Элементы высшей математики

Используем метод Лагранжа, выбрав общее решение исходного решения в виде у =x

Подставим это выражение в исходное уравнение

^C'^(x) *^{x - C(x}) _| ^{1 C(x})^_3x x² x x

В итоге находим:

С'(х) = 3 x; С(х) = x + С₁.

Общее решение исходного уравнения:

ЗАДАНИЕ.

Решить дифференциальные уравнения:

1) y'+2y = Ј ¦

Ответ: y = C * Ј^-2x + Ј^-x.

2). y' + 2xy = Ј `

3). y'+2xy = x * Ј'

Ответ: y = (C + x) * Ј^-

2 _X²

Ответ: y = Ј^-X * (-- + c).

4) . y' + ^y = 2

Ответ: y =

x² + c

5) . xy' - y = x cos x.

Ответ: y = x (sin x + C).

6). Решить задачу Коши: y' + y * cos x = cos x Начальные условия y(0) = 1.

Ответ: y = 1.

7) Между силой тока i и электродвижущей силой Е в электрической цепи с сопротивлением R и самоиндукцией L существует следующая зависимость:

9.4 Дифференциальные уравнения n-го порядка

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

Р(^у,у',у",..., y⁽ⁿ⁾) = 0. (2.24)

Решением такого уравнения является n раз дифференцируемая функция у = 9(x), которая обращает данное уравнение в тождество, т.е.

F[x,9(x), ф '(x),., 9⁽ⁿ⁾(x)] = 0. (2.25)

Задача Коши для этого уравнения состоит в том, чтобы найти такое решение у = ф^) уравнения (2.24), которое удовлетворяет условиям: ф^) = у0; ф'^) = у1,..., Ф^(n-1)(xo) = уп-1. Здесь у₀,у₁,у₀,., у_п-1 - заданные числа.

Функция у = (х,С₁,С₂,... С_п) называется общим решением уравнения (2.22), если при соответствующем выборе постоянных С₁, С₂,..., С_п эта функция является решением любой задачи Коши.

Всякое решение уравнения (2.24), полученное при конкретных значениях постоянных С₁, С₂,..., С_п, называется частным решением дифференциального уравнения (2.24).

Рассмотрим интегрирование некоторых дифференциальных уравнений n-го порядка.

1. Уравнение вида y⁽ⁿ⁾ = f(x)

Решение этого уравнения находится п-кратным интегрированием, а именно

у^(п) = f(x); у^(п`¹⁾ = j f(x)dx + C,;

_xn-1

у = J... j f(x)dx...dx + Cj +... + C_n-1 * x + C_n. (2.26)

ПРИМЕР 1

Найти общее и частное решения уравнения у'' = t² удовлетворяющие начальным условиям: у(0) = 1, у'(0) = 0.

Решение.

у' = j 1^2xdx + Ci = ¹1^2x + Ci.

Тогда общее решение:

у = J (11^2x + С₁ ) dx = 11^2x + С₁х + С₂.

Удовлетворим начальным условиям:

у(0) =¹ + С₂=1; у'(0) = ¹ + С₁

2. Дифференциальное уравнение вида

F(x,y^w, у^(к+|),..., y⁽ⁿ⁾) = 0, которое не содержит искомой функции.

Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е.

U = у^(к).

В результате получаем уравнение

F(x,U,U',..., и⁰"⁰) = 0. (2.27)

Решить уравнение

ПРИМЕР 2.

x * у'' = у'.

3. Дифференциальное уравнение вида

F(y,y',..., y⁽ⁿ⁾) = 0, которое не содержит независимой переменной. Для решения этого уравнения за новый аргумент принимают саму функцию у, а также вводят замену y' = U.

Тогда y" = U *^dU, y = U * [^d-^U * U + (^dU)²] и т.д. (2.28)

ПРИМЕР 3.

Решить уравнение y * y'' = (y').

Решение.

Примем U = y'. Тогда y'' = U ^dU

Исходное уравнение запишем в виде y * U^dU = U².

Его решение: U = C₁y.

Тогда -- = C₁y. Запишем: -- = C₁dx. dx y

Его решение: ln y = C₁ * x + ln C₂.

Окончательно: y = C₂ * Ј ^1X.

ЗАДАНИЕ.

Решить уравнения n-го порядка:

1) .y'' = x * Ј^-x. Ответ: y = (x + 2) * Ј^-x + C₁x + C₂.

2). y'' + (y')² = 0. Ответ: y = C₁, C₂ + Ј^y = C₃x.

3). x * y'' = y'. Ответ: y = C₁x² + C₂.

4). Задача Коши: y'' + y' + 2 = 0.

Начальные условия: y(0) = 0, y'(0) = -2. Ответ: y = -2x.

9.5 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

у + a * у^{(п 1)} +... a_n-1 * у' + a_n * у = 0, (2.29)

где a₁, a₂,., a_n - некоторые действительные числа.

Для решения этого уравнения составляют характеристическое уравнение

к_п + a1 * к^п1 +. + a_n-1 * к + a_n = 0. (2.30)

Это уравнение (2.29) является уравнением n-ой степени и имеет n корней: они могут быть простыми, кратными и комплексными. Тогда общее решение дифференциального уравнения (2.29) строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения (2.30):

1) каждому действительному простому корню к в общем решении соответствует слагаемое вида: C * t^кх; (2,31)

2) каждому действительному корню к кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида:

(C1 + C2 * x... Cm * x¹”-¹) * t(2.32)

3) каждой паре комплексных корней к₁ = a + ip и к₂ = a - ip в общем решении соответствует слагаемое вида:

t^ах (C_rcos px + C2 * sin px); (2.33)

4) каждой паре комплексных сопряженных корней к1 = a + ip и к2 = a - ip кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида:

t^ax * [(C1 + C2 * x +... + Cm * x"-¹)] * cos px + (D1 + D2X +... Dm * x"-¹) sin px]. (2.34)

ПРИМЕР 1.

Найти общее решение ДУ:

у” - 7у' + 6у = 0.

Решение.

Построим характеристическое уравнение:

к² - 7к + 6 = 0.

Его корни: к1 = 6, к2 = 1.

Следовательно, общее решение данного ДУ:

у = C_r t^6x + C₂- t^x.

ПРИМЕР 2.

Найти общее решение уравнения

у''' - 6у'' + 12у' - 8 = 0.

Решение.

Построим характеристическое уравнение:

к³ - 6к² + 12к - 8=(к - 2)³= 0.

