Содержание и формы изучения квадратных уравнений, содержащих параметр, на факультативных занятиях в основной школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические и исторические основы изучения квадратных уравнений

1.1 Из истории возникновения квадратных уравнений

1.2 Уравнения с параметрами в современной математике и общие методы их решения

Глава 2. Методические основы изучения квадратных уравнений с параметрами на факультативных занятиях в основной школе

2.1 Анализ государственного стандарта среднего общего образования и школьных программ по математике

2.2 Анализ школьных учебников и учебных пособий по математике

2.3 Анализ дидактических материалов по алгебре

2.4 Методические основы изучения темы «Квадратные уравнения, содержащие параметр»

2.5 Избранные задачи Единого Государственного Экзамена

Заключение

Список литературы

Введение

Для жизни в современном информационном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в умении применять индукцию и дедукцию, обобщение и конкретизацию, анализ и синтез, классификацию и систематизацию, абстрагирование и аналогию. Человек с развитым математическим мышлением может самостоятельно находить необходимую информацию, работать с информацией, применять полученную информацию. Для того чтобы уверенно чувствовать себя в современном мире, человек должен уметь проанализировать возникающую проблему, учесть все ее аспекты и сделать правильный выбор.

Для развития этих способностей, а также творческой и прикладной сторон мышления в математике применяются задачи. И среди математических задач особое место занимает линия уравнений с параметрами, представляющая собой широкое поле для полноценной математической деятельности.

Уравнение с параметрами представляет собою целый класс задач, поэтому учащемуся приходиться решать сразу весь этот класс, что, естественно, влечет за собой необходимость разбора всех возможных случаев в зависимости от определенных значений параметра. Это приводит к тому, что решение в такой задаче как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра, что, в свою очередь, требует от учащегося умений работать с возрастающим объемом информации и, при записи ответа, обобщить полученную информацию.

В связи с этим интерес выбранной нами теме исследования объясняется включением квадратных уравнений с параметрами в содержание факультативного курса по математике для основной школы.

История возникновения и решения квадратных уравнений уходит в III в. н.э. (впервые квадратные уравнения встречаются в трудах Диофанта Александрийского), серьезно квадратными уравнениями занимались математики Востока (Аль-Хорезми), современный вид решения квадратные уравнения принимают в XVII в. в трудах Р.Декарта и И. Ньютона. Немало задач, приводящих к квадратным уравнениям, встречаются в арифметике русского математика Л. Магнитского. В XVI веке решением квадратных уравнений занимался Ф. Виет. В настоящее время методическими разработками по исследуемой теме занимаются такие ученные-методисты как Шарыгин И.Ф., Мерзляк А.Г., Полонский М.С., Якир М.С., Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н., Постникова С.Я., Горбачев В.И., Евсеева А.И. и др.

В настоящее время основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. Анализ материалов вступительных экзаменов, контрольно-измерительных материалов (КИМов) показывает, что для получения высоких результатов учащиеся должны уметь решать задачи высокого уровня трудности, среди которых особенно выделяются задачи с параметрами. Появление таких заданий на экзаменах не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами и приемами элементарной математики, методами решений уравнений, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры. В тоже время, действующая программа по математике для классов (школ) с углубленным изучением математики (не говоря уже о программе для общеобразовательной школы), уделяет этому типу задач довольно мало внимания. Все вышеперечисленное определило актуальность нашего исследования.

Объектом исследования является процесс обучения школьников решению квадратных уравнений с параметрами.

Предметом исследования является процесс обучения школьников решению квадратных уравнений с параметрами на факультативных занятиях в основной школе.

Гипотеза исследования состоит в обоснование разработки и применения методических положений о содержании и формах изучения квадратных уравнений, содержащих параметр на факультативных занятиях в основной школе, обеспечивающих сознательный выбор учащимися рациональных методов решения различных квадратных уравнений с параметрами.

Целью исследования является разработка методических положений о содержании и формах изучения квадратных уравнений, содержащих параметр, на факультативных занятиях в основной школе.

Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач, а именно:

- выделить типы квадратных уравнений, содержащих параметр, и определить методы их решения;

- разработать содержание и методику изучения темы «Квадратные уравнения с параметрами» на факультативных занятиях;

- апробировать полученные результаты в период педагогической практики в гимназии № 1 г. Армавира под руководством учителей математики Шляго А.А., Насикан И.В. и факультетских руководителей Лещенко Е.Ю., Сморкачевой Г.М.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования: анализ математической и методической литературы, книг по истории математики и истории методики преподавания математики, школьных программ, учебников и учебных пособий, КИМов, передового педагогического опыта, опросные методы, методы эксперимента (в малых группах).

