Числа Фібоначчі і їх застосування

ДВНЗ «Переяслав-Хмельницький державний педагогічний університет імені Григорія Сковороди»

кафедра математики

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни: «Алгебра і теорія чисел»

на тему: ЧИСЛА ФІБОНАЧІ І ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

Переяслав-Хмельницький 2017 рік

1.1 Історія чисел Фібоначчі

1.2 Означення та основні властивості чисел Фібоначчі

1.3 Золотий переріз (формула Біне)

2. Числа Фібоначчі та хз застосування

2.1 Математичні застосування

2.1.1 Числа Фібоначчі і геометрія

2.1.2 Метод математичної індукції і числа Фібоначчі, f2,f3,…,fn,… числа Фібоначчі

2.2 Застосування чисел та золотої пропорції в різних галузях

Вступ

Актуальність дослідження. В курсовій роботі розглядаються числа послідовності Фібоначчі, а також феномен золотого перерізу, в якому більшість вчених бачать одне з найбільш яскравіших, давно помічених людиною проявів гармонії природи.

Послідовність та числа Фібоначчі дуже широко застосовуються в різних галузях як математичного, так і не математичного світу. Не дивно, що дослідження даного питання інтенсивно продовжувалося і в ХХ столітті. Цьому сприяли нові проблеми комбінаторики, інформатики, які в той час постали перед інтелектуальною елітою суспільства. Дана тема не втрачає своєї актуальності й до наших днів.

В математиці існує багато задач, часто важких і цікавих, які не пов'язані з будь-чиїм ім'ям, а скоріше носять характер свого роду «математичного фольклору». Ці завдання нерідко мають ходіння в декількох варіантах; іноді кілька таких завдань об'єднують в одну, більш складну; іноді, навпаки, одне завдання розпадається на декілька більш простих; словом, часто, виявляється, важко розрізнити, де закінчується одне завдання і починається інше. Найправильніше було б вважати, що в кожній з таких завдань ми маємо справу з маленькими математичними теоріями, що мають свою історію, свою проблематику і свої методи _ все це, зрозуміло, тісно пов'язане з історією, проблематикою і методами «великої математики».

Такою теорією є і теорія чисел Фібоначчі. Породжених знаменитою «задачею про кроликів», що має більше семисот п'ятидесятирічну давність, числа Фібоначчі до цих пір залишаються однією з найбільш захоплюючих розділів математики.

Крім того, і це є фундаментальним фактом історії математики нашого часу, істотно змістився центр математичних досліджень в цілому. Зокрема, втратила свої домінуючі позиції теорія чисел і різко підвищилася питома вага екстремальних завдань. У самостійну галузь математики склалася теорія ігор. По суті виникла обчислювальна математика.

Нарешті було встановлено досить велика кількість раніше невідомих властивостей чисел Фібоначчі, а до самих чисел істотно зріс інтерес. Значне число пов'язаних з математикою людей в різних країнах долучилися до благородного хоббі «фібоначчізма ».

Теорія чисел Фібоначчі використовується в багатьох галузях, тому ці числа залишаються актуальною темою в математиці.

Об'єкт дослідження: число Фібоначчі та його вияви у різноманітних сферах людської діяльності.

Предмет дослідження: методологічні основи практичного використання чисел Фібоначчі та «золотої пропорції» у математиці.

Мета дослідження: виявити застосування чисел Фібоначчі

Відповідно до об'єкта, предмета і мети визначено головні завдання дослідження:

? опрацювати наукову літературу з теми даного дослідження;

? розкрити сутність поняття число Фібоначчі, «золотий переріз»;

? знайти практичне застосування чисел Фібоначчі.

Структура та обсяг курсової роботи. Робота складається із вступу, двох розділів, висновків, списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 34 сторінки.

1. Загальні відомості про числа Фібоначчі

1.1 Історія чисел Фібоначчі

Італійський купець Леонардо із Пізи (1180-1240), відомий як Фібоначчі, був, безумовно, найбільшим математиком доби Середньовіччя. Роль його книг у розвитку математики надзвичайно велика.

Роки життя Леонардо Пізанського припадають на часи, коли Європа прокидалася від середньовічної сплячки. Це була своєрідна репетиція історії перед бурхливим і яскравим спалахом Ренесансу. (Саме слово «Ренесанс» у перекладі з італійської якраз і означає «Відродження».) Відродження високих моральних і естетичних ідеалів античності значною мірою відбулося завдяки італійському купецтву. Саме через нього налагоджувались тісні ділові і культурні зв'язки з арабським (ісламським) світом, який переживав тоді період розквіту. Прямих зв'язків з Індією та Китаєм ще не було. Але знаменита подорож італійського купця Марко Поло (1254 - 1324) до Китаю, здійснена ним у 1271-1295 роках, була не за горами. Все це стало передвістям знаменитого італійського гуманізму, який визначив обличчя усієї європейської цивілізації аж до наших днів.

