Элементы высшей математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Раздел 1. Математический анализ функции одного переменного

1. Элементы теории множеств

2. Вещественные и комплексные числа

3. Числовые последовательности

4. Числовые функции и их свойства

4.1 Числовая функция

4.2 Предел и непрерывность функции

5. Дифференцирование функции одного переменного

5.1 Понятие производной функции

5.2 Исследование функций

6. Неопределенный и определенный интегралы

6.1 Первообразная и неопределенный интеграл

6.2 Определенный интеграл

7. Кратные интегралы

7.1 Двойной интеграл и его приложения

7.2 Тройной интеграл и его приложения

Раздел 2. Ряды и дифференциальные уравнения

8. Числовые и степенные ряды

8.1 Числовые ряды

8.2 Признаки сходимости рядов со знакопостоянными членами

8.3 Признаки сходимости Даламбера, Коши и Лейбница

8.4 Степенные ряды

9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

9.1 Основные понятия и определения

9.2Уравнения с разделяющимися переменными

9.3 Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

9.4 Дифференциальные уравнения n-го порядка

9.5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

9.6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Раздел 3. Линейная алгебра

10. Операции над векторами

10.1 Векторы. Линейные операции над векторами

10.2 Линейно независимые системы векторов. Базис. Системы координат

11. Матрицы и определители

12. Системы линейных уравнений и неравенств

13. Экстремум функции нескольких переменных

13.1 Функция нескольких переменных

13.2 Частные производные и дифференцируемость ФНП

13.3 Локальный экстремум ФНП

13.4 Условный экстремум ФНП. Метод Лагранжа

Раздел 4. Основы дискретной математики

14. Введение в теорию множеств

15. Комбинаторика

16. Алгебраические системы

17. Бинарные отношения

18. Основы математической логики

19. Теория графов

Раздел 5. Теория вероятностей и математическая статистика

20. Случайные события

20.1 Случайные явления и события

20.2 Вероятность случайного события

20.4 Формула Бернулли. Формула Пуассона

20.5 Формула полной вероятности. Формула Бейеса

21. Случайные величины

21.1 Определение случайной величины

21.2 Непрерывные и дискретные случайные величины

21.2 Числовые характеристики случайных величин

21.3 Нормальный закон распределения случайной величины

21.4 Закон больших чисел

22. Элементы математической статистики

22.1 Основные задачи матнематической статистики

22.2 Построение эмпирической функции распределения Выборка

22.3 Оценка параметров случайной величины

22.4 Проверка статистических гипотез

22.5 Корреляционный анализ

22.6 Регрессионный анализ

22.7 Временные ряды

Раздел 6 Избранные разделы высшей математики

23. Задачи математического программирования

23.1 Постановка задачи математического программирования

23.2 Основные понятия линейного программирования

23.3 Задачи нелинейного и динамического программирования

24. Введение в теорию исследования операций

25. Теория массового обслуживания

26. Введение в теорию игр

Приложение 1

Приложение 2

Список литературы

математический функция распределение статистика

Раздел 1. Математический анализ функций одного переменного

1. Элементы теории множеств

Под множеством понимают некоторую совокупность элементов, объединенных по определенным признакам.

Множества состоят из элементов. Принадлежность элемента х множеству А записывается следующим образом: х g А. Если элемент х не принадлежит множеству А, то это записывается так: х Ј А.

Множество В называется подмножеством множества А, если все элементы множества В являются элементами множества А. То, что В является подмножеством множества А, записывается так: В сА (рис. 1.1).

Множество А

Подмножество В сА

Рис. 1.1 Множество А и подмножество В

Введем понятие пустого множества, т.е. множества, в котором не содержится ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом 0. Пустое множество содержится в любом множестве, т.е. 0 с А.

Объединением (суммой) множеств А_к (k = l, 2,...,n) называется множество S, которое состоит из всех элементов множеств А_к, т.е. если х g S, то х g А_к хотя бы при одном к.

Объединение множеств А_к (к = 1,2,...,n) обозначается символом

S = и Ak. (1.1)

k=1

Пересечением (произведением) множеств А_к (к =1,2,...,n) называется множество Р, которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно всем множествам А_к, т.е. если х е Р, то х е А_к при всех к=1,2,...,п.

Пересечение множеств А_к (к = 1,2,...,n) обозначается символом

P = П Ak. (1.2)

k=1

ПРИМЕР 1

Все студенты университета образуют множество А. Студенты старших курсов образуют подмножество В с А. Студенты экономического факультета образуют подмножество С с А.

Тогда подмножество S = ВИС объединяет студентов старших курсов и студентов- экономистов. Подмножество Р = В П С объединяет студентов- экономистов старших курсов.

ПРИМЕР 2

Все машины на стоянке около завода ЗИЛ образуют множество М. Легковые машины образуют подмножество М_л с М. Машины отечественного производства образуют подмножество МотС М. Тогда подмножество S = МлЫМ_от включает легковые и отечественные машины. Подмножество Р = М_л П М_от включает все легковые отечественные машины.

2. Действительные и комплексные числа

Представим основные числовые множества.

Натуральные числа N: 1,2,...,n,... - целые положительные числа.

Целые числа Р:... -2,-1,0,1,2,... - все отрицательные и положительные целые числа и ноль.

Рациональные числа Q можно представить в виде q = р/n, где р и n - целое и натуральное числа.

Рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, т.е.

q = a₀ a₁... a_n или q = a₀ a₁... a_n(a_n). (1.3)

Иррациональные числа Z представимы только в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, т.е.

z = ao a1... a_n... (1.4)

К иррациональным числам относятся:

1. Основание натурального логарифма е * 2,7182...

2. Число п * 3,14159...

3. _Л[2 * 1,4142...

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных (вещественных) чисел R.

Между вещественными числами и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждой точке числовой прямой можно всегда указать определенное вещественное число и наоборот.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара (х, у) действиельных чисел х и у.

Два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (х₂, y₂) называются равными в том и только в том случае, когда x₁ = x₂, y₁ = y₂.

Сумма и произведение комплексных чисел z₁ = (x₁, y₁), z₂ = (х2, y2) определяются соответственно равенствами:

z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2); z1z2 = (xix2 -y1y2, x1y2 + x2y0. (1.5)

Введем обозначение i = (0,1). В силу равенств (1.5): i = -1. Тогда любое комплексное число можно записать в виде

z = х + iy. (1.6)

Вещественное число |z| = ^x²+у² называется модулем комплексного числа z.

Пусть z = x + iy. Введем угол ф следующими соотношениями:

Угол ф называется аргументом комплексного числа z.

С учетом соотношений (1.7) комплексное число z можно представить в тригонометрической форме:

z =|z| (cos ф + sin ф). (1.8)

С учетом соотношений (1.7) можно получить формулу Муавра:

(cos ф + i sin ф)^п = cos пф + i sin пф. (1.9)

3. Числовые последовательности

Числовой последовательностью {a„} называется однозначное отображение множества натуральных чисел N во множество действительных чисел R. Это определение можно представить так: ф(п) = a_n. Другими словами, числовая последовательность {a_n} - это пронумерованное множество действительных чисел: а₁, а₂,..., а_ш....

Число а называется пределом последовательности {а^, если для любого в > 0 найдется такое натуральное N, что для всех n > N выполняется неравенство |a_n - a| < в.

Другими словами, число а является пределом числовой последовательности {а^, если, начиная с элемента а^ все элементы последовательности с номерами n >N окажутся в в-окрестности точки а: Ub (а) = ( а - в, а + в) (рис. 1.2.).

4. Числовые функции и их свойства

4.1 Числовая функция

Числовая функция вещественного переменного х - это закон или правило, по которому каждому числу х некоторого числового подмножества А множества вещественных чисел R ставится в соответствие определенное число у числового подмножества В с R.

Числовые функции вещественного переменного обычно задаются с помощью формул вида y = f(x).

Графиком функции y = f(x) называется множество точек плоскости {х, f(x)}, ордината у и абсцисса х которых связаны соотношением у = f(x) (рис. 1.3).

Функция у = f(x) называется монотонно возрастающей на некотором промежутке, если для любых х₁ и х₂ из этого промежутка, причем х₁ < х₂, следует: f(x₁) < ^f(x2⁾.

Функция у = f(x) называется монотонно убывающей на некотором промежутке, если для x1 и x2 из этого промежутка, где x1

< x2, следует: f(xO > ffe).

Пусть y = f(x) - монотонная функция на множестве Х. Очевидно, что отображение f: Х на множество значений f(X) является взаимно однозначным (т.е., при х₁ * х₂, f(x₁)* f(x₂) ). Таким образом, получено взаимно однозначное тотбражение ф: множества f(X) на множество Х. Другими словами, зависимость f(x) определяет функцию х = ф(у), определенную на множестве f(X), а множеством её значений служит множество Х. Функция х = ф (y) называется обратной ( по отношению к y = f(x)) функцией.

Причем, если функция y = f(x) - непрерывнв и возрастает (убывает) на множестве Х, тогда обратная функция х = ф (y) - непрерывнв и возрастает ( убывает) на множестве f(X).

4.2 Предел и непрерывность функции

Число А называется пределом функции y = f(x) при х -- а, если для любого в >0 найдется такое число 5 > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 <| х-а |< 5, выполняется неравенство |f(x)-A|< в ( рис. 1.3).

Если эти требования выполнены, то пишут: lim fx) = A.

x--a

Рис. 1.3 Предел и непрерывность функции в точке а

Функция a(x) называется бесконечно малой при х--а, если

lim a(x) = 0.

x--a

Например, функции 1/x, 1/x²,.... 1/xⁿ - бесконечно малые при х -- ^. Функции х, х²,... х^п - бесконечно малые при х -- 0. Здесь степени п - натуральные числа.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если выполняется: lim f(x) = f(a) = A ( рис. 1.3.). x -- a

Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке х этого множества X.

Точка, в которой функция f(x) не является непрерывной, называется точкой разрыва функции f(x) (это точки х₀, х_ь х₂ на (рис. 1.4).

Рис. 1.4 Разрывы функции y = f(x): в точке х₀ - устранимый разрыв; в точке x₁ - разрыв 1-го рода

в точке х₂ - разрыв 2-го рода

Вычисление некоторых пределов:

1 - - _r sinx

1-и замечательный предел: lim = 1

x^Q X

2-й замечательный предел: lim (1 + 1/x)^X = е,

X ^да

где е - основание натурального логарифма (е^2,718).

2-ой замечательный предел можно представить в виде:

lim ( 1 + x)^1/x = e. x ^ 0

**** ПРИМЕР 6

Вычислить предел функции:

lim

х ---- оо

г	3		х2	Г	3 ^
1 -			= lim	1 -
V	- - -х-2-	J	х-- о	V	х2 J

-х²/3* (-3)

В 5) и 6) использован 2 замечательный предел.

ЗАДАНИЕ

Вычислить пределы функций:

x - 4x³ 3x² + 4x³

1). lim (Ответ: -4/3) 2). lim (Ответ: 4/7)

^^да 3x³ + 7 x7x + 8

_{x -} 2_x². 2_{x - x}³ 3). lim (Ответ: 1/ 4 ) 4). lim -- (Ответ: 2/5)

x ^0 4 x + 3 x² x 3x² + 5x

x² - 3x ,fx - 2

5). lim (Ответ: 1/2 ) 6). lim (Ответ: 1/32)

х ^ 3 x² - 9 х ^ 4 x² - 16

x- tg(2x) tg3x * sin5x

7). lim --- (Ответ: 2/9) 8). lim -- (Ответ:15/4)

^{x ^Q sin 2 (3 x) x ^Q 4x}

x * ln(1+2x) (1+2x)⁴ - 1

9). Lim (Отв.: 2/9). 10). lim (Ответ: 4)

х ^ 0 tg²(3x) х ^ 0 sin(2x)

11). lim (1 + 3/x) ^2x(Ответ: е^-6 ) 12). lim (1 + 2x)^4x (Ответ: е^1/2 )

x ^да x ^Q

2x 1/x²

11). lim ( 1 + 4/ x ) (Ответ: e⁸). 12). lim ( 1+2x²) (Ответ: e² ).

х ^ да х ^ 0

13). lim ( 1+ sin (2x))^3/x (Отв.: е⁶). 14). lim(1 - tg(3x))^1/x (Отв:e^-3)

5. Дифференцирование функций одного переменного

5.1 Понятие производной функции

Пусть у = f(x) определена на некотором множестве Х и х₀ е X. Придадим х₀ малое приращение А х и перейдем в точку х.

fx) - f(xo)

Если существует предел lim --, то этот предел на-

x^x₀ ^{x- х}0

зывается производной функции у = f(x) в точке х₀ и обозначается

dy(x0) f(x) - f(x0)

f ' (х0) = у'(х0) = = lim (1.12)

dx х ^ x₀ x - x₀ Операция вычисления производной функции называется дифференцированием.

