"Фракталы, их классификация, свойства и применение"
Основные понятия геометрии фракталов. Фрактал – множество, обладающее свойством самоподобия, история происхождения. Графическая интерпретация множества Мандельброта. Алгоритм построения пейзажа с помощью фрактала. Определение фрактальной размеренности.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.11.2019 |
| Размер файла | 2,6 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
В переводе с английского "фрактальный" означает состоящий из частиц, частей. Такими поверхностями называют класс нерегулярных геометрических форм, задаваемых вероятностным способом на основе исходного описания низкого уровня. Закон дробления линии (поверхности) подбирается опытным путем по критерию визуального согласования синтезируемого (моделируемого) изображения с реальным объектом, изображение которого стремятся получить.
Таким способом строят как простейшие регулярные структуры, так и сложные иллюстрации, имитирующие ландшафты и трехмерные объекты. Наиболее часто фрактальные поверхности используют для моделирования горных ландшафтов. Горный массив предварительно, очень приближенно, описывают полигональной поверхностью, составленной из плоских четырехугольников. Далее каждый четырехугольник разбивается с помощью случайной функции на четыре фигуры меньших размеров, при этом все фигуры вероятностным образом сдвигаются относительно исходной плоскости, сохраняя для каждой фигуры по одной общей вершине с исходным четырехугольником. Деление продолжается до достижения желаемого уровня изрезанности поверхности. Удаляются скрытые поверхности и закрашиваются сгенерированные четырехугольники. Изображения, созданные на основе фрактальных поверхностей, только статистически идентичны реальным объектам.
Фрактальный подход нашел широкое применение во многих областях компьютерной графики, науки и искусства.
Фрактальная графика не является, строго говоря, частью векторной графики, поскольку широко использует и растровые объекты. Фракталы широко используются в растровых (AdobePhotoshop) и векторных (CorelDraw) редакторах и трехмерной (CorelBryce) графике.
Децентрализованные сети
Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-фдресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.
4.4 Применение фракталов в естественных науках
Применение фракталов в физике
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
Турбулентное течение жидкости
Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости с пульсациями скоростей и давлений. Наряду с основным продольным перемещением жидкости наблюдаются поперечные перемещения и вращательные движения отдельных объемов жидкости.
Турбулентное течение жидкости наблюдаются при определенных условиях (при достаточно больших числах Рейнольдса) в трубах, каналах, пограничных слоях около поверхностей движущихся относительно жидкости или газа твёрдых тел, в следах за такими телами, струях, зонах перемешивания между потоками разной скорости, а также в разнообразных природных условиях.
Т. т. отличаются от ламинарных не только характером движения частиц, но также распределением осреднённой скорости по сечению потока, зависимостью средней или макс. скорости, расхода и коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса Re, гораздо большей интенсивностью тепломассообмена. Профиль осреднённой скорости Т. т. в трубах и каналах отличается от параболич. профиля ламинарных течений меньшей кривизной у оси и более быстрым возрастанием скорости у стенок.
Потери напора при турбулентном движении жидкости
Все гидравлические потери энергии делятся на два типа: потери на трение по длине трубопроводов и местные потери, вызванные такими элементами трубопроводов, в которых вследствие изменения размеров или конфигурации русла происходит изменение скорости потока, отрыв потока от стенок русла и возникновение вихреобразования.
Простейшие местные гидравлические сопротивления можно разделить на расширения, сужения и повороты русла, каждое из которых может быть внезапным или постепенным. Более сложные случаи местного сопротивления представляют собой соединения или комбинации перечисленных простейших сопротивлений.
При турбулентном режиме движения жидкости в трубах эпюра распределения скоростей имеет вид, показанный на рис. В тонком пристенном слое толщиной д жидкость течет в ламинарном режиме, а остальные слои текут в турбулентном режиме, и называются турбулентным ядром. Таким образом, строго говоря, турбулентного движения в чистом виде не существует. Оно сопровождается ламинарным движением у стенок, хотя слой д с ламинарным режимом весьма мал по сравнению с турбулентным ядром.
Модель турбулентного режима движения жидкости
Основной расчетной формулой для потерь напора при турбулентном течении жидкости в круглых трубах является уже приводившаяся выше эмпирическая формула, называемая формулой Вейсбаха-Дарси и имеющая следующий вид:
Различие заключается лишь в значениях коэффициента гидравлического трения л. Этот коэффициент зависит от числа РейнольдсаRe и от безразмерного геометрического фактора - относительной шероховатости Д/d (или Д/r0, где r0- радиус трубы).
