Главная Коллекция "Revolution" Педагогика Методика преподавания темы "Фигуры вращения" в классах естественно-математического профиля

Методика преподавания темы "Фигуры вращения" в классах естественно-математического профиля

Исторические аспекты профильной дифференциации обучения. Особенности учащихся естественно-математических классов. Процесс обучения геометрии в старших классах общеобразовательной школы. Методика преподавания на углублённом уровне темы "Фигуры вращения".

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 31.12.2017
Размер файла 2,0 M
рефераты на заказ со скидкой

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Теорема 6. Около прямой призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность.

Доказательство. Пусть около прямой призмы описана сфера, тогда все вершины призмы принадлежат этой сфере. Таким образом, все вершины основания принадлежат окружности, являющейся линией пересечения сферы и плоскости основания призмы.

Обратно, пусть около основания прямой призмы можно описать окружность с центром в точке и радиусом (рис. 51). Тогда и около второго основания можно описать окружность того же радиуса с центром в точке.

Рис. 51

Пусть и - середина отрезка. Построим сферу с центром и радиусом равным Размещено на http://www.allbest.ru/

расстоянию от точки O до вершины призмы, то есть. Тогда эта сфера является искомой сферой, описанной около призмы.

II. Дополнение теории

Задача 4.14. Докажите, что центр сферы, описанной около правильной пирамиды, принадлежит оси пирамиды.

Решение. Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания этой пирамиды, являющейся правильным многоугольником. Докажем, что и центр описанной около пирамиды сферы проецируется в центр основания пирамиды. В этом случае он будет принадлежать оси пирамиды.

Пусть M - проекция точки на плоскость основания пирамиды (рис. 52).

Рис. 52

Соединим точку с какой-нибудь вершиной основания пирамиды и получим прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора_

__________,

где - радиус сферы.

Это означает, что расстояние от точки до любой вершины основания пирамиды постоянно (не зависит от выбора вершины), то есть точка является центром основания пирамиды.

III. Закрепление нового материала

Задача 4.15. В треугольной пирамиде известно, что,

. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

Замечание. Сферу нельзя развернуть на плоскость, то есть не существует развёртки сферы, поэтому вычислить площадь её поверхности так же, как мы вычисляли площади поверхностей цилиндра и конуса не представляется возможным. Для определения площади сферы можно воспользоваться многогранниками, описанными около сферы.

Пусть описанный около сферы многогранник имеет граней. Будем неограниченно увеличивать таким образом, чтобы площадь каждой грани стремилась к нулю. За площадь сферы примем предел последовательностей площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить следующую формулу для вычисления площади сферы радиусом :. Строгий вывод этой формулы возможно представить после вывода формулы объёма шара.

IV. Домашнее задание

Задача 4.16. Найдите ребро куба, вписанного в сферу радиусом.

Урок 5. Решение задач на различные комбинации тел вращения

Цель урока: решение задач на различные комбинации сферы, цилиндра и конуса; подготовка к контрольной работе.

Тип урока: практикум по решению задач.

Реализация целей обучения (включая УУД): комплексное применение знаний к решению задач; развитие изобразительных навыков учащихся.

I. Изучение и закрепление нового материала

Определение. Сфера называется вписанной в цилиндр, если основания и каждая образующая цилиндра касаются сферы. Цилиндр при этом называется описанным около сферы.

Нетрудно показать, что сферу можно вписать в цилиндр тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания (то есть осевое сечение - квадрат).

Определение. Сфера называется описанной около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на сфере. Цилиндр при этом называется вписанным в сферу.

Центром описанной сферы является точка, равноудалённая от оснований цилиндра, то есть середина оси цилиндра. Таким образом, около любого прямого кругового цилиндра можно описать сферу.

Задача 4.17 (Устно.). Найдите радиус сферы, описанной около цилиндра с радиусом основания и высотой.

Ответ: так как радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения цилиндра, то он равен___.

Задач 4.18. В цилиндр вписан шар радиуса. Найдите радиус описанного около этого цилиндра шара.

Определение. Сфера называется вписанной в конус, если основание конуса и все его образующие касаются сферы. Конус при этом называется описанным около сферы.

Центр вписанной сферы совпадает с центром окружности, вписанной в осевое сечение конуса. Так как в любой треугольник можно вписать окружность, то и в любой конус можно вписать сферу.

Определение. Сфера называется описанной около конуса, если окружность основания конуса лежит на сфере и его вершина принадлежит этой сфере. Конус при этом называется вписанным в сферу.

Центр описанной (вписанной) сферы совпадает с центром окружности, описанной около осевого сечения конуса (вписанной в осевое сечение конуса). Так как в любой треугольник можно вписать (описать) окружность, то и в любой конус можно вписать (описать) сферу.

Задача 4.19. Найдите радиус сферы, описанной около конуса с радиусом основания и высотой.

Задача 4.20. Найдите радиус сферы, вписанной в конус с радиусом основания и высотой.

II. Домашнее задание: подготовка к контрольной работе.

Урок 6. Итоговая контрольная работа по теме «Фигуры вращения»

Цель урока: контроль качества усвоения учебного материала.

Тип урока: урок контроля.

Реализация целей обучения (включая УУД): развитие регулятивных УУД, навыков самостоятельной работы обучающихся.

Таблица 3

I вариант

II вариант

№ 1(1балл). Найдите площадь сечения шара плоскостью, удалённой от центра шара на 5 см, если радиус шара равен 13 см.

№ 1 (1балл). Найдите площадь сечения шара плоскостью, удалённой от центра шара на 12 см, если радиус шара равен 15 см.

№ 2 (2 балла). Найдите радиус описанного вокруг правильной пирамиды (см. рисунок) шара, если боковое ребро пирамиды равно.

№ 2 (2 балла). Найдите радиус описанного вокруг правильной пирамиды (см.

рисунок) шара, если боковое ребро пирамиды равно._____

№ 3 (2 балла). В цилиндр, полученный вращением прямоугольника площади вокруг одной из его сторон, вписан шар. Найдите радиус этого шара.

№ 3 (2 балла). Шар радиуса вписан в цилиндр, полученный вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Найдите периметр этого прямоугольника.

№ 4 (3 балла). Центр описанного около конуса шара лежит на основании конуса. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 6.

№ 4 (3 балла.) Вокруг конуса, образующая которого равна 8, описан шар, центр которого лежит на основании конуса.

Найдите радиус этого шара.

№ 5 (4 балла). Радиус нижнего основания усечённого конуса в два раза больше радиуса верхнего основания, а его образующая равна радиусу нижнего основания. Докажите, что центр нижнего основания совпадает с центром сферы, описанной около этого

усечённого конуса.

№ 6 (6 баллов). Сфера радиусом с центром в точке касается всех сторон треугольника. Точка касания делит сторону пополам. Точка касания делит

сторону так, что. Найдите объём пирамиды, если известно, что .

Ответы и указания к контрольной работе

№ 1. Ответ: (I в.) 144, (II в.) 81. Решение - см. задачу 4.8.

№ 2. Ответ: (I в.) 2, (II в.) 0,5. Указание: найти радиус окружности, описанной около правильного треугольника - осевого сечения пирамиды.

№ 3. Ответ: (I в.), (II в.) 6. Указание: воспользоваться тем, что если шар вписан в цилиндр, то осевое сечение цилиндра - квадрат.

№ 4. Ответ: (I в.), (II в.). Указание: доказать, что центр шара совпадает с центром основания конуса и рассмотреть осевое сечение конуса.

№ 5. Указание: обозначить радиус нижнего основания усечённого конуса за и доказать, что.

№ 6. Ответ: 2.

Фигуры вращения правильных многогранников

Завершающий урок темы «Фигуры вращения» посвящён одному из самых красивых и наглядных разделов школьной геометрии - фигурам вращения правильных многогранников. Целью рассмотрения данного материала в, первую очередь, является расширение пространственных представлений обучающихся, эстетическое воспитание, а также иллюстрация возможностей современных математических пакетов (например, GeoGebra, с помощью которой были созданы предложенные изображения).

При достаточном количестве уроков геометрии рассмотрение фигур вращения правильных многогранников можно продолжить при изучении объёмов тел вращения. В этом случае данный урок является подготовительным.

«Как показала практика, задачи на вычисление объёма и площади поверхности тел, полученных вращением правильных многогранников, доступны учащимся математических классов средней школы» [4, c. 7]. Так же дальнейшая разработка этой темы может быть предложена учащимся в качестве индивидуальных проектов.

Урок 1. Знакомство с фигурами вращения правильных многогранников

Тип урока: урок первичного ознакомления с учебным материалом.

I. Изучение нового материала

В предыдущих параграфах мы рассматривали фигуры, полученные вращением плоских фигур вокруг прямой. Рассмотрим теперь фигуры, которые получаются вращением некоторых тел, а конкретнее - правильных многогранников.

Пример. Представьте, что у вас есть модель куба из проволоки (рис. 53). Повернём этот куб вокруг одной из его диагоналей на некоторый небольшой угол (рис. 54). Далее, если мы будем продолжать поворачивать куб на один и тот же угол и фотографировать положение куба после каждого поворота, то затем, наложив все снимки друг на друга, мы получим изображение, подобное показаному на рисунке 55.

Рис. 53 Рис. 54

Рис. 55 Рис. 56

Определим, какое тело получается при вращении куба вокруг его диагонали. [39]

Вспомним, что при вращении рёбер куба, имеющих с осью общую точку, получается коническая поверхность, а если ребро лежит на прямой, скрещивающейся с осью, образуется гиперболоид вращения. (Действительно, на рисунке 55 отчётливо видна часть гиперболы.) Итак, при вращении куба вокруг его диагонали, мы получили фигуру, состоящую из двух конусов и части гиперболоида вращения, заключённого между этими конусами (рис. 56).

Поверхность фигуры, получающейся при вращении многогранника, определяется вращением некоторых его рёбер. При этом вращающееся ребро может быть параллельно оси, пересекать ось и скрещиваться с ней. Таким образом, поверхность вращения многогранника может состоять из поверхностей цилиндра, конуса, усечённого конуса и частей поверхностей гиперболоидов вращения. Никаких других поверхностей при вращении многогранника получиться не может.

II. Закрепление нового материала

Задача 5.1.(Устно.) Что представляет собой тело, полученное вращением: а) куба вокруг прямой, соединяющей центры его противоположных граней; б) тетраэдра вокруг прямой, соединяющей вершину с центром противоположной грани; в) октаэдра вокруг прямой, соединяющей его противоположные вершины (ось октаэдра)?

Ответ: а) цилиндр; б) конус; в) два одинаковых конуса с общим основанием (биконус).

Задача 5.2. Изобразите тела, полученные вращением: а) куба вокруг прямой, соединяющей середины рёбер и ; б) октаэдра вокруг прямой, соединяющей центры противоположных граней; в) тетраэдра вокруг прямой, соединяющей середины скрещивающихся рёбер; г) правильной треугольной призмы вокруг прямой, соединяющей середины двух боковых рёбер.

Результаты экспериментальной проверки

Экспериментальная проверка полученных результатов и разработанных учебных материалов проводилась в ГБОУ Гимназии № 1514 г. Москвы в 2015/2016 учебном году. В ней принимали участие 27 учеников 11-го физико- математического класса.

Вся проверка была разбита на три этапа: 1) констатирующий; 2) поисковый; 3) обучающий и контролирующий.

На первом этапе проводилась экспериментальная проверка, целью которой было изучение состояния обучения геометрии в старших классах на углублённом уровне, а также интересов и склонностей старшеклассников.

С целью выявления психолого-педагогических особенностей одиннадцатиклассников, их интересов и склонностей к профильным предметам, а так же особенностей преподавания стереометрии в физико- математическом классе, учащимся было предложено ответить на вопросы следующей анкеты.

Анкета

1. Что для вас послужило причиной поступления в физико-математический класс?