Функция у = f(x), имеющая производную в точке х₀, называется дифференцируемой в точке х₀.

Функция, дифференцируемая в каждой точке х множества X, называется дифференцируемой на множестве X.

Замечания:

1. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке x₀, то она и непрерывна в этой точке.

2.Функция у = f(x), непрерывная в точке х₀, не обязательно дифференцируема в этой точке.

Механический смысл производной. Пусть точка движется вдоль пути S. Тогда путь, пройденный точкой за время t, обозначим S = f(t). Тогда AS = f(t + At) - f(t) - путь, пройденный точкой за отрезок времени (t, t + At).

Отношение -- - средняя скорость точки на отрезке (t, t+At).

Тогда lim -- = S'(t) = V(t) - - мгновенная скорость точки в момент времени t.

Геометрический смысл производной. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х₀. Проведем касательную к графику функции у = f(x) в точке х₀ (рис. 1.5). Можно показать, что тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке х₀ равен производной функции в этой точке, т.е. tg а = f '(x₀).

Рис. 1.5 Геометрический смысл производной

Правила дифференцирования:

1. (Cf(x))' = Cf '(х), где С - вещественное число.

². ^(f(x) ± g^(x))'=f^,(x) ± g'^(x).

3. ^(f(x)-g^(x)) ' = ^f ' ^(x)-g^(x) + ^f(x)-g'^(x).

4 ( ^fx) ~1 ₌ ^f '^(x) * ё^(х) ^{- fx)} * g'^(x)

I g^{(x) J} (g(x))²

Дифференцирование сложной функции. Пусть y = f(x) дифференцируема в точке х₀, а функция g(t) дифференцируема в точке t₀ = f(x₀). Тогда сложная функция y = g(f(x)) дифференцируема в точке х0 и

y'^(x0⁾ = §'⁽^С^х0⁾⁾4' 'Ы ⁽¹.¹³⁾

Дифференциал функции. Рассмотрим функцию y = f(x), которая дифференцируема в точке х. Придадим х приращение Ах и рассмотрим соответствующее приращение функции

Af = f(x + Ах) - f(x) = f '(х) Ах + o(Ax), (114)

где о(Ах) - бесконечно малая часть приращения функции при Ах^0, а линейная часть приращения функции f '(х)Ах называется дифференциалом функции f(x) в точке х: df^) = f '(х)Ах.

Производные от элементарных функций:

14 / n_v n-1

1). (х )' = nx;

2). ^^x )' = а*!и a;

3). (ln х)' = 1/х;

4). (sin х)' = cos х;

5). (cos х)' = -sin х;

⁶⁾. ^(tg ^х)' = --^;

cos x

⁷⁾. ^(ctg ^x)' = --:V;

sin x

8). (arcsin х)' = - (arccos х) ' =. ¹;

VI - x²

9). (arctg х)' = - (arcctg х)' = --.

1 + x²

ПРИМЕРЫ

ПРИМЕРЫ НА ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1). ( х³ + cos x + 4 )' = 3х² - sin x.

2). ( 2х⁴ + 3/х⁵ )' = ( 2х⁴ + 3х^-5 )' = 8x³ + 3 (-5) x^-6 = 8x

3). (ln x sin x) = ¹ * sin x + ln x * cos x.

4). ( ctg x * 3 ) = - (1/sin x) * 3 + ctg x * 3 ln3

5). ^Ztgx^x V x² J

¹ x² - tgx * 2x

cos²x

sin x * ln x - cos x *¹

6). № = x

lnx ln²x

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

7). (sin x)' = 3sin x * (sin x)' = 3 sin x * cos x.

8). (cos⁴x²)' = 4cos³x² * (cos x²)' = 4 cos³x² * (- sin x²) * 2x;

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция y = f(x) имеет в Us (а) производную.

Если в (*) а дифференцируема производная f'(x), то её производную называет второй производной функции f(x) в этой точке и обозначают f'' (а).

Таким образом:

f '(x) - f,(xc)

f '' (х₀) = lim (1.15)

х ^ x₀ x - x₀

В общем случае, если в (*) а дифференцируема производная f^(n-1)(x), то её производную называет n-ой производной функции f(x) в этой точке и обозначают f⁽ⁿ⁾ (а).

Таким образом:

f⁽ⁿ⁾ (x) = ( f^(n-1) (x) ) ' (1.16)

Пусть функция f(x) имеет в (*) х все производные до n-го порядка включительно.

Дифференциалом n-го порядка называется выражение:

d”y = d( d^n-1 y ) = f<ⁿ⁾(x)dxⁿ. (1.17)

ПРИМЕРЫ

5.2 Исследование функций

Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а, б). Если для любого х из этого интервала f (х) > 0, то функция f(x) возрастает на этом интервале (рис. 1.6).

Если же для любого х из этого интервала f (х) < 0,то функция f(x) убывает на этом интервале.

Функция f(x) имеет в точке х = а локальный максимум ( рис.1.6), если для любого х из малой окрестности этой точки Us ( a ) выполняется

f(a) > f(x).

Функция f(x) имеет в точке х = b локальный минимум, если для любого х из малой окрестности этой точки выполняется

f(b) < f(x).

Рис. 1.6 Возрастание и убывание функции f(x)

Теорема Ферма. Необходимое условие существования экстремума.

Если функция f(x) имеет в точке х = а локальный максимум или минимум (локальный экстремум) и дифференцируема в этой точке, то выполняется а) = 0 (см. рис. 1.6).

Теорема. Достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема на интервале (a-s, a+s), за исключением, быть может, точки а.

Тогда если f'(x) < 0 при a-s < х < а и f '(x) > 0 при а < х < a+s, то в точке а - локальный минимум.

Если же f'(x) > 0 при a-s < х < а и f'(x) < 0 при а < х < a+s, то в точке а - локальный максимум (см. рис. 1.6).

Другими словами, если f(x) меняет свой знак при переходе через (*) а, то в (*) а - функция f(x) имеет локальный экстремум.

