Міжпредметні зв’язки курсів математики та фізики основної школи

У вивченні наближених обчислень відсутнє узгодження між програмами з фізики і математики. Наприклад, потреба в діях з наближеними величинами виникає вже при виконанні лабораторних робіт з фізики вже у 7 класі, а до систематичного вивчення елементів теорії наближених обчислень учні приступають лише в курсі алгебри. Така неузгодженість програм з фізики й математики, звичайно, перешкоджає успішному вивченню фізики.

Виявлені проблеми стикування навчальних програм та підручників могли б бути усунені, на думку О.І. Єфремової, таким чином:

1. Спростити вивчення розділу “Геометричні фігури” у 6 класі, знявши вимогу “знати формули площі поверхні та об'єму прямої призми, циліндра”, що дублюється програмою геометрії 8 та 9 класу, розглянути їх тільки як формальний засіб формування обчислювальних умінь і навичок учнів. Натомість посилити вимоги до графічної підготовки учнів 6 класу, де, окрім задач побудови точки на координатній площині, включити вимогу вміти будувати графіки емпірично одержаних залежностей температури від часу пройденого шляху від часу тощо. Забезпечити викладання цієї теми у вигляді додатка до підручника.

2. У 7 класі вивчати поняття степеня з цілим показником та його властивості, розглядати стандартний вигляд числа та передбачати формування навичок дій з такими числами у розділі “Цілі вирази». Забезпечити викладання вказаних тем у вигляді додатка до підручника.

3. При вивченні теми «вектори» у 8 класі включити формування понять “проекції вектора на вісь (осі)”, “дії з проекціями”, “скалярний добуток векторів” як обов'язкові.

4. Тему “Квадратична функція” вивчати першою в курсі алгебри 9 класу, а потім-тему “Нерівності”, приєднавши до них і квадратичні.

5. У курсі фізики основної школи зняти вимогу обчислення похибок (йдеться не про похибку ціни приладу, а про відносні похибки аж до ).

6. Працювати над узгодженням термінології підручників математики і фізики, відмовившись від словосполучень “гілки параболи”, “графік здіймається крутіше”, запису квадратичного рівняння в загальному вигляді

«», не називати промінь прямою тощо, як це робить новий підручник фізики для 9 класу.

7. При розв'язуванні в курсі математики задач з фізичним змістом, слід обов'язково записувати одиниці вимірювань.

На уроках фізики з поняттям вектора школярі стикаються вперше в 8 класі при вивченні швидкості і сили. Тут вектори визначаються як фізичні величини, які, крім числового значення, мають направлення. Паралельно в курсі геометрії шестикласники знайомляться з поняттям переміщення, який визначається як відображення площини на себе, що зберігає відстань; розглядається окремий випадок переміщення - паралельний перенос. Проте ні переміщення, ні паралельне перенесення з поняттям «вектор», введеним в курсі фізики, без додаткової роботи вчителя у свідомості учнів не асоціюються. Хоча на перший погляд у математики та фізики векторами називають різні об'єкти, останні мають ряд загальних властивостей, що характеризують їх векторну природу.

«Ця єдність полягає в тому, що кожному фізичному або математичному об'єкту, який називають вектором, притаманні особливі операції, такі, як сума двох об'єктів і множення об'єкта на число. Таким чином, на першому кроці навчання фізики немає потреби домагатися від учнів заучування того, що сила та швидкість суть векторні величини, необхідно показати їм, що ці величини мають деякі особливі властивості, завдяки яким дії над ними відрізняються від дій над числами ». [1,62].

У сучасному шкільному курсі механіки вектори і координатний метод знайшли широке застосування. Векторна форма рівнянь у поєднанні з відповідними малюнками розкриває фізичну ситуацію в задачі і зумовлює, як показує досвід, успішне її вирішення. Ця форма полегшує алгебраїчну запис рівняння руху або умов рівноваги. Проте слід мати на увазі відому обмеженість дидактичних можливостей застосування векторів.

Враховуючи сказане вище, вчителям планувати свою роботу потрібно так, щоб тему "Вектори на площині" вивчати на уроках математики паралельно з вивченням векторних величин у фізиці. Провівши інтегрований урок, вони мають можливість всебічно висвітлити її, як з точки зору математики, так і фізики. А далі залишається на уроках математики і фізики закріпити вивчені поняття. За такого підходу очевидною є економія часу і (що значно важливіше) зростає якість засвоєння матеріалу. Але це стає можливим лише тоді, коли викладання математики і фізики зосереджено в одних руках.

На думку М.М. Харченко [1], наявність різних рівнів вивчення і використання різних підручників призводить до неузгодженості програм. Але навіть у разі узгодження часових термінів іноді виникають розбіжності в трактуванні деяких питань, які докладно вивчаються на уроках математики, а застосовуються - на уроках фізики.

Якщо розвити ідеї міжпредметних зв'язків фізики та математики до рівня математизації знань учнів, тоді:

- вдасться підвищити ефективність навчання фізики у середній школі взагалі;

- підвищити загальну культуру розумової діяльності;

- ефективніше організувати самостійну роботу учнів з розв'язування фізичних задач, обробки результатів експерименту, аналізу різних формул та рівнянь з погляду їхньої варіативності і реалізації.

Таблиця 2.1. Система зв'язку фізики з математикою для 7-9 класів

Клас	Розділи фізики, теми уроків	Математичне підґрунтя
1	2	3
7 клас	Розділ 1. Починаємо вивчати фізику Фізика як фундаментальна наука про природу. Методи наукового пізнання. Зв'язок фізики з іншими науками. Фізичні тіла й фізичні явища. Властивості тіл. Спостереження та експеримент. Фізичні величини та їхні одиниці. Вимірювання та вимірювальні прилади. Похибки й оцінювання точності вимірювань. Міжнародна система одиниць фізичних величин. Світ, у якому ми живемо. Простір і час. Виміри простору. Довжина і площа та їх одиниці. Об'єм та одиниці об'єму. Взаємодія тіл. Сила -- міра взаємодії. Енергія. Творці фізичної науки. Видатні вчені-фізики. Внесок українських учених у розвиток фізики. Фізика в побуті, техніці, виробництві	5 клас: «Вимірювання і побудова відрізка. Ламана»; « Площа прямокутника та квадрата»; «Об'єм прямокутного паралелепіпеда і куба»; 7клас: «Округлення десяткових дробів»; «Стандартний вигляд числа»
	Розділ 2. Будова речовини Будова речовини. Атоми й молекули. Рух і взаємодія атомів і молекул. Фізичне тіло і речовина. Агрегатні стани речовини. Залежність розмірів тіл від температури. Маса та її одиниці вимірювання. Густина речовини та її одиниці вимірювання.	5 клас: «Арифметичні дії з дробами», 6 клас: «Відсотки», «Пряма і обернена пропорційність» 8 клас: «Функція у= , її графік та властивості»
	Розділ 3. Світлові явища Оптичні явища в природі. Джерела й приймачі світла. Прямолінійне поширення світла . Відбивання світла. Закони відбивання . Плоске дзеркало. Зображення в плоскому дзеркалі . Поширення світла в різних оптичних середовищах. Заломлення світла на межі двох середовищ. Дисперсія світла. Спектральний аналіз світла. Кольори . Лінзи. Оптична сила й фокусна відстань лінзи. Побудова зображень, що дає тонка лінза. Формула тонкої лінзи. Оптичні прилади. Око як оптична система. Вади зору. Окуляри Фотометрія. Сила світла і освітленість.	5 клас: «Кут. Вимірювання і побудова кута», «Округлення» 6 клас: «Скорочення дробу», «Найменший спільний знаменник», «Перпендикулярні й паралельні прямі, їх побудова». 7 клас: «Тотожні перетворення виразу», «Суміжні та вертикальні кути їх властивості»
1	2	3
8 клас	Розділ 1. Механічний рух Механічний рух. Відносність руху. Траєкторія. Пройдений тілом шлях. Швидкість руху та одиниці швидкості. Вимірювання швидкості руху тіла. Види рухів. Середня швидкість нерівномірного руху. Прямолінійний рівномірний рух. Графіки руху тіла. Обертальний рух тіла. Період та частота обертання. Коливальний рух. Амплітуда, період і частота коливань. Маятники. Звук. Джерела і приймачі звуку. Характеристики звуку. Швидкість поширення звуку. Відбивання звуку.	6 клас: «Координатна площина. Приклади графіків залежності між величинами», «Середнє арифметичне. Середнє значення величини»
	Розділ 2. Взаємодія тіл. Результат дії сил: деформація і зміна швидкості. Інерція. Маса як міра інертності тіла. Сила та одиниці сили. Графічне зображення сили. Складання сил, що діють вздовж однієї прямої. Деформація тіла. Сила пружності. Закон Гука. Вимірювання сил. Динамометри. Сила тяжіння. Вага тіла. Невагомість. Тертя. Сила тертя. Коефіцієнт тертя ковзання. Рівновага сил. Момент сили. Умова рівноваги важеля. Блок. Прості механізми. Тиск і сила тиску. Одиниці тиску. Тиск рідин і газів. Манометри. Закон Паскаля. Сполучені посудини. Насоси. Атмосферний тиск. Вимірювання атмосферного тиску. Дослід Торрічеллі. Барометри. Залежність тиску атмосфери від висоти. Виштовхувальна сила. Закон Архімеда. Умови плавання тіл.	6 клас: «Відношення. Основна властивість відношення», «Пряма та обернена пропорційні залежності. Поділ числа у даному відношенні» 9 клас: «Вектор. Модуль і напрям вектора»
	Розділ 3. Робота і енергія. Механічна робота і потужність. Машини і механізми. Прості механізми. Коефіцієнт корисної дії (ККД) механізмів. «Золоте правило» механіки. Кінетична енергія. Потенціальна енергія. Перетворення одного виду механічної енергії в інший. Закон збереження механічної енергії.	6 клас: «Відсотки», «Відношення і пропорції», 7 клас: «Лінійні рівняння»
	Тема 4. Кількість теплоти. Теплові машини Тепловий стан тіл. Температура тіла. Вимірювання температури. Теплообмін. Види теплопередачі. Кількість теплоти. Питома теплоємність речовини. Тепловий баланс. Теплота згоряння палива. ККД нагрівника. Тверді тіла та їх властивості. Залежність лінійних розмірів твердих тіл від температури. Температура плавлення. Питома теплота плавлення. Плавлення і кристалізація твердих тіл.Рідини та їхні властивості. Вода в різних агрегатних станах. Випаровування і конденсація рідин. Температура кипіння. Питома теплота пароутворення Перетворення енергії в механічних і теплових процесах. Принцип дії теплових машин. Теплові двигуни.	6 клас: «Відсоткові розрахунки», «Координатна пряма. Протилежні числа» 7 клас: «Функціональна залежність між величинами як математична модель реальних процесів», «Лінійна функція, її графік та властивості»
1	2	3
9 клас	Розділ 1. Електричне поле Електризація тіл. Електричний заряд. Два роди електричних зарядів. Будова атома. Електрон. Йон. Закон збереження електричного заряду. Електричне поле. Взаємодія заряджених тіл. Закон Кулона	9 клас: «Вектор. Модуль і напрям вектора. Додавання і віднімання векторів»
	Розділ 2. Електричний струм Дії електричного струму. Електрична провідність матеріалів: провідники, напівпровідники та діелектрики. Струм у металах. Електричне коло. Джерела електричного струму. Гальванічні елементи.. Акумулятори Сила струму. Амперметр. Вимірювання сили струму. Електричний опір. Залежність опору провідника від його довжини, площі поперечного перерізу та матеріалу. Питомий опір провідника. Реостати. Залежність опору провідників від температури. Сполучення провідників (паралельне та послідовне). Розрахунки простих електричних кіл. Робота і потужність електричного струму. Закон Джоуля--Ленца. Електронагрівальні прилади. Дослідження явища електролізу. Струм у напівпровідниках. Електропровідність напівпровідників. Залежність струму в напівпровідниках від температури. Термістори. Самостійний і несамостійний розряди. Застосування струму в газах у побуті, промисловості, техніці.	7 клас: «Функціональна залежність між величинами як математична модель реальних процесів», «Лінійне рівняння з двома змінними та його графік», «Система двох лінійних рівнянь з двома змінними», «Тотожні перетворення «Найменший спільний знаменник раціонального виразу»
	Розділ 3. Магнітне поле Постійні магніти. Магнітне поле Землі. Взаємодія магнітів. Магнітна дія струму. Дослід Ерстеда. Магнітне поле провідника зі струмом. Магнітне поле котушки зі струмом. Електромагніти. Дія магнітного поля на провідник зі струмом. Електричні двигуни Гучномовець. Електровимірювальні прилади. Електромагнітна індукція. Досліди Фарадея. Гіпотеза Ампера	9 клас: «Вектор. Модуль і напрям вектора».
	Розділ 4. Атомне ядро. Ядерна енергетика. Атом і атомне ядро. Дослід Резерфорда. Ядерна модель атома. Радіоактивність. Види радіоактивного випромінювання. Активність радіонуклідів. Іонізувальна дія радіоактивного випромінювання. Дозиметри. Природний радіоактивний фон. Вплив радіоактивного випромінювання на живі організми. Ядерна енергетика. Розвиток ядерної енергетики в Україні Екологічні проблеми ядерної енергетики	8 клас: «Стандартний вигляд числа», «Арифметичні дії з раціональними дробами», «Раціональні рівняння»

2.2 Аналіз змістових ліній курсів математики та фізики основної школи на предмет формування спільних фізико-математичних понять

Розв'язування фізичних задач зазвичай передбачає три етапи діяльності учнів:

1) аналіз фізичної проблеми або опис фізичної ситуації;

2) пошук законів, рівнянь та побудова математичної моделі задачі;

3) реалізація розв'язку та аналізу одержаних результатів.

На першому етапі відбувається побудова фізичної моделі задачі, що подана в її умові:

- аналіз умови задачі, визначення відомих параметрів і величин та пошук невідомого;

- конкретизація фізичної моделі задачі за допомогою графічних форм (рисунки, схеми, графіки тощо);

- скорочений запис умови задачі, що відтворює фізичну модель задачі в систематизованому вигляді.

На другому етапі розв'язування відбувається пошук зв'язків і співвідношень між відомими й невідомими величинами:

- вибудовується математична модель фізичної задачі, робиться запис загальних рівнянь, що відповідають фізичній моделі задачі;

- враховуються конкретні умови фізичної ситуації, описаної в задачі, здійснюється пошук додаткових параметрів;

- загальні рівняння приводяться до конкретних умов, відтворених в умові задачі, у формі рівняння записується співвідношення між невідомим і відомими величинами.

На третьому етапі здійснюються такі дії:

- аналітичне, графічне або чисельне розв'язання рівняння відносно невідомого;

- аналіз одержаного результату щодо його вірогідності й реальності, запис відповіді;

- узагальнення способів діяльності, які властиві даному типу фізичних задач, пошук інших шляхів розв'язання.

Для розвитку творчих здібностей учнів та їхнього розумового потенціалу важливою формою роботи є складання задач, які за фізичним змістом подібні до тих, що були розв'язані на уроці, наприклад обернених задач. І це все чиста математика, бо як зауважив І.Кант: «У кожній природничій науці є стільки істинного, скільки в ній є математики».

Взаємодія математики та інших наук відбувається не лише внаслідок застосування математичних методів, а й запозичення математичного мислення взагалі. Це своєрідне математичне моделювання науки -- розумовий процес, який при побудові й вивченні моделей здійснюється за допомогою порівняння, аналізу, синтезу, абстракції та узагальнення.

Математичні моделі -- не просто замінники наукових об'єктів. Це такі уявні чи реальні системи, які відображають певні властивості об'єкта, а тому можуть заміщувати його. Саме тому вивчення математичної моделі наукового об'єкта дає нову інформацію про нього.

Усе це, безумовно, стосується фізики, яку неможливо навіть уявити без математичної основи. Фізика -- саме та наука, в якій застосовуються і для якої створюються майже всі математичні знання.

Основними математичними моделями є число, функція, вектор, похідна і первісна.

Тому фізичні формули й рівняння, що зустрічаються в курсі фізики, можна поділити на такі, що:

-- відображають функціональні залежності між фізичними величинами;

-- містять векторні фізичні величини або їх проекції на обрані осі;

-- містять фізичні величини, одна з яких є похідною від іншої.

У першому випадку рівняння і формули перетворюються за правилами і законами алгебри, у другому -- відповідно до основ векторної алгебри, у третьому -- відповідно до основ диференціального та інтегрального числень.

Математичними методами, які застосовуються для вивчення математичних моделей, є:

- методи математичної логіки, а саме: аксіоматичний метод, метод дедукції, неповної індукції, доведення від супротивного;

- методи математичної статистики;

- методи геометрії (векторний, координатний, метод геометричних місць).

При застосуванні математичних методів ураховуються межі їх застосування в окремій науці, використовується певна символіка й термінологія.

Саме правильне застосування у шкільному курсі фізики математичних методів, символіки і термінології розглянемо докладніше.

Числа і значення фізичної величини. Метою будь-якої природничої науки є спостереження, опис, вивчення та передбачення явищ і процесів, що відбуваються в реальному світі.

Фізичні об'єкти -- це фізичне явище, фізичний процес, фізична величина, фізичний прилад, фізична модель. Розпізнати, який об'єкт є явищем, процесом, а який -- величиною, не важко. Явище і процес або можуть відбутися, або ні. Наприклад, механічний рух, електричний струм, кипіння, плавлення, нагрівання тощо -- це явища, процеси, які можуть відбуватися за певних умов, а можуть і не відбуватися за інших. Тобто тіло може або здійснювати механічний рух, або ні; електричний струм існує у провіднику або ні; за певних умов рідина кипітиме, а за інших -- ні.

Для вивчення явища чи процесу визначають кількісний зміст його певної властивості. Так вводяться фізичні величини. Наприклад, щоб з'ясувати, за яких умов рідина закипить, треба визначити температуру, атмосферний тиск тощо. Для вивчення механічного руху з'ясовують значення координати тіла, його швидкість, прискорення тощо.

Фізичні величини позначають, як правило, латинськими літерами (наприклад, абсолютна температура позначається Т, маса - m, сила - ), і вони мають одиниці вимірювання. Кількість одиниць вимірювання -- це значення фізичної величини. Є основні одиниці вимірювання, які визначені системою СІ, та похідні з них. Визначити, як саме виражаються похідні одиниці вимірювання через основні, можна з відповідних формул залежностей між фізичною величиною, одиниці якої визначаємо, і величинами, які вимірюються основними одиницями СІ. Іноді значення фізичної величини записується за допомогою дробових та кратних величин, наприклад, 3 мА чи 5 кВт.

Функції та функціональні залежності між фізичними величинами. Одним із найважливіших понять у шкільному курсі математики є функція. Це пов'язано з тим, що, починаючи з XVII ст., воно відіграє значну роль у пізнанні реального світу.

На сучасному етапі розвитку математики функція визначається так: якщо величини х і у пов'язані так, що кожному значенню х відповідає певне значення у, то у називають (однозначною) функцією аргументу х.

Існує і філософський термін: Функція -- відношення двох або групи об'єктів, де зміна одного з них спричиняє зміну іншого.

У фізиці функція може розглядатися і з математичної, і з філософської точок зору. Тому, щоб відрізняти це поняття від математичного терміну функція, у фізиці використовуватимемо термін функціональна залежність. І хоча функції і функціональні залежності тісно пов'язані, повністю ці поняття ототожнювати не можна. Функція -- це модель залежностей між будь-якими об'єктами (у фізиці, зокрема). Тому інформація про функціональну залежність між величинами має бути докладнішою, ніж та, яку отримаємо з аналізу функції -- аналога.

Кажучи про функціональну залежність між фізичними величинами, слід пам'ятати, що значення фізичних величин (наприклад, шляху, часу, температури), отримані експериментально, не можуть чисельно дорівнювати будь-якому дійсному числу. Отже, в результаті експерименту маємо дискретну низку значень, тому говорити про безперервність, яка має місце при розгляді функцій-аналогів, можна лише з певною мірою наближення.

Крім того, області визначення і значень функціональних залежностей між фізичними величинами та області відповідних математичних моделей можуть не збігатися.

Відповідно до способу задання функціональної залежності (аналітичного, графічного або табличного) фізична задача розв'язується алгебраїчно, графічно або експериментально. Для цього треба знати і вміти:

-- розпізнавати вид функції за формулою;

-- визначати значення функції (аргументу) за відомим значенням аргументу (функції);

-- виражати одну величину через іншу в формулі;

-- досліджувати функцію;

-- будувати графік.

Розпізнавання виду функціональної залежності за формулою ускладнюється двома проблемами.

Перша проблема -- «символіка», тобто в різних ситуаціях використовуються однакові символи і, навпаки, в аналогічних ситуаціях використовуються різні позначення.

Наприклад, у формулі квадратичної функції

у = ах2 + bх + с,

х - аргумент, а в рівнянні абсциси рухомої матеріальної точки

x = xo + v0x + axt2/2,

х - функція.

Друга проблема полягає в тому, що не всі фізичні формули, які мають вигляд аналітичного задання якоїсь функції, є, в свою чергу, аналітичним заданням функціональної залежності між фізичними величинами.

Розберемо суть цієї проблеми. Розглянемо дві формули які випливають одна з однієї. Якщо перша формула -- закон Ома для ділянки кола -- задає пряму пропорційність (І від U), то друга не виражає функціональної залежності, адже опір провідника не залежить ні від прикладеної напруги, ні від сили струму.

Пригадаємо також поширене формулювання закону Ома для ділянки кола: сила струму на ділянці кола прямо пропорційна напрузі на його кінцях і обернено пропорційна його опору. Але опір даного кола -- стала величина, тому не може змінна величина (сила струму) залежати від сталої (опору). у формулі -- це коефіцієнт пропорційності в залежності сили струму від напруги.

Отже, правильно формулювати закон треба так: сила струму на ділянці кола прямо пропорційна напрузі на кінцях цієї ділянки при сталому опорові. |

Аналогічний приклад -- визначення електроємності С = q/U. Провівши аналогію з функціями y = kх (С =), не правильно вважати, що електроємність конденсатора прямо пропорційно залежить від його заряду і обернено пропорційно -- від різниці потенціалів на його пластинах. Фактично це не так: електроємність конденсатора не залежить ні від заряду, ні від різниці потенціалів. Аналогічний приклад - визначення густини: с = .

Проте у визначенні тиску p = залежності мають місце: прямо пропорційна між тиском і силою (при S = const) і обернено пропорційна між тиском і площею поверхні, на яку діє сила (при F = соnst).

Щоб вирішити вказані проблеми у конкретних випадках, рекомендується чинити так:

1) записати математичні формули, рівняння тощо в тій самій формі, з тими позначеннями і з тим же рівнем строгості, що і в математиці;

2) замінити математичні символи позначеннями фізичних величин;

3) проаналізувати отримані формули (рівняння, графіки тощо) з фізичної точки зору, тобто з'ясовувати, який фізичний зміст має вираз. При цьому треба пам'ятати, що число, функція, вектор, похідна -- математичні моделі, інструменти, за допомогою яких записуються, вимірюються й обчислюються фізичні величини.

Приклад зі згаданою формулою густини.

У формулі m = сV залежність маси тіла від його об'єму -- прямо пропорційна. Згадуємо і записуємо формулу функції прямої пропорційності

у = kх

Зіставляємо:

• об'єм V-- незалежна змінна x,

• маса m-- залежна змінна у,

• стала для даного тіла густина с -- стала k.

Проте х, у, k можуть бути будь-якими числами, а маса, густина й об'єм мають тільки додатні значення.

Цей алгоритм дій можна застосовувати при будь-якому використанні математичних знань.

Вектори і векторні фізичні величини. Одним із фундаментальних понять сучасної математики є вектор. Еволюція цього поняття відбувалася завдяки широкому використанню його в різних галузях математики, фізики і техніки.

Розвиток векторного числення відноситься до XIX ст. Праці К. Весселя, Ж.Аргана, Р.Грассмана, У.Гамільтона стали основою створення векторної алгебри і векторного аналізу, теорії поля, загальної теорії багатовимірного векторного простору.

Проте у фізиці ще в кінці XVI -- на початку XVII ст. Леонардо да Вінчі, Галілео Галілей та інші вчені користувалися напрямленими відрізками для наочного уявлення сил у фізиці.

Сьогодні в математиці на векторній основі викладається лінійна алгебра, аналітична й диференціальна геометрія, основні положення якої відіграють виключно важливу роль у сучасній фізиці.

Вектор у шкільному курсі геометрії визначається як напрямлений відрізок прямої, один кінець якого (точка А) називається початком вектора, інший кінець (точка В) -- кінцем вектора.

Насправді, вектор -- достатньо складне поняття, щоб визначити його в остаточному вигляді в шкільному курсі геометрії, тому що воно вводиться аксіоматично.

Вектор є елементом векторного простору. Векторний простір, у свою чергу, -- це множина Р із заданими на ньому двома операціями:

-- перша операція: кожній парі а і b елементів множини Р ставиться у відповідність третій елемент с, а+b=с (названий сумою);

-- друга операція: кожному елементу а з Р і будь-якого числа m R ставить у відповідність елемент mа з Р (названий добутком елемента а і числа m).

Крім того, ці операції мають деякі властивості (комутативність, асоціативність, існування нейтрального елемента, симетричного елемента та ін.)

Вектор характеризується напрямом і довжиною. Але існують об'єкти, в яких ці ознаки в явному вигляді не проявляються: множина лінійних функцій, множина квадратних тричленів та ін., які також є векторами.

Повністю ототожнювати поняття вектор і напрямлений відрізок не можна, бо можна зобразити зміну температури від 8°С до - 3°С, від 4°С до 11°С у вигляді напрямлених відрізків. Але не всі напрямлені відрізки мають відношення до векторів, тобто не кожен напрямлений відрізок є вектором, а лише той, який задає (зображає) елемент векторної природи.

