Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема
Реконструкция картины возникновения теоретической математики. Отличие древнегреческой дедуктивной геометрии от системы вычислений на Востоке. Обобщение способов установления зависимости между получаемыми результатами и унификация правил решения задач.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.02.2018 |
| Размер файла | 83,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В. Ломоносова
На правах рукописи
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
доктора философских наук
Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема
Специальность 09.00.08 - философия науки и техники
Бычков Сергей Николаевич
Москва - 2008
Работа выполнена на кафедре философии естественных факультетов философского факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова
Официальные оппоненты:
Доктор физико-математических наук С.С. Демидов
Доктор философских наук, профессор В.И. Метлов
Доктор философских наук, профессор А.А. Печенкин
Ведущая организация:
Московский педагогический государственный университет
Защита состоится «18» июня 2008 г. в 1625 на заседании Диссертационного совета по философским наукам Д.501.001.37 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ломоносовский проспект, 27, корпус 4, зал заседаний Ученого совета (ауд. А 518).
С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале научной библиотеки Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (119991, Москва, Ленинские горы, 1-й корпус гуманитарных факультетов)
Автореферат разослан « » марта 2008 г.
Ученый секретарь
Диссертационного совета Е.В. Брызгалина
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования. Проблема генезиса теоретической математики неоднократно привлекала к себе внимание исследователей. Особый интерес вопроса о происхождении математики в том, что в данном случае речь, по существу, идет не только о специальной науке, а о возникновении науки вообще, поскольку теоретическая математика, задав эталон строгости всему последующему точному знанию, фактически оказалась первой общепризнанной теоретической системой и идеал научности многие столетия формировался по математическому образцу.
Имеется и еще одна, более важная причина пристального внимания к проблеме возникновения теоретической математики. Для современной математики не существует разделения на российскую математику, американскую математику, французскую математику и т.д. Когда применяют эти словосочетания, то имеют в виду лишь то, что общими проблемами единой математической науки занимаются граждане России, США, Франции и т.д.
Между тем в древние времена ситуация была существенно иной. Математические знания в цивилизациях Вавилона, Египта, Индии и Китая объединял в целом практический характер, и с этой точки зрения, они представляли определенное единство. Напротив, математические знания ученых Древней Греции отличались более систематизированным и абстрактным характером. До сих пор геометрию во всём мире учат в соответствии с принципами, разработанными еще в евклидовых «Началах», а математика стран Востока представляет сегодня исключительно историко-научный интерес.
Важно и то, что современная математика считает своей прародительницей именно греческую математику, которая по всем параметрам противоположна математике стран Востока. В связи с этим выяснение и объяснение генезиса античной математики способствует более глубокому пониманию природы процессов, происходящих в современном математическом знании, рассматриваемом как часть общечеловеческой культуры.
Степень разработанности проблемы. Зарождение теоретической математики в Древней Греции описывается в классических монографиях Б.Л. Ван дер Вардена и А. Сабо Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959; Szabу Б. Anfдnge der griechischen Mathematik. Budapest, 1969.. Однако первым, кто правильно поставил проблему возникновения теоретической математики с присущим ей дедуктивным способом рассуждений и предложил оригинальную идею её решения, был А.Н. Колмогоров, в творчестве которого счастливым образом сочетались занятия математикой и интерес к истории.
В известной энциклопедической статье «Математика», опубликованной в 1938 г., он связал первые попытки систематического построения математической теории с более развитой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником. И главное здесь не в конкретном содержании гипотезы, а в том, что Колмогоров первым осознал реконструкцию картины возникновения теоретической математики как проблему не внутриматематическую и не абстрактно-философскую, а как историко-научную проблему, которая именно так должна ставиться и решаться. При этом подлинная причина возникновения теоретической математики оказывается определенной внешними по отношению к математике условиями.
О нетривиальности подобного подхода говорит тот факт, что более чем двадцать лет спустя А.Д. Александров в одноименной статье в философской энциклопедии привлекает более традиционный - внутриматематический - способ объяснения, связывая появление теоретического способа вывода новых результатов и первых математических доказательств с накоплением математических знаний, с установлением зависимости между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач.
Тем не менее, последние полвека подход к проблеме генезиса теоретической математики, проложенный Колмогоровым, стал преобладающим. Важный вклад в решение рассматриваемой проблемы внесли работы Ж.-П. Вернана, И.Н. Лосевой, А.Г. Барабашева, А.И. Зайцева, М.К. Петрова, В.М. Розина, В.С. Степина Вернан Ж.-П. Происхождение древнегреческой мысли. М., 1988; Лосева И.Н. Теоретиче-ское знание: проблемы генезиса и различения форм. Ростов-на-Дону, 1989; Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания. М., 1983; Зайцев А.И. Культурный пе-реворот в Древней Греции VIII-V вв. до н.э. Л., 1985; Петров М.К. Искусство и наука. Пи-раты Эгейского моря и личность. М., 1995; Розин В.М. Специфика и формирование есте-ственных, технических и гуманитарных наук. Красноярск, 1989; Степин В.С. Теоретиче-ское знание. Структура, историческая эволюция. М, 2000..
Среди исследователей данной проблемы, большинство которых являются представителями гуманитарного знания, возобладал подход, в соответствии с которым причины возникновения теоретической математики в Древней Греции VI-IV вв. до н.э. следует искать в отличительных особенностях эллинской цивилизации. Ищутся те или иные факторы социокультурного характера, наличествовавшие в Элладе и отсутствовавшие в цивилизациях Востока, которые и объявляются причинами возникновения теоретической математики именно в Греции. В числе специфических предпосылок, обусловивших возможность зарождения теоретической науки в Древней Греции, в этих работах приводятся полисный тип общественного устройства, ненаследуемость профессий, особенный характер древнегреческого языка и другие факторы.
Значительное количество различающихся точек зрения свидетельствует не только об актуальности проблемы генезиса науки, но и об определенном кризисе, назревшем в процессе её решения. Дело в том, что все имеющиеся в распоряжении исторические сведения не связаны напрямую с поставленной проблемой и известны из вторых или третьих рук.
