Геометричне моделювання скалярних полів за методом усереднення адаптивних інваріантних шаблонів

Размещено на http://allbest.ru

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Геометричне моделювання скалярних полів за методом усереднення адаптивних інваріантних шаблонів

ВСТУП

геометричний моделювання скалярний поле

Методи геометричного моделювання технологічних процесів і природних явищ вже давно увійшли в інженерну практику розв'язання прикладних задач в різних предметних галузях. Але технічний прогрес генерує нові постановки задач моделювання скалярних і векторних полів різноманітної природи, висуває нові вимоги до точності отримуваних розв'язків та ефективності обчислювальних алгоритмів.

Одними з найбільш вивчених моделей фізичних процесів є рівняння математичної фізики. Проте вони не вичерпали своєї привабливості для дослідників. Великий арсенал методів розв'язання класичних крайових задач виявився недостатнім для нетрадиційних постановок тих же задач: за наявності збурень у структурі рівнянь, в граничних умовах або у геометрії області, коли граничні умови відомі лише на частині границі області, при дискретно заданих граничних умовах, при відсутності граничних умов та наявності натомість набору значень досліджуваного параметра на множині внутрішніх точок області. Такі постановки задач відповідають реаліям експериментального дослідження складних технічних систем.

Таким чином, в теперішній час актуальною є наукова проблема створення нових або адаптації відомих методів до розв'язання нетрадиційних (в означеному вище сенсі) крайових задач.

Природно очікувати, що саме геометричні підходи мають бути пріоритетними у пошуках методів розв'язання, щонайменше, трьох останніх із перелічених задач. Адже саме геометрична інформація відіграє в них головну роль.

При розв'язанні ж класичних крайових задач серед інженерів та дослідників найбільшою популярністю користується метод скінченних елементів.

З попередніми умовами побудови моделей залежностей його пов'язує дискретне подання інформації про відновлювану функцію в вузлах елемента. При чому роль внутрішніх вузлів, за їх наявності, є другорядною, оскільки вони можуть бути виключені завдяки операції конденсації.

Це дозволяє говорити про існування можливостей використання спільних підходів до розв'язання двох видів задач: задач математичної фізики з дискретними граничними умовами та задач оптимізації апроксимації функції на окремому скінченному елементі.

Прикладом області перспективного застосування теоретичних результатів досліджень обох напрямків може слугувати машинобудівна галузь, де задачі відновлення полів різної природи (температурних, напружень тощо) конструктивних елементів мають важливе значення.

Особливістю дослідження, наприклад, температурних полів окремих деталей в машинобудуванні є обмежений доступ до досліджуваних ділянок та все ще широко застосовувані руйнівні методи вимірювань. Це робить актуальною розробку методів геометричного моделювання скалярних полів за обмеженими експериментальними даними.

Отже, розв'язання виділеної наукової проблеми має також практичне значення для народного господарства країни.

Актуальність теми дисертаційної роботи обумовлюється вказаною загальнонауковою проблемою.

Серед полів різної фізичної природи, які є об'єктом досліджень фахівців прикладних галузей, значну частку складають стаціонарні скалярні поля.

Так, в машинобудуванні при моделюванні температурне поле вважається сталим не тільки при стаціонарному режимі експлуатації механізму, але й за умови незначної глибини проникнення температурних хвиль та малих амплітуд коливань температури на поверхнях деталей за робочий цикл. Такі умови формування температурних полів мають місце, наприклад, для деталей камер згоряння двигунів.

Таким чином, розповсюдженість задач, які пов'язані з дослідженням стаціонарних температурних полів, та велике практичне значення результатів таких досліджень дозволяють виділити ці поля в якості головного об'єкту наших досліджень.

Отже, наукова проблема, на розв'язання якої спрямовані основні зусилля при виконанні дисертаційних досліджень, обмежується необхідністю створення нових спільних підходів до розробки методів геометричного моделювання стаціонарних скалярних полів в задачах зі змішаним поданням інформації про відновлювану функцію та пошуком можливостей поширення цих методів на задачі з іншими видами залежностей.

Під змішаним поданням інформації про відновлювану функцію розуміється її неперервне визначення за допомогою диференціального рівняння або базисних функцій та дискретних граничних умов.

Прикладом вдалого поширення розроблених загальних підходів до геометричного моделювання гармонічних поверхонь на основі використання дискретної інформації на інші види поверхонь і кривих є задачі відновлення експериментальних залежностей зі складним профілем, для яких аналітичні описи невідомі або невідомою є частина коефіцієнтів у структурі аналітичної моделі. Такі задачі притаманні галузям, де основу виробництва складають хімічні процеси: хімічній, текстильній, фармацевтичній та інших.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційні дослідження виконуються у відповідності до пріоритетного напрямку розвитку науки і техніки в Україні: "Нові комп'ютерні засоби та технології інформатизації суспільства" за темами: "Розробка інформаційних технологій геометричного моделювання скалярних полів" (номер державної реєстрації № 0105U002749) та "Розробка інформаційних технологій підтримки наукових досліджень при створенні прогресивних методів опорядження текстильних матеріалів" (номер державної реєстрації № 0104U002488), а також у відповідності до науково-дослідної програми кафедри прикладної математики та математичного моделювання Херсонського національного технічного університету за темою "Геометричне моделювання в алгоритмах обчислювальної математики" (номер державної реєстрації 0106U011443).

Мета і задачі дослідження.

