Ключ Давида (о решении второй математической проблемы Дэвида Гильберта)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ключ Давида (о решении второй математической проблемы Дэвида Гильберта)

1.AB INITIO

математика философский интуиционизм

На протяжении всего XX века математика медленно, но неуклонно превращалась из строгой науки в инструмент насилия над человеческим разумом, над самой способностью человека выносить какие бы то ни было суждения. Плачевный итог развития математической науки был подведен в монографии Морриса Клайна «Математика. Утрата определенности» ^{[1, С.354-357]}. Вывод, к которому пришел выдающийся математик и историк науки, неутешительный: несмотря на кажущуюся успешность различных дисциплин, направлений и школ, математика как единая наука прекратила свое существование. Такой же неутешительный диагноз ставит в своей монографии отечественный исследователь оснований математики В.Я. Перминов: «Критика традиционного образа математики приобрела сегодня всеобщий характер и сделалась почти модой. Философы, логики, историки математики и сами математики говорят о нестрогости математических доказательств, о ненадежности интуиции и о принципиальной неустранимости противоречий в фундаментальных математических теориях. Традиционный идеал математики как строгой науки сегодня, как кажется, полностью отвергнут » ^{[2, С.5]}.

Подобно тому, как в триптихе Иеронима Босха «Сад земных наслаждений» первозданный рай, в котором обитают Адам и Ева, где цветет древо жизни и древо познания, ведет в мир игры со стихиями и силами природы, в царство земных наслаждений, плотских утех, необузданного полета фантазии, за которым вдруг наступает картина безумия, инфернальной деградации и смерти всего живого, математическая наука прошла через три длительные стадии -- зарождения, расцвета и упадка. Переход из одной стадии в другую был обусловлен тремя глубокими потрясениями или кризисами в основаниях математики, в чем единодушно сходятся все историки науки: кризис античной математики, связанный с открытием несоизмеримых отрезков, кризис новоевропейской математики, связанный с применением бесконечно малых величин и кризис постмодернистской математики, связанный с введением актуальной бесконечности и обнаружением логических антиномий. Причем, как следует из результатов, полученных К. Геделем, никакого выхода из последнего кризиса в рамках стандартной математики не существует. Поскольку, если в ней и содержатся фундаментальные противоречия, то обнаружить их в рамках сложившейся системы аксиом не представляется возможным.

Однако вердикт К. Геделя не является поводом для того, чтобы поддаваться декадентскому настроению философов, перешедших на позиции абсолютного агностицизма и отрицания математической истины. Вывод о том, что доказать непротиворечивость системы аксиом арифметики невозможно, что можно доказать лишь существование в ней противоречий, является лишь первым, самым трудным и самым важным шагом к философскому переосмыслению того чем в действительности является язык математики. Является ли он только искусственным продуктом, плодом человеческого интеллекта, как об этом твердят математики-формалисты, либо подлинные корни этого языка, с помощью которого физики описывают законы материи, а логики -- внутренние законы мышления, лежат выше всякой конечной формы, которая может быть выведена человеком.

Невозможность доказать отсутствие противоречий в аксиомах арифметики есть удар, прежде всего, по философии формализма, за которой скрывается непомерное тщеславие европейского человека, решившего присвоить своему имени все законы бытия, мышления, и даже саму бесконечность -- тот самый важный математический «объект», который оставалось отловить, засушить и выставить на всеобщее обозрение в трофейной комнате научного позитивизма. Тем не менее, грандиозная программа полной формализации математического языка потерпела крах, но вовсе не потому, что формалисты оказались плохими математиками. Как раз наоборот, их вера в возможность формализации всего и вся, сделала из них превосходных ученых и весьма утонченных мыслителей.

Но бесконечность оказалась не тем «объектом», который может себе присвоить человек, даже если этот человек снабжен самыми совершенными орудиями познания. Титанические усилия, приложенные Г. Кантором и его последователями для того, чтобы «уничтожить» или «оконечить» бесконечность с самого начала были обречены на провал. Так же, как усилия по «уничтожению» бесконечно малых величин, так же, как попытка изгнания из математики иррациональных чисел, предпринятая пифагорейцами. Если внимательно присмотреться ко всем тем кризисам, которые терзали математику на протяжении многих тысяч лет, то окажется, что в них проявляется одна общая черта, а именно стремление подогнать бесконечность под то наивное представление о математическом языке, в котором человек выступает единственным и главным творцом науки, как если бы до изобретения колеса нигде не существовало круговых траекторий и сферических поверхностей, а до открытия Платоновых тел или чисел Фибоначчи не существовало ни кристаллов, ни всего многообразия живой природы.

Сколь бы странным ни показался такой подход, но idea fixa формализма состоит как раз в том, что создателем математики являются исключительно сами формалисты, которые ради удобства выполнения тех или иных операций могут ввести какие угодно аксиомы, создать какие угодно абстракции, ничуть не заботясь о том, как эти абстракции соотносятся с другими областями знаний и совершенно не размышляя об их содержании. Для того, чтобы зачислить созданные человеком абстракции в разряд истины, они должны всего лишь соответствовать формальным правилам того или иного математического диалекта. Такое определение сущности математики как синтетического языка, правила которого зависят лишь от субъекта познания, ведет к быстрому накоплению математических результатов, позволяет разнообразить методы исследования, но в нем содержится опасность появления субъективных ошибок. Такая опасность исходит из постепенного смешения диалектов и построения на их основе других правил и языков, когда некоторое слово, взятое из одного специфического диалекта, становится общеупотребительным без перевода и осмысления его этимологии.

Не задумываясь над тем что обозначалось данным словом, как, для чего и в какой области оно возникло, его начинают использовать в других диалектах, не подозревая даже о том, что смысл одного и того же слова в различных языках претерпевает неизбежные изменения, а в некоторых случаях с ним происходят поразительные трансформации.