Предлагаемый вниманию материал адресован молодым преподавателям, готовящим учащихся к итоговой аттестации и старшеклассникам, обучающихся на факультативных курсах и занимающихся самостоятельной работой по математике, что определяет практическую значимость данного исследования.

Объем и структура работы

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемой литературы.

В первой главе представлены исторические и теоретические основы изучения квадратных уравнений, рассматриваются понятия квадратного уравнения, уравнения с параметром и общий метод решения уравнения с параметром.

Во второй главе дается анализ государственного стандарта и школьных программ, школьных учебников и учебных пособий и пособий для подготовки к итоговой аттестации в основной школе. Рассматриваются вопросы организации и проведения факультативных занятий в условиях предпрофильной подготовки в основной школе, основы формирования системы заданий на применение умений решать квадратные уравнения, содержащие параметр, методика изучения темы «Квадратные уравнения с параметрами» на факультативных занятиях в основной школе. Приводятся факультативные занятия по теме «Квадратные уравнения, содержащие параметр».

В заключении приведены основные выводы и результаты исследования.

Список литературы содержит 56 наименований.

Глава 1. Теоретические и исторические основы изучения квадратных уравнений

1.1 Из истории возникновения квадратных уравнений

Необходимость решать уравнения первой, но и второй степени, еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Однако у вавилонян еще не было понятия отрицательного числа и поэтому корни квадратного уравнения могли быть только положительными.

В «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III в.) нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. Есть в ней и такая задача. Найти два числа по их сумме 20 и произведению 96.

Если обозначим одно из неизвестных через , то придем к квадратному уравнению . Чтобы избежать решения квадратного уравнения общего вида, Диофант обозначил неизвестные числа и . Их сумма равна: . Составим и решим уравнение:

Во времена Диофанта еще не знали отрицательных чисел, поэтому Диофант указал лишь один корень . Тогда неизвестные числа равны

 и .

В алгебраическом трактате «Аль-джебр» узбекского математика аль-Хорезми Абу Абдуллы Мухаммеда ибн Муссы ал-Маджуси (787- ок.850) дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор выделяет 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1. «Квадраты равны корням», то есть

2. «Квадраты равны числу», то есть ,

3. «Корни равны числу», то есть

4. «Квадраты и числа равны корням», то есть

5. «Квадраты и корни равны числу», то есть

6. «Корни и числа равны квадратам», то есть

При решении линейного и квадратного уравнения оно предварительно приводилось к соответствующему каноническому виду, каждый из которых не содержал вычитаемых членов. Для этого применялись операции, от которых происходят как название трудов по алгебре, так и название самой этой науки. Операция аль-джебр (восполнение) есть перенос вычитаемых членов уравнения в другую часть в виде прибавляемых членов, алмукабала (противопоставление) есть сокращение равных членов в обеих частях. Требовалось также привести к единице коэффициент при квадрате неизвестной, потому что правила решения уравнений формулировалось именно для этого случая. Например, уравнение с помощью операции аль-джебр преобразуется к виду , после деления на 2 и применения операции алмукабала - к каноническому уравнению пятого вида .

Аль-Хорезми сформулировал правила решения уравнений, позволяющие находить их положительные корни. Уравнения четвертого и шестого видов всегда имеют один и только один положительный корень (другой - отрицательный); уравнения пятого вида имеет либо два положительных корня, либо вовсе не имеет действительных корней. Устанавливаются условия, при которых корни существуют, а также условия, когда имеется только один корень. Правила решения квадратных уравнений формулируется на примерах с числовыми коэффициентами, но вполне общим образом. Например, рассмотрим правило решения уравнения .

Неизвестная величина изображается отрезком, - квадратом, построенным на этом отрезке (см. рис. 1), а произведение - суммой двух прямоугольников со сторонами и . Эти прямоугольники вместе с квадратом образуют «гномон», площадь которого равна 39 кв. ед.. Далее «гномон», дополняется квадратом со стороной 5 до полного квадрата площади 64 кв.ед. Так как сторона полного квадрата, во-первых, равна , во вторых, равна 8, то можно составить уравнение откуда

Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние как математики стран ислама, так и древней Греции, отличается и полнотой и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к необходимости введения отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII и частично XVIII веков.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков уже с V в. н. э. Вот одна из задач индийского математика XII в. Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам…

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?»

Этой задаче соответствует квадратное уравнение:

Индийские математики пошли дальше Диофанта в том, что допускали наличие отрицательных корней уравнения. Например, для уравнения Бхаскара находил решения и , но относительно приемлемости отрицательного корня он высказывал известный скептицизм.