Применение фракталов в биологии
Учёные, изучая сосудистую систему выяснили, что её участки можно представить в виде фракталов. Далее, изучая различные участки, они выяснили, что здоровые кровеносные сети и раковые опухоли имеют разную фрактальную структуру. Это может помочь при выявлении раковых опухолей на ранней стадии. Используются фракталы и для описания систем внутренних органов и моделирования популяций (рис. 24).
Рис. 24. Модель легких
Применение фракталов в радиотехники. Фрактальные антенны
Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания (рис. 25). Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.
Рис. 25. Фрактальные антенны
4.5 Использование фракталов в природе
Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них - еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву (рис. 26).
Рис. 26. Дерево, построенное на основе фрактала
Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные (рис. 27). Другим примером может служить береговая линия - при увеличении масштаба она остается похожей на саму себя.
Рис. 27. Береговая линия Флориды, отдельные фрагменты побережья которой создают фрактальность.
Тоже самое можно сказать и о кораллах (рис. 29), морских звездах и ежах, морских раковинах, цветах и растениях (таких как брокколи, капуста) (рис. 28), кроне деревьев и листьях растений, плодах (таких как ананас) и т.д.
Рис. 28. Фрактальная форма кочана капусты сорта Романеско
Рис. 29. Фрактальная форма кораллов
4.6 В неживой природе
Встречаются факториалы и в неживой природе. Например границы географических объектов (стран, областей, городов), береговые линии, горные хребты, снежинки (рис. 30), облака, молнии, морозные узоры на оконных стёклах, кристаллы, сталактиты (рис. 31), сталагмиты, геликтиты и т.д.
Рис. 30. Фрактальная форма снежинки
Рис. 31. Фрактальная форма сталагмитов
4.7 Использование фракталов в интерьере
Если раньше фракталы были известны только программистам и математикам, то сегодня это направление начали использовать для оформления дизайна помещения (рис. 32). То есть теперь фрактальная геометрия служит еще и для того, чтобы создать неповторимый интерьер того или иного помещения (рис. 33). Постеры, на которое нанесено фрактальное изображение, можно применять для декорирования помещения любого типа.
Рис. 32. Пример применения в интерьере фрактала № 1
Рис. 33. Пример применения в интерьере фрактала № 2
Глава 5. Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами
Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами.
Определение множества Кантора
Канторово множество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) - один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе. Описано в 1883 году Георгом Кантором.
Свойства множества Кантора
· Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
· Канторово множество континуально.
· Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
· Канторово множество имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность равную . В частности, оно имеет нулевую меру Лебега.
· Каждый нульмерный метризуемый компакт без изолированных точек гомеоморфен канторову множеству.
· Всякий метризуемый компакт - образ канторова множества при некотором непрерывном отображении.
· Канторово множество универсально для всех нульмерных пространств со счётной базой. (рис. 34)
Рис. 34. Множество Кантора
Определение треугольника Серпинского
Треугольник Серпинского - фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году (рис. 35). Также известен как "салфетка" Серпинского.
Рис. 35. Треугольник Серпинского
Свойства треугольника Серпинского
· Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
· Треугольник Серпинского замкнут.
· Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие - ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность =.
Свойства треугольника Серпинского
1. Задаются координаты аттракторов - вершин исходного треугольника .
2. Вероятностное пространство (0;1) разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
3. Задаётся некоторая начальная точка , лежащая внутри треугольника .
4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского (рис. 36).
1. Генерируется случайное число n? (0;1).
2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
3. Строится точка с новыми координатами: , где: - координаты предыдущей точки; -- координаты активной точки-аттрактора.
5. Возврат к началу цикла.
Рис. 36. Построение треугольника Серпинского
Определение губки Менгера
Губка Менгера - геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов треугольника Серпинского (рис.37.).
Рис. 37. Губка Менгера
Свойства губки Менгера
· Губка Менгера состоит из 20 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.
· Ортогональные проекции губки Менгера представляют собой ковёр Серпинского.
· Губка Менгера имеет промежуточную Хаусдорфову размерность, которая равна поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
· Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того она характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
· Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть какова бы ни была кривая Урысона С, в губке Менгера найдется подмножество С?, гомеоморфное С.
· Губка Менгера имеет нулевой объём, но бесконечную площадь граней. Объём определяется формулой 20/27 на каждую итерацию.
· Сечение губки Менгера, ограниченной кубом со стороной 1 и центром в начале координат, плоскостью x+y+z=0 содержит гексаграммы.
Построение губки Менгера
1. Губка Менгера может быть получена при помощи процесса, называемого игрой в хаос, который заключается в следующем:
2. Задаются 20 точек-аттракторов: 8 вершин и 12 середин рёбер исходного куба.
3. Задаётся некоторая начальная точка , лежащая внутри куба.
4. Строится последовательность точек в следующем цикле:
5. Случайно выбирается аттрактор A из 20 возможных с равной вероятностью.