Какая, на первый взгляд, разница -- запишем мы слово «deus » латинскими буквами или кириллицей, разве может от этого измениться смысл понятия «бог »? Оказывается, может. Ведь, если проделать то же самое с санскритским понятием «бог » -- «deva », то мы получим «дева », и тогда без вразумительного контекста станет уже непонятно идет речь о «боге », о «девушке » или о «богородице ». В древнеиранской или авестийской традиции «девами » называли не богов, а злых духов, которых мы бы назвали греческим словом «демоны », хотя сами древние греки словом «демоны» зачастую называли «богов ». Переписав и прочитав англо-сакское «devil » в знаках деванагари -- «devil » вместо «дьявола » мы получим нечто относящееся к «богине ». Так, всего несколько строк текста перенесли нас с одного континента на другой сквозь тысячи лет истории и стали причиной неопределенности в понятиях, которыми мы, между прочим, каким-то образом изъясняемся.

С чем-то подобным мы сталкиваемся в математике. В различных ее направлениях и разделах, в привычных для нас словах «чистой математики», таких как «число », «ноль », «единица », «квадрат », «куб », смешаны многие смыслы и представления, возникавшие у мыслителей разных эпох. Однако математики-формалисты не придают этому существенного значения. Для них математические термины существуют в идеальном мире, создателем которого стал человек, очистивший его от возможности появления противоречий путем отречения от всякого рода «неточных» домыслов, в мире, где все слова, формулы, теоремы обитают в неизменном виде, так что даже само время стало не властно над ними. Если интуиционист на вопрос «Где следует искать подлинную математическую точность? » ответит: «в самом человеческом разуме », то формалист без малейшего колебания ответит: «на бумаге » ^{[3, P.81]}.

Таким образом, из формалистского представления о математике была исключена возможность того, что само время тоже может выступать соучастником творческого процесса, что человек, снабженный орудиями познания, есть не только и не столько творец математической истины, сколько средство для ее проявления. То единственное, благодаря чему мы различаем слова и понятия, благодаря чему не сбиваемся в переплетениях мыслей, лежит в области интуиции, а не в области формализма. Как бы ни пытались формалисты найти точность в типографских символах, лишь интуиция устанавливает внутреннюю связь между словами. Для нее нет ничего невозможного в том, чтобы обозреть за формой слов сколь угодно большие промежутки времени и отыскать в них то единственное этимологическое значение, которое не приводит к двусмысленности.

Математика как единая, лишенная противоречий наука не может быть построена без математической интуиции, ведь разрешение возникающих во множественности противоречий и есть одна из основных задач любого из видов интуиции. Только она позволяет мыслить непрерывное (геомертию) и дискретное (арифметику) как диалекты одного языка: «Поскольку значительная часть математики может быть построена на основе арифметики натуральных чисел, порождаемых интуицией времени, то отсуда следует, что "априорность времени не только определяет свойства арифметики как априорные синтетические суждения, но играет ту же роль по отношению к свойствам геометрии" » ^{[4, С.48]}.

Однако именно время выпало из поля зрения формалиcтов, увлеченных идеей полной формализации математики, которая потребовалась им для того, чтобы подогнать бесконечность под введенные Г. Кантором символы. Стремление во что бы то ни стало отловить «объект » (бесконечность) привело к установлению монопольного права формалистов на то что следует называть математикой. История математики оказалась в таком забвении, что произошла невольная фальсификация ряда ключевых моментов ее формирования, ведь многие великие математики прошлого выступали категорически против «оконеченной » или актуальной бесконечности Г. Кантора.

Привычные для школы формализма двойные стандарты были подвергнуты справедливой критике И. Лакатоса, который отмечал, что «формализм отделяет историю математики от философии математики, так как согласно формалистскому пониманию математики, собственно говоря, истории математики не существует (...) Формализм отрицает статус математики для большей части всего того, что некогда понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об ее "развитии". Ни один из "творческих" или "критических" периодов существования математических теорий не может быть допущен в формалистическое небо, где математические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной недостоверности. Однако формалисты обычно оставляют открытым небольшой черный ход для падших ангелов, если для каких-нибудь "смесей математики с чем-то другим" посчастливится построить формальные системы, "которые в некотором смысле позволяют их туда включить" » ^{[5, С.6]}.

С тех пор, как человек стал присваивать своему имени язык математики, на что в древних цивилизациях налагалось строжайшее табу, с тех пор, как человек решил взять на себя функцию математического бога, наука достигла больших высот, но через «черный ход » в математику проникло немало «падших ангелов ». Некоторые из них были изгнаны обратно в преисподнею, некоторые продолжают обитать в стандартной математике, выстроив вокруг себя неприступные стены, прикрываясь авторитетом выдающихся математиков. И только погружение в историю математики или в этимологию ее терминов может оказать помощь в деле их выявления и устранения.

Выдающемуся математику XX века А. Пуанкаре принадлежит замечательная мысль о том, что развитие математики и появление более совершенных теорий можно уподобить эволюционному развитию живых существ. Каким бы совершенным ни был вид организма, в эмбриональной стадии своего развития он всегда повторяет «всю историю его предков в течение геологического времени. По-видимому, то же самое происходит и в развитии ума... По этой причине история науки должна быть нашим первым руководителем » ^{[5, С.10]}. Поэтому негласный запрет формалистов на изучение истории математики и попытки ее искажения можно понимать как стремление к тому, чтобы уничтожить в зародыше появление на свет новых конкурирующих теорий, расширяющих наши знания, как стремление остановить эволюцию самого разума.