В подобной ситуации исследователь поневоле вынужден прибегать к косвенному методу воссоздания исторической картины - реконструкции. Поскольку каждая реконструкция основывается на более или менее осознанных субъективных установках методологического характера, предопределяющих выбор тех или иных факторов, то наличие нескольких конкурирующих концепций, в равной мере не противоречащих скудному запасу исторических сведений, представляется естественным, сопутствующим решению данной проблемы обстоятельством.
Вопрос, следовательно, в том, можно ли найти такой подход к реконструкции процесса возникновения теоретической математики, который исходил бы целиком из существа рассматриваемой проблемы и был бы в этом смысле объективным? Без ответа на него любой попытке реконструкции процесса возникновения древнегреческой дедуктивной геометрии так и суждено будет оставаться лишь более или менее правдоподобной гипотезой.
Предмет диссертационного исследования - воссоздание процесса возникновения теоретической математики в Древней Греции VI-IV вв. до н.э. в его взаимосвязи с развитием философского мышления в исследованиях Сократа, Платона, Аристотеля и стоиков.
Цель и задачи диссертационного исследования. Цель исследования - найти специфические факторы социокультурного характера, обусловившие возникновение теоретической математики с присущим ей аксиоматическим методом изложения материала в Греции в VI-IV вв. до н.э. и в то же время объясняющие отсутствие дедуктивной математики в древних цивилизациях Востока.
Автор ставит перед собой следующие задачи:
· Найти подход к реконструкции генезиса теоретической математики, который не опирался бы на a priori выставленные гипотезы.
· Выяснить взаимоотношение аксиоматического метода и практически ориентированных наук.
· Определить роль геометрии как теоретической науки о свойствах фигур и тел в формировании аксиоматического метода изложения изучаемого материала.
· Проанализировать процесс формирования идеала теоретического знания в древнегреческой математике.
· Выяснить роль софистики в формировании строгости при изложении математического знания.
· Определить степень влияния египетской геометрии на формирование греческой теоретической математики.
· Выяснить значение аксиоматического метода в современном преподавании математических дисциплин.
· Проанализировать степень эффективности аксиоматического метода в исследованиях по созданию искусственных интеллектуальных систем.
· Продемонстрировать роль древнегреческой дедуктивной математики в формировании ключевых понятий античной философии: «Ум-перводвига-тель», «смысл», «символ», «метафора».
Методологическая основа исследования вытекает из его первоочередной задачи - попытки найти такой способ отыскания внешних по отношению к математике социокультурных предпосылок её возникновения, который, в то же время, был бы внешним по отношению к истории как таковой. Такой способ можно взять только из анализа специфики дедуктивно-аксиоматического метода, выделяющего его среди всех других способов систематизации научного знания.
Подобный ход мысли также можно рассматривать как «наложение» некоторой априорной рамки на историко-научный материал, что автоматически сделало бы предпринимаемую реконструкцию чувствительной к критике. Чтобы предупредить возможный упрек сама указанная методология нахождения предпосылок «дедуцируется» из наличного состояния историко-научной проблемы.
Во главу исследования поставлен один-единственный факт - уникальность греческой дедуктивной математики, требующая поиска причин отсутствия аналогов в науке древневосточных цивилизаций. Анализ этого историко-научного факта и приводит последовательно сначала к обоснованию существования некоторых социокультурных предпосылок зарождения аксиоматического метода рассуждений в математике, а затем и к поиску подобных - названных формальными - предпосылок.
Данная идея возникает как бы способом «от противного»: мы не имеем никаких гарантий, что в результате она позволит получить «правильную» реконструкцию, поскольку исторических фактов слишком мало, но иных вариантов достижения успеха в решении проблемы попросту нет.
Побочным продуктом такого подхода оказывается отсутствие необходимости в привлечении извне каких-либо общих методологических представлений для анализа рассматриваемого историко-научного материала. Последнее немаловажно по той причине, что формирование европейской философии, начиная с Аристотеля, шло под активным воздействием зарождавшейся в то же время теоретической математики. Лишь отказавшись от использования современной методологии для решения рассматриваемой проблемы, удается сохранить критическую дистанцию и по отношению к доминирующим на сегодняшний день тенденциям развития теоретической математики, и по отношению к практикуемым в современной философии науки методологическим подходам в проведении конкретных историко-научных исследований.
Возможно, тема настоящей диссертационной работы - единственный пример, когда подобная «методологическая» позиция оказывается оправданной и эффективной. В проблеме генезиса теоретической математики методологическую функцию в состоянии взять на себя ключевые для рассматриваемой проблемы исторические факты, имеющие инвариантный по отношению ко всякой возможной методологии характер.
Положения, выносимые на защиту, и их новизна.
1. Показано, что аксиоматический метод принципиально не может зародиться в рамках практически ориентированной системы знаний. Следствием этого вывода является утверждение, что дедуктивный способ рассуждений может возникнуть только в теоретической системе знаний. Это и есть первая из формальных предпосылок возникновения аксиоматического метода.
Новизна полученного результата заключается в том, что впервые теоретический характер евклидовых «Начал» осознан не как сопутствующий историческому исследованию факт, а как формальная предпосылка возникновения дедуктивного способа доказательств на основе аксиом и постулатов.
2. Аксиоматический способ рассуждений не мог появиться в качестве побочного продукта деятельности с целью, внешней по отношению к полученному результату (например, исходя из потребностей максимально компактного изложения материала в учебных целях).
Преобразование науки в дедуктивную форму могло произойти только в результате последовательных целенаправленных действий по выявлению и формулированию тех простейших определений и утверждений, к которым сводятся в конечном счете все её теоремы и предложения. Краткость изложения и доступность понимания при этом не играют первенствующей роли.
Новизна полученного результата заключается в том, что впервые на абстрактно-логическом уровне показана роль релятивистского мышления софистов как провоцирующей причины появления аксиоматического метода в качестве защитной меры.
3. Утверждается, что аксиоматический метод мог возникнуть только в теоретической геометрии, где имеется раздел о свойствах углов. Где бы и когда бы ни возник дедуктивный метод рассуждений, он, как и на земле Эллады, мог появиться только в форме постулата о параллельных прямых.
