Методична система навчання учнів початкових класів розв’язування сюжетних математичних задач

Теоретичною основою методики формування у молодших школярів загального уміння розв'язувати задачі є сформульовані Л.М.Фрідманом вимоги до процесу формування розумових дій, які забезпечують високу ефективність навчання навичок і вмінь, а також теорія поетапного формування розумових дій і понять П.Я.Гальперіна, яка відповідає цим вимогам.

Формування загального уміння розв'язувати прості (або складені) задачі базується на визначеному нами операційному складі загального вміння розв'язувати задачі (відповідно на матеріалі простих або складених задач) та здійснюється за етапами, які є загальноприйнятими у методичній науці: І етап - підготовча робота до введення поняття „задача” (або „складена задача”); ІІ етап - ознайомлення з поняттям „задача” (або „складена задача”), структурними елементами задачі та етапами її розв'язування; ІІІ етап - формування загального уміння розв'язувати будь-які прості (або складені) задачі.

З метою попередження шаблонного і тому неадекватного підходу учнів до розв'язування окремих видів простих задач розширено коло питань підготовчого етапу: крім формування конкретного змісту арифметичних дій додавання і віднімання, пропонується конкретний зміст відношення різницевого порівняння та збільшення або зменшення числа на кілька одиниць, а також правило знаходження невідомого доданка; діти навчаються виконувати відповідні схематичні рисунки. Це дає можливість вводити поняття „задача” не лише на задачах на знаходження суми й різниці, як це робиться традиційно, а на матеріалі перших п'яти видів задач - задачах на знаходження суми, на знаходження різниці, на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць, на різницеве порівняння, на знаходження невідомого доданка. Саме робота відразу над п'ятьма видами простих задач ставить учнів в умови свідомого вибору арифметичної дії і виключає заучування способу розв'язування задач окремих видів. Необхідність вибору арифметичної дії визначає здійснення аналізу тексту задачі: виділення умови й запитання,

числових даних і шуканого, зв'язків між ними, слів-ознак, на які слід спиратися при складанні схематичного рисунка (а пізніше для вибору виду математичного співвідношення) і виборі арифметичної дії для розв'язання задачі.

Нами розроблено програму ознайомлення першокласників з поняттям задачі і відповідну систему завдань, які спрямовані на оволодіння учнями семантичним аналізом тексту задачі та подання результатів цього аналізу у вигляді репрезентативної моделі - схематичного рисунка, а також на обґрунтування, на цій основі, вибору арифметичної дії, за допомогою якої розв'язується задача. Програма формування вмінь розв'язувати прості задачі поширюється на 1-й - 4-й класи і реалізується за допомогою відповідних систем навчальних задач.

На базі вищевказаних теоретичних основ розроблено програму й методику формування загального уміння розв'язувати складені задачі, в якій визначено мету і зміст кожного із зазначених етапів. В результаті дослідження встановлено необхідність проведення цілеспрямованої підготовки до введення поняття про складену задачу. Під час цієї підготовки за допомогою спеціальних завдань у дітей формуються уявлення: про те, що за двома певними числовими даними можна відповісти на кілька запитань; про те, що різні задачі можуть мати однакові розв'язання; про неможливість відповісти на запитання задачі, якщо числових даних бракує; про необхідність вибору числових даних для відповіді на запитання задачі; про існування задач, на запитання яких не можна відповісти одразу; про існування задач, що складаються з двох простих задач, які пов'язані за змістом; про те, що аналіз (під час пошуку шляху розв'язування) може складатися з двох циклів, кожний з яких відповідає певній з двох простих задач. Здійснюється також попереднє ознайомлення та формування в матеріалізованій формі окремих дій, що складають загальне уміння розв'язувати складені задачі.

Для попередження запам'ятовування учнями способу розв'язування складених задач окремих математичних структур, як це відбувається у багатьох випадках, ознайомлення з поняттям „складена задача” та процесом її розв'язування доцільно здійснювати на різноманітних математичних структурах задач. Нами доведено, що такий підхід спонукає учнів до засвоєння дій з розв'язування задачі, а не до заучування плану розв'язання.

Метою етапу ознайомлення молодших школярів з поняттям „складена задача” є формування трьох нових дій: проведення аналітичного пошуку шляху розв'язування задачі (під час цього пошуку слід вибирати пару числових даних для відповіді на певне запитання); виділення, спочатку на схемі аналізу, а потім словесне формулювання кожної простої задачі, з яких складається дана задача; складання плану розв'язування задачі. Істотним в організації діяльності учнів на етапі ознайомлення з поняттям „складена задача” (як і поняття „задача”) є її спрямованість не на розв'язання кожної конкретної задачі, а на оволодіння певними діями, на оволодіння цим поняттям.

Нами обґрунтовано доцільність формування загального уміння розв'язувати складені задачі відповідно до програми, яка реалізується за допомогою систем навчальних задач для 2-го - 4-го класів. Навчання розв'язувати складені задачі здійснюється на різноманітних математичних структурах задач, не зосереджуючись на відпрацюванні розв'язання задачі певної структури. Істотним у методиці ознайомлення із задачами нової математичної структури є введення їх на основі або порівняння зі схожими простими задачами, або на основі продовження сюжету простої задачі, або на основі зміни запитання простої задачі до даної умови, або на основі зміни умови або запитання складеної задачі відомої математичної структури. Таким чином, досліджується вплив цих змін на розв'язування задачі; задачі нової математичної структури зіставляються із задачами вже відомими, що полегшує засвоєння нових структур задач. Крім того, нами застосовано й такий методичний прийом, коли задача нової структури подається без зіставлення з відомими структурами, що спонукає до відтворення повного складу дій, які містить загальне уміння розв'язувати складені задачі.

На задачах на знаходження суми чи різницеве (кратне) порівняння двох добутків або часток, що вводяться у 3-му класі, відбувається вдосконалення загального уміння розв'язувати задачі згідно з теорією поетапного формування розумових дій і понять на основі ІІІ-го типу навчання (П.Я.Гальперін) із системним типом орієнтування (З.О.Решетова). Нами доведено, що такий підхід надає можливість на наступному етапі навчання побудувати методику роботи над „типовими” задачами шляхом їх всебічного дослідження та узагальнення математичної структури і способу розв'язування на основі теорії змістовних узагальнень (В.В.Давидов), яка застосовується до навчання учнів розв'язувати задачі певних видів.

Методику формування у молодших школярів умінь розв'язувати задачі певних видів побудовано на основі поданої нами характеристики цих умінь через комплекс умінь нижчого порядку, серед яких основними є: уміння співвідносити дану задачу з раніше вивченими і впізнавати задачу вивченої математичної структури; уміння актуалізувати узагальнений спосіб розв'язування задач даного виду, а потім його реалізувати.

Щоб співвіднести дану задачу з раніш вивченими і впізнати задачу вивченої математичної структури, а також актуалізувати узагальнений спосіб розв'язування задач цього виду, учень повинен мати знання різноманітних математичних структур „типових” задач та узагальнених способів їх розв'язування. При наявності знань про види задач та способи їх розв'язування успішність розв'язування „типових” задач залежить, насамперед, від якості орієнтувальної діяльності школяра. Між тим, якість самої орієнтувальної діяльності визначається якістю подання схеми тієї дії, яка за цієї схемою потім виконується. З огляду на це, ми обрали теоретичною основою методики формування у молодших школярів умінь розв'язувати „типові” задачі теорію змістовних узагальнень В.В.Давидова; її реалізація в ході навчання учнів розв'язування „типових” задач здійснюється на базі ІІІ типу орієнтування за П.Я.Гальперіним, методом системно-структурного аналізу З.О.Решетової.

Нами обґрунтовано доцільність вивчення задач, що містять однакову величину, задач на процеси, задач на знаходження середнього арифметичного за відповідними програмами, що реалізуються за допомогою систем навчальних задач - ланцюжків допоміжних задач, дібраних таким чином, щоб їх послідовне розв'язування природно призвело учня до визначення і узагальнення способу розв'язування задачі певного виду. В програмах враховані й додаткові питання для поглибленого вивчення математики.

Програма вивчення задач, що містять однакову (сталу) величину, та методика навчання розв'язування задач цього типу реалізується в 3-му - 4-му класах. Методика формування у молодших школярів умінь розв'язувати задачі на знаходження четвертого пропорційного (3-й - 4-й класи) передбачає дослідження задачі за допомогою наступних її змін: зміни групи пропорційних величин; зміни числових даних; зміни однакової величини; зміни шуканої величини при певній однаковій величині. Кожного разу визначається вплив зміни, що сталася, на план розв'язування задачі; дослідження за допомогою зміни числових даних задачі з метою застосування іншого способу розв'язування дозволяє визначити умови застосування кожного способу. Таким чином визначаються істотні ознаки задач на знаходження четвертого пропорційного та узагальнюються способи розв'язування: спосіб знаходження однакової величини для двох випадків та спосіб відношень; встановлюються можливості застосування кожного з них.

Методика формування вмінь розв'язувати задачі на пропорційне ділення та задачі на знаходження невідомих за двома різницями (4-й клас) побудована за єдиним планом, в якому реалізовано наступні підходи:

1. Для усвідомлення учнями зв'язку задач на знаходження четвертого пропорційного (на пропорційне ділення) і задач на пропорційне ділення (на знаходження невідомих за двома різницями) здійснюється перетворення задачі відомого виду на задачу нового виду.

2. Дослідження задачі реалізується шляхом: а) зміни величин або числових даних задачі, зміни шуканих, зміни однакової величини; б) визначення впливу цих змін на план розв'язування задачі.

Такий всебічний аналіз призводить до узагальнення істотних ознак задач згаданих видів і узагальнення плану їх розв'язування способом знаходження однакової величини.

До обов'язкових для всіх учнів питань не належать дослідження задач на пропорційне ділення та задач на знаходження невідомих за двома різницями шляхом зміни однакової величини, а також порівняння задач на знаходження четвертого пропорційного, на пропорційне ділення і на знаходження невідомих за двома різницями з метою визначення спільних істотних ознак їх математичних структур та узагальнення способу розв'язування. Цей навчальний матеріал пропонується для поглибленого вивчення математики найбільш здібними учнями.

Аналогічним чином побудовано методику навчання молодших школярів розв'язування задач на подвійне зведення до одиниці, з тією відмінністю, що дослідження задач цього виду не відбувається за допомогою зміни однакової величини. З метою визначення зв'язку між задачами на знаходження четвертого пропорційного та на подвійне зведення до одиниці, задача на знаходження четвертого пропорційного, в якій однаковою (сталою) є величина однієї одиниці вимірювання, перетворюється на задачу на подвійне зведення до одиниці і порівнюються їх розв'язання, визначаються спільні істотні ознаки та узагальнюється спосіб розв'язування - але це питання не віднесено до обов'язкових .

Програма вивчення задач на процеси та методика навчання розв'язування задач цього типу реалізується в 3 - 4-х класах. Відповідно до чинної програми спочатку відбувається навчання молодших школярів розв'язування задач на спільну роботу, а потім - на одночасний рух. Для підвищення ефективності формування вмінь розв'язування задач цих видів, як показано нами, є доцільним узагальнення математичних структур та способів розв'язування задач на спільну роботу та на рух; причому методику розроблено нами на основі порівняння задач на спільну роботу та задач на рух.

Формування в учнів уміння розв'язувати задачі на спільну роботу здійснюється в 3-му та 4-му класах, що пояснюється дещо відмінними математичними структурами задач цього виду: так, в 3-му класі пропонуються задачі на спільну роботу, в яких дано продуктивності кожного виконавця, а у 4-му - не дано продуктивність кожного виконавця, вона є проміжним невідомим. Дослідження задач на спільну роботу здійснюється за допомогою наступних змін: зміни ситуації задачі; зміни числових даних задачі; зміни шуканого задачі; зміни „характеру дій” виконавців. Таке дослідження задачі є потужним засобом визначення істотних ознак математичної структури та плану розв'язування задачі.

Щодо формування в молодших школярів умінь розв'язувати задачі на рух нами доведено ефективність застосування підходу, коли задачі на одночасний рух назустріч і одночасний рух в протилежних напрямках розглядаються разом, спочатку розв'язуються задачі на знаходження відстані і швидкості першим способом, а після засвоєння першого способу вводиться другий спосіб і вивчаються задачі на знаходження часу. Дослідження задач на одночасний рух відбувається з використанням наступних змін: зміни напрямку руху тіл; зміни числових даних задачі; зміни шуканого. Визначення впливу цих змін на математичну структуру задачі та на план її розв'язування допомагає учням сформулювати істотні ознаки задач на одночасний рух в різних напрямках та засвоїти спосіб їх розв'язування. Серед додаткових питань чільне місце посідає узагальнення математичних структур та способів розв'язування задач на спільну роботу та на рух в різних напрямках, вивчення задач на рух в одному напрямку із наступним узагальненням математичних структур та способів розв'язування задач на спільну роботу (в яких продуктивність спільної праці знаходять дією віднімання) і задач на рух навздогін.

Нами розроблено програму та систему навчальних задач з формування вмінь розв'язувати задачі на знаходження середнього арифметичного. Доведено доцільність дослідження задач цього типу через наступні зміни: зміну ситуації задачі (наприклад, задача на знаходження середньої температури перетворюється на задачу на знаходження середньої довжини); зміну числових даних задачі; зміну, коли задача, у якій містилося кілька значень однієї і тієї самої величини, перетворюється на задачу (ускладнену), що містить групу пропорційних величин. Виконавши певні зміни, учні досліджують їх вплив на математичну структуру та план розв'язування задачі.

У четвертому розділі дисертаційного дослідження „Формування загального уміння розв'язувати сюжетні задачі” подано зміст систем навчальних задач з формування загального вміння на матеріалі простих задач, на матеріалі складених задач, на матеріалі задач на знаходження суми або різницеве чи кратне порівняння двох добутків або часток. Визначено цілі навчальних завдань та розроблено програму підготовчої роботи до введення поняття „задача”, методику ознайомлення першокласників з поняттям „задача”, закріплення цього поняття та формування вмінь розв'язування простих задач у 1-му - 4-му класах.

У поданих системах завдань реалізовано три етапи (підготовку, ознайомлення, закріплення) навчання окремих видів простих задач: задач на знаходження невідомого зменшуваного, задач на знаходження невідомого від'ємника (1-й клас); задач на знаходження третього числа за сумою двох даних, задач на конкретний зміст дії множення, задач на конкретний зміст дії ділення, задач на збільшення або зменшення числа у кілька разів, задач на кратне порівняння (2-й клас); задач за знаходження частини від числа, задач на знаходження числа за його частиною, задач на час, задач з пропорційними величинами (3-й клас); задач на знаходження дробу, який одне число становить від іншого, тощо (4-й клас).

Нами побудовано систему навчальних задач, що пропонуються: на етапі підготовчої роботи до введення поняття про складену задачу; на етапі ознайомлення з цим поняттям; при формуванні вмінь розв'язувати складені задачі в 2-му - 4-му класах. При формуванні поняття про складену задачу та ознайомленні з процесом розв'язування складених задач (2-й клас) нами запропоновано підхід, який передбачає: порівняння задачі з двома запитаннями та відповідної складеної задачі; порівняння простої та складеної задач, які мають однакові умови; вибір необхідних і достатніх ознак для розпізнавання складеної задачі; підведення під поняття „складена задача”; вирішення питання щодо належності або неналежності задачі до поняття „складена задача”. Доведено доцільність спеціального опрацювання уміння виконувати аналітичний пошук розв'язування задачі на основі подання до задач готових схем аналізу, а далі самостійного закінчення дітьми схем аналізу, що подані на картці з друкованою основою, і нарешті самостійного їх складання. Аналогічно відбувається формування уміння розбивати складену задачу на прості та визначати порядок розв'язування простих задач.

Вперше, з метою засвоєння учнями порядку роботи над складеними задачами та формування відповідного комплексу дій та операцій, нами запропоновано навчання розв'язування складених задач здійснювати на різноманітних математичних структурах (традиційно навчання розв'язування складених задач, протягом теми, відбувається на задачах на знаходження остачі, що містять просту задачу на знаходження суми). В пропонованій системі не залишилися поза увагою питання про узагальнення поняття „складена задача”, математичних структур складених задач на знаходження суми, різниці тощо; про складання обернених задач; про формування дії синтетичного пошуку розв'язування задачі (3-й клас).

Нами розроблено зміст і методику підготовчої роботи до введення складених задач з пропорційними величинами, а також систему задач із навчання молодших школярів розв'язувати задачі: на знаходження суми двох добутків та обернені до них; на різницеве порівняння двох добутків та обернені до них; на кратне порівняння двох добутків та обернені до них; на знаходження суми або різницеве чи кратне порівняння двох часток. Доведено доцільність формування в молодших школярів вмінь розв'язування задач цих видів через порівняння прямих і обернених задач, порівняння задач схожих математичних структур, перетворення задачі певної математичної структури на задачу аналогічної математичної структури, яка має певну відмінну ознаку, тощо. Робота над цими видами складених задач відбувається через поступове виконання усіх дій, що складають загальне вміння розв'язувати складені задачі; при цьому на даному етапі в молодших школярів у різних формах опрацьовується вміння визначати істотні ознаки задачі, узагальнювати математичну структуру та спосіб розв'язування.

П'ятий розділ - „Формування вмінь розв'язувати сюжетні задачі певних видів”. У ньому подано системи навчальних задач з формування в молодших школярів умінь розв'язувати задачі, що містять однакову (сталу) величину, на процеси, на знаходження середнього арифметичного. Усі ці системи реалізують такі етапи навчання розв'язування задач: підготовку, ознайомлення й закріплення, формування вмінь.

Задачі, що містять однакову (сталу) величину. Запропоновано методику навчання розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного. Ознайомлення із задачами цього виду здійснюється через розв'язування двох послідовних простих задач з пропорційними величинами та поєднання їх в одну. В результаті всебічного дослідження задач поступово узагальнюються істотні ознаки та плани розв'язування задач певних підвидів. Опрацьовується розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного способом знаходження однакової величин, а також способом відношень.

Розроблено методику навчання молодших школярів розв'язувати задачі: на пропорційне ділення; на знаходження невідомих за двома різницями. На етапі підготовчої роботи передбачено опрацювання вміння знаходити однакову величину за двома сумами або двома різницями. При ознайомленні з цими видами задач, згідно з адаптованою нами методичною схемою змістовних узагальнень, реалізовано підхід, коли задача нового виду вводиться через здійснення певних змін у задачі відомого виду, визначення відмінних ознак та їх впливу на план розв'язування задачі. В результаті виконання роботи із системою навчальних задач відбувається поступове узагальнення істотних ознак задач цих видів та узагальнення планів розв'язування.

Додатково пропонується порівняння математичних структур задач на знаходження четвертого пропорційного, на пропорційне ділення і на знаходження невідомих за двома різницями з метою виділення їх спільних істотних ознак та узагальнення способу розв'язування, який полягає у знаходженні однакової (сталої) величини.

Методикою формування в молодших школярів умінь розв'язувати задачі на подвійне зведення до одиниці передбачено ознайомлення дітей з двома математичними структурами цих задач: спрощеною - в якій дана або є шуканою величина подвійної одиниці (3-й клас) та дещо ускладненою - коли величина подвійної одиниці невідома, але не є шуканою (4-й клас). Нами запропоновано новий підхід, коли задача на подвійне зведення до одиниці вводиться як поєднання двох послідовних простих задач. В результаті виконання роботи над системою навчальних задач, де передбачено, по-перше, дослідження задачі: через зміну величин задачі; через зміну числових даних задачі; через зміну шуканого задачі і, по-друге, визначення впливу цих змін на математичну структуру та план розв'язування задачі, - узагальнюються істотні ознаки та план розв'язування задач даного виду.

Нами встановлено доцільність подальшого дослідження задачі на подвійне зведення до одиниці через зіставлення із задачами на знаходження четвертого пропорційного (однаковою є величина однієї одиниці виміру або лічби). В результаті такого зіставлення учні визначають спільне у математичній структурі та у способі розв'язування цих задач.

Задачі на процеси. Розроблено методику навчання молодших школярів розв'язувати задачі на спільну роботу. Задача на спільну роботу (і у 3-му, і в 4-му класі) вводиться як продовження підготовчої задачі, що полегшує пошук розв'язування задачі нової математичної структури. Всебічне дослідження задач дає можливість визначити істотні ознаки задач на спільну роботу, а також узагальнити план їх розв'язування.

В методиці формування вміння розв'язувати задачі на одночасний рух в різних напрямках нами запропоновано іноваційний підхід, згідно з яким задачі на рух назустріч та у протилежних напрямках вивчаються одночасно: після розв'язання задачі на зустрічний рух, на знаходження відстані - змінюються напрямки руху тіл і складається задача на рух у протилежних напрямках. В результаті розв'язування одержаної задачі дістаємо висновку, що при зміні напрямку руху математична модель задачі залишається тією самою. З метою ознайомлення із задачами на знаходження швидкості складаємо обернену задачу, після розв'язання якої знову змінюємо напрямок руху тіл і дістаємо висновку, аналогічного попередньому. Нарешті узагальнюємо перший спосіб розв'язування задач на рух в різних напрямках на знаходження відстані та швидкості. На наступному етапі передбачено ознайомлення з другим способом розв'язування задач на рух в різних напрямках на знаходження відстані та шквидкості; після узагальнення цей спосіб застосовується й для розв'язування задач на знаходження часу.

Запропоновано методику навчання молодших школярів розв'язування задач на знаходження середнього арифметичного. На етапі підготовки передбачено введення поняття про середнє арифметичне. Ознайомлення із цим типом задач, за розробленою нами методикою, здійснюється на задачі на знаходження середньої температури за тиждень, ситуація якої не є новою для учнів - на уроках ОБЖ вони ведуть календар природи, записуючи щоденну температуру повітря. „Перекладаючи” задачу „мовою математики”, учні впевнюються, що знаходження середньої температури за тиждень полягає в обчисленні середнього арифметичного семи чисел, які показують температуру кожного дня тижня. Задачі на знаходження середньої маси, середньої довжини тощо вводяться через зміни ситуації попередньої задачі. Наступне дослідження задачі здійснюється шляхом її ускладнення: у задачу вводиться група пропорційних величин, і діти визначають, як ця зміна впливає на розв'язання задачі. Порівнявши задачі на знаходження середнього арифметичного, визначаємо їх істотні ознаки та узагальнюємо спосіб розв'язування.

Аналізу ефективності запропонованої методичної системи присвячений шостий розділ „Перевірка результативності методичної системи навчання розв'язування сюжетних задач в початковій школі”.

Констатувальний експеримент передбачав анкетування вчителів (357 осіб) та тестування учнів (683 дітей) з метою визначення рівня сформованості в них умінь розв'язувати задачі. Також здійснювалося спостереження за роботою вчителів (як учителів-початківців, так і вчителів-методистів) під час навчання молодших школярів розв'язування задач. У результаті були отримані дані, що свідчили про необхідність розробки методичної системи, яка була б спрямована на формування в молодших школярів умінь розв'язувати сюжетні задачі. Зокрема, аналіз результатів анкетування вчителів початкових класів дозволив зробити такі висновки: 1) не всі вчителі проводять повноцінний аналіз тексту задачі, частіше обмежуються лише виділенням її умови і запитання. Майже не провадиться логіко-семантичний аналіз тексту задачі; 2) близько третини вчителів не використовує прикидку відповіді перед розв'язуванням задачі, а понад третини при розв'язуванні простих задач не вимагає від учнів обґрунтування вибору арифметичної дії. Близько половини вчителів під час пошуку розв'язування складених задач активно не застосовують аналітичного й синтетичного методів міркувань; 3) більше третини вчителів підтвердили той факт, що учні не можуть пояснити розв'язання та дати ґрунтовну відповідь на запитання задачі, навіть після фронтального розбору задачі; 4) мало уваги з боку вчителів приділяється перевірці правильності розв'язання задачі, вчителі лише іноді пропонують учням здійснити таку перевірку.

Зроблені висновки здобули підтвердження під час спостереження за роботою вчителів. Таким чином, нездатність усіх учнів пояснити розв'язання задачі після його обговорення є наслідком недосконалої методики роботи над задачею у практиці навчання.

У процесі констатувального експерименту за допомогою тестування було оцінено рівні сформованості в учнів 2-х - 4-х класів умінь розв'язувати прості і складені задачі.

І. Низький рівень. Сприймання задачі здійснюється учнем поверхово, неповно, учень не може виділити умову і запитання задачі, визначити об'єкт задачі, відокремити числові дані і шукане задачі. Він виділяє зовнішні, частіше несуттєві, елементи задачі, не може й не намагається уявити хід її розв'язування. Учень не вміє виконувати короткий запис задачі або схематичний рисунок. Учень не здійснює пошуку (аналітичним чи синтетичним методом), а відразу приступає до „розв'язування” задачі, обираючи числові дані та арифметичну дію навмання. Перед розв'язанням задачі не в змозі зробити прикидку. Навіть якщо задача розв'язана, учень зазнає труднощів у формулюванні відповіді. Він „не бачить” різних способів розв'язування, навіть коли вчитель вказує на них.

ІІ. Середній рівень. Сприймання задачі супроводжується її аналізом, учень виділяє умову і запитання, об'єкт задачі, числові дані і шукане. Учень прагне зрозуміти задачу, відокремлює дані та шукане, але здатний при цьому встановити між ними лише окремі зв'язки. Він уміє виділяти ключові слова та складати короткий запис задачі або виконувати схематичний рисунок, проте зазнає труднощів у прикидці очікуваного результату. Пошук шляху розв'язування задачі може виконати, спираючись на схематичний рисунок або за допомогою дорослого. Різні способи розв'язування задачі знаходить за наявності досвіду їх використання при розв'язуванні аналогічних задач.

ІІІ. Достатній рівень. Учень володіє предметно-змістовним аналізом задачі. Вміє визначати слова-ознаки та види співвідношень, що задані в задачі, а також складати репрезентативну модель задачі. На основі повного всебічного аналізу задачі учень виділяє взаємозв'язки між даними та шуканим і наближено оцінює очікуваний результат. Самостійно виконує пошук шляху розв'язування (аналіз або синтез), формулює план розв'язування та записує розв'язання - як за діями, так і виразом. Складає і розв'язує обернені задачі; встановлює відповідність між числами, які отримані в результаті розв'язання задачі, і даними числами.

ІV. Високий рівень. Учень здатний самостійно побачити різні способи розв'язування і вказати найбільш раціональний. При аналізі задачної ситуації учень вільно відкидає неістотні і зайві елементи з точки зору її вимоги.

Тестування проходило у формі співбесіди, під час якої фіксувалася якість виконання учнем кожної дії чи операції з розв'язування задач, і в результаті аналізу одержаних експериментальних даних було зроблено висновок щодо рівня сформованості вміння розв'язувати задачі відповідно в кожного учня, а потім підраховані середні показники по класу.

В результаті аналізу даних тестування нами одержано такі висновки: 1) _більшість учнів 3-х та 4-х класів мають низький або середній рівень оволодіння умінням розв'язувати задачі, і лише близько 20 % учнів досягли достатнього чи високого рівня; 2) уміння аналізувати зміст сюжетної задачі в більшості учнів сформовано недостатньо. Значна частина учнів як третіх, так і четвертих класів здатна лише виділити умову і запитання. Несформованість цього уміння зумовлює складності у здійсненні короткого запису задачі, схематичного рисунку, у визначенні залежності між значеннями величин; 3) багато учнів зазнають труднощів у виборі необхідних арифметичних дій і встановленні порядку їх виконання; 4) складним для майже половини учнів є утворення і розв'язування оберненої задачі, а ще більші утруднення викликає розв'язування задачі іншим способом.

На наступному етапі дослідження здійснювався аналіз психолого-дидактичної та методичної літератури, підручників з математики для початкової школи, шкільних програм з математики. Розроблялася методична система навчання молодших школярів розв'язування задач та окремі її компоненти, складалися системи завдань, за допомогою яких були реалізовані методика формування загального уміння розв'язувати задачі та методика формування умінь розв'язувати задачі певних видів; створювалося методичне забезпечення формування умінь розв'язувати задачі у вигляді зошитів із друкованою основою та методичних посібників. Крім цього, протягом даного етапу проводилася підготовка вчителів до проведення експериментальної роботи.

Формувальний експеримент складався з чотирьох серій. З метою визначення ефективності застосування цілісної методичної системи здійснювалась серія Е₃, яка передбачала експериментальне навчання протягом чотирьох навчальних років - з 1-го по 4-й клас. В інших серіях досліджувався вплив окремих частин методичної системи на формування або загального вміння або вміння розв'язувати задачі певних видів. Для перевірки ефективності методики формування вмінь розв'язувати задачі певних видів здійснювалась серія Е₄, яка розпочиналась у 3-му класі (коли вводиться перша „типова” задача - на знаходження четвертого пропорційного) і тривала протягом всього 4-го класу. У серії Е₂ була реалізована лише методика формування загального вміння на матеріалі простих і складених задач, вона тривала з 1-го по 3-й клас. А в серії Е₁ застосована методика формування загального вміння лише на матеріалі простих задач, вона охоплювала 1-й клас та перше півріччя 2-го класу.

Для визначення ефективності розробленої методичної системи ми проводили тестування (скориставшись методикою складання тестів з математики А.В.Агібалова). Обстеження пройшли 715 учнів: 485 - в експериментальних класах та 230 - у контрольних. Головні результати тестування подано в табл. 2.

Таблиця 2. Розподіл учнів експериментальних (серії Е₁ - Е₄) і контрольних (К) класів за рівнями засвоєння знань

Отримані експериментальні дані показали досить велику розбіжність між показниками в експериментальних та контрольних класах. Більшість учнів експериментальних класів засвоїли знання про окремі види задач та уміння їх розв'язувати на ІІІ-ІУ рівні, тоді як учні контрольних класів - здебільшого на І-ІІ рівні. Якісний показник виявився в інтересі учнів експериментальних класів до розв'язування сюжетних математичних задач і до математики загалом.

Результати експериментального навчання дають підстави для висновку: розроблена експериментальна система навчання молодших школярів розв'язування задач дає змогу сформувати на достатньому та високому рівні вміння розв'язувати окремі типи і види задач в середньому відповідно у 60% і 10% школярів.