6. Строится точка с новыми координатами:
; ,
где: -- координаты предыдущей точки ; -- координаты выбранного аттрактора (рис. 38).
Если выполнять цикл достаточно много раз (не менее 100 тысяч) и потом отбросить первые несколько десятков точек, то оставшиеся точки будут образовывать фигуру близкую к губке Менгера.
Рис. 38. Построение губки Менгера
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором. В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую.
Определение кривой Коха
Кривая Коха - фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом (рис. 39).
Рис. 39. Построение кривой Коха
Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха (рис. 40). В некоторых работах она получила название "остров Коха".
Было доказано, что эта фрактальная кривая обладает рядом любопытных свойств. К примеру, длина её периметра равна бесконечности, что, однако, не мешает ему охватывать конечную площадь. Вследствие этого факта некоторые прикладные методики и параметры плоских фигур, такие как, например, краевой индекс (отношение периметра к корню из площади), при работе со снежинкой Коха оказываются неприменимыми.
Вычисление фрактальной размерности снежинки Коха даёт значение, приблизительно равное 1,2619.
Рис. 40. Снежинка Коха
Построение кривой Коха
Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.
Свойства кривой Коха
· Кривая Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема.
· Кривая Коха имеет бесконечную длину.
· Кривая Коха не имеет самопересечений.
· Кривая Коха имеет промежуточную хаусдорфову размерность, которая равна , поскольку она состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3.
Вариации и обобщения кривой Коха
Возможны обобщения кривой Коха, также использующие при построении подстановку ломаной из четырёх равных отрезков, но имеющей иную геометрию. Они имеют хаусдорфову размерность от 1 до 2. В частности, если вместо деления отрезка 1:1:1 использовать золотое сечение (ц:1:ц), то получившаяся кривая имеет отношение к мозаикам Пенроуза. Также можно построить "Снежинку Коха" на сторонах равностороннего трегоугольника.
Вслед за подходом Коха были разработаны варианты с прямыми углами, других углов или кругов и их расширения на высшие размерности:
Фрактал Cesaro - вариант кривой Коха с углом между 60° и 90 °(рис. 41)
Рис. 41. Фрактал Cesaro, где угол равен 85°
Квадратичная кривая 1 типа (рис. 42), (рис. 43).
Рис. 42. Квадратичная кривая 1 типа, где угол равен 90°
Рис. 43. Первые 2 итерации
Квадратичная кривая 2 типа (рис. 44)
Рис. 44. Квадратичная кривая 2 типа, где угол равен 90°
Рис. 45. Первые 2 итерации. Фрактальная размерность 1,5 (точно посередине между размерностью 1 и 2), поэтому часто используется при изучении физических свойств нецелых фрактальных объектов.
Поверхность Коха (рис. 46).
Рис. 46. Поверхность Коха (2D, треугольники)
Рис. 47. Расширения кривой Коха на 3D (первые 3 итерации)
Квадратичная поверхность 1 типа - расширение квадратичного кривой 1 типа, соответствующее "вывернутой губке Менгера" (рис. 48).
Рис. 48. Квадратичная поверхность 1 типа, фрактал после второй итерации (2D, где угол равен 90°)
Квадратичная поверхность 2 типа - расширение квадратичного кривой 2 типа - расширение квадратичного кривой 1 типа, соответствующее "вывернутой губке Менгера" (рис. 49).
Рис. 49. Квадратичная поверхность 1 типа, фрактал после второй итерации (2D, где угол равен 90°)
Определение кривой Леви
Кривая Леви - фрактал. Предложен французским математиком П. Леви (рис. 50). Получается, если взять половину квадрата вида /\, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви.
Рис. 50. Кривая Леви
Свойства кривой Леви
· Кривая Леви нигде не дифференцируема и не спрямляема.
· На любом интервале кривой Леви есть точки самопересечения.
· Хаусдорфова размерность границы кривой Леви приблизительно равна 1,9340. (Кривая Леви состоит из двух равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия , из-за отстуствия существенных самопересечений её размерность в точности равна 2=.)
· Кривая Леви - крона дерева Пифагора (рис. 51).
Рис. 51. Дерево Пифагора
Вариации кривой Леви
Стандартная кривая Леви строится с помощью равнобедренных треугольников с углами при основании 45°. Вариации кривой Леви можно построить с помощью равнобедренных треугольников с другими, отличными от 45° углами. До тех пор, пока угол меньше 60°, каждая новая линия короче той линии, из которой она образована, так что процесс строительства стремится к предельной кривой. Углы менее 45° производят фрактал, который менее плотно "свернут".
Определение кривой Минковского
Кривая Минковского - классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Инициатором является отрезок, а генератором является ломаная из восьми звеньев (два равных звена продолжают друг друга) (рис. 52).
