Элементы высшей математики

2. Закон ассоциативности по умножению:

(m₁ x m₂) x m₃ =

m₁ x (m₂ x m₃);

3. Законы дистрибутивности:

m₁ x (m₂ + m₃) = m₁ x m₂ + m₁ x m₃, (m₁ + m₂) x m₃= m₁ x m₃ + m₂ x m₃,

то эта алгебра называется кольцом.

Кольца, в которых для всех отличных от нуля элементов существуют обратные, называются телами.

Тело не является группой относительно операции умножения, поскольку обратные элементы существуют только для элементов, отличных от нуля.

Тело, которое обладает свойством коммутативности по умножению, т.е. m₁ x m₂ = m₂ x m₁, называется полем.

ПРИМЕР 2

1). Проверить, является ли группой аддитивный группоид функций А = < ах + b, + >, где а, b - рациональные числа.

Решение

Проверим условия существования группы.

1. В носители М = { ax + b} существует единичный элемент е. При а = 0, b = 0 получаем: 0 * х + 0 = 0 = е е М.

2. Для любого m = ах +b существует обратный элемент

m^-1 = а₁х + b₁, где а₁ = -а, b₁ = -b.

Тогда m + m^-1 = 0 = е.

3. . Для элементов носителя выполняется закон ассоциативности

[ ( ак х + Ьк ) + ( an х + bn ) ] + ( am х + bm ) =

( ак х + Ьк ) + [( an х + bn ) + ( am х + bm ) ].

Здесь ( а_к х + Ь_к ),( a_n х + b_n ), ( a_m х + b_m ) - произвольные элементы носителя.

Следовательно, группоид является группой.

ПРИМЕР 3

Проверить, является ли группой аддитивный группоид функций А = < ах, + >, где а- натуральные числа.

Решение

1. Для определения единичного элемента требуется положить:

а = 0 тогда бы мы имели имеем 0 * х = 0 = е.

Однако такого выбора сделать нельзя, так как а - натуральное число ( N = 1,2, 3....), а в множество натуральных чисел 0 - не входит.

2.Кстати, для любого m = ах² не существует и обратного элемента, так как мы не можем выбрать для m^-1 отрицательного коэффициента а₁ = -а ( все натуральные а > 0).

Следовательно, группоид не является группой.

ПРИМЕР 4

1). Проверить, является ли группой мультипликативный группоид чисел А = < 3ⁿ, >, где n - целые числа.

Решение

Проверим условия существования группы.

1.В носители М = { 3ⁿ } существует единичный элемент е.

При n = 0 получаем: 3⁰ = 1 = е е М.

2. Для любого m = 3ⁿ существует обратный элемент

m^-1 = 3ⁿ¹, где n1 = - n,

Тогда m x m^-1 = 3ⁿ x 3 ^{- n} = 3⁰ = 1 = е.

3. Для элементов носителя выполняется закон ассоциативности

3 x 3J x 3 = 3 x [ 3 x 3J.

Следовательно, группоид является группой

ЗАДАНИЕ

1). Проверить, является ли группой аддитивный группоид функций А = < ах + bx, + >, где а, b - рациональные числа. Графически представить некоторые элементы заданного носителя.

2). Проверить, является ли группой аддитивный группоид функций А = < а * tg x, + >, где а - целые числа. Графически представить некоторые элементы заданного носителя.

3). Проверить, является ли группой аддитивный группоид функций А = < ах+ b, + > >, где а - целые числа, b - натуральные числа. Графически представить некоторые элементы заданного носителя.

5). Проверить, является ли группой мультипликативный группоид функций А = < х^п, x > - группой, где n - целое число. Представить некоторые из этих функций на графике.

6). Проверить, является ли группой мультипликативный группоид функций А = < 2^nx, x > - группой, где n - целое число. Представить некоторые из этих функций на графике.

17. Бинарные отношения

Фундаментальным понятием дискретной математики является понятие отношения, которое используется для обозначения связи между объектами или понятиями.

Квадратом множества М называется декартово произведение двух равных между собой множеств: М х М = М. Элементами множества М являются упорядочные пары вида

Бинарным отношением Т в множестве М называется подмножество его квадрата: Т^М². Говорят, что элементы m_i и mj находятся в отношении Т, если (m_i, mj) еТ.

Рассмотрим задание бинарного отношения Т с помощью матрицы смежности. Матрица смежности состоит из клеток, которые образуют пересечения строк и столбцов. Направляющими строк и столбцов являются элементы множества М. Тогда каждая клетка (i, j) взаимно однозначно соответствует элементу (m_i, mj) множества М. Если этот элемент (m_i, mj) принадлежит бинарному отношению Т, то в клетке (i, j) ставится "1", если нет, то цифра "0".

Например, если множество М состоит из элементов а, в, с, d, f, а его подмножество Т включает упорядочные пары (а, в,), (в, с) и (с, d), то это подмножество Т и матрица смежности принимают вид (рис. 4.5).

ПРИМЕР 1

Пусть организационная структура управления фирмой имеет вид:

Полагаем, что два элемента структуры фирмы находятся в отношении Т, если между ними происходит непосредственно организационное взаимодействие. Тогда это отношение Т можно задать в виде матрицы смежности следующим образом:

	Д	ГИ	ГБ	НМЦ	НТО	Б	МР	АШ
Д	1	1	1	0	0	0	0	0
ГИ	1	1	0	1	1	0	0	0
ГБ	1	0	1	0	0	1	0	0
НМЦ	0	1	0	1	0	0	1	0
НТО	0	1	0	0	1	0	0	1
Б	0	0	1	0	0	1	0	0
МР	0	0	0	1	0	0	1	0
АШ	0	0	0	0	1	0	0	1

Рассмотрим основные свойства бинарных отношений.

1. Отношение Т в множестве М называется рефлексивным, если для каждого элемента теМ справедливо (m, т)еТ.

2. Отношение Т в множестве М называется симметричным, если из (mi, Ш|)еТ следует, что (mj, ш^еТ при mi Ф mj.

3. Отношение Т в множестве М называется транзитивным, если из (m_i, mj)eT и (mj, ш_к)еТ следует, что (m_i, ш_к)еТ при m_i Ф mj, m_i Ф m_k, mj Ф m_k.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве М называется отношением эквивалентности.

