Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема

Если бы египтяне построили свою геометрию на принципах дедукции, то в таком случае им пришлось бы, как и сделавшим это в IV в. до н.э. грекам, поставить под сомнение возможность построения прямоугольника. Что же мог бы возразить хранитель египетской геометрической мудрости софистически настроенному оппоненту?

Достаточно сослаться на факт успешной постройки пирамид: если бы при разметке основания вместо квадрата получился четырехугольник, имеющий только два или три прямых угла, то это с самого начала нарушило бы симметрию сооружения и не позволило бы свести вверху воедино все четыре боковых грани.

Подобный ответ выглядит неубедительным только с позиций человека, различающего идеальные и реальные геометрические фигуры. С подобной точки зрения любой, даже самым тщательным образом построенный, квадрат в действительности таковым не является, поскольку обязательно отклоняется от «совершенного образца». Но такое противопоставление идеальных и реальных объектов возможно только на базе уже возникшей дедуктивной геометрии и не должно приниматься во внимание в процессе анализа её генезиса.

В действительной истории становления аксиоматического метода переход к постулированию «идеальных геометрических построений» приходится осуществлять тогда, когда критерий практики - в самом буквальном предметном смысле - перестает работать. Именно это и произошло в процессе обоснования греками «аксиомы прямоугольника», когда были сформулированы сначала пятый и четвертый, а затем и остальные постулаты евклидовых «Начал».

Заключительная часть параграфа посвящена объяснению причин невозможности стереометрического обоснования «аксиомы прямоугольника» в конкретных исторических условиях существования эллинской геометрии, чем и завершается историческая часть диссертационной работы.

То или иное объяснение причин возникновения определенного явления не может не отразиться на понимании его наличного состояния и оценке перспектив развития в будущем. В третьей главе «Аксиоматический метод и современное научное познание» аксиоматический метод рассматривается прежде всего в аспекте настоящего, что выдвигает на первый план проблемы математического образования. Будущее аксиоматического метода - это ширящиеся попытки создания эффективно действующих интеллектуальных систем. Проблематика подобного рода естественным образом возникла в § 1.2 при анализе первой из формальных предпосылок возникновения аксиоматического метода, где она рассматривалась под углом зрения прошлого. В данной главе акцент переносится с прошлого на настоящее и будущее.

Первый параграф «Аксиоматический метод и преподавание математики» посвящен педагогическим аспектам преподавания школьного курса геометрии. Сомнение в целесообразности продолжения преподавания геометрии в классическом стиле евклидовых «Начал» высказал в 60-х гг. прошлого столетия Ж. Дьедонне. Вместо изучения свойств треугольников, четырехугольников и окружностей он предложил «попытаться научить детей думать на примере небольшого числа хорошо подобранных понятий…» Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. М., 1972. С. 13.

Поскольку аксиоматика возникла как средство убеждения в истинности уже найденных каким-то образом утверждений, то нет никакой уверенности, что она может быть использована также и как эффективное эвристическое средство решения новых для учащихся задач. В § 1.2 отмечалось, что реально проводимое доказательство является «максимально недедуктивным» из-за содержательного характера цели, «организующей» отбор релевантных логических посылок.

Дедукция из аксиом при решении задачи может оказаться полезной, если ученику посчастливилось выбрать среди множества всех утверждений теории те несколько предложений, от которых действительно зависит успех в её решении. Поскольку в удачности выбора можно убедиться, только решив задачу, то подобный, опирающийся на аксиоматическую структуру теории, способ решения превращается в бессистемный набор проб и ошибок с далеко не гарантированным успешным результатом из-за большого количества возможных «стартовых предложений».

Главная польза от изучения геометрии не в тренировке дисциплины мышления, которую за пределами этой науки человеку, не собирающемуся посвятить себя теоретической математике, едва ли удастся когда-нибудь применить, а в развитии совсем иного искусства, связанного не с дедуктивной формой изложения, а с её наглядным содержанием. Развитое теоретическое мышление предполагает умение находить связи между явлениями, недоступные обыденному взгляду.

Это достигается путем нахождения одной или нескольких «промежуточных ситуаций», совмещающих в себе характеристики двух, выглядящих на первый взгляд совершенно не связанными между собой, явлений. Такие новые явления находятся как бы «посередине» между исходными наличными явлениями, и потому их поиск называется опосредствованием. Искусству нахождения подобного рода опосредующих звеньев геометрия способна учить как никакой другой школьный предмет.