Рис. 52. Построение кривой Минковского
Свойства кривой Минковского
· Кривая Минковского нигде не дифференцируема и не спрямляема.
· Кривая Минковского не имеет самопересечений.
· Кривая Минковского имеет Хаусдорфову размерность (поскольку она состоит из восьми равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/4).
Кривая Гильберта
Кривая Гильберта (известная также как заполняющая пространство кривая Гильберта) - это непрерывная фрактальная заполняющая пространство кривая, впервые описанная немецким математиком Давидом Гильбертом в 1891 году, как вариант заполняющих пространство кривых Пеано, открытых итальянским математиком Джузеппе Пеано в 1890 году (рис. 53).
Поскольку кривая заполняет плоскость, её размерность Хаусдорфа равна 2 (в точности, её образ является единичным квадратом, размерность которого равна 2 при любом определении размерности, а её граф является компактным множеством, гомеоморфным замкнутому единичному интервалу с хаусдорфовой размерностью 2).
является n-м приближением к предельной кривой. Евклидова длина кривой равна , то есть растёт экспоненциально от n, будучи в то же время всегда в пределах квадрата с конечной площадью (рис. 54).
Рис. 53. Кривые Гильберта, с первого по третий шаги
Рис. 54. Трёхмерная кривая Гильберта в цвете, указывающем последовательность
Ломаная (кривая) дракона
Кривая дракона - пример системы итерируемых функций, общее название для некоторых фрактальных кривых, которые могут быть аппроксимированы рекурсивными методами (рис. 55).
Чтобы получить данную ломаную, нужно взять отрезок, согнуть его пополам. Затем многократно повторить итерацию. Если после этого снова разогнуть получившуюся линию так, чтобы все углы были равны 90°, мы получим драконову ломаную.
Рис. 55. Кривая дракона
Определение кривой Пеано
Кривая Пеано - общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства). Другое название - заполняющая пространство кривая (рис. 56).
Интуитивно, непрерывная кривая в размерностях 2 или 3 (или выше) может пониматься как путь, проходимый непрерывно движущейся точкой. Чтобы исключить неотъемлемую неопределённость этого понимания, Жордан в 1887 предложил следующее определение, которое с тех пор было принято как точное определение непрерывной кривой: кривая (с конечными точками) - это непрерывное отображение, областью определения которого служит единичный отрезок [0,?1].
В наиболее общей форме область значений такого отображения может лежать в произвольном топологическом пространстве, но в большинстве изучаемых случаев область значений лежит в евклидовом пространстве, таком как двумерная плоскость (плоская кривая) или трёхмерное пространство (пространственная кривая).
Иногда кривая отождествляется с областью значений отображения (множество всех возможных значений отображения), а не собственно с функцией. Можно также определить кривую без конечных точек как непрерывную функцию на вещественной прямой (или на открытом интервале (0,?1)).
Рис. 56. Кривая Пеано
История кривой Пеано
В 1890 Пеано открыл непрерывную кривую, ныне называемую кривой Пеано, которая проходит через любую точку единичного квадрата. Его целью было построение непрерывного отображения из единичного отрезка в единичный квадрат. Заняться проблемой Пеано побудил более ранний неожиданный результат Георга Кантора о том, что множество точек единичного интервала имеет ту же мощность, что и множество точек любого конечномерного многообразия, в частности, единичного квадрата. Задача, которую решал Пеано, заключалась в вопросе - может ли быть такое отображение непрерывным, то есть может ли кривая заполнить пространство. Решение Пеано не устанавливает непрерывное взаимнооднозначное отображение между единичным интервалом и единичным квадратом, и более того, такого отображения не существует (см. ниже).
Было общепринятым связывать туманное понятие толщины и одномерности с кривой. Все обычно встречающиеся кривые были кусочно дифференцируемые (то есть имеющие кусочно непрерывные производные), а такие кривые не могут заполнить весь единичный квадрат. Таким образом, заполняющая пространство кривая Пеано воспринималась противоречащей здравому смыслу.
Из примера Пеано легко вывести непрерывные кривые, заполняющие n-мерный гиперкуб (для любого положительного целого n). Легко было также распространить пример Пеано на кривые без начальной и конечной точки, и эти кривые заполняют всё n-мерное евклидово пространство (где n равно 2, 3 или любое другое положительное целое число).
Большинство хорошо известных заполняющих пространство кривых строятся итеративно как предел последовательности кусочно линейных непрерывных кривых, которые на каждом шаге приближаются к заполняющей пространство кривой.
