Ключ Давида (о решении второй математической проблемы Дэвида Гильберта)

Вероятно, многих ошибок можно было бы избежать, если бы хоть кто-то из основателей анализа догадался связать стремительное введение в математику бесконечных десятичных дробей с появлением нового набора арифметических аксиом, который не применялся в античной математике. Ведь вместо аксиомы о неделимости единицы появилась аксиома о возможности бесконечного деления единицы. Вместо множества действительных чисел, состоящих только из целых чисел (четных или нечетных) появилось множество действительных чисел, состоящее из целых и дробных чисел (четных, нечетных, а также -- ни четных, ни нечетных). Стало быть, и применимость Аристотелевского принципа «tertium non datur » (с лат. «третьего не дано ») в доказательстве Гиппаса при помощи четных и нечетных чисел следовало подвергнуть тщательнейшей проверке.

6.CONTRADICTIO IN ADJECTO

Однако осознание необходимости систематического изучения аксиом возникло у математиков лишь в XIX веке, прежде всего, благодаря исследованиям Г.Ф. Гаусса, Н. Лобачевского и Я. Бояи, показавших, насколько разительно могут отличаться свойства одних и тех же, казалось бы, объектов при их рассмотрении в рамках различных наборов геометрических аксиом. Парадоксы, возникающие между аксиомами арифметики и геометрии по достоинству оценил Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд. Спустя сотни и даже тысячи лет после написания Евклидом сводного трактата по основам античной математики, Р. Дедекинд заметил нестыковку аксиомы измерения Евдокса-Архимеда (V книга «Элементов») с несоизмеримыми отрезками длины, которые возникают в последующих книгах трактата.

В математическом сочинении «Непрерывность и иррациональные числа» Р. Дедекинд пишет: «Фактом величайшей важности является то обстоятельство, что на прямой L есть бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Действительно, если точка "p" соответствует рациональному числу "a", то, как известно, длина "0р" соизмерима с употребленной при построении единицей длины, то есть существует третья длина, так называемая общая мера, относительно которой обе длины представляются целыми кратными. Но уже древние греки знали и доказали, что существуют длины, несоизмеримые с данной единицей длины, -- например, диагональ квадрата, сторона которого есть единица длины. Если нанести такую [несоизмеримую] длину от точки "0" на прямую, то получим конечную точку, которой не соответствует никакое рациональное число » ^{[21, С.15]}.

Несмотря на то, что Р. Дедекинд нисколько не сомневался в доказательстве Гиппаса, он вновь обратил внимание математиков на существующую с незапамятных времен проблему разделения арифметического числа и геометрической величины: «Принятое до сих пор введение иррациональных чисел связывается именно с понятием о протяженных величинах -- которое само нигде не определено -- и определяет число как результат измерения такой величины другою такого же рода. Вместо этого я требую, чтобы арифметика развивалась сама из себя (…) чтобы иррациональные числа были вполне определены через посредство рациональных. Но как это сделать --вот в чем вопрос » ^{[21, С.16]}.

Ответ был найден Р. Дедекиндом в том, чтобы вместо соизмеримых и несоизмеримых отрезков взять два класса P и Q , таких что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго, при этом существует одна и только одна точка б, которая производит сечение прямой на два класса ^{[21, С.24]}. Однако такая непрерывность числовой прямой достигалась за счет того, что точка сечения двух классов относилась к первому или ко второму классу совершенно произвольно, откуда следовала возможность отнести все точки прямой к какому-то одному классу, либо к классу рациональных, либо к классу иррациональных чисел. Поэтому Дедекинд соглашался с тем, что он в своем предложении ничуть не приоткрывает тайну непрерывности, ибо «решительно не в состоянии привести какое бы то ни было доказательство справедливости этого принципа, и никто не в состоянии. Принятие этого свойства прямой линии есть не что иное как аксиома, посредством которой мы только и признаем за прямой ее непрерывность » ^{[21, С.18]}.

Совершенно иного представления о непрерывности придерживался Г. Кантор. Если для Р. Дедекинда непрерывность состояла в наделении одним и тем же свойством классов соизмеримых и несоизмеримых величин, то Г. Кантор считал все целые числа «прототипом разрывности », хотя ему, само собой разумеется, было известно, что любое целое число можно представить непрерывной десятичной дробью с периодом (9) . Несмотря ни на что, непрерывность, по мнению Г. Кантора, следовала только из свойства несчетности множества действительных чисел, то есть была связана лишь с «несоизмеримыми величинами ». Различные взгляды на природу континуума послужили поводом для научной дискуссии между Р. Дедекиндом и Г. Кантором. И здесь мы вновь сталкиваемся с фальсификацией реальной истории математики.

Представители господствующей теоретико-множественной парадигмы сумели убедить всех математиков, что между Р. Дедекиндом и Г. Кантором не существовало никаких принципиальных расхождений в понимании непрерывности. В «Википедии», а также во многих других статьях и математических пособиях, аксиомы непрерывности Р. Дедекинда и Г. Кантора даже принято именовать неким общим термином «аксиома непрерывности Дедекинда-Кантора ». Но, на самом деле, Р. Дедекинд признавал теорию Г. Кантора с той опять-таки принципиально важной оговоркой, что в будущем удастся разрешить проблему непрерывности или континуум-гипотезу Г. Кантора. Раз гипотеза континуума Г. Кантора (первая проблема Д. Гильберта) до сих пор не доказана и, как следует из результатов американского математика П. Коэна, вряд ли когда-нибудь будет доказана, то и отождествлять две эти аксиомы нельзя.

Об этом различии двух аксиом говорит сам Г. Кантор в своей переписке с Р. Дедекиндом: «Вы говорите, что аксиома, указанная мною, по существу эквивалентна аксиоме, изложенной Вами в §3 [сочинения "Непрерывность и иррациональные числа"] как выражение сущности непрерывности. Однако под этим Вы понимаете то же самое свойство, которое на стр.25 дается под номером IV; но это свойство принадлежит и системе всех целых чисел, которые, тем не менее, можно рассматривать как прототип разрывности (…) [поэтому] не следует приписывать свойству IV используемого Вами наименования "сущность непрерывности" » ^{[22, С.335]}.

В ответ Р. Дедекинд указал Г. Кантору на его предвзятое отношение к целым числам: «После Вашего последнего письма мне кажется, что нам угрожает риск спора скорее о словах, чем о вещах. Всякий внимательный читатель моей работы определенно поймет мое мнение о непрерывности следующим образом: области, элементы которых сопоставляются и пополняются в форме, выраженными свойствами I и II (…) еще не обязательно являются непрерывными областями; такие области приобретают свойство непрерывности присоединением свойства IV (…) и только этого свойства » ^{[22, С.335-336]}. Четвертым свойством, вокруг которого шел спор, было как раз распространение Р. Дедекиндом представления о непрерывности как на класс рациональных, так на класс иррациональных чисел, что никак не согласовалось с теорией Г. Кантора, где последовательность целых чисел {1, 2, 3, 4... и т.д.} была обозначена «счетной » или понетциально-бесконечной, а последовательность v2 ={1, 4, 1, 4, 2... и т.д.} -- «несчетной» или актуально-бесконечной, причем по доказательству Г. Кантора, которое А.А. Зенкин подверг обоснованной критике, выходило, что множество всех действительных чисел тоже являлось «несчетным » или не -нумеруемым.

Г. Кантор не допускал и мысли о том, что в его суждениях может содержаться ошибка. Более того, он твердо верил в то, что его теория создавалась при непосредственном содействии сверхразумных сущностей: «Мои дорогие друзья, любящие называть себя математиками, могут думать о моих идеях все, что угодно, они могут писать о том, что им кажется правильным, в Лондон, Париж, хоть на Камчатку, но я твердо знаю, что идеи, над которыми я тружусь со своими слабыми силами, будут занимать мыслящие умы целых поколений (...) Я далек от того, чтобы приписывать мои открытия личным достоинствам, потому что я есть лишь инструмент некой высшей силы, которая будет работать и после меня, тем же самым образом, как она проявила себя тысячи лет назад в Евклиде и Архимеде » ^{[23, цитируется по обложке]}. Весь вопрос в том, что это была за «высшая сила », которая водительствовала Г. Кантором в его исторических исследованиях? Был той силой бог или же безобразная пародия на бога?

Болезненные переживания доводили Г. Кантора до того, что он призывал полностью прекратить «бесцельные » исследования потенциально-бесконечного, апеллируя к дифференциальному исчислению, где со времен Лейбница было принято «обнулять » бесконечно малые величины ^{[22, С.71]}, и забывая сказать, что лейбницевская концепция «оконечивания » бесконечно малых подразумевала существование пренебрежимой ошибки, о которой прекрасно знали и Ньютон, и Лейбниц, и многие другие основатели анализа.

Ничем не ограниченную, свободно становящуюся потенциальную бесконечность Г. Кантор понимал как «довольно скромный и простой принцип, который рекомендуется всем как Ариаднова нить. Он должен служить тому, чтобы удержать полет математической фантазии и спекуляции в надлежащих границах, где они не рискуют попасть в бездну "трансцендентного", туда, где, как говорится в целях назидания и спасительного страха, "все возможно" » ^{[22, С.72]}. Кто знает, если бы Г. Кантор все-таки воспользовался той спасительной нитью Ариадны, то его, быть может, и не коснулось дионисийское безумие, о котором древние пифагорейцы предупреждали всякого, кто приступал к изучению математики и оказывался в лабиринтах бесконечности -- там, где с древнейших времен дерзновенные мыслители надеялись обрести мудрость, а между тем постепенно теряли разум.

Практически сразу после создания теории бесконечных множеств в ней стали возникать многочисленные парадоксы. Доказать континуум-гипотезу (необходимое условие, выдвинутое Р. Дедекиндом для принятия теории Г. Кантора) ни у кого не получалось. По этой гипотезе каждое бесконечное множество подмножеств, начиная с множества всех действительных чисел, равно следующему по номеру актуально бесконечному множеству. Пытаясь найти доказательство такому «очевидному факту », Г. Кантор обнаружил лишь то, что само множество всех трансфинитных чисел щ должно было включать в качестве подмножества само себя и оказаться больше самого себя, что приводило к абсурду. По отношению к множеству всех действительных чисел это означало, что Г. Кантор предложил задавать их непрерывность трансфинитными числами, которые сами не являлись и не могли являться частями (подмножествами) некоторой непрерывной области.

Поэтому, действительно, не иначе как «криком души выступает письмо от 28 августа 1899 г. [ХLVI], в котором он [Г. Кантор] признает недоказуемость непротиворечивости существования основных объектов своей теории -- вполне упорядоченных множеств и алефов, включая конечные, и предлагает принять факт их непротиворечивости за простую недоказуемую истину, за аксиому » ^{[22, С.386]}. В критический для теории множеств момент ей оказал поддержку выдающийся математик-формалист Д. Гильберт, изрекший свою знаменитую фразу: «Никто не сможет изгнать нас из трансфинитного рая, созданного Г. Кантором », -- не заметив, что уже сам создатель этого «рая» изгнал из него всех математиков, предложив вместо надежных знаний зыбучие пески противоречий и пустыню ничем не обоснованных гипотез, нарушавших, помимо прочего, переместительный и распределительный законы арифметики ^{[24, С.25,75]}.

Даже сам Д. Гильберт, в конце концов, был вынужден признать, что «состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов [теории множеств], на длительное время невыносимо. В математике -- в этом образце достоверности и истинности -- образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же тогда искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку? » ^{[18, С.136]}.

Если Д. Гильберт полностью поддержал теорию множеств Г. Кантора, полагая, что для нее можно будет задать непротиворечивую систему аксиом, то А. Пуанкаре придерживался на этот счет другого мнения. В философско-математическом трактате «Наука и гипотеза» он в противовес Д. Гильберту поставил следующий вопрос: «Являются ли аксиомы, явно формулируемые в пособиях, единственными основаниями геометрии? » ^{[25, С.36]}, -- и указал на существование скрытых аксиом (implicit axioms ), содержащихся в доказательствах, которые с формальной точки зрения являются совершенно безупречными и «очевидными ».

От внимательного взгляда А. Пуанкаре не могло ускользнуть, что Р. Дедекинд, Г. Кантор и Д. Гильберт исходили из положения о непротиворечивости Евклидовой геометрии. И когда в теории Г. Кантора обнаружились парадоксы, они продолжали видеть в геометрии Евклида пример аксиоматической строгости, испытывая недоумение, почему в теории множеств, которая из нее как бы «естественным образом » вытекала, возникали многочисленные трудности. Поиск противоречий в аксиомах арифметики и геометрии привел Д. Гильберта к созданию аксиоматической теории. Ему удалось установить, что система аксиом стандартной математики не содержит внутренних противоречий, если только не содержит противоречий применяемая в ней система аксиом арифметики.

Следующим логическим шагом, как рассчитывал Д. Гильберт, должно было стать доказательство непротиворечивости системы аксиом арифметики. В пояснении к данной проблеме он писал, что «если какому-нибудь понятию присвоены признаки, которые друг другу противоречат, то я скажу, что это понятие математически не существует » ^{[26, С.26]}.

Зная о том, что в стандартной математике признается доказательство несоизмеримости Гиппаса, содержащее скрытую аксиому о неделимости единицы, и, зная о том, что применение десятичных дробей подразумевает наличие другой скрытой аксиомы о возможности бесконечного деления единицы, мы можем на основании результатов Д. Гильберта заключить, что в той математике, которую формалисты называют «образцом истинности », математически не существует основополагающее понятие -- «единица ».

Более того, Д. Гильберт оказался прав в том, что, если в аксиомах арифметики содержится противоречие, то в аксиомах геометрии тоже должно содержаться эквивалентное ему противоречие. И такое противоречие было обнаружено математиком-фибоначчистом А.П. Стаховым при создании алгоритмической теории измерения. Так, арифметической аксиоме о бесконечной делимости единицы соответствует геометрическая аксиома Евдокса-Архимеда, задающая потенциальную (незавершенную) бесконечность, а пифагорейской аксиоме о неделимости единицы соответствует геометрическая аксиома Г. Кантора о двух стягивающихся в общую точку отрезках, которая допускает существование актуальной (завершенной) бесконечности ^{[27, С.26]}. Таким образом, получается, что одно понятие «бесконечность » наделяется в стандартной математике диаметрально противоположными свойствами, а значит, в соответствии с определением Д. Гильберта, в ней не существует другое основополагающее понятие -- «бесконечность».

Так какую же математику можно строить в течение двадцати пяти столетий, опираясь на «математически несуществующие » понятия «единица » и «бесконечность »? Интуиционист Л. Брауэр называл такую математику «патологической », а выдающийся советсткий математик А.Н.Колмогоров -- «псевдоматематикой », и с этим трудно не согласиться.

7.FALSA IN VNO, FALSA IN OMNIBVS

В то время, когда сторонники аксиоматической теории Э. Цермело и А. Френкель разрабатывали стандартную систему аксиом теории множеств (ZF ), стараясь исключить из рассмотрения парадоксальные множества, подобные множеству всех трансфинитных чисел щ, голландский математик Л. Брауэр доказал в 1909-1911 годах теорему об инвариантности числа измерений n -мерного многообразия, а также инвариантности находящихся в нем точек.

Одним из следствий теоремы Л. Брауэра был закономерный вывод о том, что аксиома о двух стягивающихся в общую точку отрезках абсурдна, -- вся теория бесконечных множеств оказывалась в этом случае «патологическим казусом » ^{[18, С.148]}, поскольку в аксиоме Г. Кантора предполагалось существование непрерывного топологического перехода из 1 -мерного пространства (длина вложенных отрезков) в 0 -мерное (точка на числовой прямой), что невозможно, как невозможно построение идеального «perpetuum mobile » (с лат. «вечный движитель »). Без преувеличения теорема Л. Брауэра являлась для математики философским тезисом «ex nihilo nihil fit » (с лат. «из ничего ничто не появляется »). Из той же теоремы следовало и то, что «обнуление » или «уничтожение » бесконечно малых величин в дифференциальном исчислении было всего лишь условной договоренностью, равно как само употребление нулевого значения в качестве некоторого абсолютного пустого множества.

Открытие Л. Брауэра подтверждало справедливость подозрений Л. Кронекера, критиковавшего теорию иррациональных чисел и теорию бесконечных множеств. По существу, Л. Брауэр возвращал математиков к тем вопросам, которые оказались неразрешенными во время зарождения новоевропейской науки. Он, наконец, предложил то, что мог бы сформулировать еще Декарт, а именно поставить под сомнение применимость принципа «tertium non datur » в тех случаях, где третье как раз было дано. Д. Гильберт, чья вера в непротиворечивость аксиом арифметики подверглась после открытий Л. Брауэра серьезным испытаниям, обрушился на своего бывшего ученика с разгромной критикой, утверждая, что ограничение области применения закона исключенного третьего равносильно отказу от математики ^{[18, С.150]}. В конце концов Л. Брауэр был изгнан из редколлегии влиятельнейшего математического журнала «Mathematische Annalen», а его рукописи были утеряны либо, судя по уровню бурливших страстей, были просто похищены адептами теории множеств Г. Кантора.

Впрочем, ничего неожиданного в этом нет, если вспомнить, каким притеснениям и гонениям задолго до этого подвергались кротонские пифагорейцы, отвергшие Гиппаса, атомист Демокрит, Евдокс и даже Аристотель, покинувший Афинскую акадэмию из-за разногласий с Платоном. Драматическая конфронтация интуиционистов и формалистов в XX веке есть довольно точная хронологическая калька первого кризиса в основаниях математики, который разразился сразу же после появления судьбоносного доказательства несоизмеримости стороны и диагонали квадрата.

Более того, не только в математике, но и в большой науке вообще конкуренция различных теорий редко когда велась честными методами. Как результат - выживали и выживают обыкновенно только те теории, которые ведут себя наиболее агрессивно и беспощадно к своим конкурентам, уничтожая, порой, целые научные школы, имеющие вполне определенные достижения и способные эволюционировать в более совершенные теории.

Например, практически одновременно с установлением теоретико-множественной парадигмы в математике произошла смена господствующей парадигмы в физике. В массовое сознание был внедрен миф о том, что первооткрывателем теории относительности был А. Эйнштейн, хотя реальная история науки свидетельствует о том, что зачатки этой теории имелись уже в трудах Галилео Галилея, а в конце XIX века теоретическую базу для этой теории создал Г. Лоренц в статьях «Электромагнитная теория Максвелла и ее приложение к движущимся телам» и «Относительное движение Земли и эфира» (1898 г.), где был описан эффект сокращения размеров тел в направлении движения. В 1892 году А. Пуанкаре в статье «Измерение времени» доказал относительность понятия одновременности событий, ввел принцип постоянства скорости распространения света, а в 1900 году все тот же А. Пуанкаре предложил физикам знаменитую формулировку ?m = ?E / c ^2 или E = m •c ^2 .

Как справедливо заметил член-корреспондент РАН В.Ф.Журавлев по весьма странному (и вряд ли случайному) совпадению именно рецензия А. Пуанкаре на «пионерскую » работу Милевы Марич и Альберта Эйнштейна «К электродинамике движущихся тел» (1905 г.) оказалась единственным за всю историю существования журнала «Annalen der Physik» материалом, совершенно бесследно исчезнувшем из редакционного архива ^{[28, P.32]}. Если к этому добавить, что уравнения, описывающие геометрические свойства пространства-времени, названные именем А. Эйнштейна, на самом деле составил математик Д. Гильберт, то вообще окажется непонятно, на основании чего общепризнанной в истории современной науки считается версия, будто основателем теории относительности был А. Эйнштейн.

К подобным искажениям реальной истории науки, вызванных агрессивностью, а в некоторых случаях даже недобросовестностью ученых, ведущих между собой настоящую «войну на уничтожение », можно отнести и фальсификацию периодической таблицы химических элементов Д.И. Менделеева. Ведь историкам науки прекрасно известен тот факт, что сам Д.И. Менделеев перед элементами первого периода (водорода и гелия) помещал в своей таблице еще и нулевой период, куда входил гипотетический элемент «короний » и элемент X, вокруг которого слагаются все химические элементы, который есть «предельный элемент с ничтожно малым атомным весом, неспособный к химическим взаимодействиям и обладающий чрезвычайно быстрым собственным частичным (газовым) движением. Эти свойства, быть может, должно приписать атомам всепроникающего эфира » ^{[29, С.VII, 460]}.

На первый взгляд эти убеждения великого русского ученого могут показаться типичным «псевдонаучным бредом », который необходимо уничтожать в самом зародыше. Однако в 2012 году из ЦЕРН поступило сенсационное сообщение о том, что усилиями многих сотен физиков наконец-таки был обнаружен так называемый «бозон Хиггса » - частица, не вступающая в химические реакции, которую сами физики окрестили «частицей бога », из которой состоит материя. Сопоставляя описание Д.И. Менделеева со свойствами этой частицы, можно прийти к заключению, что никакой «псевдонауки » в концепции русского химика вовсе не было, зато было феноменальное теоретическое предсказание, о котором сами ученые давным-давно забыли, но которое нашло практическое подтверждение спустя столетие стремительного развития теоретической физики.

Все эти примеры показывают, насколько важно отличать реальную историю науки от той истории, которую пишут представители господствующей научной парадигмы, ведь при внимательном изучении «отброшенных теорий », в них можно найти ключ к решению проблем, которые не могут быть решены в рамках «стандартных теорий ». То же самое можно сказать о математических теориях. И если мы попытаемся вернуться к теориям, критиковавшим «наилучший классический пример рассуждения от противного в математике », то обнаружим, что доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, приведенное Гиппасом, является причиной фундаментального аксиоматического противоречия, которое невозможно разрешить в рамках «стандартной арифметики ».

Для того, чтобы продемонстрировать неадекватность доказательства Гиппаса, достаточно применить его метод к целому числу 2 и «доказать », что в Аристотеле-Евклидовой системе аксиом (AE ) число 2 тоже будет «иррациональным ». В самом деле, пусть даны два отрезка AC=2 и АВ=1 . Нам известно, что AC=2АВ . Докажем, что число 2 несоизмеримо с единицей, в точности повторяя ход размышлений из доказательства Гиппаса:

«Допустим, что AC и AB соизмеримы, то есть их отношение равно отношению двух целых чисел:

AC / AB = m / n. (1)

Предполагается, что числа m и n не являются оба четными, иначе эту дробь можно было бы сократить на два. Возведем выражение (1) в квадрат: AC^2 / AB^2 = m^2 / n^2. Нам известно, что AC=2АВ; следовательно, AC^2=(2АВ)^2, то есть m^2 = (2n)^2. (2)

Так как 2n -- четно, то будет четным и (2n)^2, а значит, m^2 -- тоже четно. Из учения о четных и нечетных числах следует, что в этом случае и m -- четно (так как произведение двух нечетных чисел нечетно). Но тогда n -- нечетно (иначе дробь m / n окажется сократимой). Поскольку m -- четно, то m = 2t.

Подставляя в (2), получим 4t^2 = (2n)^2, откуда n^2 = 4t^2 / 4.

Очевидно, что это выражение можно записать как n^2 = 2 • 2t^2 / 4.

Поскольку в пифагорейской арифметике действует аксиома неделимости единицы, то есть в ней не существует дробных чисел, мы можем приравнять выражение 2t^2 / 4 к некоторому числу k, тогда окажется, что n^2 = 2k. Тогда можно сказать, что число 2k -- четное, следовательно, число n^2 -- тоже четное. Если n^2 -- четное, то и число n должно быть четным, что приводит к противоречию ».

Раз оба числа m и n оказались четными, то между отрезками AC=2 и АВ=1 не существует отношения, выразимого целыми числами, и нам не остается ничего другого, как перейти к утверждению, что эти отрезки -- несоизмеримы! Здесь мы использовали те же самые аксиомы, которые применял в своем доказательстве Гиппас, и если математики-формалисты признают доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата «наилучшим » и «классическим», то мы вправе ожидать от них того, чтобы и доказательство несоизмеримости отрезков AC=2 и АВ=1 тоже стало общепризнанным и «классическим ». Тогда бы нам не составило труда доказать несоизмеримость, вообще говоря, любых отрезков.

Из обнаружения «иррациональности » числа 2 можно сделать вывод, что губительна для математики вовсе не философия интуиционизма, а догматическая косность формализма. Математики-формалисты, убежденные в непротиворечивости теории несоизмеримых отрезков, в упор не хотят замечать, что если вместо диагонали AC в доказательстве Гиппаса поставить дробь m=1,414… , а вместо числа t поставить дробь 0,7071… , то тогда мы получим вполне адекватное арифметическое выражение n^2 = 2t^2 , а именно 1^2=2(v2/2)^2 . В таком случае число n=1останется нечетным числом (то есть таким, которое при делении на два не дает целого числа), и никакого опровержения, когда оба числа m и n оказываются «четными », тогда не возникает. Как не возникает никакого опровержения, если в нашей теореме об «иррациональности » числа 2 вместо t поставить единицу, а вместо k -- ни четную, ни нечетную дробь 1/2 , некорректно запрещенную в AE принципом «tertium non datur » .

Разумеется, число 2 является соизмеримым с единицей, но в рамках стандартной математики, признающей «классическое » доказательство иррациональности v2 , был получен интересный с точки зрения логики результат: формула А «число v2 есть число иррациональное » выводится по тем же самым правилам, по которым выводится формула B «число 2 есть число иррациональное» . Раз первая формула признается истинной, то и вторая формула должна быть признана истинной. В то же время в стандартной математике число 2 считается рациональным, следовательно, вторую формулу мы должны признать неистинным суждением или -В .

В статье «О принципе tertium non datur» А.Н. Колмогоров дополнил Гильбертову систему аксиом логики суждений аксиомой отрицания, выражающей собой принцип противоречия, без которого нельзя обосновать применение самого метода reductio ad absurdum ^{[30, С.652]}.

(5) (А > В ) > {( А > -В ) > -А }.

«Смысл ее таков: если из А следует и истинность, и ложность некоторого суждения В, то само суждение А ложно » ^{[30, С.652]}. Далее, поскольку обе Гильбертовы аксиомы отрицания не удовлетворяют интуитивистской логике суждений, А.Н. Колмогоров выводит систему аксиом общей логики суждений, в которой, наряду с четырьмя Гильбертовыми аксиомами следования, берется аксиома отрицания (5), а также систему аксиом частной логики суждений, область применения которой ограничена и включает в себя аксиому (6) двойного отрицания:

(6) - -А > А .

Затем А.Н. Колмогоров показывает, что из этих систем аксиом общей и частной логики суждений можно доказать все формулы «традиционной » логики суждений, что подтверждает справедливость введения А.Н. Колмогоровым аксиомы (5). Математику, где принцип «tertium non datur » употребляется вне области его применимости, А.Н. Колмогоров называет «псевдоматематикой », выводы которой обладают свойством «псевдоистинности ». Поскольку в теории бесконечных множеств незаконно используется принцип исключенного третьего, то вся она оказывается «псевдоистинной ». Но свойство «псевдоистинности », как отмечат А.Н. Колмогоров, любопытно еще и тем, что многие выводы истинной (непротиворечивой) математики могут оказаться ничем не отличимыми от выводов стандартной («псевдоистинной ») математики.

Так, арифметика целых чисел в истинной и «псевдоистинной » математике будет ничем неотличима. Во многом неотличимо и ньютоновское дифференциальное исчисление от лейбницевского. Поэтому, в частности, и теорема Ролля используется в стандартном анализе, хотя сам Ролль упорно критиковал «уничтожение » бесконечно малых. В расширенном смысле можно говорить о том, что многие выводы-открытия «псевдонауки » могут быть ничем неотличимы от выводов-открытий истинной науки. На этом же свойстве зиждется процесс смены научных парадигм, описанный в замечательном очерке Т.Куна ^[31]. Например, возможность открытия кислорода Лавуазье, который придерживался псевдонаучной теории «теплорода ».

Единственное, что оставалось сделать А.Н. Колмогорову для того, чтобы доказать внутреннюю противоречивость стандартной математики, так это перевести трансфинитные суждения, где трудно получить какой-либо положительный вывод В из чистого отрицания -А , в финитные суждения ^{[30, С.662]}. Именно такой перевод мы только что осуществили в доказательстве «иррациональности » числа 2 . В самом деле, если учесть, что число v2 в суждении А получается операцией извлечения квадратного корня из числа 2 , суждение В о котором было получено тем же путем, что суждение А , то можно записать, что А > В , точно так же, как В > А . Такая логическая конструкция как раз соответствует аксиоме (5) или принципу противоречия А.Н. Колмогорова:

(5) (А > В ) > {( А > -В ) > -А }.

Если из А «число v2 есть число иррациональное » вытекает B «число 2 есть число иррациональное », а также -В«число 2 есть число рациональное », то в данном случае имеет место -А «число v2 есть число рациональное ». Вывод-А получен в рамках общей интуиционистской логики суждений без применения аксиомы двойного отрицания. Это означает, что не все «псевдоистинные » выводы стандартной математики совпадают с выводами непротиворечивой математики (по Л.Брауэру). Существуют и такие, которые задают существенное отличие стандартной математики от истинной или более непротиворечивой математики, где исключено некорректное употребление принципа «tertium non datur ».

8.AB ACTV AD POTENTIAM

Но, быть может, в рамках стандартной математики можно доказать иррациональность v2 каким-то другим способом, без некорректного употребления принципа «tertium non datur »? В самом деле, рассмотрим тривиальное конструктивное доказательство несоизмеримости v2 , основанное на правилах перевода десятичных дробей в обыкновенные:

«Теорема: десятичная дробь v2=1,414… несоизмерима в целых числах p и q .

Доказательство. Рассмотрим числа p и q, такие что p^2=2q^2. Так как любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, а при переводе из десятичных дробей в обыкновенные в знаменателе мы получаем конечную последовательность из девяток, то запись целых чисел p^2/q^2=2 будет иметь такой вид p^2/999_^2=2, откуда p^2=2 · 999_^2=199_600_2. Как видим, число 199_600_2 оканчивается на 2. Получить такую последовательность в десятичной системе счисления можно лишь возвышением в квадрат некоторого целого числа, на конце которого стоит одно из целых чисел от 0 до 9, которое при возвышении в квадрат на конце образуемой последовательности дает число 2. Перебором целых чисел от 0 до 9, возведенных в квадрат, легко установить, что ни одно из них не дает на конце число 2:

0^2=0; 1^2=1; 2^2=4; 3^2=9; 4^2=16; 5^2=25; 6^2=36; 7^2=49; 8^2=64; 9^2=81.

Следовательно, искомого таким способом целого числа p -- не существует ».

Неужели принцип противоречия А.Н. Колмогорова, по которому мы пришли к выводу -А «число v2 есть число рациональное », дал сбой? Не будем торопиться делать скороспелое заключение. Так как число 2 -- целое и не является «квадратным » целым числом (как числа 4, 9, 16, 25 и т.д.), для которых только и выполняется извлечение квадратного корня в целых числах с получением соизмеримых отношений p^2/q^2 , то можно привести сколь угодно много доказательств несоизмеримости v2 . Однако v2 =1,414 … является десятичной дробью, а не целым числом, следовательно, для утверждения о непериодичности дроби 1,414 … тривиального доказательства несоизмеримости в целых недостаточно.

Мы ввели в рассмотрение бесконечные десятичные дроби, поэтому для всех целых чисел появилось сразу несколько эквивалентных записей -- как минимум две, с периодом (9) и с периодом (0) . При этом мы договорились, что 1,(9)=2 , хотя число 1,(9) -- это бесконечная десятичная дробь, а 2 -- целое число. То есть в современной арифметике действует еще одна аксиома, согласно которой в определенных случаях десятичная дробь (нецелое бесконечное приближение к целому) эквивалентна целому числу!

Допустив однажды, что дробь может быть равна целому числу, в доказательстве иррациональности v2 возникает потребность в обосновании того факта, что для v2 невозможно подобрать и такое дробное значение, которое можно принять за эквивалентное целому. Для этого нужно ответить на вопрос: на основании чего вообще была введена столь смелая аксиома эквивалентности дроби и целого числа? Оказывается, на основании правил перевода десятичных дробей в обыкновенные, которые выполняются не только для всех приближений с недостатком 1,9; 1,99; 1,999 и т.д., но и для всех приближений с избытком 2,1; 2,01; 2,001 и т.д., тогда мы можем записать:

2,(0)=1,(9)=(20-1-(2-1))/9=18/9=2;

2,(0)=2,000…1=(20+1-(2+1))/9=18/9=2.

Из этих записей следует, что каждое значение с недостатком -м n , а также каждое значение с избытком +м n , являются конечными десятичными приближениями к целому числу 2 и к соответствующей точке на числовой прямой. Если десятичная дробь 1,414… имеет период, который при возвышении данной дроби в квадрат, дает решение Д ^2 в десятичных значениях, эквивалентных целому числу 2 , то среди конечных последовательностей дроби 1,414… должно содержаться решение д^2 , удовлетворяющее одному конечному значению -м n , +м n из приближений -M, +M (с недостатком или избытком) к целому числу 2 .

В этом случае уже нельзя делать категорических заявлений, будто в бесконечной десятичной дроби 1,414… не может содержаться ни одного конечного решения д^2 , из которого можно получить конечное приближение -м n , +м n -M, +M > Д ^2 . Потому что конечные числа вида 1414_707_ - 1414_ , получаемые в числителе обыкновенной дроби p /q, после их возведения в квадрат будут давать приближения, по разрядности соответствующие числу 199_700000_1000_ . После сокращения нулей (со знаменателем дроби 99_800_1000000_ ) мы получим число вида 199_700000_1 , которое оканчивается на 1 . Получить единицу на конце такой последовательности уже можно. Например, при возведении в квадрат конечной последовательности, оканчивающейся либо на единицу ( _1^2=1 ), либо на девятку ( _9^2=81 ).

Другими словами, число вида 199_600_2 , которое мы ввели в тривиальном доказательстве несоизмеримости оказывается не единственным искомым числом в арифметике, где действует аксиома эквивалентности дроби и целого. Если принять лишь тривиальное доказательство, в котором подразумевается, что p^2/q^2 может быть равно либо целому числу, либо эквивалентной дроби с недостатком -м n , то мы вновь придем к некорректному применению принципа «tertium non datur ».

Подразделение на соизмеримые и несоизмеримые отрезки всегда лишало Евклидову геометрию логической стройности. М.Я. Выгодский писал об этом следующее: «Тягостность этого подразделения хорошо известна всем изучавшим геометрию и преподававшим ее. Создавая видимость строгости, оно не дает ни логического, ни эстетического удовлетворения. Его искусственность усугубляется тем, что соизмеримые и несоизмеримые отрезки геометрически совершенно равноправны » ^{[32, С.283]}.

В самом деле, выбор эталона длины происходит произвольным образом, поэтому ничто не мешает принять диагональ некоторого квадрата, скажем, за единичный отрезок, которым будут произведены те или иные измерительные работы. Получается, что одна и та же геометрическая величина (отрезок) может иметь различную арифметическую природу в зависимости от того, как ее представляет себе человек. Такой подход равносилен тому, как если бы геометр обладал знаниями, позволяющими ему на свое усмотрение заставлять двигаться солнце вокруг земли или, наоборот, заставлять землю обращаться вокруг солнца.

Расширенная аксиома эквивалентности снимает это «тягостное» затруднение, показывая, что числовые последовательности несводимых к целым числам квадратов и целые числа могут быть выражены через общее представление о периодических десятичных дробях, а значит, имеют единую арифметически упорядоченную природу. На справедливость данного подхода указывает и введенная Д. Гильбертом первая аксиома порядка: «Если А,В,С -- точки одной прямой, и В лежит между А и С, то В лежит также между С и А ». По мнению М.Я. Выгодского в геометрии нет особой надобности вводить такое тафтологическое определение понятия «между» и специально оговаривать, что фраза «В лежит между А и С » равносильна фразе «В лежит между С и А » ^{[32, С.267]}.

И все же в арифметике эта «очевидность » уже не столь очевидна, как в геометрии. Если обозначить точки А,В,С,лежащими на одной прямой через целые числа, то окажется, что в стандартной математике, оперирующей только бесконечными приближениями с недостатком -м n , непрерывный переход между ними будет осуществляться лишь в направлении от А к В , так как для непрерывного перехода от С к В нужны симметричные им бесконечные приближения с избытком +м n .

Помимо проблемы непрерывности (континуума), а также смежной проблемы объединения геометрической величины и арифметического числа, интуиционистский подход к разрешению второй проблемы Д. Гильберта позволяет по-новому взглянуть на старую проблему бесконечно малых величин.

Топологическое разбиение n -мерных объектов на элементы той же размерности (брауэрово разбиение) позволяет обнаружить периодические десятичные значения у класса чисел, которые в стандартной математике принимаются как дроби, не имеющие периодов. Например, для v2 можно записать следующее отношение двух целых чисел m ^2/n^2 :

(I)

Брауэрово разбиение для кубического корня из 2 выполняется по аналогии с разбиением для квадрата. Объем для удвоенного куба выразится формулой: 2n^3-(2n^2-1) , где n -- число элементов стороны базисного куба. Разумеется, как в случае с удвоением квадрата, мы будем получать по этой формуле только последовательные приближения к удвоенному кубу. Невозможность решения задачи по удвоению куба в целых числах была доказана давно. Но нам и не требуется решение в целых числах, нас интересуют только приближения для удвоенного куба по десятичным кубам 10^3, 100^3, 1000^3 и т.д., которые позволяют получить число, стоящее до начала периода в десятичной дроби 1,259_432_432_(432_) . Тогда мы получим следующие объемы:

2·10^3-(2·10^2-1) = 1801; 2·100^3-(2·100^2-1) = 1980001; 2·1000^3-(2·1000^2-1) = 1998000001 и т.д.

Разрядность этих приближений в целых совпадает с разрядностью, получаемой на каждом шаге приближения дроби (2^1/3=1,259…)^3 , а именно на первом шаге для дробных имеем 1,728 , а для целых 1801 . На втором шаге для дробных 1,953125 , а для целых 1980001 . На третьем шаге для дробных 1,995616979 , а для целых 1998000001 и т.д. Таким образом, можно получить следующее отношение двух целых чисел m^3/n^3 :

(II)

На что следует обратить внимание, так это на то, что в выражениях (I) и (II) значение для квадратного корня (2,00_1) по разрядности отличается от значения для кубического корня (2,000_1 ). Различия эти задают разницу в записях (2^1/2)^2 =2 и (2^1/3)^3=2 . Разницу, которая никак не учитывается в формулах стандартной математики, отчего можно прийти к ошибочному умозаключению, будто между пространствами различных размерностей существует непрерывный переход, так как все несводимые к целым числам корни из числа 2 оказываются в таких записях равными одной и той же десятичной дроби с периодом (9) : (2^1/2)^2 =1,99(9)=2 ; (2^1/3)^3=1,99(9)=2 и т.д. Именно поэтому Г. Кантор, ради удобства выбрасывавший из рассмотрения десятичные дроби с периодом (9) и прекративший «бесцельные » исследования бесконечно малых величин, сумел получить свое знаменитое «патологическое доказательство », согласно которому сторона квадрата (1 -мерное пространство) и его площадь (2-мерное пространство) равны по числу точек, то есть равномощны или топологически эквивалентны.

Вопреки убеждениям Эйлера, в бесконечно малых величинах, к которым стандартная математика привыкла относиться с пренебрежением, все-таки содержатся некие «глубокие таинства ». Ответ на вопрос, что это за «таинства », позволяет получить перенос интуиционистских идей Л. Брауэра из топологии в арифметику, в результате чего становится возможно эффективное упорядочение таких последовательностей, которые до этого рассматривались как эффективно неупорядоченные или хаотичные. Обнаружение этих закономерностей полностью согласуется с результатом П. Коэна, который в 1963 году доказал, что ни проблема континуума, ни возможность упорядочения любого бесконечного множества (аксиома выбора Леви-Цермело) не зависят от системы аксиом стандартной математики.

В связи с этим необходимо заметить, что упорядочение последовательностей несводимых к целым числам радикалов можно рассмотреть с точки зрения теоремы Абеля-Руффини и теории Э. Галуа о неразрешимости в радикалах уравнений пятой степени и выше. В самом деле, почему корни уравнений ниже пятой степени можно выразить в радикалах, а уравнений пятой степени и выше -- нет? Поиск ответа на этот вопрос стимулировал появление глубоких математических теорий и исследований. Академик РАН В.И. Арнольд обнаружил, что алгебраические уравнения пятой степени и выше не решаются в радикалах по топологическим причинам ^{[33, С.4]}.

Зная о том, что для получения радикала любой n -степени должен выполняться какой-то один способ для упорядочения получаемой последовательности, можно заключить, что, начиная с пятой степени, таких способов становится несколько. Например, пятую степень можно представить в виде суммы степеней 2+2+1 либо 2+3 , причем во втором случае порядок последовательности задается двумя различными способами (ведь топологический порядок первой степени в случае 2+2+1, задающийся на числовой прямой, совместим с топологическим порядком любой размерности). Для упорядочения таких неопределенных последовательностей, появляющихся в уравнениях пятой степени и выше, необходимо вводить дополнительные правила, которые ограничивают возможности внутренних преобразований при упорядочении знаков последовательностей, что ведет, в том числе, к ограничению возможных преобразований между членами уравнений, то есть как раз к явлению невыразимости.

9.LVMEN RATIONALIS

Философско-математическая концепция интуиционизма позволяет не только дать более удачную рациональную реконструкцию трех кризисов в основаниях математики, показать их общие корни, а также искажения реальной истории науки, связанные с установлением теоретико-множественной парадигмы, она позволяет обнаружить математический ключ к негативному решению второй проблемы Д. Гильберта, которая была сформулирована в 1900 году на II Международном Конгрессе математиков. Несмотря на то, что сам Д. Гильберт пытался отыскать доказательство непротиворечивости системы аксиом стандартной арифметики, негативное решение данной проблемы в полной мере подтверждает его убежденность в неограниченных возможностях познания, ибо в математике не существует тезиса «ignoramus et ignorabimus » (c лат. «мы не знаем и никогда не узнаем ») ^{[26, С.22]}.

Кроме того, решение второй проблемы Д. Гильберта, которое было признано многими математиками практически неосуществимым после публикации статьи К. Геделя «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем» (1931 г.) , подтвердило другие слова Д. Гильберта о том, что у сложных проблем не обязательно должно быть сложное решение, что «строгие методы являются в то же время простейшими и наиболее доступными » ^{[26, С.17]}. Как показывает язык античной геометрии, языки анализа и теории множеств, за введением новых аксиом и усложнением символизма могут скрываться неразрешенные антиномии, отложенные «в долгий ящик ». Как остроумно высказался в рецензии на книгу Умберто Эко «Кант и утконос» английский математик Саймон Блэкберн: «Противоречивость есть вещь упорная; вы можете избавиться от нее не добавлением, а лишь отниманием » ^{[34, С.133]}.

Философию интуиционизма можно представить именно таким «отниманием » у стандартной математики теории несоизмеримых отрезков, некорректного применения принципа «tertium non datur », аксиомы Г. Кантора о двух стягивающихся в общую точку отрезках и других важных элементов-подпорок, необходимых для «выживания » теории множеств. Однако не стоит представлять обнаружение противоречий в системе аксиом арифметики как революционный призыв к разрушению грандиозного здания стандартной математики или как хирургическое вмешательство, которое потребовалось изношенному старческому организму.

Речь следует вести об очень длительной и драматической эволюции математических теорий, в результате которой выделился принципиально иной вид теорий, имеющий в своем распоряжении более эффективные инструменты познания, обладающий во многом еще неизвестными способностями и готовый к сосуществованию с другими видами теорий. Интуиционизм раздвигает границы мышления, позволяет увидеть закономерности там, где стандартные теории впадают в неопределенность. В нем история науки перестает быть пассивным регистратором накопления знаний, но само время начинает выступать в качестве создателя нелинейной внутренней логики возникновения научных открытий, в полном соответствии с интуиционистскими взглядами И. Лакатоса ^[35].

Развивая мысль А.Н. Колмогорова о соотношении истинной математики и «псевдоматематики », выдающийся логик Г. Чейтин указал на существование предела для каждой достаточно богатой теории, не позволяющего выводить для объекта x колмогоровской сложности (самой малой длины совокупности знаков, описывающей данный объект) некий универсальный алгоритм, адекватно отражающий совокупность всех знаков для полного описания данного объекта.

В отличие от арифметики, где довольствуются записью (2^1/2)^2 =1,99(9)=2 с нетривиальным утверждением о непериодичности дроби 1,414… и столь же нетривиальным утверждением об эквивалентности дроби и целого числа, в интуиционистской арифметике такой записи соответствует подробный разбор приближений, в котором для объекта x(дробь v2=1,414… ) обнаруживается топологически обусловленное свойство упорядоченности. Предел Чейтина, заложенный в философии интуиционизма, значительно превосходит познавательный предел стандартной математики.

Понятие потенциальной бесконечности позволяет выходить, вообще говоря, за рамки любых финитных символов. Поэтому интуиционизм вполне терпимо относится к теологическим и философским вопросам, воспринимая символы религиозной парадигмы как семантику, применяемую человеком во всех языковых системах. И нет ничего странного в том, что некоторые выдающиеся ученые XX века проявляли интерес к мистике, в том числе, математики Г. Кантор и Л. Брауэр. Однако любая религиозная парадигма, выражаемая знаками того или иного священного писания, тоже не есть некий абсолютный познавательный предел для интуиционизма.