Метою дисертаційної роботи є розробка теоретичних основ та алгоритмів реалізації нових ефективних методів геометричного та статистичного моделювання скалярних полів для традиційних та нетрадиційних постановок граничних задач.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати наступні задачі:

- провести аналіз постановок задач, що виникають в сучасній інженерній практиці при дослідженні стаціонарних скалярних полів, та їх забезпеченості ефективними методами розв'язання;

- довести доцільність розробки нового напрямку методів геометричного моделювання та сканування в окремих точках скалярних полів (на прикладі стаціонарних) шляхом усереднення результатів суперпозиції поверхонь, носіями яких є адаптивні інваріантні шаблони;

- розробити теоретичні основи методу усереднення адаптивних інваріантних шаблонів, як першого представника методів вказаного напрямку;

- навести приклади доцільності використання адаптивних інваріантних шаблонів при відновленні залежностей, які не є гармонічними, та започаткувати поширення методу усереднення адаптивних інваріантних шаблонів на такі задачі;

- визначити нові підходи до інтерпретації геометричної сутності лінійних множників в виразах базисних функцій трикутних скінченних елементів лагранжевого типу і запропонувати нові методи безпосереднього формування виразів названих базисних функцій без складання систем лінійних алгебраїчних рівнянь;

- запропонувати новий підхід (на основі спільної концепції адаптації інваріантних шаблонів) до оптимізації кубатурних формул для трикутних скінченних елементів лагранжевого типу при їх застосуванні в класичному методі скінченних елементів;

- доповнити теорію дискретних випадкових блукань закономірностями впливу геометричних чинників на властивості таких блукань з одним і багатьма стартами, коли областями гармонічності є скінченні елементи різних типів;

- ввести до кола наукових досліджень задачі встановлення ймовірнісних характеристик випадкових блукань з багатьма стартами, що починаються в вузлах інваріантних шаблонів, які довільно орієнтовані в областях гармонічності;

- визначити можливості спрощених моделей несиметричних випадкових блукань для тестування кубатурних формул; запропонувати критерії статистичного оцінювання адекватності таких моделей спектрам вагових коефіцієнтів кубатурних формул;

- показати можливості використання та виконати оцінку ефективності застосування запропонованих методів при розв'язанні модельних та реальних прикладних задач.

Об'єктом дослідження є скалярні поля різної природи.

Предметом дослідження є методи побудови геометричних моделей скалярних полів при нетрадиційних постановках граничних задач.

Методи дослідження. При розв'язанні поставлених у роботі задач використовуються методи аналітичної та диференціальної геометрії, методи теорії функцій комплексного змінного та конформних відображень, методи комп'ютерного імітаційного моделювання, обчислювальні методи, методи теорії ймовірностей та математичної статистики, метод скінченних елементів.

Загальною інформаційною та теоретичною базою для проведених досліджень є роботи вітчизняних та зарубіжних науковців:

- у області методів прикладної геометрії ліній та поверхонь: Ю.І. Бадаєва, П. Без'є, В.В. Ваніна, В.В. Верещаги, С.М. Ковальова, Ю.М. Ковальова, В.М. Корчинського, Л.М. Куценка, В.М. Малкіної, В.Є. Михайленка, А.В. Найдиша, В.М. Найдиша, В.С. Обухової, А.В. Павлова,О.Л. Підгорного, С.Ф. Пилипаки, М. Пратта, Є.В. Пугачова, С.І. Пустюльги, І.А.Скідана, А. Фокса та інших;

- з теорії функцій комплексного змінного та конформних перетворень: М.А. Євграфова, В. Коппенфельс, М.А. Лаврентьєва, В.I. Лаврика, В.Є. Михайленка, С.Ф. Пилипаки, С. Стоілова, П.Ф. Фільчакова, Б.В.Шабата, Ц. Штальмана та інших;

- у області геометричного моделювання температурних полів: І.А. Базилевича, В.М. Малкіної, Д.В. Неснова, Є.В. Пугачова, О.В. Шоман та інших;

- з методу скінченних елементів: Б. Айронса, Д. Аргіриса, К. Бреббіа, Ж. Деклу, О. Зенкевича, Дж. Коннора, В.Г. Коренєєва, Г.І. Марчука, Ю.І. Немчинова, Д. Норри, Дж. Одена, Л. Сегерлінда, М. Секуловича, Г. Стренга, Дж. Фікса, Ф. С'ярле, Ж. де Фріза та інші;

- у галузі геометрично-ймовірнісного моделювання: А.Н. Хомченка, Н.В. Валько, П.Й. Гучека, Л.І. Камаєвої, О.С. Манойленко, В.М. Сеничака, О.В. Цибуленко;

- з обчислювальних методів: Дж. Алберга, В.Ф. Бабенка, К. де Бура, С.Н. Бернштейна, Л. Коллатца, В.І. Крилова, Г.І. Марчука, І.П. Мисовських, С.М. Нікольського, В.І. Пінчукова, С.Л. Соболева, І.М. Соболя та інших.

Наукова новизна одержаних результатів визначається наступними положеннями.

1. Вперше в прикладній геометрії в якості теоретичної основи методу сканування в окремих точках стаціонарного скалярного поля запропоновану збіжну схему усереднення результатів суперпозиції кусково-сталих апроксимацій гармонічної поверхні на наборі адаптивних інваріантних шаблонів.

2. Поповнено бібліотеку методів побудови базисних функцій скінченних елементів двома методами, які дозволяють безпосередньо формувати вирази базисних функцій трикутних скінченних елементів лагранжевого типу довільного порядку.

3. Вперше сформульовані та доведені властивості одночасних випадкових блукань зі стартами в вузлах інваріантних шаблонів, які довільно позиціоновані в областях гармонічності у вигляді симплексів і мультиплексів різних вимірностей.

4. Розроблено новий підхід до оптимізації кубатурних формул з метою зменшення похибки методу скінченних елементів при їх застосуванні. Підхід дозволяє контролювати проміжки зміни знаків вагових коефіцієнтів кубатурної формули та величину сліду матриці жорсткості скінченого елемента. В межах цього підходу побудовані, протестовані та рекомендовані до використання в задачах відновлення стаціонарних скалярних полів за методом скінченних елементів кубатурні формули для трикутних скінченних елементів лагранжевого типу третього та четвертого порядків.

5. Дістали подальшого розвитку та обґрунтування методи розробки спрощених моделей випадкових блукань для тестування спектрів вагових коефіцієнтів кубатур них формул.

6. Поліноми С.Н.Бернштейна вперше використано в якості інваріантних обчислювальних шаблонів для аналітичного опису нелокального кубічного сплайну. Побудована модифікації цього сплайну, які дозволяють зберігати проміжки монотонності експериментальної залежності. Ці результати підтверджують існування можливості ефективного використання інваріантних шаблонів при відновленні залежностей, що відмінні від гармонічних.

7. Вперше виявлено існування ймовірнісних властивостей у базисних поліномів С.Н.Бернштейна. На їх основі побудовано сім'ю функцій щільностей розподілу ймовірностей для випадкових величин з однойменним розподілом. Обчислено їх ймовірнісні характеристики. Встановлено місце розподілу С.Н. Бернштейна в загальній класифікації імовірнісних розподілів за К. Пірсоном та його зв'язок з іншими відомими ймовірнісними розподілами.

Усі положення наукової новизни встановлені або доведені за рахунок визначення геометричної сутності перелічених задач, врахування геометричних властивостей досліджуваних об'єктів та впливу геометрії розташування вузлів інваріантних шаблонів на точність отримуваних розв'язків. Конкретні приклади наведені при викладенні основного змісту роботи.

Обґрунтованість і вірогідність наукових положень, висновків і рекомендацій підтверджується коректним використанням положень прикладної геометрії, виведенням аналітичних залежностей, порівнянням розв'язків, які отримані різними методами, статистичним оцінюванням стохастичних параметрів, комп'ютерною візуалізацією геометричних об'єктів в процесі моделювання.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблений метод усереднення адаптивних інваріантних шаблонів дозволяє зменшити витрати на діагностику температурних полів в окремих точках. Запропоновані кубатурні формули дозволяють підвищити точність відновлення неперервного стаціонарного скалярного поля за методом скінченних елементів. Одержані результати впроваджені в інженерну практику дослідження температурних полів теплонавантажених конструктивних елементів транспортних засобів в асоціації підприємств по виробництву тракторів, двигунів та запасних частин "Укртрактор" (м. Харків), у відкритому акціонерному товаристві (ВАТ) по виробництву сільськогосподарської техніки "Червона зірка" (м. Кіровоград), у ВАТ "Херсонські комбайни" (м. Херсон).

Запропоновано новий метод визначення точок еквівалентності кривих титрування. Побудований модифікований нелокальний кубічний сплайн на основі поліномів С.Н. Бернштейна дозволяє ефективно розв'язувати інші задачі, що зводяться до встановлення координат точок перегину дискретно поданих кривих, які мають сходинкоподібний профіль. Розроблений ППП "Дисоціація" використовується у хімічній лабораторії ВАТ "Чернігівське Хімволокно".

Розроблені алгоритми усереднення граничної інформації про поведінку відновлюваної функції з адаптивних інваріантних шаблонів, кубатурні формули, методи відновлення базисних функцій використовуються у навчальному процесі Херсонського національного технічного університету при викладанні курсів "Обчислювальна математика" та "Прикладна математика".

Математичне та програмне забезпечення відновлення одновимірних залежностей з сходинкоподібним профілем використовуються в навчальному процесі Херсонського національного технічного університету (кафедра фізичної та неорганічної хімії) та Черкаського державного технологічного університету (кафедра хімії та кафедра технології неорганічних речовин) при викладанні студентам хімічних спеціальностей (7.091602, 7.091610) методів кількісного аналізу.

Особистий внесок здобувача. Всі положення, що виносяться на захист і складають наукову новизну виконаних досліджень, отримані особисто здобувачем. В публікаціях, які підготовані з участю співавторів, результати, що належать здобувачу, вказані в списку опублікованих праць за темою дисертації.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на наступних конференціях, симпозіумах та семінарах: Міжнародній конференції "Сучасні тенденції розвитку природничо-математичної освіти" (м. Херсон, 2002 р.), третьому українсько-російському науково-технічному і методичному симпозіумі "Сучасні інформаційні технології в науці, виробництві, освіті і управлінні" (м. Хмельницький, 2003 р.), Всеукраїнській науковій конференції молодих вчених та студентів "Наукові розробки молоді на сучасному етапі" (м. Київ, 2003 р.), VII Міжнародній науково-практичній конференції "Наука і освіта '2004" (м. Дніпропетровськ, 2004 р.), міжвузівській науково-практичній конференції "Проблеми легкої та текстильної промисловості" (м. Херсон, ХДТУ, 2001, 2004 рр.), Х міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (м. Київ, 2004 р.), VI та VIII науково-практичних міжнародних конференціях "Інформаційні технології в освіті та управлінні" (м. Нова Каховка, 2004, 2006 рр.), Міждержавній науково-методичній конференції "Проблеми математичного моделювання" (м. Дніпродзержинськ, 2004 р.), 8-мій Міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м. Мелітополь, 2004 р.), третій Міжнародній науково-практичній конференції "Динаміка наукових досліджень `2004" (м. Дніпропетровськ, 2004 р.), Міжнародній науково-практичній конференції "Інформаційні технології в системі керування вищою освітою України" (м. Херсон, 2004 р.), науково-практичній конференції "Перспективні розробки науки та техніки" (м. Белгород, 2004 р.), Міжнародній науково-практичній конференції "Науковий потенціал світу `2004" (м. Дніпропет-ровськ, 2004 р.), третій всеросійській конференції “Незворотні процеси в природі та в техніці” (м. Москва, 2005 р.), Міжнародних українсько-російських науково-практичних конференціях "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м. Харків, 2005, 2007 рр.), ХІІІ науковій конференції вчених України, Білорусі, Росії "Прикладні задачі математики та механіки" (м. Севастополь, 2005 р.), Х науково-методичній конференції викладачів вузів та шкіл України, Білорусі, Росії "Методи вдосконалення фундаментальної освіти в школах та вузах" (м. Севастополь, 2005 р.), VI Міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні інформаційні та електронні технології" (м. Одеса, 2005 р.), Всеукраїнських науково-методичних семінарах "Комп'ютерне моделювання в освіті" (м. Кривий Ріг, 2005, 2006 рр.), V Всеукраїнській науково-практичній конференції (пам'яті О.В. Сергєєва) "Теорія та методика навчання фундаментальних дисциплін у вищій школі" (м. Кривий Ріг, 2005 р.), Міжнародній конференції "Нові інформаційні технології в навчальних закладах України" пам'яті проф. І.І. Мархеля (м. Одеса, 2005 р.), IX Міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м.Дніпропет-ровськ, 2006 г.), VIII Міжнародній конференції з математичного моделювання, присвяченій 150-річчю зі дня народження А.А. Маркова (мм. Херсон-Феодосія, 2006 р.), ХІ Всеросійській конференції по проблемам науки та вищої школи "Фундаментальні дослідження та інновації в технічних університетах" (м. Санкт-Петербург, 2007 р.), ІІІ Міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м. Луцьк, 2008 р.).

