Содержание и формы изучения квадратных уравнений, содержащих параметр, на факультативных занятиях в основной школе

Методические основы формирования системы заданий на применение умений решать квадратные уравнения, содержащие параметр

Учащемуся в процессе обучения приходится иметь дело не с одним упражнением, а совокупностью упражнений. Проблема классификации упражнений была и остается предметом пристального внимания методистов.

В соответствии с дидактическими целями по классификации В.А. Онищука каждый этап усвоения умений отображается на соответствующий вид упражнения:

- актуализация опорных знаний (подготовительные упражнения);

- усвоение знаний (вводные упражнения);

- первичное применение знаний (пробные упражнения);

- овладение навыками в стандартных условиях (тренировочные упражнения);

- творческий перенос знаний и навыков в нестандартные условия (творческие упражнения);

- контроль, коррекция и оценка навыков и умений (контрольные упражнения).

При переходе от предыдущего вида упражнений к последующему при их выполнении, по мнению В.А. Онищука, должна возрастать самостоятельность учащихся. Очевидно, что организационные формы выполнения упражнений зависят не только от цели, но и от содержания упражнений. Вызывает сомнение указание на минимальную самостоятельность школьников при выполнении подготовительных упражнений, целью которых является актуализация опорных знаний. Причем указанная цель может быть достигнута и при выполнении творческих упражнений. При этом даже очевиден некоторый выигрыш во времени - актуализация опорных знаний, т.е. начало формирования нового умения, созревает в недрах предыдущего цикла усвоения умений на этапе творческого применения знаний.

Е. И. Лященко, анализируя требования к задачам, исходит из деления задач на дидактические, познавательные, развивающие. Основное, по ее мнению, назначение задач с дидактическими функциями:

- способствовать формированию свойств изучаемых понятий и простейших взаимосвязей между ними;

- формировать алгоритмы действий и методы решения задач;

- формировать мыслительные операции, применяемые при изучении предмета и решении задач.

К задачам с познавательными функциями она относит:

- задачи, раскрывающие отдельные аспекты формируемого понятия и выполняющие дидактические функции;

- задачи с дидактическими функциями, раскрывающие связи между отдельными аспектами формируемого понятия;

- задачи с дидактическими функциями, но содержащие элементы переноса знаний;

- задачи с познавательными функциями, но сохраняющие элементы задач с дидактическими функциями;

- задачи, для решения которых надо скомбинировать математические факты и способы решения;

- задачи, для решения которых необходимо в традиционном материале и ситуации увидеть новую задачу.

К задачам с развивающими функциями отнесены:

- задачи, для решения которых не требуются новые знания по предмету, а надо применять имеющиеся знания в новой комбинации;

- задачи, с помощью и на основе которых приобретаются знания по предмету.

Руководствуясь мнением Г.И. Саранцева, по мере развития современной методики математики и углубления в проблему упражнений, на первый план выдвигается классификация упражнений по их месту в процессе обучения математике, где каждому компоненту учебно-познавательной деятельности сопоставляется группа упражнений:

1) упражнения, стимулирующие учебно-познавательную деятельность;

2) упражнения, организующие и осуществляющие учебно-познавательную деятельность школьников;

3) упражнения, в процессе выполнения которых осуществляется контроль и самоконтроль эффективности учебно-познавательной деятельности.

Кроме того, что в данной классификации упражнений заложены все их стороны, находит отображение вся многогранность этого явления, она обозначает и основные цели их использования. В зависимости от конкретизации учебно-познавательной деятельности школьников классификация упражнений будет наполняться более конкретным содержанием. Так, например, известно, что важнейшим видом учебно-познавательной

Анализ систем упражнений на квадратные уравнения с параметрами, приведенных в различных пособиях для подготовки к итоговой аттестации

В процессе подготовки школьников к итоговой аттестации по курсу основной школы по теме «Квадратные уравнения с параметрами», основной целью которой является обобщающее повторение, используются в основном, упражнения последних трёх типов классификации В.А. Онищука, поскольку первые три типа упражнений реализуются в процессе изучения квадратных уравнений.

Переход в 9 классе от письменного экзамена по алгебре к экзамену в тестовой форме, при сохранении ряда заданий на применение умений в решении квадратных уравнений, подразумевают использование в итоговой аттестации заданий с такими структурой и содержанием, которые мало знакомы учащимся, хотя при этом не отличаются высокой степенью сложности.

Приведем сравнительный анализ «старых» и «новых» заданий и упражнений в контрольно-измерительных материалах, рекомендованных Минобрнауки РФ, а также департаментом образования и науки Краснодарского края для итоговой аттестации по математике за курс основной школы ( см. таблицу 1).

Таблица 1 Сравнительный анализ заданий на параметры в различных контрольно-измерительных материалах.

Традиционные задания для проведения письменного экзамена	Задания для проведения экзамена в тестовой форме
Сборник Кузнецовой Л.В.[49]	Сборник Кузнецова Л.В. [1]	Сборник Кулешова Л.Е. [35]	Сборник Семенко Е.А. [51]
Задания направленные на поиск решений уравнения
		Часть В (2 балла) Пример: Решите уравнение относительно : .
Задания направленные на определение количества решений уравнения
Раздел II (2 уровень сложности) Примеры: 1) При каких значениях уравнение не имеет корней? Имеет ли уравнение корни при , при 2) При каких значениях уравнение имеет два корня? Из чисел выберите те, которые удовлетворяют этому условию. 3) При каких значениях уравнение имеет два корня. Запишите пример такого уравнения.	Раздел 2 (4 балла) Примеры: 1) При каких значениях уравнение не имеет корней? Приведите пример отрицательного значения , при котором выполняется это условие. 2) При каких значениях уравнение Имеет корни?	Уровень В Примеры: 1) (2балла) Найдите все значения при которых уравнение имеет единственный корень. 2) (6 баллов) Найдите все значения параметра при котором график функции пересекает ось в одной точке.
Задания на использование свойств квадратичной функции
1) Задания на расположение корней относительно абсциссы точки или отрезка
	Раздел 2 (6 баллов) Примеры: 1) При каких значениях один корень квадратного уравнения , больше , а другой меньше ? 2) При каких значениях корни уравнения принадлежит промежутку ?	Часть В Пример: (6 баллов) При каких значениях число 3 заключено между корнями уравнения ?	Часть 2 (повышенный уровень сложности) Пример: 1) При каких значениях областью значения функции является промежуток ? 2) При каких значениях параметра вершина параболы имеет отрицательную абсциссу?
2) Задания направленные на определение знаков корней
	Раздел 2 (6 баллов) Пример: 1) При каких значениях уравнение имеет два различных положительных корня?		Часть 2 (6 баллов) Пример: (6аллов) Определить, при каких значениях корни уравнения положительны.
3) Задания направленные на определение значений суммы и произведения корней
	Раздел 2 (6 баллов) Пример: При каком значении сумма квадратов корней уравнения минимальна?
4) Задания направленные на определение расположения графика квадратичной функции
Раздел II (2 уровень сложности) Примеры: 1) Найдите все значения , при которых парабола целиком расположена выше оси . 2) Парабола пересекает ось абсцисс в точке , а ось ординат в точке . Найдите и и постройте эту параболу.		Часть В Примеры: 1) (6 баллов) При каких значениях вершина параболы лежит во II четверти? 2) (6 баллов) Найдите все целые значения , при которых вершина параболы лежит выше прямой	Повышенный уровень сложности Пример Найдите если нулями функции являются числа и , а наибольшее ее значение равно 2.