Купцем був і батько Леонардо Пізанського. Його звали Боначчі (що, до речі, означає «добродушний»). Самого ж Леонардо називали Фібоначчі _ від filius Bonacci, що дослівно означає «син Боначчі». Під цим прізвищем Леонардо Пізанський і став відомий як учений. Купець Боначчі у свої зарубіжні подорожі брав і сина. Він найняв для нього вчителів-арабів. Завдяки цьому Леонардо отримав прекрасну освіту. Це, зокрема, дозволило йому постійно перемагати на математичних турнірах, що якраз тоді увійшли в моду і на довгі роки стали неодмінним атрибутом культурного життя Італії.

Тогочасні математичні турніри _ це прообраз сучасних математичних «боїв», які організовуються для учнів спеціалізованих фізико-математичних шкіл _ щось середнє між математичною олімпіадою та КВК. Правда, учасниками турніру були не команди, а лише два суперники, які по черзі пропонували один одному розв'язати математичні задачі.

Саме на цих турнірах і проявилися талант і знання Леонардо, за що він здобув покровительство самого короля. Це сприяло розвитку торгової справи Леонардо, оскільки полегшувало організацію поїздок до Єгипту, Північної Африки, Сирії і Візантії. З іншого боку _ забезпечувало йому умови для подальшого зростання як ученого. В чужих країнах Леонардо здобував нові математичні знання. Нарешті, за покровительства Фрідріха ІІ було організовано випуск наукових трактатів Леонардо. І першим серед них стала «Книга абака».

Не дивлячись на свою назву, ця книга присвячена, власне, не абаку, а вміщує відомості практично з усієї тогочасної математики _ аж до методів розв'язування різноманітних рівнянь. Слово «абак» тоді часто вживалося як синонім до слова «арифметика». І при розгляді усіх цих питань, з першої сторінки і до останньої, Леонардо систематично використовує нову індійську систему нумерації. Кращого способу пропаганди цієї системи годі було і придумати. Ефективність нового способу числення показана на багатьох прикладах розв'язування математичних задач найрізноманітнішого змісту. Відтоді індійсько-арабські числа по-справжньому стають європейськими. А «Книга абака» _ основною вихідною точкою для розвитку європейської математики. По ній і по її компіляціях вивчали математику аж до часів Декарта (ХVII ст.) та Ейлера (XVIII ст.).

Одна із задач з «Книги абака» (рис.1) Леонардо Пізанського здобула особливу популярність у зв'язку з тим, що послідовність чисел, яка з'являється в результаті її розв'язування, має багато цікавих властивостей, а що найголовніше _ неймовірним чином проявляється у найрізноманітніших областях як математики, так й інших наук. Зокрема, саме за цією книгою Європа ознайомилася з індуськими (арабськими) цифрами.

На сторінках даного рукопису Фібоначчі наводить задачу. Ось ця задача: «Хтось помітив пару кроликів у певному місці, огородженому з усіх сторін стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів народжує не світ другу пару, а народжують кролики на другий місяць після свого народження».

Рис. 1 Сторінка «Книги абака» Фібоначчі

Нехай перша пара кроликів є новонародженою. Тоді на 2-ий місяць ми все ще матимемо тільки 1 пару. На 3-ій місяць ця пара дасть перше потомство і, отже, вже буде 2 пари. На четвертий місяць матимемо 2 + 1 = 3 пари (з двох наявних пар потомство дасть лише перша). На п'ятий місяць буде 3 + 2 = 5 пар, на шостий 5 + 3 = 8 (бо потомство дають тільки ті пари, які народилися не пізніше четвертого місяця). і т. Д.

Ця задача породила найвідомішу з усіх у світі числових послідовностей, яка тоді ще не знала, яку рол відведе їй в історії людства доля. Числа Fn,що утворюють послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... називаються “числами Фібоначчі”, а сама послідовність -послідовністю Фібоначчі. Суть послідовності Фібоначчі в тому, що, починаючи з 1,1, наступне число одержимо складанням двох попередніх чисел.

Людина розподіляє навколишні предмети за формою. Форма, в основі побудови якої знаходяться комбінації симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та виникненню відчуття краси та гармонії. Ціле складається з частини різної величини знаходяться у визначеному співвідношенні один до одної та до цілого. Принцип золотого перерізу _ найвищий вияв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі. Золотий переріз _ це таке пропорційне ділення відрізку на частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; тобто менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього