"Фракталы, их классификация, свойства и применение"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нижегородский государственный педагогический университет им.

К. Минина

Научно-исследовательская работа

"Фракталы, их классификация, свойства и применение"

Выполнили:

Драбинка А.Р.,

Калашова А.А.,

Кляузова И.А.,

Пестрецова А.О.,

Тарасова А.А.,

Уткин А.А.

г. Нижний Новгород 2018 год

План

Введение

Глава 1. Основные понятия геометрии фракталов

1.1 Фрактальные размеренности

Глава 2. Теория создания фракталов

2.1 Теоретическое построение фракталов

2.2 Создание фрактала с помощью компьютерных технологий

Глава 3. Применение фракталов

3.1 Фрактальная геометрия. Аксиомы фрактальной геометрии

Глава 4. Использование фракталов в музыке

4.1 Музыкальная формула фракталов

4.2 Фрактальная композиция как процесс генерации музыкального материала

4.3 Фракталы в информатике

4.4 Применение фракталов в естественных науках

4.5 Использование фракталов в природе

4.6 В неживой природе

4.7 Использование фракталов в интерьере

Глава 5. Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

Глава 6. Эксперимент по созданию фракталов

6.1 Создание фракталов с помощью компьютерных технологий

6.2 Создание фракталов в приложении Microsoft Excel

Заключение

Список литературы

Введение

Мир фракталов - это удивительный, огромный и многообразный мир. Фрактальные рисунки - это пик вдохновения мастера на пути к совершенному единству математики, информатики и искусства. Совсем недавно геометрические модели природных объектов изображались с помощью комбинаций простых фигур, таких как прямые, треугольники, прямоугольники, окружности, сферы, многогранники. Но с помощью набора этих известных фигур нелегко описать более сложные предметы, например пористые материалы, формы материалов, кроны деревьев. Новые компьютерные средства, без которых не может обойтись современная наука, выводят математику на чрезвычайно высокий уровень.

Актуальность работы заключается в том, что фракталы лучше передают наш изменчивый и сложный мир, они помогают изучить различные процессы и явления.

Цель работы: изучить, что такое фракталы, их классификацию, функции и историю возникновения. Выяснить их значение в живой и неживой природе и научиться создавать фракталы.

Задачи работы:

1. Выяснить, что такое фрактал, его функции и классификации;

2. Изучить историю фракталов;

3. Выяснить, в каких областях применяются фракталы;

4. Изучить теорию построения фракталов и создание фракталов с помощью компьютерных технологий;

5. Научиться самим создавать фракталы в разных приложениях.

Объект исследования: фракталы в различных сферах науки.

Предмет исследования: фрактальная геометрия, фрактальная алгебра, фрактальная графика.

Методическая и теоретическая основа исследования: анализ, синтез, моделирование фракталов.

Информационная база исследования: научная литература по истории открытия фракталов, данные исследований Б. Мандельброта, Интернет - приложения, создающие фракталы онлайн.

Научная новизна исследования: открытие фракталов в окружающей нас действительности.

Глава 1. Основные понятия геометрии фракталов

Понятие фрактала

Фрактал - множество, обладающее свойством самоподобия . В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

История происхождения фракталов

Само слово "фрактал" появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoоt B. Mandelbrot) (рис.1). Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает "ломанный" или "дробленный". Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача - понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.



Рис. 1 Benoоt B. Mandelbrot

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность - графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.

Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений.

Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia).

Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить "на пальцах", это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат - большая последовательность чисел.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений - сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график (рис. 2).

Рис. 2 График Бенуа Мандельброта

Впоследствии это изображение было раскрашено (рис. 3).

Рис. 3. Множество Мандельброта - классический образец фрактала, окрашивание графика цветом - по числу итераци.

Теория фракталов скоро нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.

Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.

В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями - графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта "Фракталы: форма, случайность и размерность". В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.

Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, - бесполезность разрабатываемой теории. "Да, - говорили они, - это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет". Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры - просто побочный результат работы "дьявольских машин", которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного "математического курьеза", и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.

Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж (рис.4).

Рис.4. Пейзаж, созданный с помощью фрактала Лореном Карпентером

Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера (рис.5).

