Числа Фібоначчі і їх застосування

2. Числа Фібоначчі та їх застосування

2.1 Математичні застосування

Принципи «золотого перетину» використовуються в математиці, фізиці, біології, астрономії й інших науках, в архітектурі та інших мистецтвах. Вони лежать в основі архітектурних пропорцій багатьох чудових творів, головним чином античності та Відродження.

У кожній науці є, так звані, «Метафізичні» знання, без яких неможливе існування самої науки. Наприклад, якщо виключити з математики поняття натурального та ірраціонального чисел або аксіоми геометрії, математика відразу ж перестане існувати. З таким же правом до розряду «метафізичних» знань може бути віднесено й «золотий перетин», яке вважалося «каноном» античної культури, а потім і епохи Відродження. Однак, як це не парадоксально, в сучасній теоретичній фізиці і математиці «золота пропорція» ніяк не відображена. Нині робляться спроби показати, що «золотий перетин» є однією з найважливіших «метафізичних» ідей, без якої важко уявити подальший розвиток науки, зокрема, теоретичної фізики і математики [16,с.105].

«Золотий переріз» та математика _ невід'ємні поняття, які не можуть існувати окремо. Широке поширення отримали так звані «Золоті фігури», мають у своїй основі «золотий перетин».

«Золотий трикутник» _ це рівнобедрений трикутник, у якого відношення довжини бічної сторони до довжини основи дорівнює 1.618.

Є й «золотий кубоід» _ це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1.618, 1 і 0.618.

В даний час досліджуються математичні теорії пов'язані з принципами «золотого перетину»: нова теорія гіперболічних функцій, нова теорія чисел, нова теорія вимірювання, теорія матриць Фібоначчі і так званих «золотих» матриць, нові комп'ютерні арифметики, нова теорію кодування і нова теорія криптографії. Суть нової науки, у перегляді з точки зору золотого перерізу всієї математики, починаючи з Піфагора, що, природно, спричинить у теорії нові й напевно дуже цікавій.

Задачі, розгляд яких приводить до послідовності чисел, які тісно пов'язані з числами Фібоначчі.

Задачі з теорії чисел.

Знайти число, яке ділиться на 7 і дає в залишку одиницю при діленні на 2, 3, 4, 5 і 6;

Знайти число, добуток якого на сім дає залишки 1, 2, 3, 4, 5 при діленні на 2, 3, 4, 5, 6, відповідно;

Знайти квадратне число, яке при збільшенні або зменшенні на 5 давало б квадратне число.

Задача про ріст дерев.

Це переформульована задача про розмноження кроликів, у якій умови є менш штучними. Вона формулюється так:

Нехай деяке дерево росте таким чином, що кожна нова гілка протягом першого року тягнеться догори або в бік, а потім (починаючи з другого року) щорічно дає по одному бічному пагону. Скільки гілок буде на дереві, яке виросте із саджанця без жодного бічного паростка через 1, 2, 3, 4 і т. д. років?

Задача про розміщення листків на гілці.

Якщо листки на гільці сидять поодинці, то вони завжди ростуть навколо стебла не по колу, а по гвинтовій лінії. При цьому для кожного виду рослин характерний свій кут розходження двох сусідніх листків, який, як стверджують ботаніки, буває більш-менш сталий в усіх частинах стебла. Цей кут звичайно подають дробом, що показує, яку частину кола він становить. Так, у липи і у в'яза кут розходження листків дорівнює , у бука _ . Скласти послідовність найбільш поширених кутів розходженння (в частинах кола) для рослин, які ростуть у вашій місцевості. Що складають ряд чисельників і ряд знаменників для такої послідовності? Зауважимо, шо такий самий кут у даного виду рослин зберігається і в розміщенні гілок, бруньок, квіток.

В пентагоні можна знайти велику кількість відношень золотої пропорції.

Наприклад, відношення діагоналі до його сторони. Кожні вісім років планета Венера описує довершено правильний пентакол по великій небесній сфері. Стародавні люди помітили це явище і були так вражені, що Венера та її пентакл стали символами довершеності та красоти.

Рис. 5

Звернемо увагу на пентаграму. Вона викликає зацікавлення багатьох людей. Пентаграма викликала особливе захоплення у піфагорійців і вважалася їх головним розпізнавальним знаком. Будівля військового відомства США має форму пентаграми і отримало назву «Пентагон», що значить правильний п'ятикутник.