В декабре, феврале и апреле 2007 - 2008 г. учебного года в Краснодарском крае Департаментом образования и науки были проведены контрольные работы по алгебре в 9 классах, где встречались задания с параметрами, которые можно отнести к заданиям на поиск количества решений квадратного уравнения при тех или иных значениях параметра (например, для каждого значения параметра решить уравнение ).

Итак, в связи с переходом от одной формы итоговой аттестации по математике за курс основной школы (письменный экзамен) к другой _малый ЕГЭ) у учащихся должны быть сформированы умения выполнять различные задания, приводящие к решению квадратных уравнений с параметрами, которые не представляют особой сложности, но требуют наличия определенного опыта.

Методика изучения темы «Квадратные уравнения, содержащие параметр» на факультативных занятиях в основной школе

Анализ методической литературы по теме исследования позволяет заметить, что в современной методике математики, существуют различные классификации задач, сводящихся к решению квадратных уравнений с параметрами.

Нам наиболее близок подход к рассмотрению данной проблемы, предложенный И.Ф. Шарыгиным. Его мы и будем использовать при построении своего факультативного курса «Квадратные уравнения с параметрами».

На основе классификации квадратных уравнений с параметрами И.Ф. Шарыгина, можно выделить следующие типы заданий, которые необходимы для подготовки учащихся к итоговой аттестации по теме «Квадратные уравнения с параметрами» за курс основной школы [54, с. 125]:

- параметр и поиск решений квадратных уравнений (рассматривается вопрос о количестве корней при тех или иных значениях параметра);

- решение квадратных уравнений, содержащих параметр, с ограничением на корни: 1) параметр и количество корней квадратного уравнения; 2) параметр и соотношение корней квадратного уравнения.

- параметр и свойства решений уравнения: 1) расположение корней уравнения относительно точки; 2) расположение корней уравнения относительно отрезка; 3) расположение графика квадратичной функции;

- параметр и взаимное расположение корней двух квадратных уравнений;

- графические приемы в решении квадратных уравнений, содержащих параметр.

Параметр и поиск решений уравнений

В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой - он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении - это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолевать ученикам.

Именно этот факт и позволяет нам решать уравнения с параметром таким методом («ветвления»). Метод «ветвления» заключается в том, что находятся все значения параметра, при которых уравнение имеет либо один корень, либо два корня, либо не имеет их вообще.

Пример 1. Решить уравнение

Решение: Рассмотрим два случая: и . В первом случае уравнение принимает вид . Это линейное уравнение с единственным корнем .

Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантом . Найдем промежутки знакопостоянства дискриминанта (см. рис.3).

При или дискриминант квадратного уравнения равен нулю и оно имеет один корень , т.е. при получаем корень , а при - корень .

При дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня

.

При или дискриминант оказывается отрицательным, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ:

1) при уравнение не имеет корней;

2) при уравнение имеет единственный корень ;

3) при уравнение имеет единственный корень ;

4) при уравнение имеет единственный корень ;

5) при уравнение имеет два корня

.

Пример 2. Решить уравнение Указать число решений в зависимости от параметра .

Решение:

ОДЗ: , . Положим .

Коллективно обсуждается вопрос: сколько корней может иметь уравнение ? (Ответ: не более двух.)

От чего это зависит? (Ответ: от знака дискриминанта уравнения , от монотонности функции : каждое значение функция принимает ровно в одной точке.)

Поскольку и, значит, для любых , квадратное уравнение имеет два корня: причём .

Далее определяем достаточные условия существования корней уравнения :

1) Уравнение имеет два корня тогда, когда оба корня уравнения положительны.

В этом случае корни уравнении .

2) Уравнение имеет один корень тогда, когда уравнение имеет только один положительный корень.

В этом случае является корнем уравнения .

3) Уравнение не имеет корней, если меньший корень уравнения отрицательный, а больший корень - неположительный.

В этом случае уравнение не имеет корней.

Ответ: при ;

при ;

при корней нет.

Решение квадратных уравнений, содержащих параметр, с ограничением на корни.

Параметр и количество решений уравнения

Для того чтобы квадратное уравнение имело корни, необходимо и достаточно выполнение неравенства . Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем доказать его неотрицательность. Однако в некоторых случаях можно указать и иные, более простые способы доказательства существования решения квадратного уравнения. Эти способы основываются на очевидных графических соображениях. Так, если , то для доказательства того, что уравнение имеет два решения, достаточно указать одну точку , в которой . Чаще всего в качестве берут 0 (дает достаточное условие ), 1 (условие ) или -1 (условие ).

Утверждение: если в уравнении произведение , то уравнение обязательно имеет корни.

Для таких задач характерны следующие формулировки:

· «При каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два решения, бесконечно много, ни одного»;

· Решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то подмножество множества действительных чисел и другие

Пример 3. При каком значении параметра уравнение имеет два различных корня?