2. Как вы считаете, должен ли учащийся физико-математического класса обладать «математическим складом ума» для успешного освоения программы (на «4», «5»)?

3. Какие качества личности или свойства ума в большей степени помогают вам при решении задач повышенной трудности, олимпиадных задач?

4. Интересуетесь ли вы современными направлениями развития естественно-математических наук? Какие разделы математики, по вашему мнению, получили наибольшее развитие в последнее время?

5. Используете ли вы дополнительную печатную литературу или Интернет-ресурсы по математике? Если да, то какие?

6. Используете ли вы математические программы, позволяющие моделировать 3D фигуры, при изучении стереометрии? Если нет, то почему?

7. Какой вид работы на уроке геометрии для вас наиболее удобен: а)

индивидуально; б) в небольших группах; в) всем классом?

8. Представьте ситуацию: учитель задал на дом задачу, сказав при этом, что её можно решить несколькими способами. Решив задачу одним способом, будете ли вы искать другие способы решения?

Таблица 4 Результаты анкетирования

№ вопроса

Ответы учащихся

Число учащихся

1

Ориентация на будущую профессию и определённый ВУЗ

18 (66%)

Интерес к изучению одного или нескольких предметов данного профиля

6 (22%)

По совету родителей

2 (8%)

Педагогический состав

1 (4%)

2

«да»

23 (85%)

«нет»

4 (15 %)

3

Среди таких качеств и свойств были названы: упорство, умение логически мыслить, сообразительность, находчивость. Некоторые учащиеся также отметили знание способов решения и большой опыт решения задач.

4

«да»

24 (88%)

«нет»

3 (12%)

К современным развивающимся разделам математики учащиеся отнесли теорию вероятности, математический анализ, математическую физику и топологию.

5

Наиболее часто используемыми среди учащихся являются: пособия и сайты по подготовки к ЕГЭ, справочники, онлайн-уроки по решению задач и сборники олимпиадных задач.

6

«да»

3 (12%)

«нет»

24 (88%)

В качестве двух основных причин, по которым учащиеся не используют такие программы, были названы: «неумение работать с ними» и

«достаточность плоского чертежа или представлений в уме».

7

«индивидуально»

13 (48%)

«в небольших группах»

5 (18%)

«всем классом»

9 (34%)

8

«да»

15 (56%)

«нет»

12 (44%)

На втором этапе экспериментальной проверки разрабатывались учебные материалы по теме «Фигуры вращения», отбиралась соответствующая теория и задачи разного уровня трудности.

На момент проведения 3-го этапа экспериментальной проверки учащиеся завершили изучение темы «Фигуры вращения», что дало возможность апробировать разработанные материалы по данной теме.

С целью определения особенностей усвоения учащимися темы «Фигуры вращения» и проверки разработанных учебных материалов, учащимся были предложены следующие тестовые задания. В скобках указан процент учащихся, давших правильный ответ.

1. Приведите примеры предметов быта, которые имеют форму фигур вращения? (100%)

2. Какие фигуры могут получиться при вращении прямой вокруг неподвижной оси? (Частично верный ответ - 55%, полностью верный ответ - 18%.)

3. Как называется поверхность, которая получается вращением окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности и не имеющей с этой окружностью общих точек? (71%)

4. Как называется цилиндр, полученный вращением прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону? (33%)

5. Какие фигуры могут получиться в сечении конуса плоскостью? (Частично верный ответ - 66%, полностью верный ответ - 34%.)

6. Какое из этих изображений сферы (рис. 57) является верным и почему? (82%)

Рис. 57

7. Что представляет собой тело, полученное вращением тетраэдра вокруг прямой, соединяющей вершину с центром противоположной грани? (89%)

Кроме того, в процессе подготовки к контрольной работе по теме «Фигуры вращения» был проведён урок-практикум по решению задач, на котором учащимся были предложены задачи 2.18, 3.13, 4.13 и 4.15 (представленные в соответствующих пунктах данной работы).

Анализ полученных результатов наблюдения, анкетирования и тестирования позволяет сделать следующие выводы.

1. Большинство учащихся физико-математического класса проявляют высокий устойчивый интерес к изучению математики. Мотивацией к этому является не только подготовка к сдаче экзамена, но и общие склонности к естественно-математическим наукам.

2. В различных видах деятельности на уроках математики проявляются значительные различия в восприятии информации, мыслительных процессах, темпе работы учащихся. Учёт этих индивидуальных особенностей на всех этапах работы позволяет добиться высоких результатов в усвоении материала практически всеми учащимися.

3. Учащиеся достаточно быстро ориентируются в новом для них материале и устанавливают связи с ранее изученным; часто пытаются применить сведения, полученные ими вне уроков математики. При решении задач и доказательстве теорем, в первую очередь, учащихся интересует выбор метода решения (доказательства); при этом на второй план часто уходят технические стороны процесса и оформление.

4. Учащиеся физико-математического класса прекрасно владеют основными понятиями темы «Фигуры вращения» и имеют большой опыт решения базовых задач. Это создаёт благоприятные условия для введения дополнительного разноуровневого теоретического и задачного материала.

5. При наличии возможностей в классе физико-математического профиля стоит уделять большее внимание историческим сведениям по геометрии и изображению пространственных фигур (в том числе, с помощью компьютерных средств). Это позволяет разнообразить теоретический материал и способствует поддержанию познавательного интереса многих учащихся.

Заключение

Результатом проведённого исследования стала разработка уроков по геометрии, представляющая собой один из возможных вариантов изложения темы «Фигуры вращения». При этом основное внимание уделялось использованию разноуровневого теоретического и задачного материала. Так, большинство уроков предусматривает решение базовых (опорных) задач, а каждая тема содержит задачи повышенной трудности и олимпиадные задачи. Построение подобной системы уроков ориентировано на преподавание в классе естественно-математического профиля, однако учитывает интересы одиннадцатиклассников, не обладающих выраженными способностями к математике. Примером этого является итоговая контрольная работа, содержащая задачи разного уровня сложности.

Проведённая экспериментальная проверка подтвердила выдвинутую в начале исследования гипотезу и, кроме того, показала, что материалы, представленные в Главе 2, доступны учащимся физико-математического класса.

Таким образом, была реализована главная цель исследования.

Дальнейшее исследование данной темы может быть связано с продолжением построения уроков стереометрии в условиях профильной дифференциации обучения. В частности, тему «Фигуры вращения» целесообразно продолжить, рассмотрев нахождение объёмов этих тел вращения или адаптацией данной темы к учащимся классов другой профильной направленности.

Литература

1. Александров А. Д. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый и углублённый уровни) / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. - М.: Просвещение, 2014. - 255 с.

2. Александров А. Д. Стереометрия. Геометрия в пространстве: учебное пособие для учащихся старших классов и абитуриентов / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. - СПб.: Висагинас, Alfa, 1998. - 576 с.

3. Атанасян Л. С. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый и углублённый) / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 22-е изд.- М.: Просвещение, 2013. - 255 с.

4. Баврин И. И. Новые задачи по стереометрии: фигуры вращения правильных многогранников / И. И. Баврин, В. А. Садчиков. - М.: ВЛАДОС, 2000. - 206 с.

5. Башмаков М.И. Уровень и профиль школьного математического образования // Математика в школе. - 1993. - № 2. - С. 8-9.

6. Бескин Н. М. Изображение пространственных фигур / популярные лекции по математике. - М.: Наука, 1971. - 80 с.

7. Болтянский В. Г. К проблеме дифференциации школьного математического образования / В. Г. Болтянский, Г. Д. Глейзер // Математика в школе. - 1988. -№ 3. - С. 9-13.

8. Гамезо М. В. Возрастная и педагогическая психология / М. В. Гамезо, Е. А. Петрова, Л. М. Орлова. - М.: Педагогическое общество России, 2003. - 512 с.

9. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. - М.: Просвещение, 1983. - 351 с.

10. Гурина Р. В. Особенности обучения и воспитания в профильном физико- математическом классе // Профильная школа. - 2006. - № 5. - С. 48-54.

11. Гусев В. А. Психолого-педагогические особенности обучения математике. - М.: «Вербум-М», «Академия», 2003. - 432 с.

12. Дорофеев Г. В., Кузнецова Л. В. и др. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе. - 1990. - № 4. - С. 15-21.

13. Ершова А. П. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса / А. П. Ершова, В.В. Голобородько. - 6-е изд. - М.: Илекса, 2013. - 208 с.

14. Зимняя И. А. Педагогическая психология. - М.: Логос, 2000. - 384 с.

15. Киселёв А. П. Геометрия (планиметрия и стереометрия). - М.: Физматлит, 2004. - 328 с.

16. Колягин Ю. М. Профильная дифференциация обучения математике / Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова // Математика в школе. - 1990. - № 4. - С. 21-27.

17. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования: приложение к приказу Министерства образования Российской Федерации от 18 июля 2002 г. № 2783. [Электронный ресурс]. Режим доступа: www.mccme.ru/edu/oficios/standarty/profil.doc

18. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. - М.: «Институт педагогической психологии»; Воронеж: «МОДЭК», 1998. - 416 с.

19. Кучугурова Н. Д. Интенсивный курс общей методики преподавания математики. - М.: МПГУ. - 152 с.

20. Методика и технология обучения математике. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.

21. Педагогика / В. А. Сластёнин, И. Ф. Исаев и др. - 4-е изд. - М.: Школьная Пресса, 2002. - 512 с.

22. Потоскуев Е. В. Геометрия. 11 класс: задачник / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. - М.: Дрофа, 2004. - 236 с.

23. Потоскуев Е. В. Геометрия. 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. - М.: Дрофа, 2004. - 223 с.

24. Рабинович Е. М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. - М.: Илекса, 2006. - 80 с.

25. Российская педагогическая энциклопедия / гл. ред. В. В. Давыдов. - М.: Большая российская энциклопедия. - 1993. - 608 с.

26. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе. - М.: Просвещение, 2002. - 224 с.

27. Смирнова И. М. Вписанные и описанные фигуры в пространстве / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Экзамен, 2011. - 158 с.

28. Смирнова И. М. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый и углублённый уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 7-е изд. М.: Мнемозина, 2011. - 288 с.

29. Смирнова И. М. Педагогика геометрии. - М.: Прометей, 2004. - 336 с.

30. Смирнова И. М. Профильная модель обучения математике // Математика в школе. - 1997. - № 1. - С. 32-36.

31. Смирнова И. М. Тела и поверхности вращения / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Экзамен, 2011. - 190 с.

32. Столяр А. А. Педагогика математики. - 3-е изд. - Минск: Вышэйшая школа. - 1986. - 414 с.

33. Унт И. Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. - М.: Педагогика, 1990. - 192 с.

34. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования // Российская газета. - 2012. - № 5722. - С. 14-18.

35. Федеральный закон «Об образовании в Российской федерации» от 29 декабря 2012 г. № 373-ФЗ [Электронный ресурс]. Режим доступа: h tt p:/ / мин об рн ауки.р ф/ до кумен ты/2 974

36. Фридман Л. М. Теоретические основы методики обучения математике. - М.: Флинта, 1998. - 224 с.

37. Фундаментальное ядро содержания общего образования / под ред. В. В. Козлова, А. М. Кондакова. - М.: Просвещение, 2009. - 48 с.

38. Шарыгин И. Ф. Геометрия 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень). - М.: Дрофа, 2013. - 240 с.

39. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. - М.: Наука, 1981. - С. 90-92.

40. Якиманская И. С. Основы личностно-ориентированного образования. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. - 220 с.

41. Якиманская И. С. Особенности познавательных интересов старшеклассников в условиях дифференцированного обучения / И. С. Якиманская, Н. И. Юдашина // Вопросы психологии. - 1989. - № 3. - С. 32-39.

42. ИПС «Задачи по геометрии» [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://zadachi.mccme.ru/

Размещено на Allbest.ru

...

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2025, ООО «Олбест» Все наилучшее для вас