Вектор векторної величини -- це її зображення у вибраному масштабі. Векторні величини мають розмірність, а вектори -- ні. Вектор і векторна величина відрізняються один від одного так само, як і число відрізняється від значення фізичної величини (наприклад, число 3 і значення шляху 3 м), як функція від функціональної залежності. Як було сказано вище, число, функція, вектор -- математичні моделі, за допомогою яких визначаються фізичні величини.

Усі дії з векторами справедливі і для векторних величин. Проте додавати можна будь-які вектори, а векторні величини можна додавати тільки однорідні, та й то не завжди (сили, прикладені до різних тіл, не мають рівнодійної).

Отже, коли кажуть «вектор швидкості», «вектор переміщення», то слід розуміти, що йдеться про зображення у вигляді напрямленого відрізка векторної величини у відповідному масштабі одиниць її вимірювання.

Модуль векторної величини -- це її значення або абсолютна величина. Краще використовувати термін «модуль», щоб уникнути використання словосполучення «абсолютна величина фізичної величини».

Треба звернути увагу й на те, що в підручниках із геометрії і фізики використовуються різні позначення векторів і модулів векторів. Так, у «Геометрії 7-9» О.В. Погорєлова введено два позначення в і , а використовується лише в ; позначення модуля вектора - | в |. У підручниках з фізики -- , , (оскільки позначення фізичної величини з рискою над нею -- це позначення середнього значення фізичної величини); модуль векторної величини -- | | і а, використовується лише а.

Слід звернути увагу на поширені помилки у запису векторних і скалярних рівностей. Неправильно записувати: = 3 м, оскільки вектор може дорівнювати тільки вектору. Правильно записати треба так: s = 3 м. Правильно казати: «модуль переміщення дорівнює трьом метрам». На практиці слово «модуль» іноді опускається, тобто кажуть, наприклад, «переміщення дорівнює 3 м», маючи на увазі, що «модуль переміщення дорівнює 3 м».

Інший приклад -- формулювання першого закону Ньютона або умови рівноваги твердого тіла, коли зазначається, що сума сил повинна дорівнювати нулю. Але нуль -- це число, а сума векторів - вектор. Тому треба казати: «сума сил повинна дорівнювати нульовому вектору».

Неправильно записувати х , оскільки sх -- це позначення проекції векторної величини -- переміщення на вісь х, а проекція -- скалярна величина.

Отже,

Правильно: Неправильно:

1) = , s = 0, 1) = 0,

1) 2) s = 3 м, 2) x

2) 3) sх , 3) A = * * cos б

4) A = *

A =| |* | |* ,

A = F * s *

Знання про векторні величини, їх вектори та проекції на вибрану вісь необхідні під час розв'язання задач з таких тем:

ь рух тіла (горизонтальний, вертикальний, рух тіла, кинутого горизонтально чи під кутом до горизонту);

ь складання переміщень, швидкостей, перехід в інші системи відліку;

ь рух тіла під дією декількох сил; умови рівноваги твердого тіла; закон збереження імпульсу; принцип суперпозиції полів.

Задачі розв'язують за алгоритмом:?

1) малюнок, на якому зображають вектори векторних величин та осі;

2) формула у векторному вигляді;

3) формула в проекціях векторних величин на обрані осі.

Рекомендується перед розв'язуванням блоку задач із цих тем повторити математичні навички: складання векторів, напрямлених уздовж однієї прямої і під кутом; знаходження синуса, косинуса і тангенса кута; знаходження проекцій на осі векторів, паралельних і перпендикулярних до них, напрямлених під кутом; розв'язування рівнянь, нерівностей та їх систем.

2.3 Використання інформаційних технологій в реалізації міжпредметних зв'язків

Проаналізувавши ряд педагогічних літературних джерел, можна сказати, що система роботи вчителя фізики в школі , по суті, є роботою викладача інтегрованого курсу математики, фізики та інформатики. Тому можна назвати переваги даного методу роботи: це змога реалізувати міжпредметні зв'язки, отримавши значну економію часу, що є однією з переваг. Поєднання вивчення математики, фізики та інформатики дає змогу значно інтенсифікувати процес навчання. Крім того, викладаючи три предмети, можна оперативно реагувати на нестикування в трактуванні споріднених питань, коригувати часові терміни вивчення деяких тем. Це доводиться робити досить часто, адже наявність різних рівнів вивчення і використання різних підручників призводить до неузгодженості програм. Але навіть у разі узгодження часових термінів іноді виникають розбіжності у трактуванні деяких питань, які докладно вивчаються на уроках математики, а застосовуються - на уроках фізики.

Згідно з дослідженнями американських вчених, комп'ютер з гарним програмним забезпеченням може скоротити термін навчання на третину. Але якщо переглянути шкільну програму з фізики чи математики, важко зробити висновок, що в загальноосвітній школі вже достатньо давно вивчається такий предмет, як основи інформатики та комп'ютерної техніки [3]. Але якщо сам курс математики та фізики не змінився, то мають змінитися методи їх викладання. А здійснити такі зміни під силу лише вчителеві, який одночасно викладає поряд з даними навчальними предметами ще й основи інформатики.

Зрозуміло, що запрограмувати окремі теми з фізики чи математики, написати серйозні програми з фізичного чи обчислювального практикуму вчитель не має змоги фізично. Проте і без цього роботи з реалізації міжпредметних зв'язків між математикою фізикою та інформатикою достатньо. Така робота ефективна ще й тому, що в учнів не потрібно додатково стимулювати інтерес до занять з комп'ютером, а в останні роки вже й відпала потреба навчати елементарних правил роботи за комп'ютером.

Досвідчені вчителі, працюючи в школі, починають застосовувати комп'ютери на уроці математики вже в 5 класі. Як правило, прийшовши з початкової школи, учні на перших уроках математики показують, що їх непогано навчили обчислювати та розв'язувати задачі. Але коли справа доходить до усних відповідей з вивченого матеріалу, то виявляється, що більшість з них не можуть чітко формулювати правила та означення.

Легко вивчати, користуючись комп'ютером, декартову систему координат на площині. Відповідна програма складається з двох частин. В першій з них потрібно вказати координати зображених точок. У другій, навпаки, знаючи координати точок, потрібно позначити їх на координатній площині. Якщо виникла помилка, то програма її фіксує і враховує під час виставлення оцінки, але відразу ж демонструє правильне розв'язування, щоб не повторилися аналогічні помилки.

