Філолофсько-методологічний аналіз парадигм математичної онтології

Размещено на http://www.allbest.ru/

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ В.Н. КАРАЗІНА

УДК 1.001.8:510.21

ФІЛОСОФСЬКО-МЕТОДОЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ

ПАРАДИГМ МАТЕМАТИЧНОЇ ОНТОЛОГІЇ

Спеціальність 09. 00. 09 - філософія науки

автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора філософських наук

Кузьменко Вячеслав Віталійович

Харків - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті

імені В. Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант:доктор філософських наук, професор

Сухіна Валентина Феофанівна

Харківський гуманітарний університет

«Народна українська академія», професор

кафедри філософії та гуманітарних дисциплін

Офіційні опоненти:доктор філософських наук, професор

Рижко Володимир Антонович

директор Центру гуманітарної освіти НАН України, м. Київ

доктор філософських наук, професор

Окороков Віктор Броніславович

Дніпропетровський національний університет

імені Олеся Гончара, професор кафедри філософії

доктор фізико-математичних наук, професор

Бережной Юрій Анатолійович

Харківський національний університет

імені В. Н. Каразіна, завідувач кафедри теоретичної ядерної фізики

Захист відбудеться «_3__» березня о 15.15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.051.06 Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна за адресою:61077, м. Харків-77, пл. Свободи, 6, ауд. 2-53

З дисертацією можна ознайомитися у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4

Автореферат розісланий «__2__» лютого 2010 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої радиУкраїнець Л. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дослідження визначена необхідністю постійної філософської рефлексії математичного знання, яка була розпочата в Академії Платона і не припиняється дотепер. Математика, як і будь-яка інша наука, завжди підходила до визначення свого предмета з достатньою ретельністю. Як і для будь-якої галузі наукового знання, для математики завдання власного обґрунтування завжди актуальне. Самостійно впоратися з цим теоретико-методологічним питанням математика не в змозі. Допомогти їй не може ані історичний досвід, ані високий рівень абстрактності її побудов, ані властивий математичному знанню унікальний рівень теоретизування. За сукупністю всіх названих характеристик, таких необхідних для самовизначення, з математикою не зрівняється жодна наука. Однак, проблема предмета математики залишається невирішеною в рамках самої математики. Різні варіанти її розв'язання - висування як можливого предмета чисел, геометричних побудов на площині, просторових геометричних побудов, множин, нарешті, комунікативних відносин, що розглядалися в рамкам наукового семінару М. Бурбаки, - ставали лише дескрипціями.

Питання про те, що у філософсько-методологічному контексті являють собою математичні поняття - число, точка - як вихідна геометричних побудов, нескінченно мала величина, нескінченність та ін., обговорюються, починаючи з античності, і дотепер не мають однозначного рішення. З XVII століття уточнюється філософське трактування диференціала, функції та інших математичних об'єктів, з XIX століття - суть множини. Постійне виявлення в ході пізнавальної діяльності нових властивостей математичних абстракцій відображається і в структурі математичного міркування, що проявилося в абстрактних формалізованих системах XX століття, які належать до таких фундаментальних математичних напрямів, як формалізм, інтуїтивізм, конструктивізм.

Найважливішою філософсько-методологічною проблемою математики, пов'язаною із визначенням її предмета, є трактування онтологічного статусу її об'єктів, обумовлене зміною в певні проміжки часу таких факторів, як філософсько-світоглядні, гносеологічні, методологічні установки і логічні критерії. В філософсько-методологічному аспекті актуальним є виявлення зв'язка математики й онтології, розробка з цією метою концепції математичної онтології на базі аналізу вказаних факторів, котрі детермінують особливості постановки математичних проблем і побудови математичного знання в гносеологічних традиціях античності, Нового часу, XIX і XX століть.

Ступінь наукової розробки проблеми. Нині складається широке тлумачення поняття «математична онтологія». Обґрунтування цього поняття в контексті власних досліджень у неявному вигляді розпочато в XIX столітті в працях ґ. Кантора, ґ. ґрассмана, Р. ґрассмана, ґ. Фреґе і продовжується дотепер. Суперечки про те, за допомогою яких пізнавальних інструментів можна розглядати онтологічний статус математичних об'єктів, не вщухають у сучасній філософії математики. У складовій поняття «математична онтологія» відображені філософські вчення про буття, починаючи з античності і завершуючи феноменологічними побудовами Е. Гусерля. Питання про те, де існує математичний об'єкт - у світі ідеальних сутностей, як стверджують платоніки; у взаємовідношенні субстанцій і супідрядності рівнів буття, у чому переконані прихильники вчень Р. Декарта і Ґ. В. Лейбниця; у розумі математика, на чому наполягають прихильники вчення І. Канта, або ж, на думку прихильників феноменологічного підходу, у зовнішньому світі - займає сучасних філософів математики.

Проблеми основ математики в контексті методології, філософії, історії науки в XIX і XX століттях активно аналізувалися зарубіжними та вітчизняними авторами. Математика рефлектувалася у всьому обсязі її теоретичного та історичного розвитку. Назвемо лише найбільш відомі імена математиків, істориків науки, філософів, які працювали в цьому напрямку: дослідницька група М. Бурбаки, М. Борн, Г. Вейл, Л. Вітґенштейн, Д. Гільберт, М. Клайн, К. Поп-пер, А. Пуанкаре , К. Рід, І. Ружа, А. Сабо, А. Уайтхед, ґ. Фреґе, В. Дейч та ін. Особливе місце займає ім'я Б. Рассела, який не тільки розглядав філософські основи математики, але і зробив значний внесок у розвиток математичної логіки. Серед сучасних російських та українських математиків, філософів та істориків науки найбільш яскравими дослідниками в цій галузі є В. Ф. Асмус, О. Г. Барабашов, І. Г. Башмакова, П. П. Гайденко, Б. С. Грязнов, Г. Б. Гутнер, А. Г. Драгалін, Ю. Л. Єршов, О. І. Кедровський, У. Б. Кобланова, А. М. Колмогоров, С. Б. Кримський, Є. К. Морозов, А. П. Огурцов, Т. І. Ойзерман, В. А. Панфілов, В. Я. Пермінов, Ю. О. Петров, І. Д. Рожанський, Г. І. Рузавін, К. А. Рибников, В. О. Успенський, В. В. Целіщев, І. З. Цехмістро, А. П. Юшкевич, С. А. Яновська та ін. Роботи названих та інших авторів стали основою у формуванні ідей цього дослідження. Найбільш близькими за характером аналізованих проблем є праці Г. Б. Гутнера, В. Я. Пермінова, В. В. Целіщева, в яких йдеться про статус математичних сутностей, аспекти надійності математичного доказу. Але вказані автори не ставили за мету філософсько-методологічний аналіз математичної онтології. Враховуючи різні погляди, в дисертації проводиться філософсько-методологічний аналіз парадигм математичної онтології.