2.IPSE DIXIT

Теорема о сумме квадратов катетов равных квадрату гипотенузы прямоугольного треугольника, известная нам как теорема Пифагора, применялась за тысячи лет до того, как великий древнегреческий философ в VI в до н.э. нашел один из способов ее доказательства. Религиозно-синкретичный характер древнейшей математики, астрономии и архитектуры, а также ограниченный набор сохранившихся текстов не позволяет произвести вполне удовлетворительную датировку события, когда данная математическая закономерность стала известна человеку.

Если опираться на тексты глиняных табличек шумеро-вавилонской культуры, то можно говорить о том, что эта теорема, выраженная в клинописных знаках, была известна уже в древневавилонском царстве (II тысячелетие до н.э.) ^{[6, С.103]}. С другой стороны, исходя из этого, можно впасть в обычную формальную ошибку, отказав древним египтянам в знании оной же теоремы в III или IV тысячелетии до н.э. лишь по причине того, что папирусная бумага выступает менее надежным носителем информации, чем глиняные таблички. В рамках позитивной науки проблема появления математики, вообще говоря, не имеет решения. Философская концепция интуиционизма состоит в признании неточности самой постановки вопроса о том, когда появилась математика либо теорема Пифагора, ибо математика как объективное проявление абстрактных закономерностей, очевидно, существовала и до Пифагора, и до возникновения вида homo sapiens .

Поэтому и вопрос о том, когда математика появилась как наука, изобретенная самим человеком, является важной, но все-таки спорной псевдопроблемой, поскольку древневавилонская математика как изобретение человека не была полностью тождественна египетской, египетская -- греческой, греческая -- арабской, арабская -- индийской, а индийская -- китайской. В такого рода историческом релятивизме новоевропейская математика отнюдь не тождественна современной, а современная математика не тождественна той, которая будет существовать в IV тысячелетии н.э., так как языки и символы математики, которые создаются и обрабатываются человеком на песке, на камне, на бумаге, на электронно-вычислительной технике всегда могут оказаться не тождественными подлинно непротиворечивой абстрактной теории.

Европейский ученый, приступающий к исследованию истории древнейшей математики всегда будет видеть лишь ее часть. Ведь из того хорошо известного историкам науки факта, что математика, естествознание, искусство, письменность и язык не отделялись в древних культурах от религии, можно заключить, что некоторое изображение или текст, понимаемые нами как «миф о сотворении мира », «ритуальная магия », «скульптура бога », имели отношение и к тем проблемам, которые мы бы назвали «математическими » или даже «чисто математическими ». Например, самые древние двоичные дроби в последовательности 1/2; 1/4; 1/8; 1/16; 1/32 и т.д. назывались жрецами Верхнего и Нижнего Египта дробями бога Сета и обозначались соответствующим образом ^{[7, С.37]}. Нисколько не удивительно поэтому, что у нас вызывают снисходительную улыбку либо недоумение слова, с которых начинается древнеегипетский папирус Ахмеса, обещающий научить «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сути, познанию всех тайн », тогда как затем приводятся обычные арифметические примеры по подсчету количества зерна, а также правила вычисления дробей ^{[6, С.19]}.

Подобный синкретичный характер имела и математика древнего пифагорейского общества, ставшая фундаментом эллинистической математики, а также, в значительной мере, -- арабской и новоевропейской математики. Ведь приписывание Пифагору теоремы о сумме квадратов катетов, равной квадрату гипотенузы, более того, приписывание ему всех поздних пифагорейских теорем были продолжением неприемлемых для позитивной науки религиозно-философских воззрений.

Имя Пифагора было для кротонских математиков священным именем, так что сами пифагорейцы предпочитали его называть «тот, оный », «божественный », а в доказательствах, восходящих к учителю, употребляли «бхфпт ейрб» (греч. «сам сказал »). Для древнегреческих ученых Пифагор являлся не человеком, создавшим математическую теорию, а непосредственным воплощением космической гармонии или бога Аполлона (от греч. брплпхщ, «очищать ») ^{[8, С.7]}, стрелой которого был убит змей Пифон на том месте, где находился священный центр земли, более известный нам как Дельфийский оракул.

Стремление взять из древнегреческой математики лишь то, что имеет практическое значение, неспособность видеть античную математику глазами самих пифагорейцев послужили предпосылками становления так называемого европейского образа мышления, в котором человек рассматривается как собственник всей материальной вселенной, как сам бог-творец высших абстрактных законов, а не как воплощенный в первочеловеке образ божественного разума. Тяжелой расплатой за пренебрежение к пифагорейской философии, за искажение и упрощение тех исторических процессов, в которых зарождались математические термины, за нежелание вникать в суть теоретических положений, приведших к первому кризису оснований математики, стало тлетворное разложение и системный кризис современной математической науки. Итак, рассмотрим общую первопричину трех обозначенных выше кризисов, а именно один из основополагающих терминов, введенных во времена античности.

3.ARGVMENTUM AD IGNORANTIAM

За сотни лет развития математики историки так и не сумели выработать внятного представления о том, кем было сделано открытие иррациональных чисел (от лат. irrationalis, «неразумный » -- калька с греч. блпгпн, «несоизмеримый», «невыразимый »). С одной стороны в древних текстах это открытие часто приписывают Пифагору (VI век до н.э.), с другой стороны -- античному математику Гиппасу из Метапонта (V век до н.э.).

Вероятнее всего, это вызвано тем обстоятельством, что Пифагору было лишь известно о явлении несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, тогда как Гиппас сумел привести этому «строгое доказательство ». В самом деле, коль скоро Пифагор был знаком с передовыми идеями вавилонской математики, коль скоро пифагорейцам был известен метод «боковых и диагональных чисел » для получения приближений 3/2; 7/5; 17/12 и т.д. при вычислении гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными единице ^{[7, С.175-176]}, то основатель тайного пифагорейского общества, конечно же, не мог не знать о проблеме несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали.