Рис.5. Алгоритм построения пейзажа с помощью франктала

Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений. Как только стало известно о проделанной работе, энтузиасты по всему миру подхватили эту идею и стали использовать фрактальный алгоритм для имитации реалистичных природных форм (рис.6).



Рис.6. Одна из первых визуализаций 3D по фрактальному алгоритму

Работая для Lucasfilm Limited, аниматор создавал по той же схеме трехмерные ландшафты для второго полнометражного фильма саги Star Trek. В фильме "Гнев Хана" (The Wrath of Khan) Карпентер смог создать целую планету, используя тот же самый принцип фрактального моделирования поверхности.

В настоящее время все популярные приложения для создания трехмерных ландшафтов используют аналогичный принцип генерирования природных объектов. Terragen, Bryce, Vue и прочие трехмерные редакторы полагаются на фрактальный алгоритм моделирования поверхностей и текстур.

Свойства фракталов

· Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур: если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.

· Является самоподобным или приближённо самоподобным.

· Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Классификация фракталов

Для того, чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации. Существует три класса фракталов:

Геометрические фракталы

В двухмерном случае их получают с помощью ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную - генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал (рис.7).

Рис.7. Пример геометрического фрактала

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры (рис.8).

Рис.8. Пример алгебраического фрактала.

Стохастические фракталы

Ещё одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе хаотически менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

1.1 Фрактальные размеренности

Определение фрактальной размеренности

Фрактальная размерность - один из способов определения размерности множества в метрическом пространстве.

Фрактальная размерность может принимать не целое числовое значение. геометрия фрактал множество

Основная идея "дробной" размерности имеет долгую историю в области математики, но именно сам термин введён в оборот Бенуа Мандельбротом в 1967 году в его статье о самоподобии, в которой он описал "дробную" размерность.

Есть несколько формальных математических определений фрактальной размерности, которые строятся на этой базовой концепции, об изменении в элементе с изменением в масштабе. Одним из элементарных примеров является фрактальная размерность снежинки Коха.

История возникновения фрактальной размеренности

Термины фрактальная размерность и фрактал были введены Мандельбротом в 1975 году, примерно через 10 лет после того, как он опубликовал свою статью о самоподобии побережья Великобритании. Мандельброт объединил и применил сложную теоретическую математику и инженерную работу в новом варианте изучения сложной геометрии. Это послужило вызовом обычным линейным терминам.

Начиная с конца 1800-х с создания математических функций и множеств, которые сегодня называют каноническими фракталами, началось обновление в этой сфере. В это время их формулировка часто рассматривалась, как сильно противоречащей математическим "монстрам". Эти работы сопровождались, по-видимому, предположениями, что они являются наиболее ключевым моментом в развитии концепции фрактальной геометрии, через работы Хаусдорфа в начале 1900-х. Хаусдорф определил "дробную размерность", которая сейчас называется его именем и часто привлекается в определении современных фракталов.

Примеры фрактальной размеренности

Несколько формальных определений разных типов фрактальной размерности приведены ниже. Несмотря на то, что для некоторых классических фракталов все эти размерности совпадают, в общем случае они не эквивалентны:

· Размерность Минковского: D оценивается как экспоненты степенного закона.

·

· Информационная размерность: D рассматривается как средняя информация необходимая для выявления занятой емкости с размером этой емкости; - вероятность.

· Корреляционная размерность D основана на M и , где M - число точек, использованных, чтобы представить фрактал, - число пар точек ближе, чем друг с другом.

· Размерность Минковского, информационная и корреляционная размерности можно рассматривать как частный случай непрерывного спектра обобщенных размерностей порядка б, определенных следующим образом:

Глава 2. Теория создания фракталов

2.1 Теоретическое построение фракталов

Теоретическое построение геометрических фракталов

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал (рис.9).

Рис.9. Построение триадной кривой Коха

Построение кривой начинается с отрезка единичной длины - это 0-е поколение кривой. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом.

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур.

Теоретическое построение алгебраических фракталов

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы. Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.