Причем, если при этом переходе знак меняется:

с ( - ) на ( + ), то в (*) а - локальный min,

с (+) на (-), то в (*) а - локальный max,

ПРИМЕР 1

Определить интервалы возрастания и убывания функции у = х³ - 3х². Определить локальный экстремум функции.

Решение.

Производная функции: у' = 3х² - 6х = 3х(х- 2).

При х < 0 и при х > 2: у ' > 0 - функция возрастает,

При 0 < х < 2: у' < 0 - функция убывает. Следовательно, при х = 0 функция имеет максимум: у(0)= 0. При х = 2 - функция имеет локальный минимум: y(2) = 2³ - 3*2² = -4.

ПРИМЕР 2

Определить интервалы возрастания и убывания функции

Определить локальный экстремум функции.

Решение.

у = 2х²

х³ /3

Производная функции: у' = 4x - 3х /3 = х( 4 - x ).

При х < 0 и при х > 4: у ' < 0 - функция убывает,

При 0 < х < 4: у' > 0 - функция возрастает. Следовательно, при х = 0 функция имеет минимум: у(0)= 0. При х = 4 - функция имеет локальный максимум:

у(4) = 2*4² - 4³/3 = 32/3.

ПРИМЕР 3

Определить интервалы возрастания и убывания функции

у = хе

Определить локальный экстремум функции. Решение.

Производная функции:

у ' = e ^x - х е ^x= е^-х(1-я).

При х < 1: у ' > 0 - функция возрастает, при х > 1: у' < 0 - убывает.

При х = 1 функция имеет локальный максимум: у(1)= е^-1.

ЗАДАНИЕ

Исследовать и построить графики функций:

1). у = x³ - 6х².

2). у = x³/3 - 4x; 4). у = 12 х - x³.

5). y = 2x³ - 3x².

6). у = - x³ + 6х² - 9х.

7). у = x-e

-2x

8). у = х +

6. Неопределенный и определенный интегралы

6.1 Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x), определенная на числовом множестве X, называется первообразной для функции f(x), если для любого х е Х выполняется

Очевидно, что если F(x) - первообразная для f(x), то F(x) + С (где С - действительное число) также первообразная для f(x).

Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

Свойства неопределенного интеграла:

1. f F'(x) dx = F(x) + С.

². ⁽f ^f(x)^dx)' = ^f(x⁾.

3. fо fx) dx = с * ffx) dx.

4. f (fx) ± g(x)) dx = f fx) dx ± f g(x) dx.

Таблица неопределенных интегралов:

F '^(x) = ^f(x).

(1.18)

F(x) + С = f fx) dx. (1.19)

3). f-- = ln|x| + C;

4). f sinxdx =- cosx + C

5). f cosxdx = sinx + C;

6). f= tgx + C;

cos x

7). J---- = - ctgx+C; 8). J. = arcsinx + C;

sin x V1 - x²

9. f ^dx _n = arctgx + C. ^J1 + x²

ЗАДАНИЕ

Вычислить неопределенные интегралы:

1). J ( 2х³ + 4/x⁵ + 7^x )dx 2). J ( 4х⁵ + 3/x³ + 2^s x )dx.

3). J ( 4х³ + 2/x⁴ + 3sinx )dx. 4). J ( 7х² + 3/x⁶ + 2/ sin² x )dx.

5). J ( 6х³ + 4/x² + 3/соs² x )dx. 6). J ( 2/x² + 3/sin² x )dx.

7). J ( 3/x + 2x⁵ + 5^x )dx. 8). J ( 3/х² + 2cosx )dx.

9). Построить семейство первообразных для f(x) = 3х².

10). Построить семейство первообразных для f(x) = сos x.

6.2 Определенный интеграл

Рассмотрим функцию у = f(x), определенную на отрезке [a, b]. Осуществим разбиение отрезка [a, b] точками а = а₀ < а₁ < а₂ < а₃ <... < а_n = b на n отрезков [a_R, bj. Обозначим это разбиение буквой Т. Выберем внутри каждого отрезка [a_R, bj произвольную точку х_к, значение функции в этих точках будет равно f(x_k) (рис. 1.7).

Рис. 1.7 Построение интегральной суммы

Построим интегральную сумму: Ј fx k) ^ k = S(T).

Если существует предел этой интегральной суммы при стремлении максимальной длины отрезка разбиения к нулю, т.е.

при max Ax^0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) и обозначается:

Jfx) dx = lim S(T) при max Axk^0. (120)

Свойства определенного интеграла:

1. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], тогда она интегрируема на любом отрезке [c,d] с [a,b].

2. Пусть a < c < b. Тогда если f(x) интегрируема на [a,b], то

J f(x) dx = J f(x) dx + J fx) dx. (121)

3. Пусть f(x) интегрируема на [a,b], а С - постоянная, тогда функция С- f(x) также интегрируема на этом отрезке и

JC-f(x) dx = С -Jfx)dx. (1.22)

4. Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b], тогда их сумма f(x) ± g(x) также интегрируема на [a,b] и

b b b J[fx) ± g(x)] dx = Jfx) dx±Jg(x) dx. (1.23)

5. Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b], тогда их произведение f(x) * g(x) также интегрируемо на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y = f(x), снизу отрезком [a,b], а также двумя отрезками х = а и x = b (рис. 1.8).

Другой случай - сверху функцией у =g(x), снизу - функцией у = z(x) и прямыми х = с и х = d.

Рис. 1.8 Геометрический смысл определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула устанавливает связь между первообразной F(x) для функции f(x) и определенным интегралом от этой функции:

Замечание.

Определенный интеграл существует:

- для непрерывных функций;

- для монотонных функций;

-для функций, ограниченных на отрезке и имеющих не более чем конечное число точек разрыва на рассматриваемом отрезке.

Вычисление длины кривой и объема тел вращения.

Рассмотрим кривую y = f(x), определенную на отрезке [a,b] и имеющую на этом отрезке непрерывную производную (рис. 1.9). Тогда длину кривой y = f(x) вычисляем по формуле

F(b) - F(a) = _J f(x) dx. (1.24)

(1.25)

Рис. 1.9 Длина дуги и объем тела вращения

ПРИМЕР 1

Найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной параболой у = х³, отрезком 1 < х < 3 и прямыми х =1 и х = 3.

Решение

Построим криволинейную трапецию, ограниченную параболой у = х³, отрезком 1 < х < 3 и прямыми х = 1 и х = 3. График криволинейной трапеции представлен на рисунке.