Именно этот постулат, с одной стороны, обосновывает в рамках планиметрии возможность построения прямоугольника на заданном основании, а с другой стороны, вместе с ним в геометрии появляются бесконечные углы, «корректность» представления о которых может быть обеспечена лишь заменой реальных предметных действий построениями, осуществляемыми в человеческом воображении.
Новизна полученного результата заключается в том, что благодаря ему выявлена действительно фундаментальная роль геометрии в возникновении и развитии аксиоматического метода, место и значение которой с объективной точки зрения нисколько не уменьшилось даже после объявления Бурбаки данного метода основой для построения всего математического знания.
4. Показано, что превращение прикладных геометрических знаний египтян в теоретическую науку произошло не в сознании греческих математиков, а в более широком целом - жизнедеятельности всей эллинской цивилизации.
Если для египтян выполняемые на плане пирамиды построения были подчинены процессу её сооружения, то для греков, не возводивших подобных конструкций, свойства данных построений поневоле оказывались «знанием ради знания». Созерцательное рассмотрение достижений египетского землемерного искусства - единственно возможный способ усвоения мудрости древнейшего из народов молодой эллинской цивилизацией.
Новизна полученного результата заключается в демонстрации ограниченности классической теории абстракции Аристотеля с точки зрения социокультурного подхода. Абстракции геометрических фигур возникают не как следствие определенной онтологии - способности души воспринимать форму тела без его материи.
В действительности процесс формирования геометрических абстракций в эллинской геометрии имел гораздо более сложную природу. Сначала геометрия должна была превратиться из измерительного искусства в теоретическую науку, изучающую свойства фигур не ради какого-либо практического дела, а исключительно ради них самих. И лишь затем уже на этой основе сознательные усилия ученых, вызванные потребностями общественной жизни, могли привести к возникновению соответствующих представлений о невещественных геометрических объектах.
5. Превращение эллинской теоретической геометрии в дедуктивную науку было неизбежным в конкретных исторических условиях кризиса античного полиса.
Вместе с тем, само наличие геометрического искусства как «знания ради знания» в Древней Греции не связано с особенностями её политического устройства и объясняется сравнительно низким техническим уровнем эллинской цивилизации, несопоставимым с техническим уровнем Египта времен Древнего Царства, достигнутым за две с лишним тысячи лет до времени возникновения и расцвета греческой науки.
Новизна полученного результата заключается в пересмотре имеющегося взгляда на современную математику как на единственно возможную форму математического знания, отвечающего его «природе» и не зависящего от конкретно-исторических условий его возникновения. В действительности, именно недостаток «знания» математики о себе самой и условиях своего возникновения делает её особенно уязвимой для критики со стороны других наук (например, философии науки или физики).
6. Продемонстрирована неэффективность аксиоматического метода в качестве инструмента решения важнейшей педагогической задачи - овладения искусством самостоятельно мыслить в процессе обучения математике. Эта задача была сознательно поставлена Ж. Дьедонне при пересмотре содержания курса геометрии во Франции в 60-х гг. прошлого столетия и переводе его с языка евклидовой традиции на язык линейной алгебры.
Новизна полученного результата заключается в демонстрации преимуществ классического курса геометрии с точки зрения получения среднего образования перед «модернистским» его изложением на основе идей линейной алгебры.
Особая ценность классического курса с точки зрения развития мышления учащихся заключается в том, что геометрия благодаря наглядности как никакой другой школьный предмет способствует развитию умения находить опосредствующие звенья между областью наличного знания и тем, что предстоит найти.
7. Показана невозможность создания искусственного интеллекта до тех пор, пока не будут найдены технические возможности моделирования способности естественного интеллекта производить операцию целенаправленного отбора имеющихся сведений в соответствии с предъявляемой для решения задачей.
Новизна полученного результата заключается в отыскании одной из многих способностей человеческого мышления, отсутствие подходов к технической реализации которой сводит на нет в настоящее время все попытки создания эффективно работающих интеллектуальных систем. Эта способность играет важнейшую роль в процессе создания нового знания, но не развивается при обучении математике на основе идей аксиоматического метода. Слабости аксиоматического метода в качестве способа получения нового знания объясняют его неэффективность и как метода решения задач «искусственного интеллекта».
8. Показана роль дедуктивной математики в формировании в античной философии представления об идеальных объектах и таких её понятий, как «смысл», «символ», «метафора».
Новизна полученного результата заключается в демонстрации социокультурной детерминированности наряду с дедуктивной математикой также и ряда важных понятий западной философии, представляющихся, на первый взгляд, неотъемлемыми инструментами философского мышления
Научно-теоретическая и практическая значимость исследования. Выводы диссертации определяют новую интерпретацию проблемы генезиса математики, что может стать отправным пунктом для последующих историко-научных исследований.
Результаты работы могут быть использованы также в исследованиях по философии науки, философской компаративистике, а также в преподавании математики и написании учебных пособий по математике для студентов технических и гуманитарных специальностей. Материалы диссертации могут стать теоретической основой для разработки специальных курсов по философии математики.
Апробация работы. Основные положения и выводы диссертации нашли отражение в 39 научных публикациях автора. Результаты работы неоднократно докладывались на различных научных конференциях и семинарах, использованы в чтении учебных курсов и написании учебного пособия по математике для студентов гуманитарных специальностей.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 307 страницах машинописного текста; состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы (на с. 276-305), включающего 394 источника (из них 308 - на русском и 86 - на иностранных языках) и приложения.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Введение обосновывает актуальность темы и показывает степень и характер её разработанности, содержат постановку задачи исследования как историко-научной проблемы. В этой части работы сформулированы элементы новизны и положения, выносимые на защиту, а также охарактеризована значимость проведенного исследования.
В первой главе «Формальные предпосылки возникновения дедуктивной науки» разрабатывается подход к построению реконструкции генезиса теоретической математики, исключающий необходимость обращения к тем или иным априорным гипотезам исторического характера, на которые обычно опираются исследования данной проблемы.