Рис.10. Множество Мандельброта

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (рис.10). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C, где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) (рис. 11) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Рис. 11. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность. Точки принадлежащие границе множества уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций.

Теоретическое построение стохастических фракталов

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря (рис.12).

Рис.12. Стохастический фрактал

2.2 Создание фрактала с помощью компьютерных технологий

Создание фрактала в программе Toby Schachman

Пожалуй, один из самых простых способов получить фрактальный узор воспользоваться онлайновым векторным редактором от молодого талантливого программиста Toby Schachman (рис. 13). В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия.

В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы - четырехугольник и круг. В данном приложении возможно добавлять данные фигуры на холст, масштабировать и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию.

Рис.13. Создание фрактала в программе Toby Schachman

Создание фрактала в программе ХаoS: фракталы на любой вкус

Многие графические редакторы имеют встроенные средства для создания фрактальных узоров. Однако эти инструменты обычно являются второстепенными и не позволяют выполнить тонкую настройку генерируемого фрактального узора. В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, можно использовать редактор XaoS (рис. 14). В данном приложении в режиме реального времени возмоно анимировать движение вдоль фрактала, изменить его масштаб и сохранить в виде файла XAF, затем воспроизвести в самой программе.

XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения - добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.

Рис. 14. Создание фрактала в программе ХаoS

Создание фрактала в программе Fractal Zoomer: компактный фрактальный генератор

По сравнению с другими генераторами изображений фракталов Fractal Zoomer имеет несколько преимуществ. Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка. Вы можете выбирать оттенки в цветовых моделях RGB, CMYK, HVS и HSL (рис. 15).

Также очень удобно использовать опцию случайного подбора цветовых оттенков и функцию инвертирования всех цветов на картинке. Для настройки цвета имеется функция цикличного перебора оттенков - при включении соответствующего режима программа анимирует изображение, циклично меняя на нем цвета.

Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. Фильтры для постобработки изображения в программе имеются, хотя и в небольшом количестве. Каждый назначенный фильтр можно в любой момент отменить.



Рис.15 Создание фрактала в программе Fractal Zoomer

Создание фрактала в программе Mandelbulb3D: редактор трехмерных фракталов

В программе Mandelbulb3D есть возможность создавать трехмерные объекты (рис. 16). Чтобы получить трехмерную поверхность с использованием фрактального алгоритма, авторы данного приложения, Дениэл Уайт (Daniel White) и Пол Ниландер (Paul Nylander), преобразовали множество Мандельброта в сферические координаты. Созданная ими программа Mandelbulb3D представляет собой самый настоящий трехмерный редактор, который моделирует фрактальные поверхности разных форм. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже "живым". Этот эффект усиливается благодаря продвинутому алгоритму визуализации, который дает возможность получать реалистичные отражения, просчитывать прозрачность и тени, имитировать эффект глубины резкости и так далее. В Mandelbulb3D имеется огромное количество настроек и параметров визуализации. Можно управлять оттенками источников света, выбирать фон и уровень детализации моделируемого объекта. Также данный фрактальный редактор позволяет создавать анимацию. Вы не только конфигурируете трехмерное множество, но и можете его вращать, масштабировать и менять параметры.

Рис. 16. Создание фрактала в программе Mandelbulb3D

Создание фрактала в программе Генератор трехмерных фракталов Incendia

Incendia - это мультипроцессорный генератор трехмерных фракталов, разработанный испанским программистом Ramiro Perez, который изучает фракталы с 1989 года (рис.17). Фрактальный редактор Incendia поддерживает двойное сглаживание изображения, содержит библиотеку из полусотни различных трехмерных фракталов и имеет отдельный модуль для редактирования базовых форм.

Приложение использует фрактальный скриптинг, с помощью которого можно самостоятельно описывать новые типы фрактальных конструкций. В Incendia есть редакторы текстур и материалов, а движок визуализации позволяет использовать эффекты объемного тумана и различные шейдеры. В программе реализована опция сохранения буфера при длительном рендеринге, поддерживается создание анимации.