Вычислим площадь этой трапеции с использованием формулы Ньютона-Лейбница:

S = Jx dx = -- = = 20 (кв. ед.).

Найти объем тела V, образованного при вращении этой кривой вокруг оси 0Х:

V = п * J x⁶dx = п

x^{7 3} ₌ п * (3⁷ -1) 7, 7 (куб. ед.).

ПРИМЕР 2

Найти площадь S фигуры, ограниченной кривой у = 3^x, прямыми x = 1, x = 2 и осью Ox.

Криволинейная трапеция S представлена на рисунке.

Решение.

S = J 3^xdx = -- = -- = --

_l ln3 ₁ ln3 ln3 ln3 (кв. ед.).

ПРИМЕР 3

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² и прямой у = х.

График криволинейной трапеции приведен на рисунке.

Решение

Определим точки перечечения параболы у = х² и у = х. х² = х,

х(х-1) = 0,

В результате получаем пределы интегрирования: х₁ = 0, х₂ = 1.

Тогда:

_x² _х³ - 1 1 1

S = J(x - x )dx = ( )| = = - (кв. ед.).

ПРИМЕР 4

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = 2 - х² и прямой у = х. График фигуры приведен на рисунке.

Определим точки пересечения параболы у= 2- х² и прямой у = х.

2 - х² = х, х² + х - 2 = ( x - 1)(x + 2) = 0 Получаем пределы интегрирования: х₁ = 1, х₂ = -2.

Тогда:

J [ ( 2-x²) - x ] dx = ( 2x - x³/3 - x²/2) ¹_-2

(2 - 1/3 - V₂) - ( -4 + 8/3 - 4/2) = 4,5 (кв. ед.).

ПРИМЕР 5

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = х² -3х и прямой у = - х. График фигуры приведен на рисунке.

Определим точки пересечения кривой у=х² - 3х и прямой у= - х.

х² -3х = - х, х² - 2х = x (x - 2) = 0

Получаем пределы интегрирования: х₁ = 0, х₂ = 2.

Тогда: 2

S = J [ (- x) - ( x² -3х) ] dx = ( x^{2 -} x³/3 ) ²₀ = 4/3 (кв.ед).

ЗАДАНИЕ

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) Параболой у = х² и прямой у = 2x.

2) Параболой у = x² - 2x и прямой у = 2x.

3). Параболой у = x² - х и прямой у = 3x.

4). Параболой у = 2x - x² и прямой у = - x.

5). Параболой у = 3x - x² и прямой у = 2x.

6). Кривой у = 1/x², прямыми х = 1, х =3 и осью Ох.

7). Кривой у = 2^x и прямой у = x + 1.

8). Кривой у = sin x, прямыми x = 0, x = -- и осью Ох.

7. Краткие интегралы

7.1 Двойной интеграл и его приложения

Пусть функция f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости x0y. Разобьем область произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади AS₁, AS₂,...AS_n (рис. 1.10). Введем понятие диаметров этих областей d₁, d₂,... d_n, которыми называются наибольшими из расстояний между двумя точками границ этих областей.

Рис. 1.10 Область D определения функции f (x, y)

Выберем в каждой элементарной области разбиения произвольную точку P_k(x_k, y_k), (k = 1, 2,... n) и умножим значение функции в этих точках на площади соответствующих элементарных областей. В результате получаем выражение f(x₁, y₁) * AS₁,... f(xk,yk) * ASk,. f(xn,yn) * ASn.

Сложив эти выражения, получаем интегральную сумму для функции f (x, y) по области D:

2f(Xk,Yk) * ASk = f (x_b y1) * AS1 +... + f (xn, yn) * ASn. (1.27)

Двойным интегралом от функции по области называется предел интегральной суммы при условии, что наибольший из диаметров элементарных областей стремится к нулю:

f(x,y)dS = lim 2f(xk,yk) * ASk. (128)

D maxdk ^0k =1

В декартовых координатах двойной интеграл обычно записывают в виде:

Н f(x,y)dxdy. (1.29)

Теорема существования двойного интеграла

Если функция f (x, у) непрерывна в замкнутой области D, то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения области D на элементарные и от выбора точек Р_к внутри каждой такой области.

Геометрический смысл двойного интеграла

В трехмерном пространстве Oxyz выражение z = f(x,y) определяет некоторую поверхность.

Тогда двойной интеграл Я f(x,y)dxdy равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), сбоку - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, а снизу-областью D плоскости Оху (рис. 1.11).

Рис. 1.11 Цилиндрическое тело объемом V = Я f(x,y)dxdy

Правила вычисления двойных интегралов

1. Пусть область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х= а и х = b, а снизу и сверху - непрерывными кривыми у = ф (х) и у = у (х), каждая из которых пересекается любой вертикальной прямой х^ только в одной точке (рис. 1.12). Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

Рис. 1.12 Области интегрирования для 1-го и 2-го случаев

2. Пусть область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми у = с и у = d, а слева и справа - непрерывными кривыми х = X (у) и ц (у), каждая из которых пересекается горизонтальной прямой у = k только в одной точке (см. рис. 1.12).

ЗАДАНИЯ

1). Вычислить Y = jj(x * y)dxdy, если область D ограничена кривыми y = 2x и y = x.

2). Вычислить Y = jj(x - y)dxdy, если область D ограничена кривыми y = 3x, y = 6 - 3x.

ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

1. Вычисление площади плоской фигуры.

Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле

S = JJdxdy. (1-32)

Если область D имеет вид, представленный на pис. 1.12, п.1, то

S = J dx J dy. (1.33)

Если область D имеет вид, представленный на рис. 1.12, п.2, то

S = J dy J dx. (1.34)

Если же область D в полярных координатах определена неравенствами а < 0 < р, ф (0) < р < f (0) (рис. 1.13), то

S = JJpdpd0 = J d0 Jpd р (1.35)

Рис. 1.13 Область D в полярных координатах

2.. Вычисление объема тела.

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f(x,y), сбоку прямой цилиндрической поверхностью, проходящей по границе области D, а снизу плоскостью z = 0 (см. рис.1.11), вычисляется по формуле

V = f(x,y)dxdy (1.36)

ПРИМЕР 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2-x;

y² = 4x+4.

Решение.

Плоская фигура D представлена на рисунке.

1 dy J dx = j [^(2-y⁾ --^{)] d}y

ПРИМЕР 2

Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями z y; z = 0 и отрезками прямых у = 1 - x; x = 0; у = 0.

