Развитие интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы в процессе обучения подобиям плоскости в условиях информатизации общего образования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Орский гуманитарно-технологический институт (филиал)

Федерального государственного бюджетного учреждения высшего профессионального образования

"Оренбургский государственный университет" (Орский гуманитарно-технологический институт (филиал) ОГУ)

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике

Дипломная работа

Развитие интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы в процессе обучения подобиям плоскости в условиях информатизации общего образования

Дипломник А.А. Сучкова

Руководитель ст. преподаватель

Т.И. Уткина

Рецензент к.т.н. доцент

С.М. Абрамов

Орск 2013

Аннотация

В выпускной квалификационной работе рассматриваются теоретические и практические аспекты методики обучения учащихся развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы.

Первая глава отражает теоретические аспекты обучения учащихся развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы, определены цели, задачи, методы, средства и форма обучения учащихся развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы, а так же показатели и критерии оценки уровней развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы относительно подобий плоскости. Сконструирована модель развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы в процессе обучения подобиям плоскости в условиях информатизации общего образования и компьютерного обеспечения ее.

Во второй главе рассмотрена методика развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы в процессе обучения подобиям плоскости в процессе обучения геометрии. А так же разработана методика организации, методы обработки и результаты педагогического эксперимента.

Содержание

Введение

1. Теоретические аспекты развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы относительно подобий

1.1 Понятие и содержание развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы относительно подобий плоскости

1.2 Показатели и критерии оценки уровней развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы относительно подобий плоскости

1.3 Конструирование модели развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы в процессе обучения подобиям плоскости у условиях информатизации общего образования и компьютерного обеспечения ее

2. Методика развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы в процессе обучения подобиям плоскости

2.1 Методика развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы относительно подобий плоскости в процессе обучения геометрии

2.2 Методика развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы относительно подобий плоскости в процессе изучения дисциплины внутришкольного компонента "Подобия плоскости и их практическое применение"

2.3 Методика развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы относительно подобий плоскости в процессе организации индивидуальной внеурочной работы в виде исследовательских проектов

2.4 Методика организации, методы обработки и результаты педагогического эксперимента

Заключение

Список использованных источников

Введение

Для современной школы исключительно важной является проблема развития творческих способностей учащихся. Этой проблемой занимались и продолжают заниматься ряд отечественных и зарубежных ученых. Однако в практической работе сдвиги в направлении решения этой проблемы еще очень незначительны.

В настоящее время всем очевидна необходимость подготовки учащихся к творческой деятельности. В связи с этим повышается роль школы в воспитании активных, инициативных, творчески мыслящих людей.

Развитие творческих возможностей учащихся важно на всех этапах школьного обучения. Особое значение имеет формирование творчества в старшем школьном возрасте. Согласно мысли Л.С. Выготского, обучение в школе выдвигает творчество в центр сознательной деятельности ребенка.

Исследованием этого вопроса занимались многие педагоги и психологи, такие как Ж. Пиаже, А.Н. Леонтьев, П.Я. Гальперин, Л.В. Занков, В.В. Давыдов, Р.С. Немов, Е.И. Рогов, они углубили теорию развития творчества и научно обосновали процесс решения творческих задач, охарактеризовали условия, способствующие и препятствующие нахождению правильного решения.

Проблема широкого применения компьютерных технологий в сфере образования в последнее десятилетие вызывает повышенный интерес в отечественной педагогической науке. Большой вклад в решение проблемы компьютерной технологии обучения внесли российские и зарубежные ученые: Г.Р. Громов, В.И. Гриценко, В.Ф. Шолохович, О.И. Агапова, О.А. Кривошеев, С. Пейперт, Г. Клейман, Б. Сендов, Б. Хантер.

Различные дидактические проблемы компьютеризации обучения в нашей стране нашли отражение в работах А.П. Ершова, А.А. Кузнецова, Т.А. Сергеевой, И.В. Роберт; методические ? Б.С. Гершунского, Е.И. Машбица, Н.Ф. Талызиной; психологические ? В.В. Рубцова, В.В. Тихомирова.

Актуальность исследования подтверждается тем обстоятельством, что модернизация российской системы образования является одним из главных направлений и условий развития российского общества и формирования инновационной экономики России. Данный процесс придает современным системам образования такие инновационные черты, как динамичность, вариативность, разнообразие его организационных форм и содержания. Согласно национальной образовательной инициативе "Наша новая школа", главной задачей современной системы образования является раскрытие способностей каждого ребёнка, воспитание личности, готовой к жизни в высокотехнологичном информационном обществе, основными чертами которого являются высокий уровень рационализации и алгоритмизации деятельности, умение использовать информационные технологии. Математическому образованию в этом процессе отводится особая роль, так как математика относится к весьма значимым для современного общества областям знаний, накопленных и широко используемых человечеством.