Incendia позволяет экспортировать фрактальную модель в популярные форматы трехмерной графики - OBJ и STL. В состав Incendia включена небольшая утилита Geometrica - специальный инструмент для настройки экспорта фрактальной поверхности в трехмерную модель. С помощью этой утилиты можно определять разрешение 3D-поверхности, указывать число фрактальных итераций. Экспортированные модели могут быть использованы в 3D-проектах при работе с такими трехмерными редакторами, как Blender, 3ds max и прочие.

Рис.17. Создание фрактала в программе Incendia

Глава 3. Применение фракталов

Фрактальная графика

Фрактальная графика, как и векторная, основана на математических вычислениях. Однако её базовым элементом является сама математическая формула, то есть никаких объектов в памяти компьютера не хранится и изображение строится исключительно по уравнениям либо системам уравнений. Таким способом строят как простейшие регулярные структуры, так и сложные иллюстрации, имитирующие природные ландшафты и трехмерные объекты.

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Объект называют самоподобным, когда увеличенные части объекта походят на сам объект и друг на друга. Перефразируя это определение, можно сказать, что в простейшем случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.

Сейчас трудно недооценить возможности и важность фракталов в создании реалистичных изображений. Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, с возможностью осуществления множества различных приемов: горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию и т.д. Из-за малой истории и плохой распространенности, очень мало людей, в том числе программистов, аниматоров и простых художников в мире действительно хорошо знакомы и умеют обращаться с Фрактальной графикой на должном уровне. Её пока что не практикуют в университетах. В школьной программе о ней не упоминается ни слова. А ведь сейчас это самый перспективный вид графики, даже перспективнее трёхмерной.

Графика фрактальная очень реалистична. Происходит это потому, что ее детали и элементы постоянно встречаются в окружении человека - горы, облака, морские берега, различные природные явления. Часть из них остается постоянно в одном и том же состоянии, вроде деревьев, каменистых участков. Остальные же непрерывно меняются, как мерцающее огненное пламя или кровь, двигающаяся по сосудам. Развитие фрактальных технологий на сегодняшний день - одна из прогрессирующих областей науки. Она используется не только в компьютерной графике. Возможно, если ученым удастся докопаться до их сути, человек начнет намного лучше понимать этот мир.

Фрактальная алгебра

Алгебраические фракталы свое название получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул, иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

· с течением времени стремится к бесконечности.

· стремится к 0

· принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.

· поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множеству Мандельброта (рис. 18).

Рис. 18. Множество Мандельброта

Множеству Мандельброта принадлежат только те точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (эти точки окрашиваются в черный цвет).

Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю - это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. А самое интересное это границы множества. Они то и являются фрактальными. На границах этого множества функция ведет себя непредсказуемо - хаотично.

3.1 Фрактальная геометрия. Аксиомы фрактальной геометрии

Открытая Бенуа Мандельбротом фрактальная геометрия описывает упорядоченный хаос природы и демонстрирует принцип бесконечного вложения самоподобных структур друг в друга на основе простых математических соотношений.

Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

Принципы сакральной геометрии, в основе которой лежат фракталы, "платоновы тела", спираль Золотого сечения, числоФи, в равной мере присущи и человеку, и цветку, и звёздам. Всё, что существует в реальном мире, является фракталом: кровеносная система, кроны и листья деревьев, облака и молекула кислорода.

Исследования, связанные с фракталами, меняют привычные представления об окружающем нас мире. Фракталы заставляют пересмотреть наши взгляды на геометрические свойства объектов. Фракталы описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

Фрактальная геометрия - геометрия природы. Сама природа пользуется её достижениями и примеры этого можно найти повсюду: от спиралей раковины и цветков маргаритки до симметрии шестиугольных пчелиных сот. "Самоподобие" можно встретить, исследуя формы молекул или галактик. Все объекты во Вселенной взаимопроникают друг в друга.