Щодо навчальних і демонстраційних програм, то їх написання -- це складна і громіздка праця. Тому використовуються вже готові програмні продукти. На жаль, якість більшості з них далека від бажаної. Але є теми, які краще вивчати навіть за такими програмами. Зокрема, застосовують програми, що вчать будувати та досліджувати графіки. Комп'ютер допомагає наочніше викласти матеріал, в якому використовуються елементи обчислювальної математики, диференціального та інтегрального числення. Під час повторення для урізноманітнення уроків можна використовувати програми-довідники та -репетитори.

Використання на уроках такі програмних продуктів, як GRAN1, GRAN-2D, GRAN-3D, Графики 3.0.3, Advancer Grapher та інших підвищує ефективність уроку, але й має свої недоліки (потреба спеціальної підготовки учнів і вчителя для роботи саме з цією програмою, використання тільки на певних уроках певних тем).

Зручною у використанні і з цілою низкою корисних властивостей є програма Advanced Grapher. За допомогою цієї програми можна будувати графіки функцій, обчислювати значення функцій, проводити дослідження функцій. Вдалим є те, що можна будувати графіки кількох функцій в одній системі координат, змінюючи при цьому колір лінії графіка та її товщину.

Завдяки під'єднанню до світової мережі Інтернет та знайомством з пошуковими системами Yandex, Google, Rambler, Meta та іншими, надавати учням можливість знаходити інформацію, опрацьовувати її або знайти вказівки на друковані джерела

Проводити тестування за допомогою спеціальних тестових програм, що значно економить час на уроці та оперативно інформує про його результати. Існує багато тестерів - програм, які дозволяють вводити в тест певну кількість питань, варіювати складність завдань, створювати тести з однозначним результатом або з декількома відповідями. Наприклад, тестова програма «MyTestX»

Спрямовувати роботу в класі за допомогою електронних підручників на електронних носіях (ППЗ) та в мережі Інтернет on-line, наприклад на Освітньому інтернет-порталі «Нова школа». NOVASHKOLA.UA - перший, і, поки, єдиний портал в Україні, наповнений навчальним мультимедійним контентом, що схвалений МОН України. Там пропонується 45 шкільних предметів, на які є:

· 1813 уроків;

· 641 година флеш-анімації;

· понад 30 годин відзнятого відеоматеріалу;

· 7252 інтерактиви,;

· понад 3000 корисних посилань, спеціально відібраних у Веб-мікс;

· бібліотеки електронних наочностей;

· тестові програми для підготовки до ЗНО;

· програми для вивчення будь-якого предмета;

· конструктори уроків і багато іншого (Додоток 5).

Крім того є безліч інших сайтів, на яких учень може пройти тестування (є зразки незалежного тестування з математики за минулі роки) в системі on-line (безпосередньо в Інтернеті), повторити основні положення з будь-якої теми, самостійно опрацювати додатковий матеріал, спеціальний сайт для обдарованих дітей та багато інших корисних сайтів.

При позакласній роботі з предмета учні мають змогу створювати публікації (Publisher) за допомогою мультимедійних засобів. Це може бути стіннівка, інформаційний вісник, буклет, газета з різною кількістю сторінок, брошура, стендовий матеріал, роздаткові картки .

В своїй практичній роботі для створення і використання презентацій учням пропонується користуватися програмою Power Point з пакета Microsoft Office. Цей вибір пояснюється, перш за все, розповсюдженістю даного пакета та його уніфікованістю, доступністю та універсальністю. Вивчення цієї програми входить у навчальну програму вивчення інформатики.

На уроках фізики для контролю знань також застосовуються як тестові, так і конструювальні програми .

У збірнику задач з фізики (авт. Римкевич) є задачі, що розраховані на обчислення за допомогою програмного калькулятора. Користуючись комп'ютером, результати можна подати у більш наочній формі, їх легко аналізувати і за потреби модифікувати. Аналогічні переваги стосуються й обчислень під час лабораторних робіт.

Фізика -- наука насамперед експериментальна. Істинне наукове викладання її основ не може ігнорувати цього факту. Під час вивчення класичної фізики є деяка можливість провести фундаментальні експерименти. Інша справа з вивченням сучасної фізики, що виникла на межі XIX--XX ст. Її фундаментальні досліди складні щодо виконання, потребують дорогого обладнання і недоступні не тільки для шкільного лабораторного, а й для демонстраційного експерименту. До таких належать досліди Томсона з визначення питомого заряду електрона, Йоффе--Міллікена з вимірювання його заряду, досліди Резерфорда та деякі інші, з якими учнів бажано ознайомити. Комп'ютер дає змогу це зробити, використавши імітаційно-комп'ютерні моделі обладнання, з яким проводяться досліди, наприклад, «Бібліотека електронних наочностей : 7-9 класи» та «Бібліотека електронних наочностей 10, 11 класи» від «Квазар-мікро».

Суть роботи полягає в тому, що учням замість реального фізичного об'єкта пропонується робота з його віртуальним аналогом. При цьому комп'ютер тільки імітує фізичне явище, проте водночас виконує роль інструменту для його вивчення.

Іноді корисно проводити комп'ютерний експеримент для уточнення реальних досліджень під час вивчення класичної фізики. Наприклад, у оптиці -- це хід променів крізь трикутну призму. Комп'ютер дає змогу досить швидко дослідити цей процес з різними варіаціями. Під час вивчення механіки учням подобається програма, яка дає змогу досліджувати рух тіла, кинутого під кутом до горизонту.

На уроках інформатики намагаються розширити знання учнів з математики та фізики. А саме: складають програми, в яких використовуються елементи обчислювальної математики для розв'язування рівнянь та дослідження функцій. Це стосується і певного матеріалу з фізики.

Крім того, в інформатиці є теми, які значно розширюють знання учнів з математики (наприклад, розгляд систем числення) та фізики (наприклад, вивчення апаратної складової комп'ютера). Для розгляду таких тем використовують інтегровані уроки.

Окремо варто розглянути психологічний аспект, який відіграє особливу роль під час викладання одним учителем математики, фізики та інформатики в одному класі. Адже спілкування кожного дня по кілька годин (і це протягом кількох років) приводить до ідеального взаєморозуміння, що позитивно впливає на результати навчання [47]

На майбутнє бажано, щоб ще інтенсивніше використовували комп'ютер під час вивчення не тільки інформатики, а й математики та фізики. Адже з програмним забезпеченням справи налагоджуються. Маємо доступ до Інтернету, хоча й обмежений за часом і швидкістю доступу. Бажано найближчим часом придбати медіа-проектори для демонстрації зображень на великий екран. Адже для успішної роботи, як говорив «батько кібернетики» Норберт Вінер, потрібно «...віддати людині людське, а машині -- машинне».