Решение: По виду это уравнение представляется квадратным. Но значение параметра нам неизвестно, и оно вполне может оказаться равным , в этом случае первый коэффициент обращается в ноль и уравнение станет линейным, т.е. будет иметь единственное решение.

Рассмотрим случай, когда и уравнение имеет два различных корня, то есть .

.

Т.е. для того, чтобы уравнение имело два различных корня необходимо, чтобы

;

;

.

Покажем решение на числовой прямой (см. рис. 4)

При уравнение имеет два различных корня.

Ответ: .

Пример 4. При каких значениях параметра уравнение не имеет корней:

Решение: ОДЗ:

.

;

.

Последнее уравнение при равносильно уравнению

.

Положим . Тогда уравнение

Найдём дискриминант квадратного уравнения и абсциссу вершины параболы :

,

Уравнение если выполнено одно из условий:

1) уравнение не имеет корней: (при ), при этом .

2) уравнение имеет либо единственный положительный корень, либо два корня, один из которых отрицательный, а другой неположительный:

Но этого случая не может быть, так как .

Ответ: уравнение не имеет корней при .

Параметр и соотношение корней квадратного уравнения.

Теорема Виета

Рассмотрим более сложный пример, который описывает метод решения квадратного уравнения, содержащего параметр, которое имеет целые корни.

Пример 5. При каких значениях параметра уравнение имеет целые корни?

Решение: Перепишем левую часть уравнения в виде а тогда, если имеет целочисленные корни , то при любом выполняется равенство . Это равенство должно выполняться, в частности, и при . А тогда, подставляя значение в соотношение приходим к равенству откуда находим, что или , или

Если теперь подставить значения в равенство , то получим, что , и таким образом т.е. .

Если же в равенство подставить значение то , и таким образом, .

Ответ: .

Рассмотрим пример, который можно решить 3 способами:

Пример 6. При каких значениях параметра корни трехчлена положительны?

Решение:

1 способ: Выделим контрольное значение параметра . Тогда уравнение примет вид , откуда . Значит, является одним из ответов на вопрос задачи.

Пусть , тогда . При дискриминант отрицателен, и уравнение корней не имеет; этот случай нас не интересует. При дискриминант обращается в нуль, и уравнение имеет единственный корень , и, значит, является одним из ответов на вопрос задачи. Остается рассмотреть случай (причем ), . Необходимо выяснить при каких значениях параметра как , так и .

Для этого необходимо решить систему неравенств

Заметим, что каждое неравенство системы решаем методом интервалов.

1) ; .

Нули . Найдем промежутки знакопостоянства функции (см. рис 5).

2) . Нули .

Покажем решение на числовой прямой (см. рис. 6)

Итак, при квадратный трехчлен имеет положительные корни.

Ответ:

В задачах с ограничениями на знаки корней квадратного уравнения и соотношения между ними можно использовать Теорему Виета.

Теорема: Если квадратное уравнение с дискриминантом имеет корни и , то и (в случае считаем .

Если , то , и уравнение имеет два корня, причем эти корни имеют разные знаки:

при положительный корень больше модуля отрицательного;

при положительный корень меньше модуля отрицательного.

Если и , то оба корня положительные.

Если и , то оба корня отрицательные.

2 способ. Используя теорему Виета, получи

Решая систему неравенств, получим . С учётом условия получаем .

Ответ:

3 способ. Снова зафиксируем как один из ответов на вопрос задачи.

Пусть 2. Тогда перепишем уравнение в виде

и рассмотрим квадратный трехчлен . Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Так как должно быть и , то парабола пересекает ось в двух точках правой полуплоскости (или касается этой оси в правой полуплоскости).

Теперь рассматриваемую модель опишем аналитически адекватной ей системе условий.

1) Так как имеются точки пересечения (или точка касания) параболы с осью , , т.е. .

2) Замечаем, что , т.е. .

3) Замечает, что вершина параболы расположена в правой полуплоскости, т.е. абсцисса положительна. Для параболы абсцисса вершины находится по формуле ; значит, в данном случае . Итак, .

В результате приходим к системе неравенств: которая была решена (при 2 способе решения)

Замечание. Из приведенных трех способов решения последний является не только самым изящным. Безусловно, он проще, чем 1 способ, где приходится решать систему неравенств. Безусловно, он методически важнее, поскольку здесь естественны взаимосвязи между всеми типами математических моделей (вербальная модель - словесное описание задачи, графическая модель - график квадратного трехчлена, аналитическая модель - описание задачи системой неравенств), логичен и оправдан плавный переход от одной модели к другой.

Пример 7. При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

Решение. Найдем дискриминант, . Уравнение имеет два корня при любом . Используя теорему Виета, найдем . Таким образом, найдем наименьшее значение функции на множестве . Поскольку при , а при , то наименьшее значение при .

Ответ: .

Расположение корней квадратного уравнения, содержащего параметр, относительно абсциссы точки и отрезка.

Решение задач на квадратный трёхчлен с параметром основано на свойствах квадратичной функции. Расположение корней квадратного трёхчлена относительно заданных точек можно полностью описать, если знать направление ветвей соответствующей параболы, абсциссу вершины, дискриминант и знаки квадратного трёхчлена в заданных точках. При таком подходе приходится иметь дело лишь с системами линейных и квадратных неравенств, в то время как формальная запись условий «корень квадратного трёхчлена больше (меньше) заданного числа» приводит к системам довольно громоздких иррациональных неравенств. Многие задачи вступительных экзаменов сводятся к задачам на исследование квадратного трехчлена с параметром после выполнения определённых преобразований или замены переменной. В последнем случае важнейшим этапом решения является выписывание ограничений на вводимую переменную и переформулировка задачи в «терминах квадратного трёхчлена». Наиболее распространённой ошибкой в такого рода задачах является игнорирование области значений вводимой переменной. Например, если требуется найти, при каких значениях параметра квадратное уравнение относительно уравнение имеет единственное решение, задачу после замены () следует переформулировать так: при каких значениях параметра квадратное (относительно ) уравнение имеет единственный положительный корень. Типичной ошибкой при решении такого рода задач является то, что после замены переменной находят (из условия равенства дискриминанта уравнения), при каких значениях параметра полученное уравнение имеет единственный корень, забывая о том, что уравнение может иметь и два корня - важно лишь, чтобы только один из них был положительным.

