Теоретико-методичні основи використання знаково-символьних засобів у навчанні математики учнів основної школи

Диференціація змісту навчання та вимог до результатів його засвоєння учнями, відкрите пред'явлення диференційованих цілей, надання учням можливостей добровільно вибирати рівень навчання й звітності виступають одними з головних факторів наповнення процесу навчання особистісним смислом і значущістю. Для реалізації поставленого завдання нами розроблена відповідна методична схема підготовчої роботи вчителя: проведення детального аналізу змісту навчального матеріалу і задач на предмет їх диференціації; розробка системи вимог до результатів навчання; побудова дидактично виваженого комплексу задач, в якому диференціація здійснюється за двома основами - за складністю змістового та знаково-символьного компонентів задач.

Вибір певного методу навчання (пояснювально-ілюстративного, репродуктивного, проблемного, частково-пошукового, дослідницького) доцільно здійснювати на основі логіко-математичного аналізу навчального матеріалу та цілей його вивчення. Важливим є раціональне поєднання репродуктивної і творчої діяльності учнів. В аспекті використання ЗСЗ головними критеріями у виборі методу навчання мають бути: забезпечення мінімізації конфліктів між логічним і візуальним; ефективність формування кодових структур знань і дій, у тому числі спроможність запобігати утворенню спайок змісту й форми в особистому досвіді учнів; створення умов для самостійної ДЗСЗ.

Під час вибору організаційних форм навчання (загальних і конкретних) доцільно враховувати наступне. У загальних організаційних формах (фронтальній, груповій, індивідуальній) здійснюється головне дидактичне відношення ? зв'язок і взаємодія викладання, учіння й змісту освіти. Проте загальні форми організації навчання існують тільки в конкретних формах (урок та різноманітні позаурочні форми) і реалізуються тільки через них. При цьому домашні завдання мають розглядатися як невіддільна частина усього навчального процесу (В.Ф. Паламарчук).

У контексті проблеми використання ЗСЗ реалізація єдності уроку й домашньої роботи учнів набуває особливого звучання. У тих випадках, коли домашня робота виступає змістовим продовженням роботи на уроці, доцільно, щоб вони відбувалися в єдиному семіотичному просторі. Для забезпечення результативності домашньої роботи учнів необхідно, щоб на уроці були мінімізовані конфлікти між логічним і візуальним, варіювались оболонки об'єктів засвоєння, ДЗСЗ було виведено на певний рівень самостійного виконання. Коли ж у домашню роботу виноситься самостійне вивчення певної порції навчального матеріалу, або ж коли виконання домашнього завдання вимагає дальнього перенесення знань, тоді основне навантаження в організації навчання перекладається на підручник та відповідні навчальні посібники. Отже, для ефективної організації роботи учнів важливо, щоб у цих засобах навчання їхній семіотичний компонент будувався з урахуванням зазначених вимог.

У навчанні математики в школі використовуються не тільки матеріальні засоби навчання (підручники, навчальні посібники, обладнання, комп'ютери тощо), але й моторні (проведення дослідів, показ практичної діяльності) та інтелектуальні засоби. До інтелектуальних засобів навчання математики ми відносимо: загальнолюдський досвід і знання, що втілюються у змісті навчання та відомостях про способи його пізнання й опанування; різноманітні історично вироблені знаково-символьні засоби фіксації змісту та діяльності з ними; запитання, вправи і задачі як засоби керування учінням школярів; індивідуальний набір пізнавальних засобів ? комплекс наявних в кожного учня знань, навичок і вмінь загальнонавчального й суто предметного характеру, у тому числі математичний тезаурус учня. Його формуванню доцільно приділяти спеціальну увагу, оскільки від ємності тезаурусу школяра залежить його спроможність правильно виражати думку математичного змісту, використовуючи різні ЗСЗ, та за різними оболонками убачати, однаковий чи різний зміст у них вкладено.

У дослідженні встановлено, що за рахунок організації спеціального навчання (у фоновому режимі) стає можливим формування певних уявлень і деяких математичних передзнань учнів, випереджальне вироблення в них навичок і вмінь. Навчання у фоновому режимі здобуває характер або пропедевтики (підготовки до вивчення в наступному явних для учнів об'єктів засвоєння), або непрямого (опосередкованого) навчання. Пропедевтика як відносно самостійний процес, який випереджає процес формування знань в активному режимі, виконує обслуговуючу роль. Продукт пропедевтики, як правило, є проміжним результатом навчання, що знаходить свій розвиток і конкретизацію в наступному циклі навчання в активному режимі. Отже, процес пропедевтики є частково завершеним. Процес непрямого навчання стосується опанування неявних об'єктів засвоєння. На відміну від пропедевтики, цей процес є цілком завершеним. Його продукт ? уявлення учнів, їхні знання й уміння певної якості, створюються усередині нього. З одержанням необхідного результату процес керованого непрямого навчання завершується. Оскільки неявні для учнів об'єкти засвоєння (основні чи додаткові) не виводяться на рівень вербалізації, провідним методом навчання у фоновому режимі є метод доцільних задач, а основним засобом ? система спеціальних завдань. Причому, особливу роль тут відіграють візуальні вправи і задачі.

У четвертому розділі дисертації подано методичну систему навчання учнів діяльності зі знаково-символьними засобами у процесі вивчення математики в 5-9 класах.

В організації діяльності заміщення треба враховувати наступне. Щонайперше, через заміщення будується зоровий ряд навчання й створюються умови для повноцінного сприйняття й осмислення учнями змісту нових знань. Отже, замінники, що передають форму предметів, а також аналітичні конфігурації, в яких за рахунок певного позиціювання вербальних елементів також створюється певний зоровий ряд, мають відповідати вимогам наочності. Нові терміни, символи, об'єктні тексти, піктограми та невербальні ЗСЗ доцільно вводити з урахуванням вимоги вмотивованості.

Відпрацювання знань, навичок і вмінь передбачає самостійне виконання учнями діяльності заміщення. Але, якщо вчитель не продемонстрував основні еталони такої діяльності, не показав приклади неправильного використання замінників та не розкрив наслідки, до яких можуть призвести такі помилки, тоді під певною загрозою опиняються і правильний вибір учнями потрібних замінників, і їх свідоме використання. Отже, діяльність заміщення, яку виконують учитель й учні, має будуватися на основі процедур зіставлення й протиставлення “правильних” замінників (прикладів об'єктів засвоєння) і “неправильних” замінників (контрприкладів до об'єктів засвоєння). Парне використання таких замінників, при якому підкреслюються протилежності їх змісту та відмінності у їх формі, слугує запобіганню помилок учнів у подальшому навчанні.

Кодування - це вид ДЗСЗ, що полягає у перекладі реальності (чи тексту, який описує реальність) на знаково-символьну мову й у подальшому декодуванні змісту. Переходи до різних видів вираження навчального змісту є необхідним компонентом теоретичного мислення, вони сприяють відокремленню форми від змісту, а значить забезпечують повноцінне засвоєння знань. На відміну від заміщення, кодування може здійснюватися не тільки ситуативно. Його головну функцію (цільове призначення) ми вбачаємо у формуванні в учнів кодових структур знань та вмінь оперувати ними. Оболонка кодової структури нового для учнів знання створюється під час введення поняття, факту чи способу діяльності. У цей же час в основному розкривається ядро цієї структури й виконуються перші кроки на шляху утворення її оператора. Наступні кроки формування кодових структур нових знань відбуваються під час їх закріплення й застосування, тобто в процесі розв'язування задач. У цей період діяльність кодування у його цільовому призначенні тісно переплітається із діяльністю кодування у його ситуативному призначенні.

Сутність декодування полягає в тому, щоб якомога правильніше розпізнати зміст, поданий через ЗСЗ. Якщо декодується зміст, загорнутий у мовну оболонку, маємо діяльність, яку називають читанням. Загальновідомим є факт, що читання текстів відбувається як промовляння (у зовнішній чи внутрішній мові). Ось чому таке важливе значення має слово вчителя у навчальному процесі (Л.В. Занков, Л.Я. Зорина та ін.). У ході пояснення навчального матеріалу вчитель структурує, деталізує, перетворює його, виводить назовні головне і другорядне, розставляючи необхідні акценти за допомогою пауз, наголосів, інших засобів звукового оформлення тексту. У самостійному читанні учні повинні виконати усі ці дії власноруч. Отже, цього треба спеціально навчати школярів.

Невербальні ЗСЗ створюють принципово іншу ситуацію під час декодування поданого через них змісту. Відомо, що графічне сприймається одномоментно й цілісно, начебто схоплюється, минаючи процеси вербалізації. Саме на цьому ґрунтується використання немовних ЗСЗ у супроводжувальній функції ? як способу унаочнення. Проте у шкільному курсі математики невербальні ЗСЗ використовуються й у функції самостійних носіїв змісту. У такому випадку словесний супровід декодування нерідко слугує способом виведення назовні всіх особливостей змісту, загорнутого у немовну оболонку. У декодуванні невербальних даних значну роль відіграє візуальне мислення. Його вплив є особливо вагомим у навчанні геометрії.

Будь-яке перетворення навчального математичного змісту безпосередньо пов'язане із процедурами перекодування. Дійсно, і переформулювання означення математичного поняття, умови теореми, правила, і перехід від одного рівняння до рівносильного йому рівняння, і побудова схеми чи таблиці за умовою сюжетної задачі тощо вимагає виконання таких дій, які властиві діяльності перекодування. Учнів необхідно спеціально навчати того, як виконувати відповідні дії: вхідне декодування, у результаті якого відбувається розпізнавання змісту за його знаково-символьною формою; перетворення змісту за логікою предметної діяльності та логікою ДЗСЗ; завершальне кодування, у результаті якого оновлений зміст загортається у нову оболонку.

Сутність схематизації як ДЗСЗ полягає в тому, що навчальне пізнання здійснюється з опорою на певну схему, що відображає структуру реальності мовними чи немовними засобами. Нами виділено певні різновиди схематизації, специфіка кожного з яких залежить від особливостей навчального математичного змісту й предметної діяльності учнів на різних етапах його опанування. Практика експериментального навчання показує, що мотивоване введення ретельно продуманих схем діяльності спроможні вивести учнів на досить високий рівень самостійності у процесі навчання. А це сприяє і кращому розумінню нового навчального матеріалу, і більш міцному його засвоєнню. При цьому відчування учнями станів особистісних злетів стає не рідкістю, а певною нормою.

Моделювання у семіотичному аспекті - це діяльність зі знаково-символьними засобами, яка націлена на отримання об'єктивно нових відомостей про реальність за рахунок оперування ЗСЗ. При вивченні курсу математики в основній школі можливі такі різновиди цієї діяльності, як суто моделювання, метамоделювання й складене моделювання. Найчастіше суто моделювання виконується під час розв'язування сюжетних задач. У процесі метамоделювання відбувається пізнання змісту вже готової моделі реальності (рівняння, нерівності графіка функції, моделі просторової фігури тощо) через побудову і дослідження нового замінника, що виступає моделлю цієї моделі. Сутність реальності, що породила первісну модельну ситуацію, для метамоделювання не є істотною - з неї не починають дослідження, й до неї не повертаються у результаті дослідження. Зокрема, саме такі ситуації виникають під час розв'язування рівнянь, нерівностей та їх систем, коли відбувається заміна змінних; у ході розв'язування задач на дослідження, в умовах яких описуються математичні, а не реальні об'єкти, тощо. Складене моделювання має місце тоді, коли дослідження реальності розпочинається як математичне моделювання (будується певна модель реальності), продовжується як метамоделювання (будується модель отриманої моделі, яка й досліджується) і завершується інтерпретацією отриманих результатів у термінах досліджуваної реальності (вихідної). Інакше кажучи, метамоделювання виступає внутрішнім структурним компонентом складеного моделювання. У процесі навчання учнів потрібно ознайомити з особливостями кожного виду моделювання, навчити розрізняти відповідні модельні ситуації та виконувати моделювання згідно з його предметною і семіотичною логікою.

У даному розділі дисертації наводяться рекомендації щодо використання ЗСЗ для дидактично виваженої побудови навчання у фоновому режимі - пропедевтики і непрямого навчання.

У п'ятому розділі дисертації розкриваються особливості організації експериментального навчання, проводиться аналіз результатів педагогічного експерименту.

Теоретико-методичне та експериментальне дослідження здійснювалось у три етапи протягом 1992-2002 років.

На першому етапі (1992-1994 рр.) проводилось вивчення стану математичної підготовки учнів 5-9 класів загальноосвітньої школи. Були отримані дані, які свідчили про необхідність розробки нових концептуальних ідей та відповідного теоретичного і практичного забезпечення для більш глибокого й детального вивчення ситуації, виявлення ширшого спектра чинників, що впливають на хід і результати навчання математики в 5-9 класах.

На основі аналізу даних фізіології й психології щодо вікових та індивідуальних особливостей учнів підліткового віку, міждисциплінарного вивчення проблеми побудови розвивального навчання, його гуманізації й гуманітаризації, проектування психолого-семіотичних знань у сферу шкільної математичної освіти стала очевидною необхідність вирішення проблеми реалізації комплексного, системного та діяльнісного підходів до використання ЗСЗ у навчанні математики учнів основної школи. Відтак оформився задум й окремі вихідні положення дослідження, було розроблено програму подальшої теоретико-експериментальної роботи.

На другому етапі дослідження (1995-2000 рр.) ставилися дві групи завдань. Перша з них стосувалась науково-теоретичної розробки проблеми використання ЗСЗ у навчанні математики, а друга - організації експериментальної перевірки основних положень дослідження. На даному етапі застосовувались теоретичні та емпіричні методи дослідження, було організовано педагогічний експеримент, результати якого всебічно аналізувались.

Розробка понятійно-методологічного апарату дослідження, застосування методів міжгалузевого аналізу та реалізація системно-структурного підходу дозволили нам виявити стан розробленості проблеми у психолого-педагогічній, психолого-семіотичній та методичній літературі, а також провести широке вивчення стану використання ЗСЗ у практиці навчання математики учнів основної школи. Для проведення констатуючого етапу дослідження було створено відповідні діагностичні пакети для вчителів і учнів.

В організації експериментального навчання головний наголос робився на комплексне, системне й систематичне використання вербальних і невербальних ЗСЗ та цілеспрямоване формування в учнів умінь виконувати ДЗСЗ на різних етапах навчання математики в 5-9 класах. Серед рівнів оволодіння учнями ДЗСЗ було виділено чотири різновиди: стихійно-репродуктивний (стихійне перенесення із життя й попереднього навчання готових зразків ДЗСЗ в умови нової навчальної ситуації); репродуктивний (свідоме запозичення із досвіду вчителя та інших учнів готових зразків ДЗСЗ і використання їх без внесення змін і доповнень); реконструктивно-варіативний (перенесення засвоєних способів виконання ДЗСЗ в умови нової навчальної ситуації із внесенням окремих змін у власну діяльність у залежності від особливостей конкретної ситуації; свідоме комбінування відомих способів виконання ДЗСЗ); творчий (спонтанне створення нових прийомів виконання ДЗСЗ).

Формування і розвиток візуального мислення учнів та збагачення їх візуально-оперативного досвіду розглядалось нами у двох аспектах - як мета, що досягається у результаті оволодіння учнями широким спектром засобів фіксації навчального математичного змісту у візуальній модальності та способами їх використання у ДЗСЗ, і як основний шлях більш продуктивного розвитку логічного мислення підлітків при вивченні курсу математики в 5-9 класах.

У зв'язку зі специфікою курсу математики основної школи в експериментальному навчанні було виділено 3 концентри: навчання курсу “Математика” в 5-6 класах; навчання курсу “Алгебра” та курсу “Геометрія” у 7-9 класах. Навчання у межах кожного концентру проводилось як завершене. В експерименті у 5-6 класах брали участь 312 учнів 10 експериментальних класів (ЕК) і 308 учнів 10 контрольних класів (КК). У зв'язку з тим, що на початку навчання у 7 класі учні ЕК показали вищу якість знань, аніж учні КК (див. табл. 1), виникла необхідність приєднати до експерименту нову групу ЕК і КК. Загалом в експерименті в 7-9 класах брали участь 22 ЕК (739 уч.) і 22 КК (732 уч.). У 10 ЕК (312 уч.) і 10 КК (308 уч.), що не зазнали змін (ЕК-І і КК-І), експериментальне навчання тривало 5 років - починаючи з 5 класу й закінчуючи 9 класом. У 12 ЕК (427 уч.) і 12 КК (424 уч.), які були додатково залучені до експерименту (ЕК-ІІ і КК-ІІ), експериментальне навчання тривало 3 роки - починаючи з 7 класу й закінчуючи 9 класом.

На третьому етапі дослідження (2001-2002 рр.) визрів остаточний варіант дослідницької концепції, який опубліковано у монографії [1] та посібниках для учнів, вчителів і студентів. Загалом, на третьому етапі теоретико-експериментальної роботи відбулось уточнення понятійно-категоріального апарату дослідження, завершено кількісний та якісний аналіз експериментальних даних. Також літературно оформлено текст дисертації.

Порівняння результатів діагностичних зрізів в ЕК і КК на початку й наприкінці формуючого експерименту показав, що за цей період в ЕК, де цілеспрямовано формувався семіотичний досвід учнів, школярі краще засвоїли програмовий матеріал, продемонстрували більш високі результати виконання планових контрольних робіт з математики (див. табл. 1).

Таблиця 1

Позитивний вплив запропонованої методики на якість опанування учнями програмового матеріалу був підтверджений результатами застосування статистичних методів опрацювання даних. За критерієм Пірсона перевірялась гіпотеза про нормальний розподіл статистичних імовірностей спостережених значень успішності учнів з математики в ЕК і КК на початку експерименту. Отримано, що при ч²_кр= 3,8 в ЕК-І ч²_спост= 3,06, у КК-І ч²_спост= 3,64; в ЕК-ІІ ч²_спост= 3,27 (алгебра) і ч²_спост= 2,51 (геометрія); у КК-ІІ ч²_спост= 1,48 (алгебра) і ч²_спост= 2,67 (геометрія). За критерієм Фішера-Снедекора перевірялась гіпотеза про рівність виправлених вибіркових дисперсій на початку й наприкінці експерименту (див. табл. 1). За критерієм Стьюдента перевірялась гіпотеза про рівність середніх вибіркових при конкуруючій гіпотезі М(ЕК) М(КК), а також М(ЕК) > М(КК) наприкінці експерименту (див. табл. 1). Отримані дані дозволили зробити висновок про статистично вагому перевагу якісних показників результатів навчання в ЕК порівняно із тими показниками, які одержані у КК, де навчання проводилось за традиційною методикою.

Висновки

Результати проведеного дослідження теоретико-методичних основ використання знаково-символьних засобів у навчанні математики учнів основної школи дають підстави для наступних висновків.

1. На сучасному етапі реформування системи освіти в Україні необхідним і можливим є теоретичне узагальнення й нове вирішення проблеми науково-обґрунтованого використання ЗСЗ у навчанні математики учнів 5_9 класів загальноосвітньої школи. Визначення змісту, будови, умов і способів функціонування семіотичного компонента шкільної математичної освіти та розкриття його призначення у навчанні математики й розвитку учнів розширюють методологічне підґрунтя для створення дидактично виважених методичних систем навчання математики в школі, відкривають нові орієнтири для їх побудови. Розроблені у дисертації теоретико-методичні пропозиції щодо реалізації комплексного, системного та діяльнісного підходів до використання знаково-символьних засобів у навчальному процесі з математики надають нових можливостей для удосконалення математичної підготовки учнів 5-9 класів, розвитку особистості школярів, зростання їх життєвої та соціальної компетентності. Експериментальна перевірка основних положень дисертації та їх впровадження в практику роботи школи підтверджують ефективність запропонованих підходів до вирішення зазначеної проблеми дослідження.

2. Спрямування процесу навчання, розвитку й виховання школярів в особистісне русло як стрижневе завдання модернізації освіти, соціальний запит щодо вироблення в кожного учня розуміння необхідності та уміння навчатись впродовж життя вимагають відповідного оновлення змісту навчання й побудови адекватних методичних систем. Реорганізація змістового та організаційно-методичного аспектів процесу навчання в школі мають ґрунтуватися на основоположних тезах теорії пізнання, діалектика якого виступає головним орієнтиром у побудові логічно несуперечливого перебігу пізнавальної діяльності учнів. У процесі навчання й виховання учнів основної школи необхідно враховувати сучасні дані фізіології щодо функціонування мозку та аналізаторних систем людини, вікові та індивідуальні особливості підлітків, специфіку підліткового періоду у становленні й розвитку особистості школярів. На зламному етапі онтогенезу, яким є підлітковий вік, важливе значення має психологічно грамотне регулювання психічної діяльності учнів на кожному рівні відображення дійсності - на рівні свідомості, несвідомого й самосвідомості. Дидактично виважена система впливів на пізнавальну, афективну й регулятивну сфери самосвідомості підлітків має спрямовуватись на формування в них позитивної, мажорної Я-концепції, яка виступає надійною передумовою розгортання учнями активної діяльності, спрямованої на усунення зовнішніх і внутрішніх суперечностей, що виникають у ході навчання і є атрибутом розвитку особистості.

3. Зміст шкільної математичної освіти набуває специфічної форми існування через загортання у різноманітні оболонки - вербальні й невербальні, що утворюються за допомогою ЗСЗ різної природи. Головною оболонкою для матеріалізації змісту є мова. У ході навчання ЗСЗ виконують заміщувальну, пізнавальну та комунікативну функції, утворюючи інформаційну основу діяльності учнів. У процесі засвоєння змісту освіти вони виступають і предметом вивчення, і знаряддям пізнання. Оперування ЗСЗ є необхідним компонентом навчальної діяльності учнів. Воно безпосередньо пов'язане із формуванням семіозису школярів, із збагаченням їх концептуальних структур. Опанування різними засобами фіксації змісту навчального матеріалу й кожним видом ДЗСЗ - заміщенням, кодуванням (декодуванням), схематизацією й моделюванням, - є основою розвитку інформаційної культури учнів і передумовою для різноманітності особистості кожного учня.

4. Відбір і застосування ЗСЗ потрібно здійснювати на основі аналізу тих конфліктів між логічним і візуальним, які можуть носити не тільки об'єктивний, історично зумовлений характер, але й (що частіше) породжуватися суб'єктивними причинами - появою в учнів нерозуміння змісту навчального матеріалу та негативної установки щодо спроможності осягнути цей зміст; невмінням загортати зміст у різні знаково-символьні оболонки; наявністю спайок (а не діалектичного поєднання) змісту й форми, що утворилися в досвіді учнів у попередньому навчанні, тощо. Застосування лише одноманітних ЗСЗ у навчанні математики в 5-9 класах призводить до гальмування процесу сприйняття та опрацювання даних учнями із різними когнітивними стилями, перешкоджає повному вичерпуванню змісту навчального матеріалу і врешті негативно впливає на хід та результати навчання й виховання підлітків.

5. Адекватні умови для навчання й розвитку всіх учнів при вивченні математики в основній школі створюються завдяки реалізації комплексного, системного й діяльнісного підходів до використання вербальних і невербальних ЗСЗ, залучення школярів до процесу загортання кожного об'єкта засвоєння у різні знаково-символьні оболонки, формування в учнів відповідних знань, навичок і вмінь та досвіду самостійної діяльності. При цьому новим завданням навчання математики в основній школі виступає формування візуального мислення учнів, збагачення їх візуально-оперативного досвіду, які є основою й передумовою гармонійного розвитку логічного мислення учнів і продуктивного вивчення математики в 5-9 класах.

6. Формування понять, вивчення фактів та способів діяльності курсу математики основної школи необхідно спрямувати на утворення відповідних конструктів в особистому досвіді учнів. Кожний об'єкт засвоєння треба розглядати разом із його протилежністю, акцентуючи увагу учнів на змістових та знаково-символьних відмінностях об'єктів кожної пари. При цьому доцільно ширше залучати потужні можливості візуального мислення учнів, яке дозволяє вичерпувати необхідний зміст поза його вербалізацією. Бажано заздалегідь підбирати для ілюстрування не тільки приклади відповідного об'єкта засвоєння, але й контрприклади та вільні об'єкти стосовно нього, правильно будувати зоровий ряд навчання, методично грамотно організовувати предметну діяльність учнів і ДЗСЗ. Доцільно вчасно коригувати виявлені недоліки у математичній підготовці школярів, проводити профілактику можливих помилок учнів. Як окреме й досить важливе завдання доцільно розглядати формування фонду знань-заборон в особистому досвіді учнів.

7. При виборі методів, організаційних форм і засобів навчання важливо звертати увагу на надання процесу навчання проблемного характеру, вчити підлітків самим знаходити й формулювати проблеми, виробляти в них аналітико-синтетичні уміння, здатність до теоретичних узагальнень. Не менш важливим завданням є розвиток навичок самостійної навчальної роботи, формування вмінь працювати з підручником, проявляти творчий підхід при виконанні домашніх завдань. При цьому необхідно всебічно враховувати особливості тих знаково-символьних оболонок, в які загортається зміст навчального матеріалу, з метою забезпечення мінімізації конфліктів між логічним і візуальним та повнокровного вичерпування учнями сутності цього змісту; створювати сприятливі умови для самостійної предметної діяльності школярів та ДЗСЗ; будувати як певну цілісність те навчальне математичне середовище, в якому протікатиме класна й домашня робота учнів.

За рахунок дидактично виваженої комп'ютерної підтримки навчання математики в 5-9 класах створюються сприятливі умови для розширення меж у використанні знаково-символьних засобів, видається можливим збільшити смислову ємність усіх форм фіксації навчального математичного змісту, вивести назовні динаміку процесу вичерпування його сутності й зробити учнів не тільки спостерігачами, але й співучасниками цього процесу. Застосування СІТН дозволяє позбавити вчителя та учнів рутинної роботи, вивільнити їх енергетичні ресурси для творчості. При цьому процес навчання нерідко набуває особистісного значення для учнів, зокрема, через розширення можливостей для самоствердження й підтримки позитивної, мажорної Я-концепції.

8. Під час уведення вербальних і невербальних замінників математичних абстракцій, що є об'єктами засвоєння в курсі математики 5-9 класів, головну увагу необхідно приділяти мотивованому вибору тих чи інших їх знаково-символьних оболонок. При цьому бажано створювати умови для випереджальних самостійних дій учнів. Необхідно спеціально навчати учнів того, як правильно використовувати математичну термінологію, символіку та піктографію, оформляти (вербально і невербально) власні думки математичного змісту, формулювати задачі, ставити запитання та відповідати на них. Особливе значення при цьому має навчання учнів здійснювати конфігурування об'єктних та навчальних текстів, застосовувати позиційний підхід до розташування вербальних та невербальних елементів, використовувати матричне оформлення записів в процесі розв'язування вправ і задач. При використанні невербальних замінників важливо навчати учнів застосовувати для їх побудови різні інструменти: лінійку без поділок і з поділками, циркуль, косинець, транспортир, шаблони, різноманітні підручні засоби. Початковий етап навчання побудови невербальних ЗСЗ доцільно організовувати як діяльність копіювання. При цьому вчителю треба продумати систему орієнтирів для такої діяльності й обов'язково ознайомити з ними учнів. Зокрема, як до окремого компонента навчання доцільно поставитися до організації копіювання за клітинками.

Навчання учнів використовувати змістово-графічні інтерпретації математичних понять і фактів доцільно розглядати як необхідний етап математичної підготовки учнів 5-9 класів. В процесі такої діяльності в учнів розвивається візуальне мислення, збагачується їх візуально-оперативний досвід, що виступає надійним підґрунтям для розвитку вербально-логічного мислення школярів, створює більш широкі можливості для їх самовираження. Основними засобами для формування й розвитку візуального мислення учнів є системи візуальних вправ і задач. Такі задачі доцільно створювати не тільки на базі геометричних зображень, графіків функцій, діаграм чи схем, але й на основі художньо-образних ілюстрацій, що має особливе значення у навчанні молодших підлітків. Із дорослішанням учнів треба поступово збільшувати схематизм у способах побудови візуальної основи задач і вправ, плавно віддаляючи їх сюжетне наповнення від особистісних переживань школярів.

9. Особливе значення у процесі навчання математики в 5-9 класах має організація діяльності кодування у його цільовому й ситуативному призначенні, а також навчання діяльності декодування й перекодування. До цього компонента навчання математики в основній школі треба ставитись як до такого, що зумовлює більш широке розкриття особистісних ресурсів учнів. Процес навчання діяльності кодування, декодування й перекодування доцільно спрямовувати на формування в учнів нових знань як кодових структур, кожна з яких має поповнити особистий досвід учнів як діалектична єдність логічного й візуального. Не менш важливо формувати відповідні цільові установки школярів, спираючись на які у подальшому видається можливим навчати учнів правильно знаходити одну чи декілька точок входження у декодування, більш повно вичерпувати дані, правильно здійснювати реорганізацію навчального математичного змісту.

10. Використання відомих учням схем діяльності, їх самостійне створення й застосування при вивченні нового матеріалу та в процесі розв'язування прикладів, вправ і задач дозволяє вносити певний порядок у пізнавально-перетворювальну діяльність учнів при вивченні математики, розкривати на інтуїтивному чи усвідомлюваному рівні діалектику і логіку пізнання, створювати системи орієнтирів для самостійної діяльності учнів. Дидактично виважений підхід до організації таких етапів навчання, як актуалізація базових знань, навичок і вмінь учнів та узагальнююче повторення, з необхідністю передбачає розгортання діяльності схематизації. При цьому на етапі актуалізації можливе використання і таких схем, які не зазнають матеріалізації у вербальних чи невербальних знаково-символьних оболонках, а стають видимими, зрозумілими для учнів через певний зміст і порядок відповідних систем вправ. На етапі узагальнюючого повторення діяльність схематизації має здійснюватися учнями на усвідомлюваному рівні та якнайбільше самостійно. Для цього доцільно широко застосовувати такі ЗСЗ, як запитання, вербальні й невербальні схеми, таблиці, діаграми, графіки тощо. Важливо, щоб учні проводили структурування змісту, виявляли у ньому змістові й знаково-символьні аналогії, виконували конфігурування текстів та позиціювання мовного й немовного матеріалу.

11. В організації діяльності моделювання при вивченні курсу математики основної школи найважливішим моментом є забезпечення рефлексії учнями модельного відношення у кожній відповідній ситуації. Учні повинні чітко усвідомлювати різницю між реальністю та її моделлю, мету створення моделі, способи пізнання реальності через дослідження моделі. У разі відсутності рефлексії модельного відношення діяльність моделювання не відбувається. Тут ДЗСЗ учнів здебільшого має характер схематизації, бо учні часто діють за готовою моделлю, що створив вчитель під час власноручного моделювання, або при самостійній побудові моделі виконують лише механічні дії, зумовлені певною зарані відомою схемою. В навчанні учнів діяльності моделювання доцільно використовувати різноманітні вербальні та невербальні ЗСЗ, що допомагають створенню адекватної моделі (графічної, аналітичної чи матеріальної). При цьому суттєву роль відіграють спеціальні системи вправ і задач, які доцільно будувати на диференційованій основі й реалізовувати в них принцип послідовного нарощування складності створення моделі. Особливо це важливо у навчанні метамоделювання й складеного моделювання, коли перехід від реальності до моделі є надто завуальованим.

12. Організація навчання у фоновому режимі дозволяє заздалегідь створювати дидактично виважене підґрунтя для продуктивної самостійної діяльності учнів 5-9 класів при вивченні у подальшому основних понять, фактів і способів діяльності курсу математики. Під час пропедевтики і непрямого навчання залучаються потужні ресурси сфери несвідомого учнів - збагачується досвід зорового упізнавання, накопичуються певні інтуїтивні передзнання, набувається досвід виконання окремих предметно-практичних дій. Відповідне розширення системи впливів на процес формування знань, навичок і вмінь школярів стає можливим за рахунок спеціально побудованого зорового ряду навчання й системи вправ, спрямованих на випереджальне формування в учнів умінь виконувати певні види діяльності. Саме тут роль візуальних вправ і задач стає непересічною. Необхідність і можливість проводити навчання математики у двох площинах - в площині прямого навчання й площині навчання у фоновому режимі, - висуває нові вимоги щодо створення організаційно-методичного забезпечення процесу навчання. Головне навантаження при цьому лягає на системи вправ і задач. Їх побудову необхідно націлювати не тільки на потреби поточного навчання в активному режимі, але й на вирішення завдань пропедевтики і непрямого навчання.

Подальшого дослідження потребують питання, пов'язані з використанням знаково-символьних засобів у навчанні математики учнів старшої школи, у профільному навчанні в загальноосвітній та вищій школі. Більш детального вивчення потребує проблема побудови еволюційних семіотичних рядів у межах кожної окремої змістової лінії курсу математики.

Основні положення дисертації відображено у таких публікаціях

Монографії, посібники

1. Тарасенкова Н.А. Використання знаково-символічних засобів у навчанні математики. Черкаси.: “Відлуння-Плюс”, 2002. 400 с.

2. Тарасенкова Н.А. Геометрія, 7. Диференційовані завдання за готовими малюнками: Зошит для індивід. роботи з геометрії. К.: Фенікс,1998. 76 с.

3. Тарасенкова Н.А. Геометрія, 7. Задачі за готовими малюнками: Диференційовані дидакт. матер. до підруч. Г.П.Бевза та ін. К.: Фенікс,2001. 128 с.

4. Тарасенкова Н.А. Геометрія, 8. Задачі за готовими малюнками: Диференційовані дидакт. матер. до підруч. Г.П.Бевза та ін. К.: Фенікс,2001. 128 с.

5. Тарасенкова Н.А. Диференційовані завдання за готовими малюнками для 8 класу. К.: КІМО, 1999. 80 с.

6. Тарасенкова Н.А. Диференційовані завдання за готовими малюнками для 9 класу. К.: Техніка, 2001. 120 с.

7. Тарасенкова Н.А. Елементи стереометрії в основній школі: Диференційовані завдання за готовими рисунками для 9 класу Х.: “Ранок”, 2002. 80 с.

8. Тарасенкова Н.А. Елементи стереометрії в основній школі: Уроки стереометрії в 9 класі. Х.: Веста: Вид-во “Ранок”, 2002. 128 с.

9. Нестеренко А.М., Тарасенкова Н.А., Ситник О.О. Ірраціональні рівняння, нерівності та їх системи: Практикум для організації самостійної довузівської підготовки / За ред. Н.А. Тарасенкової. Черкаси: ЧДТУ, 2002. 203 с. (особистий внесок 2,5 д.а. та загальне редагування).

10. Методика навчання математики. Загальна методика: Практикум для організації самостійної роботи студентів / За заг. ред. Н.А. Тарасенкової: У 4_х ч. Ч.1: Методика формування понять шкільного курсу математики / Н.А. Тарасенкова, І.А. Акуленко, І.С. Біда, М.М. Журба / За ред. Н.А. Тарасенкової. Черкаси: ЧДУ ім.Б.Хмельницького, 2002. 120 с. (особистий внесок 4 д.а. та загальне редагування).

Статті

11. Тарасенкова Н.А. Актуализация базовых знаний // Математика в школе (Россия). 1994. № 4. С. 9-11.

12. Тарасенкова Н.А. Візуальна основа для теоретичних узагальнень при вивченні складних питань теми “Вектори”// Дидактика математики: Проблеми і дослідження: Міжнар. зб. наук. робіт. Вип. 15. Донецьк: Фірма ТЕАН, 2001. С. 122-134.

13. Тарасенкова Н.А. Вчити аналізувати, порівнювати, вибирати // Педагогічні науки: Зб. наук. праць.Суми:СумДПУ ім.А.С.Макаренка, 2000. С. 433-439.

14. Тарасенкова Н.А. Деякі особливості формалізованої мови курсу математики основної школи // Педагогічні науки: Зб. наук. праць: У 2т.Суми: СумДПУ ім. А.С. Макаренка, 2002. Ч. 1. С. 452-460.

15. Тарасенкова Н.А. Деякі функції системи вправ за готовими малюнками // Математика в школі. 1999. № 4. С. 36-38.

16. Тарасенкова Н.А. Диференційовані завдання за готовими малюнками як засіб організації індивідуального різнорівневого навчання геометрії в школі // Зб. наук. праць. Педагогічні науки.Вип. 21.Херсон: Айлант, 2001. С. 67-75.

17. Тарасенкова Н.А. Знаково-символічні особливості текстів задач // Дидактика математики: Проблеми і дослідження: Міжнар. зб. наук. робіт.Вип.17. Донецьк: Фірма ТЕАН, 2002. С. 171-183.

18. Тарасенкова Н.А. Кодування геометричних понять //Вісник Черкаського ун_ту: Серія “Психолого-педагогічні науки”. Вип.35. Черкаси: ЧДУ, 2002. С. 122-133.

19. Тарасенкова Н.А. Методика дифференциации требований к результатам изучения программной темы по математике // Вісник Черкаського ун-ту: Серія “Психолого-педагогічні науки”. Вип.10. Черкаси: ЧДУ,1999. С. 149-155.

20. Тарасенкова Н.А. Найти ошибку // Математика в школе (Россия).1997. № 2. С. 19-23.

21. Тарасенкова Н.А. “Не верь глазам своим” // Математика в школе (Россия). 1998. № 5. С. 19-24.

22. Тарасенкова Н.А. Некоторые способы организации практической работы // Математика в школе (Россия). 1993. № 1. С. 27-28.

23. Тарасенкова Н.А. Опыт визуальной ориентации как один из факторов успешного решения планиметрической задачи // Евристика та дидактика точних наук: Міжнар. зб. наук. робіт. Вип. 7.Донецьк, 1997.С. 26-29.

24. Тарасенкова Н.А. Організація дослідницької діяльності учнів при вивченні взаємного розміщення прямих і площин в просторі // Наука і сучасність. Зб. наук. праць Національного пед. ун-ту ім. М.П.Драгоманова. К.: Логос, 2002. Том ХХХІІ. С. 153-162.

25. Тарасенкова Н.А. Особливості об'єктних текстів як мовних знаково-символічних засобів // Наука і сучасність. Збірн. наук. праць Національного пед. ун-ту ім. М.П. Драгоманова. К.: Логос, 2001. Том ХХІХ. С. 147-156.

26. Тарасенкова Н.А. Поняття як об'єкти засвоєння // Дидактика математики: Проблеми і дослідження: Міжнар. зб. наук. робіт. Вип.16. Донецьк: Фірма ТЕАН, 2001. С. 69-80.

27. Тарасенкова Н.А. Прийом візуалізації помилок як спосіб оперативного коректування знань учнів під час усного опитування // Математика в школі. 2002. № 3. С. 32-35.

28. Тарасенкова Н.А. Пропедевтический этап обучения поиску дополнительных построений // Математика в школе (Россия). 2000. № 4. С. 32_35.

29. Тарасенкова Н.А. Система вправ на застосування теореми Вієта у задачах з параметрами // Математика в школі. 2001. №1. С. 36-40. 2001. №2. С. 47_48.

30. Тарасенкова Н.А. Сутність та проблеми забезпечення діалектичної єдності змісту і форми у навчанні математики учнів основної школи //Зб. наук. праць. Педагогічні науки. Вип. 21.Ч.1. Херсон: Вид-во ХДПУ, 2002. С .176-182.

31. Тарасенкова Н.А. Сущность и уровни активности в познавательной деятельности учащихся при обучении математике // Евристика та дидактика точних наук: Міжнар. зб. наук. робіт. Вип. 10. Донецьк, 1999. С. 51_55.

32. Тарасенкова Н.А. Щодо питання про використання знаково-символічних засобів у навчанні математики учнів основної школи // Наука і сучасність. Зб. наук. праць Національного пед. ун-ту ім. М.П.Драгоманова. К.: Логос, 2001. Том ХХVІІ. С. 137-149.

33. Тарасенкова Н.А., Дядик О.І. Функціональні ілюстрації додавання і віднімання дробових чисел // Дидактика математики: Проблеми і дослідження: Міжнар. зб. наук. робіт. Вип. 2 (12). Донецьк, 2000. С. 77_80. (особистий внесок 0,2 д.а.).

34. Тарасенкова Н.А. За пробним підручником з математики для 5 класу (стислі рекомендації до роботи) // Педагогічний вісник. 1997. №3. С. 7-9. 1997. № 4. С. 38-40.

Матеріали і тези доповідей

35. Тарасенкова Н.А. Особливості знаково-символічної діяльності учнів при вивченні курсу математики основної школи // Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики: Зб. наук. праць: В 3 т. Т.1: Теорія та методика навчання математики. Кривий Ріг, 2002. С. 353-364.

36. Тарасенкова Н.А., Левченко А.В. Гіпертекстова структура навчальних текстів з математики // Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики: Зб. наук. праць: В 3-х т. Т. 1: Теорія та методика навчання математики. Кривий Ріг: КДПУ, 2001. С. 314_321 (особистий внесок 0,48 д.а.).

37. Тарасенкова Н.А. Визуальный компонент дифференциации геометрических задач // Міжнар. наук.-метод. конф. “Евристичні методи у навчанні математики”, м. Донецьк, 3-5 жовтня 2000 р.: Тези доповідей. Донецьк: Фірма ТЕАН, 2000. С. 24-25.

38. Тарасенкова Н.А. Деякі причини невдач використання передового педагогічного досвіду // Міжвуз. наук.-теорет. конф. “Соціально-політичний портрет сучасного молодого спеціаліста”, м. Умань, 5-6 травня 1992 р. Секція ІІ: Психолого-педагогічні основи формування творчої особистості педагога оновленої національної школи: Тези доповідей. Умань, 1992. С. 135-137.

39. Тарасенкова Н.А. Лекційно-практична система навчання математики в школі // Міжвуз. наук.-практ. конф. молодих викладачів та аспірантів „Інтеграція науки у систему підготовки учителів”, м. Черкаси, 18-19 квітня 1995 р.: Матеріали конференції. Ч. 2. Черкаси, 1995. С. 296-298.

40. Тарасенкова Н.А. Обучение методу анализа целей и средств в курсе планиметрии средней школы // І Міжнар. дистанц. конф. “Евристичні методи у навчанні математики”: Труди. Донецьк: ТЕАН, 1997. С. 34.

41. Тарасенкова Н.А. Підсумкова оцінка як кількісний еквівалент якісних змін в особистому досвіді учня // Наук.-метод. конф. “Педагогічні технології організації навчально-виховного процесу в закладах нового типу”, м.Суми, 21 квітня 2000р. Суми: РВВ СумДПУ ім. А.С.Макаренка, 2000. С. 52-53.

42. Тарасенкова Н.А. Про сутність та шляхи подолання конфліктів між візуальним та логічним у навчанні стереометрії // Всеукраїнська наук.-практ. конф. “Сучасний стан і перспективи шкільних курсів математики та інформатики у зв'язку з реформуванням у галузі освіти”, м.Дрогобич, Львівської обл., 14_16 листопада 2000р. Дрогобич: Приват. друкарня “РІК”,2000. С. 89-90.

43. Тарасенкова Н.А. Проблеми побудови простору уяснення у навчанні математики // Тринадцята наукова сесія Наук. товариства ім. Шевченка у Черкасах: Зб. тез доп. на засід. секцій і комісій Осередку НТШ у Черкасах, 12 березня 3 квітня 2002р. Черкаси: РВВ ЧДУ ім. Б.Хмельницького, 2002. С. 50.

44. Тарасенкова Н.А. Тестування при формуванні математичних понять та вивченні математичних фактів // Міжвуз. наук.-практ. конф. “Формування інтелектуальних умінь учнів в процесі вивчення математики та інформатики”, м. Суми, 13-14 квітня 1995 р.: Тези доп. Суми, 1995. С. 32_34.

45. Тарасенкова Н.А., Біда І.С., Журба М.М. Система методичних вправ до теми “Формування математичних понять”// ІІ Всеукраїнська наук. конф.“Актуальні проблеми природничих та гуманітарних наук у дослідженнях студентської молоді”, м. Черкаси, 18-19 травня 2000р.: Тези доп. Черкаси: РВВ ЧДУ ім. Б.Хмельницького, 2000. С. 108 (особистий внесок 0,02 д.а.).

46. Тарасенкова Н.А., Головко І.А. Методи розв'язування планіметричних задач на побудову // ІІ Всеукраїнська наук. конф. “Актуальні проблеми природничих та гуманітарних наук у дослідженнях студентської молоді”, м.Черкаси, 18-19 травня 2000 р.: Тези доп. Черкаси: РВВ ЧДУ ім. Б.Хмельницького, 2000. С. 107 (особистий внесок 0,03 д.а.).

47. Тарасенкова Н.А., Малка А.В. Побудови на зображеннях просторових фігур в шкільному курсі математики // ІІ Всеукраїнська наук. конф. “Актуальні проблеми природничих та гуманітарних наук у дослідженнях студентської молоді”, м. Черкаси, 18-19 травня 2000р.: Тези доп. Черкаси: РВВ ЧДУ ім. Б.Хмельницького, 2000. С. 106 (особистий внесок 0,03 д.а.).

48. Тарасенкова Н.А., Третяк К.В. Задачі з параметрами в шкільному курсі математики // ІІ Всеукраїнська наук. конф. “Актуальні проблеми природничих та гуманітарних наук у дослідженнях студентської молоді”, м. Черкаси, 18-19 травня 2000 р.: Тези доп. Черкаси: РВВ ЧДУ ім. Б.Хмельницького, 2000. С. 105 (особистий внесок 0,03 д.а.).

49. Босовський М.В., Тарасенкова Н.А. Щодо питання про наступність у навчанні теорії границь в школі й вузі // Всеукраїнська конф. “Алгебраїчні методи дискретної математики (теорія та методологія)”, м. Луганськ, 23_27 вересня 2002 р.: Тези доп. Луганськ: “Alma Mater”, 2002. С. 95_97 (особистий внесок 0,06 д.а.).

50. Нестеренко А.М., Тарасенкова Н.А. Запобігання конфліктних аналогій у навчанні розв'язуванню алгебраїчних рівнянь і нерівностей слухачів підготовчих курсів // Тези Міжнар. конф. “Асимптотичні методи в теорії диференціальних рівнянь”, Київ, 16 грудня 2002 р. К.: НПУ ім. М.П. Драгоманова, 2002. С. 85 (особистий внесок 0,05 д.а.).

Анотація

Тарасенкова Н.А. Теоретико-методичні основи використання знаково-символьних засобів у навчанні математики учнів основної школи. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора педагогічних наук за спеціальністю 13.00.02 - теорія і методика навчання математики. - Національний педагогічний університет ім. М.П. Драгоманова, Київ, 2003.

У дисертації подано теоретико-методологічні й методичні основи використання знаково-символьних засобів у навчанні математики в школі. Визначено понятійно-методологічний апарат, розкрита діалектика зв'язків логічного і візуального в процесі опанування учнями шкільного курсу математики, виявлені зміст і функції семіотичного компонента математичної підготовки школярів підліткового віку. Теоретично розроблена й експериментально обґрунтована концепція комплексного, системного й діяльнісного підходів до використання знаково-символьних засобів у навчанні математики учнів 5-9 класів, побудована модель відповідної методичної системи. Розроблено наукові основи організації пропедевтики й опосередкованого формування в школярів знань, навичок і вмінь при вивченні курсу математики в основній школі.

Ключові слова: знаково-символьні засоби, навчання математики, підлітки, семіотика, семіозис, логічне й візуальне мислення, методична система.

Аннотация

Тарасенкова Н.А. Теоретико-методические основы использования знаково-символьных средств в обучении математике учащихся основной школы. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук по специальности 13.00.02 - теория и методика обучения математике. - Национальный педагогический университет им. М.П. Драгоманова, Киев, 2003.

В диссертации представлены теоретико-методологические и методические основы использования знаково-символьных средств в обучении математике в школе. Определен понятийно-методологический аппарат, раскрыта диалектика связей логического и визуального в процессе освоения учащимися школьного курса математики, выявлены содержание и функции семиотического компонента математической подготовки школьников подросткового возраста. Теоретически разработана и экспериментально обоснована концепция комплексного, системного и деятельностного подходов к использованию знаково-символьных средств в обучении математике учащихся 5-9 классов, построена модель методической системы. Разработаны научные основы организации пропедевтики и опосредствованного формирования у школьников навыков и умений при изучении курса математики в основной школе.

Содержание школьного математического образования приобретает специфическую форму существования в разнообразных оболочках - вербальных и невербальных, которые создаются с помощью знаково-символьных средств разной природы. Ведущим средством является язык. В ходе обучения знаково-символьные средства выполняют заместительную, познавательную и коммуникативную функции, создают информационную основу деятельности учеников. В процессе усвоения содержания образования они выступают и предметом изучения, и орудием познания. Оперирование знаково-символьными средствами - необходимый компонент учебной деятельности учеников, который непосредственно связан с семиозисом в учебной деятельности школьников, с обогащением концептуальных структур учащихся. Овладение разными средствами фиксации содержания учебного материала и каждым видом деятельности со знаково-символьными средствами - замещением, кодированием, схематизацией и моделированием, - служит основой развития информационной культуры учеников и предпосылкой для разнообразия личности каждого ученика.

Отбор и применение знаково-символьных средств необходимо осуществлять на основе анализа конфликтов между логическим и визуальным. Такие конфликты могут носить не только объективный, исторически обусловленный характер. Чаще они порождаются субъективными причинами - появлением у школьников непонимания содержания учебного материала и отрицательной установки относительно возможности постичь это содержание; неумением помещать содержание в разные знаково-символьные оболочки; наличием спаек (а не диалектического единства) содержания и формы, которые образовались в опыте учеников в предшествующем обучении, и т.п.