ЗАДАНИЕ

1). Для множества функций { tg x, cos x, x⁴, sin x} введено бинарное отношение Т: “... быть периодической функцией....” Выделить Т на матрице смежности. Определить свойства Т.

2). Для множества функций { x³, cos x, ln x, 2 ^x} введено бинарное отношение Т: “... быть возрастающей функцией....” Выделить Т на матрице смежности. Определить свойства Т.

3). Имеется множество чисел М = {2, 4, 7, 8, 9}.

Полагаем, что два числа находятся в бинарном отношении Т, если они оба четные. Представить отношение Т на матрице смежности. Определить свойства Т.

4). Для множества чисел { 1/3,,,f 2, ж, -3 } введено бинарное отношение Т: “... быть рациональным числом....” Выделить Т на матрице смежности. Определить свойства Т.

5). Задано множество { лев, антилопа, кролик, трава }.

Введено бинарное отношение Т: “ хищник - жертва”. Выделить Т на матрице смежности. Определить свойства Т.

6). Задано множество людей, являющихся членами одной семьи. Введено бинарное отношение Т: “ родитель - его ребенок”. Определить свойства Т.

7). Задано множество студентов одной группы.

Введено бинарное отношение Т: “..быть отличником..”. Определить свойства Т.

18. Основы математической логики

Одним из фундаментальных понятий математической логики является понятие высказывания.

Высказывание представляет собой языковое предложение, о котором можно сказать только одно: истинно оно или ложно.

ПРИМЕРЫ

Высказываниями являются следующие предложения:

1). "Волга впадает в Каспийское море".

2). "Москва стоит на берегу Невы".

Первое высказывание - истинно, а второе - ложно.

Предложения:

1). "х + у = 4".

2). "Город стоит на берегу реки" высказываниями не являются ввиду их недостаточного уточнения.

В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью или ложностью высказываний. Истинностные значения - истина и ложь - будем обозначать буквами И и Л соответственно. Множество {И,Л} называется множеством истинностных значений.

Грамматическими средствами в разговорном языке из нескольких простых высказываний можно получить сложное (составное) высказывание. Для этого можно воспользоваться союзами "и", "или" и отрицательной частицей "не". Например, из простых высказываний "Солнце днем на небе" (истинное) и "Трава на лугу красного цвета" (ложное) можно с помощью союзов "и", "или" и частицы "не" составить следующие сложные высказывания "Солнце днем на небе, трава на лугу не красного цвета" (истинное) и "Солнце днем не на небе и трава на лугу красного цвета "(ложное).

Рассмотрим логические операции над высказываниями, при которых истинностные значения составных высказываний определяются только истинностными значениями составляющих высказываний, а не их смыслом. Эти логические операции являются операциями отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.

Отрицанием высказывания Р называется высказывание P истинное, когда высказывание Р ложно, и ложное, когда высказывание Р является истинным. Отрицание Р обозначается через " P " и читается как "не Р ". Отрицание соответствует частице "не".

Конъюнкцией двух высказываний Р и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Конъюнкция высказываний Р и Q обозначается через "P x Q" и читается как "Р и Q". Конъюнкции соответствует соединение высказываний союзом "и".

Дизъюнкцией двух высказываний Р и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Дизъюнкция этих высказываний обозначатся "PVQ и читается как "Р или Q".. Дизъюнкция соответствует соединению высказываний союзом "или".

Импликацией двух высказываний Р и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда Р истинно, а Q ложно. Импликация высказываний P и Q обозначается «P^Q» и читается как «из P следует Q».

Эквивалентностью (эквиваленцией) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинностные значения Р и Q совпадают.

Эквиваленция высказываний Р и Q обозначается «Р ~ Q» и читается как «Р эквивалентно Q».

ПРИМЕР 1.

Представить логической формулой следующее высказывание: «Если допоздна работаешь на компьютере, то утром просыпаешься поздно и с головной болью».

Решение

Составное высказывание состоит из следующих простых:

А - «Допоздна работаешь на компьютере».

В - «Утром просыпаешься поздно».

С - «Утром встаешь с головной болью».

Составное высказывание может быть символьно представлено в виде следующей логической формулы:

А^(В х С).

ПРИМЕР 2.

Представить логической формулой высказывание:

«Если фирма заботится о качестве товаров или об ассортименте, то это приведет к росту объема сбыта продукции и повышению прибыли от ее реализации».

Решение

Составное высказывание состоит из следующих простых:

Х - «Фирма заботится о качестве товаров».

Y - «Фирма заботится об ассортименте».

Z - «Рост объема сбыта продукции».

U - «Повышение прибыли от реализации продукции».

Составное высказывание может быть символьно представлено в виде следующей логической формулы:

(X V Y) ^ (Z х U).

ПРИМЕР 3.

Для логической формулы: (A х B)--(C х D) разработать составное высказывание относительно мероприятий по повышению эффективности работы фирмы.

Решение

Представим простые высказывания:

A - «Фирма терпит убытки».

В - «Фирма снижает объемы реализации продукции».

С - «Фирма должна снизить издержки производства».

D - «Фирма должна реализовать программу продвижения продукии на рынок».

С учетом (A х B)----(С х D) получаем следующее составное высказывание:

«Если фирма терпит убытки и снижает объемы реализации продукции, то она должна снизить издержки производства и реализовать программу продвижения продукии на рынок».

ЗАДАНИЕ

Записать сложные высказывания в виде логических формул:

1).Если потребитель отдает предпочтение качеству товара и его упаковке, то фирма должна улучшить качество своей продукции или заняться улучшением его дизайна.

2).Если выпуск нового продукта обеспечит высокий доход, расширение фирмы и привлечение новых инвестиций, фирме необходимо приобрести патент на право его выпуска, взять займ или кредит.

3). Резкий рост или резкое снижение мировых цен на нефть приводят к резким колебаниям акций топливоэнергетических компаний и фирм-потребителей нефтепродуктов.

Разработать составные высказывания:

4). Для логической формулы: (AVB)^(C x D) разработать составное высказывание относительно карьеры молодого специалиста на фирме.

5). Для логической формулы: (AxB)^(C V D) ~ К разработать составное высказывание относительно успеш ной подготовке студента к сессии и переходу его на следующий курс.

Основные понятия алгебры Буля

Всякое высказывание, построенное с помощью операций (V, x, ^-), имеет некоторое истинностное значение, зависящее от значений соответствующих высказываний. Любое высказывание f может быть задано в виде таблицы истинности. Если значение высказывания f зависит от n составляющих высказываний x_i, x₂,..x_n, то таблица истинности содержит 2ⁿ строк. Каждое высказывание x_i называется переменной x_t. При этом сложное высказывание рассматривается как функция f от n переменных. Если придать значению Л численное соответствие "0", а значению И соответствие "1", то функцию n переменных f будем называть булевой функцией f (x₁,x₂,...x_n) от n переменных.

Операции (V,&,^-) образуют сигнатуру алгебры Буля <M, V, x, ^- >.

Носитель М алгебры Буля состоит из элементов 0 и 1.

ПРИМЕР

Рассмотрим решение, принимаемое 3-мя членами комитета, полагая, что решение будет принято, если большинство членов комитета проголосует "за". Если же большинство членов проголосует "против", решение будет отвергнуто.

Результаты голосования характеризуются таблицей истинности.

х1	х2	хз	Я(хьх2,хз)
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

ЗАДАНИЕ

Товар характеризуется 4-мя свойствами: х₁,х₂,х₃,х₄. Если свойство х_i превосходит аналогичное свойство других товаров или равно ему по своим характеристикам, то его значение принимается равным "1", если его характеристики ниже характеристик свойств других товаров, то принимаем его равным "0".

Если, по крайней мере, 3 свойства товара превосходят по своим характеристикам свойства других товаров, то он найдет спрос на рынке.

Построить булеву функцию А(х_ьх₂,х₃,х₄) спроса товара на рынке.

19. Теория графов

Граф - совокупность двух конечных множеств Г = <M,U>,

где М - множество, исМ - бинарное отношение в этом множестве. Элементы множества М называются вершинами, а элементы бинарного отношения U - дугами (или ребрами).

Две дуги u₁ и u₂ называются смежными, если они выходят из одной и той же вершины.

Две вершины m₁ и m₂ называются смежными, если они соединены одной дугой (рис. 4.6.).

Рис. 4.6 Граф с дугами u1,u2,u3,u4, вершинами m1,m2,m3,m4,m5, петлей (m5,m5) и кратной дугой (m3,m4)

Иногда граф содержит петли, т.е. дуги вида (mi, mi). На рис.4.7 представлена петля (m₅, m₅).

Одинаковые пары в U вида (m_i, mj) (i=1,... k, j=l,..k) называются дугой кратности к.

Два графа Г = <M,U> и Г <M',U'> называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное соответствие между вершинами М и М'; что если вершины m_i и m_i+1 соединены дугой (m_i, m_i+1) в одном из графов, то соответствующие им вершины m'_i и m'_i+1 соединены дугой (m'_i, m'_i+1) в другом графе.

Например, графы на рис. 4.7. являются изоморфными.

Puc. 4.7 Изоморфные графы Г и Г'

Граф Г = <M,U>, в котором указано направление каждой дуги, называется ориентированным. Таким образом, в ориентированном графе пары в наборе вершин упорядочены, т.е. одна из вершин выбрана в качестве начала, а другая - в качестве конца дуги.

Цепью называется последовательность дуг (u₁,u₂,... u_n) вида (u_i = m_i, m_i+1) (рис. 4.8). Цепь образует незамкнутый маршрут, в котором все дуги попарно различны. Если в цепи все вершины попарно различны, то это простая цепь.

Если цепь замкнута, т.е. начинается и заканчивается в одной и той же вершине, то она называется циклом (см. рис. 4.8).

Рис. 4.8 Цепь и цикл

Если каждую вершину графа можно соединить с любой его вершиной некоторой цепью, то граф называется связным.

Деревом называется связный граф, который не содержит циклов. Такой граф не имеет и кратных ребер (рис. 4.9). Из определения дерева вытекает, что для каждой пары его вершин существует единственная соединяющая их цепь.

Если граф не связный, не содержит циклов, то каждая связная его часть будет деревом. Такой граф называется лесом.

Рис. 4.9 Дерево и лес

Л. Эйлер в своей работе по теории графов рассмотрел следующую проблему: на каких графах можно найти цикл Р, содержащий все ребра графа, причем каждое ребро в точности по одному разу?

Такой цикл называется эйлеровой линией, а граф, обладающий эйлеровой линией, - эйлеровым графом.

Л. Эйлер доказал, что необходимым и достаточным условием того, чтобы на графе имелась эйлерова линия, является связность графа (т.е. соединение всех его вершин некоторой цепью) и четность степеней всех его вершин (т.е. эйлерова линия должна входить в каждую вершину и выходить из нее одно и то же число раз).

ПРИМЕР

(”Задача о кенигсбергских мостах”)

Город Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на берегах реки Преголи и двух островах. Различные части города (на рис. 4.11 обозначены А, В, С, Д) соединены семью мостами.

Стоит вопрос, можно ли совершить прогулку по всему городу и вернуться обратно, пройдя точно один раз по каждому мосту. Схематическая карта города представлена на рис. 4.10.

Рис. 4.10 Схема частей города А, В, С и Д и его мостов

Решение.

Л. Эйлер показал, что на графе, представленном на рис. 4.10, нельзя выделить эйлеровой линии. Иными словами, с какой бы вершины мы ни начали обход, мы не можем обойти весь граф и вернуться обратно, не проходя никакого ребра дважды.

Дело в том, что этот граф является связным, но число ребер, входящих и выходящих в каждую вершину графа, является нечетным.

Известный ирландский математик У.Р. Г амильтон в середине XIX века поставил задачу об отыскании цикла на графе, проходящего через каждую вершину графа в точности по одному разу. Такой цикл назван гамильтоновой линией на графе.

Как мы видим, имеется известная аналогия между эйлеровыми и гамильтоновыми линиями. Первая проходит один раз по каждому ребру, вторая - через каждую вершину.

Следует отметить, что это задачи совершенно различной степени трудности. Для эйлерова графа достаточно проверить, являются ли все его вершины четными. Для гамильтоновых линий задача является достаточно сложной и здесь не обсуждается.

ПРИМЕР (”Задача коммивояжера ”)

Коммивояжер выезжает из родного города. Он должен посетить несколько конкретных городов и вернуться домой. При этом в каждом городе он должен побывать только один раз, а длина пути должна быть выбрана минимальной.

Решение.

Задача коммивояжера формулируется так: в графе Г с n вершинами, длина дуг которого известна, найти ориентированный цикл минимальной длины, содержащий по одному разу каждую вершину.

В общем виде эта задача не решена.

Однако для небольшого количества вершин путем перебора всех возможных вариантов такую гамильтонову линию построить удается.

Например, для графа, представленного на рисугке ниже, решением задачи коммивояжера является цикл, обведенный линией.

Графическое решение задачи коммивояжера.

ЗАДАНИЯ

1). Для заданного графа построить матрицу смежности. Проверить, является ли граф эйлеровым, построить линию гамильтона.

2). Построить граф по заданной матрице смежности. Проверить, является ли граф эйлеровым.

mi	m2	тз
1	2	3
2	0	1
3	1	2

3). Для заданного графа построить матрицу смежности.

Проверить, является ли граф эйлеровым, построить линию гамильтона.

4). Построить граф по заданной матрице смежности. Проверить, является ли граф эйлеровым.

0	3	2
3	2	1
2	1	1

5). Решить задачу коммивояжера для городов А( начало), В, С, Д, Е.

6). Достроить графы до эйлеровых графов (построить дополнительные ребра):

7). На заданных графах выделить эйлерову и гамильтонову линии:

Раздел 5. Теория вероятностей и математическая статистика

20. Случайные события

20.1 Случайные явления и события

Теорией вероятностей называется математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайное явление - это такое явление, которое в серии однотипных экспериментов под действием случайных факторов может приводить к различным результатам. В природе нет ни одного явления, которое не было бы под действием случайных факторов.

Наблюдение над случайным явлением назовем случайным экспериментом.

ПРИМЕРЫ

1. Спортсмен проводит серию выстрелов по мишени. Результаты выстрелов могут отличаться друг от друга, несмотря на постоянство условий стрельбы.

2. Игрок в одинаковых условиях бросает игральную кость. В зависимости от случайных факторов ( сила и высота броска, способ броска и т.д.) могут выпадать различные цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

3. Автоматический пресс штампует детали. В зависимости от структуры металла, небольших сбоев в работе оборудования и т.д. малое число деталей изготовляется с браком.

Практика показывает, что действие массы случайных факторов определяет свойство устойчивости случайного явления. Например, частота выпадения грани с цифрой 3 при многократном бросании игральной кости приближается к 1/6. Частота выпадения "решки" при многократном бросании монеты примерно равна 1/2.

Теория вероятностей занимается только такими случайными явлениями, для которых предполагается устойчивость частот.

Пусть проводится случайный эксперимент, результат которого точно нельзя предугадать заранее. В зависимости от случайных факторов возможны различные исходы этого эксперимента.

Тогда этому эксперименту можно сопоставить пространство элементарных событий П, которое включает всевозможные исходы этого эксперимента (рис. 5.1).

Элементарное событие является одним из элементов этого пространства а е П и определяет один из возможных исходов случайного эксперимента.

Случайное событие А является подмножеством пространства элементарных событий П и включает одно или группу элементарных событий, каждое из которых благоприятствует А (обладает свойством А):

А = U(a: а ~ А)

ПРИМЕРЫ

1).Эксперимент состоит в случайном выборе одной карты из колоды 36 карт.

Можно выделить СС Т - появление при этом выборе туза.

СС Т состоит из четырех элементарных событий ( тузы пик, бубны, черви, вины).

Можно выделить СС П - появление карты пики.

СС П состоит из 9 элементарных событий ( 6 пик, туз пик).

2).Эксперимент состоит в бросание игральной кости и фиксировании очков на верхней грани.

Выделим СС Ч - выпадание четного числа очков.

СС Ч объединяет элементарные события - выпадание 2, 4, 6.

20.2 Вероятность случайного события

Рассмотрим случайный эксперимент, в котором наблюдается событие А. Повторим эксперимент n раз, и пусть событие А наблюдалось k раз. Отношение v_n = k/n называется частотой события А в этой серии экспериментов.

Если при увеличении n число v_n стремится к пределу р, то говорят, что событие А устойчиво, а число р является вероятностью события ^.Вероятность р может принимать значения:

0 < р < 1.

Другими словами, если эксперименту можно сопоставить пространство, состоящее из n возможных элементарных исходов этого эксперимента, а случайному событию А благоприятствует k из этих элементарных исходов, то вероятность случайного события А равна

p(A ) = -. (5.1)

Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называют отношение

P(A/B) = ^P(A' ^B), (5.2)

где А- В - случайное событие, которое включает элементарные исходы, принадлежащие одновременно событиям А и В.

Теорема сложения вероятностей.

Для случайных событий А и В справедливо:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(А* В),

где Р(А+В) - вероятность появления одного из двух события А, либо В; Р(А * В) - вероятность совместного появления событий А и В.

Вероятность появления события А или В или С равна:

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(А. В) - Р(А. С) -

Р(В. С) + Р(А. В. С). (5.3)

Два события А и В называют несовместными, если Р(А * В) =0. Для несовместных случайных событий А и В справедливо:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (5.4)

Группа случайных событий Л_ь A₂,... A_n образуют полную группу событий, если:

а) объединение этих событий включает все возможные элементарные исходы эксперимента,

б) ни одна пара случайных событий не имеет общих элементарных исходов.

Так как объединение событий полной группы является событием достоверным, то для таких событий имеет место равенство:

P(Ai) + Р(А2) +... Р(Ап) = 1. (5.5)

Два события А₁ и А₂ называются независимыми, если условная вероятность одного из них по отношению к другому равна безусловной вероятности этого же события:

P(A2/Ai) = Р(А2). (5.6)

Теорема умножения вероятностей.

Для независимых событий вероятность их совмещения равна произведению их вероятностей:

P(Ai A2) = P(A2)- P(Ai) (5.7)

Вероятность совмещения n событий, независимых в их совокупности, равна произведению вероятностей:

P(Ai A2 - ^ An) = P(Ai) ¦ P(A2) ¦... P(An). (5.8)

ПРИМЕР 1

Найти вероятность р(А), что при бросании игральной кости выпадет число, которое делится на 3.

Решение

При бросании на верхней грани кости могут выпасть числа:

1, 2, 3, 4, 5, 6. При этом событию А благоприятствуют исходы, когда выпадают грани с цифрами 3 и 6.

Следовательно, число благоприятных исходов k = 2.

Тогда вероятность р(А) = 2/6 = 1/3.