Об этом же свидетельствует и легенда о пифагорейском проклятии, насланном на Гиппаса, которого античные математики обвинили в разглашении тайны пифагорейского братства. Если бы до Гиппаса пифагорейцы не ведали понятия несоизмеримости, то его бы, разумеется, обвинили вовсе не в «разглашении », а в создании теоремы, противоречащей учению Пифагора. Вот одна из реконструкций доказательства данной теоремы, которое в историческом очерке Н. Бурбаки определяется, ни больше -- ни меньше, как «наилучший классический пример рассуждения от противного в математике » ^{[9, С.300]}.

«Допустим, что диагональ квадрата AC и его сторона AB соизмеримы, то есть их отношение равно отношению двух целых чисел: AC /AB = m / n . (1)

Предполагается, что числа m и n не являются оба четными, иначе дробь можно было бы сократить на два. Из (1) следует, что AC^2 / AB^2 = m^2 / n^2. Но по теореме Пифагора AC^2 = 2AВ^2; следовательно, m^2 = 2n^2. (2)

Значит, m^2 -- четно. Из учения о четных и нечетных числах следует, что в этом случае и m -- четно (так как произведение двух нечетных чисел нечетно). Но тогда n -- нечетно. Поскольку m -- четно, то m = 2t. Подставляя в (2), получим 4t^2 = 2n^2, или n^2 = 2t^2, то есть n^2 -- четно, следовательно, и n должно быть четным, что приводит к противоречию » ^{[10, С.73]}.

Эти десять строчек доказательства Гиппаса о несоизмеримости стороны и диагонали столь же неубедительны для интуициониста, как десять строчек доказательства Г. Кантора о «несчетности » множества всех действительных чисел, на что указал доктор физ.-мат. наук А.А. Зенкин ^{[11, С.165-168]}. Если у формалиста, порой неразличающего за символами их содержания, к такому «наилучшему классическому доказательству » никаких вопросов не возникает, то у историка науки может возникнуть вопрос -- откуда взялась убежденность Гиппаса в том, что сторона квадрата AB и его диагональ AC -- оба этих отрезка -- выражаются «четными числами »? Хотя, как известно, ни сторона n , равная единице -- нечетному числу(!), ни диагональ m , равная v2 =1,414 ..., никак не могут быть «четными числами ». С нашей точки зрения гораздо логичнее было бы искать отношение m /n для v2 и доказывать, что такого отношения существовать не может, вовсе не с помощью метода четных и нечетных чисел, а с помощью правил перевода десятичных дробей в обыкновенные. Ведь число v2 =1,414 ... -- это десятичная дробь, которая по определению не может быть ни четным, ни нечетным числом.

Оказывается, другого «строгого доказательства » несоизмеримости математики-пифагорейцы предложить просто не могли, так как они не имели представления о непрерывных десятичных дробях. Более того, даже отношения целых чисел m /n , которые мы иначе называем обыкновенными дробями, они не признавали дробными значениями, потому что в античной арифметике, в отличие от современной, действовала аксиома неделимости единицы. Единица являлась для математиков-пифагорейцев «божественной монадой », деление которой было формально запрещено. В то же время пифагорейцам была известна десятичная «космическая монада » в виде суммы чисел 1+2+3+4=10 , что неявно допускало ее делимость.

Б.Л. ван дер Варден пишет об этом так: «До Архимеда дроби вообще не входили в официальную греческую науку. Но это объясняется не тем, что их не знали, но скорее тем, что их не хотели знать (...) Впрочем, следы древнего исчисления дробей обнаружить можно. В VII книге «Начал» Евклида (а эта книга, как мы увидим позже возникла до 400 года до н.э.) имеются следующие определения:

Определение 3: Число является частью другого числа, меньшее -- большего, если оно измеряет большее.

Определение 4: И частями, если оно большего не измеряет.(...)

Определение 20: Числа являются пропорциональными, если первое от второго и третье от четвертого будут одинаковыми кратными, одинаковой частью или частями (...)

Терминология целочисленных отношений в пифагорейской теории гармонии также напоминает о том, что целочисленные отношения были первоначально дробями (…) Древнейший текст, где встречаются дроби, представляет «Илиада» Гомера (К 253): "Ночи две части прошли и третья осталась частица". Отсюда ясно, что дроби были известны грекам с древнейших времен и что они по крайней мере в V веке до н.э. вполне владели действиями с дробями » ^{[7, С.68-69]}.

Тогда возникают следующие вопросы: для чего пифагорейцам потребовалось вводить аксиому неделимости единицы, почему они исключали единицу из чисел, т.к. «единица не является множеством » ^{[7, С.151]}, и почему современные математики-формалисты не смущаются этими «тонкостями », полагая, что смысл терминов, возникших в пифагорейской арифметике, полностью сохраняется в арифметике непрерывных десятичных дробей, построенной на диаметрально противоположной аксиоме -- аксиоме о возможности бесконечного деления единицы, то есть на возможности рассмотрения единицы в качестве множества, обладающего свойством к бесконечному уменьшению?

Все говорит о том, что пифагорейцам было известно о существовании сразу двух типов арифметики: аполлонийской («очищенной » от бесконечных процессов деления единицы) и дионисийской (тайная часть учения Пифагора, позволявшая находить «боковые и диагональные числа » при рассмотрении несоизмеримых отрезков, приводившая, однако, к бесконечному хаосу чисел). Изобретение или искусственное введение аксиомы неделимости единицы потребовалось в пифагорейской арифметике как раз для того, чтобы «оконечить » бесконечность ряда дробей, возникавших, например, при попытке соизмерения стороны и диагонали квадрата -- 3/2; 7/5; 17/12 и т.д. (то есть чтобы «убить Пифона »).