В работах европейских математиков в XIII-XVI вв. даются отдельные методы для решения различных видов квадратных уравнений.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Только в XVI в. благодаря главным образом исследованиям французского математика Ф.Виета (1540-1603) впервые уравнения 2-й степени, стали рассматриваться в буквенных обозначениях. Именно Ф. Виет впервые ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, т.е. коэффициентов уравнений. Особенно ценил Ф. Виет открытые им формулы, которые теперь называются формулами Ф. Виета. Однако сам Ф. Виет признавал только положительные корни.

Близкое к современному решение квадратных уравнений принято у Р.Бомбелли (1572 г.) в его «Алгебре» и С. Стевина (1585 г.)

В «Арифметике» Л.Ф. Магницкого имеется немало задач, приводящих к решению квадратных уравнений. Вот одна из них: «Некий генерал хочет с 5000 человек баталию учинить, и чтобы та была на лице вдвое, нежели в стороне. Колико оная баталия имети будет в лице и в стороне», т.е. сколько солдат надо поставить по фронту и сколько им в затылок, чтобы число солдат по фронту было в два раза больше, чем число солдат, расположенных им в затылок?

Уже в древности математики сталкивались в процессе решения задач с извлечением корня квадратного из отрицательного числа; в этом случае задача считалась неразрешимой. Однако, постепенно с развитием математической теории выяснилось, что решение квадратных уравнений имеет вид , и в XVI-XVII вв. числа такого вида стали называть «мнимыми».

1.2 Уравнения с параметрами в современной математике и общие методы их решения

В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение квадратного уравнения: «Квадратное уравнение - алгебраическое уравнение второй степени, которое имеет вид » [44, с. 262].

Мордкович А.Г. дает такое определение: «Квадратным уравнением называют уравнение вида где коэффициенты - любые действительные числа, но .Коэффициенты называют соответственно так: первый или старший коэффициент, второй коэффициент или коэффициент при , свободный член.

Многочлен , где , называют квадратным трехчленом.

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

Полное квадратное уравнение - это уравнение у которого коэффициенты и отличны от 0. Неполное квадратное уравнение - это уравнение у которого либо , либо (а может быть и , и ). Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной , при котором квадратный трехчлен обращается в 0; такое значение переменной называют корнем квадратного трехчлена.

Решить квадратное уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет» [46, c.56].

Рассмотрим уравнение

Если ставится задача отыскать все такие пары , которые удовлетворяют данному уравнению, то уравнение (1) - это уравнение с двумя переменными и . Однако, относительно уравнения (1) можно поставить и другую задачу. Дело в том, что если придать какое-либо фиксированное значение, то уравнение (1) можно рассматривать как уравнение с одной переменной . Решение этого уравнения, естественно, определяется выбранным значением .

Если ставится задача для каждого значения из некоторого числового множества решить уравнение (1) относительно , то уравнение (1) называют уравнением с переменной и параметром , а множество - областью изменения параметра.

Уравнение (1) - это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Уравнения этого семейства получаются из уравнения (1) при различных конкретных значениях параметра .

Под областью изменения параметра обычно подразумевают (если не сделано оговорок) множество всех действительных чисел, а задачу решения уравнения с параметром формулируют следующим образом: решить уравнение (1) - это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из уравнений (1) при всех действительных значениях параметра.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно. Тем не менее, каждое такое уравнение должно быть решено. Это можно сделать, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными.

Общие методы решения уравнений с параметрами

Процесс исследования общих методов решения осуществим, исходя из следующих положений:

в качестве формальной исходной целостности выделяется класс всех уравнений с параметрами; общим для всех уравнений с параметрами является:

1) форма записи , представляющая собой уравнение с двумя переменными, исследование которого осуществляется через бесконечную совокупность частных уравнений

2) - двухместный предикат, для поиска области истинности которого используется параметрический способ - через бесконечную совокупность уравнений с параметрами.

в качестве представителя формальной исходной целостности выделяется отдельный пример, в котором должен быть реализован данный общий метод решения (например )

В теории уравнений и неравенств с параметрами восхождение от абстрактного к конкретному имеет свою специфику - наличие формального промежуточного обобщения. Например, - формальное обобщение рассмотренного примера, и частный случай - По мнению В.И. Горбачева «особенность промежуточного обобщения заключается в том, что по отношению к всеобщему абстрактному оно является мысленно конкретным, а по отношению к конкретному уравнению или неравенству, оно играет роль формальной всеобщности" [20, с.45].

На рисунке 2 отражен тот факт, что уравнение , являясь уравнением с тремя переменными, играет роль формальной всеобщности по отношению к уравнению с параметрами и , и переменной данного вида (линейного, не выше n-ой степени и др.), которое в свою очередь - формальное обобщение конкретного уравнения с параметрами.