Решение.

Трехмерное тело представлено на рисунке.

Тогда

V = J dx J ⁽1-- x -- y^)dy = J [y-xy-y-] dx =

(1_-x)² 1 _x² _x³ 1 1 J^[(1-x^)-x^(1-x⁾ --^{] d}x = (-x -- -- + --^ = - куб.ед.

ЗАДАНИЕ

1). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x² + y² = 4; y = x; y = 0.

Ответ: S = -- кв.ед.

2).Вычислить площадь фигуры, ограниченной окруж ностями р = 1; р = --r= cos 0 (вне окружности р = 1).

Ответ: S = -- (3л/3 - п) (кв.ед.).

3). Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 4 - x²; 2x + y = 4; x = 0; y = 0; z = 0.

Ответ: V = 40 куб.ед.

4). Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

z = 1 + x + y; y = x; x = 1; y = 0; z = 0.

Ответ: V = -- куб.ед.

5). Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

z = x * y; z = 0; x² + y² = 4.

Ответ: V = 4 куб.ед.

7.2 Тройной интеграл и его приложения

Пусть функция f(x,y,z) определена в ограниченной замкнутой области Т. Разобьем область Т произвольным образом на n элементарных областей с объемами AVi, AV₂,... AV_n. Пусть d\, d₂,... d_n -максимальные линейные размеры каждой из областей, которые называются их диаметрами.

Внутри каждой из областей произвольным образом выберем точку Р_к(х_к,у_к,7_к) (к = 1, 2... n) и умножим значение функции f(x,y,z) в этой точке на соответствующий объем AV_к (к = 1, 2. n) элементарной области (рис. 1.14).

Рис. 1.14 Разбиение области Т

В результате сложения получаем интегральную сумму для функции f(x,y,z) по области Т:

f(x к,Ук,^zK )^AV_K. Ц.37)

Тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области Т называется предел интегральной суммы при стремлении наибольшего из диаметров элементарных областей к нулю:

Ш f⁽x^,y,z^)dV = ^lim 2^f(x_к,y_K,z_K⁾-A^V_K. ⁽1.³⁸⁾

J maxdk ----0 _K _1

В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают в виде

JJJ f(x,y,z)dxdydz. (139)

Теорема существования тройного интеграла

Если функция f(x,y,z) непрерывна в замкнутой области Т, то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения области Т и от выбора точек Р_к.

Физический смысл тройного интеграла.

Тройной интеграл JJJ p(x,y,z)dxdydz представляет собой массу тела, занимающего область Т и имеющего переменную плотность р = p(x, y, z).

Пусть область интегрирования Т определяется неравенствами a < x < b; ф(x) < y < y(x); A,(x, y) < z < |a(x,y), где ф^), A,(x,y), ^(x,y) - непрерывные функции (рис. 1.15).

Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области Т вычисляется по формуле

JJJ f(x,y,z)dxdydz = J dx j dy j f(x,y,z)dz. (140)

Рис. 1.15 Область Т интегрирования функции f(x,y,z)

ПРИМЕР 1

Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями: x + y + z = 1; х = 0; у = 0; z = 0.

Материал тела имеет переменную плотность р = р₀ * z.

Решение.

Тело с плотностью р = р0 * z имеет вид.

М = J dx J dy J p₀zdz = -- J dx J z² | ^-x-ydy =

= M dx¹J^x(1-x-y)²dy = P0J [(1-x)²y - ^{2(1 x)y2} + ^y3]^1-xdx =

= --J (1-x)³dx = ----(1 - x)^- = -- ед.массы.

ЗАДАНИЯ

1). Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями:

z = x + y; z = 1. Материал тела имеет переменную плотность р₀.

Ответ: М = ^{р0 %}.

2).Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями: x + y =

1; z = x + y; x = у = z = 0. Плотность материала постоянная р₀.

Ответ: М = --.

Раздел 2. Ряды и дифференциальные уравнения

8. Числовые и степенные ряды

8.1 Числовые ряды

Пусть {а_п} - числовая последовательность.

Выражение вида

ai + а₂ +... + ап +... = Ј an (2.1)

называется числовым рядом, а а_п - его n-ым членом.

Число S_n = а₁ + а₂ +... + а_п называется n-ой частичной суммой ряда (2.1), а последовательность {S^ - последовательностью частичных сумм ряда (2.1).

Числовой ряд (2.1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм {S^: lim S_n = S.

Предел S числовой последовательности частичных сумм {S^ называется суммой ряда (2.1) и записывается

Ј ап = S. (2.2)

Если последовательность расходится, то ряд (2.1) называется расходящимся.

Необходимое условие сходимости числового ряда.

Для сходимости числового ряда (2.1) необходимо:

чтобы lim а_п = 0. (2.3)

ПРИМЕР

Рассмотрим гармонический ряд: 1 + 1/2 + 1/3 +... + 1/n +... =

Ј1/а_п. Очевидно, что а_п = 1/п ^ 0. Тем не менее, этот ряд является расходящимся.

Замечание 1.

Рассмотрим ряд Ј

пР n =1 П

Этот ряд сходится при р > 1 и расходится при р < 1.

ПРИМЕРЫ

1). Ряд Ј расходится, т.к. общий член ряда

n =1 Vn

а_п= -- имеет параметр р = -- < 1.

2. Ряд Ј --- сходится, т.к. общий член ряда

n =1 П

а_п= -- имеет параметр р = 3 > 1.

8.2 Признаки сходимости рядов со знакопостоянными членами

1-й признак сравнения

Рассмотрим ряды Ј a_k и Ј b_k, где 0 < а_к < Ь^. Тогда если

k=1 k=1

ряд Ј b_k сходится, то сходится и ряд Ј a_k; если ряд Ј a_k расходится, то расходится и ряд Ј b_k.

2-ой признак сравнения

Если для общих членов рядов Ј ak и Ј bk выполняется

k=1 k=1

lim ak/bk = L < ж (т.е. L - конечное число), то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

ПРИМЕР 1

Проверить сходимость ряда Ј

Решение

Сравним этот ряд с рядом Ј --. Согласно замечанию 1 этот ряд сходится, т.к. для него р = 2.

Следовательно, по 1-му признаку сравнения рассматриваемый ряд сходится.