Другим существенным отличием пифагорейской арифметики, вытекающим из той же аксиомы неделимости единицы, была так называемая аксиома о четности и нечетности единицы ^{[7, С.151]} (отсюда и «муже-женственные андрогинны » в учении Платона). Так как деление единицы на два давало «запрещенную » дробь 1/2, а прибавлением единицы создавались все четные и нечетные числа, то в арифметике целых чисел «андрогинный» постулат становился необходимым. Об уровне догматизма в античной математике можно судить по высказыванию Платона в трактате «Государство»: «Если ты захочешь делить единицу, то ученые математики высмеют тебя и не позволят это сделать; если же ты размениваешь единицу на мелкие деньги, они полагают ее обращенной во множество и остерегаются рассматривать единицу не как единое, но состоящее из многих частей » ^{[7, С.161]}.

В рамках такого весьма своеобразного набора аксиом пифагорейской арифметики, содержащего аксиомы неделимости и четно-нечетности единицы, доказательство Гиппаса, действительно, можно было бы признать непротиворечивым. Однако вряд ли это позволяет назвать его доказательство «наилучшим классическим примером рассуждения от противного в математике », если только в этой математике применяются бесконечные десятичные дроби.

4.CONCORDIA DISCORS

Ссылаясь на непререкаемый авторитет имени Пифагора, математики-пифагорейцы Феодор, Теэтет и Архит создали в IV веке до н.э. теорию несоизмеримости нецелых квадратных и даже кубических корней. Любая критика их трудов жестко подавлялась. Платон за отрицание атомистами теории несоизмеримых отрезков призывал сжигать труды Демокрита ^{[12, С.22]}, несмотря на то, что Демокрит был одним из создателей теории правильных многогранников или Платоновых тел. Судя по всему, основоположник теории пропорций Евдокс Книдский был изгнан из Афин по той же причине -- за высказывание сомнений в справедливости теории несоизмеримых отрезков.

Из учения Евдокса о пропорциях (I; V; VI и XII книги «Элементов» Евклида) ^{[7, С.253-254]} следовало, что величины будут находиться в некотором отношении между собой или в пропорции, «если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга » ^{[13, С.142]}. Поэтому в геометрии никакой принципиальной разницы между соизмеримыми и несоизмеримыми отрезками не возникало -- и те, и другие отрезки оказывались в этой теории пропорциональными (от лат. proportio -- «соизмеримый »). Евклидовы «Элементы» (конец IV века до н.э.), которые рассматриваются формалистами как вершина математической мысли эпохи Платона и Аристотеля, были и впрямь вершиной, но то была вершина огромного айсберга, потопившего немало теорий, включая саму античную математику. Евклид создавал свои «Элементы» в обстановке, которая отнюдь не имела ничего общего с идилистической картиной дружбы и согласия античных философов по принципиальным для развития науки вопросам.

В математике яблоком раздора была как раз теория несоизмеримых отрезков. Она являлась предметом жарких научных дискуссий между Платоном и Аристотелем. Если Платон безоговорочно принимал доказательство несоизмеримости Гиппаса и теорию несоизмеримых отрезков, то Аристотель высказывал сомнение в правильности хода умозаключений в доказательстве Гиппаса и его учеников, по сути, оказывая поддержку перспективной теории Евдокса Книдского.

В «Первой аналитике» Аристотель указывал на логическую недостаточность доказательств несоизмеримостей в теории Феодора, Теэтета и Архита, даже с учетом хорошо известных ему постулатов пифагорейской арифметики: «И таким же вот образом бывает всегда, что при делении общее берется в качестве среднего [термина], а то, что требуется доказать, и [видовые] различия берутся в качестве крайних [терминов]. В конце концов [производящие такое деление] ничего определенного не говорят (...) Очевидно, однако, что при помощи этого метода нельзя что-либо опровергнуть, как невозможно в отношении чего-либо случайного или свойственного [тому или иному предмету] вывести заключение и относительно [его] рода в тех случаях, когда неизвестно, обстоит ли дело так или иначе, как, например, соизмерим или нет диаметр [и сторона]. Если принять, что всякая длина соизмерима или несоизмерима, а диаметр и есть длина, то можно заключить [лишь то], что диаметр соизмерим или несоизмерим. Если принять, что он несоизмерим, то [этим] принимается то, что требовалось вывести в качестве заключения. [Так], следовательно, нельзя доказывать (...) Пусть соизмеримое или несоизмеримое обозначает А [то, что следует вывести], длина -- Б, диаметр -- В. Очевидно, таким образом, что [указанный] способ деления применим не во всяком исследовании и бесполезен в тех случаях, где он, казалось бы, больше всего подходит » ^{[14, С.90]}.

Что касается доказательства Гиппаса, то здесь схема Аристотеля тоже приводит к логической недостаточности. В пифагорейском учении о четных и нечетных числах единица (или число n в теореме Гиппаса) являлась и четным, и нечетным числом. В ходе доказательства Гиппас пришел к выводу о том, что число n -- четное, но на основании этого нельзя получить опровержения тезиса о соизмеримости, так как из аксиом пифагорейской арифметики изначально известно, что число n может быть и четным, и нечетным.

В «Метафизике» Аристотель объясняет, почему он придерживается пифагорейской аксиомы о неделимости единицы и учения о четных и нечетных -- оказывается, из опасения, что иначе произойдет увеличение арифметических число-сущностей: «Далее, должно было бы быть промежуточное и в таких родах, в которых отрицание влечет за собой противоположное, например, в области чисел -- число, которое не было бы ни четным, ни нечетным. Но это невозможно, что ясно из определения [целых чисел]. Далее, если бы было такое промежуточное, то пришлось бы идти в бесконечность, и число вещей увеличилось бы не только в полтора раза, но и больше [множество ни четных, ни нечетных, то есть дробных чисел]. В самом деле, тогда это промежуточное можно было бы в свою очередь отрицать, противопоставляя его [прежнему] утверждению и отрицанию [взятым вместе], и это было бы нечто [новое], потому что сущность его -- некоторая другая [в самом деле, после введения дробей были открыты трансцендентальные числа и многие другие классы чисел] » ^{[15, С.142]}.