У даному дослідженні основним є поняття парадигми математичної онтології. Парадигма (від грецького parбdeigma - приклад, зразок) - система форм одного слова, що відображає видозміни слова за властивими йому граматичними категоріями. У філософію науки поняття парадигма внесено позитивістом Г. Бергманом для характеристики нормативності методології. Вибудовувавши теорію наукових революцій, Т. Кун запропонував систему понять, серед яких важливе місце належить поняттю парадигма, - це визнані ідеали і норми наукового дослідження, які протягом певного часу обумовлюють методи постановки наукових проблем і їх рішень. Термін парадигма використовується Т. Куном у двох різних сенсах. З одного боку, він позначає сукупність переконань, цінностей, технічних засобів тощо, з іншого боку - вказує на один вид елементу в цій сукупності - конкретні вирішення наукових проблем. Т. Кун підкреслив, що у філософському відношенні другий сенс терміну парадигма є глибшим. Поняття парадигми, за його переконанням, має властивість відкритості, зумовлює її прихильність до нових відкриттів - як окремих фактів, так і цілісних теорій. Т. Кун відзначає деструктивний і конструктивний вплив відкриття на парадигму. Деструкція стосується замкнутості парадигми і виявляється в руйнуванні її меж. Конструктивність виражається в тому, що нове відкриття утворює нові межі, тобто відтворює атрибут замкнутості.

Особливості математичного знання детермінують характер поняття парадигми математичної онтології. Математика, як правило, незалежна від денотата. Математичні поняття - феномени мислення. Більшість визначень математичних об'єктів - це описи їх побудови. Математика виступає як одна з форм теорії піз-нання. Слід зазначити і ту обставину, що філософія не володіє методом трансляції математичних структур у власні визначення, вона не тотожна математиці. Категоріальний апарат, вироблені ідеали і норми наукового дослідження дають змогу у філософсько-методологічному контексті аналізувати основи постановки математичних проблем і методи їх розв'язань. Виходячи з цього, філософія має можливість аналізу вихідних посилок, на яких заснована математика.

Введення поняття парадигми математичної онтології визначено необхідністю філософського аналізу елементів, що є складовими «дисциплінарної матриці» і формують зразки наукового дослідження в цій галузі знання. До елементів «дисциплінарної матриці», які задають парадигми математичної онтології, в нашому дослідженні віднесені філософсько-світоглядні, гносеологічні, методологічні установки і логічні критерії. Вони визначають вибір математичних проблем і їх вирішення, забезпечують базис наукового дослідження в певний період часу.

Парадигма математичної онтології - це методологічний регулятор, що дозволяє досліджувати якісні зміни елементів «дисциплінарної матриці», які детермінують особливості постановки математичних проблем і побудови математичного знання в рамках певних гносеологічних традицій.

Один із аспектів даного дослідження парадигм математичної онтології - систематизація знань, по-перше, про вироблений у філософських концепціях зміст абстрактних категорій і ідей, що визначили трактування основоположень математики, по-друге, про вплив природничонаукових і математичних побудов на філософські концепції.

Спираючись на праці А. В. Ахутіна, П. П. Гайденко, А. Р. Драгаліна, А. М. Колмогорова, К. А. Рибникова, В. С. Стьопіна, С. А. Яновської, нами виділено чотири парадигми математичної онтології. Кожна парадигма математичної онтології відповідає часовому інтервалу, в якому згідно з виробленими гносеологічними традиціями визначалися підстави постановки математичних проблем і методи побудови математичного знання.

Античність - це генезис філософського осмислення сутності математичних об'єктів і методів математичного міркування, яке найяскравіше представлено в працях Платона та Арістотеля. В античності вироблялися та систематизувалися знання елементарної математики. Вершиною античної побудови математики є «Начала» Евкліда. У цій праці, по-перше, зібрані і підлягли остаточній логічній переробці досягнення в галузі геометрії; по-друге, у процесі доказу нескінченності ряду простих чисел і побудові закінченої теорії подільності вперше закладені основи систематичної теорії чисел.

У XV - XVIII століттях започаткована математизація природознавства - уявного конструювання фізичного експерименту. Це період, в якому відбувається значне посилення взаємного впливу філософії, математики і природознавства, розглядається нами як парадигма математичної онтології змінних величин і математичного природознавства. Основи математичного моделювання - ідея універсальності математичного методу - фундаментально осмислені в працях філософів-раціоналістів Р. Декарта і Ґ. В. Лейбниця. Зразком математичного моделювання фізичного експерименту є «Математичні начала натуральної філософії» І. Ньютона. У «Критиці чистого розуму» І. Кантом у результаті аналізу діяльності дослідників природи сформульовано, що в основі наукового пізнання лежить діяльність з конструювання умоглядної сутності.

Починаючи з XIX століття, філософську складову стали вважати чужою «точному складу» науки. Це відобразилося і на математиці. Дев'ятнадцяте століття - це парадигма математичної онтології нестандартної геометрії і теоретико-множинних побудов. У цей період з'являються нові ідеали і норми математичних досліджень. Вони пов'язані з внутрішнім розвитком математичних теорій. Незалежно один від одного, М. І. Лобачевський, Я. Больяй, К. Ф. ґаусс, Б. Ріман сконструювали «уявні» математичні простори. Вони довели, що такі простори можуть бути обґрунтовані з тією ж математичною строгістю, що і геометрія Евкліда. Теоретико-множинні побудови ґ. Кантора і, надалі, логіцизм також є методами постановки математичних проблем і їх вирішення. Саме логістичні праці Ґ. Фреґе визначають зв'язок формальної логіки, філософії і математики через завдання обґрунтування математичних теорій і концепцій.

Двадцяте століття - час нових ідеалів і норм математичних досліджень, час формалізації і аксіоматизації математичного знання. Це спроба обґрунтування континуум-гіпотези в теорії множин, побудови конструктивної математики, математичного структуралізму. Двадцяте століття визначено нами, виходячи з предмету дослідження в математиці цього часу, як парадигма математичної онтології абстрактних формалізованих систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Харківському національному університеті імені В. Н. Каразіна в рамках науково-дослідницької теми кафедри теорії культури і філософії науки «Проблема духовності в науці і культурі» (державний реєстраційний номер UA010087735).

Мета дослідження полягає у створенні концепції математичної онтології на базі аналізу елементів дисциплінарної матриці, котрі детермінують особливості постановки математичних проблем і побудови математичного знання в рамках гносеологічних традицій античності, Нового часу, XIX і XX століть.

Для здійснення поставленої мети передбачається розв'язати такі дослідницькі завдання:

Розкрити, аналізуючи генезис філософського осмислення математичних побудов і методів математичного міркування, характерний для античності зміст категорії «єдине», що визначила статус математичних об'єктів у філософських системах Платона і Арістотеля.

Обґрунтувати в рамках античної парадигми причини відмінності в трактуваннях Платоном і Арістотелем статусу математичних об'єктів.

Виявити корелятивність методів побудови міркувань під час обґрунтування філософських категорій в діалогах Платона і методів побудови математичних доказів в античному математичному тексті «Начала» Евкліда.

Розкрити, досліджуючи фактори побудови фундаменту новоєвропейської гносеологічної традиції, характер парадоксу «єдине - нескінченне» М. Кузанського.

Виявити, аналізуючи особливості гносеологічної традиції Нового часу, взаємний вплив філософських, природничонаукових і математичних ідей в працях Р. Декарта, І. Ньютона, ґ. В. Лейбниця.

Обґрунтувати характер впливу природничонаукових і математичних засад ґ.ґалілея, І. Ньютона та ін. дослідників природи Нового часу на трактовку пізнавальної діяльності І. Кантом в «Критиці чистого розуму» та його метод апріорного конструювання.

Аргументувати, досліджуючи елементи новоєвропейської гносеологічної традиції, роль математичної інтуїції як регулятивної форми математичного мислення, стимулюючої появу методів математичного міркування.

Довести, аналізуючи методологічні установки наукового дослідження XIX століття, корелятивність апріорного конструктивізму І. Канта і принципів «уявної» геометрії М. І. Лобачевського.

Розкрити, аналізуючи особливості гносеологічної традиції XIX століття, характер осмислення статусу математичних об'єктів в теоретико-множинних побудовах ґ. Кантора і в логіцизмі на прикладі теорії ґ.Фреґе.

Виявити онтогносеологічні передумови парадоксів теорії ґ. Кантора в контексті ідеалів і норм наукового дослідження XIX століття.

Розкрити, аналізуючи особливості традиції зароджуваного наукового дослідження XX століття - аксіоматизації і формалізації математичного знання - основи ідей про існування об'єктів метаматематики в концепціях Д. Гільберта і К. ґьоделя.

Інтерпретувати, досліджуючи особливості парадигми математичної онтології абстрактних формалізованих систем XX століття, статус математичних побудов в конструктивізмі на прикладі теорії А. А. Маркова, а також статус математичних топологій і основних структур у методологічному підході М.Бурбаки.

Обґрунтувати, що статус математичних об'єктів є інваріантом ідеалів і норм пізнавальної діяльності в рамках кожної досліджуваної парадигми математичної онтології.

Об'єктом дослідження є філософсько-методологічні і природничонаукові установки, які детермінують основи математичних проблем і особливості побудови математичного знання в рамках досліджуваних парадигм математичної онтології.

Предметом дослідження є онтологічний статус математичних об'єктів в досліджуваних парадигмах математичної онтології.

Методи та методологія дослідження. Складність і багатогранність теми, пов'язаної з філософсько-методологічним аналізом парадигм математичної онтології, зумовили необхідність дослідження різних сфер буття - пізнавальної, ціннісної, соціальної, релігійної. Звернення до вказаних сфер буття детермінувало застосування комплексу дослідницьких методів. У дисертації застосовані методи аналізу та синтезу, системний метод, метод історико-культурного детермінізму, метод збігу історичного і логічного, компаративістський і герменевтичний методи. Перераховані методи дають змогу в своїй сукупності розглянути проблему в різних ракурсах, аналізувати вихідні посилання ідеалів і норм постановки математичних проблем і трактування статусу математичних сутностей в чотирьох парадигмах математичної онтології.

Аналіз і синтез, а також системний метод дають змогу виявити ступінь взаємного впливу філософії, математики та природознавства в обґрунтуванні математичних проблем і їх розв'язань.

Метод історико-культурного детермінізму розкриває обумовленість специфіки трактування статусу математичних сутностей при зміні канонів пізнавальної діяльності в досліджуваних парадигмах математичної онтології.

Метод збігу історичного та логічного дає можливість у процесі аналізу інтуїції як регулятивної форми математичного мислення в побудові математичного знання демонструвати обумовленість історичного розвитку основних математичних понять.

Компаративістський метод застосовується для порівняння методологічних основ постановки математичних проблем і побудови математичного знання в різні культурно-історичні періоди.

У дисертаційній роботі використання методу герменевтики обумовлено інтерпретацією філософських і математичних текстів античності, Відродження, Нового часу, XIX і XX століть.

Наукова новизна полягає в тому, що в дисертації вперше розкриті особливості змін елементів «дисциплінарної матриці», яка визначає характеристики чотирьох парадигм математичної онтології. З цією метою виявлено характер філософсько-світоглядних, гносеологічних, методологічних установок і логічних критеріїв, обумовлюючих ідеали і норми постановки математичних проблем і побудови математичного знання в певні часові інтервали. Статус математичних об'єктів обґрунтовано як інваріант ідеалів і норм пізнавальної діяльності в кожній з аналізованих парадигм математичної онтології.

Розкрито в процесі аналізу особливостей генезису філософського осмислення сутності математичних об'єктів і методів математичного міркування шляхом інтерпретації ейдетики Платона, ентелехії Арістотеля характерний для античності зміст категорії «єдине», що визначала статус математичних об'єктів в їх філософських системах.

Обґрунтовано, що в рамках єдиної парадигми причиною відмінностей у трак-туванні Платоном і Арістотелем онтологічного статусу математичних об'єктів є різниця між об'єктивним ідеалізмом Платона, як ідеалістичним плюралізмом, і об'єктивним ідеалізмом Арістотеля, як ідеалістичним монізмом.

Виявлено під час аналізу античного математичного тексту «Начала» Евкліда, що обґрунтування геометричних побудов і структура доказів в «Началах» Евкліда корелюють з характером побудови міркувань платонівських діалогів у використанні методів розподілу поняття за певною ознакою, порівняння, методу послідовного конструювання ієрархічно залежних один від одного предметів.