Задачи этого типа решают по следующему алгоритмическому предписанию:

1) уравнение записывают в виде ;

2) выбирают контрольные значения параметра (в качестве контрольных значений параметра чаще всего берут такие, что , старший коэффициент квадратного трехчлена положительный, отрицательный, равный нулю и те значения параметра, при которых квадратных трехчлен становится неполным);

3) для каждого случая строят параболу (геометрическую модель);

4) геометрическую модель описывают системой неравенств (аналитическая модель);

5) решают систему неравенств.

Рассмотрим всевозможные случаи расположения корней квадратного равнения относительно абсциссы точки:

1. Оба корня расположены левее заданной абсциссы точки (см. рис. 7)

Условие обеспечивает расположение абсциссы точки вне отрезка между корнями.

Условие обеспечивает наличие корней уравнения.

Условие обеспечивает расположение абсциссы точки правее отрезка между корнями

2. Один корень левее заданной абсциссы точки, а другой правее (см. рис.8)

Условие обеспечивает:

· Наличие корней квадратного трехчлена

· Расположение абсциссы точки между корнями

3. Оба корня правее заданной абсциссы точки (см. рис. 9)

Условие обеспечивает расположение абсциссы точки вне отрезка между корнями.

Условие обеспечивает наличие корней уравнения.

Условие обеспечивает расположение абсциссы точки левее отрезка между корнями.

Рассмотрим всевозможные случаи расположение корней квадратного уравнения относительно отрезка:

1. Расположение корней левее от отрезка (см. рис. 10)

Условие обеспечивает нахождение корней вне отрезка между корнями.

Условие обеспечивает наличие корней уравнения.

Условие обеспечивает расположение точки правее отрезка между корнями.

2. Расположение корней правее от отрезка (см. рис. 11)

Условие обеспечивает нахождение корней вне отрезка между корнями.

Условие обеспечивает наличие корней уравнения.

Условие обеспечивает расположение отрезка левее абсциссы вершины.

3. Больший корень находится внутри отрезка (см. рис. 12)



Условие обеспечивает расположение точки внутри отрезка между корнями.

Условие обеспечивает расположение корней вне отрезка между корнями.

4. Меньший корень находится внутри отрезка(см. рис. 13)

Условие обеспечивает расположение точки внутри отрезка.

Условие обеспечивает расположение точки вне отрезка между корнями.

5. Оба корня внутри отрезка (см. рис. 14)

Условие обеспечивает расположение точки вне отрезка между корнями.

Условие обеспечивает расположение точки внутри отрезка. Условие обеспечивает расположение вершины параболы между концами отрезка.

6. Отрезок между корнями квадратного трехчлена (см. рис. 15)

Условие обеспечивает расположение точки внутри отрезка между корнями.

Условие обеспечивает расположение точки внутри отрезка между корнями.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 8. При каких значениях уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее условию ?

Решение: Введём следующие обозначения:

.

Рассмотрим все возможные геометрические и соответствующие им аналитические модели, удовлетворяющие задаче. Получим шесть случаев.

1) 2)

(см. рис. 16) (см. рис. 17)

3) 4)

(см. рис. 18) (см. рис. 19)

5) 6)

(см. рис. 20) (см. рис. 21)



Замечание. Если требуется узнать те значения параметра, при которых один из корней уравнения (не имеет значения какой) принадлежит промежутку , а другой нет, то достаточно потребовать выполнение неравенств .

Если первый случай объединить со вторым, то получим систему неравенств: уравнение математика алгебра факультативный

Третий случай объединяя с четвёртым, получим систему неравенств:

Решим систему (1):

Решим систему (2):



Если то .

Рассмотрим пятый случай:

.

Результат решения системы для шестого случая:

.

Ответ: .

Пример 9. При каких все корни уравнения расположены на отрезке ?

Решение: Приведем уравнение к виду .

Обозначим

Если в задаче идёт речь о корнях, то уравнение должно иметь действительные корни:

Так как ветви параболы направлены вверх и корни уравнения расположены на отрезке , то (рис. 22). Учитывая, что есть середина отрезка , имеем (знак равенства, когда ). В результате получаем, что все корни уравнения расположены на отрезке тогда и только тогда, когда

.

Ответ: .

Пример 10. Найдите все значения параметра , при которых все корни уравнения больше .

Решение: Введем следующие обозначения:



Если , то . Чтобы сформулировать нужные условия, представим себе график трехчлена , оба корня которого больше .

(см. рис. 23) (см. рис. 24)

( см. рис. 25) (см. рис. 26)



Объединяя эти условия, получим

.

Ответ: .

Встречаются уравнения, в которых дискриминант является полным квадратом, и, значит, корни этого трехчлена могут быть найдены по формуле квадратного уравнения или формулам Виета.

Пример 11. Найдите все значения параметра , при каждом из которых больший корень уравнения меньше .

Решение: Корни данного уравнения: . Больший корень уравнения:

Составим и решим неравенство:

Больший корень уравнения меньше при .

Ответ: .

Задачи такого типа обязательно надо решать со школьниками. При решении дети учатся мыслить логически, творчески.

Взаимное расположение корней двух квадратных уравнений с параметрами.

Довольно типичными являются задачи со следующим условием: найти те значения параметра , при которых два уравнения и имеют общий корень. Если одно из этих уравнений можно легко решить относительно переменной , то так и нужно сделать, после чего подставить найденные корни во второе уравнение. В противном случае следует рассмотреть какое-нибудь вспомогательное уравнение вида в котором коэффициенты и подбираются так, чтобы уравнение уже не содержало параметра или легко решалось бы относительно . Если - корень каждого из двух уравнений, то и , а значит и т.е. является корнем уравнения Поэтому все общие корни уравнений и являются корнями уравнения Решив последнее уравнение и подставив найденные числа в одно из данных уравнений, можно найти все допустимые значения параметра.

Пример 12. Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнения и имеют хотя бы один общий корень.