Фрактальная линия. Закон Мандельброта

Математика, как и любая наука, основывается на простых, интуитивно понятных и легко проверяемых положениях. Фрактальная геометрия в этом смысле начинается с измерения длины какой-либо кривой линии. Сам процесс измерения означает, что надо смотреть, сколько раз заранее выбранный масштаб уложится на кривую. Затем масштаб меняется, и процесс измерения повторяется. Масштабом называют прямой отрезок длиной в 1 м. Для удобства можно брать доли масштаба - км, см... Надо только следить, чтобы масштаб априори был значительно меньше измеряемой длины, а это интуитивно всегда можно сделать. Обозначим масштаб измерения символом ч (кси). Если его достаточно приложить к линии два раза, то длина линии будет равна 2 ч. В практических случаях используют циркуль, обходя с его помощью всю кривую. На рисунке (а) показаны два шага раствором циркуля. Также используется другой способ, называемый стандартным клеточным методом. При этом лист, на котором начертана измеряемая линия, покрывается сеткой ячеек со стороной ч (б). Тогда длина будет равна произведению размера ячейки на число ячеек, в которых находится рассматриваемая кривая линия (рис.19).



Рис. 19. Измерение длины:

а) обходом по линии раствора циркуля,

б) подсчетом клеток, содержащих линию

В качестве кривой, у которой будем измерять ее длину, выберем линию, показанную на рисунке ниже (Рис. 20). Ее некоторой периодичностью попытаемся учесть свойство самоподобия, хотя это и трудно продемонстрировать "от руки". Возьмем циркуль с раствором ч единиц измерения и сосчитаем число шагов N(ч), необходимых для обхода из одного конца до другого конца всей линии. Даже если останется лишний участок кривой, то при достаточно большом числе N это не сказывается на общем фрактальном свойстве кривой. Произведение измеренного числа шагов N(ч) на заранее выбранный масштаб ч по определению означает искомую длину L:

Проведем первое измерение масштабом (в некоторых условных единицах). На следующем рисунке показано, что этот масштаб укладывается раз, так что длина будет равна .

Следующее измерение проведем с меньшим масштабом . На рисунке ниже показано, что циркуль с новым масштабом обойдет линию раз (рис. 21). Новая длина станет равной , что больше предыдущего результата, равного 5/10.

Видим, что при уменьшении масштаба измерения длина кривой линии увеличивается, и такое увеличение является общим свойством непрерывных фрактальных линий.

Продолжим измерения, уменьшая последовательно масштаб и считая каждый раз число растворов циркуля. Все измерения сведем в таблице. Для наглядности нанесем измеренные значения на график в билогарифмическом масштабе. Логарифмирование - это такая операция, что небольшое изменение своего аргумента мало сказывается на самом логарифме. Поэтому небольшие "хвосты", возникающие при подсчете числа N, можно не учитывать. Как видно из рисунка, все точки () практически идеально легли на прямую линию. Таким образом, методом линейной регрессии для кривой выше получаем:

или

Линейная зависимость между и соблюдается для любой кривой, какую только можно вообразить. Это положение удобно записать в виде следующей степенной зависимости между N и ч:

Так, для кривой на рисунке будет и . Чтобы не отвлекаться на множитель C, соотношения, подобные (1.2), часто будем записывать в виде как это принято во фрактальной геометрии.

Результат (1.2) означает, что кривая линия представляет собой фрактальный объект с размерностью D. Чтобы не обращать внимания на множитель C, степенной показатель D, как это следует из (1.2), удобно определить следующим образом:

Таким образом, число масштабов степенным образом зависит от масштаба измерения, а степенной показатель оказывается фрактальной размерностью рассматриваемого объекта. При этом, чем меньше масштаб, тем больше требуется число масштабов. Умножая число N(ч) на масштаб ч, согласно (1.1), получаем длину измеряемой кривой линии:

Это знаменитая формула Мандельброта, с которой и началось становление фрактальной геометрии. Аналогичное соотношение для границ государств в 1920 г. установил Ричардсон, поэтому часто формулу (1.4), отдавая дань исторической справедливости, называют законом Мандельброта - Ричардсона. Гениальной догадкой Бенуа Мандельброта было то, что величина D в (1.4) как раз и является фрактальной размерностью. Формулу (1.4) определим как математическую формулировку первой аксиомы фрактальной геометрии - аксиомы многомасштабности: чтобы что-то измерить, надо иметь набор масштабов.

