(10)

определяемые с точностью до постоянного множителя, который положим равным единице.

Положительные и отрицательные значения , равные по абсолютной величине, дают собственные функции, отличающиеся лишь постоянным множителем. Поэтому достаточно для брать только целые положительные значения.

Значениям параметра соответствуют решения уравнения (5):

(11)

где - произвольные постоянные. Итак, все функции

(12)

удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых постоянных .

Составим ряд

(13)

Требуя выполнения начального условия (3), получим

(14)

Написанный ряд представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в промежутке . Коэффициенты определяются по формуле

(15)

Распространение тепла в стержне, концы которого находятся при заданных переменных температурах. Эта задача сводится к решению уравнения теплопроводности (1) при граничных условиях

(16)

и начальном условии

 (17)

где и - заданные функции.

Решение ищем в виде ряда

(18)

(19)

Интегрируя два раза по частям, получим

Т.к. удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям (16), то

(20)

Дифференцируя теперь выражение (19) по , получим

(21)

Исключая интеграл из равенств (20) и (21), получим следующее уравнение для определения коэффициентов :

 (22)

Общее решение этого уравнения имеет вид

(23)

где, очевидно,

Чтобы удовлетворить начальному условию (17), требуем выполнения равенства

и, следовательно,

(24)

Таким образом, решением задачи (1), (16)-(17) будет ряд (18), где определяются равенствами (23) и (24).

Рассмотрим частный случай, когда концы стержня поддерживаются при постоянных температурах, т.е.



Тогда (23) принимает следующий вид

Подставляя в ряд (18), будем иметь

В силу соотношений

окончательно получим

(25)

Распространение тепла в стержне, на концах которого происходит свободный теплообмен с окружающей средой. Задача состоит в отыскании решения уравнения

(1)

при граничных условиях

(2)

где - коэффициент теплообмена, при начальном условии

. (3)

Согласно методу Фурье, будем искать решения уравнения (1) в виде

(4)

Тогда получим уравнения

(5)

(6)

Чтобы частное решение (4), отличное от тождественного нуля, удовлетворяло граничным условиям (2), очевидно, нужно потребовать выполнения условий

 (7)

Таким образом, приходим к задаче о собственных значениях для уравнения (6) при граничных условиях (7). Интегрируя уравнение (6), получим

(8)

Из граничных условий (7) находим

(9)

Эта система двух однородных уравнений имеет очевидное решение и получаем решение . Отбрасывая этот случай, мы должны считать, что по крайней мере одна из постоянных отлична от нуля. Тогда определитель системы (9) должен равняться нулю

Отсюда, после замены

(10)

находим

 (11)

Это уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней, что можно увидеть, построив графики кривых

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из чертежа видно, что в каждом из интервалов лежит положительный корень уравнения (11), а отрицательные корни по абсолютной величине равны положительным. положительные корни уравнения (11). Тогда, согласно (10), собственные значения будут

(12)

Каждому собственному значению соответствует собственная функция

 (13)

При общее решение уравнения (5) имеет вид

где - произвольные постоянные.

Таким образом, нами найдены частные решения уравнения (1)

граничным условиям (2) при любых . Составим ряд

(14)

Удовлетворяя начальному условию (3), получим

(15)

На основании теории задач о собственных значениях, собственные функции ортогональны, т.е.

 (16)

Вычисляя квадрат нормы собственных функций (13), получим

(17)

Предполагая, что ряд (15) сходится равномерно, принимая во внимание (16) и (17), найдём коэффициенты по следующей формуле

Внося это выражение коэффициентов в ряд (14)

(18)

Замечание. Когда на поверхности стержня происходит теплообмен со средой, температура которой принимается равной нулю, то уравнение распространения тепла в однородном стержне имеет вид:

(19)

Легко проверить, что уравнение (19) простой подстановкой



приводится к уравнению (1) для .

Неоднородное уравнение теплопроводности.

1.Рассмотрим неоднородное уравнение

(1)

с начальным условием

(2)

и граничными условиями

(3)

При этом предполагается, что непрерывная функция имеет кусочно-непрерывную производную первого порядка по и что при всех выполняются условия

Будем искать решение задачи (1)-(3) в виде

(4)

Так что граничные условия (3) удовлетворяются сами собой. Предположим, что функция рассматриваемая как функция от , может быть разложена в ряд Фурье:

 (5)

(6)

Подставляя ряд (4) в уравнение (1) и учитывая (5), получим

(7)

Пользуясь начальным условием для

получаем начальное условие для

(8)

Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (7) с нулевым начальным условием (8), находим

Подставив это в ряд (4), получим решение задачи (1)-(3) в виде

 (9)

Воспользуемся выражением (6) и преобразуем найденное решение (9)

(10)

Функция называется функцией мгновенного точечного источника тепла( функцией Грина). Функция рассматриваемая как функция от , представляет распределение температуры в стержне в момент времени , вызванное действием мгновенного источника тепла напряжения , помещённого в момент в точке промежутка , тогда как на концах стержня всё время поддерживается нулевая температура.