Революционная статья Пеано не содержала никаких иллюстраций построения, которое было определено в терминах троичных расширений и зеркального отражения. Однако графическое построение для него было ясным - он сделал орнамент, отражающий построение кривой на своём доме в Турине. В конце статьи Пеано заметил, что техника может быть распространена на другие нечётные базисы, не только на базис 3. Его выбор избегать любой графической визуализации был, без сомнения, вызван желанием привести обоснованное, совершенно строгое доказательство, не опирающееся никак на рисунки. В то время (начало исследований в общей топологии) графические доводы часто включались в доказательство, но зачастую они служили помехой для понимания противоречащих здравому смыслу результатов.
Годом позже Давид Гильберт опубликовал в том же журнале другой вариант построения Пеано. Статья Гильберта была первой статьёй, в которой было помещен рисунок, помогающий представить технику построения. По существу, это был тот же рисунок, что и приведённый здесь. Аналитическая форма кривой Гильберта, однако, существенно сложнее, чем у Пеано (рис. 57).
Рис. 57. Шесть итераций построения кривой Гильберта, в пределе заполняющей пространство. Кривая была построена математиком Давидом Гильбертом.
Свойства кривой Пеано
Всякая кривая Пеано имеет кратные точки. Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные точки (в счётном числе). Такова, например, кривая, построенная самим Пеано; конструкция Гильберта ниже содержит четырёхкратные точки (также в счётном числе).
Существуют кривые Пеано, сохраняющие меру, то есть мера Лебега подмножества квадрата совпадает с мерой Лебега его прообраза на отрезке. Нижеприведённый пример Гильберта обладает этим свойством.
С понятием кривой Пеано связан любопытный факт существования пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей, - такова, например, кривая r(t)= x(t), y(t), t), где первые две функции задают кривую Пеано.
Если кривая не инъективна, то можно найти две пересекающиеся подкривые кривой, получаемые как образы двух непересекающихся отрезков в области определения кривой (то есть единичного отрезка). Две подкривые пересекаются, если пересечение двух образов не пусто. Есть искушение считать, что кривые пересекаются означает, что они скрещиваются, наподобие точки пересечения двух непараллельных прямых, однако две кривые (в нашем случае - подкривые) могут соприкасаться без скрещивания, как, например, касательная прямая касается окружности.
Для классических заполняющих пространство кривых Пеано и Гильберта в местах пересечения кривых (в техническом смысле), имеется соприкосновение кривых без их скрещивания. Заполняющая пространство кривая может (в каждой точке) иметь самопересечения (скрещивания), если её аппроксимирующая кривая самоскрещивается. Аппроксимация заполняющей пространство кривой может не содержать самопересечения, как на рисунках выше. В трёхмерном пространстве аппроксимирующие кривые без самопересечений могут даже содержать узлы. Аппроксимирующие кривые остаются внутри ограниченной области n-мерного пространства, но их длина растёт неограниченно.
Заполняющие пространство кривые являются специальным случаем построения фракталов. Не может существовать дифференцируемой заполняющей пространство кривой.
Глава 6. Эксперимент по созданию фракталов
6.1 Создание фракталов с помощью компьютерных технологий
Создание фрактала Мандельброта "Пылающее солнце"
Минимальное реальное значение: -2,2
Максимальное реальное значение: 1
Максимальное мнимое значение: 1,2
Минимальное мнимое значение: -1,2
Шкала: 1:1
Время показа: 1111 ms
Рис. 58. Создание фрактала Мандельброта "Пылающее солнце"
Инструкция по созданию фракталов в программе:
1. Выбрать наименование фрактала (разновидность)
2. Нажать кнопку рассчитать
3. Приступить к изучению получившегося фрактала
Создание фрактала "Multibrot set"
Экспонент: 6
Минимальное реальное значение: -2,2
Максимальное реальное значение: 2,2
Максимальное мнимое значение: 1,65
Минимальное мнимое значение: -1,65
Шкала: 1:1
Время показа: 1757 ms
Рис. 59. Создание фрактала "Multibrot set"
Инструкция по созданию фракталов в программе:
1. Выбрать наименование фрактала (разновидность)
2. Нажать кнопку рассчитать
3. Приступить к изучению получившегося фрактала
Создание Ньютоновского фрактала
Полиноминальные варажения: 1,0,0,-1
Параметр релаксации: 1
Минимальное реальное значение: -2,8
Максимальное реальное значение: 2,8
Максимальное мнимое значение: 2,1
Минимальное мнимое значение: -2.1
Шкала: 1:1
Время показа: 1751 ms
Рис. 60. Создание Ньютоновского фрактала
Инструкция по созданию фракталов в программе:
1. Выбрать наименование фрактала (разновидность)
2. Нажать кнопку рассчитать
3. Приступить к изучению получившегося фрактала
Создание фрактала "Нова"
Полиноминальные варажения: 1,0,0,-1
Параметр релаксации: 1
Начальное значение: 1
Минимальное реальное значение: -2
Максимальное реальное значение: 2
Максимальное мнимое значение: 1,5
Минимальное мнимое значение: -1,5
Шкала: 1:1
Время показа: 4955 ms
Рис. 61. Создание фрактала "Нова"
Инструкция по созданию фракталов в программе:
1. Выбрать наименование фрактала (разновидность)
2. Нажать кнопку рассчитать
3. Приступить к изучению получившегося фрактала
Создание фрактала "Горящий корабль Жюлия"
Юлия постоянной: 1.1322115384615388+1.03125i
Минимальное реальное значение: -2
Максимальное реальное значение: 2
Максимальное мнимое значение: 1,5
Минимальное мнимое значение: -1,5
Шкала: 1:1
Время показа: 1243 ms
Рис. 62. Создание фрактала "Горящий корабль Жюлия"
Инструкция по созданию фракталов в программе:
1. Выбрать наименование фрактала (разновидность)
2. Нажать кнопку рассчитать
3. Приступить к изучению получившегося фрактала
6.2 Создание фракталов в приложении Microsoft Excel
Создание фрактала Мандельброта "Пылающее солнце"
Алгоритм построения:
1.Записать в ячейку А 1 переменную Xn
2.Записать в ячейку В 1 переменную Yn.