Решение: В данном случае коэффициенты и целесообразно взять равными и и рассмотреть уравнение которое после раскрытие скобок и приведения подобных Число будет общим корнем данных уравнений, если , т.е. ; аналогично,

Задачу можно решить и несколько иначе, подобрав коэффициенты и так, чтобы получилось линейное уравнение. В данном случае для этого достаточно рассмотреть разность данных уравнений:

После это остаётся определить, при каких число будет корнем одного из данных уравнений (а значит, и корнем другого), подставив в одно из данных уравнений.

Графические приемы в решении квадратных уравнений, содержащих параметр.

В зависимости от того, какую роль параметру отводится в задаче (неравноправная или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два основных графических приёма: первый - построение графического образа на координатной плоскости , второй - на .

Схематично структура первого метода выглядит следующим образом.

На плоскости функция задаёт семейство кривых, зависящих от параметра . Понятно, что каждое семейство обладает определёнными свойствами.

Нас будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости можно перейти от одной кривой семейства к какой-либо другой.

Пример 13. Найдите число решений уравнения в зависимости от параметра .

Решение: Построим график функции

Уравнение имеет столько решений, сколько раз прямая пересекает график функции (см. рис. 27).

Из рисунка видно, что:

если , графики не пересекаются, т.е. уравнение решений не имеет;

если , графики пересекаются в двух точках, т.е. уравнение имеет два решения.

Вообще, уравнения, содержащие параметр, не обеспечены какой-либо четкой, методически оформленной системой решения. Те или иные значения параметра приходится искать на ощупь, перебором, решая большое количество промежуточных уравнений. Такой подход далеко не всегда обеспечивает успех в отыскании всех значений параметра, при которых уравнение не имеет решений, имеет одно, два и более решений. Зачастую часть значений параметра теряются или появляются лишние значения. Для того чтобы эти последние, приходится проводить специальное исследование которое может оказаться довольно трудным.

Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем

· Из уравнения с переменной x и параметра a выразим параметр как функцию от x: .

· В координатной плоскости xOa строим график функции .

· Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси Oa, на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции , б) пересекает график функции в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.

· Если поставлена задача найти значения x, то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость . Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами и определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.

Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот и т. д.

Пример 14. Решить уравнение

Решение: Стоим график функции

(см. рис. 28).

При уравнение имеет один корень, являющийся большим корнем уравнения

При уравнение имеет два корня, один из которых , а второй - больший корень уравнения т.е. .

При уравнение имеет три корня, два из которых являются корнями уравнения , а третий больший корень уравнения т.е. . При уравнение имеет два корня: , .

При уравнение имеет один корень, являющийся меньшим корнем уравнения т.е. .

Ответ: при ;

при ;

при .

2.5 Избранные задачи Единого Государственного Экзамена

Все приведенные типы заданий квадратных уравнений с параметрами и методы их решения имеют применение и в старшей школе при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным и выводятся на Единый Государственный экзамен.

Рассмотрим задание на определение количества решений уравнения и на принадлежность этих уравнений заданному промежутку, которое приводилось на ЕГЭ в 2005 году.

Пример 1.[42, с. 119] Определите, при каких значениях параметра уравнение имеет четыре различных действительных корня, каждый из которых принадлежит отрезку

Решение: не может быть корнем данного уравнения ни при каком значении параметра , так как в противном случае было бы верно равенство . Следовательно, исходное уравнение можно разделить на . В итоге получится равносильное уравнение

Замена приводит уравнение к виду:

Таким образом,

Выясним, каким ограничениям должны удовлетворять значения и , чтобы исходное уравнение имело четыре различных действительных корня из отрезке

Рассмотрим равенство , как уравнение с параметром относительно . Это уравнение при равносильно уравнению .

По условию задания, необходимо, чтобы уравнение имело 4 различных решения. Поэтому, необходимо проследить, чтобы при разных и уравнение не имело одинаковых корней. Пусть при уравнения и имеют общий корень , тогда

, так как при не может быть корнем уравнения ни при каком . Полученное противоречие говорит о том, что общие корни уравнения и могут быть только в случае равенства и . Поэтому для того, чтобы исходное уравнение имело четыре различных корня, необходимо потребовать дополнительно выполнение условия .

Введем в рассмотрение квадратный трехчлен Его график (см. рис. 29) должен пересекать ось абсцисс в двух точках отрезка .

Для этого должны быть выполнены условия:



Итак, получаем ограничения на , при которых исходное уравнение имеет четыре различных действительных корня на отрезке :

Ответ:

Рассмотрим задание, в котором условия накладываются на корни.

Пример 2. [34, с.13] При каких значениях параметра четыре корня уравнения являются последовательными числами арифметической прогрессии?

Решение: Пусть , тогда исходное уравнение принимает вид .

Если и , то уравнение имеет два положительных различных корня и (положим ), тогда корнями исходного уравнения будут и , или в порядке возрастания Чтобы эти числа образовали арифметическую прогрессию, должно выполняться условие



или .

Используя теорему Виета найдем:

При четыре корня данного уравнения являются последовательными числами арифметической прогрессии. Ответ: . Рассмотрим задание, из демонстрационного варианта ЕГЭ-2008 в котором осуществляется поиск решений уравнений при тех или иных значениях параметра.

Пример 3. Найдите все значения , для которых при каждом из промежутка значение выражения не равно значению выражения .

Решение: 1) Значения указанные в задаче выражений не равны друг другу тогда и только тогда, когда выполнено условие , где

и Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение не имело корней на промежутке

2) График функции есть парабола (см. рис. 30). Её ветви направлены вверх, а точка пересечения с осью ординат лежит ниже оси абсцисс (так как ). Поэтому квадратный трёхчлен имеет два корня и . Если , то , а если , то . Поэтому уравнение имеет один корень на промежутке тогда и только тогда, когда

3) Решим полученную систему:

Итак, уравнение не имеет корней на промежутке для всех остальных значениях т.е. тогда и только тогда, когда и

Ответ: и

Факультативные занятия по теме «Квадратные уравнения с параметрами»

Пояснительная записка

Сегодня нет необходимости доказывать актуальность темы «Квадратные уравнения с параметрами» в рамках обучения математике в школе. Вместе с тем приходится констатировать факт отсутствия у большинства выпускников общеобразовательных школ требуемого ВУЗами уровня подготовленности по этой теме. Несмотря на то, что почти все выпускники старшей школы, которым предстоит сдавать вступительные экзамен по математике, посещают подготовительные курсы в ВУЗах, ситуация с качеством знаний, уровнем сформированности умений и навыков по теме «Квадратные уравнения с параметрами» меняется незначительно. Причиной является отсутствие базы, поскольку существующие учебные программы по математике и тематические планирования к ним явно не предусматривают обучение решению уравнений с параметрами.