Окрім пентагона і пентаграми золоті відношення є і в правильних многогранниках. Правильний многогранник _ це такий многогранник, всі грані якого рівні ті є правильними многокутниками. Ще в «Началах» Евкліда доведено, що існує п'ять видів правильних многогранників: тетраедр, гексаедр, додекаедр, ікосаедр.

Інтерес людини до природи призвів до відкриття її фізичних і математичних закономірностей. Краса природних форм народжується у взаємодії двох фізичних сил _ тяжіння та інерції. Золота пропорція _ це математичний символ цієї взаємодії, оскільки виражає основні моменти живого зростання: стрімкий зліт юних пагонів змінюється уповільненимз ростанням «за інерцією» до моменту цвітіння.

Аналіз сучасних програм освіти в таких країнах, як США, Канада, Росія та Україна, показує, що в більшості з них немає навіть згадки про «золотий перетин». Тобто, має місце свідоме ігнорування одного з найважливіших відкриттів античної математики. Можливо, причину слід шукати в негативному ставленні сучасної «матеріалістичної» науки і «матеріалістичного» освіти до астрології і так званим «езотеричним» наук. У них «золотий перетин» і пов'язані з ним геометричні фігури _ «пентаграма», «Платонова тіла», «куб Метатрон» _ широко використовуються як основні «сакральних» символів. І «матеріалістичний» освіта не знайшло нічого більш розумного, як викинути золотий перетин на звалище «сумнівних наукових концепцій» разом з астрологією та «езотеричними» науками. У результаті більшість «освічених» людей добре знають «теорему Піфагора», але мають дуже туманне уявлення про «золотий перетин»

2.1.2 Метод математичної індукції і числа Фібоначчі, f2,f3,…,fn,… _ числа Фібоначчі

Довести, що кожне натуральне число дорівнює сумі кількох (можливо одного) різних чисел Фібоначчі.

Для n=1 твердження вірне, оскільки 1 є числом Фібоначчі.

Доведемо, що воно виконується і для числа n. Якщо n _ число з послідовності Фібоначчі, то твердження справедливе.

Якщо n не є числом Фібоначчі, то позначимо найбільше з чисел Фібоначчі, яке не перевищує n, через fі. Розглянемо різницю n- fі. Оскільки fі<n<fі+1= fі-1+ fі, 1<n- fі<fі-1, то за припущенням індукції n- fі можна записати у вигляді суми членів послідовності Фібоначчі, менших fі-1. Тобто n-fi=fi1+fi2+…+fik+fi. Отже, і в цьому випадку n можна записати як суму декількох різних чисел Фібоначчі.+m=fn-1fm+fnfm+1

Індукція по m.

Якщо m=1 формула приймає вигляд fn+1=fn-1f1+fnf2=2 формула приймає вигляд fn+2=fn-1f2+fnf3= fn-1+2fn =fn-1+fn+fn.

Припустимо, що виконується рівність fn+m=fn-1fm+fnfm+1 при m=k при m=k+1. Доведемо, що вона виконується і при m=k+2.+2=fn+1+fn=fn-1+fn+fn=fn-1+2fn=fn-1f2+fnf3.

Додаючи останні дві рівності, отримаємо:+k+2=fn-1fk+2+fnfk+3.

Якщо n ділиться на m, то і fn ділиться на fm.

Нехай n ділиться на m, тобто n = mk. Доведення будемо вести індукцією по k. Для k=1, n = m, видно, що fn ділиться на fm.

Припустимо, що fmk ділиться на fm. Розглянемо fm(k+1).(k+1)=fmk+m. Відомо, що fn+m=fn-1fm+fnfm+1.

Тоді, fm(k+1)=fmk-1fm+fmkfm+1. Перший доданок правої частини ділиться на fm. Другий - кратний fmk., тобто за припущенням також ділиться на fm. Це означає, що на fm ділиться і їх сума fm(k+1)

2.2 Застосування чисел та золотої пропорції в різних галузях

Числа Фібоначчі у теорії інформації.

На основі Фібоначчієвої системи числення будується код ( кодування) Фібоначчі універсальний код для натуральних чисел (1, 2, 3...), що використовує послідовності бітів. Оскільки комбінація 11 заборонена в Фібоначчієвій системі числення, її можна використовувати як маркер кінця запису. Для складання коду Фібоначчі по запису числа в Фібоначчієвій системі числення слід переписати цифри в зворотному порядку (так, що старша одиниця виявляється останнім символом) і приписати в кінці ще раз 1. Тобто, кодова послідовність має вигляд: … , де n _ номер самого старшого розряду з одиницею.