ПРИМЕР 2

В коробке 2 синих и 4 черных карандаша. Случайным образом из коробки выбирают 3 карандаша. Найти вероятность Р, что среди них окажутся 1 синий и 2 черных карандаша.

Решение.

Всего выриантов выбора 3-х карандашей из 6-ти:

N = С³6 = (6!/ 3! * 3!) = 20 Число благоприятных вариантов:

к = С`₂ * С²₄ = 2. 6 = 12.

ПРИМЕР 3

На опыте предыдущих сессий студент с вероятностью р1 = 0,8 может успешно сдать экзамен, а с р2 = 0,9 - сдать зачет.

Найти Р₁, что он успешно сдаст экзамен, а зачет не сдаст.

Вероятность Р2, что он сдаст успешно и экзамен и зачет.

Решение.

Событие Э - результат экзамена и З - результат зачета - являются независимыми.

Для независимых событий вероятность их совместного появления (совмещения) равна:

Р1 = р1 * (1-р2) = 0,8. 0,1 = 0,08.

Р 2 = р1 * р2 = 0,8. 0,9 = 0,72.

ПРИМЕР 4

Снайпер поражает одним выстрелом цель с р = 0,8.

На соревнованиях он должен совершить 3 выстрела по целям. Найти Р1, что он попадет первые два выстрела, а третий -мимо. Найти Р₂, что он не попадет по целям ни разу.

Решение.

Результаты выстрелов являются независимыми, результат каждого выстрела не влияет на результаты остальных выстрелов. Отметим, что 1-р - вероятность того, что стрелок промажет по цели.

Тогда Р₁ = р * р * (1-р) - вероятность того, что стрелок первые два выстрела попадет, а третий - промажет.

Р1 = р * р * (1-р) = 0,8 * 0,8 * (1-0,8) = 0,128

Тогда: Р2= (1- р)³ = (0,2)³ = 0,008.

ПРИМЕР 5

Из колоды в 36 карт выбирают случайно 1 карту.

Найти Р, что это будет либо туз или карта масти пика.

Решение.

Воспользуемся формулой сложения вероятностей:

Р(Т +П) = Р(Т) + Р(П) - Р(Т * П) =

= 4/36 + 9/36 - 1/36 = 1/3.

ЗАДАНИЕ

1). Из колоды в 36 карт случайным образом вытаскивают 1 карту. Определить вероятность р(В), что вытащен валет.

2). В пачке 2 фальшивые денежные купюры и 8 настоящих. Из пачки вытащили одну за другой 2 купюры. Найти вероятность, что обе они окажутся фальшивыми.

3). В студенческой группе учатся 8 человек: 3 отличника и 5 двоечников. Случайным образом из группы выбраны 6 студентов. Найти вероятность Р, что среди отобранных студентов окажутся 2 отличника и 4 двоечника.

4). В коробке находятся 9 карандашей: 2 красных, 3 синих и 4 черных. Случайным образом из коробки отбирают 6 карандашей. Найти вероятность Р, что среди отобранных карандашей окажутся: 1 красный, 2 синих и 3 черных карандаша.

5). Два стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания для первого р ₁ = 0,9, для второго р₂ =0,8. Найти вероятности, что

а). В цель попадут оба стрелка.

б). Первый стрелок попадет в цель второй выстрелит мимо.

в). Оба стрелка выстрелят мимо.

6). В сессию студент сдает один экзамен с вероятностью р = 0,8. Найти вероятности, что из трех экзаменов:

а). Первые два экзамена он сдаст, а третий завалит.

б). Успешно сдаст все экзамены.

7). Спортсмен с вероятностью р₁ = 0,9 преодолевает первое препятствие, с р₂ = 0,8 - второе и с вероятностью р₃ = 0,85 - третье. Найти вероятность Р₁, что он в ходе соревнования преодолеет все три препятствия. Найти Р₂, что он преодолеет только первые два препятствия, а третье он не сможет преодолеть.

8). Из колоды в 36 карт выбирают случайно 1 карту.

Найти Р, что это будет либо дама или карта масти черви.

20.3 Формула Бернулли. Формула Пуассона

Пусть производится N независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих N испытаниях ровно m раз, выражается формулой Бернулли:

Р^т) = CN^m * p^m * ( 1- p)^{N - m} ( 5.9)

Если р отлично от 0 или 1, то наивероятнейшее число m₀ наступлений события А в серии из N испытаний равно

Np - g < m₀ < Np + р, (5.10)

где g = 1- р.

Если число испытаний N велико, а вероятность появления события А мало ( р ~ 0), то, обозначив N- p = а, получаем формулу Пуассона:

Формула Пуассона определяет вероятность появления события А ровно m раз в большой серии испытаний с малой вероятностью наступления этого события в каждом эксперименте.

ПРИМЕР 1

1. Баскетболист попадает в корзину со штрафного броска с вероятностью р= 0,8. Найти вероятность Р, что в серии из N = 5 бросков он попадет ровно m = 4 раза.

Решение.

Согласно формуле Бернулли:

Р5(4) = C5⁴. p⁴. ( 1- p)¹ =

= * ( 0,8 )⁴ * ( 0,2 )^l * 0,41.

Наивероятнейшее число попаданий равно:

5 * 4/5 - 1/5 < m0 < 5 * 4/5 + 4/5, т.е. 3 < М0 < 5.

ПРИМЕР 2

Как правило, спортсмен побеждает в каждом 5 -ом забеге, который он проводит в течение сезона.

Найти Р, что в этом году он победит в 2-х забегах из 4-х?

Решение.

Вероятность победы в 1 -ом забеге р = 1/5 = 0,2.

Тогда:

Р4(2) = C4². p². ( 1- p)² = 6. (0,2)². (1-0,2)² * 0,154.

ПРИМЕР 3

Как правило, проверку на допинг-контроль успешно проходит 99% спортсменов. Найти вероятность, что при проверке 100 спортсменов будет получено ровно два положительных ре- зульта.

Решение.

Вероятность положительного результата при проверке од ного спортсмена p = 1 - 0,99 = 0,01.

В этом случае: а = 100 * 0,01 = 1.

20.4 Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Формула полной вероятности

Если A₁,A₂,..A_n - полная группа событий, то для любого случайного события В из этого пространства элементарных событий выполняется:

Р(В) = I P(A0 P(B/A0. (5.12)

ПРИМЕР 1

Турист равновероятно выбирает один из трех маршрутов: конный, водный и горный. Вероятность, что он успешно преодолеет путь при выборе конного способа передвижения, равна Р₁=

0,8, при выборе водного пути - p₂ = 0,9, при выборе горного маршрута р₃ = 0,4. Найти вероятность Р, что турист успешно преодолеет весь путь при любом выборе маршрута.