Розкрито, що основи новоєвропейської парадигми математичної онтології «змінних величин і математичного природознавства» визначені М. Кузан-ським в парадоксі «єдине - нескінченне», в якому тотожні дискретне і континуальне. Трактування категорії «єдине», переосмислене М. Кузанським, створило в XVII столітті необхідний фон у процесі побудови абстрактних об'єктів та інструментів роботи з ними.

Виявлено характер парадигми «змінних величин і математичного природознавства», в якій трактування онтологічного статусу математичних об'єктів, представлене в працях Р. Декарта, І. Ньютона, Ґ. В. Лейбниця, детерміноване взаємним впливом філософських, природничонаукових і математичних ідей.

Обгрунтовано, що на трактування І. Кантом в «Критиці чистого розуму» нового зразка пізнавальної діяльності, яка неодмінно породжує ідеалізовані - математичні об'єкти і його метод апріорного конструктивізму, вплинули природничонаукові і математичні вчення ґ. ґалілея, І. Ньютона та інших дослідників Нового часу.

Розкрито у процесі аналізу елементів новоєвропейської гносеологічної традиції, сформованої в працях Р. Декарта, Ґ. В. Лейбниця, І. Канта, статус математичної інтуїції як регулятивної форми математичного мислення, що стимулювала появу методів математичного міркування.

Аргументовано в процесі аналізу методологічних установок наукового дослідження XIX століття, що мають відбиток у побудові нестандартної геометрії, корелятивність апріорного конструктивізму І. Канта і принципів «уявної» геометрії М. І. Лобачевського, що співвідноситься з ідеєю конструктивного застосування розуму.

Обґрунтовано, що онтогносеологічною посилкою парадоксу теорії ґ. Кантора, пов'язаного з його трактуванням множини, є неузгодженість категорій, визначених в його працях, що детермінують існування математичних об'єктів, смислова навантаженість яких формувалася в античності, з уявленнями про об'єкти, виробленими в математиці XIX століття.

Розкрито в процесі аналізу особливостей гносеологічної традиції XIX століття на прикладі концепції Ґ. Фреґе, яка обґрунтовує математичне міркування методами аналітичної філософії, що в системі логіцизму зв'язок формальної логіки з філософією став стимулюватися завданнями обґрунтування математичних теорій.

Виявлено в процесі аналізу основ зароджуваної в XX столітті парадигми математичної онтології абстрактних формалізованих систем на прикладі метаматематики Д. Гільберта і теорем про неповноту К. ґьоделя, що ідеї про існування математичних об'єктів обґрунтовуються не лише в самих наукових концепціях, але й у відображених в них філософсько-світоглядних установках.

Розкрито в процесі аналізу елементів парадигми математичної онтології абстрактних формалізованих систем на прикладі теорії алгорифмів А. А. Маркова, що конструктивні об'єкти - це ідеалізовані сутності, які наповнюються конкретним сенсом залежно від змісту вирішуваного завдання. У конструктивній математиці умоглядний характер мають не конструктивні об'єкти і конструктивні процеси, що вибудовують їх, а міркування про них.

Обґрунтовано в процесі аналізу елементів парадигми математичної онтології абстрактних формалізованих систем стосовно онтологічного статусу математичних структур М. Бурбаки, що математичні об'єкти розглядаються авторами як такі, що існують в певному значенні об'єктивно. Математичні об'єкти є абстрактними, вічними і причинно не пов'язаними з матеріальними предметами та емпіричним досвідом. Математична істина - це відвертість, а не винахід. Еволюціонує не математика, а лише людське знання про її об'єкти.

Встановлено, що основи трактування онтологічного статусу математичних об'єктів виникають на перетині онтологічних і гносеологічних уявлень; залежать від характерного для античності і раціоналізму Нового часу змісту філософських категорій, природничонаукових ідей, а також причин внутрішнього розвитку математичних теорій, що розкриваються в методологічних установках XIX і XX століть.

Науково-теоретична значущість отриманих результатів полягає в тому, що в проведеному дослідженні узагальнені та систематизовані фактори, які детермінували методи постановки математичних проблем та їх рішення; розкриті причини, що викликали зміни трактування онтологічного статусу математичних сутностей у зв'язку з математичним міркуванням.

Практична спрямованість результатів дослідження полягає в тому, що дослідження онтологічного статусу математичних сутностей у зв'язку з математичним міркуванням і причин його змін є продуктивною діагностикою, яка визначає можливості аналізу і побудови нових дидактичних концепцій математичного знання.

Особистий внесок здобувача. Вирішення комплексу поставлених завдань, оформлення їх у відповідні положення та висновки здійснено автором самостійно (без співавторів) і відповідає основному змісту дисертації, а також поданим публікаціям.

Апробація результатів дослідження. Основні положення дисертації були викладені в доповідях на Міжнародній науково-теоретичної конференції «Філософія І. Канта і сучасність» (м. Дніпропетровськ, 13-14 травня 2004 р.); Філософських читаннях «Доля філософії в постнекласичний період» (м. Дніпропетровськ, 18 жовтня 2005 р.); Філософських читаннях «Філософія і сучасність» (м. Дніпропетровськ, 17 листопада 2006 р.); Міжнародній науковій конференції «Філософія математики. Актуальні проблеми» (м. Москва, 15-16 червня 2007 р.); Всеукраїнській науково-практичній конференції «Сучасний світогляд» (м. Дніпропетровськ, 15-16 листопада 2007 р.); Міжнародній науково-практичній конференції «Проблеми сучасної освіти» (м. Дніпропетровськ, 24-25 квітня 2008 р.); Міжнародній науково-теоретичній конференції «Філософія освіти в контексті історико-філософського знання» (м. Дніпропетровськ, 15-16 травня 2008 р.); Другій міжнародній науковій конференції «Філософія математики: актуальні проблеми» (м. Москва, 28-30 травня 2009 р.).

Публікації. Основні положення дисертації викладені в монографії (17 друк. аркуш.), а також у 24 статтях, що опубліковані у виданнях, затверджених ВАК України як фахові з філософії.

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, які структуровані на підрозділи (21 підрозділ), висновків, списку використаної літератури. Повний обсяг дослідження налічує 428 сторінок (основний зміст роботи викладено на 396 сторінках). Список використаних джерел містить 443 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми, визначені об'єкт, предмет, мета й завдання роботи, розкрито методологічні засади дослідження, сформульовані положення наукової новизни, встановлено теоретичне та практичне значення здобутих результатів.