Багато спеціалістів вважають, що в теперішній час тільки комп'ютер дозволить здійснити якісний ривок в системі освіти; існує думка, що комп'ютер зробить настільки ж серйозні зміни в психології навчання, які на початку минулого століття зробив конвеєр в автомобілебудуванні. Деякі навіть порівнюють його вплив на систему освіти з тим переворотом в людській культурі, який зробив книгодрукування. Звичайно, наївні припущення, що комп'ютер - не панацея, яка може розв'язати всі проблеми навчання, але недооцінювати можливості комп'ютера теж не слід . По-перше, комп'ютер значно розширив можливості презентування навчальної інформації. Використання кольору, графіки, мультиплікації, звука, всіх сучасних засобів відео -- техніки дозволяє утворити реальну обстановку діяльності. За своїми зображувальними можливостями, комп'ютер не поступає ні кіно, ні телебаченню [46, с.57].

По-друге, комп'ютер дозволяє посилити мотивацію навчання. Не тільки новизна роботи з комп'ютером, яка сама по собі нерідко сприяє підвищенню інтересу до навчання, але і можливість регулювати представлення навчальних задач за різним рівнем складності, оцінюючи розв'язки, не прибігаючи при цьому до повчань і догани, якими нерідко зловживають педагоги, позитивно позначаються на мотивації навчання.

Крім того, комп'ютер дозволяє повністю ліквідувати одну з найважливіших причин негативного відношення до навчання - неуспіх, обумовлений нерозуміннями суті проблеми, значними проблема в знаннях і т. д. Працюючи на комп'ютері, учень одержує можливість довести рішення будь-якого навчального завдання до кінця, оскільки йому надається необхідна допомога. Комп'ютер може впливати на мотивацію учнів, розкриваючи практичну суть матеріалу, який вивчається, надаючи їм можливість спробувати розумові сили і проявити оригінальність, поставивши цікаву задачу, задавати різні питання і пропонувати різні рішення без ризику отримати за це низький бал - все це сприяє формуванню позитивного відношення до навчання.

По-третє, комп'ютер активно залучає учнів в навчальний процес. Один із найбільш суттєвих недоліків існуючої системи навчання є в тім, що вона не забезпечує активного включення всіх учнів в навчальний процес. При цьому установка вчителя на середнього учня приводить до того, що найздатніші втрачають інтерес до матеріалу, який викладається, а найбільш слабкі навіть при бажанні не можуть активно включатися в навчальний процес. Саме ця обставина була одним з аргументів на користь програмного навчання, яке як передбачалось, повинне було стимулювати до активної роботи. Але таке навчання не забезпечувало одну з необхідних умов активного включення учнів в навчальний процес -- діалог навчаючого і того, хто навчається. Питання задаються учню, але сам він позбавлений такої можливості, що суттєво обмежує пізнавальну активність, особливо в тих випадках, коли учень зазнає певних ускладнень [46, с. 46].

По-четверте, набагато розширюються набори навчальних задач, які використовуються. Комп'ютери дозволяють успішно використовувати при навчанні задачі на моделювання різних ситуацій та явищ навіть в тім випадку, коли є велике число варіативних способів їх рішення. Розширюється також коло задач на планування, оскільки комп'ютер дозволяє оцінити оптимальність будь-якого рішення і може здійснювати постійний контроль за правильністю рішення. Вчителю таке не завжди під силу, особливо при великому числі неприпустимих розв'язків.

По-п'яте, комп'ютер дозволяє якісно змінити контроль за діяльністю учнів, забезпечуючи при цьому гнучкість управління навчальним процесом. Вчитель практично невмозі перевірити правильність рішення всіх задач, виконаних кожним із учнів, а комп'ютер дозволяє перевірити всі відповіді і виявляє характер помилки, що допомагає своєчасно ліквідувати причину, обумовлену її появою.

І нарешті, по-шосте, комп'ютер сприяє формуванню в учнів рефлексії своєї діяльності. Насамперед, комп'ютер дозволяє учням наочно представити результат своїх дій. До цих пір говорилося про ті переваги, які вносить у навчальний процес використання комп'ютера. Але, як і будь-який засіб, комп'ютер не є панацеєю від всіх педагогічних бід, більш того, з його використанням зв'язані свої біди, і про них не слід забувати. Необхідно чітко розрізняти недоліки, обумовлені недосвідченістю розробників тієї чи іншої комп'ютерної навчальної системи (які будуть програми без врахування дидактичних принципів), недоліки, обумовлені неповною реалізацією потенційних можливостей комп'ютера, і недоліки, обумовлені самою природою комп'ютера, як деякої технічної системи.

Більш суттєві причини невдалого використання комп'ютерів, коли не враховуються обмеження, які визначені самою природою цих пристроїв. Наприклад, можливість збоїв або відсутність таких аспектів взаємодії, як особисте спілкування вчителя і учня. Необхідно пам'ятати, що особистість може виховати тільки особистість. При оцінці ролі комп'ютера в здійснення реформи школи слід насамперед враховувати, які навчальні функції доцільно йому передати, пам'ятаючи при цьому, що комп'ютер є тільки засобом, а не суб'єктом навчальної діяльності, що він не більш чим помічник педагогу, а не його заміна. Не слід забувати і про таку небезпеку, як надмірне захоплення дітей комп'ютером.

При комп'ютеризації навчання, комп'ютер починає здійснювати визначний вплив на формування позитивного відношення до навчання тільки при роботі школярів з ефективними навчальними програмами. Такі програми передбачають ненав'язливий спосіб надання допомоги, можливість для учня самому вибрати темп навчання, наявність ігрових моментів, наявність ілюстративного характеру і т. д. Крім того, комп'ютер, своєчасно надаючи учню необхідну допомогу, позбавляє його почуття невдачі [23].

Висновок

Реалізація міжпредметних зв'язків сприяє систематизації, а отже, глибині і міцності знань, допомагає дати учням цілісну картину світу. При цьому підвищується ефективність навчання і виховання, забезпечується можливість наскрізного застосування знань, умінь, навичок, отриманих на уроках з різних предметів.

Навчальні предмети у відомому сенсі починають допомагати один одному. У послідовному принципі міжпредметних зв'язків містяться важливі резерви подальшого вдосконалення навчально-виховного процесу, що й розглянуто на прикладі міжпредметних зв'язків математики та фізики.

У І розділі даної роботи було висвітлено сутність поняття міжпредметних зв'язків у системі навчання, їх функції та класифікацію. Розглянуто більш докладно специфіку міжпредметних зв'язків математики та фізики, а також методи реалізації цих зв'язків.