Анализ уравнения с параметрами и и переменной показывает, что оно есть совокупность частных уравнений с одной переменной , полученных при конкретных значениях параметров. Тогда процесс решения означает решение каждого из совокупности частных уравнений. Но их бесчисленное множество и непосредственно каждое решить невозможно. Поэтому необходимо множество всех частных уравнений разбить на типы таким образом, чтобы все уравнения конкретного типа решались одинаково, т.е. существовало общее решение для конкретного типа уравнений. Такое разбиение осуществляется с помощью понятия общего решения и последующего понятия граничных значений параметров.

Такая специфика обеспечивает поэтапное восхождение от абстрактного к конкретному.

-общее решение уравнения на некотором множестве значений параметров, если для любой упорядоченной пары значение является решением соответствующего частного уравнения

Тем самым обосновывается всеобщий характер понятия общего решения как генетически исходной содержательной абстракции, проявляясь в том, что посредством общих решений, произвольной абстракции граничных значений параметра, исходная целостность расчленяется на свои составные компоненты - типы частных уравнений.

Таким образом, решение уравнения сводится к анализу двух задач:

поиск линий, на которых расположены граничные значения параметров и отдельных точек этих линий (линий общих решений);

выделение соответствующих типов частных уравнений (поиск общих решений).

Поиск граничных значений параметров, общих решений соответствующих типов частных уравнений связан с анализом абстрактной промежуточной общности - понятием уравнения с параметрами данного вида - это означает, что настало время второго этапа дедуктивного восхождения от абстрактного к конкретному.

Анализ конкретного уравнения данного вида осуществляется не как самоцель, а как комплексный процесс выделения граничных значений параметра, исследования взаимной связи и граничных значений - процесс выделения всех возможных типов частных уравнений данного вида, что приводит к системе взаимосвязанных исследовательских действий, обязательных в процессе решения каждого конкретного уравнения с параметрами. Данная система есть суть общего метода решений уравнений с параметрами:

установить область допустимых значений параметра, область определения уравнения;

выделить граничные значения параметров;

для граничных значений параметров соответствующие частные уравнения решить отдельно;

найти общие решения на соответствующих областях значений параметров;

для каждого из общих решений в соответствующем множестве выделить подмножество всех значений параметра, для которых общее решение входит в область определения исходного уравнения;

* на модели общих решений произвести классификацию всех частных уравнений по типам путем исследования всех возможных пересечений множеств параметров.

Глава 2. Методические основы изучения квадратных уравнений с параметрами на факультативных занятиях в основной школе

2.1 Анализ государственного стандарта среднего общего образования и школьных программ по математике

Программа школьного курса математики средней школы должна быть согласована с нуждами общества в математических знаниях не отдельных, в будущем выдающихся представителей математической науки, а подавляющего большинства граждан. Изложение материала в учебниках должно быть понятным для учащихся соответствующего возраста и вызывать у них интерес к предмету. Учебники должны побуждать читателей к самостоятельным размышлениям, развивать точность мышления его самостоятельность. Учебники обязаны не только учить математике в ее нормальном аспекте, но и воспитывать мировоззрение, указывать на связи математических понятий и результатов с реальными явлениями.

Рассмотрим стандарт общего образования по математике, программу для общеобразовательных школ и программу для школ (классов) с углубленным изучением математики.

Анализируя стандарт среднего общего образования можно заключить что, изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей:

§ овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучение смежных дисциплин, продолжения образования;

§ интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей;

§ формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

§ воспитание культуры личности, отношение к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

В ходе преподавания математики в основной школе следует обращать внимание на то, чтобы школьники овладевали умениями общеучебного характера, разнообразными способами деятельности, приобретали опыт:

§ планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирование новых алгоритмов;

§ решение разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач, требующих поиска пути и способов решения;

§ исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов, обобщение, постановки и формирования новых задач;

§ ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использование различных языков математики, свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

§ проведение доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования;

§ поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии.

В программе по математике для общеобразовательных школ, целью изучения курса алгебры в VII-- IX классах является развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных предметов (физика, химия, основы информатики и вычислительной техники и др.), усвоение аппарата уравнений и неравенств как основного средства математического моделирования прикладных задач, осуществление функциональной подготовки школьников.

В результате изучения в курсе алгебры основной школы темы «Уравнения и неравенства» учащиеся должны:

§ знать основные типы алгебраических уравнений и неравенств

§ понимать, что уравнения -- это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики;

§ правильно употреблять термины «уравнение», «неравенство», «система», «корень уравнения», «решение системы», понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «решить уравнение, неравенство, систему»;

§ уметь решать линейные, квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы уравнений с двумя переменными (системы линейных уравнений, в которых одно уравнение второй степени);

§ уметь решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, неравенства второй степени;

§ уметь решать текстовые задачи с помощью составления уравнений.

Математика входит в число предметов, обязательных для всех образовательных учреждений РФ, дающих основное общее и среднее (полное) образование. В соответствии с федеральным базисным учебным планом на изучение математики отводится: в основной школе не менее 5 ч в неделю; в старшей школе на базовом уровне - не менее 4 ч, на профильном - не менее 6 ч. Увеличение объема времени возможно за счет часов регионального и школьного компонентов базисного учебного плана.

В программе для школ (классов) с углубленным изучением математики [48] в качестве основной задачи обучения математике в школе выделяется в обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Наряду с решением основной задачи углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.

В углубленном изучении математики выделяются два этапа, отвечающие возрастным возможностям и потребностям школьников и соответственно различающиеся по целям.

На первом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем, чтобы по окончании IX класса он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики. Углубленное изучение на втором этапе предполагает наличие у учащихся более или менее устойчивого интереса к математике и намерение выбрать после окончания школы связанную с ней профессию.

Требования к знаниям и умениям учащихся при углубленном изучении математики ни в коем случае не должны быть завышенными. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что ведет, особенно на первом этапе, к угасанию интереса к математике. Поэтому требования к результатам углубленного изучения математики на первом этапе не намного превышают требования общеобразовательной программы. Требования на втором этапе в соответствии с его целями согласуются со средним уровнем требований, предъявляемых вузами к математической подготовке абитуриентов.

В связи с тем, что в классы с углубленным изучением приходят школьники с разным уровнем подготовки, в процесс обучения на каждом этапе должны быть включены повторение и систематизация опорных знаний.

Учебный процесс должен быть ориентирован на усвоение учащимися, прежде всего основного материала; при проведении текущего и итогового контролей знаний качество усвоения этого материала проверяется в обязательном порядке.

Значительное место в учебном процессе должно быть отведено самостоятельной деятельности учащихся - решению задач, проработке теоретического материала, подготовка докладов, рефератов и так далее.

Очень важно организовать дифференцированный подход к учащимся, позволяющий избежать перегрузки и способствующие реализации возможностей каждого из них.

Анализируя требования к математической подготовке учащихся VIII-IX классов по алгебре в линии уравнений и неравенств в рамках углубленного изучения математики можно выделить:

· усвоение основных приёмов решения уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, указанных в программе видов; решать уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным или квадратным;

· умение решать текстовые задачи методом уравнений;

· овладение основными алгебраическими приёмами и методами и применять их при решении задач.

Квадратные уравнения с параметрами в программе для школ (классов) с углубленным изучением математики, в отличие от общеобразовательных школ, прописаны в разделе «Уравнения», когда идет речь об уравнениях, сводимых к квадратным. Это позволяет учителю варьировать объём изучаемого материала и соответственно степень углубления и расширения курса в зависимости от конкретных условий.

Тематическое планирование исходит из учебного плана для школ и классов с углубленным изучением математики, согласно которому в основной школе изучаются два учебных предмета -- алгебра (5 ч в неделю, всего 170 ч в каждом классе) и геометрия (3 ч в неделю, всего 102 ч в каждом классе). В старшей школе изучаются два учебных предмета -- алгебра и математический анализ (5--6 ч в неделю в X классе, всего 187 ч и 5 ч в неделю в XI классе, всего 170 ч) и геометрия (3 ч в неделю, всего 102 ч в каждом классе).

В старшей школе учащиеся должны научиться решать сводящиеся к квадратным логарифмические, показательные и тригонометрические уравнения, содержащие параметр. Поэтому рассмотрение уравнений с параметрами в основной школе необходимо для дальнейшего обучения.

2.2 Анализ школьных учебников и учебных пособий по математике

Анализ школьных учебников по алгебре

Проанализируем действующие наиболее часто используемые учителями математики учебники алгебры, чтобы выяснить, насколько в них представлены задания, использующие понятие «параметр», и методы решения уравнений, содержащих параметр.

Рассматривая учебники алгебры авторской группы Макарычева Ю.Н. следует отметить, что в учебнике 8 класса [6] при изучении темы «Квадратные уравнения» в разделе «Для тех, кто хочет знать больше» отдельным параграфом предлагается тема «Уравнения с параметрами», в которой рассматриваются уравнения, где необходимо: 1) осуществить поиск решений уравнения при различных значениях параметра (№№640-644, 645-648, [6,с.143]); 2) определить при каких значениях параметра уравнение имеет одно, два решения или не имеет решений (№647, [6, с.143]).

В разделе дополнительных упражнений предлагаются уравнения, в которых необходимо найти значение параметра, если известны знаки корней уравнения, либо известно какое-либо соотношение корней - №№672-687, [6, c.146] (например, известно, что и - корни уравнения причем ; найдите ).