Розділ 1. «Обґрунтування філософської методології в аналізі парадигм математичної онтології». Цей розділ присвячений аналізу ступеня розробленості теми, об'єкту і предмету дослідження, визначення методичної та методологічної основи дослідження.

У підрозділі 1.1. «Огляд ступеня розробленості досліджуваної проблеми» здійснено аналіз стану даної проблеми, виконано огляд використаних літературних джерел, обґрунтовано застосовані в дослідженні методи. Тема дисертації передбачає необхідність аналізу робіт філософського, математичного і природничонаукового напрямків.

Минуле XX століття характерне багаторазовим збільшенням усіляких досліджень у математиці та філософії, тому в процесі аналізу досліджуваної проблеми нами були використані лише найбільш доступні твори математиків, філософів, істориків науки.

У сучасній філософії математики автор виділяє підходи В. В. Целіщева і Г. Б. Гутнера щодо онтологічного статусу математичних об'єктів як найбільш близькі до теми цієї дисертації. За В. В. Целіщевим, онтологія математичних об'єктів і структур - це напрямок у філософії математики, пов'язаний з логікою та епістемологією. Г. Б. Гутнером онтологічна проблематика пов'язується з побудовою математичного доказу, який спирається на семіотичні дослідження. У науковій полеміці з В. В. Целіщевим і Г. Б. Гутнером ми дотримуємося діалектичного підходу до математичної онтології. Необхідно здійснити перехід онтологічної проблематики щодо математичних об'єктів з рівнів логічного, епістемологічного і семіотичного на рівень методологічний. Кожна математична теорія - це специфічна самоорганізована система, яка проходить різні етапи зрілості. Трактування математичного об'єкту пов'язано зі змінами філософсько-світоглядних, гносеологічних, методологічних установок і логічних критеріїв, що обумовлюють ідеали і норми постановки математичних проблем і побудови математичного знання в рамках традицій античності, Нового часу, ХІХ і ХХ століть. Розвиток математичного об'єкта обумовлений або рішенням проблем опису природничонаукових досліджень, або з урахуванням внутрішніх математичних проблем - обґрунтуванням математичних теорій.

З метою обґрунтування античної парадигми математичної онтології, що визначила дедуктивний характер побудови математики, ми звернулися до творчості Платона, Арістотеля, а також античного математичного тексту «Начала» Евкліда.

У даній роботі проаналізовані праці С. С. Аверінцева, А. А. Анкіна, В. Ф. Асмуса, І. Г. Башмакової, Б. Л. Ван-дер-Вардена, В. Віндельбанда, Б. П. Вишеславцева, П. П. Гайденко, Г.Л. Гейберга, Е. В. Ільєнкова, А. Ф. Лосєва, С. Я. Лур'є, Д. Льюїса, А. П. Огурцова, Т. І. Ойзермана, В. О. Панфілова, П. С. Попова, К. Поппера, Д. Реале, І. Д. Рожанського, Г. І. Рузавіна, А. А. Тахо-Годі, П. Є. Целлера, А.-В. Еспанса, С.А.Яновської - авторів, у чиїх творах - прямо або побічно - мова йде про зв'язок вчення Платона й античної математики. Виявлено, що їхня спільна позиція полягає в тому, що світ платонівських ідей - це конструктивний базис речей, початок, без якого річ існувати не може. Шлях, який обрав Платон, припускав розкриття зв'язку між рівнями буття. У цьому полягає його бачення вирішення проблеми єдиного і множинного. Автори не ставили метою аналіз особливостей існування математичних сутностей в філософській системі Платона. Вказана проблема вирішується в даній дисертації.

Арістотелівська програма обґрунтування античної науки аналізувалася С. С. Аверінцевим, А. С. Ахмановим, А. В. Ахутіним, А. С. Богомоловим, Т. В. Васильєвою, В. П. Візгіним, А. В. Гостевим, Д. В. Джохадзе, А. Ф. Лосєвим, С. В. Мейном, З. М. Мікеладзе, Є. М. Михайловим, В. О. Панфіловим, А. О. Сабо, К. А. Сергєєвою, Я. Л. Сіліним. Виявлена спільна позиція авторів. Вони відзначають, що в працях Арістотеля буття стає безпосереднім об'єктом дослідження, а не ознакою вищої реальності, як у Платона, абстрактні математичні предмети зберігають кількісну визначеність і безперервність речей. Позиція дисертанта полягає в тому, що у рамках єдиної парадигми щодо онтологічного статусу математичних сутностей, у вченнях Платона і Арістотеля вироблені різні філософсько-методологічні установки. В уявленні Арістотеля математичні предмети - це відображення властивостей речей.

Вершина античної математики - «Начала» Евкліда. Нами проаналізовані праці О. Г. Барабашева, М. Я. Вигодського, А. П. Доброхотова, Я. Л.Жмудя, О. І. Зайцева, В. М. Молодшого, К. А. Рибникова, Ch. Castonguay, H. Freudenthal - авторів, у чиїх творах йдеться про математику як різновид теоретичного знання в античній Греції та в догрецький період. Виявлено, що думки зазначених авторів сходяться на тому, що справжній аналіз базових математичних категорій завдяки зв'язку математики та філософії був зроблений саме в античній Греції. У класичній античності математика, що прийшла в Європу з арабського Сходу, стала перетворюватися на дедуктивну галузь знання. Автори не ставили за мету аналіз структури математичних міркувань в «Началах» Евкліда та порівняння її з побудовами міркувань платонівських діалогів. Це завдання вирішене в даній дисертації.

З метою аналізу елементів парадигми математичної онтології змінних величин і математичного природознавства XV - XVIII ст. ми звернулися до творчості М. Кузанського, Р. Декарта, І. Ньютона, Ґ. В. Лейбниця, І. Канта, в чиїх працях осмислені підстави математичного моделювання.