Если начальное условие неоднородно, то к решению (10) нужно прибавить решение однородного уравнения теплопроводности с заданным начальным условием и граничными условиями (3), полученное в (*).

2. Рассмотрим случай , когда начальное и граничные условия неоднородные, т.е. требуется найти решение уравнения

(10)

при начальном условии

 (11)

и при граничных условиях

(12)

Положим

(13)

где функция удовлетворяет однородному уравнению

(14)

граничным условиям

(15)

и начальному условию

(16)

а функция удовлетворяет неоднородному уравнению

(17)

граничным условиям

(18)

и начальному условию

. (19)

Задача (14)-(16)-это задача о распространении тепла в стержне, концы которого находятся при заданных переменных температурах.

Задача (17)-(19) рассмотрена в п.1.

Задача (10)-(12) сводится к задаче (1)-(3), если ввести новую неизвестную функцию , положив

Функции Бесселя

При решении многих задач математической физики приходят к линейному дифференциальному уравнению

(1)

где - постоянная. Уравнение (1) называется уравнением Бесселя. Т.к. уравнение (1) имеет особую точку , то его частное решение следует искать в виде обобщённого степенного ряда:

 (2)

Подставляя ряд (2) в уравнение (1) получим

(3)

Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях , будем иметь:

, (4)

(5)

(6)

Из первого равенства находим два значения для :

и .

Если возьмём первый корень , то из формул (5) и (6) получим

и

Отсюда следует, что

а коэффициенты с чётными индексами определяются по формулам

 и т.д.,

из которых общее выражение для коэффициентов имеет вид:

Коэффициент (который был произвольным) выберем следующим образом:

(7)

где - гамма-функция, которая определяется для всех положительных значений (а также для всех комплексных значений с положительной вещественной частью) следующим образом:

(8)

При таком выборе коэффициент может быть записан в виде

(9)

Упростим (9), воспользовавшись одним из основных свойств гамма - функции. Для этого проинтегрируем правую часть равенства (8) по частям. Получим следующую основную формулу

 (10)

Формула (10) даёт возможность определить гамма - функцию для отрицательных значений , а также и для всех комплексных значений.

Пусть - некоторое положительное число. Применяя несколько раз формулу (10), получим

(11)

Полагая в этой формуле , найдём, в силу равенства

другое свойство гамма - функции, выражаемое равенством

(12)

С помощью формулы (11) выражение (9) для коэффициента примет следующий вид:

(13)

Внося найденные значения коэффициентов и в ряд (2), получим частное решение уравнения (1). Это решение носит название функции Бесселя I-го рода -го порядка и обозначается через . Таким образом,

 (14)

Ряд (14) сходится при любом значении . Достаточно применить признак Даламбера.

Используя второй корень , можно построить второе частное решение уравнения (1). Оно может быть получено из решения (14) заменой на , т.к. уравнение (1) содержит только и не меняется при замене на :

(15)

Если не равно целому числу, то частное решениеи уравнения Бесселя (1) будут линейно независимы, т.к. разложения, стоящие в правых частях формул (14) и (15), начинаются с разных степеней . Если же есть целое положительное число , то в этом случае решения и ( линейно зависимы. Действительно, при целом для величина принимает целые отрицательные значения или нуль. Для этих значений : , что следует из формулы

Таким образом, первые членов в разложении (15) обратятся в нуль и мы получим



(16)

Отсюда следует, что при целом функции и линейно зависимы.

Для того чтобы найти общее решение уравнения (1), когда равно целому числу , необходимо найти второе, линейно - независимое от частное решение. Для этого введём новую функцию, положив

(17)

Это функция является решением уравнения (1), т.к. она представляет собой линейную комбинацию частных решений и этого уравнения. На основании соотношения (16), при равном целому числу , правая часть равенства (17) принимает неопределённость вида . Если раскрыть эту неопределённость по правилу Лопиталя, то в результате ряда выкладок (сложных!) получим следующие представление функции при целом положительном :

(18)

В частном случае, при , функция имеет вид:

(19)

Функция называется функцией Бесселя II-го рода -го порядка или функцией Вебера.

Функция Вебера является решением уравнения Бесселя также в том случае когда - целое число.

Функции и линейно независимы, следовательно, эти функции при всяком - дробном или целом - образуют фундаментальную систему решений. Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде

(20)

где и - произвольные постоянные.

Для функций Бесселя и Вебера различных порядков имеют место следующие рекуррентные формулы:

(21)

(22)

(23)

Некоторые частные случаи функции Бесселя

В математической физике наиболее часто встречаются функции Бесселя и ,

где - целое число.

Первые две из этих функций представляются следующими рядами:

(24)

(25)

Для них имеются подробные таблицы. Графики функций имеют вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из формулы (23) видно, что вычисление функции и т.д. сводится к вычислению соответствующих значений функций и .