В первом параграфе «Исторические и формальные предпосылки возникновения древнегреческой геометрии» предметом анализа становится, прежде всего, сама целесообразность привлечения понятия предпосылки для построения исторической реконструкции процесса превращения математики в науку с присущим ей дедуктивным выведением теорем из определений и аксиом.
Доминирование на протяжении тысячелетий в математике аксиоматического метода приучило к мысли о естественности подобного способа организации знания, что и было, по существу, зафиксировано А.Д. Александ-ровым: «…наряду с накоплением математических знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач складывались теоретические способы вывода новых результатов и первые математические доказательства.
В конечном итоге это привело к качественному скачку: сложилась чистая математика с ее дедуктивным методом» Александров А.Д. Математика // Философская энциклопедия. М., 1964. Т. 3. С. 331.. Ясно, что объяснение возникновения дедуктивной математики посредством применения закона перехода количественных изменений в качественные не требует отыскания каких-либо особых предпосылок исторического процесса преобразования математического знания на принципах логического вывода: всё происходит совершенно автоматически под напором разрастающегося объема сведений, вследствие чего конкретно-исторические особенности развития математики в той или иной цивилизации не должны играть никакой роли.
Вместе с тем, объем математических сведений, накопленных в средние века в Индии и Китае, был сопоставим с познаниями древних греков IV в. до н. э. - времени возникновения аксиоматического способа построения знания. Следовательно, в своем исходном виде гипотеза Александрова не в состоянии дать удовлетворительное объяснение сугубо греческому происхождению дедуктивной математики.
В параграфе показывается, что попытки модифицировать данную гипотезу неизбежно приводят к поиску причин, лежащих за пределами математики как таковой, а это и означает необходимость отыскания специфических «греческих» предпосылок возникновения дедуктивного способа рассуждений.
Социокультурные концепции генезиса теоретической математики, наиболее ранняя из которых была предложена А.Н. Колмогоровым, в конечном счете, сводятся к выделению среди особенностей античной цивилизации одного или нескольких признаков, имеющих отношение к рассматриваемой проблеме и характерных для одной только Эллады. Таким способом можно надеяться одновременно объяснить как зарождение дедуктивной математики именно в Греции, так и отсутствие подобного способа систематизации математического знания в других древних цивилизациях.
Этому способу присущ важный с методологической точки зрения недостаток: при абстрагировании из конкретной исторической ситуации Греции VIIV вв. до н. э. одного или нескольких признаков, внешних по отношению к математике, но являющихся существенными по замыслу исследования для её преобразования в теоретическую дедуктивную науку, мы лишены в самый момент абстрагирования какого-либо объективного критерия для предпочтения одних признаков по отношению к другим возможным их выборам.
Данное обстоятельство и приводит к появлению множества более или менее правдоподобных реконструкций, ни одной из которых нельзя отдать решительного предпочтения перед остальными.
Выход из данной ситуации можно искать только на одном пути, стремясь произвести отбор тех или иных предпосылок из наличной картины исторической действительности Греции VIIV вв. до н. э. на основе строго объективного критерия, внешнего по отношению к истории как таковой. Подобный критерий можно «извлечь» только из анализа «идеи» дедуктивно-аксиоматического метода. Иного «источника» просто не существует.
В качестве критерия для различения дедуктивно организованной системы знания от недедуктивной науки можно взять образную характеристику специфики аксиоматического метода, принадлежащую С.А. Яновской: «Математик обязан точно указать все свойства определяемых им объектов и не имеет права пользоваться никакими свойствами их, не содержащимися в определении и не вытекающими из него.
В последнем случае он должен уметь доказать (используя опять-таки только то, что ему дано, и применяя только заранее перечисленные, как позволенные ему, операции), что свойство, которым он воспользовался, действительно следует из свойств, непосредственно содержащихся в определении.
В этом смысле он бывает иногда похож на игрока в кегли, который мог бы спокойно подойти и сбросить любое (из возможных) число кегель руками, но который имеет право сбивать их только издали и только катящимися по земле шарами, т.е. строго соблюдая все правила игры» Яновская С.А. Содержательная истинность и формально логическая доказуемость в мате-матике // Практика и познание. М., 1973. С. 247..
Сущность приведенной характеристики аксиоматического метода заключается в том, что в соответствии с ней всякая дедуктивная наука должна «добровольно» ограничивать свою связь с внешним опытом только формулировкой исходных положений и не требовать впоследствии дополнительного подтверждения собственных предложений сравнением с действительностью. Исходя из этого и можно попытаться отыскать интересующие нас предпосылки возникновения дедуктивной математики.
Так как целесообразная деятельность по воспроизведению и приращению содержания уже сформировавшейся дедуктивной науки не зависит от времени и места её протекания, то и найденные на этом пути предпосылки будут лишены «исторической плоти» и потому будут носить сугубо формальный характер.
По этой причине их естественно назвать формальными предпосылками возникновения дедуктивной математики. Вместе с тем их нельзя противопоставлять историческим предпосылкам в собственном смысле этого слова. Каждая формальная предпосылка является потенциально также и исторической предпосылкой, но оказаться таковой она может только после дополнения теоретического анализа конкретным историческим исследованием.
Формальные предпосылки призваны играть роль того самого критерия, на основе которого выбор исторических предпосылок может быть осуществлен объективным образом. Самой простой и абстрактной среди них должна быть та, которая отражает связь (или отсутствие таковой) между дедуктивным способом построения теории, в максимальной степени изолирующим её утверждения от воздействия чувственно воспринимаемой реальности, и практической деятельностью, которая в эту реальность погружена.
Второй параграф «Дедуктивный метод и практика» посвящен анализу возможности зарождения идеи аксиоматического способа построения знания в рамках прикладной науки. Деятельность ученого, занимающегося исследованиями практической направленности, подчинена схеме: дело понятие дело.
И исходный, и конечный пункт работы исследователя-прикладника обращены к реальности, что исключает, казалось бы, саму возможность возникновения свойственной дедуктивным наукам противоположной установки на ограничение контактов с действительностью только стадией формулирования исходных основоположений теории. Тем не менее, и здесь могут встретиться ситуации, когда будет востребована идеология аксиоматического метода.