Багато авторів, серед них О. В. Ахутін, В. О. Бєлоусов, Є. В. Бризгаліна, М. Бунге, Б. С. Галімов, Ф. Даннеман, У. Джемс, А. Л. Доброхотов, В. А. Кайдалов, А. Ф. Кудряшов,О. Ф. Лосєв, Л. О. Мікешина, А. П. Огурцов, П. Таннері, Р. Тарнас, М. С. Уваров, В. Хесле, G. Brittan, L. J. Brouwer, розглядаючи джерела раціоналізму Нового часу, стверджують про те, що введене Кузанцем поняття нескінченного буття дало змогу йому розв'язати проблему співвідношення Бога й миру. У системі М. Кузанського поняття «буття» виконує роль гаранта абсолютної єдності тієї або іншої сутності. Але розум не може осягнути ні нескінченність простору, ні відносність положень і рухів тіл. В дисертації, при розгляді основ парадигми математичної онтології змінних величин і математичного природознавства розкрито, що за допомогою ідеї тотожності єдиного й нескінченного, розгляду нескінченного як міри, М. Кузанський привів у стан невизначеності вироблене в античності математичне знання. Зазначено, що ідея тотожності єдиного й нескінченного визначила фон в дослідженнях філософів-раціоналістів Нового часу.

У працях А. Д. Александрова, П. В. Алексєєва, Г. С. Ареф'єва, В. Ф. Асмуса, В. П. Візгіна, Е. В. Ільєнкова, С. В. Кайдакова, В.М. Катасонова, А. Я. Климова, А. Д. Майданського, М. В. Мостепаненка, В. О. Панфілова, С. А. Яновської, F.Broadie, J. Collins розглянуті природничонаукові й математичні побудови Р.Декарта крізь призму його теїстичних поглядів. Автори висловлюють думки про те, що Картезій відновлює теїстичну дистинкцію між першою істиною, що пізнана людиною, і першою причиною всіх речей. Cogito є першим у порядку знання, але не в порядку буття й причинності. В дисертації, в контексті аналізу філософсько-світоглядних установок та гносеологічних побудов Картезія виявлено, що завдяки Р. Декарту, математика опинилась залученою фізикою до процесу теоретичного моделювання картини світу. Вона у цій моделі є зразком достовірності.

Нами узагальнені думки деяких авторів стосовно математизації фізики І. Ньютона. П. В. Алексєєв, В. І. Арнольд, М. Д. Ахундов, А. М. Боголюбов, Г. Вілейтнер, В. Гезенберґ, Р. Генон, А. Т. Григорян, А. Ейнштейн, А. Зоммерфельд, В. В. Ільїн, А. А. Касьян, А. Койре, А. Ф. Кудряшев, Б. Г. Кузнецов, Ю. І. Кулаков, А. В. Лук'янов, А. К. Манєєв, Ф. А. Медведєв, С. Т. Мелюхін, В. І. Метлов, Л. А. Мікешина, В. В. Миронов, В. М. Михайлівський, М. Д. Моїсєєв, Ю. Б. Молчанов, М. В. Мостепаненко, В. А. Нікіфоровьский, Т. І. Ойзерман, А. І. Опарін, К. Поппер, Є. Ф. Солопов, В. С. Стьопін, Є. М. Чудінов, пишуть, що наукова програма І. Ньютона відрізняється від декартової тим, що являє собою сувору систему принципів. Але в Р.Декарта властивості тіл зводяться лише до протяжності, фігури й руху. Джерелом руху Р. Декарт вважав Бога. І.Ньютон приєднав до перерахованих властивостей силу тяжіння - причину, за допомогою якої можна пояснити, а не тільки математично описати явища природи. В полеміці з вказаними вище авторами у дисертації стверджується, що математичне конструювання картини світу І. Ньютоном - це логічно й геометрично обґрунтовані операції над ідеалізованими об'єктами. Прогнозований експеримент - невідривна складова його наукової творчості. При цьому І. Ньютон демонстрував всемогутність Творця рухомої матерії, яка існує й зберігається в просторі й часі. Наукову спадщину І. Ньютона в XX столітті досліджували представники філософії природознавства, історики науки.

На відміну від Р. Декарта, Ґ. В. Лейбниць розробляв свою методологію побудови доказів як структурного закону об'єктивно наявних предметних зв'язків - «загальної науки» (scientia generalis). Ґ. В. Лейбниць розділяв картезіанське й ньютонівське переконання в тому, що фізика повинна будуватися на основі математики. В дисертації узагальнені думки лише деяких авторів, у чиїх роботах безпосередньо або побічно йшлося про філософсько-математичний контекст праць німецького мислителя. Н. Д. Арутюнова, В. В. Бібіхін, В. С. Біблер, А. Л. Блінов, В. П. Візгін, Ю. Г. Волков, Л. П. Воронкова, П. П. Гайденко, Л. А. Гоготішвілі, Є. В. Ільєнков, В. О. Лекторський, Т. П. Лолаєв, Г. Г. Майоров, О. А. Мамчур, А. А. Новиков, Т. І. Ойзерман, В. С. Полікарпов, Б. М. П'ятницин, Г. Рейхенбах, Г. И. Рузавін, О. В. Рязанова, К. Д. Скрипник, В. А. Смирнов, С. А. Соколовська , С. Ю. Степанов, В. С. Стьопін, В. К. Суханцева, О. Ф. Теребілов, Г. Л. Тульчинський, В. Є. Холщевников, В. С. Швирьов, Ю. М. Шилков, Х. Р. Яусс висловлюють подібні думки про те, що Ґ. В. Лейбниць, на відміну від Р. Декарта, І. Ньютона й Х. Гюйґенса ставив метафізику вище за фізику. Метафізика здатна дати адекватне пізнання сутності природного буття, так само як і буття духовного. Не фізика, а метафізика розкриває природу субстанцій.

І. Кант, на чию творчість вплинули праці дослідників природи Нового часу, вважав, що в основі наукового пізнання лежить не споглядання абстрактної сутності, а діяльність з її конструювання, яка породжує ідеалізовані - математичні об'єкти. Філософські основи математики в працях І. Канта розглядалися як прямо безпосередньо, так і побічно такими науковцями як П. В. Алексєєв, В. Ф. Асмус, М. М. Афасіжев, В. С. Біблер, Г. Х. Врігт, М. С. Гартман, А. Ю. Грязнов, А. В. Гулига, Е. Гуссерль, М. Джеммер, Ю. Я. Дмитрієв, Є. В. Ільєнков, А. В. Кезін, П. В. Копнін, Е. М. Костандов, А. М. Круглов, Ю. І. Кулаков, К. Лоренц, А. К. Манєєв, І. П. Меркулов, І. С. Нарський, Т. І. Ойзерман, А. К. Сухотін, М. С. Уваров, П. Фєйерабенд, G. Brittan, M. Friedman, C. Parsons. Автори висловили схожі думки про те, що І. Кант, визначаючи можливість пізнання, а priori довів, що людина від народження, як Homo Sapiens, володіє пізнавальним апаратом, який дозволяє здобувати досвід зі взаємодії із зовнішнім світом. Він осмислив взаємозв'язок філософії і науки. Наука шукає у філософії методологію, а філософія сприймає від науки дослідницький матеріал.