В формулах (1.2) и (1.4) содержится множитель C, который является типичным для фрактальной геометрии. Он зависит от размерности величин и их разрядов. Чтобы не отвлекаться на этот множитель, его часто называют неопределенным. Его даже можно не выписывать. Тогда, например, формулу (1.4) записывают в виде:

Самоподобие

Фрактальные объекты имеют удивительные свойства - как в целом, так и любые их участки обладают одной и той же размерностью. Это свойство называется самоподобием.

Математическую формулировку самоподобия фрактальных объектов дадим интуитивным, очевидным образом. Растянем или сожмем кривую линию в з раз, так что новая длина будет

Величину з называют масштабным множителем. Поскольку самоподобие означает, что любая часть кривой подобна всей линии, то измерение новой длины можно осуществить масштабом, в з раз отличным от исходного масштаба, т. е.

Два выражения (1.5) и (1.6) составляют математическую формулировку второй аксиомы фрактальной геометрии - самоподобия фрактальных объектов. Используя формулу Мандельброта - Ричардсона (1.4), второй аксиоме можно придать компактную (и абстрактную!) формулировку, именно:

Надо только учитывать, что здесь скобки представляют собой оператор, означающий, что сначала надо задавать масштабный множитель, и только после этого можно будет возводить в степень. Формула (1.7) означает, что любой участок фрактальной линии обладает одной и той же фрактальной размерностью.

Формулы Мандельброта - Ричардсона (1.4) и самоподобия (1.7), несмотря на формальную схожесть, независимы друг от друга. Они получены в результате обобщения экспериментов - измерения длины и наблюдение линии в различных масштабах. Аксиомы фрактальной геометрии составляют два уравнения для трех величин - длины, масштаба и фрактальной размерности. В качестве свободного параметра, очевидно, надо брать фрактальную размерность, ее можно определить либо опытным путем, либо вычислить математически, либо установить методами теоретической физики, рассматривая детальный механизм явления. Природные объекты описываются геометрическими и физическими величинами. Если эти объекты обладают свойствами многомасштабности и самоподобия, т. е. являются фрактальными, то геометрические и физические величины будут связаны между собой степенным образом. Это приводит к появлению обилия степенных показателей. Если после измерений или другим способом определена размерность фрактального объекта, то постулаты позволят выразить через найденную размерность все степенные показатели.

Глава 4. Использование фракталов в музыке

4.1 Музыкальная формула фракталов

Еще Пифагор заметил, что отношение частот двух соседних нот всегда отличается, а отношение частот двух нот, отстоящих друг от дружки на четыре позиции, наоборот, всегда постоянно и составляет 3/2. Такое созвучие теперь называют квинтой. Взяв квинту за основу, Пифагор вывел музыкальную формулу, которая позволяет на основе частоты базовой ноты, от которой ведется отсчет, и порядкового номера заданной ноты получить искомое значение частоты следующей ноты. В результате последовательного применения формулы получаются звуки, отстоящие друг от друга на квинту. В этом ряду есть все ноты звукоряда. И хотя они относятся к разным октавам, но, поделив или умножив частоту нужного звука на два, можно перенести его в соседнюю октаву. Повторяя операцию деления (или умножения) несколько раз, можно заполнить весь диапазон инструмента. Роль математики здесь очевидна. Однако у этой истории есть и другая, оборотная сторона: в звукоряде, построенном по формуле Пифагора, целое число квинт не укладывается в целое число октав. Такое несоответствие получило название "Пифагорова комма". Пифагорова комма - не только кажущийся математический парадокс. Главное, что при пифагоровой системе невозможно играть в произвольной тональности, не фальшивя.

Спустя столетия проблема была решена немецким композитором Андреасом Веркмейстером. И при этом не обошлось без математики. Веркмейстер вместо природного звукоряда создал собственный, положив в основу системы три постулата:

1. отношение частот одинаковых нот в соседних октавах должно быть равно двум;

2. между этими частотами должно лежать ровно двенадцать нот, по числу полутонов в октаве;

3. все полутона должны быть равны.

В соответствии с этими постулатами Веркмейстер разбил октаву на двенадцать абсолютно равных полутонов.