Цель курса состоит в изучении методов решения квадратных уравнений, содержащих параметр, и формирование умений направленных на реализацию этих методов.

Задачи курса:

- сформировать у учащихся представление о квадратных уравнениях, содержащих параметр, показать их многообразие;

- научить учащихся применять аналитические методы в решении квадратных уравнений, содержащих параметр;

- научить учащихся осуществлять выбор рационального метода решения уравнений и обосновывать свой выбор.

В содержании программы курса предлагается ряд свойств квадратичного трёхчлена, не изучающихся в школьном курсе, но непосредственно к ним примыкающих и которые, в основном, легко доказываются на основе школьных знаний уровня обязательного минимума. Среди этих свойств - это многочисленные необходимые и достаточные условия для того или иного расположения корней трёхчлена, для сохранения знака трёхчлена на некотором промежутке, для определения связи между двумя заданными квадратными трехчленами и т.п.

Факультативный курс является сквозным курсом, т.е. по мере того как идёт изучение тем, связанных с рассмотрением квадратных уравнений в школьной программе, параллельно на факультативных занятиях идёт рассмотрение квадратных уравнений, но уже с параметром. Поэтому факультативный курс разбит на 2 года обучения с 8 по 9 класс.

Для каждого года обучения составлена программа, которая состоит из следующих разделов: «Тематическо-поурочное планирование учебного материала», «Требования к результатам изучения», «Система упражнений к каждой теме», «Контрольная работа».

В разделе «Тематическо-поурочное планирование учебного материала» помимо планирования указаны основные цели изучения тем и примерное количество учебного времени, которое отводится на изучение каждой темы.

Раздел «Требования к результатам изучения» определяет уровень умений, которыми учащиеся должны овладеть к концу каждого учебного года.

В разделе «Система упражнений к теме» прописываются знания и умения, которыми должны овладеть учащиеся по окончанию темы, предлагается ряд заданий с нарастающей сложностью и домашнее задание. Вводятся следующие обозначения: ву - вводные устные упражнения; вп - вводные письменные упражнения; т - тренировочные упражнения; тв - творческие упражнения.

Раздел «Контрольная работа» предлагает: для 8 класса четыре варианта письменной работы с разным уровнем сложности; для 9 класса контрольное тестирование.

Требования к результатам изучения:

- умение решать квадратные уравнения, содержащие параметр, при всех значениях параметра;

- уметь решать квадратные уравнения, содержащие параметр, при наличии каких-либо ограничений на корни;

- умение использовать в решении уравнений свойства квадратичной функции;

- умение решать уравнения, содержащие знак модуля, при наличии параметров с использование графического метода.

8 класс

Цели: знакомство с квадратными уравнениями, содержащие параметр; формирование умений в решении простейших квадратных уравнений, содержащих параметр; сформировать навыки в решении квадратных уравнений с ограничением на корни, с использованием Теоремы Виета.

Требования к результатам изучения:

- умение решать простейшие квадратные уравнения, содержащие параметр;

- умение решать квадратные уравнения, содержащие параметр, при ограничении на корни;

- умение решать квадратные уравнения, содержащие параметр, с использованием Теоремы Виета.

Тема	Цель	Содержание темы	Количество часов
1. Простейшие квадратные уравнения, содержащие параметр.	вспомнить теоретический материал, связанный с квадратными уравнениями (определения; полное, неполное квадратные уравнения; наличие корней квадратного уравнения в зависимости от D). Научить решать простейшие квадратные уравнения с параметрами.	Понятие квадратного уравнения. Понятие неполного квадратного уравнения. Метод поиска решения квадратного уравнения, содержащего параметр. Контрольные значения параметра.	2
2. Метод решения квадратного уравнения, содержащего параметр, с ограничением на корни.	сформировать навыки решения квадратных уравнений, содержащих параметр, с ограничением на корни	Существование корней квадратного уравнения. Метод решения квадратного уравнения, содержащего параметр, имеющего целые корни.	2
		Метод решения квадратного уравнения, содержащего параметр, имеющего корни одного знака.	2
3. Метод решения квадратного уравнения, содержащего параметр, с помощью Теоремы Виета	сформировать навыки решения квадратных уравнений, содержащих параметр, используя теорему Виета	Теорема Виета. Решение уравнений с помощью Теоремы Виета.	2
4. Итоговый контроль		Письменная контрольная работа	1

СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ К ТЕМЕ 1.

В результате изучения темы учащиеся должны знать и уметь:

- знать определение квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения и квадратного уравнения с параметром;

- знать условия, которые необходимы для нахождения решений квадратного уравнения, в зависимости от параметра;

- уметь находить значения параметра, при котором квадратное уравнение меняет вид;

- уметь решать неполные квадратные уравнения с параметрами;

- уметь решать квадратные уравнения с параметрами, при различных значениях параметра.

1. (ву) Сколько корней имеет уравнение:

а)

б)

в)

2. (ву) Является ли квадратным уравнением с параметром:

а) в)

б) г)

3. (вп) Линейным или квадратным является уравнение относительно при а) б) в) г) ?

4. (т) При каких значениях параметра уравнение является неполным квадратным уравнением? Решить это уравнение при полученных значениях параметра .

5. (т) Решите неполные квадратные уравнения, содержащие параметр :

а) б)

6. (т) Для всякого решить уравнение:

а) б)

7. (т) Решить уравнение для каждого значения параметра:

а)

б)

в)

Домашнее задание:

1. При каких значениях параметра уравнение является: а) квадратным; б) неполным квадратным; в) линейным.

2. Решить неполное квадратное уравнение с параметром :

3. Для всякого решить уравнение:

а)

б)

СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ К ТЕМЕ 2.

