Методика преподавания темы "Фигуры вращения" в классах естественно-математического профиля

Примерная программа по геометрии, составленная на основе ФГОС среднего (полного) общего образования, на базовом уровне предполагает изучение прямых круговых цилиндра и конуса, усечённого конуса, их осевых сечений, развёрток и площадей поверхностей. На углублённом уровне в эту тему также могут быть включены цилиндрические и конические сечения, вписанные и описанные конусы и цилиндры, решение задач на различные комбинации цилиндров, конусов и многогранников. Цилиндр, конус, усечённый конус, шар называют также круглыми телами.

Урок 1. Определение цилиндра и его элементов

Цель урока: познакомить учащихся с понятием цилиндра и элементами прямого кругового цилиндра, сформировать начальные представления о сечении круглых тел.

Тип урока: изучение нового материала.

Реализация целей обучения (включая УУД): формирование системных представлений учащихся об одном из основных тел вращения; развитие умений изображения круглых тел; развитие коммуникативных навыков при устных ответах.

I. Изучение нового материала

Слово «цилиндр» часто встречается в технике. Цилиндры обычно представляют себе круглыми, т. е. с «круглыми» основаниями. В общем же случае цилиндр можно определить так.

Пусть даны две параллельные плоскости и (рис.15) и на плоскости задана некоторая замкнутая фигура.

Рис. 15

Из всех точек фигуры проведём параллельные друг другу отрезки до плоскости. При этом концы отрезков образуют на плоскости фигуру. Цилиндром называется фигура, образованная всеми параллельными отрезками, соединяющими точки фигуры с точками фигуры.

Цилиндр называется прямым, если отрезки, образующие его, перпендикулярны к плоскостям и. В противном случае цилиндр называется наклонным.

Рассмотрим прямой цилиндр, основание которого - круг. Такой цилиндр может быть определён как тело вращения.

Определение. Прямым круговым цилиндром называется тело, которое образуется при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону.

На рисунке 16 изображён прямой круговой цилиндр, полученный вращением прямоугольника вокруг прямой.

Далее будем рассматривать только прямой круговой цилиндр и называть его, для краткости, просто цилиндром.

Элементы цилиндра

Ось цилиндра - отрезок оси вращения, заключённый внутри цилиндра.

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением.

Основания цилиндра - круги, образованные вращением двух сторон прямоугольника, смежных с осью вращения. Длина этих сторон называется радиусом основания цилиндра (рис. 16).

Высота - расстояние между основаниями цилиндра. Заметим, что ось прямого кругового цилиндра является его высотой.

Образующие цилиндра - отрезки, соединяющие точки окружности одного основания с точками окружности другого основания и параллельные оси вращения. Все образующие составляют боковую поверхность цилиндра.

Рис. 16 Рис. 17

Изображение цилиндра

Для изображения цилиндра достаточно построить два одинаковых эллипса и две касательные к ним, изображающие его образующие.

Распространённой ошибкой в изображении цилиндра является то, что «крайние» образующие используют для изображения осевого сечения, при этом полагая, что они касаются оснований цилиндра в точках, являющихся концами диаметра (рис. 17) [6]. Вместо этого осевое сечение лучше изобразить так, как показано на рисунке 16.

II. Закрепление нового материала

Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям?

Какой фигурой является осевое сечение цилиндра?

Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси?

Задача 2.4. Радиус основания цилиндра равен 2 м, а высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.

Ответ: 5 м.

Задача 2.5 Осевое сечение цилиндра - квадрат, площадь которого равна______

. Найдите площадь основания цилиндра.

Размещено на http://www.allbest.ru/

_________

Решение. Сторона квадрата равна. Она равна диаметру основания.

Размещено на http://www.allbest.ru/

_________

Поэтому площадь основания равна.

Ответ:

________

III. Домашнее задание

Задача 2.6. Через образующую цилиндра проведены два взаимно перпендикулярных сечения, площадь каждого из которых равна. Найдите площадь осевого сечения.

Урок 2. Развёртка и площадь поверхности цилиндра

Цель урока: ввести понятия развёртки цилиндра и развёртки боковой поверхности цилиндра, вывести формулу её площади.

Тип урока: комбинированный (изучение нового материала, решение задач) Реализация целей обучения (включая УУД): развитие пространственных представлений учащихся; формирование представлений о математике как о методе познания действительности; иллюстрация применения геометрических понятий в реальной жизни.

I. Подготовка к введению нового материала

Задача 2.7. [28, 11 класс, с. 128] На внутренней стенке стеклянной цилиндрической банки в трёх см от верхнего края виднеется капля мёда. А на наружной стенке в диаметрально-противоположной точке уселась муха. Чему равен кратчайший путь, по которому муха может доползти до медовой капли? Диаметр банки 12 см.

Решение. Для решения задачи представим, что мы можем развернуть поверхность банки в плоскую фигуру. Тогда мы получим прямоугольник (рис.18), основание которого равно длине окружности основания банки, то есть____ см. Точками и отметим положения мухи и капли мёда на поверхности банки.

Рис. 18

Для того чтобы муха попала из точки в точку, ей необходимо переползти край банки в некоторой точке. Теперь наша задача сводится к тому, чтобы на стороне прямоугольника найти такую точку, что сумма расстояний от этой точки до точек и будет наименьшей. В этом случае поступают следующим образом: строят точку, симметричную точке относительно стороны прямоугольника и проводят отрезок. Этот отрезок пересекает сторону прямоугольника в искомой точке.

Так как муха и капля мёда были расположены в диаметрально противоположных точках, то см. Высота треугольника по условию равна 3см.

Таким образом, то есть кратчайший путь между мухой и каплей мёда равен_____ (см). Найдя кратчайший путь на развёрнутом прямоугольнике, свернём его снова в цилиндр и узнаем, как должна двигаться муха, чтобы расстояние до капли мёда было наименьшим.

Ответ: _____см.

II. Изучение нового материала

Пусть дан цилиндр с высотой и радиусом основания. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей и развернули на плоскость. В результате получился прямоугольник, стороны и которого представляют собой два края разреза боковой поверхности цилиндра (рис. 19). Этот прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра.

Рис. 19

Следует заметить, что развёртка поверхности вращения - понятие в определённой мере интуитивное [23]. Не для каждой поверхности вращения можно определить её развёртку. Другими словами, не каждую поверхность можно «развернуть» на плоскость. Например, не существует развёртки для сферы.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки.

Так как площадь прямоугольника равна_ то для вычисления площади боковой поверхности цилиндра с радиусом основания и высотой получается формула___.

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна, то для вычисления площади полной поверхности цилиндра получаем формулу________.

III. Закрепление нового материала

Задача 2.8. Один цилиндр получен вращением в пространстве прямоугольника вокруг прямой, а другой - вращением того же прямоугольника вокруг прямой, при этом,.

а) Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндров равны.

б) Найдите отношение площадей полных поверхностей цилиндров.

Решение.

а) Площади боковых поверхностей обоих цилиндров равны___.

б) Так как площадь основания первого цилиндра равна____, а второго____, то отношение площадей полных поверхностей двух цилиндров равно Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ответ:._____

IV. Домашнее задание

Задача 2.9. Сколько квадратных метров листовой жести пойдёт на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади её боковой поверхности?

Урок 3. Цилиндры, вписанные в призму и описанные около призмы

Цель урока: ввести понятие цилиндра, вписанного в призму и описанного около призмы с целью решения задач различного уровня трудности на комбинацию призмы и цилиндра.

Тип урока: изучение нового материала.

Реализация целей обучения (включая УУД): развитие изобразительных умений (при изображении вписанных и описанных призм); повторение фактов планиметрии; иллюстрация решения задачи разными способами.

I. Изучение нового материала

Определение. Прямая призма называется вписанной в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра. При этом цилиндр называется описанным около призмы.

Ясно, что около прямой призмы можно описать цилиндр тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность.

Определение. Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра и не имеющая с цилиндром других общих точек.

На рисунке 20 касательная плоскость проходит через образующую цилиндра. Заметим, что касательные (прямые) к окружностям оснований цилиндра, проходящие через точки и_____ лежат в плоскости. Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу окружности, проведённому в точку касания. Поэтому касательная плоскость перпендикулярна к плоскости осевого сечения цилиндра, проходящего через образующую.

Рис. 20

Определение. Прямая призма называется описанной около цилиндра, если её основания описаны около оснований цилиндра. При этом цилиндр называется вписанным в призму.

Ясно, что в прямую призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда в её основание можно вписать окружность.

II. Закрепление нового материал

2.10. Можно ли описать цилиндр около: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) наклонного параллелепипеда; г) прямой треугольной призмы; д) правильной шестиугольной призмы?

Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) да; д) да.

Можно ли вписать цилиндр в: а) куб; б) прямоугольный параллелепипед; в) наклонный параллелепипед; г) прямую треугольную призму; д) правильную шестиугольную призму?

Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) да; д) да.

Можно ли куб описать вокруг цилиндра?

Ответ: не всегда.

2.13. В каком случае к двум цилиндрам можно провести общую касательную плоскость?

Ответ. Если оси цилиндров параллельны и один из них не содержится в другом.

Задача 2.14. В цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна, вписана правильная n-угольная призма и около этого цилиндра описана правильная n-угольная призма. Найдите площадь боковой поверхности: a) вписанной призмы; б) описанной призмы.

Замечание. Иногда за площадь боковой поверхности цилиндра принимают предел последовательности боковых поверхностей правильных вписанных в цилиндр (или описанных около цилиндра) n-угольных призм при._____. Действительно,

__________

где

____- периметр основания призмы,

____- её высота. Для правильных вписанных в цилиндр призм - постоянная величина, равная высоте цилиндра, а предел последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность, равен длине этой окружности. Таким образом, вновь получаем: [23].

III. Домашнее задание Задача 2.14, б.

Урок 4. Сечения цилиндра плоскостью

Цель урока: обобщить представления учащихся о сечениях цилиндра плоскостью; рассмотреть задачи, требующие комплексного применения знаний по пройденной теме.

Тип урока: комбинированный (изучение нового материала и комплексное применение знаний и умений учащихся).

Реализация целей обучения (включая УУД): иллюстрация связи между плоскими фигурами и телами вращения; комплексное применение знаний учащихся к решению задач повышенной трудности; применение методов информационного поиска.

I. Изучение нового материала

Так как цилиндр является телом вращения, то любое его сечение плоскостью, перпендикулярной оси, есть круг. Если секущая плоскость пересекает ось цилиндра и не перпендикулярна ей, то в сечении может получиться эллипс или некоторая его часть (рис. 21). Действительно, если мы представим себе наклонённый стеклянный сосуд с водой, то на её поверхности увидим эллипс.

Рис. 21

II. Обобщение и систематизация знаний

Задача 2.15. Высота цилиндра равна 6, а радиус основания - 5. Концы отрезка принадлежат окружностям обоих оснований, а его длина равна 10. Найдите кратчайшее расстояние от этого отрезка до оси цилиндра.

Задача 2.16. Высота цилиндра равна 2, а радиус основания - 7. В этот цилиндр наклонно к его оси вписан квадрат так, что все вершины квадрата находятся на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата.

I. Домашнее задание

Ознакомиться с дополнительным материалом о связи сечений цилиндра и тригонометрических функций (например, по учебнику [28, 11 класс, с. 126]).

Урок 5. Решение дополнительных задач по теме «Цилиндр»

Цель урока: научиться применять полученные знания к решению задач повышенной трудности; осуществить письменную проверку знаний и умений учащихся по теме «Цилиндр».

Тип урока: комбинированный (обобщение, систематизация и проверка знаний и умений учащихся).

Реализация целей обучения (включая УУД): отработка навыков решение задач, требующих комплексного применения знаний по теме «Цилиндр»; актуализация знаний перед самостоятельной работой; выявление степени усвоения знаний и умений решения базовых задач по данной теме.

I. Решение задач. Применение знаний в новой ситуации

Задача 2.17. Цилиндр с высотой 6 и радиусом основания 4 имеет с каждой из параллельных плоскостей одну общую точку. В каких пределах может измеряться расстояние между этими плоскостями?

Задача 2.18. Две противоположные вершины единичного куба совпадают с центрами оснований цилиндра, а остальные вершины расположены на боковой поверхности цилиндра. Найдите высоту и радиус основания цилиндра.

II. Самостоятельная работа «Цилиндр» Таблица 1

I вариант	II вариант
№ 1. Отрезок, соединяющий точки	№ 1. Отрезок, соединяющий точки
окружностей верхнего и нижнего	окружностей верхнего и нижнего
оснований цилиндра, равен 12 см и	оснований цилиндра, лежит на прямой,
образует с плоскостью основания угол 60.	удалённой от оси цилиндра на 2 см и
Прямая, на которой лежит данный отрезок,	образующей с плоскостью основания
удалена от оси цилиндра на 4 см. Найдите	угол 60 П е я данн г т е а на
площадь осевого сечения цилиндра.	ть н ан я а на
	Найдите площадь осевого сечения
	цилиндра.
№ 2. Вокруг правильной треугольной	№ 2. В цилиндр вписана правильная
призмы описан цилиндр, площадь боковой	треугольная призма. Сторона её
поверхности которого равна Найдите	основания равна, а диагональ
сторону основания призмы, если её	боковой грани 6. Найдите площадь
боковое ребро равно.	боковой поверхности цилиндра.

Ответы и указания к самостоятельной работе № 1.

Ответы: (I вариант),(II вариант) 96. Решения - см. задачу 2.15.

Конус

Урок 1. Определение конуса и его элементов

Цель урока: познакомить учащихся с понятием конуса и элементами прямого кругового конуса.

Тип урока: ознакомление с новым материалом.

Реализация целей обучения: изучение нового математического объекта (конус) с целью его применения при решении задач; развитие навыков изображения тел вращения и вычислительных навыков.

I. Изучение нового материала

Пусть F - замкнутая плоская фигура, и S - точка пространства, не принадлежащая плоскости фигуры (рис. 22). Множество отрезков, соединяющих точку S c точками фигуры F, образуют конус.

Рис. 22

В зависимости от фигуры, конус может быть эллиптическим ( - эллипс), параболическим ( - парабола) и др.

Рассмотрим частный случай, когда - круг.

Определение. Тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет, называется прямым круговым конусом.

На рисунке 23 изображен прямой круговой конус, полученный вращением прямоугольного вокруг катета.

Далее будем рассматривать только прямой круговой конус и называть его, для краткости, просто конусом.

Элементы конуса

Рис. 23

Ось конуса - отрезок оси вращения, заключённый внутри конуса.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса, называется осевым сечением.

Основание конуса - круг, образованный вращением катета, не лежащего на оси. Длина этого катета называется радиусом основания конуса.

Вершина конуса - вершина острого угла вращающегося треугольника, лежащая на оси вращения.

Высота - расстояние между вершиной конуса и плоскостью основания.

Заметим, что ось прямого кругового конуса является его высотой.

Образующие конуса - отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности его основания.

Все образующие составляют боковую поверхность конуса.

Изображение конуса

Для изображения конуса достаточно построить: эллипс, изображающий окружность основания конуса; центр этого эллипса; отрезок, изображающий высоту конуса; касательные прямые и к эллипсу. Для достижения наглядности, невидимые линии изображают штрихами (рис. 24).

Необходимо заметить, что отрезок не проходит через точку, то есть не является диаметром основания конуса. Поэтому не является осевым сечением конуса.

II. Закрепление нового материала

Сколько образующих имеет конус?

Какой фигурой является осевое сечение конуса?

Какой фигурой является сечение конуса плоскостью, параллельной основанию?

Рис. 24

Что является геометрическим местом точек, равноудалённых от всех образующих конуса?

Задача 3.5. Радиус основания конуса равен 4 м, а высота 3 м. Найдите образующую конуса.

Ответ: 5 м.

3.6. (Устно.) Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом. Найдите радиус основания конуса.

Ответ:.

Задача 3.7. Отношение площади основания конуса к площади осевого сечения равно. Найдите угол наклона образующей к плоскости основания.

Решение. Пусть - радиус основания, а - высота конуса. Тогда площадь основания конуса равна, а площадь осевого сечения -.

По условию ______ откуда получаем ______.

Это означает, что в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей конуса, равны катеты. То есть угол наклона образующей к плоскости основания равен.

Ответ:

III. Домашнее задание

Задача 3.8. Высота конуса равна радиусу его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 90. Найдите площадь получившегося сечения.

Урок 2. Площадь поверхности конуса. Усечённый конус

Цель урока: вывести формулы для боковой и полной поверхностей конуса и усечённого конуса с целью применения их при решении задач.

Тип урока: изучение нового материала.

Реализация целей обучения (включая УУД): самостоятельный поиск путей решения поставленных задач; использование ранее изученного материала для вывода новой формулы; развитие пространственных представлений учащихся.

I. Изучение нового материала

Боковую поверхность конуса можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса (рис. 25).

Рис. 25

Рассматривая площадь боковой поверхности конуса, рассматриваем площадь её развёртки.

Обозначим - радиус основания конуса, - его образующая и выразим площадь боковой поверхности конуса.

Усечённый конус

Пусть дан конус с вершиной и центром основания (рис. 26). Проведём плоскость, параллельную плоскости основания конуса и пересекающую высоту конуса в точке. Эта плоскость пересекает конус по кругу и разбивает на два тела: одно из них является конусом, а другое называют усечённым конусом.

Рис. 26

Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Круги, полученные вращением оснований трапеции, называют основаниями усечённого конуса.

Высотой усечённого конуса называют перпендикуляр, проведённый из какой-либо точки одного основания к плоскости другого основания.

Отрезки образующих данного конуса, заключённые между основаниями усечённого конуса, называют образующими усечённого конуса.

Так как все образующие прямого кругового конуса равны, то равны и образующие усечённого конуса.

Упражнение. Выразите площадь боковой поверхности усечённого конуса через радиусы оснований, и образующую.

Пусть - вершина конуса (рис. 27), из которого получен усечённый конус; и - центры нижнего и верхнего оснований усечённого конуса с радиусами и соответственно. - одна из образующих усечённого конуса. Площадь боковой поверхности усечённого конуса найдём как разность площадей поверхностей двух конусов с общей вершиной и основаниями с центрами.

Рис. 27

II. Закрепление нового материала

Задача 3.9 (Устно.) Радиусы оснований усечённого конуса равны и (, а образующая наклонена к плоскости основания под углом. Найдите длину образующей. Ответ:.

III. Домашнее задание

Задача 3.10. Дан конус, у которого радиус основания равен 39, а высота - 52. В него вписан цилиндр (т. е. основания цилиндра и конуса совпадают и их высоты равны) такой высоты, что его боковая поверхность равновелика боковой поверхности малого конуса, стоящего на верхнем основании цилиндра. Найдите высоту цилиндра.

Урок 3. Конусы, вписанные в пирамиду и описанные около пирамиды

Цель урока: рассмотреть понятия вписанного в пирамиду конуса и описанного около пирамиды конуса с целью применения их при решении задач.

Тип урока: комбинированный.

Реализация целей обучения (включая УУД): развитие умений действовать по аналогии; развитие коммуникативных навыков; повторение фактов планиметрии о вписанных (описанных) окружностях.

I. Подготовка к изучению нового материала

Вспомнить определения для вписанных и описанных цилиндров и призмы и попытаться сформулировать аналогичные определения для конуса и пирамиды.

II. Изучение нового материала

Определение. Пирамида называется вписанной в конус, если у них общая вершина, а основание пирамиды вписано в основание конуса. При этом конус называется описанным около пирамиды.

Определение. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и не имеющая с конусом других общих точек.

Определение. Пирамида называется описанной около конуса, если её основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется вписанным в пирамиду.

Ясно, что около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность. Аналогично для вписанной пирамиды: в пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда в её основание можно вписать окружность.

III. Закрепление нового материала. Дополнение теории

3.11.1) Можно ли вписать конус в: а) треугольную пирамиду;

б) четырёхугольную пирамиду, в основании которой прямоугольник;

в) четырёхугольную пирамиду, в основании которой ромб; г) правильную шестиугольную пирамиду? 2) Можно ли описать конус вокруг этих фигур?

Ответы:1): а) да; б) нет; в) да; г) да;

2): а) да; б) да; в) нет; г) да.

Задача 3.12.В конус, диаметр основания которого равен его образующей, вписаны правильные треугольная, четырёхугольная и шестиугольная пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности каждой пирамиды [22].

Рис. 28

Замечание. Используя формулу площади боковой поверхности конуса, можно вычислить отношение площадей боковых поверхностей пирамиды и конуса для каждой из трёх пирамид в предыдущей задаче.

Площадь боковой поверхности конуса с радиусом основания и образующей равна. Тогда для правильной треугольной пирамиды это отношение равно______, для четырёхугольной пирамиды _____, а для шестиугольной -______

Рассматривая вписанные в конус правильные n-угольные пирамиды, мы увидим, что отношение н _______ стремится к 1 при увеличении. Это означает, что при ____ площадь боковой поверхности угольной пирамиды, вписанной в конус, стремится к площади боковой поверхности конуса.

Действительно, площадь боковой поверхности правильной - угольной пирамиды равна, ________

где - апофема (высота боковой грани пирамиды, проведённая к основанию), а - периметр основания пирамиды. При длина апофемы стремится к длине образующей конуса, а периметр основания пирамиды стремится к длине окружности основания конуса, т.е.

Задача 3.13. В тело, полученное вращением прямоугольного треугольника с катетами и 2 вокруг гипотенузы, вписана правильная треугольная призма, боковая сторона которой - квадрат, а основания перпендикулярны оси вращения. Найдите ребро призмы.

Урок 4. Конические сечения

Цель урока: ознакомление учащихся с кривыми, получающимися в результате сечения конуса плоскостью.

Тип урока: изучение нового материала.

Реализация целей обучения (включая УУД): иллюстрация связи математических моделей с реальной жизнью; расширение кругозора учащихся; анализ объектов и выдвижение гипотез с целью нахождения путей решения представленных задач.

I. Изучение нового материала

Рассмотрим конус с вершиной и плоскость, которая пересекает этот конус. Исследуем различные случаи сечений конуса плоскостью.

Ранее мы рассмотрели случай, когда плоскость проходит через вершину конуса и его ось - это осевое сечение. Так как образующие конуса равны, то все осевые сечения являются равнобедренными треугольниками. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, пересекает его, но не проходит через ось, то в сечении также получается равнобедренный треугольник (рис. 29).

Так как прямой круговой конус - это тело вращения, то любое его сечение плоскостью, перпендикулярной оси вращения, есть круг.

Если плоскость пересекает все образующие конуса и не перпендикулярна его оси, то в сечении получим эллипс (рис. 30).

Если плоскость параллельна одной из образующих конуса и пересекает все остальные образующие (или их продолжения), то в сечении получим параболу (рис. 31).

Рис. 30 Рис. 31 Рис. 32

И, наконец, если плоскость параллельна оси конуса, то в сечении получим одну ветвь гиперболы (рис. 32).

Невырожденные случаи конических сечений: эллипс (круг можно считать частным случаем эллипса), параболу и гиперболу иногда называют кониками.

Исторические сведения

Конические сечения, или коники, были известны ещё математикам Древней Греции.

Так, древнегреческий учёный Менехм пользовался параболой и гиперболой для решения знаменитой задачи удвоения куба. Исследовали свойства конических сечений Евклид и Архимед. Полное и систематическое учение об этих кривых было изложено Аполлонием Пергским в восьмитомном труде «Конические сечения». Там он впервые показал, как можно получить эти кривые, рассекая один и тот же конус плоскостью под разными углами.

Конические сечения играют важную роль в природе и технике. Например, по эллиптическим, параболическим и гиперболическим орбитам движутся тела в поле тяготения.

Так, если скорость космического корабля при выходе на орбиту Земли составляет 7,9-11,1 км/с (первая космическая скорость), то он будет двигаться вокруг Земли по эллиптической орбите.

Если его скорость составляет 11,2-16,7 км/с (вторая космическая скорость), то он будет двигаться по параболической орбите и покинет зону земного притяжения. Однако он не сможет выйти за пределы Солнечной системы.

Если же его скорость больше 16,7 км/с (третья космическая скорость), то он будет двигаться по гиперболической орбите и уйдёт за пределы Солнечной системы [1, 24].

II. Закрепление нового материала

3.14. Через центр основания конуса и середину образующей проведена плоскость. Что представляет собой сечение конуса этой плоскостью?

Ответ: фигура, ограниченная параболой, так как это сечение параллельно одной из образующих конуса.

Задача 3.15. (Устно.) В конусе проведено сечение, параллельное основанию. Какую часть составляет его площадь от площади основания, если оно проведено через середину оси?

Ответ: четвёртую часть.

Задача 3.16. Радиус основания конуса не превосходит его высоты. Какое сечение конуса, проходящее через его вершину, имеет наибольшую площадь?

Решение. Пусть - осевое сечение конуса (рис. 33) и - ещё одно сечение конуса, проходящее через его вершину и отличное от осевого сечения. Сравним площади этих сечений.

Так как, то отношение площадей этих сечений зависит только от величины синусов углов и_____., так как хорда короче диаметра.

Рис. 33

По условию, радиус основания не превосходит высоты конуса. Это означает, что, тогда.

Из того, что следует, что, откуда, в свою очередь, получаем, что.

Так как сечение мы выбрали произвольно, то при данных условиях площадь осевого сечения является наибольшей среди площадей всех сечений, проходящих через вершину конуса.

Ответ: осевое сечение.

III. Домашнее задание

Задача 3.17. Может ли площадь осевого сечения конуса быть меньше площади сечения, проходящего через вершину конуса и отличного от осевого?

Ответ. Да, может. Например, если угол между образующими в осевом сечении конуса равен, а угол между образующими в сечении равен 90.

Урок 5. Письменная проверка знаний по теме «Конус»

Цели урока: выявить степень усвоения знаний и навыков решения базовых задач по теме «Конус».

Тип урока: урок контроля и оценки знаний и умений.

Самостоятельная работа

Таблица 2

I вариант	II вариант
№ 1. В конус вписана правильная четырёхугольная пирамида. Найдите площадь боковой поверхности этого конуса, если высота пирамиды равна 8, а диагональ основания 12.	№ 1. Вокруг правильной четырёхугольной пирамиды описан конус, высота которого равна 12. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если боковое ребро пирамиды равно 13.
№ 2. Образующая усечённого конуса равна 6 и наклонена к плоскости основания под углом 60. Диагональ осевого сечения делит этот угол пополам. Найдите площадь осевого сечения.	№ 2. Высота усечённого конуса равна . Диагональ осевого сечения конуса образует с плоскостью основания угол 30 и перпендикулярна образующей. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Ответы к самостоятельной работе

№1. (I вариант) 60, (II вариант) 65.

№2. (I вариант), (II вариант).

Шар и сфера

Урок.1. Определение шара, его частей, сферы и их элементов

Цель урока: введение основных понятий, касающихся сферы и шара (в том числе, понятий шарового сектора, пояса, сегмента, кольца с целью дальнейшего нахождения их объёмов); первичное закрепление новых понятий.

Тип урока: изучение нового материала.

Реализация целей обучения (включая УУД): формирование у обучающихся системных представлений о шаре и сфере, их значении в науки и повседневной жизни; развитие умений изображения сферы; иллюстрация связей между плоскими фигурами и объёмными телами.

I. Изучение нового материала

Шар - одна из простейших, но очень богатых разнообразными и важными свойствами фигура. О геометрических свойствах шара и сферы написаны целые книги. Некоторые из этих свойств были известны ещё древнегреческим геометрам, а некоторые были найдены совсем недавно. Эти свойства (вместе с законами естествознания) объясняют, почему, например, форму шара имеют небесные тела и икринки рыб, почему в форме шара делают батискафы и мячи и т. д [1]. Рассмотрим лишь некоторые самые простые свойства шара и сферы.

Определение. Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки, называемой центром, на данное расстояние, называемое радиусом.

Радиусом сферы называется также отрезок, соединяющий центр сферы и какую-нибудь её точку.

Определение. Шаром называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки, называемой центром, на расстояние, не превосходящее данное, называемое радиусом.

Сфера с тем же центром и того же радиуса, что и данный шар, называется поверхностью шара.

Покажем, что шар является телом вращения. Для этого рассмотрим полукруг с центром и радиусом (рис. 34). При вращении полукруга вокруг прямой, содержащей его диаметр, образуется некоторое тело вращения. Так как вращение - это движение, а движение сохраняет расстояния, то каждая точка получившегося тела удалена от точки на расстояние, не большее. Поэтому данное тело вращения является шаром.

Рис. 34

Заметим, что в качестве оси вращения можно выбрать любую прямую, проходящую через центр шара.

Плоскость, проходящую через центр шара (сферы) назовём диаметральной плоскостью шара (сферы). В сечении шара диаметральной плоскостью получим фигуру, состоящую из всех точек плоскости, удалённых от центра на расстояние, не превосходящее, т. е. круг радиусом. Этот круг называется большим кругом, а соответствующая ему окружность - большой окружностью. Большая окружность получается в сечении сферы диаметральной плоскостью.

Изображение сферы

Шар издали со всех сторон имеет вид круга, вспомните диск Солнца или полной Луны. Это происходит из-за того, что ортогональной проекцией шара, как и сферы, на плоскость является круг того же радиуса [2]. Поэтому шар и сферу изображают в виде круга, при этом добавляя проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции (рис. 35). Проекция этой большой окружности на плоскость чертежа является эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса.

Рис. 35 Рис. 36

Проведём диаметр шара перпендикулярно плоскости большой окружности. Тогда точки и - концы этого диаметра - называют полюсами, а сам эллипс, изображающий большую окружность, - экватором. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости экватора, называют параллелями, а большие окружности, проходящие через полюсы, - меридианами.

Ошибочным является изображение полюсов на окружности, ограничивающей изображение шара (рис. 36). При таком положении полюсов экватор изображался бы отрезком, а не эллипсом. На самом деле изображение точки должно лежать ниже окружности ограничивающей изображение, а точки - выше.

Части шара

Шаровым кольцом называют фигуру, заключённую между поверхностями двух шаров с общим центром.

Шаровым сегментом называется меньшая часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью, не проходящей через центр шара (рис. 37).

Часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями называется шаровым слоем, или шаровым поясом (рис. 38).

Также как пространственным аналогом кольца на плоскости является шаровое кольцо, пространственным аналогом сектора является шаровой сектор. Шаровым сектором называется часть шара, составленная из шарового сегмента и конуса, основанием которого является основание шарового сегмента, а вершиной - центр шара (рис. 39).

Рис. 37 Рис. 38 Рис. 39

Шаровые кольцо, сегмент, слой и сектор могут быть определены и как фигуры вращения. Например, шаровой сектор - это фигура, образованная при вращении кругового сектора с углом вокруг прямой, содержащей диаметр круга и не имеющей с сектором общих внутренних точек.

II. Закрепление нового материала

Чем является проекция шара на плоскость, проходящую через его центр?

Ответ: большим кругом, по которому плоскость пересекает шар.

Чем является проекция шара на плоскость, не имеющую с шаром общих точек?

Ответ: кругом, равным большому кругу.

Как должны быть расположены две равные окружности в пространстве, чтобы через них могла пройти сфера того же радиуса?

Ответ: иметь общий центр.

Какой фигурой является пересечение двух сфер?

Ответ: окружностью.

Верно ли, что через две точки сферы всегда проходит единственный большой круг?

Ответ: нет, так как через две диаметрально- противоположные точки проходит бесконечное число больших кругов (рис. 40).



Рис.40

III. Домашнее задание

Задача 4.6. В пространстве расположены две сферы с радиусами и

. Как связано расстояние между центрами этих сфер с их радиусами, если сферы: а) не имеют общих точек; б) касаются; в) пересекаются?

Ответ: а) или ; б) (внешнее касание) или

(внутреннее касание); в) и.

Задача 4.7. Найдите в пространстве геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под углом.

Решение. Проведём произвольную плоскость, содержащую отрезок

. Вспомним, что геометрическим местом точек на плоскости, из которых отрезок виден под прямым углом, является окружность с диаметром без концов и этого отрезка (рис. 41). При вращении плоскости вокруг прямой окружность с диаметром будет также вращаться вокруг своего диаметра, в результате чего образуется сфера. Таким образом, искомым геометрическим местом точек является сфера с диаметром без точек.

Рис. 41 Рис. 42

Урок 2. Взаимное расположение сферы и плоскости

Цель урока: рассмотреть все возможные случи расположения сферы и плоскости; ввести понятие касательной плоскости к сфере.

Тип урока: изучение нового материала.

Реализация целей обучения (включая УУД): иллюстрация связей между плоскими и неплоскими фигурами: проведение аналогии между касательной прямой к окружности и касательной плоскости к сфере; доказательство аналогичных теорем.

I. Изучение нового материала

Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от её центра до плоскости. (Вспомним с учащимися, как определяется расстояние от точки до плоскости.) Обозначим радиус сферы, а расстояние от её центра до плоскости -____

. Будем считать, что плоскость не проходит через центр сферы. При этом возможны следующие случаи.

1. . В этом случае расстояние от точки до любой точки плоскости больше. Следовательно, в этом случае сфера и плоскость не имеют общих точек (рис. 43).

. В этом случае сфера и плоскость имеют единственную общую точку. Такую плоскость называют касательной плоскостью к сфере, а точку - точкой касания (рис. 44).

Рис. 43 Рис. 44 Рис. 45

2. . В этом случае плоскость пересекает сферу (рис. 45). Докажем, что их пересечением является окружность с центром и радиусом . Пусть - произвольная точка, принадлежащая пересечению сферы и плоскости. Прямая перпендикулярна плоскости, а прямая лежит в этой плоскости, поэтому угол - прямой. Из прямоугольного треугольника, учитывая, что и, следует равенство_______

Таким образом, пересечение сферы и плоскости состоит из всех таких точек, что, поэтому это множество точек является окружностью с центром.

Задача 4.8. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к нему плоскость. Радиус шара равен. Найдите площадь получившегося сечения.

Решение. В прямоугольном треугольнике (рис. 45) гипотенуза равна, а один из катетов -, поэтому второй катет равен. Этот катет является радиусом круга, получившегося в сечении, и его площадь равна______.

Ответ: Касательная плоскость к сфере

Для плоскости, касательной к сфере, справедливы теоремы, аналогичные теоремам о прямой, касающейся окружности на плоскости.

Теорема 1. Если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу сферы, проведённому в точку касания.

Доказательство. Пусть плоскость касается сферы с центром и радиусом в точке (рис. 44). Допустим, что радиус не является перпендикуляром к плоскости, то есть является наклонной к. Тогда длина этой наклонной больше расстояния от центра сферы до плоскости. Но, как мы показали выше, это означает, что плоскость пересекает сферу по окружности, т. е. не является касательной. Пришли к противоречию, которое доказывает, что.

Справедлива и обратная теорема.

Теорема 2. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, то эта плоскость является касательной к сфере.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это и означает, что данная плоскость является касательной к сфере.

Любая прямая, лежащая в касательной плоскости к сфере и проходящая через точку их касания, называется касательной прямой к сфере. Эта прямая имеет со сферой единственную общую точку - точку касания, и радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной прямой.

II. Дополнение теории

Задача 4.9. Докажите, что все отрезки касательных, проведённых из одной точки к данной сфере, равны между собой.

Решение. Пусть и - отрезки касательных к сфере, проведённые из точки (рис. 46). Тогда через точки и проходит единственная плоскость, пересекающая сферу по окружности. Для этой окружности отрезки и являются отрезками касательных, проведённых из одной точки. Поэтому

._________

III. Домашнее задание

Задача 4.10. На сфере некоторого шара даны две точки. Через них проводят всевозможные сечения этого шара. Какое из них имеет наибольшую площадь, а какое - наименьшую ?

Решение. Через любые две точки поверхности шара можно провести его сечение диаметральной плоскостью. Получившийся в результате этого круг является большим кругом, поэтому он имеет наибольшую площадь среди остальных сечений шара.

Рис.46

Если - радиус шара, то радиус круга, полученного в его сечении, равен

Размещено на http://www.allbest.ru/

где - расстояние от центра шара до плоскости сечения. Поэтому, чем больше это расстояние, тем меньше площадь сечения. Расстояние от центра шара до центра сечения будет наименьшим, если отрезок, соединяющий две данные точки, является диаметром круга. Таким образом, наименьшую площадь имеет сечение, для которого данные точки являются концами диаметра этого сечения.

Урок 3. Сферы, вписанные в многогранники

Цель урока: дать определение вписанной в многогранник сферы; рассмотреть условия, при которых сферу можно вписать в многогранник; научиться изображать вписанную сферу; закрепить полученные знания при решении задач.

Тип урока: изучение нового материала.

Реализация целей обучения (включая УУД): развитие навыка доказательства теорем; развитие математической интуиции и математического воображения.

I. Изучение нового материала

Определение. Сфера называется вписанной в двугранный угол, если она касается его граней.

Для того чтобы определить, где находится центр сферы, вписанной в двугранный угол, введём понятие биссекторной полуплоскости.

Определение. Биссекторной полуплоскостью двугранного угла называется полуплоскость, выходящая из ребра этого угла и делящая его на два равных двугранных угла.

Биссекторная полуплоскость является пространственным аналогом биссектрисы угла на плоскости.

На рисунке 47 является биссекторной полуплоскостью для двугранного угла, образованного полуплоскостями и. Точки полуплоскости, не принадлежащие прямой, ребру данного двугранного угла, обладают тем свойством, что расстояния от них до плоскостей и одинаковы.

Рис. 47

Таким образом, если сфера, расположенная внутри двугранного угла, касается плоскостей граней этого угла, то центр сферы расположен на биссекторной полуплоскости двугранного угла.

Задача 4.11. В двугранный угол с градусной мерой вписана сфера. Найдите радиус этой сферы, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно.

Определение. Многогранник называется описанным около сферы, если плоскости всех его граней касаются сферы. Сфера при этом называется вписанной в многогранник.

Не во всякий многогранник можно вписать сферу. Например, в прямую призму, в основании которой лежит прямоугольник, не являющийся квадратом, сферу вписать нельзя.

Теорема 3. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Для того чтобы вписать сферу в треугольную пирамиду, необходимо найти точку внутри пирамиды, одинаково удалённую от всех её граней. Рассмотрим три биссекторные полуплоскости двугранных углов, образованных боковыми гранями и основанием пирамиды. Любые две эти полуплоскости пересекаются по некоторой прямой, которой принадлежат все точки, равноудалённые от двух боковых граней и основания пирамиды. Третья биссекторная полуплоскость пересекает прямую в некоторой точке. Таким образом, точка принадлежит всем трём биссекторным полуплоскостям, а, значит, она равноудалена от всех граней пирамиды, поэтому точка является центром вписанной сферы.

C произвольной n-угольной пирамидой дело обстоит сложнее, так как четыре и более биссекторных полуплоскостей в общем случае не пересекутся в одной точке. Таким образом, не во всякую n-угольную пирамиду можно вписать сферу.

Теорема 4. В прямую призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда в основание этой призмы можно вписать окружность и высота призмы равна диаметру этой окружности.

Доказательство. Пусть в прямую призму вписана сфера с центром в точке и радиусом. Тогда высота призмы равна. Через центр проведём сечение призмы плоскостью, параллельной основаниям. В сечение призмы получим многоугольник, равный многоугольнику основания, а в сечении сферы

- окружность, вписанную в этот многоугольник. Таким образом, в основание призмы можно вписать окружность. Обратно, предположим, что в основание прямой призмы с высотой, равной, можно вписать окружность радиусом. Пусть - середина отрезка, соединяющего центры окружностей, вписанных в основания призмы. Тогда сфера с центром и радиусом будет искомой сферой, вписанной в призму.

Рис. 48



II. Домашнее задание

Задача 4.12. В некоторую прямую призму вписана сфера. Найдите площадь её боковой поверхности, если площадь основания равна.

Задача 4.13. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна ; боковая грань образует с плоскостью основания угол 60. Найдите радиус вписанной сферы.

Урок 4. Сферы, описанные около многогранников

Цель урока: введение понятия описанной около многогранника сферы; вывод условий, при которых сферу можно описать около многогранника; представление одного из способов выведения формулы площади сферы.

Тип урока: изучение нового материала.

Реализация целей обучения (включая УУД): овладение понятиями и фактами для их использования при решении задач.

I. Изучение нового материала

Определение. Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины принадлежат этой сфере. Сама сфера при этом называется описанной около многогранника.

Теорема 5. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность.

Рис. 49 Рис. 50

Доказательство. Пусть пирамида вписана в сферу. Тогда плоскость основания пирамиды пресекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник - основание пирамиды. (Необходимое условие доказано.) Теперь предположим, что около основания пирамиды можно описать окружность (рис. 49). Для того чтобы описать вокруг этой пирамиды сферу, необходимо найти точку, равноудалённую от каждой вершины пирамиды (центр сферы). Для этого проделаем следующее.

1) Через точку - центр окружности, описанной около многоугольника - проведём прямую перпендикулярно плоскости основания пирамиды.

2) Выберем одно из боковых рёбер, например, пирамиды и через его середину проведём плоскость, перпендикулярно этому ребру___

3) Плоскость и прямая пересекутся в некоторой точке. Если предположить, что они не пересекаются, то плоскость должна быть параллельна прямой, а, следовательно, перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Но плоскость не может быть одновременно перпендикулярна боковому ребру пирамиды и плоскости её основания.

Покажем, что точка является центром описанной окружности, то есть, что (рис. 50). Рассмотрим прямоугольные треугольники,…, с общим катетом. Отрезки,…, являются радиусами окружности, описанной около основания пирамиды, поэтому все рассматриваемые треугольники равны по двум катетам. Следовательно, как гипотенузы равных треугольников. Заметим, что отрезок является серединным перпендикуляром к боковому ребру ; точка принадлежит этому перпендикуляру, поэтому она равноудалена от концов отрезка, то есть. Итак, мы доказали, что точка равноудалена от всех вершин пирамиды, значит, она является центром описанной около пирамиды сферы. (Достаточное условие доказано.) Следствие 1. Вокруг треугольной пирамиды можно описать сферу. Следствие 2. Вокруг правильной пирамиды можно описать сферу.

...