Во-первых, она может оказаться полезной на заключительной стадии проверки прикладных разработок, если логические рассуждения окажутся в состоянии заменить проведение реального эксперимента, который может быть затруднен из-за большой стоимости или каких-либо иных причин. Во-вторых, не исключено, что она могла бы помочь в процессе проектирования новых разработок.
В параграфе показывается, что, несмотря на возможную полезность логической дедукции в задачах прикладного содержания, зародиться идея вывода сложных утверждений из принятых без доказательства основоположений в рамках практической деятельности всё же никак не может. Косвенно на это указывает отсутствие на сегодняшний день успешных примеров применения аксиоматического метода как в первом, так и во втором перечисленных случаях.
Действительной причиной отсутствия успехов в первом случае при этом оказывается принципиальная невозможность учета общей физической теорией всех особенностей поведения сконструированной технической новинки в сложных внешних условиях.
Качественная новизна воплощенных в объекте технических идей вынуждает осуществлять проверку не в мысленном или компьютерном, а в реальном эксперименте. А это и означает, что на стадии проверки правильности разработанных практических предписаний применение аксиоматического метода не сулит никаких реальных выгод.
Причиной неудач попыток применения аксиоматического метода в задачах проектирования оказывается максимально «недедуктивный» характер операции синтеза: если построение проекта содержит 10 отдельных шагов, то на каждом шаге, т.е. 10 раз, приходится привлекать информацию, не заложенную с самого начала в исходные основоположения дедуктивной теории, построенной специально для осуществления синтеза плана.
Тем самым показано, что подлинный источник становления дедуктивного метода может быть найден только в теоретической сфере деятельности, ценность и значение которой не зависят от наличия сиюминутной выгоды, определяясь факторами иного - не материального - характера. Наличие теоретической сферы «знания ради знания» становится, таким образом, первой формальной предпосылкой возникновения дедуктивного метода.
В третьем параграфе «Стихийность и сознательность в возникновении аксиоматического метода» рассматривается вопрос о возможности зарождения идеи аксиоматического способа построения знания в качестве побочного продукта действий, имеющих внешний характер по отношению к данному результату (именно так возникает дедуктивный метод согласно концепции А.Д. Александрова).
В первой части параграфа показано, что исключение повторов в изложении учебного материала с целью достижения максимальной его компактности недостаточно для автоматического преобразования какой-либо области знания в дедуктивную науку.
Во второй части параграфа показано, что в действительности основная функция дедуктивного метода не прагматическая (как выглядит дело в «учебной» концепции его возникновения), а идеологическая, когда на первый план выходит задача сужения возможностей для оспаривания предъявляемых выводов со стороны оппонентов теории.
Наиболее эффективным средством защиты конкретного утверждения теории является предварительная формулировка всех используемых в нем без доказательства фактов до формулировки результата и реального осуществления рассуждения.
В случае, когда принятые без доказательства факты преподносятся оппоненту после формулировки неприемлемого для него утверждения, он просто переносит свою отрицательную установку с конечного вывода на одну (или несколько) из посылок.
Если же все указанные факты были сообщены ему до формулировки результата (в таком случае они просто формируют предметную область будущего рассуждения), то тогда оппонент должен определить свое к ним отношение исходя из них самих, а не из внешней по отношению к ним установки, связанной с критической оценкой рассматриваемого утверждения.
Поскольку их отрицание равносильно отрицанию самой предметной области теории, то до спора по существу одного из её конкретных результатов дело попросту не дойдет. Коль скоро отрицание всей теории лишено смысла, то тогда оппонент будет вынужден согласиться и с неприятным для него выводом, избежать которого при иной линии поведения автора результата он всеми силами постарался бы.
Никакой лучшей стратегии в деле защиты результатов «чистой» теории от предполагаемых возражений не существует. Дедуктивный метод построения науки предстает в этой связи как максимально эффективный способ защиты как отдельных, так и всех результатов теории от возможного их опровержения.
Сомнение обычно вызывают лишь наиболее сложные вопросы теории. В каждом из этих случаев речь идет о возможных спорах между специалистами, которым нет необходимости ставить под сомнение сами основы своей теории, а, следовательно, и требовать максимально возможной строгости с первых шагов её построения.
Последнее необходимо лишь в том случае, когда подозрение вызывают все результаты теории независимо от специфики их содержания. А это происходит тогда, когда критика ведется не изнутри, а с внешней по отношению к теории позиции. Именно при наличии такого общего критического настроя и возникает потребность в преобразовании науки в форму дедуктивной теории.
Охарактеризовав аксиоматический способ построения теории как максимально эффективное средство защиты её результатов от внешней критики, можно констатировать, что преобразование науки в дедуктивную форму могло произойти только в результате последовательных целенаправленных действий по выявлению и формулированию тех простейших определений и утверждений, к которым сводятся в конечном счете все её теоремы и предложения.
Устранение повторов в изложении теории на основе выявленных постулатов и аксиом, что вполне может диктоваться и имеющими внешний характер по отношению к сущности логической дедукции учебными целями, и должно в итоге привести к расположению материала в соответствии с канонами аксиоматического метода. Отказ от использования содержательных представлений об объектах в процессе построения теории, формализм его отдельных шагов гарантируют непреложность выводов для самого придирчивого критика, если только он имел неосторожность согласиться с исходными основоположениями.
Тем самым мы получаем вторую формальную предпосылку возникновения дедуктивного метода: в обществе должна возникнуть релятивистская установка, защищающая тезис: у каждого истина своя. Доказательный вывод на основе предварительно сформулированных начальных положений становится в таком случае неизбежной защитной реакцией науки от разрушительного для неё софистического релятивизма.
Четвертый параграф «Роль геометрии в становлении дедуктивного метода» посвящен проблеме: имеется ли для дедуктивного метода какая-либо «предпочтительная» предметная область или же он может рассматриваться как универсальный способ построения математического знания? Для Д. Гильберта и Н. Бурбаки, безусловно, правильным является второй вариант ответа.