Его корни: к₁ = к₂ = к₃ = 2, т.е. к = 2 - корень кратности 3. Следовательно, общее решение исходного уравнения: у=(С1 + С2 * x + + Сз * х²) * t ^2х.

ПРИМЕР 3.

Найти общее решение уравнения

у" - 4у' + 13у' = 0.

Решение.

Построим характеристическое уравнение:

к" - 4к + 13 = 0.

Его корни:

к₁ = 2 + 3i, к₂ = 2 + 3i.

Следовательно, общее решение исходного уравнения: у = t ^2х * (С₁ * cos 3x + С₂ * sin 3x).

ЗАДАНИЕ.

Найти общее решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

1). у'' + 5у' + 6у = 0.

Ответ: у = С1 * t^-3x + С2t^-2x;

2). у" - 2y +10y = 0.

Ответ: у = t^x * (С₁ * cos 3x + С₂ * sin 3x);

3). y'' + 3y' - 4y = 0.

Ответ: у = С₁1^x + С₂ * t ^4x;

4). y" - 2y'+ 4y = 0.

Ответ: у = t^x * (С₁ cosV- x+ С₂ sinV- x).

5). y''' - 3y'' + 3y' - y= 0.

Ответ: у = t^x * (С₁ + С₂х + С₃х²);

6). x''' + 2x" - 3x' = 0.

Ответ: x = С1 + С21^-t + С3 t^3t;

7). x''' - 8x = 0.

Ответ: x = С₁1^2t + t^-t (QcosV-1 + ^sinT-1);

9.6 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y⁽ⁿ⁾ + a_ry^(n-1) +. an-1 * y' + any = f(x), (2.35)

где a₁, a₂..., a_n - некоторые действительные числа.

Общее решение неоднородного уравнения (2.35) складывается из любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения вида (2.29):

y⁽x⁾ = y0⁽x⁾ + ^U(x⁾. ⁽².³⁸⁾

Если правая часть уравнения (2. 35) имеет вид

f(x) = Ј^ax * [P_n (x) * cos p x + Q_m(x) * sinpx], (2.39)

то для подбора частного решения этого уравнения применяют метод неопределенных коэффициентов.

Согласно этому методу частное решение уравнения (2.38) следует искать в виде

U(x) = x^r * Ј^ax * [PЈ (x) * cos px + QЈ(x) * sin px]. (2.40)

Здесь r - показатель кратности корня a + ip в характеристическом уравнении к¹ + a₁ * к^1-1 +... a_n-1 * к + a_n = 0.

Если же характеристическое уравнение такого корня не имеет, то частное решение ищется в виде

U(x) = Ј^ax * [P Ј (x) * cos px + Q Ј (x) * sin px], (2.41)

Многочлены P Ј (x) и Q Ј (x) с неопределенными коэффициентами имеют порядок, который равен наибольшему из порядков многочленов Pn (x) и Qm(x) исходной правой части уравнения (2.40) и имеют вид:

P Ј (x) = A0 * x^Ј + A1 * x^{Ј -1} +... A Ј. (2.42)

QЈ(x) = B0 * x^Ј + B1 * x^Ј-1 +... BЈ.

Для определения неизвестных коэффициентов A0, A1,. AЈ и В₀, В₁,..., В Ј частное решение U = U(x) вида (2.40) и (2.41) подставляют в исходное уравнение (2.35). В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений, в которых сравниваются A₀, A₁,... A Ј коэффициенты, а также В₀, В₁,... В Ј с коэффициентами при соответствующих степенях функции в правой части уравнения (2.35).

Если же правая часть уравнения (2.35) равна сумме нескольких различных функций, то для отыскания частного решения такого уравнения надо найти частные решения относительно каждой функции, а затем, согласно теореме наложения решений, сложить эти частные решения. В результате получаем частное решение исходного дифференциального уравнения (2.35) со сложной правой частью.

ПРИМЕР 1.

Найти общее решение уравнения

у'' + у' - 2у = t^3x.

Решение.

Характеристическое уравнение к + к - 2 = (к - 1) (к + 2) = 0 имеет корни к₁ = 1 и к₂ = -2.

Тогда общее решение однородного уравнения у₀ = C₁1 ^x + C₂1^{- x}. Частное решение надо искать в виде:

U = A * t ^x.

Тогда U' = 3A * t^3x, U" = 9A * t^3x.

Тогда U" + U' - 2U = A * t^3x (9 + 3 - 2) = t^3x.

В результате общее решение неоднородного уравнения:

у = у0 + U = C11^x + C2t^-2x + -- * t^3x.

ПРИМЕР 2.

Найти общее решение:

у' + 25у = cos 5x.

Решение.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

у" + 25у = 0.

Характеристическое уравнение:

к² + 25 = 0.

Корни:

к₁ = 5i, к₂ = -5i.

Общее решение однородного уравнения:

у₀ = C₁ * cos 5x + C₂ * sin 5x.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

U = x (A * cos 5x + B sin 5x).

Вычислим:

U' = (A * cos 5x + B sin 5x) + 5x (-A * sin 5x + B cos 5x);

U" = 5(-A * sin 5x + B cos 5x) + 5x (-A sin 5x + B cos 5x) + 25 x (-A cos 5x - B sin 5x).

Тогда U'' + 25U = -10A sin 5x + 10B cos 5x = cos 5x.

Тогда A = 0, B = --.

В итоге общее решение неоднородного уравнения:

у = у₀ + U = С₁ * cos 5x + С₂ sin 5x + -- * x * sin 5x.

ПРИМЕР 3.

Решить дифференциальное уравнение

у'' + 3у' + 2у = 3x.

Решение.

Решим однородное уравнение

у'' + 3у' + 2у = 0.

Характеристическое уравнение: к + 3к + 2 = 0.

Имеет корни: к₁ = -1, к₂ = -2.

Поэтому общее решение однородного уравнения: у₀= С₁ * t^-x + С21^-2x

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде U = Ax + B.

При подстановке в исходное уравнение получаем:

U' = A; U" = 0; U" + 3U' + 2U = 3A + 2 (Ax+B) = 3x.

2Ax = 3x

Тогда

3A + 2B = 0'

ЗАДАНИЕ.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

1). у'' - у = 4 * t^x.

Ответ: у = C1 * t^x + C2 t^-x + 2x * t^x.

2). у'' + 4у' +5у = 8 cos x.

Ответ: у = t^{- x} * (C₁ * cos x + C₂ * sin x) + 2(cos x + sin x).

3). у" - 6у' + 9у = 25 * t^x * sin x.