В повному обсязі дисертація доповідалася на міжвузівському науковому семінарі при кафедрі прикладної математики та математичного моделювання Херсонського національного технічного університету під керівництвом проф. А.Н. Хомченка (2006-2008 рр.), на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії, інженерної і комп'ютерної графіки Київського національного університету будівництва та архітектури під керівництвом академіка В.Є. Михайленка (2007, 2008 рр.), на науковому семінарі харківської міської секції прикладної геометрії під керівництвом проф. Ю.М. Тормосова (2006), 9-ій Міжнародній науково-практичній конференції "Актуальні проблеми геометричного моделювання" (м. Мелітополь, 2007 р.), на регіональному науковому семінарі "Математичне моделювання, проблеми прикладної інформатики та управління" під керівництвом проф. О.І. Міхальова (м. Дніпропетровськ, 2007 р.), науковому семінарі при кафедрі прикладної математики і комп'ютерних технологій Таврійського агротехнологічного університету під керівництвом проф. А.В. Найдиша (м. Мелітополь, 2008 р.).

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 50 робіт, з яких 24 друкованих праць - у виданнях, які рекомендовані ВАК України, з них 10 підготовані одноосібно. Додатково результати дисертаційних досліджень висвітлені в 26 публікаціях, з яких 5 - тези доповідей, 21 - стаття в збірках матеріалів конференцій та інші виданнях.

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел, додатків. Повний обсяг дисертації становить 425 сторінок, вона містить 114 рисунків, 45 таблиць, список використаних джерел з 415 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність наукової проблеми та обґрунтовано її актуальність, сформульовано мету і задачі дослідження, викладено наукову новизну і практичне значення одержаних результатів, висвітлено апробацію роботи.

У першому розділі на підставі аналізу тематики останніх досліджень провідних наукових шкіл з прикладної геометрії виділяються пріоритетні напрямки розвитку галузі на сучасному етапі. Показано, що поряд з традиційними напрямками досліджень щодо формоутворення криволінійних поверхонь технічних об'єктів до пріоритетних напрямків досліджень долучаються пошуки нових методів геометричного моделювання скалярних та векторних полів різної природи.

Згідно з поставленою метою досліджено геометричні методи моделювання гармонічних полів в задачах теплопровідності. Показано, що в своїй більшості вони орієнтовані на розв'язання відповідних граничних задач у класичних постановках. Серед нетрадиційних постановок виділені задачі з дискретними, експериментально встановленими граничними умовами, задачі діагностики стаціонарного температурного поля в окремих точках та їх можливі комбінації.

Розв'язки останніх задач в областях правильної геометричної форми (або в об'єднаннях таких областей) дозволяє будувати метод барицентричного усереднення, який запропонований проф. А.Н.Хомченком. При переході до областей довільної форми недоліком цього методу є використання експертних оцінок в питаннях визначення оптимального розташування "стоп-кадрів", обмеження їх кількості, в питанні побудові монотонних схем усереднення інформації, яка отримана на окремих "стоп-кадрах".

В роботі показано, що на основі запропонованого нами підходу (плакат 5), шляхом адаптації інваріантних шаблонів за допомогою конформних перетворень до областей довільної форми і зміни правил усереднення для гармонічних функцій вдається подолати вказані труднощі.

Обчислювальний шаблон будемо називати інваріантним за аналогією з поняттями "інваріантна множина" або "інваріантна кубатурна формула", тобто коли його вузли розташовані в вершинах правильного багатокутника і мають рівні вагові коефіцієнти. Отже, у інваріантному вигляді шаблони можуть використовуватися тільки для області у формі круга (плакат 6).

Оскільки рівняння Лапласа є інваріантним відносно конформних перетворень, тому саме за допомогою них побудовану систему інваріантних шаблонів будемо переносити на довільну область, тобто виконувати їх адаптацію.

Відзначимо джерела походження ідей, синтез яких привів до утворення методу адаптивних інваріантних шаблонів.

В методі Лібмана значення гармонічної функції у вузлах сітки знаходять внаслідок ітераційного усереднення її значень в вузлах, що оточують поточний вузол. Отже, чотири зовнішні вузли відомого пятиточкового різницевого шаблону утворюють інваріантний шаблон в означеному вище сенсі. В сіткових методах моделюється каркас відновлюваної поверхні над всією досліджуваною областю за інформацією з усіх граничних вузлів. Тому природно виникає гіпотеза, що знаходження значення в одній точці можливо за рахунок значно меншої кількості граничної інформації.

Площина є найгрубішим наближенням будь-якої поверхні. Тому найпростіший шаблон для наближення значення гармонічної функції має бути трикутним у відповідності до найменшої кількості точок, що однозначно визначають площину. Форма шаблона адаптується у відповідності до форми області та положення досліджуваної точки. На основі такого шаблону виконується кусково-стала апроксимація гармонічної поверхні площиною. В роботі показано, що при раціональному формуванні системи шаблонів послідовність точок перетину побудованими площинами перпендикуляру, з основою в досліджуваній точці, має особливу властивість: осереднені частинні суми аплікат послідовності точок перетину збігаються до значення гармонічної функції в досліджуваній точці. Збіжність алгоритму обґрунтовується на основі теореми про середнє значення гармонічної функції в центрі кола та інваріантності розв'язків рівняння Лапласа стосовно конформних перетворень.

На рис. 1 представлена схема діагностики стаціонарного скалярного поля при можливості експериментального визначення значень гармонічної функції в усіх потрібних точках границі.

Зауважимо, що зображені на рис. 1 трикутники, слугують для уявного об'єднання вузлів у шаблони, їх сторони не піддають конформним перетворенням.