Далее он предостерегает, что, опираясь на явление «несоизмеримости », можно легко вывести ошибочное умозаключение об отсутствии истины ^{[15, С.143]}. И соглашается с тем, что доказательство Гиппаса можно признать, но лишь при том принципиально важном условии, «если доказано, что для противоположностей [соизмеримые и несоизмеримые величины] существует одна и та же способность [принимать только четные или нечетные значения], тогда [окажется], что и знание о них будет одно и то же; здесь уже соглашаются и без предварительной оговорки, ибо ложность [будет] очевидной, например, если допустить, что диагональ соизмерима, то нечетное окажется равно четному » ^{[15, С.195]}.

Почему же никто из тех, кто восторженно отзывается о доказательстве Гиппаса, не уточняет, что уже Аристотелю было известно о том, что при употреблении дробей (ни четных, ни нечетных чисел) доказательство Гиппаса теряет всякую доказательную силу? Да просто потому, что в современной математике господствует так называемая теоретико-множественная парадигма, адепты которой не допускают и мысли о том, что в античной математике могло возникнуть некорректное доказательство. Но из приведенных выше примеров видно, что в самой античной математике сохранялась устойчивая традиция критически относиться к доказательствам теории несоизмеримых отрезков, несмотря на то, что значительная часть подвергших Гиппаса остракизму пифагорейцев, поплатилась жизнью во время кротонского заговора. В этой связи необходимо заметить, что из собранных Ямвлихом сведений о причинах той жестокой расправы, в результате которой десятки учеников Пифагора и сотни пифагорейцев-акусматиков были сожжены и убиты, а имущество братства было разделено между организаторами мятежа, следует нелицеприятный для истории науки факт, что в числе подстрекателей к расправе над пифагорейцами находился все тот же изгнанный из братства математик Гиппас ^{[8, С.150]}.

Накал страстей, бурливших вокруг доказательств теории несоизмеримых отрезков, в верности которых сомневались представители сразу нескольких философских школ, а также глубочайшие кризисные явления, с которыми столкнулись древнегреческие мыслители, закладывая основы стандартной математики, -- все это совершенно не сочетается с тем, как склонны себе представлять античную арифметику математики-формалисты.

Выразителем этих взглядов можно считать Г. Кантора, ответившего на возражения Г. фон Гельмгольца и Л. Кронекера по поводу теоретико-множественного подхода буквально следующее: «Впрочем, у обоих ученых явно выступает наружу мотив враждебного отношения к актуально-бесконечному, и поскольку, как известно, нельзя обосновать с научной строгостью даже "конечных" иррациональных чисел без решительного привлечения к делу актуально-бесконечных множеств [здесь двойная ссылка Г.Кантора на свои статьи], то усилия обоих -- в особенности Кронекера -- направлены с неуклонной последовательностью на то, чтобы сделать с помощью искусственно придуманных, кажущихся им подходящими вспомогательных теорий совершенно "ненужными" и лишними [ссылка на Кронекера и Молька] всеми принятые со времен Пифагора и Платона иррациональные числа, вместо того, чтобы исследовать и объяснить их согласно их природе » ^{[16, С.98-99]}.

Так вот, «во времена Пифагора и Платона » иррациональные числа никак не могли «быть всеми принятыми », хотя бы потому, что они выражаются бесконечными десятичными дробями, которыми тогда не умели пользоваться, хотя бы потому, что в самой Пифагоровой арифметике имелась аксиома неделимости единицы, за соблюдением которой ревностно следил Платон. Приведенное выше утверждение Г.Кантора, который обо всем этом знал, есть грубое искажение истории математики, вызванное скорее одержимостью «актуально-бесконечным », нежели стремлением разобраться в природе явления «несоизмеримости ».

В эпоху Платона античная наука пребывала в глубочайшем кризисе, но верно и то, что кризис этот был катализатором исследований, направленных на более строгое, формализованное описание математических понятий. Однако стремление к строгости выражалось двояко. Платон, находившийся под сильным влиянием пифагорейцев (как видно, последователей Гиппаса), часто выдавал за такую строгость синкретичный догматизм учения Пифагора, тогда как Аристотель прекрасно знал об опасности принять за истину ошибочное умозаключение, выстроенное на основании тех или иных догматов.

В частности, на это указывает отношение Аристотеля к математическим аксиомам. Под аксиомой он понимал положение, лежащее в основе доказательства, которое само не требует доказательств, а принимается в качестве общепризнанного ^{[13, С.245]}. В таком понимании нет требования «внутренней непротиворечивости » аксиом или отождествления набора аксиом с абсолютной математической истиной. Наборы аксиом рассматриваются Аристотелем в духе конвенционализма А. Пуанкаре, когда предполагается, что на смену одного определения, принятого за аксиому, могут придти другие, более точные.

Историк математики и переводчик Евклидовых «Элементов» Д.Д. Мордухай-Болтовский обнаруживает в этом представлении сходство с философией стоиков, полагавших, что любое изреченное слово нельзя полностью отождествлять с подлинно непротиворечивой мыслью или внутренним логосом: «Не так далеко отстоят от Аристотеля и стоики, допускающие в качестве аксиом как верные, так и неверные положения, но с признаками общности и фундаментальности, из которых выводятся следствия, быть может даже уничтожающие эти положения » ^{[13, С.245]}.