Решение.

Поскольку выбор маршрута равновероятен, то вероятности выбора каждого маршрута P₁ = Р₂ = P₃ =1/3. По формуле полной вероятности:

Р = P1p1 + P2P2 + PзPз = (1/3)0,8 + (1/3)0,9 + (1/3)0,4 « 0,7.

ПРИМЕР 2

В группе студентов 12 юношей и 8 девушек. Экзамен по математике сдает, как правило, 70 % юношей и 80 % девушек. Найти вероятность того, что первый человек, вышедший из аудитории, сдал экзамен по математике.

Решение.

Вероятность того, что первый вышедший из аудитории является юношей, равна p₁ = 12/(12+8) = 3/5. Вероятность того, что первой из адитории выйдет девушка равна, р₂ = 8/(12+8) = 2/5. Вероятность, что юноша сдаст экзамен равна Р₁ = 0,7. Вероятность, что экзамен равна, сдаст девушка - Р₂ = 0,8. Тогда искомая вероятность сдачи экзамена человеком, первым вышедшим из аудитории, равна:

Р = P1p1 + p2P2 = 3/5 ¦ 0,7 + 2/5 ¦ 0,8 « 0,74

Формула Бейеса

Пусть А₁, А₂,..., А_п - полная группа событий. Тогда для любого случайного события В вероятность, что оно произойдет при условии, что произошло событие А, определяется соотношением

P(A_i/B) = _п^Р(А;) *^Р(В/А;). (5.13)

XP(Ak) * P(B/Ak)

k=1

ПРИМЕР 3

В условиях примера 1 стало известно, что турист успешно добрался до конца своего маршрута. Найти вероятность Р(2/А), что он воспользовался водным маршрутом.

Решение.

По формуле Бейеса:

P(2/A) = ^P2P2 = ^1/3 *^(0,9) = ⁰⁹ » 0,42

P₁P₁ + P₂P₂+ P₃P₃ 1 / 3(0,8 + 0,9 + 0,4) 0,8 + 0,9 + 0,4

ПРИМЕР 4

В условиях примера 2 стало известно, что человек, вышедший из аудитории, сдал экзамен. Найти вероятность Р(1/А),что это юноша.

Решение.

По формуле Бейеса

P(1/A) = -- = ^0,7 *^(3/5) » 0,55.

P1P1 + P2P2 0,7 * (3/5) + 0,8(2/5)

ЗАДАНИЕ

1. Лекарство с вероятностью р=0,8 излечивает болезнь. Найти вероятность, что из 4 больных, принявших лекарство, вылечатся ровно 3 человека.

2), На предварительных соревнованиях гонщик одержал 6 побед в 10-ти заездах. Найти вероятность Р, что в финальных гонках из трех заездов он выигрывает ровно два.

3). Среди семян ржи имеется 0,3 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить 2 семяни сорняков.

4). Фабрика выпускает приборы, процент брака среди которых составляет 0,2%. Найти вероятность Р, что в контрольной партии из 1000 приборов окажется ровно 3 бракованные.

5). Студент подготовил к экзаменам 80% всех вопросов.

На подготовленный вопрос он правильно ответит с вероятностью р1 = 0,9, на неподготовленный с р2 = 0,3.

Найти вероятность Р, что студент правильно ответит на произвольный вопрос.

6). Банк с вероятностью р₁=0,7 готов вложить свои финансы в ГКО и с вероятностью р₂ =0,3 предложить кредит крупной торговой фирме. В первом случае вероятность финансового успеха составляет р₁₁= 0,9, а во втором случае р₂₁ = 0,8. Найти вероятность финансового успеха при участии в этих финансовых операциях.

7). В одной студенческой группе 2 отличника и 18 двоечников. Во второй группе 3 отличника и 6 двоечников.

Из первой группы перевели во вторую одного студента.

Найти Р1, что если теперь из второй группы случайно выбрать одного студента, то он окажется -отличником.

Найти вероятность Р2, что если случайно выбранный студент из второй группы окажется отличником, то предварительно из первой группы был переведен двоечник.

21. Случайные величины

21.1 Определение случайной величины

Рассмотрим случайный эксперимент, которому сопоставляется пространство элементарных событий - возможных исходов этого эксперимента. На этом пространстве элементарных событий задана случайная величина X,, если задан закон или правило, по которому каждому элементарному событию сопоставляется число. Таким образом, случайную величину Х можно рассматривать как функцию, заданную на пространстве элементарных событий (рис. 5.2).

Рис. 5.2 Определение случайной величины

Случайная величина может принимать значения из некоторого числового множества, однако заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины принято обозначать прописными буквами (Х, У и т.д.), а принимаемые ими значения - строчными (х, у,... ).

Например, при бросании игральной кости случайная величина сопоставляет каждой грани этой кости числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Температура тела является случайной величиной и сопоставляет состоянию организма человека определенные значения, измеряемые градусником.

21.2 Непрерывные и дискретные случайные величины

Если случайная величина Х принимает только дискретные значения, т.е. значения x₁, x₂,..., x_n,..., то такая случайная величина называется дискретной.

Если же значения случайной величины Х занимают некоторый отрезок (с, d), то она называется непрерывной.

Соотношение, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины Х и вероятностями их появления при испытаниях, называется законом распределения случайной величины.

Каждому значению дискретной случайной величины x_n отвечает вероятность р_п. Тогда закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:

	х1	х2	х3....	хп
pi	p1	p2	p3...	pn

При этом p1 + p2 + p3 +... pn = 1.

Пусть непрерывная случайная величина Х принимает значения на отрезке (c, d). Тогда говорят о вероятности Р(а < Х < b) ее попадания на промежуток (а, b), который принадлежит отрезку (с, ^d).

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать при помощи так называемой функции плотности вероятности - f(x). В этом случае вероятность Р(а < Х < b) попадания случайной величины Х на промежуток (а, b) определяется равенством:

P(a < X < b) = Jf(x) dx. (5.14)

График функции f(x) называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины Х в промежуток (а, b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения y = f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 5.3).

Рис. 5.3 Кривая распределения y = f(x)

Функция плотности вероятности f(x) обладает следующими свойствами:

1. fx) > 0.

2. Jf(x) = 1.

Введем теперь функцию распределения вероятности F(x) = P(X < x). Функция F(x) существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Для непрерывных случайных величин F(x) связана с функцией плотности вероятности следующим образом:

F(x) = Jf(x) dx. (5.15)

Свойства функции распределения вероятности:

1. F(x) - неубывающая функция.

2. F(--ro) = 0.

3. F(+ro) = 1.

Для непрерывных и дискретных случайных величин функции распределения вероятности имеют вид (рис. 5.4.).

Рис. 5.4 Функция распределения вероятности F(x) для непрерывных и дискретных СВ

ПРИМЕР 1

1. Случайная величина X имеет закон распределения с плотностью

f(x) = J

0, если x < 0 а ¦ (2x-x²), при 0 < x < 2

0, при x > 2

Требуется:

А). Найти коэффициент "а";

Б). Построить график распределения плотности у = f(x);

С). Найти вероятность, что случайная величина Х попадет в промежуток ( 0,5; 1).

Решение.

А). Согласно свойствам функции плотности вероятности f(x)

J a- (2x - x²)dx = 1.

Проводя интегрирование, получаем:

= а-(4 - -) = 1, откуда а = 3/4.

Б). График y = f(x) имеет вид:

В). Вероятность попадания величины Х на интервал (0, 5, 1) равна:

P(0,5 < X < 1) = j3/4* (2x-x²)dx = 3/4* (x²-x³/3)

ПРИМЕР 2

Дан ряд распределения дискретной случайной величины:

xi	2	3	5	6	8
pi	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Построить функцию распределения вероятности этой случайной величины X. Найти вероятность, что случайная величина Х находится в интервале 4 < x < 7, т.е. p (4 < x < 7).

Решение.

Если х <2, то F(x) = Р(Х < х) = 0.

Если 2 < х < 3, то F(x) = P(X < x) = 0,1.

Если 3 < х < 5, то F(x) = 0,1 + 0,2 = 0,3.

Если 5 < х < 6, то F(x) = 0,1 + 0,2 + 0,4 = 0,7.

Если 6 < х < 8, то F(x) = 0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,2 = 0,9. Если х > 8, то F(x) = 0,9 + 0,1 = 1.

тогда, p (4 < x < 7) = F(7) - F(4) = 0,9 - 0,3 = 0,6.

21.3 Числовые характеристики случайных величин

Функция распределения вероятности F(X) полностью характеризует случайную величину X. Однако получить в аналитическом виде такую характеристику случайной величины довольно сложно, да и не всегда это нужно. Между тем, для решения многих задач достаточно знать числовые характеристики случайной величины. К ним относятся: математическое ожидание, дисперсия, моменты, мода и медиана и т.д. Отметим главные из них.

Математическое ожидание М(Х) случайной величины Х можно считать центром распределения этой случайной величины.

Определение. Если Х - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁, x₂,..., х_п с вероятностями p₁, p₂,..., р_п, то математическое ожидание М(Х) определяется по формуле:

М(Х) = хф!+ х2р2 +... + хпрп = Е^xi * Pi. (516)

Определение. Пусть непрерывная случайная величина Х имеет плотность вероятности f(x), тогда математическое ожидание М(Х) непрерывной случайной величины Х равна:

M(X) = Jx- f(x) dx. (5.17)

Дисперсия D(X) случайной величины Х характеризует степень разброса значений этой величины около ее математического ожидания.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = М[Х-М(Х)]². (5.18)

Если ввести обозначение М(Х) = m, то формула для вычисления дисперсии дискретной случайной величины Х запишется в виде:

D(X) = Ј pi - (xi -- m)². (5.19)

Для непрерывной случайной величины Х дисперсия запишется в виде:

D(X) = J (x -- m)² - fx) dx. (5.20)

ПРИМЕР

Случайная величина Х характеризуется рядом распределения:

Xi	0	1	2	3
Pi	0,2	0,4	0,3	0,1

Определить математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

Математическое ожидание:

М(Х) = 0 0,2 + 1 0,4 + 2 0,3 +3 0,1 = 1,3.

Дисперсия:

D(X) = 0,2(0-1,3)² +0,4(1-1,3)² +0,3(2-1,3)² + 0,1(3-1,3)² = 0,8.

ЗАДАНИЕ

1). Непрерывная случайная величина (СВ) Х имеет функцию плотности вероятности:

Найти вероятность Р, что СВ Х примет значение от 1 до 2. Определить математическое ожидание М(Х).

2). Непрерывная СВ Х имеет функцию плотности вероятности:

Найти вероятность Р, что СВ Х примет значение от 0 до 1.

Определить математическое ожидание М(Х).

3). Пусть F(x) - функция распределения вероятонстей случайной величины Х. Известно, что при х = 7 функция F(x) принимает значение: F(7) = 0,8.

Сколько примерно значений больших чем 7 примет величина Х при 1000 ее измерениях?

4). Охотник два раза стреляет по стае уток. Вероятность попада- нияпри одном выстреле равна р = 0,8. Введена дискретная СВ Х - число сбитых уток при двух выстрелах.

Построить ряд распределения и функцию распределения вероятностей случайной величины Х.

5). Студент первый экзамен сдаст с р1= 0,8, второй с р2 = 0,9. Введем дискретную СВ Х - число успешно сданных экзаменов при этих двух попытках.

Построить ряд распределения и функцию распределения вероятностей случайной величины Х.

21.4 Нормальный закон распределения случайной величины

Нормальный закон распределения характеризуется плотно

Математическое ожидание СВ с нормальным законом распределения М(Х)= m, дисперсия D(X) = а.

Кривая у = f(x) имеет вид, представленный на рисунке 5.5.

Рис. 5.5 Кривая распределения СВ с нормальным законом распределения

Введем обозначение функции

Ф(х) = -= _f EXP( -1²/2) dt,

называемой функцией Лапласа (или интегралом вероятностей).

С помощью этой функции вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х на интервал (а, b) выражается простой формулой:

Для вычисления функции Лапласа используются специальные таблицы (Приложение 1).

В экономике и технике многие величины являются случайными величинами с нормальным законом распределения. Это объясняется тем, что эти величины образуются в результате суммирования многих случайных величин: Х = Ј Х_А и согласно центральной предельной теореме имеют закон распределения, близкий к нормальному.