Если на место евклидовой геометрии в основу школьного геометрического курса положить понятия и методы абстрактной линейной алгебры, как предлагал Дьедонне, то возможность обучения на наглядном материале искусству опосредствования будет безвозвратно утеряна. А обучение «линейному мышлению», которое действительно способен привить указанный курс, далеко не равнозначно обучению искусству самостоятельно думать.

Ссылки на важность линейной алгебры для теории чисел, теоретической физики, анализа, геометрии и топологии плохо коррелируют с возможностью эффективного использования её идей при обучении учащихся искусству правильно ставить и умело разрешать вопросы, постоянно возникающие в многообразной человеческой жизни. «Линейное мышление» связано с математическим аппаратом научных дисциплин, а не с их действительным содержанием. Поэтому даже овладение школьником в полном объеме глубоким трудом Дьедонне не окажет ему впоследствии автоматической помощи в решении какой-то проблемы физики, биологии или экономики.

Линейная алгебра отражает своими достоинствами не содержание использующих её аппарат дисциплин, а лишь их формальную количественную сторону. В то же время содержание курса евклидовой геометрии вполне соответствует свойствам реальных фигур и тел.

Поэтому успешное овладение идеями традиционного курса геометрии в не меньшей степени полезно с точки зрения развития универсальных мыслительных навыков, нежели овладение методами линейной алгебры, где до реальности надо еще уметь «добраться» посредством содержания той конкретной научной дисциплины, в которой используется её элегантный аппарат. Если же учащийся вообще не планирует заниматься в будущем научной деятельностью, то с точки зрения развития его мышления традиционная школьная геометрия должна иметь несомненное преимущество. Курс геометрии Евклида в большей мере приспособлен для развития универсальных навыков творческого мышления, и с этой точки зрения оригинальный проект Дьедонне изначально был обречен на неудачу.

Во втором параграфе «Теоретическая математика как социокультурное образование» предметом анализа является место математики в современной культуре.

Упорядочение математического мира на основе понятия структуры, достигнутое в XX веке усилиями Н. Бурбаки, не избавляет от основной проблемы, состоящей во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического: «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм» Бурбаки Н. Архитектура математики / Очерки по истории математики. М., 1963. С. 258 сл..

Это признание Бурбаки возвращает нас, по сути, ко времени построения Аристотелем «первой философии», объяснившей эффективность применения математики к описанию движения небесных тел тем, что математические формы находятся в Уме-перводвигателе, а тот, в свою очередь, управляет посредством мышления движением обнимаемого им Космоса См.: Метафизика, XII, 8.. И в концепции Бурбаки, и в первой философии Аристотеля факт соответствия математических форм явлениям окружающего мира попросту констатируется, поскольку основная идея «объяснения» не подлежит дальнейшей конкретизации.

Главный вывод, вытекающий из исторического рассмотрения проблемы возникновения принятого в математике способа рассуждений, состоит в том, что словесная дедукция частных утверждений науки из общих начальных положений вызвана объективно происшедшим превращением прикладного землемерного искусства в сугубо теоретическую дисциплину, сопровождавшимся полным забвением «архитектурных» истоков.

Эта традиция была затем перенесена из геометрии в арифметику, а спустя многие столетия и на другие классические разделы математики, включая анализ бесконечно малых. Так постепенно и сформировалось то огромное здание математики, которое с позиций по-новому понятого аксиоматического метода перестроил в своем многотомном труде Бурбаки.

Аксиоматический способ рассуждений оказал существенное воздействие не только на современную теоретическую математику, но и на весь стиль мышления европейской цивилизации. Данное обстоятельство может быть продемонстрировано на примере формирования понятий «смысл», «символ», «метафора».

Связь между представлением о «смысле» и аксиоматической геометрией может быть установлена достаточно просто. Действительно, мы говорим, что понимаем смысл явления или кем-то сказанного тогда, когда имеющиеся у нас сведения не требуют для уяснения этого самого смысла обращения к «внешнему опыту», т.е. пополнения наличных знаний.

Иными словами, смысл - это мысль, обращенная сама на себя, а не на внешний мир. Именно это и отличает дедуктивный способ построения знания, когда мы берем при формулировке основоположений науки из реальности всё, что необходимо, как раз для того, чтобы впоследствии пользоваться исключительно данным, словесно сформулированным теоретическим базисом, не прибегая к помощи чувственного мира.