Для представителей школы формализма такое понимание неприемлемо, ведь они хотят как раз получить такой набор символов, который никто ничем не сумел бы опровергнуть. Однако перед Аристотелем стояла другая задача. Он понимал, что для развития математической науки необходимо было примирить математические традиции пифагорейцев, стремившихся (как «правильно, но неверно » понял Г. Кантор), «оконечить » бесконечность, с теорией Евдокса, в определениях которой бесконечность мыслилась как свойство величин к ничем неограниченному становлению, что в полной мере отвечало взглядам самого Аристотеля, утверждавшего, что бесконечное не может существовать как актуальное бытие ^{[17, С.112]}.

Только благодаря тому, что Аристотель не выдвигал требований внутренней непротиворечивости для аксиом, ему удалось решить эту задачу введением в основания математики фундаментальной аксиомы о разделении геометрии и арифметики: «Для числа имеется предел в направлении к наименьшему, а в направлении к большему оно всегда превосходит любое множество, для величин же наоборот: в направлении к меньшему оно превосходит все своей малостью, а в направлении к большему бесконечной величины не бывает. Причина та, что единица неделима » ^{[17, С.120]}.

Именно благодаря этой формулировке о разделении арифметического числа и геометрической величины стало возможно появление «Элементов» Евклида -- трактата, где собраны воедино две враждовавшие между собой античные концепции. Не стоит, однако, полагать, что в современной математике дело обстоит иначе. Оттого, что математики вычеркнули «на бумаге » аксиому неделимости единицы вместе с аксиомой о разделении числа и величины, эти аксиомы никуда не исчезли из доказательств, которые были признаны корректными«во времена Пифагора и Платона ».

Напряженный труд Г. Кантора состоял как раз в том, чтобы перенести пифагорейские представления о числе, «имеющем предел в направлении к меньшему », на геометрические непрерывные величины. Он решил отказаться от аксиомы о разделении числа и величины, но пошел к этому путем пифагорейцев, предположив, будто у величин, может быть абсолютный арифметический предел в направлении к меньшему, только не единица, а кардинальное число (алеф). Вот этот гипотезис и был предложен Г.Кантором как аксиома о двух стягивающихся в общую точку отрезках. Однако теория множеств не позволила математикам адекватно описать геометрическую непрерывность в символах теории бесконечных множеств (доказательство гипотезы континуума или первая проблема Д. Гильберта).

Поэтому один из создателей системы аксиом теории множеств А. Френкель был полностью согласен с тем, что введенная Аристотелем аксиома разделения числа и величины продолжает выполняться, несмотря на все усилия, приложенные для ее устранения: «Преодоление пропасти между областью дискретного и областью непрерывного, или между арифметикой и геометрией, есть одна из главных, -- пожалуй, даже самая главная проблема оснований математики (…) Характер рассуждений теперь, конечно, изменился, но трудности, как и прежде, возникли в связи с пропастью между дискретным и непрерывным -- этим неизменным камнем преткновения, играющим чрезвычайно важную роль в математике, философии и даже физике » ^{[18, С.12]}.

Таким образом, в основаниях математики в период античности сложилась следующая Аристотеле-Евклидова система аксиом (АЕ ):

1. Аристотелева аксиома разделения числа и величины.

2. Пифагорейская система аксиом арифметики, в том числе:

a) аксиома неделимости единицы;

b) аксиома о четности и нечетности единицы.

3. Система арифметических аксиом, выводимых из «Элементов» Евклида ^{[13, С.247]}.

4. Аксиома Евдокса-Архимеда: для любых двух отрезков А и В можно указать такое натуральное число n, что n•B >A.

5. Евклидова система аксиом геометрии.

5.LOGICA VETVS ET NOVA

Несмотря на выдающиеся математические открытия поздней античности в трудах Архимеда и Аполлония, древнегреческая математика не выдержала испытания временем. Для того, чтобы обойти логические антиномии при обращении с «несоизмеримостями», античные ученые выработали особый язык геометрической алгебры. Но математические трактаты, написанные этим языком, были «необычайно трудными и большей частью не читались » ^{[6, С.358]}.

Достигнув небывалых высот, античная цивилизация пришла в упадок в круговороте нескончаемых войн. По крайней мере трижды была сожжена Александрийская библиотека (в период римских завоеваний, становления иудео-христианкой цивилизации и образования арабского халифата). Обломки античной науки были собраны в более прагматичной арабской математике, где пространный язык «греческой учености » был переведен Аль-Харезми на более емкий и доступный язык алгебры.

Новоевропейская наука, которая стала формироваться после крестовых походов, не являлась непосредственным продолжением античной математики. Средневековая схоластика взяла из античной науки лишь то, что было нужно для ведения феодального хозяйства и утверждения в умах неизменной картины мира. Сама обстановка средневековья с неограниченным могуществом церковной власти была далека от скептического настроения философов в эпоху античности.

Тем не менее, вместе с переводами арабских математических трактатов в Европе XII века утвердилась арабо-индийская десятичная система счисления. Именно влияние восточной математики привело к постепенному введению в европейскую арифметику десятичных дробей (упоминание о них содержится в «Книге об индийской арифметике» Абу-аль-Хасана Ахмада, X век). Если средневековые схоласты еще штудировали Аристотеля, повторяя положение о неделимости единицы, то после Джордано Бруно, Николая Коперника, Галилео Галилея, Иоганна Кеплера, Франсуа Виета, Пьера Ферма, Рене Декарта и многих других великих ученых XV-XVII веков никто уже не смел придерживаться столь странных арифметических анахронизмов.