3.Записать в ячейку D1 параметр р.
4.Записать в ячейку E1 параметр q.
5.Записать в ячейку G1 переменную Xn+1.
6.Записать в ячейку H1 переменную Yn+1. 7.Ввести в ячейку А 2 значение 0.
8.Ввести в ячейку В 2 значение 0.
9.Ввести в ячейку А 3 формулу =G2.
10.Ввести в ячейку В 3 формулу =H2.
11.Ввести в ячейку D2 значение -0,5219.
12.Ввести в ячейку E2 значение 0,4999.
13.Ввести в ячейку G2 формулу =A2^2-B2^2+$D$2
14.Ввести в ячейку H2 формулу =2*A2*B2+$E$2
15.Растянуть ячейку А 3 за правый нижний уголок до A101.
16.Растянуть ячейку В 3 за правый нижний уголок до B101.
17.Растянуть ячейку G2 за правый нижний уголок до G101.
18.Растянуть ячейку H2 за правый нижний уголок до H101.
19.Выделить область значений от G2 до H101.
20.Для построения фигуры сделать следующее:
Вставка->Диаграммы->Точечная->Точечная с гладкими кривыми
Рис. 63. Создание фрактала Мандельброта "Пылающее солнце"
Создание фрактала Мандельброта "спиральная галактика"
Алгоритм построения:
1.Записать в ячейку А 1 переменную Xn
2.Записать в ячейку В 1 переменную Yn.
3.Записать в ячейку D1 параметр р.
4.Записать в ячейку E1 параметр q.
5.Записать в ячейку G1 переменную Xn+1.
6.Записать в ячейку H1 переменную Yn+1.
7.Ввести в ячейку А 2 значение 0.
8.Ввести в ячейку В 2 значение 0. .
9.Ввести в ячейку А 3 формулу =G2.
10.Ввести в ячейку В 3 формулу =H2.
11.Ввести в ячейку D2 значение -0,5.
12.Ввести в ячейку E2 значение 0,4999.
13.Ввести в ячейку G2 формулу =A2^2-B2^2+$D$2
14.Ввести в ячейку H2 формулу =2*A2*B2+$E$2
15.Растянуть ячейку А 3 за правый нижний уголок до A101.
16.Растянуть ячейку В 3 за правый нижний уголок до B101.
17.Растянуть ячейку G2 за правый нижний уголок до G101.
18.Растянуть ячейку H2 за правый нижний уголок до H101.
19.Выделить область значений от G2 до H101.
20.Для построения фигуры сделать следующее:
Вставка->Диаграммы->Точечная->Точечная с гладкими кривыми
Рис. 64. Создание фрактала Мандельброта "спиральная галактика"
Создание фрактала "кривая Гильберта"
Алгоритм построения:
1.Записать в ячейку A1 переменную х.
2.Записать в ячейку B1 переменную у.
3.Записать в ячейку A2 значение р/2, согласно области допустимых значений XЄ[-р/2; р/2],
4.Ввести в ячейку A3 формулу =A2+0,01.
5.Растянуть ячейку А 3 за правый нижний уголок до ячейки А 316 (до значения 1,57).
6.Ввести в ячейку В 2 формулу
=((КОРЕНЬ(COS(A2)))*COS(200*A2)+КОРЕНЬ(ABS(A2))-0,7)*(4-A2*A2)^0,01
7.Растянуть ячейку В 2 за правый нижний уголок до ячейки В 316.