В учебнике 9 класса [7] использование параметра ведется в главе «Квадратичная функция». При формулировании свойств функции в зависимости от коэффициента , и предлагается для решения задача на нахождение нулей функции, которая зависит от параметра. В разделе «дополнительные задачи» приводятся задания с параметром на исследование:

· области значений (№173, [7, c.54]);

· расположения графика относительно прямой (№178, 180, [7, c.54]), (например, при каком значении параметра осью симметрии параболы является прямая ?)

· расположение вершины параболы; нулей функции (№181, [7, c.54]) (например, при каких значениях функция имеет нули?);

· принадлежности данных точек графику функции, содержащей два параметра (№182, [7, c.54]).

При рассмотрении графиков функций и строятся предпосылки для решения уравнений, содержащих параметр, графическим методом (параллельный перенос).

В системе упражнений для повторения курса VII-IX классов заданий, содержащих параметр, не представлено.

Рассматривая учебники алгебры авторской группы Мордковича А.Г. необходимо отметить, что данные учебные пособия состоят из двух частей: из учебника и задачника.

В учебнике для 8 класса [9] в главе «Квадратичная функция» при изучении функции , ее свойств и графика предлагаются задачи, которые подготавливают ученика к решению уравнений с параметром. А именно №№ 474-475 [9, c. 93], где необходимо найти коэффициенты уравнения, если известно наибольшее или наименьшее значение функции. И также №№ 483-488 [9, c. 94], в которых известно точки пересечения с осями координат. Особенно нужно выделить следующие задания: № 498-503 [9, c. 95], где от ученика требуется найти значение параметра при известном расположении вершины параболы (например, при каком значении коэффициента вершина параболы находится на расстоянии 5 от начала координат?)

В § 14 «Графическое решение квадратных уравнений» предлагаются задания, где непосредственно представлены уравнения, содержащие параметр. В №№ 518-522 [9, c. 97] предлагаются уравнения, содержащие параметр, где необходимо найти значение параметра, если дано уравнение, которое имеет определенное количество корней. Эти задания повышенного уровня сложности. Также предлагается домашняя контрольная работа, в которой имеется уравнение, содержащее параметр. Наличие в учебнике этих уравнений предполагает владение такими основными методами решения квадратных уравнений с параметрами, как аналитический и графический.

В главе 4 «Квадратные уравнения» приводится определение уравнения с параметрами: «Уравнения с буквенными коэффициентами называются уравнения с параметрами». Затем рассматриваются аналитический и графический методы решения уравнений. В задачнике представлены уравнения с параметром, где необходимо:

1) выяснить вид квадратного уравнения и решить его при найденных значениях параметра (например, при каких значениях параметра уравнение является неполным квадратным уравнением) - №№792,793, [9, c. 138];

2) найти значения параметра, если известен корень квадратного уравнения - №№794,795, [9, c. 138].

При нахождении корней квадратного уравнения снова рассматриваются задания, в которых необходимо: найти значение параметра при данном количестве корней квадратного уравнения - №№ 820, 821, [9, c. 140]; выбрать те уравнения, которые имеют два корня при любом значении параметра - №838, [9, c. 142]; определить количество решений уравнения при всех значениях параметра - №№839-841, [9, c. 143]; доказать, что уравнение не имеет единственного корня ни при каком значении параметра - №842, [9, c. 143].

При изучении теоремы Виета предлагаются задания на нахождение значения параметра при данном количестве корней (№ 969, [9, c. 159]), а также имеются задачи (№№971, 972, [9, c. 159]) на применение обратного теореме Виета утверждения и предлагаются задания повышенного уровня сложности с параметром (№№999-1005, [9, c. 162-163]), в которых от ученика требуется полное понимание применения прямой и обратной теоремы. Кроме того имеется домашняя контрольная работа, в которой снова присутствуют квадратные уравнения с параметром.

Учебник алгебры для 9 класса [11] начинается с раздела повторения, где предлагаются задачи с параметром ( №11, №17-19, №50) [11, c. 12-28]: на нахождение значения параметра при данных количествах корней; на нахождение значения параметра, при которых во множестве решений неравенства содержится определенное количество чисел, принадлежащих тому или иному множеству.

Рассматривая учебники алгебры авторской группы Алимова Ш.А. следует отметить, что в учебнике 8 класса [3] при изучении главы «Квадратные уравнения» уравнения с параметрами предлагаются в разделе задач повышенной трудности. Встречаются следующие типы заданий: 1) найти при каких значениях параметра, уравнение будет иметь одно, два или не иметь решений (№№442, 443 [3, c.120]); 2) доказать, что при любых значениях параметра уравнение имеет одно, два или не имеет корней (№№448, 449, [3, c. 121] (например, доказать, что уравнение, при и любом имеет два различных корня); 3) найти корни уравнения и параметр, если дано какое-либо соотношение корней (№№464, 465, [3, c.127]). В дополнительных упражнениях предлагаются задания требующие более детального рассмотрения и глубокого осмысления (№№566, 568-570, [3, c.150]) (например, корни квадратного уравнения взаимно обратные положительные числа; найти ).