Математическое образование является средством интеллектуального развития ребёнка, расширяющим возможности его успешной адаптации к процессам информатизации общества. Современная система образования характеризуется кардинальными изменениями, связанными с переходом к новой образовательной парадигме, основными приоритетами которой являются как интересы личности, так и качество образования. В концепции модернизации российского образования среди условий, необходимых для повышения качества общего образования, особо выделяется необходимость дифференциации обучения, предполагающая широкие и гибкие возможности построения индивидуальных образовательных траекторий и позволяющая за счет изменений в содержании обучения более полно учитывать склонности и способности учащихся. творчество геометрия компьютеризация дидактика

Как показывает практика, без новых информационных технологий уже невозможно представить себе современную школу. Очевидно, что в ближайшие годы роль персональных компьютеров будет возрастать и в соответствии с этим будут возрастать требования к компьютерной грамотности учащихся. Появляются неограниченные возможности для индивидуализации и дифференциации учебного процесса, переориентирование его на развитие мышления, воображения как основных процессов, необходимых для успешного обучения. И наконец, обеспечивается эффективная организация познавательной деятельности учащихся. Объединение в компьютере текстовой, графической, аудио-видеоинформации, анимации резко повышает качество преподносимой школьникам учебной информации и успешность их обучения.

Особую значимость в обучении математике приобретает геометрия, которая, с одной стороны, является средством организации обучения, а с другой - выступает как его новое содержание. Однако, несмотря на огромный потенциал, который содержит геометрия, в системе современного школьного математического образования ей отводится далеко не первое место. Отмечается также неудовлетворенность состоянием преподавания геометрии в школе. Упрощение базового курса геометрии приводит к его идейному и методическому обеднению. Особенно остро встает этот вопрос в процессе изучения внутришкольного компонента "Подобия плоскости и их практическое применение".

Цель исследования состоит в научном обосновании и разработке методологии использования современных компьютерных технологий в процессе обучения подобиям плоскости как фактор развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы в процессе обучения подобиям плоскости в условиях информатизации общего образования.

Объект исследования - процесс обучения подобиям плоскости как фактор развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы в процессе обучения подобиям плоскости в условиях информатизации общего образования.

Предмет исследования - методика использования современных компьютерных технологий в процессе обучения подобиям плоскости как фактор развития интереса к математическому творчеству в процессе обучения подобиям плоскости в условиях информатизации общего образования.

Проблема, цель, объект и предмет исследования обусловили решение ряда задач исследования:

а) определить понятие и содержание интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы;

б) выявить показатели и критерии оценки уровней развития интереса к математическому творчеству учащихся основной школы подобиям плоскости;

в) разработать модель развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы в процессе обучения подобиям плоскости и ее компьютерное сопровождение;

г) разработать компьютерное сопровождение диагностики уровня развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы относительно подобиям плоскости;

д) в соответствии с разработанной моделью выявить методику развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы относительно подобий плоскости (в основном курсе геометрии, через курсы по выбору, во внеурочной работе).

Гипотеза исследования состоит в том, что отбор, разработка и реализация использования современных компьютерных технологий в процессе обучения подобиям плоскости как фактор развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы если:

- содержание будет структурировано с учетом фундаментальных идей математического образования и направлено на развитие творческих способностей учащихся основной школы;

- будут выявлены и обоснованы принципы отбора содержания обучения подобиям плоскости;

- в рамках обучения будет предложен комплекс компьютерного сопровождения, расширяющий содержание внутришкольного компонента "Подобия плоскости и их практическое применение";

- разработанное компьютерное сопровождение будет ориентированно на устранение недостатков традиционного изложения подобия плоскости в базовом курсе геометрии основной школы.

1. Теоретические аспекты развития интереса к математическому творчеству учащихся основной школы относительно подобий

1.1 Понятие и содержание развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы относительно подобий плоскости

Идея геометрических преобразований как основы геометрии установлена еще немецким математиком Феликсом Клейном на базе теории групп в "Эрлангенской программе" 1872 года. Этот документ свидетельствует о том, что понятие геометрического преобразования играет в геометрии основополагающую роль и может быть положено в основу самого определения геометрии как науки. Понятие преобразования тесно связано с фундаментальными понятиями функции и группы. Поэтому одной из основных идей реформы математического образования 1967 года была идея внедрения в школьный курс математики геометрических преобразований. Она диктуется и методическими соображениями: доказательство многих геометрических теорем, связанных с геометрическими преобразованиями, доступнее учащимся, чем дедуктивные выводы из аксиом. Многие задачи на построение и доказательство решаются более естественно и просто, исходя из идеи геометрических преобразований.

"Многие из существующих курсов планиметрии неудачны, прежде всего, потому, что отсутствуют понятные учителям и ученикам, цементирующие курс математические идеи. Ученики знакомятся с наборами теорем, а не их системам. Одна из таких "цементирующих идей" - геометрические преобразования".

В программе по геометрии сформулированы цели и задачи обучения этому предмету в средней школе, в соответствии с которыми основными из них являются:

1) систематическое изучение основных фактов геометрии, методов их получения и возможностей их применения;

2) развитие умений и навыков учащихся, обеспечивающих применение полученных знаний для изучения смежных дисциплин и в сфере производства;

3) развитие пространственного воображения и логического мышления учащихся.

Особая роль в решении этих задач отводится последовательному применению в школьном курсе геометрии наряду с другими традиционными методами идеи геометрических преобразований и формированию понятия геометрического преобразования.

Понятия являются одной из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и геометрии. Начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречаются с понятием точки, линии, угла, а далее - с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов (линий, углов, треугольников и др.). Задача обучения в общеобразовательной школе обеспечить полноценное усвоение вводимых понятий.

Понятие преобразования является одним из фундаментальных понятий в геометрии. Это обусловлено, во-первых, ведущей ролью практических операций в мышлении (согласно Ж. Пиаже, все мыслительные операции образуют структуру группы, подобную группе преобразований в геометрии). Во-вторых, с понятием преобразования связан "групповой подход" к геометрии, в соответствии с которым геометрия - это наука, занимающаяся изучением свойств фигур, являющихся инвариантами фундаментальной группы преобразований.

Логика в любом понятии различает объем и содержание. Под объемом понимают тот класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им. Так, в объем понятия "преобразование" входят преобразования всех известных групп независимо от их конкретных характеристик: движения, подобия, аффинные, проективные, топологические, гиперболические, эллиптические преобразования. Под содержанием понятий понимается та система существенных свойств, по которой происходит объединение данных объектов в единый класс. Содержание понятия "преобразование" составляют свойства: отображение пространства на себя (при котором каждая точка пространства переходит в некоторую точку этого же пространства); взаимнооднозначное (биективное) отображение.

В совокупности свойства, по которым объекты объединяются в один класс, называется необходимыми и достаточными признаками. Важно отметить, что отношение между этими признаками в разных понятиях разное. Различают понятия с конъюнктивной и дизъюнктивной связью признаков. В понятиях с конъюнктивной связью эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Так, у объектов, относящихся к понятию "преобразование плоскости", обязательно должны быть два выше указанных признака (отображение плоскости на себя и биективность отображения), по отдельности ни один из них не позволяет опознать объекты этого класса. Как уже говорилось, в логике понятия с такой связью называются конъюнктивными: признаки связаны союзом "и" (в случае преобразования отображение должно быть и взаимнооднозначным и отображением плоскости на себя).

Итак, под преобразованием в геометрии понимают, например, в случае плоскости отображение всей плоскости на себя, при котором каждая точка X отображается в единственную точку X₁, а каждой точке У₁ соответствует единственная точка У.

Понятие не может быть передано учащимся в готовом виде, они должны получить его сами, взаимодействуя с относящимися к нему известными понятиями. Определение задает как бы точку зрения - ориентировочную основу - для оценки понятий, с которыми взаимодействует обучаемый. Так, получая определение понятия преобразования, ученик может анализировать различные преобразования с точки зрения наличия или отсутствия в них тех признаков, которые содержатся в определении. При этом, например, он может использовать аналогию между понятием движения в геометрии и равномерного прямолинейного движения предметов (твердых тел) в механике. Такая реальная работа по оценке различных предметов с точки зрения, заданной определением, и создает постепенно в голове учащихся идеальное понятие как обобщенный и абстрактный образ.

Обязательная программа не предусматривает широкого изучения различных свойств геометрических преобразований. Вопрос использования преобразований при решении геометрических задач предлагается вынести, как вариативный компонент, на факультативные занятия и внеклассную работу.

Геометрические преобразования являются обобщением понятия о функции, и поэтому позволяют "обозреть с одной точки зрения, как отдельные части геометрии, так и их взаимные связи" (Ф. Клейн) - это значит, что изучение геометрических преобразований открывает возможность подчинить единой идее - идее функциональной зависимости - всю школьную математику. Большая общность геометрических преобразований позволяет значительно упростить доказательство многих теорем. Также изучение преобразований вооружает учащихся способами (методами) решения задач на построение, которые являются одним из средств развития геометрического мышления учащихся.

Ф. Клейн (1849-1925) знаменит своей общей концепцией геометрии, в основу которой положил учение об "автоморфизмах" соответствующей геометрической теории. Хотя точка зрения Ф. Клейна не исчерпывает всего богатства современной геометрии, - в ее рамки не укладывается ряд современных геометрических теорий, - теоретико-групповой подход к построению геометрии охватывает практически все геометрические теории, изучаемые в высшей школе. Однако групповая точка зрения не была реализована в практике массового школьного обучения.

Приобщая школьников к основным идеям геометрии, можно доступно изложить им основные положения группового подхода, которые составляют вводную часть знаменитой лекции Ф. Клейна "Эрлангенская программа" (1872), примерно так.

"Что такое геометрия? Наука о геометрических свойствах фигур. Какие же свойства следует называть геометрическими? Те, что не зависят от положения, занимаемого фигурой в пространстве, от ее абсолютных размеров и, наконец, от ориентации (под этим понимают то свойство расположения, которое является источником различия между данной фигурой и ее зеркальным изображением). Отсюда вытекает, что геометрические свойства фигуры не изменяются от параллельных переносов и поворотов, от преобразований подобия, от зеркального отражения и от всех преобразований, которые могут быть составлены из перечисленных. Отметим, что все они в совокупности образуют группу. Можно сказать, геометрические свойства - это те, которые не изменяются в результате любого преобразования из группы перечисленных выше.

Будем говорить теперь о произвольной группе преобразований. Как обобщение геометрии тогда получится следующая задача. Дано пространство и в нем группа преобразований. Нужно исследовать те свойства фигур, которые не изменяются при преобразованиях этой группы. Иными словами, требуется развить теорию инвариантов этой группы. Это - общая задача, включающая в себя не только обыкновенную геометрию, но и новейшие геометрические теории. Так говорил Клейн. С тех пор каждую геометрию, порождаемую некоторой группой преобразований, называют клейновской геометрией.

Так, например, школьная евклидова геометрия порождена группой преобразований подобия, как отметил сам Клейн. Как одну из других клейновских геометрий было бы любопытно изложить неевклидову геометрию Лобачевского или Римана".

Итак, понятие преобразования как основной операции, охватывающей не только математические, но и другие, более широкие отношения, является важным основанием для развития геометрического мышления учащихся.

С понятием преобразования связывают различные представления у школьников. Одни из них опираются на представление перемещения некоторого материального "твердого" тела. Такую точку зрения принято называть механической или динамической, связанной с представлениями о силе, вызывающей движение (перемещение). Другая точка зрения, кинематическая, опирается на более отвлеченное представление о движении, не связанное с представлениями о силе, вызывающей это движение. На него опираются в школьном курсе геометрии при доказательстве признаков равенства треугольников наложением, при установлении равенства отрезков и углов и т.п. Наконец, принятая сейчас в школьном обучении точка зрения на преобразование опирается на теоретико-множественный подход к геометрии, несмотря на то, что ввиду методологической сложности он отсутствует в современных школьных учебниках.

Понятие геометрического преобразования неразрывно связано с развитием функционального мышления учащихся. Геометрическое преобразование трактуется с теоретико-множественной точки зрения как отображение (функция). Как известно, понятие функции - одно из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанных с реальной действительностью. В нем ярко воплощены изменчивость и динамичность реального мира, взаимная обусловленность реальных объектов и явлений. Именно в понятии функции в определенной степени отображается бесконечное многообразие явлений реального мира.

В настоящее время существует несколько вариантов определения понятия функции. При одном из них под числовой функцией понимается отображение одного числового множества в другое, что адекватно сочетается с определением геометрического преобразования как точечного отображения плоскости (пространства) на себя.

Ф. Клейн считал понятие функции центральным понятием всей математики. По его мнению, оно должно играть руководящую роль в курсе средней школы, должно быть выяснено учащимися очень рано и пронизывать все преподавание алгебры и геометрии. С точки зрения Ф. Клейна, всякое научное знание не может быть усвоено школьниками без обращения к наглядности. Поэтому введение понятия функции с помощью геометрических образов, в геометрической форме, в частности с помощью элементарных геометрических преобразований, является наиболее целесообразной в школьном обучении.

Условия для введения понятий функции, геометрического преобразования создает теоретико-множественная концепция как основа школьного курса. В этой связи очень коротко остановимся на проблеме использования теории множеств в методике школьного обучения геометрии.

А.Н. Колмогоров и др. в своем учебнике включил теорию множеств в обучение геометрии, что в целом не сумела преодолеть общеобразовательная школа. В последующих учебниках геометрии (А.В. Погорелов, Л.С. Атанасян и др.) методология была достаточно умеренной, был сделан шаг назад, в частности, отказ от теоретико-множественного подхода. Это связано с определенными достоинствами и недостатками методологического подхода и методических принципов построения школьного курса геометрии и, в частности, методики введения понятия геометрических преобразований. Но в преподавании геометрии до сих пор не уделяется должного внимания геометрическим преобразованиям, в то время как развитие геометрической науки давно показало, что преобразования являются одной из фундаментальных областей научной геометрии, тесно связанной с курсом алгебры.

Геометрия - одна из наиболее древних математических наук, первые упоминания о которой можно найти в египетских папирусах (III тыс. до н.э.) и вавилонских клинописях.

Одним из важнейших обогащений геометрии стало создание теории геометрических преобразований и, в частности, движений (перемещений).

Движение и, в частности, наложение, было основным методом доказательства у Фалеса, а также играет существенную роль в "Началах" Евклида. Определение равенства фигур у Евклида основано на совмещении фигур. Евклид постоянно производит перенос отрезков с помощью циркуля, да и само описание прямых линий и окружностей производится с помощью движений. Например, Евклид определяет сферу как результат вращения полуокружности вокруг диаметра. Однако во всех случаях, когда Евклид может обойтись без движений, он так и поступает. Евклид не определяет движение и его виды.

Стремясь уточнить изложение геометрии у Евклида, Д. Гильберт в "Основаниях геометрии" (1899) отказался от самого понятия движения. Вместе с тем, существует вариант аксиоматики геометрии, предложенный Ф. Шуром, в которой гильбертовские аксиомы конгруэнтности заменены аксиомами движения.

Идея геометрических преобразований как основы геометрии выросла на базе теории групп. Впервые теорию групп применил к геометрии немецкий математик Ф. Клейн. В своей "Эрлангенской программе" (1872) он высказал идею построения геометрии на основе геометрических преобразований и определил геометрию как предмет, изучающий инварианты некоторой группы преобразований.

После публикации "Эрлангенской программы" Ф. Клейна реформисты постарались использовать идею геометрических преобразований при построении школьного курса геометрии. В учебниках геометрии идея движения находит свое отражение уже в XIX веке.

В Германии в 1882-1883 годах выходит "Учебник элементарной геометрии" Генрицы и Трейтлейна, в основу которого положена идея геометрического преобразования.

Наиболее полно геометрические преобразования представлены в учебнике А.Н. Глаголева "Элементарная геометрия" (1895). Автор вводит аксиому движения и при доказательстве ряда теорем пользуется наложением фигур. Наряду с симметрией в учебнике рассматривается параллельный перенос и вращение вокруг точки.

Использование геометрических преобразований при решении задач на построение находит широкое отражение в учебной литературе второй половины XIX века в книгах Ю. Петерсена "Методы и теории для решения геометрических задач на построение" (1866), И.И. Александрова "Методы решения геометрических задач на построение" (1883). Авторы дают характеристику каждому методу и иллюстрируют его на примере решения задач. В "Элементарной геометрии" Ж. Адамара (1898-1901) рассматриваются такие виды геометрических преобразований, как симметрия, поступательное перемещение, гомотетия и подобие, вращение, теория полюсов и другое. Однако геометрические преобразования не связываются с основным материалом курса.

Таким образом, геометрические преобразования присутствуют во многих учебниках XIX века, хотя применение они находят при незначительном числе доказательств и решении отдельных видов задач.

В начале XX века возрастает интерес к геометрическим преобразованиям и в русской школе. В учебнике "Элементарной геометрии" (1909) К.Н. Рашевский рассматривает такие виды геометрических преобразований, как симметрия относительно точки и прямой, параллельное перенесение, вращение около точки, гомотетия. Идея геометрических преобразований не охватывает весь курс геометрии. В "Геометрии пространства" Б.А. Марковича (1910) показывается применение движения при доказательстве теорем и построении курсов планиметрии и стереометрии. В 1911 году выходит работа Н.А. Извольского "Первые шаги курса геометрии", в которой автор при изучении материала пользуется наложением, вращением вокруг точки.

В 1911-1914 годах на I и II Всероссийских съездах преподавателей математики России в числе других вопросов был поставлен вопрос о внедрении в школьный курс геометрических преобразований. С докладом "Об упрощении построения курса геометрии и расширении ее содержания" выступил А.В. Годнев, где высказался за введение в курс геометрии движений. Аналогичную точку зрения осветил в докладе "Идея движения в современной геометрии и область ее применимости в курсе средней школы" А.Р. Кулишер.

Учебник А.П. Киселева "Элементарная геометрия для средних учебных заведений" (1923), который являлся долгое время основным учебником для средней школы, очень сдержан в применении геометрических преобразований. В нем присутствовали указания на применение параллельного переноса, вращения или симметрии относительно прямой к решению задач на построение. С 1938 года учебник А.П. Киселева выходит под редакцией Н.А. Глаголева, который выдвинул на первый план основные геометрические идеи о движении, о симметрии, о подобии, как геометрическом преобразовании.

В первом издании "Элементарной геометрии" (1944) Н.А. Глаголева усиливается роль геометрических преобразований. Наиболее полно рассматриваются гомотетия и симметрия, которые используются автором для доказательства соответственно признаков подобия треугольников и признаков равенства треугольников, что явилось значительным продвижением в реализации этой идеи в школьном преподавании геометрии.

Учебник "Геометрия" для 6-9 классов Н.Н. Никитина и А.И. Фетисова (1956) содержит материал о геометрических преобразованиях. Авторы рассматривают осевую и центральную симметрии, гомотетию и подобие.

К началу 60-х годов была объявлена реформа школьного образования. Основными среди целей геометрического образования были названы систематичность и научность. Академик А.Н. Колмогоров, возглавивший реформу, предпринял радикальную перестройку курса геометрии: он создал новую аксиоматику, которая готовила учащихся к лучшему пониманию геометрических положений. В учебном пособии под редакцией А.Н. Колмогорова преобразования занимали центральное место, именно они служили основой доказательства многих теорем, их обоснованию была посвящена специальная аксиома подвижности.

В 1963-1964 учебном году в программу по геометрии 9 класса была включена тема "Геометрические преобразования". Целью изучения этой темы явилось ознакомление учащихся с идеей и методом геометрических преобразований. Учебным пособием являлся учебник "Геометрия" В.Г. Болтянского и И.М. Яглома, где авторы рассматривают осевую и центральную симметрии, поворот, параллельный перенос, гомотетию. Раздел "Осевая симметрия" начинается с рассмотрения конкретных симметричных фигур. Далее дается определение точек, симметричных относительно прямой. При изложении теории центральной симметрии, параллельного переноса и поворота значительное место уделяется наглядности. Большое внимание в учебном пособии уделяется учению о гомотетии, которая рассматривается как с положительным, так и с отрицательным коэффициентом. После рассмотрения отдельных видов преобразований авторы знакомят читателя с понятием геометрического преобразования. В итоге дается определение движения и раскрывается его роль в курсе геометрии. В учебнике содержатся примеры на формирование у учащихся приемов метода геометрических преобразований.

В соответствии с действующей в настоящее время программой для средней общеобразовательной школы, геометрические преобразования плоскости включены в качестве обязательного материала в курс планиметрии 8-9 классов. Геометрические преобразования представляют собой некоторую часть (главу или отдельные параграфы) учебника геометрии.

1.2 Показатели и критерии оценки уровней развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы относительно подобий плоскости

Теоретические основы содержания общего среднего образования разработаны Г.В. Дорофеевым, И.Я. Лернером, М.Н. Скаткиным. В частности, разработаны принципы и критерии отбора содержания школьного математического образования. В педагогике "принципы... указывают общее направление деятельности по формированию содержания образования..., критерии же реализуют процедуру конструирования, отбор учебного материала, его последовательность. Н.В. Метельский сформулировал два требования, предъявляемые к научной информации, которая отбирается для включения в школьный курс - информация должна обладать общеобразовательной ценностью и быть доступной учащимся. Оценку общеобразовательного значения материала автор предлагает производить с учетом его потенциальных возможностей: "1) формировать мировоззрение; 2) развивать мышление, творческие силы и способности; 3) вооружать жизненно - прикладными знаниями и умениями; 4) готовить к самообразованию; 5) расширять научный кругозор". Системы принципов и критериев отбора содержания обучения математике, по мнению В.А. Оганесяна, должны базироваться на принципах дидактики, которые автор объединил в четыре следующие группы:

1. Принцип воспитывающего и развивающего обучения;

2. Принцип научности и доступности обучения;

3. Принцип систематичности и последовательности обучения;

4. Принцип связи обучения с жизнью и его политехнической направленности.

В своей работе Г.В. Дорофеев подразделяет принципы отбора содержания на внешние, социально обусловленные, и внутренние, обусловленные психолого-педагогическими и методическими требованиями. К внешним относятся два принципа: информационной емкости и социальной эффективности, в соответствии с которыми обучение математике должно обеспечивать приобретение всеми учащимися объема знаний, достаточного для реализации цели математического образования и формирование кадрового потенциала общества во всех сферах деятельности, требующих математических знаний и интеллектуальной культуры. К внутренним автор относит принципы интеллектуальной емкости, дифференцированной реализуемости, познавательной емкости и др.

Г.В. Дорофеевым разработан также механизм отбора содержания, основанного на разделении знаний на целевые (непосредственно отражающие цели обучения математике) и вспомогательные, которые не являются необходимыми в плане достижения целей математического образования, но без предварительного изучения которых, не могут быть освоены знания.

Результаты исследований А.К. Марковой, И.М. Смирновой, Г.И. Щукиной и др. содержат в себе особенности содержания учебного материала, влияющие на формирование познавательного интереса. Содержание в том случае стимулирует развитие познавательного интереса учащегося, если оно является занимательным, постоянно обновляется, включает исторические сведения, показывает современные достижения науки, имеет личностную значимость для учащегося. Именно эти особенности содержания оказывают положительное влияние и на формирование профессиональных интересов школьников.

Перечисленные особенности в полной мере можно отнести и к геометрическому материалу. Чисто геометрическое содержание материала не может оказать влияния на формирование интереса к другим учебным дисциплинам. Поэтому, чтобы в процессе изучения геометрических преобразований было возможно выявлять, учитывать и развивать познавательные интересы к различным предметным областям, содержание темы целесообразно дополнить сведениями межпредметного и практического характера.

Например, развитию математических способностей учащихся способствуют такие особенности содержания учебного материала как: абстрактность, обобщенность, логичность, формализованность, наличие взаимно обратных утверждений. Для развития способностей естественнонаучного мышления имеет значение исследовательский характер заданий, обобщенность изложения, привлечение наглядности. Развитию гуманитарных способностей отвечает содержание, излагаемое естественным языком и наполненное образами, личностными отношениями, эстетическими образами.

Рассмотрим дидактические особенности темы "Подобие плоскости и их практическое применение", которые включают в себя:

1. Наличие внутрипредметных связей.

Данная тема может быть использована при изучении других тем школьного курса геометрии. Например, равенства фигур, при решении задач на построение, при изучении подобия треугольников и т.д.

2. Наличие межпредметных связей.

Основные знания и умения, приобретенные при изучении данной темы, могут быть использованы при изучении других учебных предметов в школе. Например, понятие движения и его видов могут быть использованы в физике (механическое движение, симметрия законов природы и др.), в курсе алгебры (преобразование графиков функций); химии (кристаллы), изобразительном искусстве, черчении и т.д.

3. Прикладная направленность материала темы "Движение".

Знания и умения, полученные школьниками в результате изучения данной темы, могут быть использованы ими в определенных жизненных ситуациях. Например, нахождение расстояния до недоступной точки, нахождение высоты предмета, выполнение орнаментов и т.п.

4. Общекультурный характер темы "Движение".

Эта особенность естественным образом вытекает из той роли, которую играет данная тема в математике как науке и, в частности, в школьном предмете. Например, независимо от интересов учащихся и их ориентации на будущую профессиональную деятельность, изучение данной темы необходимо всем, так как она имеет большой спектр приложений.

5. Развивающий потенциал темы "Движение".

Данная тема позволяет развить логическое мышление, воображение, интуицию и т.д. Изучение геометрических преобразований способствует формированию и развитию мировоззрения учащихся. Геометрические преобразования позволяют показать учащимся фигуры в движении, способствуют представлению о различных фигурах не как о чем-то неподвижном, а как об изменяющемся и преобразующемся одно в другое.

6. Применение как эмпирических, так и логических методов обучения при обучении по теме "Движение".

При изучении данной темы возможно использование таких методов обучения как эксперимент, наблюдение, опыт и, в то же время, есть возможность применить анализ, синтез, аналогию, абстрагирование и т.п. Например, лабораторные работы позволяют ученикам экспериментальным путем установить основные свойства геометрических преобразований. В то же время, анализируя свойства одного из геометрических преобразований, можно установить аналогичные свойства другого (например, осевая и центральная симметрии).

7. Обучение по теме "Движение" может осуществляться двумя способами: конкретно-индуктивным (с опорой на наглядность) и абстрактно-дедуктивным.

8. Тема допускает различные уровни обучения: базовый, повышенный и углубленный.

В 8-9 классах учащиеся обучаются в одном классе, поэтому для того, чтобы учесть индивидуальные возможности и запросы каждого школьника, необходимо в уровневую дифференциацию ввести элементы профилирования. В результате этого в классе выделятся относительно устойчивые группы учащихся с гуманитарными наклонностями, прикладными, естественнонаучными.

При отборе содержания темы "Движение" для групп и классов различного направления (гуманитарное, естественнонаучное (физическое) и математическое) целесообразно использовать следующие критерии отбора содержания материала, при выборе которых мы исходили из того, что одной из центральных задач преподавания геометрии в школе является профильная ориентация учащихся в соответствии с их интересами и способностями, а также связь обучения с жизнью.

Выделим пять наиболее общих критериев, которые способствуют решению данной задачи.

1) Критерий дидактической значимости заключается в том, что знания должны быть предметом изучения и одновременно средством для последующего изучения геометрии и математики в целом. Значимость знаний определяется с учетом степени их применяемости к решению задач, доказательству теорем, обоснованию закономерностей и т.д.

2) Критерий применения устанавливает, что знания должны иметь большую прикладную направленность.

3) Критерий активности предполагает, что знания должны активно работать на протяжении длительного времени (времени изучения темы, раздела, курса) и быть необходимыми для продолжения образования.

4) Критерий соответствия задачам и целям обучения в классе данного профиля.

Изучение геометрических преобразований способствует развитию познавательного интереса учащихся, формированию их творческой активности, а также усилению прикладной направленности выбранного профиля обучения. Метод геометрических преобразований дает возможность учащимся применять графические (конструктивные) способы решения задач, требующие развитого пространственного воображения.

5) Мировоззренческий критерий.

Изучение геометрических преобразований способствует развитию мировоззрения учащихся и дает возможность:

- повысить уровень математической культуры школьников;

- пополнить свои знания самостоятельно;

- проявить свои склонности и интересы.

Таким образом, изучение темы "Подобия плоскости и их практическое применение":

- необходимо для изучения последующего курса математики и это должно учитываться при определении логического курса математики и отборе содержания;

- обеспечивает изучение других предметов. Данную особенность необходимо учесть при отборе содержания и построении логической структуры курса;

- способствует достижению одной из главных целей курса математики развитие мышления школьников;

- обеспечивает учащихся некоторыми умениями и методами, необходимыми им в повседневной жизни.

Руководствуясь выделенными критериями отбора содержания материала, рассмотрим общие умения, которыми должны овладеть учащиеся 8-9 классов при изучении геометрических преобразований:

1. Строить образы фигур при осевой и центральной симметрии, параллельном переносе, повороте и гомотетии.

2. Задавать ось симметрии, центр поворота, определять угол поворота, направление параллельного переноса, его расстояние.

3. Видеть ситуации, в которых могут быть использованы определенные виды преобразований.

4. Переводить условия задачи на язык геометрических преобразований, а затем применять свойства конкретного преобразования к решению данной задачи, и тем самым решать задачи по геометрии и другим смежным дисциплинам методом геометрических преобразований.

Данные умения конкретизируются для каждой группы учащихся класса.

Изучение темы "Движение" целесообразно проводить в два этапа. На первом этапе в 8-9 классах рассматриваются геометрические преобразования на плоскости, а на втором этапе в 10-11 классах изучаются геометрические преобразования в пространстве. Данное распределение соответствует традиционному расположению материала по программе общеобразовательной школы. Тогда эффективность изучения темы будет зависеть от того, каким образом она будет реализована внутри каждого этапа. Для того, чтобы добиться значительного повышения эффективности изучения данной темы различными группами учащихся, необходимо учесть при ее построении их индивидуальные возможности, опираясь на основные дидактические принципы, на выделенные дидактические особенности темы.

Достижению этих целей будет способствовать использование возможностей профильной дифференциации предпрофильной подготовки при изучении темы "Движение".

Необходимо добавить, что содержание темы в 8-9 классах имеет значительную базовую часть, необходимую для изучения всеми учащимися, независимо от их интересов и стремлений. В то же время отметим, что, в основном, к этому возрасту математические способности учащихся уже проявились. Поэтому в данный период возникает острая необходимость учета индивидуальных особенностей учащихся, так как часть школьников по окончании 9 класса уже имеет твердые профессиональные намерения. Все перечисленные факты приводят к выводу о том, что в 8-9 классах целесообразно при построении курса "Подобия плоскости и их практическое применение" реализовать уровневую дифференциацию с элементами профильной, которые заключаются в отборе теоретического материала и в подборе системы задач для каждой группы учащихся класса в соответствии с их интересами и возможностями.

В 8-9 классах в содержании темы "Движение" выделяются три уровня обучения: базовый, повышенный и творческий.

Базовый уровень содержит основное ядро темы, которое должно быть изучено всеми учащимися класса. Причем нужно заметить, что данная часть должна содержать все три составляющие: гуманитарную, прикладную и естественнонаучную. На данном уровне целесообразно использовать фронтальные формы работы учебной деятельности учащихся.

Повышенный уровень характеризуется включением на этапе закрепления темы задач определенного практического характера, которые иллюстрируют приложения геометрических преобразований. На этом уровне уже нужно рекомендовать учитывать индивидуальные особенности учащихся, их интересы. В содержании этого уровня целесообразно выделить три составляющие и таким образом организовать работу на уроке, чтобы школьники, имеющие гуманитарные способности, больше работали с учебным материалом гуманитарного содержания и, наоборот, учащиеся с математическими способностями больше имели дело с материалами естественнонаучного содержания. Среди учащихся класса следует отобрать таких, которым больше подходит прикладная составляющая. При организации такой работы лучше использовать групповые и индивидуальные формы учебной деятельности. Таким образом, при обучении наблюдаются уже элементы профильной дифференциации.

Еще одно ее проявление возможно на третьем уровне обучения - творческом. Данный уровень может проявляться в двух видах: через факультативы и курс углубленного изучения математики. Факультативные занятия или курсы по выбору могут проводиться в двух направлениях:

1. В содержании факультатива преобладает естественнонаучная составляющая, т.е. рассматриваются вопросы, позволяющие углубить изучение теоретических вопросов данной темы. Занятия целесообразно рекомендовать тем школьникам, которые затем продолжат обучение в классах математического профиля.

2. В содержании факультатива преобладают вопросы прикладного характера, практические задачи. Данные занятия рекомендуется посещать учащимся, которые либо продолжат обучение в колледжах или будут обучаться в классах технического профиля.

Изучение темы "Движение" в классах с углубленным изучением математики предусмотрено государственной программой для этих классов. Оно может проводиться в два этапа, отвечающие возрастным возможностям и потребностям школьников и соответственно различающиеся по целям. Первый этап относится к основной школе, второй - к старшей школе.

Первый этап (8-9 классы) углубленного изучения математики является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику следует помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с тем, чтобы по окончании основной школы он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего изучения математики - углубленного либо обычного.

В основу уровневой дифференциации с элементами профилирования закладывается принцип, согласно которому большую часть учебного времени три группы учащихся работают вместе. Так как работа идет в одном классе, то у учащихся есть возможность перейти из одной группы обучения в другую, если интересы приобрели другую профессиональную окраску. Данный подход способствует осознанному выбору профиля обучения в старших классах и наиболее эффективному обучению в нем.

1.3 Конструирование модели развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы в процессе обучения подобиям плоскости в условиях информатизации общего образования и компьютерного обеспечения ее

На ранних стадиях развития человечества, когда обучение было непосредственно связано с трудовой деятельностью взрослого, дети не испытывали значительных затруднений, чтобы представить и понять то, чему их учили. С появлением письменности и книг обучение стало более сложным и трудным. Возникает противоречие между личным опытом ребенка и общественным опытом, отражаемым в книгах.

Принцип наглядности являлся предметом обсуждения многих великих педагогов. Первым о нем заговорил чешский педагог Я.А. Коменский. Он говорил о том, что необходимо изучать сами вещи, а не свидетельства о них. В основе чувственного метода Коменского лежит необходимость более глубокой опоры на чувственное познание в процессе обучения. Наглядность в понимании Коменского - решающий фактор усвоения учебного материала. Песталоцци видит в наглядности единственную основу всякого развития. Чувственное познание сводится к наглядности обучения. Наглядность превращается в самоцель. Ж.Ж. Руссо вынес обучение непосредственно в природу. Поэтому наглядность обучения не приобретает самостоятельного и существенного значения. Ребенок находится в природе и непосредственно видит то, что должен узнать и изучить. К.Д. Ушинский дал глубокое психологическое обоснование наглядности начального обучения. Наглядные пособия являются средством для активизации мыслительной деятельности и формирования чувственного образа. Именно чувственный образ, сформированный на основе наглядного пособия, является главным в обучении, а не само наглядное пособие. Л.В. Занков рассматривал взаимодействие слова и наглядности в обучении. Психологи выделяют наглядный материал как внешнюю опору внутренних действий, совершаемых ребенком под руководством учителя в процессе овладения знаниями. Наглядность - показатель простоты и понятности для данного человека того психического образа, который он создает в процессе восприятия, памяти, мышления и воображения.

Много внимания уделяли восприятию ребенком предметов и явлений окружающего мира советские психологи середины XX век. В результате большинство из них пришли к выводу, что "наглядность не изолирует восприятие и представление от целостной аналитико-синтетической умственной деятельности".

Принцип наглядности обучения обусловлен рядом факторов [18]:

1. наглядность обучения является средством познания учащимися окружающего мира, и поэтому процесс этот происходит более успешно, если основан на непосредственном наблюдении и изучении предметов, явлений или событий;

2. познавательный процесс требует включения в овладение знаниями различных органов восприятия; согласно К.Д. Ушинскому, знания будут тем прочнее и полнее, чем большим количеством различных органов чувств они воспринимают;

3. наглядность обучения основана на особенностях мышления детей, которое развивается от конкретного к абстрактному; на ранних этапах ребёнок мыслит больше образами, чем понятиями; с другой стороны, понятия и абстрактные положения осмысливаются учащимися легче, если они подкрепляются конкретными фактами, примерами.

4. наглядность повышает интерес учащихся к знаниям и делает процесс обучения более лёгким; согласно К.Д. Ушинского: "Учите ребёнка каким-нибудь пяти неизвестным ему словам, и он будет долго и напрасно мучиться над ними; но свяжите с картинками двадцать таких слов и ребёнок усвоит их на лету…".

Принцип наглядности вытекает из сущности процесса восприятия, осмысления и обобщения учащимися изучаемого материала. Он означает, что в обучении необходимо, следуя логике процесса усвоения знаний, на каждом этапе обучения найти его исходное начало в фактах и наблюдениях единичного или в аксиомах, научных понятиях и теориях. После чего определить закономерный переход от восприятия единичного, конкретного предмета к общему, абстрактному или, наоборот, от общего, абстрактного к единичному, конкретному.

...