У ІІ розділі визначено можливі причини того, що знання учнів з фізики та математики не завжди досить глибокі і міцні, і знайдені шляхи їхнього усунення. Зокрема, це вимоги:

- до використання єдиної символіки і термінології при позначенні одних і тих самих об'єктів дослідження як у фізиці, так і в математиці;

- до погодженого формування понять функція і функціональна залежність, вектор і векторна величина, до формування в школярів навичок застосування математичних методів і прийомів.

- до недоліків, що пов'язані з неузгодженим за часом календарним плануванням, недоліків в змісті підручників фізики і математики.

- до створення нових програм з математики та фізики, де будуть враховані вимоги узгодженого вивчення цих шкільних дисциплін.

Дана дипломна робота може бути корисна вчителям математики та фізики для підготовки та проведення уроків, а також студентам педагогічних ВУЗів та вчителям-початківцям.

Список використаних джерел

1. Біляніна О.Я. Алгебра: 8: підруч. для загальноосвіт. навч. закл. / О.Я.Біляніна, Н.Л.Кінашук, І.М.Черевко. - К.: Генеза, 2008. - 304 с.

2. Кравчук В. Алгебра: Підручник для 7 класу / В.Кравчук, Г.Янченко. - Тернопіль: Підручники і посібники, 2007. - 224 с.

3. Кравчук В. Алгебра: Підручник для 9 класу / В.Кравчук, Г.Янченко. - Тернопіль: Підручники і посібники, 2009. - 256 с.

4. Бевз В. Міжпредметні зв'язки як необхідний елемент предметної системи навчання/ Бевз В. // Математика в школі. - 2003.-№ 6.- С. 6 -11.

5. Бєлєнький Г.І. Про освітньо-виховні аспекти міжпредметних зв'язків / Г.І. Бєлєнький / / Радянська педагогіка. - 1991. - № 5. - С. 56 - 61.

6. Бібік Г.В. Шляхи підвищення ефективності уроку математики: наук. пошук / Г.В. Бібік // Випуск наукових робіт. -- Херсон, 2004. - С. 45-52.

7. Мануйлов В.Г. Power Point 2007 в уроках / Мануйлов В.Г. - М.: Информатика и образование, 2008. - 125 с.

8. Возна М. Про встановлення взаємоузгодженості програм з математики та суміжних дисциплін / М. Возна, М. Гром'як // Математика в школі. - 2003. - № 6. - С.8-11.

9. Єршова А.П. Геометрія. 8 клас: Підруч. для загальноосвіт. навч. закл. / А.П.Єршова, В.В.Голобородько, О.Ф.Крижановський, С.В.Єршов. - Х.: АН ГРО ПЛЮС, 2008. - 256 с.

10. Єршова А.П. Геометрія. 9 клас: Підруч. для загальноосвіт. навч. закл. / А.П.Єршова, В.В.Голобородько, О.Ф.Крижановський, С.В.Єршов. - Х.: Вид-во «Ранок», 2009. - 256 с.

11. Бурда М. Геометрія: Підручник для 7 класу / М. Бурда, Н.Тарасенкова. - Видавництво «Зодіак-ЕКО, 2007. - 206 с.

12. Гур'єв А.І. Міжпредметні зв'язки - теорія і практика / Гур'єв А.І. / / Наука і освіта. - 1998. - № 2. - С. 10-14.

13. Гур'єв А.І., Міжпредметні зв'язки в теорії та практиці сучасної освіти / Гур'єв А.І. / / Інноваційні процеси в системі сучасної освіти. Матеріали Всеросс. науково-практ. конференції, Горно-Алтайськ, 1999. - С. 55-61.

14. «Інформаційні та комунікаційні технології в освіті і науці».- Державна програма на 2006-2010 роки, затверджена постановою Кабінету Міністрів України від 07.12.2005 №1153.

15. Дніпренко В.І. Інноваційні технології навчання на основі міжпредметних зв'язків фізики і математики : Інтегровані уроки / В.І. Дніпренко, О.М. Ковальчук // Фізика в школах України.- 2007.- № 10.- С. 1-16.

16. Єршов А.П. Компьютеризация школы и математическое образование // Информатика и образование. - 1992. -№ 5-6. - С.3-12.

17. Єфремова О.І. Міжпредметні зв'язки фізики і математики у 9 - 11 класах середньої загальноосвітньої школи / О.І. Єфремова: Автореферат. дис. на здобуття наук. ступеня канд. пед. наук. - К.: НПУ, 2001. - 20 с.

18. Єфремова О.І. Зустрічі фізики й математики у середній школі / О.І. Єфремова, Г.Б. Редько // Фізика. - 2005. - № 30. - С. 1-12.

19. Жалдак М.І. Компютер на уроках математики: Посібник для вчителів / М.І. Жалдак - К.: Техніка, 1997. - 304 с.

20. Інноваційні інформаційно-комунікаційні технології навчання математики. Електронний посібник (за ред. М.І. Жалдака). - 2010.

21. Кондратьєва Л.І. Календарно-тематичне планування з математики. 5-11 класи / Кондратьєва Л.І., Тепцова О.М. - Тернопіль : Підручники і посібники, 2012. - 96 с.

22. Трофімчук А.Б. Календарно-тематичний план з фізики. 7-10 класи / А.Б. Трофімчук, Я.Ф. Левшенюк. - Х. : Видавництво «Ранок», 2010. - 64 с.

23. Кац М. Физический материал на уроках математики // Математика.-2001.-№2.- С.15-17.

24. Коржуев А.В. Методические основи реализации сущностного подхода при обучении физике в средней школе / А. В. Коржуев. -- М., 1998. - 98 с.

25. Красуцька О.Л. Інтеграція фізики і математики в загальноосвітній школі / О.Л. Красуцька // Фізика в школах України.- 2006.- № 8. - С. 2-4

26. Ляшенко О.І. Навчальна програма з фізики для 7-9 класів загальноосвітніх навчальних закладів / О.І. Ляшенко, В.Г. Бар'яхтар, Л.Ю. Благодаренко, М.В. Головко та ін. - К. : Видавничий дім «Освіта», 2012. - 30 с.

27. Навчальні програми для загальноосвітніх навчальних закладів: Математика; Інформатика. 5-9 класи. - К. : Видавничий дім «Освіта», 2013. - 96 с.

28. «Про проведення експерименту за програмою «Intel ® Навчання для майбутнього», щодо навчання вчителів використанню інформаційно-комунікаційних технологій у навчально-виховному процесі». - Наказ МОН України №749 від 22.09.2004 р..

29. Некоторые особенности межпредметных связей при изучении физики и математики // Терпилин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики: Книга для учителя. - М.-1990.-Гл.III.-с.82-86.

...