Такой звукоряд был назван темперированным. Сущность темперации состоит в небольших изменениях величины интервалов по сравнению с их акустически точной величиной. В 12-ступенном равномерно темперированном строе все чистые квинты уменьшены на 1/12 пифагоровой коммы. От этого строй стал замкнутым, октава оказалась разделенной на 12 равных полутонов, и все одноименные интервалы стали одинаковыми по величине.

Позднее союз математики и музыки активно продолжал развиваться. В 20 веке он воплотился как в новом музыкальном инструменте - компьютере, так и в сложившейся, во второй половине ХХ века компьютерной музыке, основанной на теории алгоритмов. (Алгоритмом называют строго определенную последовательность действий, приводящую к искомому результату.)

Компьютерная музыка на основе фракталов

Непосредственными родоначальниками создания компьютерной музыки на основе алгоритмов являются композиторы второй половины ХХ века, пользовавшиеся серийной техникой в композиции, в первую очередь это Янис Ксенакис, Ленджарен Хилен и Пьер Булез и другие. На основе алгоритмов были построены такие музыкальные программы, как Music 4, C-Sound, Supercollider, MAX/MSP и т.п.

Благодатную почву для использования алгоритмов в электронной музыке подготовила практика сериализма. Последовательный алгоритмический метод сочинения музыки впервые предложил Йозеф Матиас Хауэр (1883-1959). Хауэр (и независимо от него Арнольд Шёнберг) ввели такую технику построения музыкальной композиции, как додекафония.

Додекафония относится к серийным техникам построения музыкальных композиций. Основной принцип теории додекафонии - недопустимость повторения во времени одноименных звуков до тех пор, пока не будут исчерпаны все 12 звуков, на которые делится октава в рамках темперированного строя (рис.22). Основным законом является запрет изменения последовательности звуков в серии, нарушения порядка их следования (рис. 23).

Рис. 22. Примеры додекафонии: А. Шёнберг. Квинтет для духовых инструментов ор. 26. (Отрывок)

Рис. 23. Примеры додекафонии: А. Берг. Концерт для скрипки с оркестром. (Отрывок)

А. Васильев, автор статьи "Музыкальный композитор, основанный на многослойной нейронной сети", выделяет 4 типа алгоритмической композиции:

1) Композиция, основанная на применении математических функций: стохастических, теории хаоса, фракталах;

2) Композиция, основанная на применении комбинаторных методов (например, марковских цепей, ассоциативных сетей переходов, стохастических матриц);

3) Композиция, основанная на применении природных процессов: клеточных автоматов, генетических алгоритмов, нейронных сетей;

4) Композиция, построенная с помощью процессов, основанных на правилах.

Категории звука

В основе этих исследований лежит теория Ричарда Восса, который установил, что любой звук имеет фрактальные свойства. Исследователь идентифицировал три категории звука, основанные на математических элементах:

1) Белый шум (случайный шум - определяется как тревожащий слушателя);

2) Розовый шум (занимает промежуточное положение, более структурированный, нежели белый - является самым приятным для восприятия слушателя)

Коричневый шум (структурированный шум - определяется как механический для слушателя).

4.2 Фрактальная композиция как процесс генерации музыкального материала

Другая грань применения фракталов в музыке - фрактальная композиция как процесс генерации музыкального материала для создания художественного произведения. Фрактальная композиция развивается, создавая новый музыкальный материал, систематически преобразовывая предыдущий. В качестве примера такой композиции можно привести аттрактор Хенона - фрактал, определяемый следующими двумя уравнениями: X_n=1-a*X_n*X_n-b*Y_n и Y_n+1=X_n,где b=0,3 и 1,2<a<1,96

Траектория Хенона является бесконечной структурой, классические параметры которой Х(0) = 1,4; Y (0) = 0,3. Музыка, сгенерированная таким образом, может длиться бесконечное время и время, ограниченное программой. Смысл ее часто сводится к некоему звуковому пейзажу, принципиально не несущем никакой смысловой нагрузки и не акцентирующем на себя внимание слушателя.

Для генерации "фрактального музыкального материала" создаются специальные компьютерные программы, настолько простые в управлении, что ими могут пользоваться музыканты, не владеющие навыками программирования. Одну из первых таких программ - Xсomposer создали эксперты в области музыкальной информатики Дж. Лич и Дж. Фич (университет Baths). Эта программа использует главное качество фракталов - метод самоподобия.

4.3 Фракталы в информатике

Геометрические фракталы в информатике

Геометрические фракталы реализуются "в лоб", итеративно. Для ускорения лишь стоит не прорисовывать изначальные объекты, а потом стирать, нужно лишь держать их координаты в памяти. Прорисовывать же только те, что остаются на какой-нибудь большой итерации. Например, для снежинки Коха можно хранить список отрезков. На каждой итерации проходим по всему списку и заменяем каждый элемент списка на 4 новых элемента, т.е. отрезки, в которые он превращается. Когда длина списка будет довольно большой, пробегаем во всему списку и рисуем отрезки, которые хранятся в элементах списка.

Побитовые фракталы в информатике

Побитовые фракталы реализуются, например, попиксельно:

for x := 0 to ClientWidth do

for y := 0 to ClientHeight do if (x and y = 0) then MyForm.MyPaintBox.Canvas.Pixels

[x,y] := clBlack;

В случае "вариаций" следует заменить последнюю строчку на

begin q := random(Maxint); MyForm.MyPaintBox.Canvas.Pixels[x,y] := q * (x and y);end;

Так же and можно заменить на xor, или любую другую побитовую операцию.

Музыкальные фракталы в информатике

Музыкальные фракталы реализуются так: выбирается какой-то маленький шаг по оси x, и для всех x от 1 до 2 находится y и соответствующая точка ставится на график (для каждой полученной точки, определяется соответствующая ей точка на мониторе).

Сжатие изображений

Существуют ряд алгоритмов для сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на теореме Банаха о сжимающих преобразованиях и являются результатом работы исследователя Технологического института шт. Джорджия Майкла Барнсли.

Основа метода фрактального кодирования - это обнаружение самоподобных участков в изображении.

Идея заключается в следующем: предположим что исходное изображение является неподвижной точкой некоего сжимающего отображения. Тогда можно вместо самого изображения запомнить каким-либо образом это отображение, а для восстановления достаточно многократно применить это отображение к любому стартовому изображению.

По теореме Банаха, такие итерации всегда приводят к неподвижной точке, то есть к исходному изображению. На практике трудность заключается в отыскании по изображению наиболее подходящего сжимающего отображения и в компактном его хранении. Как правило, алгоритмы поиска отображения (то есть алгоритмы сжатия) в значительной степени переборные и требуют больших вычислительных затрат. В то же время, алгоритмы восстановления достаточно эффективны и быстры.

Вкратце, метод, предложенный Барнсли, можно описать следующим образом. Изображение кодируется несколькими простыми преобразованиями (в нашем случае аффинными), то есть определяется коэффициентами этих преобразований (в нашем случае A, B, C, D, E, F).

Например, изображение кривой Коха можно закодировать четырьмя аффинными преобразованиями, однозначно определив его с помощью всего 24-х коэффициентов.

Далее, поставив чёрную точку в любой точке картинки, применим преобразования в случайном порядке некоторое (достаточно большое) число раз (этот метод ещё называют фрактальным пинг-понгом).

В результате точка обязательно перейдёт куда-то внутрь чёрной области на исходном изображении. После применения такой операции много раз будет заполнено всё чёрное пространство, что восстановит картинку.

Компьютерная графика

Фрактальная графика, как и векторная, основана на математических вычислениях. Базовыми элементами фрактальной графики являются сами математические формулы, описывающие линии и линейные поверхности, то есть никаких объектов в памяти ЭВМ не хранится и изображение строится исключительно по формулам (уравнениям).

Установлено, что при любом уровне разрешения, сложная кривая (например, береговая линия), поверхность могут быть аппроксимированы (смоделированы) и прорисованы посредством объединения участков небольших прямолинейных (плоских) сегментов. При переходе на более высокий уровень разрешения аппроксимирующий сегмент вероятностным способом разбивается на новую последовательность новых линейных сегментов и так далее. На основании этого свойства - закона статистического постоянства порождения деталей природных образований при переходе от низких к более высоким уровням разрешения и построен метод использования фрактальных поверхностей

...