ПРИМЕР 2

Проверить сходимость ряда Ј

k=1 ^3k +¹

Решение

Сравним ряд с гармоническим рядом Ј1/k, который расходится.

k=1

тт _r 3k +1 Далее lim = 3.

k ^да k

Следовательно, расходится и исходный ряд.

ПРИМЕР 3

3. Проверить сходимость ряда Ј

k=1 2k³ + Vk

Решение

Сравним этот ряд с рядом Ј ---.

k=1 k

Ряд сходится, т.к. общий член его ak = -¹ имеет р = 3 > 1.

k³

2k³ + Vk k³'

Тогда, по 1 признаку сравнения сходится и исходный ряд.

ПРИМЕР 4

Проверить сходимость ряда У. _.

k=1 2k³ + 3k² Решение

Сравним этот ряд с рядом у --, который сходится, т.к.

k=1 k²

общий член ak = имеет р = 2 > 1.

Рассмотрим предел отношений общих членов обоих рядов:

.. 2k³ + 3k² = lim -- = lim

k --ro ^{(k 3)} k --ro k² * (k - 3) k ----ro

2 = L < ro.

(2k³+3k²)

По второму признаку сравнения оба ряда должны сходиться одновременно. Следовательно, исходный ряд сходится.

ЗАДАНИЕ Проверим сходимость рядов. к -- 2

к=1 3к + 3к² 3k

k=1 Vk + k³

k=1 k

3k² + 4

k=1 5k + 2k ^ro 2k

k=2 3k² + 4k ^ro 3k

k=1 k³ + 2k ^ro 8k +1

k=1 3k² + 2k

(расходится);

(сходится);

(сходится);

(сходится);

(расходится);

(сходится);

(расходится).

8.3 Признаки сходимости Даламбера, Коши и Лейбница

Числовой ряд Ј a_k называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд Ј |a_k.

Числовой ряд Ј a_k называется условно сходящимся, если

он сходится, а ряд Ј |a_k| из модулей его членов - расходится.

Признак Даламбера

Рассмотрим ряд Ј a_k.

Если lim ^^/а^ = L, то при L < 1 - ряд сходится абсолютно, а при L > 1 - расходится.

Признак Коши

Рассмотрим ряд Ј a_k.

Если lim k ak = L, то при L < 1 - ряд сходится абсолютно, a при L > 1 - расходится.

ПРИМЕР 1

Проверить сходимость ряда:

Решение

1/2ⁿ+¹. 2^П Проведем рассчет: lim = lim = 1/2 < 1,

n--ж 1/2ⁿ n--ж 2ⁿ+¹

Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

ПРИМЕР 2

Проверить сходимость ряда: Z (- ₇)^п.

_П=1 3п +1

Решение

Проведем рассчет: lim

^r n ^л 3n+1

1- n 1 - lim = ^ < 1.

ⁿ ^^да 3n+1 ³

Следовательно, по признаку Коши ряд сходится.

Знакочередующийся ряд:

^a1 ^{- a}2 + ^a3 ^- - + ^{(- 1)n} + ' ^an ^- - = Z ^(-1)n + ^an^,

n=1

причем а_и > 0.

Теорема

Рассмотрим знакочередующийся ряд:

a! - a2 + a3 -

Если сходится соответствующий ряд с положительными членами: a1 + а2 + аз + ,

то сходится и исходный знакочередующийся ряд

ПРИМЕР 3

^да1 Рассмотрим ряд: Z (- 1)ⁿ

Решение

Соответствующий ряд с положительными членами: Z~у

Поскольку этот ряд сходится (р = 2 > 1), то сходится и исходный знакочередующийся ряд.

Признак сходимости знакочередующего ряда (признак Лейбница)

Для сходимости знакочередующего ряда: ai - a₂ + а₃ - а₄ +...+ (-l) a_n -... необходимо, чтобы:

1. lim a_k =0.

2. a_k > а^₊₁ > 0 (k = 1, 2,...).

ПРИМЕР 4

Ряд X (-1)' In =1 vn

сходится, т.к.

Выполнены оба условия признака Лейбница.

ЗАДАНИЕ

ж	1				ж	5n		ж	n
X				2)	. X			3). X
						9
n=1	3n				n=1	n !		n=	=1	2n
ж	С n	"N	n		ж	n 3	n	ж	r	2 Й 3
X				5).	X			6). X
			9				9
n=1	2n +	3		n=1	^ 3n3 +2n,		n=1	V	n2 + 4n

7). x (-1)" ; 8). x (-1)" ----

n=1 ( n + n)

n=1

9). x (-1)ⁿ

n=1

n³ + 2

8.4 Степенные ряды

Функциональный ряд вида

a0 + a1(x - x0) +... + ап(х - х0) +... = у а-(х - хв) (2.4)

называется степенным рядом. Здесь a₀,... а_П,... - последовательность вещественных чисел.

Формула Коши-Адамара определяет радиус сходимости степенного ряда.

Можно доказать теорему, что степенной ряд (2.4) абсолютно сходится на интервале (^-R, х₀+R) и расходится вне этого интервала (рис. 2.1.). Интервал (х₀^, х₀+R) называется интервалом сходимости степенного ряда (2.4).

Радиус сходимости можно рассчитать и по формуле

ПРИМЕР 1

Определить область сходимости степенного ряда:

у х-Ч^-)¹¹.

n=1 ^3п -- ¹

Решение.

R = lim

n ^да

*зП-т

lim ³ⁿ-¹ = 3.

n ^да n

Следовательно, интервал сходимости имеет центр х₀ = 0 и радиус сходимости R = з.

Тогда интервал сходимости равен (- 3; 3).

ПРИМЕР 2

Определить область сходимости степенного ряда: Z --^2)_

Решение.

1/3^п 3 = lim г = lim

п +1

п^да1/3^п+¹ п^да 3^п= 3.

Итак, область сходимости степенного ряда - множество -1 < х < 5.

ЗАДАНИЕ

Определить область сходимости степенных рядов:

9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

9.1 Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные у', у",... y⁽ⁿ⁾, т.е. уравнение вида

F(x,y,y',y'',... y⁽ⁿ⁾) = 0. (2.7)

Если искомая функция y = y(x) есть функция одной переменной х, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если же функция зависит от двух (x,t) или более переменных, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных вида

F(x,t,y, |У,дЈ....-^). (2.8)

^{v 3} д x д1 g х^к д tⁿ

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, которая входит в уравнения (2.7) или (2.8).