В результате изучения темы учащиеся должны знать и уметь:

- знать условия существования корней квадратного уравнения;

- уметь решать квадратные уравнения с параметрами, имеющие целые корни, корни одного знака, корни разных знаков.

1. (вп) При каких значениях уравнение имеет корни? Имеет ли уравнение корни при при ?

2. (вп) При каких значениях уравнение имеет два корня? Из чисел выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

3. (т) Найдите наименьшее целое значение , при которых уравнение имеет 2 различных корня.

4. (т) При каких значения параметра уравнение имеет ровно один корень?

5. (тв) При каких значениях уравнение имеет более одного корня?

6. (т) При каких значениях уравнение не имеет корней?

7. При каких значениях уравнение имеет два корня?

8. (т) Найти все значения при которых корни уравнения положительные.

9. (т) При каких значениях корни уравнения отрицательные?

10. (т) Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет только целые корни.

11. (тв) При каких значениях параметра уравнение не имеет действительных корней?

Домашнее задание

1. При каком значении параметра уравнения имеет единственный корень.

2. При каких значениях параметра уравнение имеет более одного корня?

3. Доказать, что при любом уравнение имеет решение.

СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ К ТЕМЕ 3

В результате изучения темы учащиеся должны знать и уметь:

- знать теорему Виета и теорему обратную теореме Виета;

- уметь применять теорему Виета при решении квадратных уравнений с параметрами.

1. (ву) Не вычисляя корней уравнения найти:

а) б)

2. (вп) Запишите приведённое квадратное уравнение, имеющее корни и : а) б)

3. (вп) Найдите и если и

4. (вп) При каком значении параметра уравнение будет иметь равные корни.

5. (т) При каком значении один корень уравнения равен квадрату другого?

6. (т) При каких значениях , где и - корни уравнения ?

7. (тв) Разность корней квадратного уравнения равна 5. Найти .

8. (тв) Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет два корня, разность которых равна их произведению.

9. (т) Найти все значения параметра , при которых оба корня уравнения положительны.

10. (тв) При каком значении параметра корни уравнения разных знаков и их сумма отрицательна.

11. (т) Найдите все значения параметра , при которых корни и уравнения удовлетворяет условию .

12. (тв) При каком уравнения будет наибольшей?

Домашнее задание

1. При каком значении параметра уравнение будет иметь равные корни.

2. Найдите и если и

3. При каком значении параметра один из корней уравнения в девять раз больше другого?

4. При каком значении параметра корни уравнения отрицательны и их сумма меньше -5?

Контрольная работа

Вариант 1

1. Линейным или квадратным является уравнение относительно при: а) ; б) в) г) ?

2. При каких значениях уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите это уравнение при полученных значениях .

3. При каких значениях параметра уравнение имеет два корня? Приведите пример положительного значения , удовлетворяющего этому условию.

4. При каких значениях параметра имеет два положительных корня.

5. Найдите все значения параметра , при которых корни и уравнения удовлетворяет условию .

Вариант 2

1. Линейным или квадратным является уравнение относительно при: а) б) в) г) ?

2. При каких значениях уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите это уравнение при полученных значениях .

3. При каких значениях параметра уравнение имеет два корня? Приведите пример отрицательного значения , удовлетворяющего этому условию.

4. При каких значениях уравнение имеет два положительных корня?

5. При каких значениях где и - корни уравнения ?

Вариант 3

1. Линейным или квадратным является уравнение относительно при: а) б) в) г) ?

2. При каких значениях уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите это уравнение при полученных значениях .

3. При каких значениях параметра уравнение имеет два корня? Из чисел выберите которые удовлетворяют этому условию.

4. При каких значениях уравнение имеет два положительных корня?

5. Найдите сумму квадратов корней уравнения и установите, при каких значениях она будет наименьшей.

Вариант 4

1. Линейным или квадратным является уравнение относительно при: а) б) в) г) ?

2. При каких значениях уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите это уравнение при полученных значениях .

3. При каких значениях параметра уравнение имеет два корня? Из чисел выберите которые удовлетворяют этому условию.

4. При каких значениях уравнение имеет два положительных корня?

5. Найдите сумму квадратов корней уравнения и установите, при каких значениях эта сумма будет наибольшей.

9 класс

Цель курса: формирование умений в решении квадратного уравнения, содержащего параметр, используя свойства квадратного трёхчлена; формирование умений использовать графический метод решения квадратного уравнения, содержащего знак модуля, при наличии параметра.

Требования к результатам изучения:

- умение решать квадратные уравнения, содержащие параметр, корни которого располагаются относительно абсциссы точки;

- умение решать квадратные уравнения, содержащие параметр, корни которого располагаются относительно отрезка;

- умение решать квадратные уравнения, содержащие знак модуля, при наличии параметров.

Тема	Цель	Содержание темы	Количество часов
1. Расположение корней квадратного уравнения, содержащего параметр, относительно абсциссы точки.	сформировать графическое представление квадратного трехчлена; рассмотреть методы решения квадратного уравнения, содержащего параметр, корни которого расположены каким-либо образом относительно абсциссы точки.	Свойства квадратного трёхчлена. Метод решения квадратного уравнения, содержащего параметр, корни которого расположены левее от абсциссы точки.	2
		Метод решения квадратного уравнения, содержащего параметр, корни которого расположены правее от абсциссы точки.	1
		Метод решения квадратного уравнения, содержащего параметр, один корень которого меньше абсциссы точки, а другой больше.	1
2. Расположение корней квадратного уравнения, содержащего параметр относительно отрезка.	сформировать умения решать квадратные уравнения, содержащие параметр, корни которого расположены каким-либо образом относительно отрезка.	Метод решения квадратного уравнения, содержащего параметр, корни которого расположены левее (правее) от отрезка.	2
		Метод решения квадратного уравнения, содержащего параметр, больший (меньший) корень которого находится внутри отрезка.	1
		Метод решения квадратного уравнения, содержащего параметр, корни которого находится внутри отрезка.	1
		Метод решения квадратного уравнения, содержащего параметр, корни которого заключают отрезок.	1
3. Решение квадратного уравнения, содержащего знак модуля, при наличии параметров.	Сформировать умения решать квадратные уравнения, содержащие знак модуля. ...