Прискоренню збіжності алгоритму сприяє орієнтація системи шаблонів відносно найближчої точки границі. Дамо стислі пояснення до рис. 1. Для відновлення значення гармонічної функції в точці А знаходимо найближчу точку границі В. За допомогою конформного перетворення досліджуваної області на довільний круг знаходимо тільки координати образів точок А та В. Конформне перетворення переводить довільний круг в круг з центром в досліджуваній точці. Це перетворення не виконується і приведене для визначення параметрів оберненого до нього перетворення .

Для круга формується система інваріантних шаблонів, вузли яких ділять границю круга на рівних частин (рис. 2). За допомогою послідовного виконання обернених конформних перетворень та систему інваріантних шаблонів адаптують до форми досліджуваної області. На кожному адаптованому інваріантному шаблоні виконують кусково-сталу апроксимацію гармонічної поверхні. Побудовані площини перетинають перпендикуляр, з основою в точці А, таким чином, що осереднені частинні суми аплікат цієї послідовності точок, з ростом прямують до точного значення гармонічної функції в точці А.

Подвоюючи значення , утворюють ітераційний процес, який обривають, коли два послідовні наближення шуканого значення відрізняються менше, ніж на встановлене . Кроки алгоритму, що виконуються в циклі, на рис. 1 виділені пунктиром.

В дисертації розглядаються можливості модифікації методу стосовно послідовної зміни кількості обчислювальних шаблонів та при обмеженнях на експериментальне встановлення граничних умов.

До позитивних якостей методу віднесемо застосування конформних перетворень тільки до граничних точок (за виключенням однієї внутрішньої - досліджуваної), що зменшує обсяги обчислень, відсутність потреби моделювати неперервні граничні умови (і відповідно відсутність впливу обраної моделі на результати обчислень), відсутність потреби в дискретизації області, прискорення збіжності послідовності частинних сум за рахунок орієнтації системи шаблонів відносно найближчої точки границі. Недоліки методу обумовлюються успадкованими складностями застосування конформних перетворень.

Інший підхід до адаптації інваріантних обчислювальних шаблонів використано в четвертому розділі при розв'язанні задачі оптимізації кубатурних формул для трикутних скінченних елементів з метою їх застосування при відновленні гармонічної функції за методом скінченних елементів.

При розв'язанні одновимірної задачі - встановлення точок перегину кривої з сходинкоподібним профілем за експериментальними даними - в якості обчислювальних шаблонів використовуються кубічні поліноми С.Н. Бернштейна для представлення ланок кубічного нелокального сплайну. Інваріантність поліномів С.Н. Бернштейна (у означеному вище сенсі існування групи перетворень) визначається симетричним розташуванням вузлів відносно центру поточної ланки сплайну.

В першому розділі обґрунтовується вибір способу адаптації цих шаблонів з метою збереження нелокальним кубічним сплайном проміжків монотонності експериментальної залежності. Для використання обрано алгоритм ENO-модифікації нелокальних сплайнів, запропонований російським академіком В.І. Пінчуковим.

У другому розділі розглядаються геометричні чинники, що впливають на формування виразів базисних функцій дискретних елементів, на прикладі скінченних елементів вищих порядків.

В роботі доводиться твердження щодо незмінності виразу добутку (1) рівнянь множини прямих, яка утворена спеціальним чином.

Твердження. Нехай на інтервалі випадковим чином вибрана послідовність точок , . На прямій вибрано послідовності точок та , . Добуток рівнянь прямих, що проходять через точки та або (рис. 4) не залежить від способу вибору точок в послідовностях та і дорівнює

Нами також запропонована геометрично-ймовірнісна інтерпретація рекурентної процедури побудови базисних функції трикутних скінченних елементів, яка дозволяє рекомендувати ще один метод відновлення виразів цих функцій. Він легко поширюється на тетраедральні скінченні елементи.

Обсяг автореферату не дозволяє навести описи алгоритмів виконання обох запропонованих методів: геометричного та геометрично-ймовірнісного. З ними можна ознайомитися в роботах [21-23].

В третьому розділі дисертаційної роботи досліджуються припустимі умови дискретизації схем випадкових блукань "по сферах (колах)" для задач відновлення гармонічних функцій в областях у формі дискретних елементів з дискретно заданими граничними умовами. Розглядаються можливі наближення сфер і кіл інваріантними шаблонами відповідної вимірності. Одночасно отримані результати сприяють подальшому розкриттю подвійної природи базисних функцій цих елементів.

У термінології випадкових блукань базисні функції дискретних елементів визначають ймовірності переходу блукаючої частинки з даної точки в граничні вузли так, щоб винагорода за потрапляння в поглинаючий вузол співпадала зі значенням інтерполянту дискретного елемента в точці старту блукань.

Нашими попередниками досліджувалися властивості випадкових блукань в дискретних елементах з однією блукаючою частинкою. Нами вперше сформульовано та досліджено задачі встановлення властивостей блукань з багатьма одночасними стартами. Результатом досліджень стало доведення низки тверджень стосовно виразів математичних сподівань перехідних ймовірностей у вузол дискретного елемента блукаючої частинки, яка входить до складу системи частинок, що виконують одночасні блукання.

Твердження. Математичне сподівання перехідної ймовірності з будь-якої точки, що входить до множини n точок, які одночасно випадковим чином вкинуті у двовимірний симплекс, у вершину цього симплексу дорівнює ймовірності переходу з барицентра множини вкинутих точок в ту ж вершину симплексу.

Наслідок. Математичне сподівання відстані від будь-якої точки, що входить до множини n точок, які одночасно випадковим чином вкинуті у двовимірний симплекс, до сторони цього симплексу дорівнює відстані від барицентра множини вкинутих точок до тієї ж сторони симплексу.

Стосовно місця знаходження барицентра системи точок, випадковим чином вкинутих в сиплекс, нами вперше встановлена наступна закономірність.

Твердження. Локальні координати барицентра системи n точок, вкинутих у двовимірний симплекс, за ймовірністю збігаються до локальних координат барицентра симплексу, якщо кількість точок системи необмежено зростає:

Твердження доводиться на підставі закону великих чисел, за яким середнє арифметичне спостережених значень випадкової величини за ймовірністю збігається до її математичного сподівання.