Аналогичным образом аксиоматический стиль мышления содействовал выработке представлений о символе и метафоре. Важность понятия символа для современной математики отметил Г. Вейль: «Математика - это наука о бесконечности, ее цель - символическое постижение бесконечности человеческим, то есть конечным» Weyl H. The Open World. New Haven, 1932. P. 8..

У Платона, как отмечал А.Ф. Лосев, «символизм… в значительной степени дорефлективен» Лосев А.Ф. История античной эстетики. Софисты. Сократ. Платон. М., 1969. С. 550.. Рефлексивное понимание символа достигается тогда, когда мы противопоставляем значение символа его непосредственно наглядному выражению.

Подобное противопоставление может быть осуществлено только тогда, когда значение символа (например, бесконечность, постигаемая посредством конечных математических символов) принадлежит иному - внечувственному - миру.

У Платона о противопоставлении идеальных объектов реальным не может быть и речи, поскольку вторые стремятся подражать и походить на первых. Другое дело у Аристотеля, у которого идеальные числа и фигуры бестелесны и действительно противоположны вещественным «копиям». Но их бестелесность, как показано в § 2.1 диссертационной работы, есть следствие их бестелесности в дедуктивной греческой геометрии. Таким образом, рефлексивное понимание символа, достигнутое позднеантичной мыслью, оказалось возможным лишь благодаря аксиоматически построенной математике.

Аналогичным образом обстоит дело и с понятием метафоры. Аристотель определяет метафору как «несвойственное имя, перенесенное с рода на вид, или с вида на род, или с вида на вид, или по аналогии» Аристотель. Поэтика, 21, 1457b 6-8.. Предпосылкой для выработки Аристотелем понятия метафоры является представление о значении имени, при этом в качестве значений имен Стагирит рассматривал только сущности. В § 2.1 показано, что обоснование существования подобных “самобытных” вещей удалось Аристотелю только благодаря дедуктивному построению геометрии.

Важность дедуктивной геометрии для выработки понятия метафоры становится понятней в контексте вопроса о причинах отсутствия данного понятия у Платона. В то время как у Аристотеля связь имени с названным при его помощи предметом не играет никакой роли Об истолковании, 1, 16a 5 - 8., у Платона, напротив, имя является подражанием вещи Кратил, 430a-b..

Если у Аристотеля исходным в соотношении «имя - вещь» является эйдос вещи, находящийся в Уме-перводвигателе, так что значением «логоса» этого эйдоса оказывается вещь в подлежащем Космосе, то у Платона всё наоборот: первична вещь, а имя подбирается законодателем в стремлении как можно лучше подражать природе вещи. Но тогда значением (знаком) оказывается не предмет, а слово. И это совершенно естественно: не вещь должна указывать на слово, как это получается у Аристотеля, а слово должно служить знаком (значением) вещи.

Перевернуть это соотношение Аристотелю удалось, «сделав» эйдосы вещей, находящихся в извечно существующем Космосе, бестелесными. Отсюда и безразличие Стагирита к разным наименованиям их у разных народов. При телесном понимании эйдосов у Платона «места» для метафоры (а метафора может стать таковой только как рефлексивное понятие) попросту не остается: имя во всей своей звуковой особенности слишком тесно привязано к именуемой посредством него вещи, чтобы возникала потребность в переносе «значений».

Поскольку в математике Индии и Китая не было аксиоматического метода, то в этих странах не было возможности перевернуть соотношение между словом и вещью, как это сделал при помощи дедуктивной геометрии Аристотель. Поэтому философское мышление в этих цивилизациях не было в состоянии создать ни представления об идеальных объектах, ни понятий смысла, символа или метафоры.

Заключительная часть параграфа посвящена попытке ограничить универсальность аксиоматического метода в математике средствами самой этой науки. Речь идет о знаменитой теореме Гёделя о неполноте.

В 1958 г. Гёдель Gцdel K. Ьber eine bisher noch nicht benьtzte Erweiterung des finiten Standpunktes // Dialectica. 1958. V. 12. № 3/4. P. 280-287. выделил в гильбертовской метаматематике две важных составных части: конструктивную и собственно «финитистскую», в соответствии с которой для представляющих доказательства знаковых комбинаций существенными оказываются исключительно пространственные сходства и различия. Из установленной в 1931 г. теоремы Гёдель дедуцирует необходимость отказа в доказательствах непротиворечивости от второй компоненты, что предполагает обращение к смыслу закодированных специальными знаками математических конструкций.