Однако С.А. Яновская в 1956 г. поставила и дала ответ на вопрос о причинах, по которым арифметика более чем на два тысячелетия позже геометрии приняла аксиоматическую форму Яновская С.А. Из истории аксиоматики // Историко-математические исследования. М., 1958. Вып. XI. С. 63-96.. Тем самым геометрия оказывается более приемлемой кандидатурой на роль прародительницы аксиоматического метода, нежели арифметика, что, очевидно, противоречит универсалистским притязаниям дедуктивного метода построения научного знания. дедуктивный теоретический математика геометрия
В первой части параграфа показано, что аксиоматический метод не может зародиться не только в естественнонаучных теориях, где существует «внешний» способ проверки утверждения теории, не сводящийся к удостоверению отсутствия ошибок в его выводе, но и в арифметике. Каждое предложение, выводимое из аксиом формализованной арифметики, обладает и «содержательным» доказательством, не уступающим по степени убедительности формальной дедукции.
Аксиоматический вывод всегда может быть преобразован в содержательное рассуждение с помощью интерпретации всех шагов вывода на «квазипредметной» модели. Последнее возможно по той причине, что сами законы счета, служащие прообразом аксиом формальной арифметики, не только обладают подобной интерпретацией, но и исторически могли быть осознаны только благодаря рефлексии над фактически осуществляемым пересчетом предметов путем перевода этой деятельности в план мысленного созерцания и представления.
Так как вопрос об истинности аксиом не обсуждается в рамках дедуктивной теории, то справедливость любого формально выведенного арифметического утверждения обусловлена принятием исходных основоположений, в то время как после «квазипредметной» интерпретации этот момент условности полностью исчезает.
А это означает, что переход на точку зрения аксиоматики не дает никакого выигрыша в отношении степени убедительности обоснования арифметических утверждений. Наличие независимой внешней проверки справедливости предложений теоретической арифметики лишает её «внутреннего стимула» к преобразованию в дедуктивную форму. Вследствие этого арифметика также ни при каких обстоятельствах не могла стать первой дедуктивной дисциплиной.
В геометрии, напротив, наряду с утверждениями, не требующими обращения к логической дедукции (например, доказываемого путем перегибания равенства углов при основании равнобедренного треугольника), значительное количество предложений не может быть доказано «предметным» образом. Поэтому геометрия вправе претендовать на роль «прародительницы» аксиоматического метода. Но это само по себе не означает, что никакая другая наука на подобную роль претендовать не может.
Для того чтобы в какой-то теоретической дисциплине могла зародиться идея логической дедукции необходимо, чтобы утверждения о свойствах её объектов не допускали иного способа проверки, кроме повторения процесса мысленного их конструирования в соответствии с заранее принятыми требованиями.
Такой дисциплиной могла бы, в принципе, стать и логика, предметная область которой вообще не ограничена никакими рамками. Во второй части параграфа, однако, показано, что осмысление практики дискуссий не может привести к возникновению идеи аксиоматического метода.
Существо дискуссии требует выхода за рамки формализованных представлений о предмете спора, поскольку с точки зрения дедуктивного метода оппонентам пришлось бы иметь дело одновременно с двумя противоречащими друг другу системами аксиом. Последний удобен тогда, когда излагается и, соответственно, оспаривается только одна точка зрения.
Если содержательная сторона дискуссии служит препятствием для её эффективной аксиоматизации, то формальный её аспект вполне поддается изложению в духе логической дедукции.
О чем бы ни шла полемика и кто бы в ней ни участвовал, в её «структуре» содержатся такие элементы, отказ от которых равносилен разрушению всей «конструкции спора». Если один из оппонентов согласился с тем, что из утверждения A следует утверждение B, а затем признал справедливость A, то он будет вынужден принять и утверждение B, как бы это не было ему невыгодно или неприятно.
Поставить под сомнение заключительный вывод означало бы лишить в дальнейшем также и себя самого какого-либо способа принуждения противника. Аналогичным образом, нельзя не согласиться с одним из двух взаимоисключающих высказываний при условии, что оба они не могут быть одновременно ложными, а также с другими подобными «метаутверждениями», обязательность которых вытекает не из специфики «материи» спора, а из одной лишь его формы, «предполагающей» равные права участников дискуссии.
По мере накопления подобных универсальных правил и под напором критики вездесущих оппонентов рано или поздно придется поставить вопрос и об их обосновании. И тогда придется выделить среди этих правил простейшие и показать, что все остальные к ним сводятся. Но это и было бы дедуктивным построением «теории ведения спора», или, в современной терминологии, логики высказываний. При таком сценарии первой дедуктивной наукой оказалась бы не геометрия, а логика. Однако на пути его реализации также возникают трудности.
Формальные правила, регулирующие поведение спорящих сторон, не зависят не только от содержания дискутируемых вопросов, но и от способа вывода заключений.
Совершенно не важно, имеет ли он форму дедуктивного вывода из заранее оговоренных посылок, апеллирует ли к реальности или является всего лишь более или менее правдоподобным, рассчитанным на неопытность оппонента рассуждением, во всех этих случаях в узловые моменты спора нейтральный судья-наблюдатель в состоянии вынести вердикт по поводу отдельных утверждений, ссылаясь на один только факт согласия каждого из участников спора с некоторыми из предшествующих предложений.
Апелляция к формальной схеме умозаключения может быть целесообразной лишь тогда, когда доказательство посылок вывода произошло достаточно давно и оппонент мог уже и позабыть о нём, однако эта схема никогда не приводится в абстрактно-логическом виде, но всегда только в её содержательном «обрамлении». Поэтому те правила вывода, которые создатель «теории спора» мог бы извлечь из реальной практики дискуссий, расположив затем их в соответствии с канонами аксиоматического метода, всё равно использовались бы на деле в их неформальном, «дотеоретическом» виде, и особенности дедуктивного построения логики высказываний никак не отразились бы на реальном предмете теории.
Для того чтобы подобная теория «работала», а только это и могло бы оправдать её существование (и последующую её аксиоматизацию), она должна способствовать отысканию таких новых способов умозаключений, которые в практике дискуссий прежде не встречались и появились в ней затем именно благодаря дедуктивной форме данной теории. Но это в действительности невозможно.
