Числа Фібоначчі і їх застосування

Схоже спіральне розташування спостерігається у лусочок соснових шишок або осередків ананаса. За золотої спіралі згорнуті раковини багатьох молюсків, деякі павуки, сплітаючи павутину, закручують нитки навколо центру з золотим спіралях. Рогу архарів закручуються по золотих спіралях.

Одним з перших проявів золотого перерізу в природі помітив різнобічний спостерігач, автор багатьох сміливих гіпотез німецький математик і астроном Іоганн Кеплер (1571-1630). З XVII ст. спостереження математичних закономірностей у ботаніки та зоології стали швидко накопичуватися [22,с.52].

У 1850 р. німецький учений А. Цейзінг відкрив так званий закон кутів, згідно з яким середня величина кутового відхилення гілки рослини дорівнює приблизно 138. Величина середнього кутового відхилення гілки відповідає меншій з двох частин, на які ділиться повний кут при золотому перерізі.

Наведені нижче приклади показують деякі цікаві додатки цієї математичної послідовності [20,с.45-49]

Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметровий раковина має спіраль довжиною 35 см. Форма спірально завитий раковини привернула увагу Архімеда. Справа втому, що ставлення вимірювань завитків раковини постійно й дорівнює 1.618. Архімед вивчав спіраль раковин і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслений по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.

Рослини і тварини. Ще Гете підкреслювавтенденціюприроди до спіральності. Гвинтоподібне спіралевидне розташування на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшнику, в шишках сосни, ананасах, кактусах тощо(рис.9). Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листків на гілці, насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а стало бути, проявляє себе закон золотого перетину. Молекула ДНK закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль «кривою життя» [22, с.81-93].

Багато математиків нехтували золотим перерізом і гармонією,бо не вірили в те, що світ_ пропорційне ціле, що підкоряється закону гармонійного ділення _ золотого перетину[17, с.171].

Закономірності «золотий» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних часток, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних і космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є в будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також проявляються в біоритми і функціонуванні головного мозку і зорового сприйняття.

Форма спірально завитий раковини привернула увагу давньогрецького математика і фізика Архімеда. Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслені по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.

Серце б'ється безперервно _ від народження людини до її смерті. Його робота повинна бути оптимальною, зумовленої законами самоорганізації біологічних систем. Відхилення від оптимального режиму викликають різні захворювання. А так як золота пропорція є одним з критеріїв самоорганізації в живій природі, природно припустити, що і в роботі серця можливий прояв цього критерію.

При роботі серця виникає електричний струм, що можна вловити спеціальним приладом і отримати криву _ електрокардіограму (ЕКГ) з характерними зубцями, що відображають різні цикли роботи серця. На ЕКГ людини виділяються дві ділянки різної тривалості, відповідні систолічної та діастолічної діяльності серця. В. Цвєтков встановив, що у людини і інших ссавців є оптимальна («золота») частота серцебиття, при якій тривалості систоли, діастоли і повного серцевого циклу співвідносяться між собою в пропорції 0,382:0,618:1, тобто в повній відповідності із золотою пропорцією. Так, наприклад, для людини ця частота дорівнює 63 ударам за хвилину, для собак 94, що відповідає реальній частоті серцебиття в стані спокою.

Систолічний тиск крові в аорті одно 0,382, а діастолічний _ 0,618 від середнього тиску крові в аорті. Частка обсягу лівого шлуночка при ударному викиді крові по відношенню до конечнодиастолическому обсягу у десяти видів ссавців у стані спокою становить 0,37-0,4, що в середньому також відповідає золотий пропорції. Таким чином, робота серця у відношенні тимчасових циклів, зміни тиску крові та обсягів шлуночків оптимізовано за одним і тим же принципом за правилом золотої пропорції [21, с.54].

Перший приклад золотого перерізу в будові тіла людини: якщо прийняти центром людського тіла точку пупа, а відстань між ступнею людини і точкою пупа за одиницю виміру, то зростання людини еквівалентний числа 1.618 [8, с.45].

У людини 2 руки, пальці на кожній руці складаються з 3 фаланг (за винятком великого пальця). На кожній руці є по 5 пальців, тобто всього 10, але за винятком двох двухфалангових великих пальців тільки 8 пальців створено за принципом золотого перетину. Тоді як всі ці цифри 2, 3, 5 і 8 є числа послідовності Фібоначчі.

Золотий перетин присутній в будові всіх кристалів, але більшість кристалів мікроскопічно малі, так що ми не можемо розглядати їх неозброєним оком. Однак сніжинки, також представляють собою водні кристали, цілком доступні нашому погляду. Всі вишуканої краси фігури, які утворюють сніжинки, всі осі, кола та геометричні фігури в сніжинки також завжди без винятків побудовані за досконалої чіткою формулою золотого перерізу [22, с.36-40].

Будова усіх що зустрічаються в природі живих організмів і неживих об'єктів, що не мають ніякого зв'язку і подібності між собою, сплановано за певною математичною формулою. Це є найяскравішим доказом їх усвідомленої створеного згідно якомусь проекту, задуму. Формула золотого перерізу і золоті пропорції дуже добре відомі всім людям мистецтва, бо це головні правила естетики. Будь-який твір мистецтва, спроектоване в точній відповідності з пропорціями золотого перерізу, являє собою довершену естетичну форму.

За цим законом Великого Божественного Творіння створені галактики, створені рослини і мікроорганізми, тіло людини, кристали, живі істоти, молекула ДНК і закони фізики, тоді як вчені і люди мистецтва лише вивчають цей закон і прагнуть наслідувати йому, втілювати цей закон у своїх творах.

Рис. 10 Приклади відношень

Числа Фібоначчі у космосі

Природа повторює свої знахідки, як в малому, так і у великому. За золотим спіралях закручуються багато галактик, зокрема і галактика Сонячної системи.З історії астрономії відомо, що І. Тіціус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою послідовності Фібоначчі знайшов закономірність та порядок у відстанях нашої сонячної системи.Рукава багатьох спіралеподібних галактик розташовані згідно з послідовністю чисел Фібоначчі.

Число Фібоначчі в архітектурі, мистецтві

Багато вчених намагається розгадати секрети піраміди в Гізі (рис.11). Ключ до геометричного секрету піраміди в Гізі, який так довго був длялюдства загадкою, насправді,в тому, що піраміда побудована так, щоб площа кожної з її граней дорівнювала квадрату її висоти.

Рис. 11

Довжина грані піраміди дорівнює 783,3 фута (238,7 м), висота піраміди _ 484,4 фута (147,6 м). Довжина грані, поділена на висоту, дає співвідношенняц=1,618. Висота 484,4 фута відповідає 5813 дюймам (5-8-13) _ це числа з послідовності Фібоначчі.

Художники, вчені, модельєри, дизайнери роблять свої розрахунки, креслення або начерки, виходячи зі співвідношення золотого перерізу. Вони використовують мірки з тіла людини, створеної також за принципом золотої перетину. Леонардо Да Вінчі і Ле Корбюзье перед тим як створювати свої шедеври брали параметри людського тіла, створеного за законом Золотий пропорції. Пропорції різних частин нашого тіла становлять число, дуже близьке до золотого перетину. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність або тіло людини вважається ідеально складеними.

Будь-який музичний твір має часову довготу і ділиться деякими «естетичними віхами» на окремі частини, які звертають на себе увагу та полегшують сприйняття цілого. Цими віхами можуть бути динамічні та інтонаційні кульмінаційні пункти музичного твору.

Аналіз великого числа музичних творів дає висновок, що організація твору побудована так, що кардинальні частини, поділені віхами, утворюють ряди золотого перерізу. Найбільша кількість творів, які мають золотий переріз: Аренський _ 95%, Бетховен _ 97%, Гайдн _ 97 %, Моцарт _ 91%, Скрябін _ 90 %, Шопен _ 92 %, Шуберт _ 91 %.

Висновки

Мета даної курсової роботи виявити застосування чисел Фібоначчі. У ході роботи було виконано аналіз літератури з даної теми, в результаті цього було визначено основні поняття чисел Фібоначчі та «золотої пропорції».

Числа Фібоначчі _ елементи числової послідовності, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,..., в якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх чисел. Назва цієї послідовності в честь середньовічного математика Леонардо Пізанського (відомого як Фібоначчі ).

Золотий переріз _ це таке пропорційне ділення відрізку на частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; тобто менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього a: b = b: c або с: b = b: а.

Теорія чисел Фібоначчі використовується в багатьох галузях: в математиці, хімії, теорії інформації, архітектурі тощо. Числа Фібоначчі знайшли своє відображення в природі. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці, насіння в соняшнику, шишок на сосні проявляється ряд Фібоначчі, а отже, закон «золотого перерізу». Частини людського тіла відносяться як числа Фібоначчі. Також числа Фібоначчі та золоту пропорцію можна зустріти в побуті. Наприклад, поштові листівки виготовляють у вигляді прямокутника, відношення сторін у якому дорівнює числу ц. Якщо від цього прямокутника відрізати найбільший можливий квадрат, то отримаємо прямокутник, подібний даному. Процес цей є нескінченним.

Всі ми бачили пташине яйце але не всі знають, що відношення довжин від гострого кінця до точки, що позначає найширшу його частину та довжини від тупого кінця до цієї ж точки дорівнює відношенню одиниці до ц

Дана тема буде актуальною ще довгий час, і будуть відкриватися все нові і нові факти, що підтверджують присутність і вплив послідовності Фібоначчі на життя.

Список використаної літератури

1. «Замечательные числа Фибоначчи» /Калейдоскоп «Кванта»//- М.: Квант. 1988. №3. 32 с.

2. Борисовский Г.Б. Наука, техника, искусство. М.,1969. 152 с.

3. Бутусов К.П. Золотое сечение в солнечной системе. В кн.: Астрометрия и небесная механика. М.,1978. 500 с.

4. Васютинський Н.А. Золотая пропорция [Електронний ресурс] /Н.А Васютинський. Режим доступу: http://padabum.com/d.php?id=26420. Загол. с экрана.

5. Вейль Г. Симетрия. М., 1968. 192 с.

6. Волошинов А.В. Математика и искуство. [Електронний ресурс] / А.В. Волошинов. Режим доступу: <http://chuev.trinitas.pro/> ? Загол. с экрана.

7. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. [Електронний ресурс] / Н.Н. Воробьев. Режим доступу: http://www.px-pict.com/7/4/9/1.html? Загол. с экрана.

8. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. М., 1936. 118 с.

9. Гримм Г.Д. Пропорциональность в архитектуре. М.,1935. 148 с.

10. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича), том II, М., Наука, 1972. 260-267 с.

11. Карпушина Н. “Liber abaci” Леонардо Фибоначчи, Математика в школе, № 4, 2008.

12. Кеплер Й. Тайны мира. [Електронний ресурс] / Й.Кеплер. Режим доступу: http://padabum.com/d.php?id=26420 ? Загол. с экрана.

13. Кордемский Б.А. «Увлечь школьника математикой». М.: Просвещение, 1981. 79-83 с.

14. Лиман М. М. Школьникам о математике математиках. М.: Просвещение, 1981. 112 с.

15. Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь: Пер. с англ. М.: Педагогика, 1987. 12-1 с.

16. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. М.: Наука, 1975.

17. Марутаев М.А. О гармонии как закономерности. М.,1978. 130-233 с.

18. Пидоу Д. Геометрия и искусство. М.: Мир, 1979. 210 с.

19. Соколов. Тайны золотого сечения// Техника молодежи. 1978. №5.

20. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. М.,1984. 226 с.

21. Урманцев Ю.А. Золотое сечение// Природа. 1968. №11.

22. Урманцев Ю.А. Симетрия природы и природа симметрии. М., 1974. 229 с.

23. Шевелев И.Ш.и др. Золотое сечение. [Електронний ресурс] / И.Ш. Шевелев. Режим доступу: http://rutracker.org/forum/viewtopic. Загол. с экрана.

Размещено на Allbest.ru