Ответ: у = (C₁ + C₂x) * t^x + t^x * (4 cos x + 3 sin x).

4). у'' + 8у' = 8 x.

Ответ: у = Ci + C2 * t `^8x + -- - ^x.

5). у'' + 3у' - 10у = x * t `^2x.

Ответ: x = C1 * t^2x + C2 * t^-5x + -- (1-12x) t `^2x.

Раздел 3. Линейная алгебра

10. Операции над векторами

10.1 Векторы. Линейные операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В. Иногда вектор обозначают одной буквой а. Длиной |АВ| вектора АВ называется число, равное длине отрезка АВ. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.

Операции над векторами:

1) . Если вектор а умножить на действительное число я, то получим новый вектор b, который коллинеарен вектору а, длина его в я раз больше, и при я > 0 вектор b направлен в ту же сторону, а при я < 0 в сторону, противоположную вектору а.

2). Если сложить векторы а и b, то получим вектор с, который соединит начало вектора а и конец вектора b ( рис.3.1).

Рис. 3.1 Линейные операции над векторами

Скалярным произведением двух векторов а и b называется число

(a, b) = |a| |b| cos ф, (3.1)

где ф - угол между векторами а и b (рис. 3.2).

Рис. 3.2 Скалярное произведение векторов а и b

Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, который обозначается:

с = [а х b] (3.2)

Вектор с определяется свойствами:

1).Длина вектора |с| = |a| * |b| * sin ф, где ф - угол между векторами а и b. Длина вектора с численно равна площади параллелограмма S, построенного на этих векторах.

2). Вектор с перпендикулярен а и b.

3). Векторы а, b, с образуют правую тройку векторов ( рис. 3.3.).

Рис. 3.3 Векторное произведение векторов а и b: с = [аЬ]

10.2 Линейно независимые системы векторов. Базис. Системы координат

Элементами (векторами) n-мерного пространства Rⁿ являются совокупности из n действительных чисел a₁ = (a_11s а₁₂,..., а_1и). Система векторов a_1s а₂,..., а_и называется линейно зависимой, если существуют действительные числа Х_ь Х₂, одновременно не равные нулю, для которых выполняется соотношение

Х^1 + ^2a2 +... + X_na_n = 0. (3.3)

Если для векторов a₁, а₂,..., а_и нельзя указать числа Х_ь Х₂,

Х^ чтобы выполнялось условие (9.3), то эти векторы называются линейно независимыми.

Базисом в пространстве Rⁿ называется любая система n линейно независимых векторов a₁, а₂,..., а_и.

Следует отметить, что любой вектор b из Rⁿ можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

b = b1a1 + b2a2 +... + Ь_па_п. ( 3.4)

Здесь b₁, b₂,..., b_n - координаты вектора b по отношению к базису (a₁, а₂,..., а^.

В одномерном пространстве R¹ базис е образует любой вектор единичной длины, коллинеарный этому пространству.

В двухмерном пространстве R² базис образуют любые два неколлинеарных вектора (обычно два взаимно перпендикулярных векторы, направленных вдоль осей Ох и Оу).

Прямоугольная система координат x, y, z в R представляет собой три взаимно перпендикулярные прямые (оси координат), проходящие через начало координат - точку 0 (рис. 3.4).

Базисные векторы е_х, е₂, е₃ направлены вдоль координатных осей ( рис.3.4).

Рис. 3.4 Прямоугольная система координат

Базис называется ортонормированным, если все его векторы попарно ортогональны (перпендикулярны) и по длине равны 1. Декартова система координат с ортонормированным базисом называется декартовой прямоугольной системой координат.

Пусть векторы а и b в ортонормированном базисе ei, e₂, е₃ можно разложить следующим образом:

^{а a}x ^e1 + ^ay ^e2 + ^az ^е3^;

b = b_xe₁ + b_ye₂ + b_z^₃.

Тогда скалярное произведение векторов а и b можно вычислить по формуле

(а, b) = а_х-Ь_х + аy*by + аz*bz. (3.5)

Векторное произведение векторов а и b определяется по формуле

	е1	е2	е3
c=[ab] =	ax	ay	az
	bx	by	bz
Здесь с1 =	z ,р	- az"by),	с2 = (ax

^е1 "^(ay"^bz ^{- a}z"^by^{) -} е2`(аА - bx az) + ^"(^x^y ^{- a}y "^bx⁾ (3.6)

^ x “z/J '-'3 V^x `-'y “y '-'xj

координаты вектора с в ортонормированном базисе (e₁, e₂, е₃) (рис. 3.4.)

ПРИМЕР

Вычислить скалярное и векторное произведения векторов а(1, 2, 3) и b(4, 5, 6).

Решение.

(а, b) = 14 + 2-5 + 3-6 = 32.

С = [а х b] =

ei(26-35) - е₂(16-34) + ез(И-24) = -3ei + 6е2 - 3ез.

Представим вектор С в декартовой системе координат.

ЗАДАНИЕ

1). Вычислить скалярное и векторное произведения векторов а(1, 3, 5) и b (2, 4, 6). Построить вектор С = [ах b] в декартовой системе координат.

2). Вычислить скалярное и векторное произведения векторов с (-1, 2, 4) и d (-2, 3, 5). Построить вектор С = [ах b] в декартовой системе координат.

11. Матрицы и определители

Таблица чисел аi j вида
A =	r a11 a21	a12 - a22 -	a1n a2n	\	(ai j)?	(3.7)
	am1	am2 -	amn

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размером m х n.

Числа ai j называются ее элементами. При m = n она называется квадратной матрицей n-го порядка.

Если представить, что строки матрицы являются n-мерными векторами ai = (a^, ai ₂,... аi Д то максимальное число линейно независимых векторов называется рангом матрицы А.

Операции над матрицами

1. Умножение матрицы на число.

При умножении матрицы А = (ai j) на число X получаем матрицу В = (bij), т.е. ХА = В, элементы которой равны bij= X-aj

2.Сложение матриц.

При сложении матриц А = (ai j) и B=(bi j) получаем матрицу C = (cij), т.е. А + В = С, элементы которой равны Cij = aij + bij.

3. Перемножение матриц.

При умножении матрицы А на матрицу В получаем матрицу С = (qj), при этом число столбцов А должно быть равно числу строк матрицы В. Каждый элемент Cj = Јa_ik * b_kj.

Каждой квадратной матрице А можно сопоставить число |А|, которое вычисляется по определенному правилу. Это число называется определителем |А | = det A

а11	а12	а13
а21	а22	а23
а31	а32	а33

- ^а11 (^а22 ^а33 ^{- а}32 ^а23 ^{) -} - ^а12^(а21 ^а33 ^{- а}31 ^а23 ⁾ + + ^а13 ^(а21 ^а32 ^{- а}31 ^а22 ⁾-(3.9)

Если А - определитель порядка n, то минором М^ элемента а^ называют определитель плрядка ( n - 1), получающийся из этого определителя « вычеркиванием» I-ой строки и k- го столбца.

Под алгебраическим дополнением А^ элемента а^ понимают минор M_ik, домноженный на число ( -1) ^1+к, т.е.

Aik = ( -1)^I+^k * Mik (3.10)

Теорема разложения.

Определитель n- го порядка можно представить в виде суммы произведений всех его элементов какой-либо строки ( или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:

Ј а** Aik = Z aki * Aki ( 1 < k < n) (3.11) i=1 k=1

12. Системы линейных уравнений и неравенств

1.Системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n неизвестными

^a11^x1 + ***^a1n^xn = ^b1 , (3.12)

^an1^X1 + ***^ann^xn = ^bn

где Xi - неизвестные; ajj - коэффициенты системы; bi - свободные члены.

Система чисел (x₁,x₂,..., x_n) называется решением системы уравнений (3.12), если эти числа при подстановке в систему (3.12 ) превращают его в тождество.

Если система (3.12):

а) не имеет ни одного решения, то она называется несовместной;

б) имеет решение - совместной;

в) если совместная система имеет бесконечное множество решений, то она называется неопределенной;

г) если совместная система имеет единственное решение, то она называется определенной.

Пусть векторы aj - столбцы матрицы А, т.е. эту матрицу можно представить в виде А = (a₁, а₂,., а_п).

Введем определители: |А| = |a₁, a₂,..., a_n| и |Ak| =|a₁, a₂,..., bk, a_n|, т.е. столбец а^ заменяется на столбец свободных членов bk.

Правило Крамера. Если определитель системы (3.12) отличен от нуля, т.е. |А| ^ 0, то система уравнений имеет единственное решение, вычисляемое по формуле

Xk = ^ (k = 1, 2,..., n). ( 3.13)

ПРИМЕР 1

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

x + 2y + z = 8 2x + y + z = 7 3x + 2y + 2z = 13

Решение

Вычислим определители:

		1	2	1		1 1		2	1		2	1
А	-	2	1	1	= 1.	2 2	-2.	3	2	+1 *	3	2
		3	2	2

1. (1. 2	- 1.	2)	- 2.
		8	2	1
Ax	=	7	1	1
		13	2	2

8. (1.2 - 1. 2) -

- 2. ( 7. 2 -1. 13) +

+ 1. ( 2. 2 - 3. 1) = - 1.

		1	8	1
Ay	=	2	7	1
		3	13	2
		1	2	8
Az	=	2	1	7
		3	2	13

1. ( 7.2 - 1. 13) -

- 8. ( 2. 2 -1. 3) +

+ 1. ( 2. 13 - 3. 7) = - 2.

1.(1.13 - 7. 2) -

- 2. ( 13. 2 - 3. 7) +

+ 8. ( 2. 2 - 3. 1) = - 3.

По правилу Крамера:

x =	Ax	/	A	= (-1) / (-1) = 1.
y =	Ay	/	A	= (-2) / (-1) = 2.
z =	Az	/ A	= (-3)/(-10 = 3

Ответ: х - 1, у - 2, z - 3.

Метод Гаусса.

Представим метод Г аусса решения системы линейных уравнений на примере трех уравнений с тремя неизвестными х, y, z.

а11	х	+	а12 У	+	а13 z	= b1
* а21	х	+	а22У	+	а23 z	= b
а31	х	+	а32 У	+	а33 z	= b3

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и приведении системы к диагональному виду:

х + с12 у + с 13 z = di

у + С23 z = d2 (3.15)

z = d3

Неизвестные x, y, z из полученной системы (3.15) последовательно вычисляются ''обратным ходом ”.

Алгоритм метода Г аусса. 1-ый шаг.

Допустим, что а₁₁ * 0.

Делим тогда 1-ое уравнение в (3.14) на а₁₁ и получаем:

^х + ^{( a}12/^a11 ⁾ У + ^{( a}13/^a11 ^{) z} = ^d1^/a11

Переобозначим коэффициенты:

х + с12 у + 013z = d1 (3.16)

2-ой шаг.

Умножаем уравнение (3.16) на (-а₂₁ ) и складываем со вторым уравнением (3.14).

Получаем:

^{( -а}21 + ^а21 ^)х + У^{(- c}12 ^a21 + ^a22 ⁾ + ^{z( - c}13 ^a21 + ^a23 ⁾ = ^b2 ^{- d}1 ^a21

Разделим это уравнение на (- c₁₂ a₂₁ + a₂₂ ) и, переобозначив коэффициенты, получаем

у + c23 z = d2 (3.18)

3-ий шаг.

Умножаем уравнение (3.16) на ( -а₃₁) и складываем с третьим уравнением в (3.14):

^{( -а}31 + ^а31 ^)х + у(- С12 ^a31 + ^a32 ) + ^z( - C13 ^a3l + ^a33 ) = ^b3 ^{- d}1 ^a3i

Переобозначим коэффициенты в предыдущем уравнении:

^С32 у + ^c33 ^z = ^d3

В итоге после первого цикла из 3-х шагов система уравнений принимает вид:

X + с12 У + с 13 Z У + С23 Z С32 У + С33 Z

= d1 = ^d2 = d3 (3.19)

4-ый шаг.

Умножаем второе уравнение в (3.19) на ( -с₃₂ ) и складываем с третьим уравнением в этой системе:

^{( -с}32 + ^с32⁾ У + ^{z( -с}32 ^с23 + ^с33⁾ = ^d3 ^{- d}2 ^С32

Откуда:

^z = ^(d3 ^{- d}2 ^С32^{) / (с}33 ^-с32 ^с23 ⁾ = ^d3

В итоге получаем треугольную систему уравнений:

X + с12 у + с 13 Z = d1

У + С23 Z = d2

z = d3 (3.20)

Из которой неизвестные х, у, z получаем “обратным ходом”:

Z = (d3 - d2 С32) / (с33 -с32 с23 )

У = d2 - + С23 Z

X = d1 - с 12 У - (3.21)

ПРИМЕР 2

Решить систему линейных уравнений методом Г аусса: 1

2х + 4у + 2 z = 16 2х + у + z = 7 3х + 2у + 2z = 13

Решение

1 -ый шаг.

_Разделим первое уравнение на (2):

х+2у + z = 8

2-ой шаг.

Умножим первое уравнение на (-2) и сложим со вторым уравнением:

(-2+2)х +( -4 +1)у + (-2+1) = -16+7 = -9.

3-ий шаг.

Умножим первое уравнение на (-3) и сложим с третьим:

(-3 +3)х +(-6 +2)у + (-3+2) = -24+13 = -11.

После первого цикла получаем

х + 2у + z = 8 у + z/3 = 3

4у + z = 11

4-ый шаг.

Умножаем второе уравнение на (-4) и складываем с третьим (-4 +4)у + z( -4/3 + 1) = -12 = 11 В итоге получаем:

-z/3 = -1, z = 3.

Треугольная система уравнений принимает вид:

х + 2у + z = 8 у + z/3 = 3

z = 3

В результате обратного хода получаем:

у = 3 - 3/3 = 2, х = 8 - 2(2)

Ответ: х = 1, у = 2, z = 3.

2. Системы линейных неравенств.

Рассмотрим систему n линейных неравенств:

^a11 * ^х1 + ^a12 * ^х2 + -- + ^a1n * ^xn < ^b1^;

^ ^a21 * ^х1 + ^a22 * ^х2 + -- + ^a2n * ^xn < ^b2^; (3.22)

a_m1 * х1 + a_m2 * х2 + -- + a_mn * хп < bm;

где а! j, bi, Cj - заданные постоянные величины, х = (х₁, х₂, -- х_п) - вектор -строка переменных.

Если система неравенств (3.22 ) совместна, она определяет некоторое множество, совокупность точек которого образует выпуклый многогранник.

Построить этот многогранник сравнительно просто, если задача содержит не более двух- трех свободных переменных, т.е. n-r < 2- 3, где n - число переменных, г - ранг матрицы А.

В качестве примера построим выпуклый многонранник, определяемый системой неравенств:

а_пх + а12 У < b1 (3.23)

< а21х + а22 У < b2 х > 0; У > 0.

Каждое из неравенств (3.23) системы ограничений геометрически определяет полуплоскость, ограниченную прямыми

an х + a12 У = b1,

a21 х + a22 У = b2, (3.24)

х = 0, У = 0.

В том случае, если система неравенств (3.23) совместна, область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Каждая полуплоскость образует выпуклое множество, тогда множество их пересечений и образует выпуклый многогранник.

Рис. 3.5 Выпуклый многогранник D, заданный системой неравенств (3.23)

ПРИМЕР 3

Построить многогранник D, заданный системой неравенств:

3х + 2 у < 6 2х + 3у < 6 x > 0; у > 0.

Решение

Неравенства x > 0; у > 0 задают 1-ую четверть координатной плоскости

Построим прямую: 3x + 2у = 6.

При х = 0: 2у = 6; у = 3; при у = 0: 3х = 6, х = 2. Следовательно, прямая проходит через точки (0, 3) и (2, 0). Построим прямую: 2x + 3у = 6.

При х = 0: 3у = 6, у = 2; при у = 0: 2х = 6, х = 3. Следовательно, прямая проходит через точки (0, 2) и (3, 0).

Область D определяется пересечением полуплоскостей:

3x + 2у < 6 2x + 3у < 6

ЗАДАНИЕ

1). Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и формуле Крамера:

по

2х + 4у + 6 z = 14 х + 2у + 3z = 7 3х + у + z = 8

Ответ: х = 2, у = 1, z

2). Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и формуле Крамера:

2х + 3у + z = 7 2х + у - z = 1 4х + 2у - z = 4

Ответ: х = 1, у = 1, z = 2.

3). Построить многогранник, заданный системой неравенств:

2х + 4у < 8 3х + 2у < 6 х > 0; у > 0.

4). Построить многогранник, заданный системой неравенств:

2х + 5у < 10 2х + 2у < 6 х > 0; у > 0.

5). Построить многогранник, заданный системой неравенств:

2х + 5у < 10 5х + 2у < 6 5х + 5у < 12 х > 0; у > 0.

13. Экстремум функции нескольких переменных

13.1 Функция нескольких переменных (ФНП)

Рассмотрим множество всевозможных упорядоченных совокупностей n чисел вида (х_ь х₂,..., x_n), которое называется n- мерным координатным пространством Rⁿ. Каждая упорядоченная совокупность М(х_ьх₂,..., x_n) называется точкой M этого пространства.

Между двумя точками этого пространства A(x_b х₂,..., x_n) и ^В(уь у₂,., у_п) можно определить расстояние г(А, В):

г(А,В) _{= д}/ (х, - у,⁾² + - У2)² +... + (X_n - у _п)² (З.^{25 )}

Координатное пространство Rⁿ с введенным расстоянием г(А, В) называется n-мерным евклидовым пространством Е.

Рассмотрим множество Eⁿi с Е^п Если каждой точке М(х_ь

х₂,., x_n) этого подмножества Eⁿ₁ можно сопоставить некоторое действительное число u, то говорят, что на множестве E ₁ определена функция n переменных u = f(M) или u = f(x_b х₂,., x_n).

Геометрический смысл функции 2-х переменных.

Рассмотрим функцию 2-х переменных u = А(х,у), определенную в области D. Тогда каждой точке М(х₀,у₀) будет сопоставлено число u₀ = Дхо,у₀). Множество точек u = А(х,у), где точки

М(х,у) е D, образует поверхность в пространстве R (рис. 3.6).

Рис. 3.6 Поверхность u = f(x,y)

13.2 Частные производные и дифференцируемость ФНП

Пусть M(x₁, х₂, --, x_n) - точка множества Eⁿ₁, где определена функция u = f(x₁, х₂, --, x_n).

Рассмотрим частное приращение этой функции в точке М, соответствующее приращению Ахк аргумента xk

A_ku = ffe, --, х_к + Ах_к, х_к+1, --, xn) - ffe, --, х_к, --, хп).

Частной производной функции u = f(x₁,..., х_п) по аргументу х_к в точке М называется

_т. A_k u д u _/Л

Lim -L ₌ (M). (3.26)

Ax _k ^0 A x_k д x_k Аналогично вводятся производные второго порядка частные производные высших порядков (n-го порядка)

Рассмотрим полное приращение функции u = f(x_b..., х_п) в точке М, принадлежащей области Eⁿ₁:

Ли = Г(х₁ + Лх_ь..., х_п + Ах_п) - Дх₁₉..., х_п).

Функция u = f(x_b..., х_п) называется дифференцируемой в точке M(x_b..., х_п), если ее полное приращение Ли можно представить в виде

Ли =Ј (Ак^Лхк + а_КЛхк), ( 3.27)

где А_К - некоторые числа; а_к - бесконечно малые при Дх_к ^ 0 для всех к от 1 до n (т.е. а_к ^ 0 при Дх_к ^ 0).

Дифференциалом функции u = f(x_b..., х_п) в точке М называется линейная функция вида

du = -- (M) * Дх, +... + -- (M) * Дх _n. (3..28)

Дифференциал второго порядка функции двух переменных и = ^х,у)

_л2 д²^ ₂. д²^ д²^ ₂ d²u = ---Ax² + 2 Ax *Ay + ---Ay².

ТЕОРЕМЫ

1. Необходимое условие дифференцируемости. Если функция u = f(x₁,..., x_n) дифференцируема в точке М, то она имеет в

этой точке частные производные по каждому аргументу x₁,., x_n.

2. Достаточное условие дифференцируемости. Если функция u = f(x₁,., x_n) имеет частные производные по каждому аргументу x₁,., x_n в окрестности точки М и эти частные производные непрерывны в точке М, то функция u = Дх₁₉..., х_п) дифференцируема в точке М.

Геометрический смысл дифференцируемости функции.

Если функция u = f(x, у) дифференцируема в точке М(х₀, у₀), то в точке (х, у, f(x₀, у₀)) существует касательная плоскость к поверхности S (графику этой функции), причем уравнение этой касательной плоскости имеет вид:

^(Mo⁾ *^{(х - х}0⁾ + ^ ^(мо⁾ * (у^- У о⁾ = и^- ^^х0, у о⁾. ( 3.²⁹⁾

ЗАДАНИЕ

Вычислить частные производные первого порядка функций:

1). и = х * у + cos х. 2). и = х + у * sin х.

3). и = х⁴ * tg х + у³ 3^х. 4). и = 1пх * ctg х + у² * х⁴

13.3 Локальный экстремум функций нескольких переменных

Функция u = f(M) имеет в точке М₀ локальный максимум, если существует такая окрестность точки М0, в которой выполняется неравенство

f(M) < f(M₀) для всех М Ф М₀. (3.30)

Функция u = f(M) имеет в точке М₀ локальный минимум, если существует такая окрестность точки М0, в которой выполняется неравенство

f(M) > f(M₀) для всех М Ф М₀. (3.31)

Если функция u = f(M) имеет в точке М₀ локальный максимум или локальный минимум, то говорят, что эта функция имеет в точке М₀ локальный экстремум.

ТЕОРЕМА

Необходимое условие экстремума

Если функция u = f(M) имеет в точке М0 локальный экстремум и в этой точке существует частная производная функции по какому-либо аргументу Х_к, то О и/ О х_к (M_o) = 0.

Следствие. Если функция u = f(M) имеет в точке М₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то дифференциал функции в точке М₀ равен нулю, т.е.

аи(Мо)=|^ (Мо)ёх,+...+^L (Мо)ахп = о. (3.32)

Рассмотрим достаточное условие экстремума функции на примере функции двух переменных.

ТЕОРЕМА

Достаточное условие экстремума

Пусть функция u = f(x, у) дифференцируема в окрестности точки М0(х0,у0) и дважды дифференцируема в самой точке М0. Пусть М₀ - точка возможного экстремума данной функции, т.е. дифференциал функции в этой точке равен нулю: du(M₀) = 0. Введем обозначения:

1. Если D > 0, то в точке М₀ функция u = f(x, у) имеет локальный экстремум:

- максимум при an < О;

- минимум при an > О.

2. Если D < 0, то в точке М₀ функция u = f(x, у) не имеет экстремума.

3. Если же D = 0, то в точке М₀ функция u = f(x, у) может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его. Требуются дополнительные исследования функции в этой точке.

ПРИМЕР 1

Найти точки локального экстремума функции: и = х² - 4х + у² - 2у.

Решение.

Вычисляем частные производные и приравняем их к нулю: и'_х = 2х - 4 = 0, тогда х = 2; и'_у = 2у - 2 = 0, тогда у = 1.

Получаем точку М₀(2,1), в которых возможен экстремум функции и = и(х,у) - точку “ подозрительную” на экстремум.

Далее находим частные производные второго порядка:

и''хх = 2, и''ху = 0, и''уу = 2.

В точке М0: D^) = и''хх * и''уу - (и''ху)² = 2 * 2 - (0²) = 4 > 0. Следовательно, в точке М₀ - локальный экстремум. Поскольку и''_хх(М₀) = 2 > 0, то в точке М₀( 2,1) - локальный минимум.

Тогда: min и(х,у) = и (2,1) = (2)² - 4 * (2) + 1² - 2 * 1 = -5.

ПРИМЕР 2

Найти точки локального экстремума функции:

22 и = 6х - х + 4у - у.

Решение.

Вычисляем частные производные и приравняем их к нулю: и'_х = 6 - 2х = 0, тогда х = 3; и'_у = 4 - 2у = 0, тогда у = 2 Получаем точку М₀(3,2), в которых возможен экстремум функции и = и(х,у) - точку “ подозрительную “на экстремум.

Далее находим частные производные второго порядка:

и''хх = -2, и''ху = 0, и''уу = -2.

В точке М0:

D(^) = и''хх * ы"уу - (и''ху)² = (-2 )*(- 2) - (0²) = 4 > 0.

Следовательно, в точке М₀ - локальный экстремум. Поскольку и''_хх(М₀) = -2 > 0, то в точке М₀( 2,1) - локальный максимум.

Тогда: тах и(х,у) = и (3,2) = 6 * (3) - (3)² + 4 * 2 - 2² = 13.

ПРИМЕР 3

и = х - 2 * х- у+ 2 * у.

1. Найти точки локального экстремума функции

х² - 2 * х* у Решение.

Вычисляем частные производные функции и приравниваем их к нулю:

u'_x = 2х -2у = 0; u'y = -2х + 2 = 0.

Решением системы являются координаты точки М(1,1).

Далее находим частные производные второго порядка:

u'^ = 2; u'^ = -2; u"^ = 0.

Тогда D = ^'хх^уу - (u%)² = - 4 < 0.

Следовательно, в точке М функция u = f(x, у) не имеет локального экстремума.