В дискуссии формальный момент всегда подчинен её предметному содержанию. Если открытая дедуктивно-теоретически новая схема вывода «внедряется» в материальную ткань полемики, становясь ведущей стороной в одной из критических точек дискуссии, то это означает, что не зависящая ни от какого содержания схема в состоянии сформировать из «материи спора» адекватное себе содержательное умозаключение, способствующее достижению целей одного из участников диспута.
Само собой понятно, что детерминируемая своим собственным содержанием структура дискуссионного процесса не допустит «вторжение» в неё со стороны «вещи», никак с этим содержанием не связанной. По этой причине если исторически дедуктивное изложение логики высказываний всё же возникает (как это имело место у стоиков), то оно должно быть привнесено в неё извне. Отсюда, в свою очередь, следует, что должна существовать особая предметная область, специфическое содержание которой, как и в геометрии, способно породить из себя идеи аксиоматики.
Специфическая роль геометрии в историческом становлении идей аксиоматического метода объясняется парадоксальным сочетанием двух противоположных обстоятельств: хотя свойства геометрических объектов в силу их особой наглядности могут быть открыты и разъяснены независимо от какой бы то ни было аксиоматики и дедукции, доказательство их истинности в большинстве случаев невозможно без опоры на предварительно сформулированные аксиомы и постулаты.
Равенство внешнего угла треугольника сумме внутренних не смежных с ним углов не предполагает для объяснения его смысла каких-либо особых познаний в геометрии, однако для его доказательства пришлось бы углубиться в основы аксиоматического метода.
В арифметике и догадка, и проверка истинности сделанного утверждения вполне могут обходиться без явного формулирования дедуктивных основоположений, касающихся свойств натуральных чисел, что, собственно, и делает в ней аксиоматический метод «излишней роскошью». В логике высказываний сложные правила умозаключений невозможно, как и в геометрии, обосновать вне рамок аксиоматического метода, но уже сам способ их получения, коль скоро они не извлечены из реальной практики рассуждений, фактически является также и их доказательством.
Если помимо геометрии никакая другая наука не обладает указанными ранее свойствами, это и означало бы, что ставшее умозрительной дисциплиной искусство землемерия является единственной областью знания, в лоне которой способен зародиться аксиоматический метод. Двойственный характер объектов «первой дедуктивной науки», становящихся «идеальными» при окончательном изложении её результатов, но в процессе их обоснования не противополагаемых чувственной реальности и потому целиком принадлежащих ей, накладывает достаточно жесткие условия, чтобы отождествить их с геометрическими фигурами. Обоснованию этого утверждения и посвящена заключительная часть параграфа.
Пятый параграф «Дедуктивный метод и математика восточных цивилизаций» занимает промежуточное положение в диссертации. Рассмотрение формальных предпосылок в первой главе представляет собой вспомогательное средство для реконструкции исторического процесса, при этом условия места и времени в их конкретной определенности не играют никакой роли (хотя то обстоятельство, что человеческая деятельность не может протекать вне пространства и времени, весьма существенно для полученных выводов). Это и дает основание для «применимости» их к любой цивилизации, будь то Индия, Китай или Вавилон.
Вместе с тем, даже самое поверхностное обращение к истории этих цивилизаций указывает на недостаточность найденных предпосылок для выявления причин уникального характера эллинской математики. В Вавилоне и других восточных государствах с древнейших времен были известны многие свойства фигур, включаемые ныне в курс аксиоматически построенной геометрии.
А с появлением во второй половине I тыс. до н. э. в Индии и Китае противостоящих друг другу философских школ неминуемо должна была возникнуть потребность в защите их базисных положений от нападок оппонентов. Тем не менее, несмотря на наличие необходимых формальных предпосылок, дедуктивный способ рассуждений так и не сформировался ни в индийской, ни в китайской науке. А это означает, что для объяснения уникального характера греческой дедуктивной геометрии желательно более конкретно определить её специфику по отношению к геометрическим знаниям стран Востока.
Значение математики для философии вообще и философии науки в частности связывают, в первую очередь, с фактом открытия неевклидовой геометрии. Создание на базе отрицания постулата о параллельных теории столь же непротиворечивой, сколь и «Начала» Евклида, выявило «недоказуемость» возможности построения на заданном отрезке самой простой и главной фигуры в землемерном искусстве - прямоугольника. Существование прямоугольника на заданном основании, в свою очередь, логически эквивалентно утверждению о равенстве суммы углов треугольника двум прямым. А это свойство стало предметом изучения только у греческих ученых.
Хотя формулировки обоих утверждений относятся к ограниченным фигурам, строгое их доказательство предполагает «выход в бесконечность»: и то, и другое требуют использования понятия параллельности, а там, где в чертеже возникают параллельные линии, неотъемлемой его частью становятся и заключающиеся между ними части плоскости. Поскольку неограниченная часть плоскости может рассматриваться как корректно определенное целое лишь в предположении однозначности продолжения прямой (угол как неограниченное подмножество плоскости должен однозначно определяться любой своей конечной частью), важно знать, можно ли её гарантировать в рамках предметно осуществляемых построений. В параграфе показано, что при помощи реальных циркуля и линейки прямую в действительности однозначно продолжить нельзя. Тем самым понятие бесконечного угла оказывается принадлежащим уже не «геометрии чертежей», а науке, изучающей свойства идеальных, невещественных объектов.
Ключевую роль у Евклида в доказательстве однозначности продолжения прямой играет предложение I, 14, обратное к предложению I, 13, утверждающему постоянство суммы двух углов: заданного угла и смежного с ним. Уже сама формулировка этих двух предложений предполагает IV постулат о равенстве всех прямых углов. Именно этот постулат и является «ответственным» за превращение геометрии из науки о реальных чертежах в теорию, исследующую фигуры и тела, существующие исключительно в человеческом воображении.
Если бы в древнегреческой математике не возник раздел, изучающий свойства углов в треугольнике, то не было бы необходимости в переходе от «предметной» геометрии Фалеса к идеальной евклидовой геометрии. В математике восточных цивилизаций геометрия углов не рассматривалась, вследствие чего все её утверждения могли быть обоснованы наглядно-предметным образом при неявно и бессознательно принимаемой «аксиоме существования прямоугольника» предположении, впервые поставленном под сомнение Ламбертом лишь в XVIII в.