З метою дослідження парадигми математичної онтології XIX століття - нестандартної геометрії й теоретико-множинних побудов нами виявляється роль інтуїції в побудові математики, аналізується творчість М. І. Лобачевського, який розглядав стосунки між об'єктами, а не їх субстанціональні якості, ґ.Кантора, який систематизував теорію множин, а також ґ. Фреґе як одного з творців логістичного напряму в математиці.

Питання побудови математичного знання в контексті його інтуїтивного збагнення, а також зв'язки математики з прикладними науками порушені в роботах І. А. Акчуріна, Г. А. Анікіної, Л. де Бойля, М. Бунге, В. М. Глушкова, М. Девіса, Б. Г. Кузнецова, Р. Куранта, Г. Роббінса, А. І. Панченко, Г. І. Рузавіна, У. Сойєра, В. М. Троснікова, А. П. Юшкевича. Більшість авторів вважають, що математикою необхідно називати дедуктивні побудови, пов'язані з вивченням математичних моделей. Усе, що лежить поза такими побудовами, до математики не належить.

Апріорний конструктивізм І. Канта й принципи «уявної» геометрії М. І. Лобачевського співвідносяться з ідеєю конструктивного використання розуму. Ряд авторів, у їхньому числі Г. Башляр, Е. Т. Белл, А. В. Васильєв, Д. Гільберт, А. Даан-Дальмедико, В. Ф. Каган, Р. Карнап, Ф. Клейн, С. Кон-Фоссен, Б. Л. Лаптєв, О. В. Мантуров, А. П. Норден, В. В. Прасолов, Ю. А. Розенфельд, В. П. Шереметевський, П. О. Широков, А. П. Юшкевич, усвідомлюючи творчість М. І. Лобачевського, висловлюють думки, що його геометрія - це можливість трактування дедукції, де мова йде про якість відношень між об'єктами, але не про субстанціональні якості самих об'єктів.

Важливим елементом обґрунтування математики в другій половині XIX століття стала теорія множин Р. Кантора. Для нього математичні об'єкти - це особливий спосіб ставлення до буття як до природи, при якому чуттєво сприймане мислиться у вигляді нескінченних числових рядів. Література, присвячена осмисленню теорії множин та її парадоксів, велика. А. Д. Александровим, І.Бар-Хіллелом, Л. Брауером, у працях семінару М. Бурбаки, Г. Вейлем, К. ґьоделем, Д. Гільбертом, Х. Каррі, К. С. Кліні, А. М. Колмогоровим, П. Дж. Коеном, Ю. А. Маніним, А. Ф. Медведєвим, М. М. Новосьоловим, А. Пуанкаре, Б. Расселом, А. Н. Уайтхедом, Ґ. Фреґе висловлені думки про те, що в математиці використовуються лише певні типи множин, і тому не застосовуються лінгвістичні побудови при утворенні понять, які приводять до парадоксів. Б.Рассел, щоб уникнути парадоксу множин усіх множин, запропонував теорію типів.

Філософсько-математична система Ґ. Фреґе в контексті обґрунтування логістичного напряму в математиці носить інструментальний характер в трактуванні надійності й очевидності висновків математичних міркувань. Ґ. Фреґе обгрунтовує математику як семіотичну систему. Математиками і філософами логістичний напрям аналізувався в різних аспектах. Нами розглянуті праці А. Д. Александрова, Г. Вейля, А. А. Зіновьєва, Р. Карнапа, К. С. Кліні, Е. Мура, Д. Пойа, В. О. Серпінського, В. А. Смирнова, Н. И. Стяжкіна, А.Чорча, С. І. Шапіро. Виявлено, що авторами висловлені схожі думки. Визначивши запас спеціальних знаків, Ґ. Фреґе конструює поліноми, керуючись заданими логічними правилами. Починаючи з простих об'єктів, він будує множини різних складних об'єктів. У рамках, обумовлених логічними правилами процедур, можуть доводитися різні твердження і встановлюватися властивості об'єктів.

Під час дослідження парадигми математичної онтології абстрактних формалізованих систем XX століття нами зіставляються концепції Д. Гільберта й К. ґьоделя, у контексті аналізу конструктивізму розглядаються праці А. А. Маркова, аналізується структурний аксіоматичний підхід у побудові й обґрунтуванні математики семінаром М. Бурбаки.

Філософських основ творчості Д. Гільберта математики і філософи торкнулися лише побіжно. А. Арно, А. С. Ахманов, Х. Барендрегт, І. І. Блехман, М. Я. Віленкін, П. П. Гайденко, І. М. Горелов, М. І. Губін, Д. І. Дубровський, В. А. Звегінцев, О. С. Компанейць, Л. М. Косарева, Б. А. Кушнер, Ф. В. Лазарев, В. А. Лекторський, Т. П. Матяш, Е. Мендельсон, О. П. Огурцов, Ю.О. Петров, Д.Підоу, У. Сойєр, В. С. Степанов, М. І. Стяжкін, Е.Х. Тиугу, Ю. А. Урманцев, В.О. Успенський, С. Феферман, І. Т. Фролов, Х. Ф. Хармут, А. А. Шаров, В.С.Швирьов, Ю. О. Шрейдер висловлюють схожі думки, які полягають в тому, що аксіоматичний погляд є одночасно і альтернативним, і доповнюючим конструктивістський підхід в процесі побудови математики. В дисертації зазначено, що при аксіоматичній побудові математичної теорії для формування її основних понять враховується лише те, що у вигляді деякого екстракту формулюється в аксіомах.

В конструктивній математиці, а саме в теорії алгорифмів А. А. Маркова, абстрактний характер несуть не конструктивні об'єкти і конструктивні процеси, що їх вибудовують, а міркування про них. Багато авторів, серед них Г. ґрассман, Р. ґрассман, А. Г. Драгалін, І. Д. Заславський, Дж. Конвей, В. В. Мадер, П. Мартін-Льоф, В. Я. Пермінов, К. А. Рибников, А. С. Трулстра, В. Ф. Турчин, Р. Фор, В. В. Целіщев, розглядаючи проблему конструктивізму, пишуть про те, що основне завдання цього математичного напряму - створення конструктивного математичного аналізу, призначення якого в тому, щоб знайти вихідні посилки й поняття, які більш переконливі, ніж теоретико-множинні принципи. В дисертації розкрито ціннісний базис логіки конструктивної математики.