Например, уравнение

y' + x² * y = cos x

является дифференциальным уравнением первого порядка. Уравнение вида

y'" + y' = 0

является дифференциальным уравнением третьего порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется такая функция y = 9(x), определенная на этом интервале вместе со своими производными n-го порядка включительно, которая при подстановке в уравнение (2.7) превращает его в тождество по x на интервале (a,b).

Например, функция y = sin x + x является решением уравнения y'' + y = x + 2 на интервале (-ro, го). Действительно, дифференцируя это уравнение дважды, получаем:

y' = cos x + 2x, y" = sin x + 2.

Тогда y' + y = -sin x + 2 + sin x + x² = x² + 2.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Рассмотрим общий вид уравнения первого порядка:

F(x,y,y') = 0. (2.9)

Если уравнение (2.9) удается разрешить относительно у', то получаем

^ = f(x,y) (2.10)

уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения (2.9) называется функция зависящая от переменной x и произвольной постоянной С, которая удовлетворяет уравнению (2.9) при любых значениях постоянной С. Таким образом, общему решению дифференциального уравнения первого порядка у = ф(х,С) на плоскости x0y соответствует семейство интегральных кривых, каждая из которых отвечает конкретному значению постоянной С = С₀ (рис. 1.28).

Всякое решение уравнения (2.9) вида y = ф(х,С₀), получаемое из общего решения y = ф(х,С) при конкретном значении С = С₀, называется частным решением.

Например, общим решением уравнения y' - y = 0 является функция y = С * e^x.

Частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = -1, получаем подстановкой в общее решение значения x = 1. Тогда получаем соотношение: -1 = С * е, откуда С = - e^-1. В результате частное решение имеет вид: y = -е.

Задача Коши.

Задачей Коши называют задачу нахождения частного решения y = y(x) уравнения

^dy = f(x,y), (2.12)

удовлетворяющего начальному условию y(x₀) = y₀.

Геометрически это означает, что среди всех интегральных кривых ищется интегральная кривая, проходящая через точку М₀(х₀,уо) плоскости хОу (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2 Семейство интегральных кривых y = (p(x,C)

Однако встречаются дифференциальные уравнения, имеющие такие решения, которые не получаются из общего решения ни при каких значениях С. Такие решения называются особыми.

Например, уравнение у' = -д/1 - у² имеет общее решение у = cos(x+C). В то же время функция у = 1 также является решением этого дифференциального уравнения, но это решение не может быть получено из общего решения ни при каком значении С, т.е. является особым.

9.2 Уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

f⁽x⁾ * ф⁽у⁾ dx = v⁽x⁾ * u⁽y⁾ dy, ⁽².1³⁾

в котором функции при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от у, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления на произведение ф(у) * y(x) это уравнение приводится к уравнению с разделенными переменными

I^dx = HMdy. (2.14)

V(x) ф⁽у⁾

Общее решение уравнения (2.13) в неявной форме, называемое общим интегралом, имеет вид:

J^dx-^y = C. (2.15)

V^(x) Ф⁽У⁾

Замечание.

Деление на ф(у) * y(x) может привести к потере частных решений, обращающих в нуль произведение ф(у) * y(x).

ПРИМЕР 1.

Решить уравнение: x²dx = cos² у dx.

Решение.

Запишем общий интеграл этого уравнения: J --^dy-- =J ^dx.

cos у x

Вычисляем интегралы:

tgy = ^x-- + ^С.

Решение: tgy +¹ = С.

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: sin у * sin x dy + dx = 0.

Решение.

Запишем общий интеграл этого уравнения

Jsⁱⁿ y^dy = ^-/-^.

sin x

Вычисляем интегралы:

С - cos y = ctg x. Решение: cos y + ctg x = С

ПРИМЕР 3

Решить уравнение: ^dx = x³dy.

cosy

Решение.

Запишем общий интеграл этого уравнения: J-- = J cos y dy.

Вычисляем: C = sin x.

Решение: sin x + = C.

ЗАДАНИЕ

Решить обыкновенные дифференциальные уравнения:

1). y³ * cos²x dy + dx = 0. 2). sin²y dx = Vx dy.

3). y * sinx dx = dy. 4). cos y * cos x dy + dx = 0.

5). 3^y * x dy = dx. 6). sin x dy = cos y dx

7). Найти частное решение уравнения -- = --, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 2.

9.3 Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

Дифференцированное уравнение вида

у' + P(x) * у = 0 (2.16)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением.

Решение уравнения (2.16) легко получить разделением переменных:

-- = -P(x)dx; j -- = -j P(x)dx; ln у = - j P(x)dx + ln C. (2.17)

В результате получаем общее решение уравнения (2.16)

у = C * t^-jP(x)dx, (2.18)

где С - произвольная постоянная.

Уравнение вида

у' + P(x) ¦ y = Q(x) (2.19)

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Общее решение уравнения (2.19) можно найти, используя метод Лагранжа.

Согласно этому методу общее решение неоднородного уравнения (2.19) ищем в виде:

у = C(x) * t^-jP(x)dx. (2.20)

Для нахождения Qx) нужно подставить выражение (2.20) в исходное уравнение (2.19).

В результате получаем C'(x) t ^-jP(x)dx - C(x) P(x) * t ^-jP(x)dx + +C(x) * t^-jP(x)dx * P(x) = Q(x).

Отсюда C'(x) = Q(x) * t^-jP(x)dx; C(x) = j Q(x) * t^-jP(x)dx dx +C_b где С1 - произвольная постоянная.

Тогда искомое общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

у' = [_jQ(x) * t^jP(x)dxdx + C,] * t^{-J P(x)dx}. (2.21)

Уравнение вида

у' + P(x) * у = Q(x) * у^т, ( 2.22)

где m Ф 0, m Ф 1, называется уравнением Бернулли.

Это уравнение можно преобразовать в линейное дифференциальное уравнение, производя замену неизвестной функции при помощи подстановки z = y^1-m. В результате уравнение Бернулли преобразуется к линейному дифференциальному уравнению вида

--¹--z'+P(x) * z = Q(x). (2.23)

Решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения (2.23) можно осуществить, используя метод Лагранжа.

ПРИМЕР 1

Найти решение: -- + ^У = 3x.

Решение.

Рассмотрим однородное линейное уравнение -- = - --.

dx x

Проинтегрируем это уравнение:

J -- = -J-- + lnC; ln | у | =-ln | x |+ln С.

...