Аналогічні тотожності мають місце при зростанні вимірності симплексів. Відповідні твердження для тривимірних симплексів та симплексів довільної вимірності нами вперше доведені в дисертаційній роботі.

Як показали наші дослідження, випадкові блукання з багатьма стартами в мультиплексах мають парадоксальну з геометричної та аналітичної точки зору властивість, яка полягає в тому, що значення математичного сподівання перехідної ймовірності з кінця відрізка в даний вузол мультиплексу не співпадає з значенням перехідної ймовірності із барицентра цього відрізка в той же вузол мультиплексу (рис. 8), а при одночасних блуканнях зі стартами в вершинах правильного багатокутника, починаючи з трикутника, має місце рівність названих величин. На рис. 9 наведено графік траєкторії точки відрізка , ймовірність переходу з якої дорівнює математичному сподіванню перехідної ймовірності з кінця відрізка в обраний вузол мультиплексу. Назвемо цю точку точкою ймовірнісної рівноваги. Форма траєкторії деформується в залежності від координат центра відрізка в локальній системі координат мультиплексу та кута його нахилу до осі абсцис, але петлеподібний характер зберігається при будь-яких можливих сполученнях значень параметрів. Отримано аналітичний опис цієї траєкторії.

Умови співпадіння точки ймовірнісної рівноваги з геометричним центром сформульовані та доведені нами у вигляді твердження.

Твердження. Математичне сподівання перехідної ймовірності з кінця відрізка, вкладеного випадковим чином в двовимірний мультиплекс, у вершину цього мультиплексу дорівнює ймовірності переходу з барицентра вкладеного відрізка в ту ж вершину мультиплексу, якщо відрізок паралельний одній з сторін мультиплексу.

Зростання кількості блукаючих в мультиплексі частинок до трьох і більше приводить до зникнення парадоксу.

Твердження. Математичне сподівання перехідної ймовірності з вершини правильного n-кутника , вкладеного випадковим чином в двовимірний мультиплекс, у вершину цього мультиплексу дорівнює ймовірності переходу з барицентра вкладеного n-кутника в ту ж вершину мультиплексу.

При переході до тривимірного простору в дисертаційній роботі спочатку доводиться низка допоміжних тверджень стосовно виразу математичного сподівання перехідної ймовірності з вершини правильних багатокутників, призм, антипризм у вузол тривимірного мультиплексу. Отримані залежності дозволили більш ефективно довести властивості випадкових блукань зі стартами в вершинах правильних багатогранників, об'єднуючи їх вершини в групи, для яких значення необхідних виразів вже відомі. Остаточно отримано такий результат.

Твердження. Математичне сподівання перехідної ймовірності з вершини правильного багатогранника (тіла Платона), крім тетраедра, випадковим чином вкладеного у тривимірний мультиплекс, у вершину цього мультиплексу дорівнює перехідній ймовірності з барицентра правильного багатогранника (тіла Платона), у ту ж вершину мультиплексу:

На основі отриманих тверджень можна зробити такі висновки стосовно рандомізованих алгоритмів відновлення гармонічних функцій в областях спеціальної форми з дискретно заданими граничними умовами. В схемах випадкових блукань для вказаних задач доцільним і виправданим є наближення кіл правильними багатокутниками, а сфер - правильними багатогранниками (крім тетраедрів). Області гармонічності у виглядів симплексів припускають значні відхилення від правильної форми шаблонів дискретизації сфер і кіл в межах виконання вимог відповідних тверджень.

У четвертому розділі досліджуються можливості адаптації інваріантних шаблонів в задачах оптимізації кубатурних формул для трикутних дискретних (на прикладі скінченних) елементів третього і четвертого порядків. Інтерполяційні кубатурні формули для трикутних скінченних елементів вищих порядків мають аномальні спектри вагових коефіцієнтів з від'ємними та нульовими значеннями, що може приводити до значного погіршення якості апроксимації відновленої функції. Нами встановлена причина і доведена закономірність виникнення нульових вагових коефіцієнтів в інтерполяційних кубатурних формулах для трикутників.нтерполяційних роботі нами доведена закономірність виникнення нульових вагових коефіцієнтів в кубатурних фориулахльних багаток

Твердження. В кубатурних формулах, які побудовані за методом невизначених коефіцієнтів, для трикутних скінченних елементів парних порядків вагові коефіцієнти вузлових значень підінтегральної функції в вершинах скінченних елементів дорівнюють нулю.

Критерієм оптимальності кубатурної формули в методі скінченних елементів часто слугує величина сліду матриці жорсткості (теплопровідності) при збереженні її додатної визначеності за інших рівних умов.

До зменшення сліду матриці жорсткості, як окремих скінченних елементів, так і глобальної матриці жорсткості, приводить застосування кубатурних формул гауссового типу, що використовують нові внутрішні вузли, які, як правило, не співпадають з вузлами елементів. В той же час, при програмній реалізації МСЕ часто доцільним є використання вузлів на сторонах скінченних елементів.

На прикладі граничних задач для квазігармонічних рівнянь нами показана можливість побудови кубатурних формул для трикутних скінченних елементів третього та четвертого порядків, які дозволяють отримувати матриці жорсткості (теплопровідності) елементів з слідами, які дорівнюють або близькі до слідів тих же матриць, отриманих при виконанні операції інтегрування аналітично

Під відносною величиною сліду матриці жорсткості ми розуміємо величину сліду матриці, яка отримується з матриці жорсткості скінченного елемента у формі правильного трикутника після винесення з неї всіх постійних множників. Середовище вважається ізотропним.

Формула (11) отримана при значенні , яке останнім приводить до невід'ємних коефіцієнтів кубатурної формули типу (6) та відносній величині сліду матриці жорсткості матриці рівному .

Формула (12) отримана при значенні , яке приводить до появи від'ємних коефіцієнтів в кубатурній формули, але дає слід матриці, як при точному інтегруванні, , коли операція інтегрування не робить внеску у похибку методу скінченних елементів.

Аналіз отриманих залежностей (рис. 12-13) значень вагових коефіцієнтів від координат вузлів шаблонів (13) показує, що побудова кубатурної формули з необхідними якостями можлива лише при переродженні трикутного скінченного елемента і виникненні кратних вузлів.