Найдём значения функций и , для чего воспользуемся формулой (14); из него видно, что



Из формулы (11) следует, что

Таким образом,

Последняя сумма представляет собой разложение в степенной ряд, вследствие чего

(26)

Аналогично, из разложения (15) вытекает, что

(27)

Если теперь воспользоваться формулой (23), то получим

Вообще, функция Бесселя при целом выражается через элементарные функции:

(28)

где - многочлен степени относительно , а многочлен степени , причём .

Отсюда следует, что при больших значенияхимеет место асимптотическое представление функции Бесселя:

(29)

где через обозначена величина порядка .

Асимптотическая формула (29) справедлива не только при , но и при всех значениях .

Распространение тепла в бесконечном цилиндре.

Рассмотрим несколько случаев.

1.Рассмотрим радиальное распространение тепла в бесконечном круговом цилиндре радиуса , боковая поверхность которого поддерживается при постоянной температуре, равной нулю.

Поставленная таким образом задача приводится к интегрированию уравнению

(1)

при граничном условии

(2)

при начальном условии

(3)

Разыскивая, согласно методу Фурье, частные решения уравнения (1) в виде

(4)

получим два уравнения

(5)

(6)

где произвольный параметр.

Общее решение уравнения (6) имеет вид

Т.к. при , то из условия конечности температуры на оси цилиндра следует, что . Параметр находится из граничного условия (2). Этот параметр может принимать бесчисленное множество значений, определяемых по формуле

(7)

где - положительные корни уравнения

(8)

Каждому собственному значению будет соответствовать собственная функция

. (9)

Учитывая уравнение (5) и (6) найдём, что функции

(10)

Удовлетворяют уравнению (1) и граничному условию (2) при любых . Составим ряд

(11)

и чтобы удовлетворить начальному условию (3), потребуем выполнения равенства

(12)

Написанный ряд представляет разложение заданной функции по функциям Бесселя в интервале . Коэффициенты разложения (12) определяются по формуле

(13)

Подставляя выражение (13) для в ряд (11), получим решение задачи (1)-(3) в виде

(14)

2. Рассмотрим теперь тот случай, когда на поверхности цилиндра происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой принимается равной нулю.

Задача приводится к интегрированию уравнения (1) при начальном условии (3) и при граничном условии

(14)

Повторив рассуждения п.1, получим снова уравнения (5) и (6) и найдём:

Удовлетворяя граничному условию (14), найдём

(15)

где положено

(16)

Решение задачи ищем в виде ряда

(17)

где положительные корни уравнения (15) и каждый член ряда удовлетворяет граничному условию (14).

Удовлетворяя начальному условию (3), получим

 (18)

Это есть частный случай разложения в ряд Дини -Бесселя, когда .

(В задачах мат. физики часто встречаются следующие ряды по функциям Бесселя:

(a)

где -положительные корни уравнения

(b)

Расположенные в порядке возрастания, причём

Коэффициенты определяются по формуле

(с)

Разложение (a), в котором коэффициенты определяются по формуле (с), называется разложением функции в ряд Дини - Бесселя.)

Следовательно, коэффициенты определяются по формуле ((с)):

 (19)

Подставляя это значение коэффициента в ряд (17)получим решение задачи в виде

(20)

Распространение тепла в цилиндре конечных размеров

Рассмотрим задачу о распространении тепла в круговом цилиндре и высоты , начальная температура которого равна , а поверхность и основания поддерживаются при температуре, равной нулю.

Задача, таким образом, сводится к решению уравнения

(1)

при граничных условиях

(2)

и при начальном условии

(3)

(4)

Здесь через обозначены целые положительные числа, как это требует второе из граничных условий (2). Постоянная связана с корнями уравнения

(5)

равенством

(6)

Это требование третьего из граничных условий (2). Число должно быть целым, т.к. температура цилиндра есть периодическая функция угла , с периодом, равным .

Взяв сумму всех решений вида (2), распространённую по всем и по всем положительным корням уравнения (5), получим решение задачи в виде ряда:

, (7)

в котором остаётся определить и . Положим в разложении (7) ; тогда принимая во внимание начальное условие (3), получим

. (8)

Т.к. правая часть равенства (8) представляет собой разложение функции в ряд Фурье по и , то коэффициенты при этих тригонометрических функциях определяются по формулам:

,

,

.

Каждая из этих равенств представляет собой разложение функции, рассматриваемой как функция от , в ряд по функциям Бесселя. Коэффициенты таких разложений определяются по формуле

,

разложение ,

в котором коэффициенты определяются по формуле

,

называется разложением функции в

ряд Фурье - Бесселя. Здесь- положительные корни уравнения , расположенные в порядке возрастания) откуда получается, что

, (9)

, (10)

. (11)

Т.к. функции образуют ортогональную систему функций на отрезке , то в разложениях (9), (10), (11) коэффициенты определяются формулами:

,

Подставляя эти значения коэффициентов в ряд (7), получим окончательное решение задачи (1)-(3).

Размещено на Allbest.ru

...