Утверждение об обязательности для преобразования геометрии в дедуктивную науку наличия в ней раздела, изучающего свойства углов, может быть обосновано и чисто логическими рассуждениями. Поэтому её правомерно рассматривать в качестве формальной предпосылки возникновения аксиоматического метода. Обращение же к истории математики восточных цивилизации было использовано в работе исключительно с целью упрощения рассуждений.
...Подобные документы
История становления математики как науки. Период элементарной математики. Период создания математики переменных величин. Создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрельного исчисления. Развитие математики в России в XVIII-XIX столетиях.
реферат [38,2 K], добавлен 09.10.2008Развитие математики переменных величин: создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления. Значение появления книги Декарта "Геометрия" в создании математики переменных величин. Становление математики в ее современном виде.
реферат [25,9 K], добавлен 30.04.2011Изучение возникновения математики и использования математических методов Древнем Китае. Особенности задач китайцев по численному решению уравнений и геометрических задач, приводящих к уравнениям третьей степени. Выдающиеся математики Древнего Китая.
реферат [27,6 K], добавлен 11.09.2010Возникновение и основные этапы развития математики как науки о структурах, порядке и отношениях на основе операций подсчета, измерения и описания форм реальных объектов. Развитие знаний арифметики и геометрии в Древнем Востоке, Вавилоне и Древней Греции.
презентация [1,8 M], добавлен 17.12.2010Обобщения - метод научного познания в обучении математике. Методические особенности их использования в изучении теоретического материала. Обобщения при решении задач на уроках математики. Обобщение как эвристический прием решения нестандартных задач.
курсовая работа [3,7 M], добавлен 12.01.2011Значение математики в нашей жизни. История возникновения счета. Развитие методов вычислительной математики в настоящее время. Использование математики в других науках, роль математического моделирования. Состояние математического образования в России.
статья [16,2 K], добавлен 05.01.2010Задачі обчислювальної математики. Алгоритми розв'язування багатьох стандартних задач обчислювальної математики. Обчислення інтерполяційного полінома Лагранжа для заданої функції. Виконання обчислення першої похідної на основі другої формули Ньютона.
контрольная работа [67,1 K], добавлен 27.03.2012Греческая математика. Средние века и Возрождение. Начало современной математики. Современная математика. В основе математики лежит не логика, а здравая интуиция. Проблемы оснований математики являются философскими.
реферат [32,6 K], добавлен 06.09.2006Анализ основных понятий, утверждений, связанных с показательной и логарифмической функциями в курсе математики. Изучение методик решения типовых задач. Подбор и систематизация задач на нахождение и использование показательной и логарифмической функций.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 20.07.2015Происхождение термина "математика". Одно из первых определений предмета математики Декартом. Сущность математики с точки зрения Колмогорова. Пессимистическая оценка возможностей математики Г Вейля. Формулировка Бурбаки о некоторых свойствах математики.
презентация [124,5 K], добавлен 17.05.2012Обзор развития европейской математики в XVII-XVIII вв. Неравномерность развития европейской науки. Аналитическая геометрия. Создание математического анализа. Научная школа Лейбница. Общая характеристика науки в XVIII в. Направления развития математики.
презентация [1,1 M], добавлен 20.09.2015Содержание и методика преподавания математики в сельской школе. Факультатив, как одна из форм проведения внеклассной работы по геометрии. Факультативные занятия по теме "Решение задач на местности". Задачи на местности для учащихся сельской школы.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 01.12.2007Робота присвячена важливісті математики, їх використанню у різних галузях науки. Інформація, яка допоможе зацікавити учнів при вивченні математики. Етапи розвитку математики. Філософія числа піфагорійців. Математичні формули у фізиці, хімії, психології.
курсовая работа [347,2 K], добавлен 12.09.2009Характер давньогрецької математики та джерела. Характер давньогрецької математики та її джерела. Виділення математики в самостійну теоретичну науку. Формулювання теорем про площі і обсяги складних фігур і тіл. Досягнення олександрійських математиків.
курсовая работа [186,2 K], добавлен 22.11.2011Особенности периода математики постоянных величин. Создание арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Общая характеристика математической культуры Древней Греции. Пифагорейская школа. Открытие несоизмеримости, таблицы Пифагора. "Начала" Евклида.
презентация [2,4 M], добавлен 20.09.2015- Основы вычислительной математики и использование системы Mathcad 14 для решения вычислительных задач
Методы, используемые при работе с матрицами, системами нелинейных и дифференциальных уравнений. Вычисление определенных интегралов. Нахождение экстремумов функции. Преобразования Фурье и Лапласа. Способы решения вычислительных задач с помощью Mathcad.
учебное пособие [1,6 M], добавлен 15.12.2013 Решения задач дискретной математики: диаграммы Эйлера-Венна; высказывание в виде формулы логики высказываний и формулы логики предикатов; СДНФ и СКНФ булевой функции. При помощи алгоритма Вонга и метода резолюции выяснить является ли клауза теоремой.
контрольная работа [133,5 K], добавлен 08.06.2010Период зарождения математики (до VII-V вв. до н.э.). Время математики постоянных величин (VII-V вв. до н.э. – XVII в. н.э.). Математика переменных величин (XVII-XIX вв.). Современный период развития математики. Особенности компьютерной математики.
презентация [2,2 M], добавлен 20.09.2015Ученые математики, открытия которых являются основой научно-технического прогресса. Квадратные уравнения в Европе в XII-XVII веках. Научная деятельность Ф. Виета и её роль в развитии математики в XVI веке. Особенности применения научных открытий в жизни.
презентация [1,6 M], добавлен 16.05.2012Введение понятия переменной величины. Развитие интегральных и дифференциальных методов. Математическое обоснование движения планет. Закон всемирного тяготения Ньютона. Научная школа Лейбница. Теория приливов и отливов. Создание математического анализа.
презентация [252,6 K], добавлен 20.09.2015