Аналіз залежностей (14) та їх графіків (рис. 14) приводить до висновку, що оптимальна кубатурна формула має спектр вагових коефіцієнтів (14), отриманий при . Оскільки не існує жорсткої залежності між характеристиками кубатурної формулами та точністю розв'язків, які отримують методом скінченних елементів з її використанням, то оптимальну кубатурну формулу при відновленні квазістаціонарних скалярних полів знайдемо на виділеному проміжку шляхом комп'ютерних експериментів. Необхідні випробування виконані в шостому розділі дисертаційної роботи.

Експериментальне доведення існування функцій, для яких дана кубатура є оптимальною, може бути здійснено шляхом побудови адекватної моделі випадкових блукань, за якою відновлюється спектр вагових коефіцієнтів цієї кубатурної формули. В дисертаційній роботі досліджено можливості побудови спрощених схем випадкових блукань із залученням областей тяжінні навколо внутрішніх вузлів. Показано, що з ростом порядку елементів симетричної форми областей тяжіння (аналогу дифузійної плями) недостатньо для відтворення довільного невід'ємного спектру вагових коефіцієнтів. Під час тестування досліджувалися вплив геометрії області тяжіння навколо внутрішніх вузлів, вплив характеристик сітки, по якій виконуються блукання та вплив перехідних ймовірностей. Розроблено рекомендації щодо побудови адекватних моделей випадкових блукань для відтворення додатних вагових спектрів кубатурних формул трикутних скінченних елементів вищих порядків.

Оцінку адекватності моделі випадкових блукань пропонується виконувати за допомогою відомого статистичного критерію при відповідній інтерпретації його параметрів. Для використовуваних в роботі кубатурних форму з додатними спектрами вагових коефіцієнтів проведені вказані тестування. В п'ятому розділі розглядаються одновимірні задачі відновлення за експериментальними даними залежностей з складним сходинкоподібним профілем. На прикладі хімічної задачі про встановлення координат точок еквівалентності кривих титрування показано необхідність розробки відповідного моделюючого апарату. Застосування стандартних види сплайнів в цих випадках приводить до виникнення осциляцій, що не припустимо за хімічним змістом задачі. До тестування були включені всі види сплайнів, що входять до пакету Spline Toolbox системи комп'ютерної математики MATLAB. В якості інваріантних шаблонів для побудови нелокального сплайну нами вперше запропоновано використовувати поліноми С.Н. Бернштейна третього порядку, що дозволило подати поліноми з поточних ланок сплайну у вигляді: Значення невідомих коефіцієнтів полінома (17) через другі похідні в точках стику ланок сплайну виражаються так:

Відзначимо відмінності сплайнової функції, яка побудована на основі поліномів (17), від класичного випадку. По-перше, класичний кубічний поліном має три невизначені коефіцієнти: (за означенням), а при використанні полінома С.Н. Бернштейна маємо лише два невідомі коефіцієнти (18).

По-друге, при чисельному розв'язанні системи (19), ланки сплайнів, побудованих на основі класичних поліномів, мають розриви в точках стику. Неперервність сплайнів, що побудовані на основі полінома (17), не залежить від способу розв'язання системи (19). На кінцях відрізків доданки, що містіть коефіцієнти та, дорівнюють нулю.

Тобто, коефіцієнти та можна інтерпретувати як наближені значення функції, яка відновлюється, в точках, які ділять проміжки інтерполяції на три рівні частини. Незважаючи на позитивні властивості, побудованого нами кубічного нелокального сплайну на основі поліному С.Н.Бернштейна (17) в силу теореми про існування і єдиність поліноміального кубічного нелокального сплайна, графік цього сплайну співпадає з графіком класичного поліноміального сплайну третього степеня, дефекту 1. Тобто він зберігає схильність до осциляцій при інтерполяції недостатньо гладких експериментальних залежностей. Таким чином, властивість поліномів С.Н.Бернштейна наближувати функцію разом з її похідними при їх ансамблюванні втрачається.

Модифікуємо, побудований нами сплайн за допомогою алгоритму акад. В.І. Пінчукова з метою надання йому властивості зберігати проміжки монотонності експериментальної залежності. Вибір алгоритму модифікації обґрунтований в першому розділі дисертаційної роботи. За цим алгоритмом система (19) замінюється на систему (20):

Отже, модифікований сплайн повністю визначається формулами (17, 20-21). Нами вперше показано, що після нормування у базисних поліномів Бернштейна наявні всі ознаки функцій щільностей розподілу ймовірностей.

Шостий розділ дисертаційної роботи присвячений практичному застосуванню отриманих теоретичних результатів. Задачі, які представлені в цьому розділі, можна розділити на дві групи: модельні та реальні. На модельних задачах тестувалися можливості алгоритмів реалізації запровадженого методу усереднення адаптивних інваріантних шаблонів. Реальні задачі пов'язані з впровадженням отриманих результатів в інженерну практику.

Для ілюстрації можливостей методу усереднення адаптивних інваріантних шаблонів при діагностиці стаціонарних скалярних полів використано задачі відновлення електростатичного потенціалу всередині металевої труби, стаціонарних температурних полів в областях у формі кардіоїди та овалу Кассіні. Задачі розв'язувалися кількома методами: класичним методом скінченних різниць, його модифікацією - методом Лібмана, методом Монте-Карло та запропонованим методом. Точність усіх методів оцінювалася відносно аналітичного розв'язку (для кола) та відносно розв'язку, який отримано за методом Лібмана, - в усіх інших випадках, оскільки системи різницевих рівнянь були погано обумовленими. Найбільшу швидкість збіжності метод усереднення адаптивних інваріантних шаблонів демонструє в центрах ваги областей з поступовим уповільненням при наближенні до границі області гармонічності.