ПРИМЕР 4

Найти точки локального экстремума функции:

u = х² + 2ху +--.

Решение.

Вычисляем частные производные и приравняем их к нулю: u'_x = 2х + 2у = 0, тогда х = -у; u'_Y = 2х + у² = 0, поскольку х = -у, то получаем:

² * ⁽-у⁾ + у² = у ⁽у - ²⁾ = ⁰.

Получаем две точки М₁(0,0) и М₂(-2,2), в которых возможны экстремумы функции u = u(x, у).

Далее находим частные производные второго порядка:

u'xx = 2, u% = 2, u'^ = 2у.

В точке

М₁: D(М₁) = u''_xx * u''^ - (u^Mxy)² = 2 * 0 - (2²) = -4 < 0.

Следовательно, в точке М1 нет локального экстремума.

В точке М₂:

D(М₂) = u''_xx * u''^ - (u'y² = 2 * (2 * 2) - (2)² = 4 > 0.

Следовательно, в точке М2 - локальный экстремум, а поскольку u''_xx = 2 > 0, то в точке М₂(-2,2) - локальный минимум.

Тогда: min u(x^) = u (-2,2) = (-2)³ + 2(-2) + 8 = - 4о.

ЗАДАНИЕ

Найти точки локального экстремума функций:

1). u = х² - 2х + у² - 4у. 2). u = 4х - х² + 2у - у²

3). u = х² - 4х + у² - 6у. 4). u = 2х - х² + 4у - у²

5). u = х² - ху + у². 6). u = х² -ху - у².

13.4 Условный экстремум ФНП. Метод Лагранжа

Рассмотрим функцию u = f(x, у), определенную и непрерывно дифференцируемую на множестве E²₁c Е².

Обозначим Х - множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям

&(х, у) = 0 (i = 1,..., m). (3..34)

Уравнения (3.34) называются уравнениями связи.

Точка М₀ е Х называется точкой условного максимума функции u = f(x, y), если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки М из этой окрестности выполняется условие

f(M) < f(M0), Мф М0. (3.35)

Точка М₀ е Х называется точкой условного минимума функции u = f(x,y), если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки М из этой окрестности выполняется условие

^М) > f^), М ф М0. (3.36)

Задача об условном экстремуме функции u = f(x, у) при условиях связи (3.34) эквивалентна задаче о локальном экстремуме функции Лагранжа:

^L(x у⁾ = l(^x,y⁾ + ЈXi * gi^(x,у^{), (3}.3⁷⁾

где Х₁, Х₂--, X_m - некоторые постоянные (коэффициенты Лагранжа).

Метод Лагранжа состоит из следующих этапов:

1. Составляется функция Лагранжа (2 + m) переменных:

--х, у) = -х,у) + ZXi * gi(x у). С3.38)

2. Вычисляются и приравниваются к нулю ее частные производные по х, у и добавляется уравнение связи:

^О-- = ^О- +ЈX, *°gi = о;

О х О х i=, О х ( 3.39)

О Т О f m О _g

О- = |- + ZXi ^ = о, gifcу) = о (i = 1, 2,..., m).

О у О у i=, О у

3. Решается система (2 + m) уравнений (3.39) относительно неизвестных х, у, 1_Ь..., 1_m.

Полученная система уравнений - необходимое условие первого порядка в задаче на относительный экстремум, а ее решения х₀,у₀ называются условно-стационарными точками.

Как и в случае задач на безусловный экстремум, необходимые условия первого порядка не определяют характера условностационарных точек. Для выяснения этого вопроса следует привлечь производные функций f(M), gi(M) более высоких порядков.

Следует вычислить второй дифференциал

Если d Ь(х₀,у₀) > 0, то в точке (х₀,у₀) - условный минимум.

Если d Ь(х₀,у₀) < 0, то в точке (х₀,у₀) - условный максимум.

Если же d Ь(х₀,у₀) - знакопеременная квадратичная форма, то в точке (х₀,у₀) функция А(х,у) не имеет условного экстремума.

ПРИМЕР 1

Найти точки условного экстремума функции z = х² + у², если х + у = 1.

Решение.

Ь(х, у, 1) = х² + у² + 1 * (х + у - 1);

L'_x = 2х + 1 = 0; L' = 2у + 1 = 0; L'_X = х + у -1.

Решением этой системы являются точки х = 1/2; у = 1/2; X = -1. Далее: Ь"хх= 2, L'_Xy= 0, L"yy= 2.

Определим: d²L = 2 * ёх² + 2dy² > 0.

Следовательно, в точке х = ¹, у = ¹ функция z = х² + у²

достигает своего условного минимума: z_min = (^)² + (^)² = ¹.

ПРИМЕР 2

Найти точки условного экстремума:

А(х, у) = х * у, х + у = 1.

Решение.

Функция Лагранжа:L^, у, X) = х * у + X (х + у - 1);

Проводим вычисления: L_x = у + X = 0; L'_y = х + X = 0; х + у = 1.

Решение системы: х₀ = ¹; у₀ = ¹; X = - ¹.

Определим: и'_хх = 0, L'_xy = 1, L''^ = 0.

Тогда: d²L = и'_хх * ёх² + 2L^м_xy * ёхёу + L^м_yy dy² = 2ёхёу.

Вычислим: ё(х+у) = 0, тогда ёх = -dy.

В итоге: d²L = -2(dy)² < 0.

Поскольку квадратичная форма - отрицательно определенная, то функция А(х,у) = х * у имеет в точке (1,1) условный мак-

1). А(х, у) = х + у, если х - у = 1;

2). f(x, у) = х +3у + х - у в треугольнике, ограниченном прямыми х = 1; у = 1; х + у = 1;

3). Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот, чья площадь наибольшая.

Раздел 4.Основы дискретной математики

14. Введение в теорию множеств

Множество Х - это совокупность элементов {х}, объединенных по каким-либо признакам.

Утверждение, что х принадлежит Х символически записывается так: хеХ; запись х^Х означает, что элемент х не принадлежит множеству X.

Множество Х может быть бесконечным или конечным (т.е. состоять из конечного числа элементов).

В каждом множестве можно выделить подмножество Х'еХ (рис.4.1), элементы которого обладают общими для этого подмножества свойствами. Подмножество X' состоит только из тех элементов, которые принадлежат множеству Х, т.е. если хеХ', то отсюда следует, что хеХ.

Рис. 4.1 Множество Х и подмножество Х'^Х

Целесообразно ввести понятие пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента.

Для любого множества Х можно указать множество, элементами которого {X'} являются подмножества этого множества Х, т.е. Х'^Х. Такое множество, состоящее из подмножеств Х', называется семейством множеств Х и обозначается В(Х).

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Пусть А и В - произвольные множества.

1. Суммой или объединением этих множеств называется множество С = A |J B, которое состоит из всех элементов множеств А и В (рис. 46).

2. Пересечением множеств А и В называется множество С = А Р| B, состоящее из всех элементов как множества А, так и элементов В (рис. 4.2)

Рис. 4.2 Объединение и пересечение множеств А и В

3. Декартовым произведением А х В множеств А и В называется множество М, элементы которого представляют собой пары упорядоченных элементов множеств А и В, т.е. имеют вид

М = {(a_1; bj)/aieA, bjeB}.

Пример построения декартового произведения множеств А и В представлен на рис. 4.3.

ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Пусть А и В - произвольные множества.

Говорят, что задано отображение f: А в В (запись f: А^В), если каждому элементу аеА поставлен в соответствие один и только один элемент веВ (рис.4.4). В этом случае элемент а называется прообразом, а отвечающий ему элемент в = f(a) - образом.

Отображение А на В называется взаимно однозначным, если выполняются два условия:

1. Каждый элемент ве В является образом какого-либо прообраза аеА, т.е. V веВ ~ аеА такое, что f ¹(b) = a.

2. Для любых двух различных а₁Фа₂ из А будут отличны и их образы f(a₁)^f(a₂).

Рис. 4.4 Взаимно однозначное отображение А на В

15. Комбинаторика

Комбинаторика - раздел математики, который изучает расположения элементов в конечных множествах по различным правилам и подсчет всех способов таких расположений.

Основной принцип комбинаторики.

Если процесс состоит из К этапов, каждый из которых может осуществляться N_i способами (i = 1,2,... к), то общее число вариантов осуществления процесса

N = Ni х N2 х N_K. (4.1)

ПРИМЕР 1

Туристический маршрут из начального пункта в 1 -й привал может проходить по трем тропам, из 1 -го привала во 2-й - по 2-м, а из 2-го в конечный пункт маршрута - по 4-м возможным тропам.

Решение

Тогда общее число возможных маршрутов равно

N = 3 х 2 х 4 = 24 маршрута.

На рисунке приведены различные варианты туристических маршрутов из начального в конечный пункт.

Сочетания из n по к.

Пусть R_n - множество из n элементов. В комбинаторике любое к-элементное подмножество называется сочетанием из n элементов по к. Порядок элементов в множестве и подмножестве не существенен. Число сочетаний из n по к равно

ЗАДАНИЕ

1). В районе действует 8 фирм.

Налоговая служба решает проверить 3 фирмы.

Сколько вариантов выбора существует?

Ответ: N = С_я = = 56 вариантов.

2). Из колоды в 36 карт произвольно вытаскивают 5 карт.

Сколько случаев, когда 2 из этих 5 карт будут пики, а 3 остальные - черви?

Ответ: N = С₉ * С₉ случаев.

3). На собрании с докладами должны выступать 4 докладчика. Сколько вариантов порядка очередности их выступления? Ответ: N = 4! = 24 варианта.

4). После футбольного матча командам приходится выполнять серию из 5 штрафных ударов. Тренеру предстоит из 11 футболистов отобрать 5 и определить порядок их подхода к мячу. Сколько вариантов отбора есть у тренера?

Ответ: А_п = ^ = 7 * 8 * 9 10 11 вариантов.

5). В фирме работают 8 мужчин и 6 женщин. Принято решение послать на курсы 3 мужчин и 2 женщин.

Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: N = С³ * Сб = 840 способов.

16. Алгебраические системы

Рассмотрим множество М, состоящее из элементов {m}.

Алгебра А - это совокупность множества М с заданными в нем операциями S = {f_1;f₂,...f_n}, которая записывается в виде A = <M,S>. Множество М называется носителем, a S - сигнатурой алгебры А.

Если сигнатура состоит только из одной операции, то алгебра называется группоидом и записывается в виде А = <М,*>, где символ "*" обозначает только одну операцию на множестве М. Если "*" - операция типа умножения "х", то группоид называют мультипликативным, если "*" - операция типа сложения "+",то группоид называют аддитивным.

Для алгебры (или группоида) можно ввести понятие единичного элемента е, для которого справедливо: m * е = е * m = m. Если группоид <М, *> - мультипликативный, то единичный элемент называется "единица" и обозначается "1". Если же группоид является аддитивным, то единичный элемент называется "нулем" и обозначается "0".

Для элементов алгебры (или группоида) можно ввести понятие обратного элемента т¹, который удовлетворяет следующему свойству: m * m^-1 = m^-1 * m = e.

ПРИМЕРЫ

1. Рассмотрим множество векторов на плоскости R² и введем операцию сложения векторов: а + в = с. Сложив два вектора, мы вновь получаем вектор. Следовательно, операция не выходит за пределы множества векторов на плоскости. Тогда единичным элементом будет вектор нулевой длины - 0.

Обратным элементом для каждого вектора будет вектор - а, коллинеарный данному, равный исходному по длине, но направленный в противоположную сторону.

2. Положительные рациональные числа с операцией умножения.

Единичным элементом является число 1. Каждому положительному рациональному числу х можно сопоставить обратный элемент 1/х, который обеспечивает выполнение условия: x x 1/x = 1/x x x = 1.

Группоид <М, x>, для любых элементов ш_ь m₂, m₃ которого выполняется закон ассоциативности:(ш₁хш₂)хш₃ = m₁x(m₂xm₃), называется полугруппой.

ПРИМЕР 1

Множество целых чисел {m} является полугруппой по умножению, так как для любых трех целых чисел выполняется закон ассоциативности. Например, (-2 x 3) x7 = -2 x (3 x 7).

Группоид <M, *>, для любых элементов m_b m₂, m₃ которого выполняются условия:

1. В М существует единичный элемент е: m * е = е * m = m;

2. В М для любого элемента m существует обратный элемент m^-1: m * m^-1 = m * m^-1 = е

3. Для элементов носителя выполняется закон ассоциативности

(m₁ * m₂) * m₃ = m₁ * (m₂ * m₃); называется группой.

Рассмотрим алгебру А с операциями сложения "+" и умножения "x", т.е. А = <М, x, +>.

Если для любых элементов m₁, m₂, m₃ носителя M выполняются:

1. Закон коммутативности по сложению:

m₁ + m₂ = m₂ + m₁;

...