8.Выделить область значений от А 2 до В 316.
9.Для построения фигуры сделать следующее:
Вставка->Диаграммы->Точечная->Точечная с гладкими кривыми
Рис. 65. Создание фрактала "кривая Гильберта"
Создание фрактала Мандельброта "кривая Дракона"
Алгоритм построения:
1. Записать в ячейку А 1 номер n.
2. Записать в ячейку В 1 случайную величину m.
3. В ячейку С 1 записать х.
4. В ячейку D1 записать у.
5. В ячейку А 2 записать 1.
6. В ячейку А 3 ввести формулу =A2+1
7. Растянуть А 3 до ячейки А 11363
8. В ячейку В 2 записать функцию случайного числа =СЛЧИС()
9. Растянуть ячейку В 2 до В 11363
10. Ввести в ячейку С 2 значение 0
11. Ввести в ячейку С 3 формулу =ЕСЛИ(B3>0,5;-0,4*C2-1;0,76*C2-0,4*D2)
12. Растянуть ячейку С 3 до ячейки С 11363
13. Ввести в ячейку D2 значение 0.
14. Ввести в ячейку D3 формулу =ЕСЛИ(B3>0,5; 0,4*D2+0,1;0,4*C2+0,76*D2)
15. Растянуть ячейку D3 до ячейки D11363
16. Выделить ячейки от С 2 до D11363
17. Для построения фигуры сделать следующее:
Вставка->Диаграммы->Точечная
Рис. 66. Создание фрактала Мандельброта "кривая Дракона"
Заключение
Таким образом, на разных этапах длительного первобытного строя практика воспитания не была одинаковой, она менялась.
Данная работа является введением в великий мир фракталов. Мы рассмотрели то, какие бывают фракталы, на основе каких принципов они строятся.
В нашей работе приведены довольно обширные области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Хотим только сказать, что со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким открытием, которое показал неизвестные до этих пор факты и закономерности в конкретных областях.
Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Фрактальная геометрия выявляет скрытый порядок, описываемый математическими законами, выводит нас на совершенно новый уровень понимания природных явлений. Природа - лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе.
С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Также мы увидели строгую закономерность в строении человека. Кровеносная, дыхательная система, строение сетчатки глаза и тканей мозжечка - это биологические фракталы.
Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.
Помимо той полезной роли, которую играет фрактальная геометрия при описании сложности природных объектов, она предлагает ещё хорошую возможность популяризации математических знаний. Формы фрактальной геометрии привлекательны с эстетической точки зрения. Поэтому она, возможно, поможет опровергнуть взгляд на математику как на сухую и недоступную дисциплину и станет дополнительным стимулом для учащихся в освоении этой интересной и увлекательной науки.
Работая над темой проекта, мы не только узнали, что такое фракталы и как они связаны с математикой, но и достаточно глубоко выяснили применение фракталов в жизни. Мы убедились, что тому, кто занимается фракталами, открывается прекрасный, удивительный мир, в котором царят математика, природа и искусство. Мы надеемся, что после знакомства с нашей работой, вы, как и мы, убедитесь в том, что математика прекрасна и удивительна
Список литературы
1. А.А. Кириллов. Повесть о двух фракталах. - Летняя школа "Современная математика". - Дубна, 2007.-583 с.
2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: "Институт компьютерных исследований", 2002.-197 с.
3. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. - М.: "Мир", 1993.-571 с.
4. Федер Е. Фракталы. - М: "Мир", 1991.-498 с.
5. Абачиев С.К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, -789 с.
6. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология. - М.: изд-во МГУ, 1993.-468 с.
7. Цицин Ф.А. Фрактальная вселенная // "Дельфис" - № 11(3) - 1997.-489 с.
8. Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. - М.: "Мир", 1988.-452 с.
9. Маврикиди Ф.И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // "Дельфис" - № 23(3) - 2000.-165 с.
10. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. - Ижевск: "РХД", 2001.-254 с.
11. Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. - М.: "Вильямс", 2006. - 400 с.
12. Красивая жизнь комплексных чисел // Hard'n'Soft, № 9, 2002. 90 с.
13. М.Г. Иванов, "Размер и размерность" // "Потенциал", август 2006.-320 с.
14. Маврикиди Ф.И. Фрактальная математика и природа перемен // "Дельфис" - № 54(2) - 2008.- 421 с.
15. Липов А.Н. Фракталы. Памяти Бенуа Мандельброта // Философия и культура № 9 (33) 2010. № 8. 154 с.
16. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: "Институт компьютерных исследований", 2002. -125 с.
17. Федер Е. Фракталы. - М: "Мир", 1991. -67 с.
18. Кириллов А.А. Повесть о двух фракталах. -- 2-е изд., исправленное. --М.: МЦНМО, 2010. -265 с.
19. Балханов В.К. Основы фрактальной геометрии и фрактального исчисления / отв. ред. Ю.Б. Башкуев. - Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета. 2013. -142 с.
20. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2001. -264 с.
21. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002 - 253 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Классические фракталы. Самоподобие. Снежинка Коха. Ковер Серпинского. L-системы. Хаотическая динамика. Аттрактор Лоренца. Множества Мандельброта и Жюлиа. Применение фракталов в компьютерных технологиях.
курсовая работа [342,4 K], добавлен 26.05.2006Сущность понятия "фрактал". Сущность фрактальной размерности. Размерность Хаусдорфа и ее свойства. Канторово множество и его обобщение. Снежинка и кривая Коха. Кривая Пеано и Госпера, их особенности. Ковер и салфетка Серпинского. Дракон Хартера-Хейтуэя.
курсовая работа [862,6 K], добавлен 23.07.2011История появления теории фракталов. Фрактал – самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом. Практическое применение теории фракталов.
научная работа [230,7 K], добавлен 12.05.2010Алгоритм упорядочивания множества. Определение декартового произведения, его графическая интерпретация. Обратное декартово произведение множеств. Проецирование на оси координат и на координатные плоскости. Область определения и область значений.
лекция [126,5 K], добавлен 18.12.2013Определения понятия множество. Предельная точка множества, предел функции в точке. Эквивалентные, счетные и несчетные множества. Замкнутые и открытые множества. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве.
курсовая работа [222,3 K], добавлен 11.01.2011Свойства множества Кантора. Исследование заданной функции на непрерывность. Выражение множества B (кладбище Серпинского) и D (гребёнка Кантора) через множество Кантора. Свойства и построение всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 24.06.2015История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 16.10.2013Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012Теория динамического программирования. Понятие об оптимальной подструктуре. Независимое и полностью зависимое множество вершин. Задача о поиске максимального независимого множества в дереве. Алгоритм Брона-Кербоша как метод ветвей, границ для поиска клик.
реферат [224,1 K], добавлен 09.10.2012Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012Выпуклые множества. Выпуклый функционал или функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством. Функционал Минковского. Доказательство теорем Хана-Банаха и отделимости.
курсовая работа [501,1 K], добавлен 18.05.2016Понятие метрического и топологического пространства. Расстояние между множествами. Диаметр множества. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Вектор-функция скалярного аргумента. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная кривая, замена параметра.
курс лекций [134,0 K], добавлен 02.06.2013Определение понятия множества как совокупности некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Классификация операций над множествами. Принципы взаимно однозначного соответствия. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего кратного.
презентация [249,6 K], добавлен 24.09.2011Основные законы проективной геометрии. Понятие двойного отношения, параллельности и бесконечности. Теорема Дезарга и теорема Паскаля. Пространственная интерпретация теоремы Дезарга. Стереометрия помогает планиметрии. Окружность переходит в окружность.
курсовая работа [866,1 K], добавлен 05.12.2013Понятие множества, его трактование Георгом Кантором. Условные обозначения множеств. Виды множеств, способы их задания. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность и дополнение), условия их равенства и основные свойства, отношения.
презентация [1,2 M], добавлен 12.12.2012Краткое историческое описание становления теории множеств. Теоремы теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Определение основных понятий, таких как мощность, счетные, замкнутые множества, континуальное множество.
дипломная работа [440,3 K], добавлен 30.03.2011Нумерация как отображение некоторого подмножества множества натуральных чисел N на исследуемый класс конструктивных объектов. Приведение к общему знаменателю на основе понятия нумерованного множества. Каноническое представление морфизма функции.
реферат [2,1 M], добавлен 16.05.2009Алгоритм построения многочлена Жегалкина по совершенной дизъюнктивной нормальной форме. Диаграмма Эйлера-Венна, изображение универсального множества и подмножества. Проверка самодвойственности, монотонности и линейности логической функции двух переменных.
контрольная работа [227,5 K], добавлен 20.04.2015Понятие множества и его элементов. Обозначение принадлежности элемента множеству. Конечные и бесконечные множества. Строгое и нестрогое включение. Способы задания множеств. Равенство множеств и двухсторонее включение. Диаграммы Венна для трех множеств.
презентация [564,8 K], добавлен 23.12.2013Геометрическая картина мира и предпосылки возникновения теории фракталов. Элементы детерминированной L-системы: алфавит, слово инициализации и набор порождающих правил. Фрактальные свойства социальных процессов: синергетика и хаотическая динамика.
курсовая работа [938,5 K], добавлен 22.03.2014