Центральная предельная теорема.

Каковы бы ни были законы распределения отдельных случайных величин X₁, X₂,..., X_n, закон распределения их суммы Х = Ј Х_А будет близок к нормальному при увеличении числа n слагаемых случайных величин.

Теорема Муавра-Лапласа.

Пусть проводится большое число N независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно р. Тогда для оценки вероятности того, что событие А в этих N испытаниях появится не менее М и не более К раз, используется формула:

ПРИМЕР 2

Вероятность выхода из строя детали во время испытаний р = 0,05. Какова вероятность того, что при испытании N=100 деталей из строя выйдет от 5 до 10 деталей?

Решение.

P(5 < X < 10) = Ф[(10 --100 - 0,05)/^100 - 0,05 - 0,95)] --

Ф[(5 --100 - 0,05)/^100 - 0,05 - 0,95)] = Ф(5 / л/4/75) = Ф(2,3) = 0,49

21.5 Закон больших чисел

При определении вероятности случайного события было отмечено, что при увеличении числа испытаний средний их результат становится устойчивым, при этом частота приближается к вероятности случайного события, а среднее арифметическое наблюдений за какой-либо случайной величиной Х - к ее математическому ожиданию М(Х).

Эти положения легли в основу закона больших чисел: при большом числе испытаний средний их результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

В аналитической форме закон больших чисел опирается на неравенство Чебышева: для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), справедливо неравенство:

Пользуясь неравенством Чебышева, оценим вероятность того, что случайная величина Х будет отклонена от своего математического ожидания более чем на 3а, где а =_Л/б(Х).

В этом случае имеем:

Р{|Х - М(Х)| > 3 а²} < а²/(3- б) ² = 1/9. (5.27)

То есть для любой случайной величины Х вероятность Р ее попадания на расстояние от математического ожидания, большее чем "три сигмы", оказывается меньшим 1/9.

Закон больших чисел лежит в основе практических применений теории вероятностей. Следствием является теорема Бернулли.

ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ

При увеличении числа n испытаний частота случайного события -- сходится по вероятности к вероятности р этого случайного события, т.е.

где n - число испытаний, m - число испытаний, в которых наблюдалось случайное событие (число успехов).

ЗАДАНИЕ

1). Случайная величина X имеет нормальный закон распределения, ее математическое ожидание m = 10, а дисперсия

D (X) = 1. Представить примерный график функции плотности вероятности y = f(x) этой случайной величины. Обозначить на этом графике вероятность Р( 12< X < 14).

2). Цех выпускает трубы со средним диаметром Д = 600 мм. Разброс этого показателя характеризуется дисперсией характеризуется а² = 16 ( мм)². Найти Р, что диаметр случайно выбранной трубы примет значение от 592 до 602 мм.

3). Группа из 30 студентов сдает экзамен по математике. Вероятность сдачи экзамена для каждого студента равна р = 0,8. Найти вероятность Р, что экзамен успешно сдадут от 20 до 25 студентов группы.

22. Элементы математической статистики

22.1 Основные задачи математической статистики

Математическая статистика занимается разработкой приемов статистических наблюдений и анализом статистических данных.

Основные задачи математической статистики:

1. Задача ставится так: в результате N независимых испытаний над случайной величиной Х получены следующие ее значения: х₁, х₂,..., х_п.

Требуется определить, хотя бы и приближенно, неизвестную функцию распределения F(x) этой случайной величины.

2. Пусть из общих соображений известна функция распределения F(x) некоторой случайной величины. По результатам N независимых испытаний: х1, х2,., хп требуется оценить параметры этого распределения и точность этих оценок. Например, установить числовые значения математического ожидания и дисперсии этой случайной величины X.

3. Задача ставится так: на основании некоторых соображений выдвигается гипотеза о виде распределения или о параметрах распределения некоторой случайной величины. Затем проводится п испытаний случайной величины X и получают ее значения: х_1ах₂..., х_п. Спрашивается, совместимы ли результаты наблюдений х1, х2,., хп с выдвинутой гипотезой.

22.2 Построение эмпирической функции распределения. Выборка

Пусть в результате N независимых испытаний получаем значения случайной величины X: х₁, х₂,... х_п - это выборка объема П из генеральной совокупности с рапределением F(x).

Запишем эту последовательность в виде вариационного ряда:

х1 < х2 <... хп.

Построим эмпирическую функцию распределения F(x):

Тогда функция F_n(x) - монотонна, непрерывна слева, имеет конечное число точек разрыва со скачками 1/п (рис. 5.5).

Согласно теореме Гливенко, при увеличении числа независимых испытаний происходит сближение эмпирической функции распределения F_n(x) с теоретической функцией распределения ^F(x).

Рис. 5.5 Эмпирическая функция распределения Fn(x)

22.3 Оценка параметров случайной величины

Для нахождения закона распределения случайной величины требуется достаточно большое число эксперементальных данных. Однако на практике нередко приходится иметь дело с двумя-тремя десятками наблюдений. Такого количества данных явно недостаточно для нахождения неизвестного закона распределения случайной величины. Однако эти данные могут быть использованы для оценки основных числовых харастеристик случайной величины: математического ожидания и дисперсии. Оценка параметров случайной величины необходима и в том случае, если закон ее распределения известен заранее из самой поставки задачи.

Оценки параметров случайной величины могут быть точечными (определяться одним числом) или интервальными (задаваться на определенном интервале).

Рассмотрим точечные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х по результатам ее наблюдений: х₁, х₂,... х_п - выборка объемом п.

Точечной оценкой математического ожидания СВ Х является:

При интервальной оценке устанавливаются размеры интервала, на котором с задаваемой вероятностью а расположены значения оцениваемых параметров распределения случайной величины.

Доверительным интервалом называется интервал, который с заданной доверительной вероятностью а включает в себя оцениваемый параметр (М(х) или D(x)).

Для оценки математического ожидания М(х) нормально распределенной случайной величины Х по результатам ее наблюдений x^^..^. служит доверительный интервал:

22.4 Проверка статистических гипотез

Пусть в результате замеров случайной величины Х получена выборка x^^..^. На основании этой выборки требуется проверить нулевую гипотезу Н₀. Гипотеза Н₀ может быть, например, гипотезой о неизвестном законе распределения случайной величины X или гипотезой о параметрах известных законов распределения.

...