Поскольку представление о смысле знаковых комбинаций могло возникнуть в европейской цивилизации только благодаря дедуктивной геометрии, то его использование для доказательства непротиворечивости аксиоматических теорий сохраняло за подобным обоснованием лишь относительное, но никак не абсолютное значение, на что надеялся основоположник финитистской программы. Но и этим проблемы с реализацией программы Гильберта не ограничиваются.

В формальных теориях первого порядка, рассматриваемых в теореме Гёделя о неполноте, аксиомы подразделяются на логические и собственные, причем в чистом исчислении предикатов имеются только аксиомы первого типа, не связанные с особенностями какой-либо конкретной предметной области. Можно показать, что в логических аксиомах, содержащих операцию отрицания, подразумевается при этом внешнее отрицание логических суждений, имеющее вид “A не есть B”. В собственных же аксиомах используется внутреннее отрицание “A есть не-B”, поскольку эти аксиомы «высекают» род из ничем не ограниченного универсума исчисления предикатов, в результате чего операция отрицания «незаметно» преобразуется из операции внешнего в операцию внутреннего отрицания.

Тем самым на «объектном» уровне оказываются «смешанными» два, вообще говоря, различных вида отрицания, в то время как в метатеории, где исследуются расположенные в пространстве последовательности символов, представляющие собой доказательства различных теорем формальной теории, может использоваться только «обычная» родовидовая логика, которой пользуются и физики, и химики, и биологи. Так как построение истинной, но недоказуемой формулы осуществляется Гёделем при помощи «смешения» объектного и мета- уровней, то подобное рассогласование в понимании операции отрицания вполне может сказаться на конечном выводе теоремы.

Данное обстоятельство не осознается как затруднение, поскольку в теоретико-множественной математике после работ Г. Кантора отождествление двух видов отрицания вошло в привычку Об этом см.: Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. Диагональная процедура Г. Канто-ра и теория множеств (историко-научный и логический контекст) // Историко-математи-ческие исследования. Вторая серия. 1999. Вып. 4 (39). С. 306-314., так что у специалистов в области метаматематики, в отличие от «ориентирующихся» исключительно на внутреннее отрицание ученых-естествоиспытателей, подобные вопросы не возникают. Но развеять недоумение неспециалистов могут только профессионалы, которые никаких проблем по указанной причине не замечают.

Парадокс в том, что конкретной ошибки в доказательстве Гёделя указать нельзя, ибо в рамках господствующих идеализаций всё выглядит достаточно гладко. Но отсутствие полной ясности в «предметной интерпретации» финитных рассуждений Гёделя оставляет вопросы, ответ на которые невозможен без специального исследования. С социокультурной точки зрения это и означает, что теоретико-множественная математика (а вместе с ней и метаматематика) весьма удалена от других научных дисциплин, где повсеместно используется инструментарий родовидовой логики Аристотеля с присущим ей внутренним пониманием операции логического отрицания.

Третий параграф «Дедуктивный стиль мышления и искусственный интеллект» посвящен проблеме создания эффективно действующих интеллектуальных систем.

В первой части параграфа описываются парадигмы, в рамках которых проводились исследования на начальных стадиях развития ИИ, при этом особое внимание уделяется парадигме «знания + логический вывод», доминировавшей на втором этапе разработок интеллектуальных систем. Анализируются причины, в силу которых данная парадигма не могла стать основой для успешного создания эффективных ИС.

В последующем предпринимались попытки разработки подходов, выходящих за рамки указанной парадигмы, однако и они не привели к значительным успехам. Во второй части параграфа анализируется, существует ли вообще возможность выйти за рамки логической дедукции при построении интеллектуальных систем.

Для ответа на этот вопрос вводится специальное понятие: «дедуктивный интеллект». Под ДИ понимается человек, запрещающий себе в процессе решения проблемы как приобретение новых знаний, так и целенаправленный выбор уже имеющихся у него сведений (в качестве ДИ можно представлять себе конструктора ИС, пытающегося воспроизвести ход «рассуждений» искусственной системы, приведший к решению некоторой задачи). Далее показывается, что ДИ в состоянии предоставить решение некоторой проблемы лишь в том случае, когда её решение в той или иной форме известно ему заранее.