Побудовані за допомогою методу усереднення адаптивних інваріантних шаблонів кубатурні формули для трикутних скінченних елементів третього порядку тестувалися на задачах відновлення за методом скінченних елементів температурного поля квадратного перерізу з змішаними граничними умовами, відновлення поверхні Прандтля, що спирається на трапецію, температурного поля середовища з точковим джерелом. В усіх випадках розв'язок, який отриманий при застосуванні кубатурної формули (12), співпадав з розв'язком, який отримано при виконанні операції інтегрування аналітично. Кубатурна формула (11) у порівнянні з класичної кубатурною формулою (6) на однакових сітках дискретизації області давала незмінно кращу якість апроксимації відновлюваної області, як за середньою відносною похибкою (%), так і за максимальним відхиленням за всіма вузлами сітки дискретизації.

Для емпіричного пошуку оптимальної кубатурної формули для трикутних скінченних елементів четвертого порядку на проміжку, а=2/3 використано задачу відновлення температурного поля квадратної пластини з швидкою зміною градієнтів. Для формування граничних умов використано тригонометричні функції (,) з різними значеннями .

Отримані теоретичні результати застосовувалися при дослідженні температурних полів випускного клапана А05.11.008 дизельного двигуна ЯМЗ-238 (рис. 17) та уніфікованих елементів (опорної втулки 151.37.321 та металокерамічного підшипника ковзання) групи трансмісії (рис. 18) тракторів виробництва ВАТ "ХТЗ" (Т150-К, Т170 та інших). Дослідження проводилися з метою розробки рекомендацій щодо оптимізації теплового навантаження названих деталей.

Максимальна відносна похибка при застосуванні запропонованих кубатурних формул за всіма задачами складає 0,23% по відношенню до розв'язків, які отримані при виконанні операції інтегрування аналітично, а при застосуванні класичних кубатупних формул ? 3,73%.

Вимірювання виконувалися на експериментальній установці (рис. 19) в лабораторії Херсонської філії ХНАДУ в рамках договорів про співпрацю з ВАТ "ХТЗ".

Модифікований сплайн на основі поліномів С.Н.Бернштейна, який побудовано в п'ятому розділі, використаний при створенні ППП "Дисоціація". Він пройшов апробацію на кафедрах аналітичної хімії Херсонського національного технічного університету та кафедри хімії Черкаського державного технологічного університету. Після позитивної оцінки потенційними користувачами на ППП отримано авторське свідоцтво.

Для використання на виробництві ППП "Дисоціація" передано до хімічної лабораторії ВАТ "Чернігівське Хімволокно".

Але було встановлено, що кількість солі, яка додається, повинна бути обмежена першою точкою еквівалентності, тому що подальше введення солі до розчину приводить до випадіння осадку. Для визначення кількісного складу препарату і було використано створений ППП.

На рис. 20 пока-зано використання ППП "Дисоціація" при розробці препарату для брудовідштовхуваль-ного опорядження текстильних матеріалів на основі розчину кремнійорганічної сполуки алюмометил-силаноляту натрію (Петрасил 2М).

Для зниження рН робочого розчину співавтором робіт [1, 36] Шипіловим Ю.Г. запропоновано викону-вати нейтралізацію розчину Петрасилу 2М солями алюмінію.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі зроблено значний внесок в розв'язання загальнонаукової проблеми розробки ефективних методів моделювання скалярних полів за дискретними граничними умовами. Виконані дослідження в цілому започатковують розробку нового напрямку методів геометричного моделювання та сканування в окремих точках поверхонь (на прикладі гармонічних) шляхом усереднення результатів суперпозиції поверхонь, носіями яких є адаптивні інваріантні шаблони.

1. Аналіз сучасних потреб практики прикладних досліджень показав дефіцит методів моделювання стаціонарних скалярних полів, які були б ефективними в задачах сканування поля в окремих точках; при пошуку оптимальних граничних умов серед множини можливих при сталій геометрії області; при дискретно заданих граничних умовах тощо. Отже, існує необхідність створення нового напрямку методів геометричного моделювання поверхонь, які орієнтовані на умови експериментального дослідження стаціонарних скалярних полів та дискретне подання початкової інформації.

2. В роботі показано, що інваріантний шаблон є універсальним конструктивним засобом, який дозволяє на спільній методологічній основі розробити новий метод сканування стаціонарних скалярних полів в окремих точка та оптимізувати класичний метод скінченних елементів стосовно задачі відновлення неперервної квазігармонічної поверхні.

3. Показана можливість поширення запропонованого підходу на задачі відновлення залежностей, які не є гармонічними. На основі поліномів С.Н. Бернштейна, як одновимірних інваріантних шаблонів, здійснено опис нелокального кубічного сплайну та виконано його модифікацію з метою надання властивості зберігати проміжки монотонності експериментальної залежності.

4. Знайдені нові інтерпретації геометричної сутності складових виразів базисних функцій трикутних скінченних елементів лагранжевого типу дозволили запропонувати два власних методи безпосереднього формування виразів названих базисних функцій, уникаючи традиційного складання систем алгебраїчних рівнянь та проблем, що виникають при їх розв'язанні. Запропоновані методи зберігають переваги рекурентної процедури побудови базисних функцій.

5. Розроблений новий підхід до оптимізації кубатурних формул для трикутних скінченних елементів лагранжевого типу стосовно їх використання в методі скінченних елементів дозволяє контролювати взаємний вплив додатності спектру вагових коефіцієнтів кубатурної формули та величини сліду матриць жорсткості на величину внеску операції наближеного інтегрування в загальну похибку методу скінченних елементів.

6. Отримала подальшого розвитку теорія дискретних випадкових блукань стосовно визначення закономірностей впливу геометричних чинників на ймовірнісні характеристики таких блукань:

· узагальнено постановку задачі вивчення властивостей симетричних випадкових блукань в областях гармонічності у вигляді симплексів і мультиплексів різних вимірностей - здійснено перехід від одиночних блукань до одночасних множинних;

· вперше отримані вирази ймовірнісних характеристик означених блукань з багатьма одночасними стартами в вузлах інваріантних шаблонів, що довільно позиціоновані в області гармонічності;

· визначено можливості спрощених моделей несиметричних випадкових блукань для тестування кубатурних формул. Започатковано впровадження статистично обґрунтованих кількісних оцінок ефективності моделей випадкових блукань, що відтворюють спектри вагових коефіцієнтів кубатурної формули:

...