Семінаром М. Бурбаки математичні об'єкти розглядаються як існуючі в певному розумінні об'єктивно. Вони є абстрактними, вічними й причинно не пов'язаними з матеріальними предметами й емпіричним досвідом. Еволюціонує не математика, а лише людське знання про її об'єкти. А. Д. Александров, В. І. Арнольд, Р. Грехем, Ж. Дьєдонне , В. А. Євстігнєєв, А. М. Колмогоров, Л. Ловас, Ф.А. Медведєв, М. І. Монастирський, В. А. Нікіфоровський, Ю. М. Павловський, В. В. Прасолов відзначають, що загальною рисою різних понять, об'єднаних назвою «структури», є те, що вони застосовні до множин елементів, природа яких не визначена. Виділити структуру, значить задати одне або декілька відношень, у яких перебувають елементи множини. Аксіоматична теорія даної структури - це логічні наслідки з аксіом структури. При цьому відбувається відмова від яких-небудь інших припущень відносно «природи» елементів множини.

У підрозділі 1.2. «Методологія дослідження розглянутої проблеми» формулюється авторська стратегія дослідження - обґрунтовуються методи дослідження й розкривається їхній зміст, а також обґрунтовуються посилки авторської концепції.

Методи аналізу і синтезу, а також системний метод дозволяють виявити міру взаємного впливу філософії, математики і природознавства в обґрунтуванні постановки математичних проблем і їх рішень.

Аналіз, як логічний метод, необхідний, оскільки досліджуваний предмет - трактування онтологічного статусу математичних сутностей, що являє собою перетинання філософського й математичного підходів, - досліджується в різні періоди, у яких математичне знання має вид цілісної, зростаючої системи. Виділені в ході аналізу елементи з'єднуються за допомогою логічного прийому - синтезу. Для виявлення найбільш важливих характеристик взаємного впливу математичного і філософського знання у кожному з даних періодів застосований системний підхід.

Метод історико-культурного детермінізму розкриває обумовленість специфіки в трактуванні статусу математичних сутностей при зміні ідеалів і норм пізнавальної діяльності в досліджуваних парадигмах математичної онтології.

Принцип збігу історичного й логічного дає можливість під час аналізу інтуїції в побудові математичного знання демонструвати обумовленість історичного розвитку математичних понять.

Компаративістський метод застосований для порівняння методологічних основ, ідеалів і норм постановки математичних проблем і побудови математичного знання в різні культурно-історичні періоди.

У дисертаційній роботі використання герменевтичного методу визвано інтерпретацією філософських і математичних текстів античності, Відродження, Нового часу, XIX і XX століть. У даному дослідженні має місце класичне герменевтичне коло: філософські тексти допомагають у трактуванні математичних, і навпаки, математичні тексти допомагають в інтерпретації філософських. У процесі філософсько-методологічного аналізу був врахований безперечний факт. Наше відношення до аналізованого добутку завжди опосередковане певними структурами свідомості. Воно пов'язано з потенціалом уже пережитого досвіду й засвоєного знання, відповідно до якого ми орієнтуємося у світі, довідаємося й диференціюємо його різноманіття, оцінюємо, ототожнюємо, розрізняємо, тобто тим або іншим способом передбачаємо все пережите в актах свідомості. Дослідник, що аналізує наукові і філософські тексти інших епох, ніколи не зможе поринути в них до кінця. Він є носієм культури своєї епохи.

Завдяки застосуванню методів аналізу, синтезу, системному підходу, використанню методів детермінізму, збігу історичного й логічного, компаративістського й герменевтичного методів дисертантом розкрито, що онтологічний статус математичних сутностей - це інваріант ідеалів і норм пізнавальної діяльності. Підстави трактування онтологічного статусу математичних сутностей виникають на перетинанні онтологічних і гносеологічних уявлень.

Розділ 2. «Аналіз античної парадигми математичної онтології - генезису філософського осмислення математичних сутностей і методів математичного міркування» присвячений дослідженню античних ідеалів і норм постановки математичних проблем і побудови математичного знання. З метою виявлення взаємного впливу філософії й математики аналізуються праці трьох найяскравіших класиків античності - Платона, Арістотеля, Евкліда.

У підрозділі 2.1. «Позачуттєвий світ ідей Платона й онтологічний статус математичних сутностей у його філософській системі» виявлені категорії, які детермінують платонівське розуміння математичних предметів і їх статусу. Уточнено, що діалектика Платона стала першим наближенням до логічної побудови математичних структур.

Аналіз платонівського ставлення до математики представлений дисертантом в рамках того, що античним мислителем проводиться розмежування категорій тотожного і іншого, єдиного і множинного. У платонівській онтології «єдиного» тотожність єдиного включає власну протилежність - своє інше. Множинне виступає як особливість загального.

Платон мислив математичні об'єкти існуючими в особливому трансцендентному світі. Він зробив першу в європейській культурі спробу пояснити, чому абстрактні об'єкти відрізняються від емпіричних. Для Платона світ ідей передував світу речей. Речі змінюються й знищуються, ідеї залишаються незмінними, визначеними і досконалими. Математичні об'єкти займали в ученні Платона проміжне положення між речами і найбільш загальними і досконалими ідеями.

Онтологічний статус математичних сутностей визначений античним філософом як статус ейдосів - відтворюваних в думках ідей предметів. Вони займають проміжне положення між тим, що стає, і абсолютно сущим, тобто абсолютно незалежним Благом. Математика розглядалася Платоном як область знання, що досліджує ейдоси. Математичні абстракції, за Платоном, - самостійні сутності. Цим вони відрізняються від речей, які виявлені лише через відношення до іншого.

На думку автора, математичні сутності за Платоном, осягаються в міркуванні. Теоретичне міркування спрямоване само на себе. Математичне міркування включає безліч досліджуваних предметів і відношень між ними. Підкреслюється, що у діалогах Платона формується модель мислення, у якій діалектика є методом вирішення протиріч, у тому числі й математичних.

У підрозділі 2.2. «Відбиття структуровано-числової визначеності буття Арістотеля в трактуванні ним математичних сутностей» вивиявлені основні категорії, що детермінують арістотелівське розуміння статусу математичних сутностей, розкриті відмінності й загальний підхід, вироблений Платоном і Арістотелем під час розгляду статусу математичних сутностей і математичного міркування.