Всё многообразие задач, могущих быть предложенными ИС, естественным образом подразделяется на два класса: процедурные и декларативные. В первый входят те, ответом в которых является объект, который еще только предстоит построить в процессе решения. Ко второму относятся задачи, в которых достаточно ограничиться проверкой свойств объекта, заданного в самом условии.

Соответственно, на процедурные и декларативные подразделяются и сведения A, B, ..., D, имеющиеся в ИС на момент поступления новой задачи: первые представляют собой решения задач, ответом в которых является объект, который строится в самом процессе решения, в то время как вторые представляют собой описания свойств объекта, заданного в изначальной формулировке утверждения.

Формальный характер критериев ограничения полного перебора допустимых способов решения предполагает формализацию также и цели предпринимаемых действий - задачи P, причем формализованная цель P должна быть присоединена явным образом ко всем имеющимся в ИС формализованным знаниям A, B, ..., D. Тогда полученная интеллектуальной системой процедурная задача: «Найти программу действий P, обеспечивающую выполнение заданного набора условий» может быть заменена на доказательство эквивалентного утверждения: «При наличии сведений A, B, ..., D задача P разрешима». Лишь в таком виде ДИ мог бы надеяться решить выделенную ИС проблему.

Разрешимость процедурной задачи P может быть установлена ДИ только путем синтеза процедурных знаний, находящихся среди формализованных сведений A, B, ..., D, причем в качестве основы синтеза он не может использовать ничего, кроме оставшихся сведений декларативного характера. Так как содержательная интерпретация результата каждого шага синтеза должна быть согласована с интерпретациями тех «кирпичиков» знания, с помощью которых производится данный синтез, а конечная цель синтеза - задача P - представлена в декларативном виде, то все исходные и промежуточные знания процедурного характера также должны быть переписаны в виде утверждений о разрешимости соответствующих задач.

После декларативной переформулировки поставленной проблемы и наличных сведений встает вопрос о допустимых средствах теперь уже логического способа синтеза процедурных знаний. Нетрудно проверить, что единственной логической операцией, пригодной для формального конструирования искомой программы P, может быть только импликация. В случае, если разрешимость задачи P непосредственно следует из разрешимости более простых процедурных задач I, J, ..., L, алгоритмический характер действий ДИ по её решению очевиден.

Сложности возникают только в том случае, когда хотя бы одна из задач I, J, ..., L не имеет непосредственного процедурного решения, находящегося в памяти ИС. Тогда для неё придется решать задачу разрешимости, аналогичную задаче для основной проблемы P. И так мы приходим к задаче отыскания логической схемы решения проблемы P, благодаря которой решение P сводится к «простым» процедурным задачам, для решения которых уже не нужно привлекать никаких сведений декларативного характера.

Задача построения логической схемы нахождения программы P на основе наличных декларативных сведений является чисто синтаксической. Если ДИ известен универсальный алгоритм «сборки» логических схем, то его привлечение дает искомый алгоритм решения процедурной задачи P. В состоянии ли он самостоятельно его отыскать?

Так как операция синтеза, как указывалось в 1.2, является «максимально недедуктивной», то ДИ остается использовать лишь операцию анализа, при этом единственными формальными ограничениями на всём протяжении процесса «поиска алгоритма» могут быть только исключение повторений отдельных импликаций при составлении последовательности, а также исключение повторений среди целых кандидатов-последовательностей на роль логической схемы нахождения программы P. Но тогда подобный способ построения логической схемы сведётся к простому перебору, и никакого, даже самого малого, ограничения его получить не удастся.

Поэтому и здесь ДИ вынужден будет воспользоваться готовым алгоритмом полного перебора последовательностей импликаций (способ нахождения этого алгоритма также требует многократного использования процедуры целенаправленного отбора сведений, недоступной ДИ).

В случае, когда задача P является декларативной (когда достаточно проверки свойств объекта, уже заданного в её условии) ДИ также должен с самого начала отказаться от стремления построить решение, ограничившись попытками получить ответ косвенным образом. Гарантией наличия определенных свойств S, ..., W у рассматриваемого в задаче объекта может быть только логическое доказательство этих свойств из исходного набора данных A, B, ..., D. Возможны следующие способы их проверки: записав формально утверждение о выводимости свойств из аксиом A, B, ..., D, преобразовать его к такому эквивалентному виду, в котором требуемая выводимость усматривалась бы очевидным образом, или, наоборот, предположив, что конъюнкция свойств S, ..., W неверна, придти в результате к противоречию.

Этими двумя случаями все возможности косвенной проверки наличия свойств у заданного в задаче P объекта полностью исчерпываются. В этом легко убедиться, учитывая, что отказ от полного перебора всех возможных способов вывода формулы P осуществим лишь при условии соединения в явном виде всех исходных данных A, B, ..., D с формальным описанием данной задачи. Имеется лишь два способа подобного соединения.

В первом к начальным сведениям присоединяется само содержащееся в задаче P утверждение, при этом содержательной интерпретацией формальной записи (A, B, ..., D; P) в рассматриваемом контексте может быть только не доказанное пока предположение о существовании вывода утверждения P из начальных аксиом. Второй способ заключается в присоединении к начальным аксиомам отрицания утверждения задачи P. Так как помимо отрицания не существует каких-либо других возможностей формального преобразования высказывания с удержанием его исходного смысла (двойное отрицание высказывания декларативного характера тождественно первоначальному), то все возможные способы формального соединения сведений-аксиом с условием задачи тем самым исчерпаны.

Суть каждого из указанных подходов заключается в преобразовании исходной формальной записи, объединяющей аксиомы с доказываемым утверждением, к некоторому специальному виду. В первом случае выражение вида (A, B, ..., D; P) должно быть преобразовано в одно или несколько подобных выражений, в каждом из которых по обе стороны от точки с запятой должна оказаться одна и та же последовательность знаков. Во втором случае в выражении (A, B, ..., D; P') (символ P' означает отрицание утверждения P) должна появиться контрарная пара знаков f и f', наличие которой и означает получение противоречия. Но, независимо от конкретного вида выражений, в которые стремятся преобразовать исходное формализованное условие задачи, в каждом из этих случаев приходится решать вспомогательную процедурную задачу, требующую построение нового, не заданного изначально объекта, удовлетворяющего некоторым строго определенным условиям. А её, как было показано ранее, ДИ может решить лишь при наличии в его памяти готового алгоритма. Иными словами, ни одна задача не может быть решена им самостоятельно.

Тем самым показано, что для создания эффективно действующих интеллектуальных систем необходимо научиться воспроизводить искусственным образом целенаправленный отбор наличных сведений в соответствии с предъявляемой для решения системе задачей.

В четвертом параграфе «Логическая парадигма ИИ: современные тенденции» анализируются тенденции последних лет в области искусственного интеллекта. В 1996 г. один из ведущих современных специалистов в области ИИ А. Банди отмечал, что усилия исследователей, затраченные на создание нетрадиционных логических систем для построения новых вариантов автоматизированного вывода, не привели к существенным результатам. Попытки же разработки нелогических систем автоматизированного вывода наподобие семантических сетей, фреймов и продукционных правил вызывали кратковременный всплеск интереса, вслед за которым наступало понимание того, что в действительности за ними скрывается «старый волк в овечьей шкуре» Bundy A. Artificial Mathematicians. May 23, 1996. P. 1. . Поэтому основанный на классической логике автоматизированный вывод и сегодня остается ключевой техникой в ИИ.

Заманчивую идею «укрупнения вывода» при помощи внесения корректив в стратегию поиска доказательства за счет извлечения позитивной информации из неудачных попыток предложил недавно Б. Бухбергер Buchberger B., Craciun A. Algorithm Synthesis by Lazy Thinking: Using Problem Schemes // Proceedings of SYNASC 2004, 6th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing. P. 90-106.. Существенную роль при этом играет то, что вместо стандартного языка логики предикатов он использует логику предикатов с переменными, являющимися последовательностями индивидных символов. Последнее позволяет естественным образом описывать схемы алгоритмов.

Для ряда задач (сортировка, слияние и разбиение наборов) демонстрируется схема автоматического синтеза алгоритмов, что, как будто, противоречит выводам § 3.3 диссертации. Но и здесь более внимательный анализ показывает, что основной нетривиальный момент в рассматриваемом подходе, заключающийся в преобразовании негативной информации (неудача в доказательстве корректности спецификации) в позитивную, достигается за счет того, что отрицание понимается авторами «внутренним образом» - как альтернатива в схеме рекурсии. Поэтому «самообучаемая» часть алгоритмического синтеза в действительности оказывается фиктивной, так как для получения в явном виде полной схемы решения задачи к числу аксиом приходится добавлять части спецификаций рекурсивных алгоритмов, хранящихся в библиотеке схем алгоритмов ИС.