При изучении главы «Квадратичная функция» встречаются задания, в которых необходимо: 1) определить значение параметра, при которых пересекаются две данные функции (№№602, 603, [3, c. 162] (например, найти значение , при которых одна из точек пересечения параболы и прямой имеет абсциссу ); 2)определить значение параметра, если известна какая-либо точка принадлежащая графику данной функции (№616, [3, c.166]). В дополнительных упражнениях предлагаются задания, требующие более детального рассмотрения (№№644-648, [3, c.173]).

В главе «Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса» предлагаются задания, в которых необходимо найти значение параметра, если известно какое-либо соотношение корней, либо какое либо соотношение коэффициентов двух уравнений. Например, доказать, что если коэффициенты квадратных уравнений и связаны равенством , то по крайней мере одно из этих уравнений имеет действительные корни (№809, 810, 822-826, [3, c. 206-207]).

При изучении курса алгебры 9 класса [4] уравнения, содержащие параметр предлагаются только в задачах для внеклассной работы (№№ 782-785 [4, c.200]). Предлагаются квадратные уравнения, где необходимо:

а) найти значения параметра, при которых уравнение имеет или не имеет корни;

б) определить принадлежность корней уравнения тому или иному числовому множеству.

Рассмотрим учебники алгебры авторской группы Никольского С.М. При изучении курса алгебры в 8 классе [16] в главе «Квадратные и рациональные уравнения» предлагаются задания, в которых необходимо определить при каких значениях параметра уравнение имеет корни (№301, 303 [16, c.84]).

При изучении Теоремы Виета предлагаются задания, в которых известен один корень и необходимо найти параметр и второй корень (№337, [16,c.94]).

В главе «Квадратичная функция» предлагаются задания, в которых необходимо найти значение параметра, если известна функция и точка принадлежащая графику этой функции - №»567-572, [16, c.165-166], например, точка принадлежит графику функции ; найдите .

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

· почти во всех школьных учебниках не дается понятия параметра и уравнения с параметрами;

· упражнения с параметрами приводятся либо в заданиях с повышенным уровнем сложности, либо в дополнительных главах;

· в каждом проанализированном учебнике задания, содержащие параметр, используется для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы; авторами предлагаются задания творческого характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных условиях;

· во всех учебниках задания однотипны.

2.3 Анализ дидактических материалов по алгебре

Проанализируем дидактические материалы, которые наиболее широко используются учителями математики в процессе обучения.

Рассмотрим дидактические материалы по алгебре для 8-9 классов под редакцией В.И. Жохова [27], предназначенные для учебников авторских групп Макарычева Ю.Н. [6, 7] и Алимова Ш.А. [3, 4]. Включенные в сборник для 8 класса работы делятся на четыре группы: 1) самостоятельные работы (С-1, С-2, С-3 и т.д.); 2) контрольные работы (К-1, К-2, К-3 и т.д.); 3) итоговое повторение по темам; 4) внутришкольные математические олимпиады.

В С-25 «Решение квадратных уравнений» авторы предлагают 3 задания, в которых нужно: 1) найти при каких значениях параметра можно представить в виде квадрата двучлена выражение; 2) определить при каком значение параметра уравнение имеет один корень.

В С-26 «Решение квадратных уравнений (продолжение)» встречается задание в котором необходимо доказать, что не существует такого значения параметра, при котором уравнение имело бы один корень.

В С-27 «Теорема Виета» предлагается задание, в котором необходимо найти параметр и второй корень уравнения, если известен первый корень. Такое же задание включено в контрольную работу по теме «Решение квадратных уравнений».

В сборнике для 9 класса все самостоятельные работы разбиты на два блока. Первый блок состоит из тренировочных упражнений, второй - из усложненных заданий, способствующих развитию математического мышления учащихся.

В С-5 «Квадратный трехчлен» во втором блоке представлены задания, в которых необходимо найти наименьшее значение, которое принимает трехчлен, в зависимости от параметра.

В данный сборник авторы включили самостоятельную работу «Уравнения с параметрами». В первом блоке представлены простейшие задания, с параметрами. Во втором блоке предлагается задание на расположение корней квадратного уравнения относительно отрезка: при каких значениях уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку [36, c.16].

В контрольных работах предлагаются задания на определение количества решений квадратных уравнений.

Рассмотрим дидактические материалы для самостоятельных и контрольных работ для 8 - 9 класса авторской группы Ершовой А.П., Голобородько В.В., Ершовой А.С. Сборники позволяют осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по трем уровням сложность А, Б и В. Содержание работ ориентировано на учебник алгебры для 8 класса под редакцией Теляковского С.А. [6]

В сборнике для 8 класса [25] в С-11 «Неполные квадратные уравнения» задания с параметрами встречаются только в вариантах Б и В. В варианте Б нужно найти при каком значении параметра один корней данного уравнения равен заданному числу. В варианте В Необходимо найти, при каком значении параметра корни данного уравнения являются противоположными числами. Причем в варианте Б уравнение с параметром является неполным, а в варианте В - полным.

В С-13 «Решение задач с помощью квадратных уравнений. Теорема Виета» задания с параметрами встречаются в вариантах Б и В. В варианте Б задание с параметром аналогично заданиям рассматриваемые в предыдущем пособии [37], в варианте В представлено задание на соотношение корней ( один из коней данного уравнения в 2 раза больше другого, найдите корни уравнения и коэффициент : [25, c. 35]). Аналогичное задание приводится в контрольной работе в варианте А. В варианте Б и В задания представлены тоже на соотношение корней, но в отличие от варианта А, аналогичные задания не были представлены в самостоятельных работах. Например в варианте В необходимо решить такую задачу: разность корней уравнения равна 1,5; найдите . [25, c.37]

В сборнике для 9 класса [26] в С-4 «Квадратичная функция: задачи с параметрами» предложены задания, в которых нужно: 1) определить положение графика относительно оси абсцисс, прямой, точки в зависимости от параметра; 2) построить график квадратичной функции, если известно наибольшее или наименьшее значение функции.

В С-8 «Уравнения высших степеней: методы решения, задачи с параметрами» встречаются задания, в которых необходимо определить количество решений данного уравнения.

В связи с проведенным анализом можно заключить, что каждый из авторов рассмотренных дидактических материалов предлагает свою систему упражнений, которая не охватывает всех возможных вариантов квадратных уравнений с параметрами, но дает учителю возможность выбора заданий для урочной и внеурочной работы в соответствии со своим стилем изложения учебного материала по данному вопросу.

2.4 Методические основы изучения темы «Квадратные уравнения, содержащие параметр»

Методические основы организации и проведения факультативных занятий в условиях предпрофильной подготовки в основной школе

В настоящее время перед учреждениями общего среднего образования поставлена задача создать систему специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированную на индивидуализацию обучения и специализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработкой гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования.

Суть предпрофильной подготовки - создать образовательное пространство, способствующее самоопределению учащегося 9 класса, через организацию курсов по выбору, информационную работу и профильную ориентацию. Основной задачей предпрофильной подготовки в 9 классе является комплексная работа с учащимся по обоснованному и жизненно важному выбору дальнейшего пути обучения.

Перед учеником по окончании основной школы будет стоять сложная задача не только правильного выбора профиля, но и возможности поступления на данный профиль и реализации обучения на нем. В жизни может возникнуть ситуация, когда профиль, по которому желает учиться подросток, есть только в другом муниципальном округе (районе). Как быть в этом случае? Что необходимо делать ученику? Как и кто может ему помочь? На эти вопросы необходимо иметь ответы уже сегодня.

Поэтому ученик и его родители в 9 классе основной школы должны получить информацию о возможных путях продолжения образования, о территориально доступных образовательных учреждениях, наименее затратных по времени, соответствующих интересу и выбираемому профилю дальнейшего обучения.

Организовать предпрофильную подготовку школьников в 9 классе мы можем с помощью внеурочной работы по предмету. Мы склоняемся к такой форме организации внеурочной работы по математике, как факультативные курсы.

Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Для того чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть в наличии:

1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне;

2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствий с их интересами. Не следует принуждать учащихся обязательно изучать факультативные предметы. Особенно внимательно следует относиться к тем учащимся, которые встречают трудности в изучении математики или совмещают обучение в школе с другими видами занятий (спорт, музыка и т. д.). По окончании факультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметка в аттестате. Учитель математики несет полную ответственность за качество факультативных занятий; факультативные занятия вносятся в расписание и оплачиваются учителю.

Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения, доклады учащихся и т. д.

Одной из возможных форм ведения факультативных занятий по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

Естественно также при проведении факультативных занятий наряду с традиционным использовать интерактивные и проблемные методы обучения математике, что не только способствует глубокому изучению теоретического материала, но и позволяет развивать исследуемые умения и навыки учащихся.

В настоящее время факультативные занятия по математике проводятся по двум основным направлениям:

а) изучение курсов по программе "Дополнительные главы и вопросы курса математики"; б) изучение специальных математических курсов. Содержание программы "Дополнительные главы и вопросы" систематического курса математики позволяет решить и углубить изучение программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми общими современными математическими идеями, раскрыть приложение математики в практике.

...