:

Разбив интеграл на два слагаемых и введя новые переменные интегрирования

или

(21)

где

(22)

- интеграл ошибки.

Решим задачу (II). Рассмотрим частный случай: т.е.

 (23)

Функция

(24)

будет решением задачи (II) для этого частного случая. Пусть теперь на конце температура поддерживалась до момента равной нулю, а за тем равной единице. В этом случае решение обозначим через . Очевидно, что до момента будет после же этого момента времени совпадает с решением (24), если там заменить на , что даёт

Но тогда очевидно, что если на конце температура, равная единице поддерживалась только в течение промежутка времени , а всё остальное время она была равна нулю, то соответствующее распределение температуры вдоль стержня будет

Если же на конце в течение промежутка времени поддерживалась температура, равная , а не единице, то получим откуда ясно, что если поддерживать на конце температуру при всех , то при изменении от до получим полный эффект, сложив все элементарные эффекты, что даёт искомое решение задачи (II) в виде

ли, т.к. при

то окончательно получим

(25)

Введём вместо новую переменную интегрирования по формуле

Тогда формула (25) запишется в виде

При мы получим

т.е. решение (25) удовлетворяет граничному условию (14).

Применение метода Фурье к решению граничных задач.

Распространение тепла в ограниченном стержне.

Распространение тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности

(1)

при граничных условиях

(2)

и при начальных условиях

(3)

где - непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в нуль при и

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (1) в виде

 (4)

Подставляя (4) в (1), имеем

откуда получаем два уравнения

(5)

(6)

Чтобы получить нетривиальное решение уравнения (1) вида (4), удовлетворяющее граничным условиям (2), необходимо найти нетривиальное решение уравнения (6), граничным условиям

(7)

Таким образом, приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра , при которых существует нетривиальные решения уравнения (6), удовлетворяющие граничным условиям (7). Такую задачу называют спектральной или задачей Штурма-Лиувилля. Те значения параметра , при которых задача (6)-(7) имеет нетривиальные решения, называются собственными числами(значениями), а сами эти решения - собственными функциями. Найдём собственные значения и собственные функции задачи (6)-(7). Здесь нужна рассмотреть отдельно три случая, когда

1. При общее решение уравнения (7) имеет вид



,Удовлетворяя граничным условиям (7), получим

(8)

Т.к. определитель системы (8) отличен от нуля, то и .

2. При общее решение уравнения (6) имеет вид

Граничные условия (7) дают

Отсюда , и следовательно,

3. При общее решение уравнения (6) имеет вид

Удовлетворяя граничные условия (7), получим

Из первого уравнения следует , а из второго - . Должны считать , ибо в противном случае Поэтому , т.е.

, где любое целое число.

Следовательно, нетривиальные решения задачи (6)-(7) возможны лишь при значениях

. (9)

Этим собственным числам соответствуют собственные функции

...