Страница:

•  1 
•  2 
•  3 

дипломная работа "Содержание и формы изучения квадратных уравнений, содержащих параметр, на факультативных занятиях в основной школе" скачать

Подобные документы

• Методы решения уравнений, содержащих параметр

  Теоретические основы решения уравнений, содержащих параметр. Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа. Основные виды уравнений, содержащих параметр. Основные методы решения уравнений, содержащих параметр.
  
  дипломная работа [486,8 K], добавлен 08.08.2007
  

• Решение квадратных уравнений различными способами

  Изучение истории квадратных уравнений. Анализ общего правила решения квадратных уравнений, изложенного итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, с помощью номограммы, способом "переброски".
  
  презентация [840,6 K], добавлен 16.01.2011
  

• Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

  Теоретические аспекты обучения решению уравнений в 8 классе. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры. Методика изучения квадратных уравнений. Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений.
  
  курсовая работа [134,3 K], добавлен 01.07.2008
  

• Решение уравнений с параметрами

  Определение понятия уравнения с параметрами. Принцип решения данных уравнений при общих случаях. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Девять примеров решения уравнений.
  
  реферат [67,0 K], добавлен 09.02.2009
  

• Уравнения, содержащие параметр

  Знакомство с уравнениями и их параметрами. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным, определение множества допустимых значений неизвестного. Понятие модуля числа, решение линейных уравнений с модулем и квадратных уравнений с параметром.
  
  контрольная работа [122,1 K], добавлен 09.03.2011
  

• Методика формирования умений решать уравнения и неравенства с параметрами в курсе основной общеобразовательной школе

  Основные направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики, ее связь с числовой и функциональной системой. Особенности изучения, аналитический и графический методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметры.
  
  курсовая работа [235,2 K], добавлен 01.02.2015
  

• 10 и еще один способ решения квадратных уравнений

  Выведение формулы решения квадратного уравнения в истории математики. Сравнительный анализ технологий различных способов решения уравнений второй степени, примеры их применения. Краткая теория решения квадратных уравнений, составление задачника.
  
  реферат [7,5 M], добавлен 18.12.2012
  

• Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

  Сущность и содержание метода Крамера как способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Содержание основных правил Крамера, сферы и особенности их практического применения в математике.
  
  презентация [987,7 K], добавлен 22.11.2014
  

• 10 способов решения квадратных уравнений

  История развития формул корней квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Решение квадратных уравнений Диофантом. Квадратные уравнения в Индии, в Хорезмии и в Европе XIII - XVII вв. Теорема Виета, современная алгебраическая запись.
  
  контрольная работа [992,3 K], добавлен 27.11.2010
  

• Применение аппарата математического анализа при решении задач с параметрами

  Общая характеристика факультативных занятий по математике, основные формы и методы проведения. Составление календарно-тематического плана факультативного курса по теме: "Применение аппарата математического анализа при решении задач с параметрами".
  
  курсовая работа [662,1 K], добавлен 27.09.2013
  

• Методика решения уравнений типа свертки

  Обоснование итерационных методов решения уравнений в свертках, уравнений Винера-Хопфа, с парными ядрами, сингулярных интегральных, интегральных с одним и двумя ядрами. Рассмотрение алгоритмов решения. Анализ учебных программ по данной дисциплине.
  
  дипломная работа [2,2 M], добавлен 27.06.2014
  

• Метод квадратных корней для симметричной матрицы при решении систем линейных алгебраических уравнений

  Исследование метода квадратных корней для симметричной матрицы как одного из методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ различных параметров матрицы и их влияния на точность решения: мерность, обусловленность и разряженность.
  
  курсовая работа [59,8 K], добавлен 27.03.2011
  

• Плоские кривые

  Понятие и свойства плоских кривых, история их исследований. Способы образования и разновидности плоских кривых. Кривые, изучаемые в школьном курсе математики. Разработка плана факультативных занятий по математике по теме "Кривые" в профильной школе.
  
  дипломная работа [906,7 K], добавлен 24.02.2010
  

• Нестандартные методы решения задач по математике

  Изучение нестандартных методов решения задач по математике, имеющих широкое распространение. Анализ метода функциональной, тригонометрической подстановки, методов, основанных на применении численных неравенств. Решение симметрических систем уравнений.
  
  курсовая работа [638,6 K], добавлен 14.02.2010
  

• Численные методы для решения нелинейных уравнений

  Изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений. Составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке Фортран - IV. Приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.
  
  методичка [150,8 K], добавлен 27.11.2009
  

• Решение отдельных видов уравнений n-й степени (n>2)

  Решение биквадратных, симметричных и кубических уравнений, содержащих радикалы. Решение уравнений четвертой степени методом понижения степени и разложения на множители. Применение бинома Ньютона. Графический метод решения уравнений повышенной степени.
  
  презентация [754,7 K], добавлен 29.05.2010
  

• Решение систем уравнений с параметром

  Линейные уравнения с параметрами. Методы и способы решения систем с неизвестным параметром (подстановка, метод сложения уравнений и графический). Выявление алгоритма действий. Поиск значения параметров, при которых выражение определяет корень уравнения.
  
  контрольная работа [526,5 K], добавлен 17.02.2014
  

• Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

  Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.
  
  контрольная работа [209,4 K], добавлен 15.12.2011
  

• Методика изучения многочленов на факультативных занятиях в старших класса средней общеобразовательной школе

  Понятие многочленов и их свойства. Сущность метода неопределённых коэффициентов. Разложения многочлена на множители. Максимальное число корней многочлена над областью целостности. Методические рекомендации по изучению темы "Многочлены" в школьном курсе.
  
  дипломная работа [733,7 K], добавлен 20.07.2011
  

• Равносильность уравнений

  Понятие и характерные признаки равносильных уравнений, требования к множеству их решений. Теорема о равносильности уравнений и порядок ее доказательства, значение в современной математике. Порядок и основные этапы нахождения корней уравнения-следствия.
  
  презентация [15,1 K], добавлен 17.03.2011
  

Другие документы, подобные "Содержание и формы изучения квадратных уравнений, содержащих параметр, на факультативных занятиях в основной школе"

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам