Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Департамент образования Ярославской области

Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Ярославской области

Угличский индустриально-педагогический колледж

Выпускная квалификационная работа

Методические приемы обучения младших школьников решению текстовых задач рубежа XIX-XХ веков и их реализация в современной начальной школе

Исполнитель:

Горшкова Надежда Анатольевна

Специальность: 050709 Преподавание

в начальных классах

42 группа

Научный руководитель:

Воронина Татьяна Михайловна

преподаватель математических дисциплин

Углич 2011



Оглавление

• Введение
• 1. Психолого-педагогические, методические и теоретические основы обучения младших школьников решению текстовых задач
• 1.1 Психологические особенности младших школьников и их учет в процессе обучения математике
• 1.2 Понятие задача. Теоретические основы решения текстовых задач
• 1.3 Методические аспекты решения текстовых задач
• 1.4 Методические приемы обучения решению текстовых задач детей в системе образования России в конце XIX - начале XX века
• 2. Опыт использования комплекса методических приемов рубежа XIX-XX веков для формирования умения решать задачи
• 2.1 Цели, задачи и этапы опытно-практической работы
• 2.2 Опыт использования составленного комплекса приёмов для формирования умения решать задачи
• 2.3 Анализ результатов опытно-практической работы
• Заключение
• Список литературы
• Приложения


Введение

Каждому учителю хорошо известно, какое большое место в начальном обучении математике занимали всегда, да и сейчас продолжают занимать задачи.

Методика обучения детей решению задач претерпела серьезные изменения в связи с введением в начальный курс математики работы над числовыми и буквенными выражениями, равенствами и уравнениями.

По-новому стала оцениваться роль, которую играют задачи в процессе обучения математике, в связи с этим изменилось содержание соответствующей работы (отбор задач, предназначенных для рассмотрения с младшими школьниками, отбор тех способов их решения, с которыми должны быть ознакомлены дети). Коренным образом изменилась система расположения соответствующих упражнений во времени. Совершенно ясно, что в этих условиях существенной перестройке должны подвергнуться и методы обучения детей решению задач. Классификацией и систематизацией задач в разные времена занимались такие ученые как В.А. Евтушевский, А.И. Гольденберг, Ф.И. Егоров, В.К. Беллюстин, Ф.А. Эрн, С.И. Шохор-Троцкий и К.П. Арженников. И современные ученые: М.А. Бантова, А.В. Белошистая, Н.Б. Истомина, Л.П. Стойлова.

Учитывая сказанное, представляется важным рассмотреть более подробно, что представляют собой задачи, решаемые в начальных классах школы, в чем заключается специфика этого вида учебных упражнений по сравнению со всеми другими видами математических упражнений, что может и должно дать включение их в курс для достижения тех общих целей, которые он преследует.

Проблема: каковы приемы обучения младших школьников решению текстовых задач рубежа XIX - XX веков, обеспечивающие повышение уровня сформированности умения решать задачи?

Объектом исследования является процесс обучения младших школьников решению текстовых задач.

Предметом данного исследования являются приемы решения текстовых задач, заимствованные в методических пособиях рубежа XIX-XX веков.

Цель - апробация комплекса приемов, заимствованных в методических пособиях рубежа XIX-XX веков, направленных на формирование умения решать задачи у младших школьников.

Для достижения цели необходимо решить ряд задач:

1. Анализ теоретических основ проблемы.

2. Сопоставительный анализ учебно-методических комплектов.

3. Разработка комплекса упражнений.

4. Описание опытно-практической работы.

При написании работы нами были использованы следующие методы исследования:

1. Теоретические методы:

- анализ теоретической и методической литературы по изучаемой проблеме;

- выявление методических приемов по нашей теме.

2. Эмпирические методы:

- наблюдение;

- изучение и анализ документов;

- анализ уроков;

- опытно-практическая работа.

Теоретическая значимость исследования заключается в систематизации приемов обучения решению текстовых задач и приемов, направленных на повышение уровня сформированности умения решать задачи.

Практическая значимость заключается в возможности использования приведенных способов на занятиях в школе.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

Во введении обосновывается актуальность избранной темы исследования, сформулированы проблема, объект и предмет, цель и задачи, методы исследования.

В первой главе описаны психологические особенности младших школьников и их учёт в обучении решению задач, раскрывается понятие задача, виды задач, обоснование выбора действия, модели; показаны различные методические подходы и приёмы формирования умения решать задачи; выявлены особенности обучения решению задач в России рубежа XIX - XX веков.

Во второй главе последовательно описаны цель, задачи и этапы опытно-практической работы, опыт использования составленного комплекса приёмов для формирования умения решать задачи, представлены результаты опытно- практической работы.

В заключении сформулированы оригинальные выводы по главам.

Список литературы содержит 30 источников.



1. Психолого-педагогические, методические и теоретические основы обучения младших школьников решению текстовых задач

1.1 Психологические особенности младших школьников и их учет в процессе обучения математике

Младший школьный возраст (с 6-7 до 9-10 лет) определяется важным внешним обстоятельством в жизни ребенка - поступлением в школу. Учебная деятельность требует от ребенка новых достижений в развитии внимания, памяти, воображения и мышления, создает новые условия для личностного развития ребенка.

Особенность здоровой психики ребенка - познавательная активность. [Мухина 2004: 19] Любознательность ребенка постоянно направлена на познание окружающего мира и построение своей картины этого мира. Ребенок, играя, экспериментирует, пытается установить причинно-следственные связи и зависимости.

Чем активнее в умственном отношении ребенок, тем больше он задает вопросов и тем разнообразнее эти вопросы. Ребенок стремится к знаниям, а само усвоение знаний происходит через многочисленное «зачем?», «как?», «почему?». Он вынужден оперировать знаниями, представлять ситуации и пытаться найти возможный путь для ответа на вопрос. При возникновении некоторых задач ребенок пытается решить их, реально примеряясь и пробуя, но он же может решать задачи, как говорится, в уме. Он представляет себе реальную ситуацию и как бы действует в ней в своем воображении. Такое мышление, в котором решение задачи происходит в результате внутренних действий с образами, называется наглядно-образным. Образное мышление - основной вид мышления в младшем школьном возрасте. Конечно, младший школьник может мыслить логически, но следует помнить, что этот возраст сенситивен к обучению, опирающемуся на наглядность.

Учебная деятельность требует развития высших психических функций - произвольности внимания, памяти, воображения. Внимание, память, воображение младших школьников уже приобретают самостоятельность - ребенок научается владеть специальными действиями, которые дают возможность сосредоточиться на учебной деятельности, сохранить в памяти увиденное или услышанное, представить себе нечто, выходящее за рамки воспринятого раньше. [Дубровина 2003: 6, Крутецкий 1980: 12]

Развитие внимания. Познавательная активность ребенка, направленная на обследование окружающего мира, организует его внимание на исследуемых объектах довольно долго, пока не иссякнет интерес. И все-таки, хотя дети в начальных классах могут регулировать свое поведение, непроизвольное внимание преобладает. Детям трудно сосредоточиться на однообразной работе и малопривлекательной для них деятельности или на деятельности интересной, но требующей умственного напряжения. Отключение внимания спасает от переутомления. Эта особенность внимания является одним из оснований для включения в занятия элементов игры и достаточно частой смены форм деятельности.

Дети младшего школьного возраста, безусловно, способны удерживать внимание на интеллектуальных задачах, но это требует колоссальных усилий воли и организации высокой мотивации.

Развитие памяти. В школе ребенок встает перед необходимостью запоминать произвольно. Учебная деятельность неукоснительно требует от ребенка запоминания. Учитель дает ребенку указания, каким образом можно запомнить и воспроизвести то, что следует выучить. Вместе с детьми он обсуждает содержание и объем материала, распределяет его на части, учит контролировать процесс запоминания. Понимание является необходимым условием запоминания - учитель фиксирует внимание ребенка на необходимости понимания, учит ребенка понимать то, что он должен запомнить, задает мотивацию стратегии запоминания: сохранение знаний, навыков не только для решения школьных заданий, но и для всей последующей жизни.

Произвольная память становится функцией, на которую опирается учебная деятельность, и ребенок приходит к пониманию необходимости заставить работать на себя свою память. Именно заучивание и воспроизведение учебного материала позволяет ребенку рефлектировать свои личные психические изменения в результате погружения в учебную деятельность и воочию увидеть, что «учить себя» - значит изменить самого себя в знаниях и в обретении способности к произвольным действиям.

Развитие воображения. В младшем школьном возрасте ребенок в своем воображении уже может создавать разнообразнейшие ситуации. Формируясь в игровых замещениях одних предметов другими, воображение переходит и в другие виды деятельности.

В условиях учебной деятельности к воображению ребенка предъявляют специальные требования, которые побуждают его к произвольным действиям воображения. Учитель на уроке предлагает детям представить себе ситуацию, в которой происходят некие преобразования предметов, образов, знаков. Эти учебные требования побуждают развитие воображения, но они нуждаются в подкреплении специальными орудиями - иначе ребенок затрудняется продвинуться в произвольных действиях воображения. Это могут быть реальные предметы, схемы, макеты, знаки, графические образы и др.

Воображение в жизни ребенка играет большую роль, чем в жизни взрослого, проявляясь гораздо чаще, и чаще допускает нарушение жизненной реальности. Неустанная работа воображения - важнейший путь познания и освоения ребенком окружающего мира, способ освоения нормативности социального пространства, последнее принуждает работать воображение непосредственно на развитие личностных качеств.

Все это обусловливает необходимость использования для организации математического развития ребенка соответствующего содержания и методологии, максимально соответствующих «детскому способу» вхождения в математику оптимально возрасту ребенка. [Белошистая 2005: 4, Крутецкий 1967: 11] Опора на ведущий тип мышления ребенка дает основание сделать вывод: главным направлением организации математического развития ребенка младшего школьного возраста является развитие пространственного мышления в сочетании с активной пропедевтикой основ словесно-логического мышления. педагогический школьник текстовый задача

Методологическим обоснованием предлагаемой концепции является выбор в качестве ведущего метода обучения детей математическому содержанию метода моделирования, с преимущественным использованием на каждом возрастном этапе того вида моделирования, который более всего соответствует возрастным особенностям развития мышления и других познавательных процессов. В возрасте 6-9 лет - это сочетание конструирования с графическим моделированием (с постепенным перенесением акцента на последнее), в возрасте 9-12 лет - графическое моделирование с элементами конструирования (там, где необходимо практическое приложение знаний и умений ребенка в математике) и с элементами логико-символического моделирования (знакового и символьного) в качестве подготовки к переходу ребенка на ведущий словесно-логический (абстрактный) тип мышления в старшем возрасте. [Белошистая 2006: 5] Такой подход к выбору ведущего метода обучения обеспечивает эффективное развитие приемов умственной деятельности у ребенка (анализа, синтеза, абстрагирования, обобщения и др.), развитие практико-ориентированной интуиции в применении математических знаний, самостоятельности в учебно-познавательной деятельности и таких качеств математического мышления как гибкость, критичность, активность, целенаправленность и др.

1.2 Понятие задача. Теоретические основы решения текстовых задач

В любом математическом курсе есть задачи. В обучении математике младших школьников преобладают такие, которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными. Эти задачи сформулированы на естественном языке (потому их называют текстовыми); в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому их часто называют сюжетными); они представляют собой задачи на разыскание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому их иногда называют вычислительными).

В работе мы будем применять термин «текстовые задачи», поскольку он чаще других используется в методике обучения математике младших школьников.

Решению текстовых задач при начальном обучении уделяется огромное внимание. Связано это с тем, что такие задачи часто являются не только средством формирования многих математических понятий, но и главное - средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей.

Существуют различные методические подходы к обучению детей решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни выбрал учитель, ему надо знать, как построены такие задачи, и уметь их решать прежде всего арифметическими способами.

Как было сказано выше, любая текстовая задача представляет собой описание какого-либо явления (ситуации, процесса). С этой точки зрения текстовая задача есть словесная модель явления (ситуации, процесса). [Моро 1975: 18] И, как во всякой модели, в текстовой задаче описывается не все явление в целом, а лишь некоторые его стороны, главным образом, его количественные характеристики. Рассмотрим, например, такую задачу: «Автомобиль выехал из пункта А со скоростью 60 . Через 2 ч вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 90 . На каком расстоянии от А второй автомобиль догонит первый?»

В задаче описывается движение двух автомобилей. Как известно, любое движение характеризуется тремя величинами: пройденным расстоянием, скоростью и временем движения. В данной задаче известны скорости первого и второго автомобилей (60 и 90 ), известно, что они прошли одно и то же расстояние от пункта А до места встречи, количественную характеристику которого и надо найти. Кроме того, известно, что первый автомобиль был в пути на 2 ч больше, чем второй.

Обобщая, можно сказать, что текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения. [Стойлова 1997: 26]

Чтобы выяснить, как построена текстовая задача, рассмотрим пример из учебного пособия Л.П.Стойловой:

«Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?»

В задаче идет речь о свитере, шапке и шарфе. Это объекты задачи. Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

Утверждения:

1. Свитер, шапка и шарф связаны из 1200 г шерсти.

2. На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.

3. На шапку израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.

Требования:

1. Сколько шерсти израсходовали на свитер?

2. Сколько шерсти израсходовали на шапку?

3. Сколько шерсти израсходовали на шарф?

Утверждения задачи называют условиями (или условием, как в начальной школе). В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны

Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи.

Таким образом, чтобы понять, какова структура задачи, надо выявить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи.

Чтобы получить эту модель, надо текст задачи развернуть (сделать это можно письменно или устно), так как текст задачи, как правило, дается в сокращенном, свернутом виде. Для этого можно перефразировать задачу, построить ее графическую модель, ввести какие-либо обозначения и т.д.

По отношению между условиями и требованиями различают:

а) определенные задачи - в них заданных условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнения требований;

б) недоопределенные задачи - в них условий недостаточно для получения ответа;

в) переопределенные задачи - в них имеются лишние условия.

В начальной школе недоопределенные задачи считают задачами с недостающими данными, а переопределенные - задачами с избыточными данными.

Например, задача «Возле дома росло 5 яблонь, 2 вишни и 3 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома?» является переопределенной, так как содержит лишнее условие.

Задача «Из зала вынесли сначала 12 стульев, потом еще 5. Сколько стульев осталось в зале?» является недоопределенной - в ней условий недостаточно, чтобы ответить на поставленный вопрос.

Уточним теперь смысл термина «решение задачи» [Стойлова 1997: 26]. Так сложилось, что этим термином обозначают разные понятия:

1) решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи;

2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, причем этот процесс рассматривается двояко: и как метод нахождения результата (например, говорят о решении задачи арифметическим способом) и как последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод (т.е. в данном случае под решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу).

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический.

Решить задачу арифметическим методом - это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. [Смолеусова 2003: 25]

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

Решим, например, различными арифметическими способами такую задачу: «Сшили 3 платья, расходуя на каждое по 4 м ткани. Сколько кофт можно было сшить из этой ткани, если расходовать на одну кофту 2 м ?»

1 способ

1) 4•3=12 (м) - столько было ткани;

2) 12:2=6 (кофт) - столько кофт можно сшить.

2 способ

1) 4:2=2 (раза) - во столько раз больше идет ткани на платье, чем на кофту;

2) 3•2=6 (кофт) - столько кофт можно сшить.

Решить задачу алгебраическим способом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. [Смолеусова 2003: 25]

Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения (системы уравнений), то это означает, что данную задачу можно решить различными алгебраическими способами.

Например, задачу: «Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?» можно решить тремя различными способами.

1 способ

Обозначим через x (г) массу шерсти, израсходованной на шапку. Тогда на шарф будет израсходовано (x+100) г, а на свитер ((x+100)+400) г. Так как на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение:

x+(x+100)+((x+100)+400)=1200.

Выполнив преобразования, получим, что x=200. Таким образом, на шапку было израсходовано 200 г, на шарф - 300 г, так как 200+100=300, на свитер - 700 г, так как (200+100)+400=700.

2 способ

Обозначим через x (г) массу шерсти, израсходованной на шарф. Тогда на шапку будет израсходовано (х-100) г, а на свитер - (х+400) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение:

х+(х-100)+(х+400)=1200.

Выполнив преобразования, получим, что х=300. Таким образом, если на шарф израсходовали 300 г, то на шапку 200 г (300-100=200), а на свитер 700 г (300+400=700).

3 способ

Обозначим через x (г) массу шерсти, израсходованной на свитер. Тогда на шарф будет израсходовано (х-400) г, а на шапку (х-400-100) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение:

х+(х-400)+(х-500)=1200.

Выполнив преобразования, получим, что х=700. Таким образом, если на свитер израсходовано 700 г, то на шарф пошло 300 г (700-400=300), а на шапку - 200 г (700-400-100=200).

Решение любой текстовой задачи - процесс сложной умственной деятельности. Чтобы овладеть им, надо знать основные этапы решения задачи и некоторые приемы их выполнения.

Деятельность по решению задачи арифметическим методом включает следующие основные этапы:

1. Анализ задачи.

2. Поиск плана решения задачи.

3. Осуществление плана решения задачи.

4. Проверка решения задачи.

Рассмотрим каждый этап более подробно.

Анализ задачи. Основное назначение этого этапа - понять в целом ситуацию, описанную в задаче, выделить условия и требования, назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними.

Разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования можно, если задать специальные вопросы и ответы на них:

· О чем задача?

· Что требуется найти в задаче?

· Что обозначают те или иные слова в тексте задачи?

· Что в задаче неизвестно?

· Что является искомым?

Большую помощь в осмыслении задачи оказывает другой прием - перефразировка текста задачи. Он заключается в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Это достигается в результате отбрасывания несущественной, излишней информации, замены описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замены некоторых терминов описанием содержания соответствующих понятий; преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения.

Особенно эффективно использование данного приема в сочетании с разбиением текста на смысловые части.

Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций и составление таблицы или чертежа.

После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

1) все ли объекты показаны на модели;

2) все ли отношения между объектами отражены;

3) все ли числовые данные приведены;

4) есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое?

Поиск и составление плана решения задачи. Назначение этого этапа: установить связь между данными и исходными объектами, наметить последовательность действий.

План решения задачи - это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.

Поиск плана решения задачи является трудным процессом, который точно не определен. Можно только указать некоторые приемы, которые позволят осуществлять этот этап. Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи арифметическим способом является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели.

Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов.

При разборе задачи от данных к вопросу решающий выделяет в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при анализе задачи) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неизвестное данным, решающий вновь выделяет два взаимосвязанных данных, определяет неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т.д., пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта.

При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т.д. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.

Поиск плана решения задачи может проводиться по вспомогательной модели, выполненной при анализе задачи.

Осуществление плана решения задачи. Назначение этого этапа - найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач, решаемых арифметическим способом, используются следующие приемы:

- запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопросами);

- запись в виде выражения.

Проверка решения задачи. Назначение данного этапа - установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача. Рассмотрим основные:

1. Установление соответствия между результатом и условиями задачи.

Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречий.

Заметим, что при использовании данного приема проверяются все отношения, имеющиеся в задаче, и если устанавливается, что противоречий не возникает, то делают вывод о том, что задача решена верно.

2. Решение задачи другим способом.

Пусть при решении задачи каким-то способом получен некоторый результат. Если ее решение другим способом приведет к тому же результату, то можно сделать вывод о том, что задача была решена верно.

Заметим, что если задача решена первоначально арифметическим способом, то правильность ее решения можно проверить, решив задачу алгебраическим методом.

Не следует также думать, что без проверки нет решения текстовой задачи. Правильность решения обеспечивается прежде всего четкими и логичными рассуждениями на всех других этапах работы над задачей.

Рассматривая процесс решения текстовой задачи, мы неоднократно использовали термин «модель», «моделирование». Это не случайно. Во всех науках модели выступают как мощное орудие познания. Реальные объекты и процессы столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение и исследование модели.

Ранее мы установили, что текстовая задача - это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т.е. построить ее математическую модель.

Вообще, математическая модель - это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений.

Математической моделью текстовой задачи является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение (либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.

В процессе решения задачи четко выделяются три этапа математического моделирования:

1 этап - перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними;

2 этап - внутримодельное решение (т.е. нахождение значения выражения, выполнение действий, решение уравнения);

3 этап - интерпретация, т.е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

Модели бывают разные. Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и т.д.) или могут быть представлены инсценировками сюжета задач. К такому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:

1) рисунок;

2) условный рисунок;

3) чертеж;

4) схематичный чертеж (схема).

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном языке, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи, таблицы.

Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются: выражение, уравнение, система уравнений, запись решения по действиям. Поскольку на этих моделях происходит решение задачи, их называют решающими моделями. Остальные модели, все схематизированные и знаковые, выполненные на естественном языке, ? это вспомогательные модели, которые обеспечивают переход от текста задачи к математической модели.

Для большинства текстовых задач приходится строить различные вспомогательные модели. С одной стороны, эти модели представляют собой результат анализа задачи, но с другой - построение таких моделей организует и направляет детальный и глубокий анализ задачи.

Остановимся на вопросе о классификации задач.

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. [Бантова 1984: 3] Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, связанных между собой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые действия), называется составной. [Бантова 1984: 3]

Простые задачи можно разделить на виды либо в зависимости от действий, с помощью которых они решаются (простые задачи, решаемые сложением, вычитанием, умножением, делением) (Приложение 1,2), либо в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении (Приложение 3).

Для составных задач нет такого единого основания для классификации, которое позволило бы с пользой для дела разделить их на определенные группы. Однако по методическим соображениям целесообразно выделить из всего многообразия задач некоторые группы, сходные либо математической структурой (например, задачи, в которых надо сумму разделить на число), либо способом решения (например, задачи, решаемые способом нахождения значения постоянной величины), либо конкретным содержанием (например, задачи, связанные с движением).

Для решения составных задач необходимо знать виды зависимостей, которые возможны между величинами, т.е. свойства прямой и обратной пропорциональности. (Приложение 4)

1.3 Методические аспекты решения текстовых задач

Вопрос о том, как научить детей устанавливать связи между данными и искомыми в текстовой задаче и в соответствии с этим выбрать, а затем выполнить арифметические действия, решается в методической науке по-разному.

Тем не менее, все многообразие методических рекомендаций, связанных с обучением младших школьников решению задач, целесообразно рассматривать с точки зрения двух принципиально отличающихся друг от друга подходов [Истомина 1998: 9]

Один подход нацелен на формирование у учащихся умения решать задачи определенных типов (видов).

Цель другого подхода - научить детей выполнять семантический и математический анализ текстовых задач, выявлять взаимосвязи между условием и вопросом, данными и искомыми и представлять эти связи в виде схематических и математических моделей.

Средством организации этой деятельности могут быть специальные обучающие задания, включающие методические приемы сравнения, выбора, преобразования, конструирования.

Для приобретения опыта в семантическом и математическом анализе текстов задач используется прием сравнения текстов задач. Для этой цели предлагаются задания:

· Сравни тексты задач. Чем они похожи? Чем отличаются? Какую задачу ты можешь решить? Почему?

а) На одном проводе сидели ласточки, а на другом - 7 воробьев. Сколько всего сидело птиц на проводах?

б) На одном проводе сидело 9 ласточек, а на другом - 7 воробьев. Сколько всего сидело птиц на проводах?

Полезно использовать тексты задач с недостающими и лишними данными, с противоречивым условием и вопросом, с вопросом, в котором спрашивается о том, что уже известно. Эти задания позволяют школьникам сделать первые шаги в осмыслении структуры задачи.

С целью формирования умения выбирать арифметическое действие для решения задач, предлагаются задания, в которых используются приемы:

1) Выбор схемы.

2) Выбор вопросов.

3) Выбор выражений.

4) Выбор условия к данному вопросу.

5) Выбор данных.

6) Изменение текста задачи в соответствии с данным решением.

7) Постановка вопроса, соответствующего данной схеме.

8) Объяснение выражений, составленных по данному условию.

9) Выбор решения задачи.

Для организации продуктивной деятельности учащихся, направленной на формирование умения решать текстовые задачи, учитель может использовать обучающие задания, включающие различные сочетания методических приемов

Работу с обучающими заданиями на уроке целесообразно организовать фронтально. Это создает условия для обсуждения ответов детей и для включения их в активную мыслительную деятельность.

Различные методические приемы учитель может использовать не только в обучающих заданиях, но и организуя деятельность учащихся, направленную на решение задач. Рассмотрим на примере задачи:

· В трамвае ехало 40 пассажиров. На каждой остановке выходило 7 человек, а входило в 2 раза больше. Сколько пассажиров оказалось в трамвае после третьей остановки?

Для осознания учащимися текста задачи учитель записывает на доске выражения и предлагает объяснить: «Что обозначают выражения, составленные по условию данной задачи?» (прием объяснения выражений, составленных по условию задачи)

40-7 40-7-7 40-7-7-7

7•2 (40-7)+ 7•2 7•2•2 7•2•3

Прием объяснения выражений можно дополнить или заменить приемом обсуждения решений. Для этого учитель записывает на доске различные варианты решения задачи (верные, неверные, полные, неполные) и обращается к детям с вопросом:

- На какие вопросы я отвечу, выполнив эти действия? (действия записываются на доске без пояснений)

а) 1) 7•2=14 (ч.) - входило на каждой остановке;

2) 40-7=33 (ч.) - осталось в трамвае после того, как вышло 7 человек;

3) 33+14=47 (ч.) - оказалось в трамвае после первой остановки.

б) 1) 7•3=21 (ч.) - вышло на трех остановках;

2) 40-21=19 (ч.) - осталось бы в трамвае, если бы люди только выходили на каждой остановке.

в) 1) 7•2=14 (ч.) - входило на каждой остановке;

2) 14•3=42 (ч.) - вошло на трех остановках;

3) 7•3=21 (ч.) - вышло на трех остановках.

Далее учитель может предложить детям самостоятельно закончить один из вариантов решения задачи.

Постановка различных заданий, в процессе выполнения которых учащиеся приобретают опыт анализа текста задачи, его преобразования и конструирования, оказывает положительное влияние на формирование умения решать задачи. Тем не менее это не исключает возможности использования в некоторых случаях аналитического, синтетического и аналитико-синтетического способов разбора, краткой записи или интерпретации задачи в виде таблицы.

Но каждый раз следует вдумчиво подходить к тому, какой методический прием следует применить, организуя деятельность учащихся, направленную на поиск решения задачи.

Теперь рассмотрим виды упражнений, способствующих выработке умений решать задачи, которые предложены в учебном пособии М.А. Бантовой. [Бантова 1984: 3] В первую очередь это упражнения на сравнение решений задач разных видов, но сходных в каком-то отношении. Такие упражнения предупреждают смешение способов решения задач этих видов. Например, следует проводить сравнение задач на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц, сформулированных в прямой и косвенной форме. С этой целью надо включать задачи парами.

Выработке умения решать задачи рассматриваемого вида помогают так называемые упражнения творческого характера. К ним относятся решение задач повышенной трудности, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько способов решения, а также упражнения в составлении и преобразовании задач.

К задачам повышенной трудности относят такие задачи, в которых связи между данными и искомыми выражены необычно, например: «У Пети три куска проволоки, причем второй кусок длиннее первого на 2 м, а третий длиннее второго на 3 м. На сколько метров длиннее третий кусок, чем первый?» К задачам повышенной трудности относят также задачи, вопрос которых сформулирован нестандартно, например: «Хватит ли 50 рублей, чтобы купить 2 блокнота по 18 рублей и линейку за 8 рублей?» Решение таких задач помогает выработать у детей привычку вдумчиво относится к содержанию задачи и разносторонне осмысливать связи между данными и искомыми.

Многие задачи могут быть решены различными способами. Поиск различных способов решения приводит детей к «открытию» новых связей между данными и искомыми, а также к использованию уже известных связей, но в новых условиях.

Работа над задачами с недостающими и лишними данными воспитывает у детей привычку лучше осмысливать связи между данными и искомыми. Решение задач с недостающими данными используется также в целях подготовки к решению составных задач.

Полезно включать и решение задач, имеющих несколько решений. Решение таких задач будет способствовать формированию понятия переменной. Например, рассматривается задача: «В двух стопках 8 тетрадей. Сколько может быть тетрадей в каждой стопке?» Решение можно записать в виде таблицы:

1 стопка	8	7	6	5	4	3	2	1	0
2 стопка	0	1	2	3	4	5	6	7	8
всего	8	8	8	8	8	8	8	8	8

Упражнения по составлению и преобразованию задач являются чрезвычайно эффективными для обобщения способа их решения. Рассмотрим некоторые виды упражнений по составлению и преобразованию задач.

1. Постановка вопроса к данному условию задачи или изменение данного вопроса.

Такие упражнения помогают обобщению знаний о связях между данными и искомыми, так как при этом дети устанавливают, что можно узнать по определенным данным. Во многих случаях целесообразно вводить некоторые ограничения. Например, предлагать поставить вопрос так, чтобы задача решалась одним действием, двумя действиями и т.д., или чтобы спрашивалось о скорости, о цене и т.п., или чтобы задача решалась указанным действием.

2. Составление условия задачи по данному вопросу.

При выполнении таких упражнений учащиеся устанавливают, какие данные надо иметь, чтобы найти искомое, а это также приводит к обобщению знания связей между данными и искомыми. Следует ставить вопросы и так, чтобы для составления задач нужно было выполнить некоторые практические работы: составьте задачу, в которой надо узнать площадь пола вашей комнаты или сколько потребуется краски, чтобы выкрасить пол в нашем классе, и т.п.

3. Подбор числовых данных или их изменение.

Эти упражнения служат главным образом целям знакомства учащихся с реальными количественными отношениями. Например, учащимся предлагается задача: «На … одинаковых платьев пошло … метров материи. Сколько таких же платьев можно сшить из … метров такой же материи?» Учащиеся устанавливают, какие числовые данные можно задать сразу, а какие получить путем вычислений. Особый интерес представляют упражнения на замену некоторых числовых данных другими, но так, чтобы задачу можно было решить каким-то другим способом. Например, учащимся предлагается изменить данные задачи «В магазине продали 8 пальто по 3500 руб. и 7 плащей по 2500 руб. Сколько денег выручил магазин?» так, чтобы она решалась другим способом (сделать равными число пальто и плащей или их цену). Полезно включать задания на изменение числовых данных так, чтобы искомое число увеличивалось или уменьшалось.

4. Составление задач по аналогии.

Аналогичными называются задачи, имеющие одинаковую математическую структуру. Составление учащимися таких задач помогает установлению общих связей между данными и искомым при разных жизненных ситуациях.

5. Составление обратных задач.

Упражнения в составлении и решении обратных задач помогают усвоению связей между данными и искомым.

6. Составление задач по иллюстрации.

Полезными являются упражнения на составление задач по данной картинке, чертежу или краткой записи. Они помогают детям увидеть задачу в данной конкретной ситуации. Прежде, чем предлагать детям составить задачу по той или иной иллюстрации, надо проанализировать эту иллюстрацию, т.е. провести беседу и выяснить, понимают ли дети, что изображено, что обозначают числа, что надо узнать и т.д.

7. Составление задач по данному решению.

Решение может быть дано в любой форме: отдельными действиями, выражением или уравнением как с записью пояснений, так и без них. При этом решение может содержать как одно действие, так и несколько. Перед составлением задачи необходимо проанализировать ее решение. Можно предлагать составлять задачи по указанным действиям.

8. Преобразование данных задач в задачи родственных им видов.

К задачам родственных видов относятся задачи, в которых величины связаны одинаковой зависимостью (например, задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление и на нахождение неизвестных по двум разностям). В результате преобразования и сравнения способов решения таких задач дети подводятся к обобщению способов решения этих задач.

1.4 Методические приемы обучения решению текстовых задач детей в системе образования России в конце XIX - начале XX века

Развитие капиталистических отношений в России конца XIX - начала XX столетия, успехи российских ученых активизировали потребности в математически просвещенной молодежи, способной на высоком уровне овладевать классическими университетскими и инженерными программами подготовки специалистов, содержанием общего и реального образования.

В этот период активизируется работа по обеспечению математических дисциплин методическими материалами, расширяется издание специальной литературы для учителей математики.

Эта тенденция находит отражение в целях обучения арифметике в начальных училищах, а также в общеобразовательных школах и гимназиях, где, кроме более сложного алгебраического материала, программой предполагалось изучение элементарной геометрии и начал алгебры.

В частности, Ф.А. Эрн высказывает общепринятую в то время точку зрения на цели обучения арифметике: «Арифметика должна дать учащимся навык и уменье решать задачи. Решение всякой задачи состоит в определении зависимости между данными и искомым и в производстве ряда арифметических действий. Эти действия совершаются над числами, составляемыми и письменно обозначаемыми по известным правилам». [Пчелко 1940: 24]

Как известно, первым русским учебником по математике была «Арифметика» Л.Ф.Магницкого, созданная в 1703 году. [Евтушевский 1874: 8] В учебнике помимо алгебраических присутствовали и арифметические задачи, но изучив содержание некоторых из них, можно прийти к выводу, что эти задачи не могли способствовать развитию у учащихся логического мышления. Учащийся мог только заучивать решение задач, запоминая те многочисленные правила, по которым решались задачи. Задачи не давались учащимся для самостоятельного решения. Ученик должен был уметь решать по данному правилу только неоднократно решенную им задачу или задачу, похожую на те, которые решались им раньше. Задачи в XVIII веке не выделялись в особую книгу, на задачи смотрели как на продолжение теории арифметических действий и помещали их в одной книге с теорией.

Первый сборник арифметических задач был составлен лишь в 1806 году учителем Пермской духовной семинарии Алексеем Вишневским. Сборник заключал в себе 10 отделов [Лексин 1914: 15]: 1) задачи на вычисления с квадратными и кубическими мерами; 2) примеры вычислений с конечными десятичными дробями; 3) задачи на тройное правило - прямое и обратное; 4) на все случаи тройных правил; 5) на правило товарищества; 6) на правило смешения; 7) на фальшивое правило и др.

Задач на отдельные действия и задач, требующих нескольких действий, но не подведенных под правило, не было.

После реформы 60-х годов изменяется не только жизнь общества, но и отношение к обучению. Больших успехов в этот период добивается В.А. Евтушевский. [Евтушевский 1874: 8] Он был первым, кто выделил основные этапы в решении задачи, посвятив этому вопросу специальную главу в своей «Методике». Евтушевский выделил следующие этапы: чтение и повторение условия, разбор задачи, составление плана решения, проверка, решение одной и той же задачи разными способами, составление задач самими учащимися. Правда, внешней стороне (повторению условия, выяснению неизвестного, форме записи и пр.) он уделил больше внимания, чем существу дела (разбору и плану), но больших требований к Евтушевскому здесь нельзя предъявлять, так как до него методика решения задач была абсолютно неразработанной.

Продолжателем дел В.А. Евтушевского стал В.А.Латышев. Прежде всего, Латышев дал правильную, точную и исчерпывающую формулировку значения задач в курсе арифметики: «Занятия арифметикой», говорил он, «должны постоянно сопровождаться решением задач как для развития навыка в вычислениях, так и для выяснения теории и, наконец, для развития сообразительности» [Пчелко 1940: 24]. Латышев первым указал на то, что для умения решать задачи большое значение имеет понимание связи и зависимости между величинами, входящими в условия задач; эту связь нужно, говорил он, объяснять на простых задачах.

В.А. Латышев подчеркнул как центральный момент в объяснении решения задачи, разбор задачи и при этом дал прекрасные образцы разбора нескольких задач. Придавая большое значение выработке у учащихся умения объяснять решение задачи, Латышев говорил не только об устном, но и письменном объяснении решения сложных задач.

В 60-е годы впервые делается попытка классифицировать задачи, которая принадлежит А.И. Гольденбергу. Он разделил все задачи на две основные категории: на арифметические и алгебраические задачи, но не смог определить признаки этих задач. Поэтому вопрос о классификации задач остался открытым.

Ученик А.И. Гольденберга Ф.И.Егоров разработал «технику» решения задач. Он подробно осветил вопрос о сущности аналитического и синтетического методов разбора задачи, показав и их практическое применение на разборе нескольких конкретных задач. Он показал прием, ставший впоследствии общеупотребительным, перехода от решения простых задач (в одно действие) к решению сложных задач (в два действия). Он довольно конкретно разработал различные образцы составления задач самими учащимися: по заданным числам, по данному учителем вопросу и др.

Ф.И. Егоров подчеркнул значение упражнения учащихся в самостоятельном решении задач; этот момент заслуживает большого внимания: он показывает новое, более высокое качество методики преподавания арифметики, большую эволюцию, проделанную в этом вопросе, на протяжении XIX века: к началу XX века ученики не только не заучивали решение задач, не только решали задачи под непосредственным руководством учителя, но учащимся стали давать новые задачи для самостоятельного разбора, для самостоятельного решения. Это стало возможным только потому, что в расположение задач был внесен порядок, система.

Вообще, методика решения задач разработана Егоровым настолько полно и обстоятельно, что последующим методистам оставалось только доработать некоторые детали, подробности; все же существенные, принципиальные вопросы были охвачены в методике Ф.И. Егорова.

Открытым оставался вопрос о классификации задач.

В 90-х и в начале девятисотых годов в педагогике появляются идеи трудовой школы. Трудовой принцип обучения объявляется как самый надежный и действенный принцип. Это нашло отражение в методической работе таких ученых, как С.И. Шохор-Троцкий, В.К. Беллюстин, К.П. Арженников, Ф.А. Эрн и других, на деятельности которых мы и остановимся.

С.И. Шохор-Троцкий в своей «Методике арифметики», изданной в 1886 году, выступил как изобретатель нового метода - «метода целесообразных задач». Сущность этого метода заключается в хорошо подобранной системе заданий-задач. Задача, по мнению Шохор-Троцкого, является исходной точкой в каждом моменте обучения. Сделав задачи главным средством для усвоения всей арифметики, Шохор-Троцкий наметил следующую схему работы над задачами [Пчелко 1940: 24]:

1. Сначала задачи на наглядных пособиях и работа для рук и глаз учеников над задачами.

2. Задачи из повседневной жизни и работа воображения над этими задачами.

3. Отвлеченные задачи работа суждения над этими задачами.

4. Логический вывод из всей работы со стороны учеников, поправка и вывод учителя.

5. Закрепление вывода на словесных упражнениях.

Эта схема не является универсальной, поэтому не смогла занять свое место в методике арифметики.

В.К. Беллюстин в вопросе о задачах дал мало нового по сравнению с тем, что было сделано его предшественниками и современниками. Следует только отметить, что он настойчиво указывал на большое значение синтеза в разборе задачи. Но синтез не исключает анализ. «Вообще говоря, при начале разбора и решении более полезен синтетический прием, а при конце - аналитический» [Пчелко 1940: 24].Беллюстина в этом вопросе поддерживал К.П. Арженников. Он делил все задачи на чисто арифметические и типические. При рассмотрении типических задач Арженников делал попытку дать свою классификацию задач, в основу которой положено арифметическое содержание и способ решения [Арженников 1916: 2]:

1 тип - тройные правила (простое и сложное)

2 тип - соразмерное деление

3 тип - смешение

4 тип - задачи на вычисление времени

5 тип - задачи на квадратные меры

6 тип - задачи на кубические меры

Классификацию задач, проведенную К.П. Арженниковым, нужно признать оригинальной и заслуживающей большого внимания. Он оказался в этом вопросе ближе всех к истине.

...