Метод координат Рене Декарта и разработанная им теория измерения интервалов позволяли говорить о единой природе арифметического числа и геометрической величины. Тем самым картезианская система противопоставила себя античной теории несоизмеримости. Именно благодаря Декарту квадратичные и прочие иррациональности стали рассматриваться в качестве действительных арифметических корней. А ведь еще в 1544 году Михаэль Штифель в своей «Arithmetica integra» утверждал, что «irrationalis numerus non est verus numerus » (с лат. «иррациональные числа -- не истинные числа »), исключая по давней традиции все иррациональные числа из множества действительных, ибо ни одно из них нельзя было вычислить с такой точностью, которая бы позволила говорить о реальном существовании числа, к которому выполняется приближение ^{[1, С.135]}.

Выражая полное согласие с Рене Декартом по поводу «равенства прав » между числами рациональными и иррациональными, современные математики едва ли вспоминают, что причиной установления этого равенства служила убежденность Декарта в том, что дальнейшее изучение иррациональных чисел позволит открыть их «простую природу». Пожалуй, из всего поколения математиков той великой эпохи только основатель анализа Рене Декарт интуитивно догадывался о наличии в математике фундаментальных противоречий. В своих «Правилах для руководства ума» он высказывал подозрение, что античные авторы «из пагубной хитрости утаили» от потомков истинную сущность математики, заменив ее другими,«остроумно выведенными истинами » ^{[19, С.67]}.

Все попытки выявления «пагубной хитрости » античной математики закончилась для Декарта без ожидаемого результата. Однако Рене Декарт впервые сформулировал эпистемологическую проблему о том, возможно ли построение математики без применения Аристотелевой аксиомы о разделении арифметики и геометрии? Открытие дифференциального исчисления сэром Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем, а также развитие математического анализа в XVIII веке, по сути, было попыткой дать положительный ответ на этот картезианский вопрос. Однако в новоевропейской математике не обращали внимания на аксиомы арифметики и геометрии -- они полагались как некая тривиальная данность, неизменный набор самоочевидных истин. Поэтому никто не пытался дать исчерпывающее объяснение, отчего некоторые пифагорейские теоремы на проверку оказывались некорректными (как показал Пьер Ферма в своей Великой теореме), поэтому полной неожиданностью для математиков XVIII века оказалось обнаружение парадоксов бесконечно малых величин.

Как известно, дьявол кроется в мелочах, а математический дьявол скрывался на этот раз в бесконечно малых величинах. При вычислении производных функций требовалось определение мгновенной скорости, то есть пройденное физическими телами «нулевое » расстояние нужно было делить на «нулевое » же время, что давало не имеющее математического смысла выражение 0/0 (на ноль делить нельзя). В решении этого затруднения существовали два подхода: сэр Исаак Ньютон категорически возражал против употребления «неделимых в пределе », выступая за представление бесконечно малых в качестве бесконечно убывающих величин, а Лейбниц настаивал на том, что, бесконечно убывая, величины могут достигать некоторых особых «бесконечно малых значений ». Он их определял как отношение dy/dx , удовлетворяющее строгому тождеству, ибо ошибка в данном случае будет «меньше любой конечной величины » ^{[1, С.162]}.

В стандартной математике получили развитие абстрактно-логические взгляды Лейбница, применявшего следующий принцип непрерывности: «Если переменная на всех промежуточных этапах обладает некоторым свойством, то и ее предел будет обладать тем же свойством», -- хотя этот принцип «не был (и ныне не является) математической аксиомой » ^{[1, С.163-164]}, но он оказался очень удобным для обоснования математического анализа. Математикам не нужно было задумываться над каждым решением, сравнивая конкретные бесконечно малые величины.

Вот что сообщает по этому поводу советский историк и философ математики С.А. Яновская: «Всякий обучающийся теперь дифференциальному исчислению уже на первых шагах обучения сталкивается с теоремой Ролля. Но лишь немногим известно, что Ролль был горячим противником того самого дифференциального исчисления, успеху которого он содействовал не только своей теоремой, но и своими выступлениями против анализа бесконечно малых » ^{[20, С.76]}. Мишель Ролль критиковал методы, ставшие стандартными методами анализа, поскольку считал, что «мы впадаем в противоречие, приписывая протяженность бесконечно малым dx и dy. И это противоречие становится тем большим, чем больше увеличиваем мы эту протяженность. Ибо, если мы берем, например, 4 вместо бесконечно малого dy, тогда равенство dy=0 изменится в 4=0, и это противоречие станет бесконечно малым, если вместо 4 мы подставим бесконечно малую величину » ^{[20, С.96]}.

В наши дни Ролля обвинили бы в лукавстве, ведь он вместо бесконечно малой величины брал конечное целое число 4 , приравнивая его к 0 -- к «абсолютному ничто ». Однако ему было важно показать, что некое противоречие все же возникает. В самом деле, применение десятичных дробей позволяет нам записать равенство 3,(9)=4 , то есть 3,(9)+0,(0)1=4,(0) , где 0,(0)1 -- бесконечно малая единица. Если оба эти равенства тождественны, если мы можем «обнулить» или «уничтожить » бесконечно малую единицу, то все бесконечно малые, из которых состоит 3,(9)=4 , тоже можно «обнулить », но тогда мы получим как раз 4=0 , причем это следует из того же принципа непрерывности Лейбница.

Мишель Ролль хотел получать вместо бесконечно малых приближений некие точные значения, как в арифметике целых чисел, что, конечно же, было невыполнимо, но его возражение вскрывает «филогенез » стандартной математики, который был далек от совершенства. Если Лейбниц осознавал существование погрешности при «уничтожении » бесконечно малых, то Леонард Эйлер в своем «Дифференциальном исчислении» предлагал математикам прекратить споры и «забыть » о приращениях бесконечно малых величин, объясняя это тем, что «никаких глубоких таинств, как полагают обычно, что и делает исчисление бесконечно малых для многих чрезвычайно подозрительным, здесь не скрывается » ^{[20, С.101]}.